Solución para el ejercicio planteado en el taller 3 de Econometría 2 1) En lo que sigue se trabajará con los logaritmos naturales de las series, aunque se podrían haber trabajado las series sin transformar. Esta decisión se adopta en función de que es esperable que de existir una relación de largo plazo entre las series, esta sea multiplicativa y por tanto, al aplicar logaritmos trabajaríamos con un modelo aditivo. Se aclara que este es un supuesto del que se parte, y no necesariamente tiene que ser válido. Además trabajar con logaritmos tiene la ventaja de que la primera diferencia aproxima bien a las tasas de variación de las series y por lo tanto, los coeficientes de un modelo lineal en los logaritmos de las variables se interpretarían como elasticidades de la variable explicada respecto a cada una de las explicativas ceteris paribus. Una ventaja adicional de la transformación logarítmica es que estabiliza la varianza y corrige la existencia de asimetría positiva en los datos. Estas son todas ventajas, pero ¡ojo! con el uso indiscriminado de esta transformación. Si no se parte de un supuesto teórico y/o no se prueba empíricamente que es apropiada esta transformación, no debería aplicarse. Por ejemplo, cuando se trabaja con tasas de variación no debería aplicarse logaritmos. A continuación se presenta el gráfico con las tres series en logaritmos. 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 PNAF NAFTA IVF El gráfico muestra que las series IVF y NAFTA presentan una tendencia creciente a lo largo del período analizado, mientras que PNAF, por el contrario, tiene en promedio una trayectoria decreciente. A partir del gráfico, las tres variables parecen ser no estacionarias en media. En cuanto a una posible relación de cointegración entre las variables, por un lado parece haber una suerte de “espejo” entre las trayectorias de NAFTA y PNAF (obsérvese en los dos casos el pico alrededor de 1991 y la reversión en la tendencia que se da luego de 1999). Por su parte IVF crece, se podría decir que sistemáticamente y la reversión que se observaba en las otras dos series, se presenta alrededor de 1998. Podría decirse que en la gráfica presentada hay indicios de que existe una relación de largo plazo entre las series. Si realiza el ejercicio con las series sin tomar logaritmos podrá ver que gráficamente el análisis es el mismo. Se podría haber calculado los coeficientes de correlación entre las series. Esto se hace (una vez creado el grupo) con View – Correlations – Common Sample. PNAF NAFTA IVF PNAF 1.000000 -0.946459 -0.883613 NAFTA -0.946459 1.000000 0.973667 IVF -0.883613 0.973667 1.000000 ¡Si será alta la correlación lineal entre las variables! 1 2) Estadísticos descriptivos de las series y sus primeras diferencias Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Sum Sum Sq. Dev. PNAF -0.592999 -0.653883 -0.060034 -0.885102 0.235570 0.446897 1.776296 5.740803 0.056676 -35.57993 3.274112 NAFTA 0.378251 0.432097 0.634147 -0.014049 0.201328 -0.289834 1.606351 5.695687 0.057969 22.69503 2.391445 IVF 0.269342 0.271210 0.478309 0.008874 0.139349 -0.095414 1.519755 5.568852 0.061765 16.16051 1.145664 D(PNAF) -0.008649 -0.010845 0.169776 -0.143081 0.055560 0.400227 3.888226 3.574179 0.167447 -0.518920 0.182127 D(NAFTA) 0.007372 0.012935 0.056509 -0.059761 0.025058 -0.495078 2.911700 2.470513 0.290760 0.442343 0.037045 D(IVF) 0.007137 0.005683 0.040616 -0.026223 0.013127 0.229162 2.995021 0.525215 0.769043 0.428207 0.010167 Un estadístico que brinda información sobre la posible sobrediferenciación de una serie es el desvío estándar de la serie en niveles y la misma serie diferenciada. Habría indicios de sobrediferenciación si dicho estadístico aumenta cunado la serie es diferenciada, cosa que no ocurre según los valores presentados. 