Varios modos de convergencia

Varios modos de convergencia
Objetivos. Conocer varios modos de convergencia: convergencia uniforme, convergencia
casi uniforme, convergencia casi en todas partes, convergencia respecto a la medida.
Requisitos. Funciones medibles, medida.
Definición de varios modos de convergencia
1. Definición (convergencia uniforme). Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones X → C
y sea g : X → C una función. Se dice que fn converge uniformemente a g en el conjunto
X si
lim sup |fn (x) − g(x)| = 0.
n→∞ x∈X
X
Notación: fn =⇒ g.
X
2. Convergencia uniforme en términos ε–δ. Es fácil ver que la condición fn =⇒ g
es equivalente a lo siguiente:
∀ε > 0 ∃k ∈ N ∀n ≥ k
∀x ∈ X
|fn (x) − g(x)| < ε.
3. Definición (convergencia puntual). Sea (fn )n∈N una sucesión de funciones X → R
y sea g : X → R una función. Se dice que fn converge puntualmente a g (en X) si
∀x ∈ X
lim fn (x) = g(x).
n→∞
X
Notación: fn −→ g.
4. Definición (convergencia casi en todas partes). Sea (X, F, µ) un espacio con
medida, sea (fn )n∈N una sucesión en M(X, F, C) y sea g ∈ M(X, F, C). Se dice que la
sucesión (fn )n∈N converge a g casi en todas partes respecto a la medida µ si
µ x ∈ X : fn (x) 6→ g(x) = 0.
µ-c.t.p.
Notación: fn −−−−→ g.
Varios modos de convergencia, página 1 de 2
5. Definición (convergencia en medida). Sea (X, M, µ) un espacio con medida, sea
(fn )n∈N una sucesión de funciones M-medibles y sea g una función M-medible. Se dice
µ
que fn converge a g en la medida µ y se escribe fn −
+ g si
∀ε > 0
lim µ x ∈ X : |fn (x) − g| ≥ ε = 0.
n→∞
6. Observación (la convergencia uniforme implica la convergencia puntual). Si
X
X
fn =⇒ g, entonces fn −→ g.
7. Observación (la convergencia puntual implica la convergencia casi en todas
µ-c.t.p.
X
partes). Si fn −→ g y las funciones fn , g son F-medibles, entonces fn −−−−→ g.
8. Definición (convergencia casi uniforme). Sea (X, F, µ) un espacio con medida,
sea (fn )n∈N una sucesión en M(X, F, C) y sea g ∈ M(X, F, C). Se dice que fn converge a
µ-c.u.
g casi uniforme respecto a la medida µ y se escribe fn ===⇒ g, si
X\E
∀η > 0 ∃E ∈ F
µ(E) ≤ η ∧ fn ===⇒ g .
Luego vamos a demostrar algunas relaciones entre varios modos de convergencias:
9. Relaciones entre varios modos de convergencia.
en el caso µ(X) < +∞
en general
X
fn =⇒ g
X
fn =⇒ g
µ-c.t.p.
fn ===⇒ g
fn −→ g
µ-c.u.
fn ===⇒ g
fn −−−−→ g
X
X
fn −→ g
µ-c.u.
µ-c.t.p.
fn −−−−→ g
uc
bs
su
ón
esi
ón
esi
uc
bs
su
µ
fn −
+g
µ
fn −
+g
Varios modos de convergencia, página 2 de 2