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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO (EIAE)
Mecánica de Fluidos I
Problema de cinemática
Dado el campo bidimensional de velocidades
u=
x
;
t0 + t
v=
y
,
t0 + 2t
donde u y v son las componentes de la velocidad en las direcciones de los ejes x e y respectivamente,
t ≥ 0 es el tiempo y t0 es una constante conocida con dimensiones de tiempo.Se pide determinar:
1.- Trayectoria y senda de la partícula uida que en t = 0 esta en ~x = x~i .
2.- Línea de corriente que pasa por el punto ~x = ~x0 .
3.- Líneas de traza que parte del punto ~x = ~xT .
4.- ¾En que se convierte al cabo del tiempo la línea que en el instante inicial es una circunferencia de
radio R y centro en el origen?
5.- Determinen la aceleración del uido desde el punto de vista de Euler y de Lagrange y comprueben
que, obviamente, se obtiene el mismo resultado.
6.- Escriban la ecuación que permite determinar la evolución con el tiempo de la densidad de una
partícula uida.
SOLUCIÓN
En las ecuaciones que determinan la velocidad, no hay longitud característica pero si hay un tiempo
característico que es t0 . La longitud característica aparece al imponer las condiciones iniciales y/o de
contorno. Por lo tanto utilizaremos como tiempo adimensional τ = t/t0 .
1.- Las ecuaciones que determinan las trayectorias son
dx
x
dx
x
=
⇒
=
,
dt
t0 + t
dτ
1+τ
dy
y
dy
y
=
⇒
=
,
dt
t0 + 2t
dτ
1 + 2τ
la integración de las ecuaciones anteriores, con la condición inicial ~x = ~xi para τ = 0, proporcionan la
ecuación de las trayectorias
√
y
= 1 + 2τ .
yi
x
=1+τ ;
xi
La senda se obtiene eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores, obteniéndose
r
y
=
yi
2
x
− 1.
xi
2.- Las líneas de corriente se obtienen, para un instante τ jo, resolviendo la ecuación diferencial
v
dy
= =
dx
u
1+τ
1 + 2τ
y
,
x
cuya solución, con la condición de contorno y = y0 en x = x0 , proporciona
y
=
y0
x
x0
1+τ
1+2τ
.
Como puede observarse, las líneas de corriente y las sendas no coinciden, aunque fuese xi = x0 e
yi = y0 , porque el movimiento es no estacionario.
3.- La línea de traza que parte de punto ~x = ~xT , se obtiene a partir de la ecuación de las trayectorias,
determinando primero la posición inicial de las partículas, que en instantes sucesivos τT , pasan por el
punto ~xT . Esto es
xT
= 1 + τT ;
xi
√
yT
= 1 + 2τT .
yi
En segundo lugar hay que despejar xi e yi de las ecuaciones anteriores y sustituirlas en las ecuaciones
de las trayectorias, lo que proporciona
x
1+τ
=
;
xT
1 + τT
y
=
yT
r
1 + 2τ
,
1 + 2τT
que representan la ecuación de la línea de traza en forma paramétrica, de parámetro τT , para cualquier
instante τ > τT . En este caso es fácil eliminar τT entre las dos ecuaciones anteriores para obtener
explicitamente la ecuación de la línea de traza en cada instante
y
=
yT
s
(1 + 2τ ) (x/xT )
.
2 (1 + τ ) − (x/xT )
Obsérvese que no existe solución cuando 2 (1 + τ ) ≤ (x/xT ), sin embargo este valor no se alcanza
nunca. El valor máximo de x/xT se obtiene cuando τT = 0, que corresponde a la primera partícula
de la línea de traza que pasó por ~xT y que en el instante τ será la última de la misma. Este valor
√
corresponde a (x/xT )max = 1 + τ < 2 (1 + τ ). El valor máximo de (y/yT )max = 1 + 2τ . Obsérvese
que los valores de (x/xT )max y de (y/yT )max en función de τ coinciden con la trayectoria de la partícula
uida que en τT = 0 pasó por el punto ~xT . El lugar geométrico de todos estos puntos coincide, por
tanto, con las sendas. En efecto, despejando τ en función de (x/xT )max se obtiene τ = (x/xT )max − 1,
que llevado a expresión de (y/yT )max proporciona
y
yT
max
s x
= 2
− 1,
xT max
que coincide con la senda sin más que cambiar la condición inicial ~xi por ~xT .
4.- La circunferencia inicial de radio R tiene por ecuación
x2i + yi2 = R2 ,
y, de acuerdo con la ecuación de las trayectorias, hay que sustituir los valores de xi e yi en función de
√
x, y y τ , para dar: xi = x/ (1 + τ ); yi = y/ 1 + 2τ , de modo que la circunferencia inicial se convierte
en
2
2
x
y
√
+
= 1,
R (1 + τ )
R 1 + 2τ
√
que es una elipse de semiejes R (1 + τ ) y R 1 + 2τ que, evidentemente, cambian con el tiempo τ .
5.- Dado que el campo de velocidades está dado desde el punto de vista de Euler, la aceleración está
dada por
ax =
∂u
∂u
+u
;
∂t
∂x
ay =
∂v
∂v
+v ,
∂t
∂y
ya que los términos u∂v/∂x y v∂u/∂y son nulos porque v no es función de x y u no es función de y .
De acuerdo con las expresiones anteriores y los valores de las componentes de la velocidad, se tiene
ax =
ay =
∂u
x
x
∂u
+u
=− 2
+ 2
= 0,
2
∂t
∂x
t0 (1 + τ )
t0 (1 + τ )2
∂v
∂v
2y
y
y
+v
=− 2
+ 2
=− 2
.