3) Los correlogramas de las series en logaritmos y sus primeras diferencias. Correlograma de PNAF y su primera diferencia Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 61 Autocorrelation . |*******| . |*******| . |****** | . |****** | . |***** | . |***** | . |***** | . |**** | . |**** | . |*** | . |*** | . |*** | Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 60 Partial Correlation . |*******| .|. | .|. | .|. | .|. | .*| . | .|. | .*| . | .|. | .|. | .|. | .|. | Autocorrelation Partial Correlation . |*. . |** .|. .|. .|. .*| . . |*. .*| . .|. .*| . . |*. .|. . |*. . |*. .*| . .|. .|. .*| . . |*. .*| . .|. .|. . |*. .|. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.927 0.852 0.791 0.743 0.701 0.646 0.593 0.534 0.480 0.431 0.395 0.368 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.193 0.198 -0.002 -0.024 0.006 -0.097 0.143 -0.104 -0.020 -0.108 0.116 0.026 PAC 0.927 -0.044 0.052 0.057 0.019 -0.103 0.000 -0.087 -0.007 -0.007 0.059 0.038 PAC 0.193 0.167 -0.071 -0.049 0.034 -0.096 0.180 -0.140 -0.046 -0.053 0.187 -0.031 Q-Stat 55.000 102.34 143.83 181.07 214.79 243.93 268.97 289.63 306.64 320.67 332.67 343.29 Q-Stat 2.3369 4.8439 4.8443 4.8842 4.8863 5.5360 6.9793 7.7538 7.7819 8.6455 9.6603 9.7131 Prob 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Prob 0.126 0.089 0.184 0.299 0.430 0.477 0.431 0.458 0.556 0.566 0.561 0.641 2 Correlograma de IVF y su primera diferencia Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 61 Autocorrelation . |*******| . |*******| . |*******| . |****** | . |****** | . |****** | . |****** | . |***** | . |***** | . |**** | . |**** | . |**** | Partial Correlation . |*******| .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .*| . | .*| . | .*| . | .|. | .|. | AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.955 0.908 0.865 0.823 0.785 0.751 0.716 0.674 0.627 0.575 0.522 0.472 PAC 0.955 -0.042 0.026 -0.020 0.016 0.035 -0.036 -0.090 -0.087 -0.078 -0.055 -0.011 Q-Stat 58.388 112.08 161.70 207.41 249.66 289.06 325.53 358.47 387.48 412.39 433.32 450.77 Prob 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 60 Autocorrelation Partial Correlation . |*** . |** . |*. **| . .|. .*| . .|. .|. .*| . .|. **| . .*| . . |*** . |*. .|. **| . . |** .*| . . |*. .*| . .|. .*| . .*| . .|. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.368 0.221 0.067 -0.236 0.040 -0.078 0.054 0.033 -0.109 -0.038 -0.263 -0.151 PAC 0.368 0.099 -0.049 -0.311 0.270 -0.104 0.117 -0.156 -0.001 -0.079 -0.165 -0.016 Q-Stat 8.5370 11.664 11.959 15.645 15.755 16.170 16.374 16.452 17.319 17.428 22.684 24.450 Prob 0.003 0.003 0.008 0.004 0.008 0.013 0.022 0.036 0.044 0.065 0.020 0.018 Correlograma de NAFTA y su primera diferencia Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 61 Autocorrelation . |*******| . |*******| . |*******| . |****** | . |****** | . |****** | . |***** | . |***** | . |**** | . |**** | . |**** | . |*** | Partial Correlation . |*******| .*| . | .|. | .|. | .|. | .|. | .*| . | .*| . | .|. | .|. | .*| . | . |*. | AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.964 0.919 0.875 0.832 0.785 0.740 0.690 0.635 0.583 0.537 0.487 0.443 PAC 0.964 -0.144 0.022 -0.044 -0.054 -0.001 -0.108 -0.073 0.017 0.027 -0.087 0.074 Q-Stat 59.488 114.45 165.23 211.86 254.18 292.46 326.33 355.58 380.73 402.44 420.65 436.03 Prob 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 60 Autocorrelation Partial Correlation . |** .|. . |** .|. .|. . |*** . |*. .*| . . |*. .*| . .*| . .|. . |** .|. . |** **| . . |*. . |** .*| . .*| . . |*. .*| . .*| . .*| . | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.323 0.059 0.218 -0.019 -0.003 0.345 0.076 -0.147 0.093 -0.060 -0.173 -0.006 PAC 0.323 -0.051 0.240 -0.196 0.103 0.315 -0.160 -0.143 0.096 -0.086 -0.070 -0.131 Q-Stat 6.5773 6.7979 9.8942 9.9171 9.9179 18.123 18.526 20.068 20.695 20.962 23.237 23.241 Prob 0.010 0.033 0.019 0.042 0.078 0.006 0.010 0.010 0.014 0.021 0.016 0.026 3 En los tres casos el análisis de estacionariedad es similar; mientras los correlogramas de las series en logaritmos no decrecen rápidamente, los de las series diferenciadas parecen mostrar que esta transformación es apropiada para obtener estacionariedad. 4) Test Dickey-Fuller Aumentado Se comienza en todos los casos testeando la existencia de una raíz unitaria en la primera diferencia de la variable, y si se rechaza se pasa a realizar el test para la serie en niveles. Para la serie en diferencias se parte de la especificación solo con constante, porque se presume que no tiene sentido que exista un componente de tendencia determinística en la tasa de variación de las tres series. La cantidad máxima de de lags que se permite son diez, y el criterio de selección que se utilizó el de Schwarz pues penaliza en mayor medida la inclusión de coeficientes adicionales que los criterios de Akaike y de Hannan Quinn. Null Hypothesis: D(PNAF) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* -6.240792 -3.546099 -2.911730 -2.593551 0.0000 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PNAF,2) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1986Q3 2001Q1 Included observations: 59 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(PNAF(-1)) C -0.806534 -0.006014 0.129236 0.007261 -6.240792 -0.828264 0.0000 0.4110 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.405925 0.395503 0.055036 0.172654 88.38575 2.049899 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 0.001337 0.070787 -2.928331 -2.857906 38.94748 0.000000 Así, se rechaza la hipótesis de raíz unitaria en la primera diferencia de PNAF. Para la serie en logaritmos, Null Hypothesis: PNAF has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* -0.464397 -4.118444 -3.486509 -3.171541 0.9827 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PNAF) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1 Included observations: 60 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. PNAF(-1) C @TREND(1986Q1) -0.024287 -0.047432 0.000806 0.052298 0.017949 0.000741 -0.464397 -2.642635 1.087633 0.6441 0.0106 0.2813 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.122372 0.091578 0.052955 0.159840 92.70150 1.774488 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) -0.008649 0.055560 -2.990050 -2.885333 3.973887 0.024230 4 No se rechaza la hipótesis de raíz unitaria para la serie en logaritmos, pero la tendencia no resulta significativa (la tabla de Dickey – Fuller (1981) muestra un valor crítico de 3,18 para 50 datos –en este caso son 61- al 0,975). Se pasa a especificar la regresión auxiliar sin tendencia determinística. Null Hypothesis: PNAF has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* -2.596836 -3.544063 -2.910860 -2.593090 0.0992 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PNAF) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1 Included observations: 60 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. PNAF(-1) C -0.072432 -0.050974 0.027893 0.017679 -2.596836 -2.883361 0.0119 0.0055 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.104158 0.088712 0.053038 0.163157 92.08527 1.657392 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) -0.008649 0.055560 -3.002842 -2.933031 6.743556 0.011903 Al 5% no se rechaza la hipótesis de raíz unitaria, y la constante sería no significativa dado que no se rechazó la hipótesis de raíz unitaria al 5% con 50 datos, pero como se tienen 60 datos el valor del estadístico debe estar muy próximo a ser significativo, si no lo es. Habría que contar con los valores críticos simulados para esta cantidad de datos para tomar la decisión correcta acerca de especificar la regresión con o sin constante. De todos modos, la salida para la regresión sin constante tampoco permite rechazar la hipótesis de raíz unitaria. A continuación se presenta la misma: Null Hypothesis: PNAF has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* 0.149718 -2.604073 -1.946348 -1.613293 0.7259 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PNAF) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1 Included observations: 60 after adjusting endpoints Variable PNAF(-1) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 0.001715 0.011453 0.149718 0.8815 -0.024253 -0.024253 0.056230 0.186544 88.06663 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat -0.008649 0.055560 -2.902221 -2.867315 1.561219 Con las series NAFTA e IVF se sigue el mismo procedimiento. Aquí se presentan las últimas salidas, que no permiten rechazar la hipótesis de raíz unitaria, por lo que se concluye que cada una de las series son integradas de orden 1. 