2
2
∂t
∂y
t0 (1 + 2τ )
t0 (1 + 2τ )
t0 (1 + 2τ )2
Desde el punto de vista de Lagrange, primero hay que escribir la velocidad en función de la posición
inicial y del tiempo. Esto se consigue con ayuda de las trayectorias, en efecto
u (τ, xi ) =
de modo que
ax =
xi (1 + τ )
xi
= ,
t0 (1 + τ )
t0
∂ [u (τ, xi )]
= 0,
t0 ∂τ
ya que u (τ, xi ) no depende de τ . La componente ay de la aceleración se obtiene de
ay =
∂ [v (τ, xi )]
,
t0 ∂τ
y dado que
√
yi 1 + 2τ
yi
,
v (τ, xi ) =
= √
t0 (1 + 2τ )
t0 1 + 2τ
se obtiene
ay =
∂ [v (τ, xi )]
yi
= − 2 (1 + 2τ )−3/2 .
t0 ∂τ
t0
Para comparar ambas soluciones, hay que escribir la componente ay obtenida desde el punto de vista
de Euler, a lo largo de las trayectorias. Esto es
√
y
yi 1 + 2τ
yi
−3/2
ay = − 2
,
2 =− 2
2 = − t2 (1 + 2τ )
t0 (1 + 2τ )
t0 (1 + 2τ )
0
que, evidentemente, coinciden.
6.- De la ecuación de la continuidad se obtiene
1 Dρ
= −∇ · ~v ,
ρ Dt
pero como
∇ · ~v =
∂u ∂v
1
1
1
+
=
+
=
∂x ∂y
t0 (1 + τ ) t0 (1 + 2τ )
t0
1
1
+
1+τ
1 + 2τ
,
resulta que la ecuación de la continuidad se escribe como
1 Dρ
=−
ρ Dτ
1
1
+
1+τ
1 + 2τ
,
que puede integrarse para determinar la evolución de la densidad a lo largo de las trayectorias, o la
densidad de las partículas uidas. La integración proporciona
ρpf
1
√
=
,
ρpf i
(1 + τ ) 1 + 2τ
donde ρpf es la densidad de la partícula uida en el instante τ , y ρpf i su valor inicial.
Con objeto de representar las líneas de corriente, líneas de traza y sendas, utilizaremos el mismo valor
de referencia ~xi = ~xT = ~x0 , de modo que las líneas de corriente tienen por ecuación
y
=
y0
x
x0
1+τ
1+2τ
,
las líneas de traza tienen por ecuación
y
=
y0
s
(1 + 2τ ) (x/x0 )
; con
2 (1 + τ ) − (x/x0 )
y, por último, las sendas serían
y
=
y0
x
x0
s x
2
− 1.
x0
= 1 + τ,
max
>şŶĞĂĨůƵŝĚĂƋƵĞŝŶŝĐŝĂůŵĞŶƚĞĞƐƵŶĂĐŝƌĐƵŶĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞƌĂĚŝŽZ
Ϯ͘ϱ
LJͬZ
Ϯ
ϭ͘ϱ
ϭ
Ϭ͘ϱ
Ϭ
Ϭ
Ϭ͘ϱ
ϭ
ϭ͘ϱ
Ϯ
Ϯ͘ϱ
ϯ
džͬZ
ƚͬƚϬсϬ
ƚͬƚϬсϭ
ƚͬƚϬсϮ
Figura 1: Línea uida que inicialmente es una circunferencia de radio R y centro en el origen. Representación de 1/4 de las curvas.
>şŶĞĂƐĚĞƚƌĂnjĂLJƐĞŶĚĂ
ϯ
LJͬLJϬ
Ϯ͘ϴ
Ϯ͘ϲ
Ϯ͘ϰ
Ϯ͘Ϯ
Ϯ
ϭ͘ϴ
ϭ͘ϲ
ϭ͘ϰ
ϭ͘Ϯ
ϭ
ϭ
ϭ͘ϱ
Ϯ
Ϯ͘ϱ
ϯ
ϯ͘ϱ
ϰ
ϰ͘ϱ
ϱ
džͬdžϬ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϬ͘Ϯϱ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϬ͘ϱ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϭ
Figura 2: Líneas de traza en instantes diferentes. Se
observa que la senda coincide con el lugar geométrico de los puntos nales de las líneas de traza.
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϮ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϯ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϰ
^ĞŶĚĂ
>şŶĞĂƐĚĞĐŽƌƌŝĞŶƚĞLJƐĞŶĚĂƐ
ϯ
LJͬLJϬ
Ϯ͘ϴ
Ϯ͘ϲ
Ϯ͘ϰ
Ϯ͘Ϯ
Ϯ
ϭ͘ϴ
ϭ͘ϲ
ϭ͘ϰ
ϭ͘Ϯ
ϭ
ϭ
ϭ͘ϱ
Ϯ
Ϯ͘ϱ
ϯ
ϯ͘ϱ
ϰ
ϰ͘ϱ
ϱ
džͬdžϬ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϬ͘ϱ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϭ
dƌĂnjĂ͗ƚͬƚϬсϰ
Figura 3: Comparación de las líneas de corriente y
las de traza. Las líneas de traza son las líneas llenas
y las discontinuas las de corriente. Igual color indica
igual instante de tiempo.
>͗ƚсϬ͘ϱ
>͗ƚсϭ
>͗ƚсϰ