5 Null Hypothesis: IVF has a unit root Exogenous: None Lag Length: 5 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* 1.287324 -2.607686 -1.946878 -1.612999 0.9482 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IVF) Method: Least Squares Date: 07/17/04 Time: 14:28 Sample(adjusted): 1987Q3 2001Q1 Included observations: 55 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IVF(-1) D(IVF(-1)) D(IVF(-2)) D(IVF(-3)) D(IVF(-4)) D(IVF(-5)) 0.007535 0.451134 0.118079 -0.057203 -0.375310 0.334626 0.005854 0.132229 0.134361 0.135116 0.126807 0.123820 1.287324 3.411766 0.878820 -0.423361 -2.959688 2.702515 0.2040 0.0013 0.3838 0.6739 0.0047 0.0094 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood 0.275115 0.201147 0.010920 0.005843 173.5800 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat 0.005638 0.012217 -6.093818 -5.874836 1.850990 Null Hypothesis: NAFTA has a unit root Exogenous: None Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* 0.343370 -2.604746 -1.946447 -1.613238 0.7811 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(NAFTA) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1986Q3 2001Q1 Included observations: 59 after adjusting endpoints Variable NAFTA(-1) D(NAFTA(-1)) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 0.002603 0.384089 0.007580 0.124962 0.343370 3.073649 0.7326 0.0032 0.072511 0.056240 0.024397 0.033926 136.3852 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat 0.007735 0.025113 -4.555432 -4.485007 1.899924 6 5) Como las tres series son integradas de orden 1, es factible la existencia de una relación de largo plazo entre ellas. Para estudiarlo, se sigue el procedimiento de Engle-Granger. Regresión por MCO de PNAF sobre IVF y NAFTA: Dependent Variable: PNAF Method: Least Squares Sample: 1986Q1 2001Q1 Included observations: 61 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C NAFTA IVF -0.179601 -1.981093 1.258421 0.018811 0.190530 0.274828 -9.547914 -10.39780 4.578935 0.0000 0.0000 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.923455 0.920816 0.069119 0.277092 77.97027 0.560147 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) -0.583278 0.245628 -2.458042 -2.354228 349.8627 0.000000 Test Dickey-Fuller Aumentado a los residuos de esta regresión: Null Hypothesis: RESID01 has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* -3.891942 -2.604073 -1.946348 -1.613293 0.0002 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID01) Method: Least Squares Date: 07/17/04 Time: 14:34 Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1 Included observations: 60 after adjusting endpoints Variable Coefficient RESID01(-1) -0.338277 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood 0.201462 0.201462 0.045753 0.123505 100.4383 Std. Error t-Statistic 0.086917 -3.891942 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat Prob. 0.0003 -0.003024 0.051200 -3.314611 -3.279705 1.764622 El procedimiento de Engle-Granger, no permite rechazar la hipótesis de que existe una relación de largo plazo entre las series analizadas, dado que los residuos de la regresión por MCO resultan estacionarios. Problemas de esta estimación: 1) Los estimadores de los coeficientes no son de mínima varianza porque si bien los residuos son estacionarios, no resultan ruido blanco, es decir que hay autocorrelación. Sin embargo, son consistentes. 2) Cuando se estudia la cointegración entre 3 series el procedimiento de Engle-Granger tiene la desventaja de que podrían existir a lo sumo 2 relaciones de largo plazo, y con él sólo se puede encontrar una de ellas. 7