Oscilaciones de largo periodo: Marea Astronómica

Ingenierı́a Marı́tima y Costera
Oscilaciones de largo periodo: Marea
Astronómica
Apuntes de Clase
MDM, MOS, AMF
Grupo de Dinámica de Flujos Ambientales, Universidad de Granada.
Curso 2014–2015
Índice
1. Introducción
1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2. Consideraciones cualitativas
2.1. Algunas caracterı́sticas del sistema T-S-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Fuerza generadora de mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
3. Derivación del potencial generador de mareas
13
3.1. Fuerzas mareales en las ecuaciones del movimiento: Marea de Equilibrio . . . . . . . . . 17
4. Constituyentes de aguas someras. Mareas no lineales
18
5. Mecánica celeste y mareas
19
5.1. Lista de constituyentes y origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6. Mareas reales. Análisis Armónico
24
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2. Práctica análisis armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
Palabras clave
marea astronómica, gravedad, teorı́a del equilibrio, teorı́a dinámica, análisis armónico, constituyentes,
pleamar, bajamar, mareas vivas, mareas muertas, aguas someras.
Bibliografı́a Básica
Dean, R.G., and R.A. Dalrymple (1991). Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists. World
Scientific.
Dronkers, J.J. (1964) Tidal computations. North-Holland Pub.Co. Amsterdam.
Dronkers, J., Dynamics of Coastal Systems, Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 25, World
Scientific, 2005.
Foreman, M. G. G., Manual for tidal currents analysis and prediction (revised edition), Pacific Marine
Science Report, Institute of Ocean Sciences, Patricia Bay, Sidney, British Columbia, 78-6, 1996.
French, A.P., (1971) Newtonian mechanics. M.I.T. Introductory Physics Series, Norton New York.
Giménez Curto, L.A., (1982) La marea astronómica, Universidad de Santander.
Park, D. (2008) Waves, Tides and Shallow-water Processes. Butterworth-Heinemann (Elsevier) UK.
Pawlowicz, R., B. Beardsley, and S. Lentz, Classical tidal harmonic analysis including error estimates
in Matlab using T-Tide, Comput. Geosci., 28, 929–937, 2002.
Pugh, D.T. (1987). Tides Surges and mean sea level. John Wiley and Sons.
ROM1.0-0.9 2009. Recomendaciones para Obras Marı́timas. Puertos del Estado.
ii
1.
Introducción
Las mareas terrestres están producidas por la interacción gravitatoria simultánea
básicamente entre el sistema de tres cuerpos: Luna, Sol, Tierra. La marea astronómica
presenta unas frecuencias caracterı́sticas asociadas a la rotación terrestre y la revolución de la Luna alrededor de la Tierra y ésta respecto del Sol. Otros cuerpos o están
demasiado lejos o sus masas no son los suficientemente grandes como para influir de
forma significativa en la marea. La simple observación del fenómeno muestra que el
efecto de la Luna es mayor que el del Sol.
Se tiene constancia de que ya Aristóteles se percató de la presencia de una “respiración del mar” o marea. Pı́teas, Estrabón y Plinio el Viejo sospecharon de la relación
entre cuerpos celestes y mareas. Pero fue Newton el primero en discutir el origen gravitacional de las mareas desde un punto de vista matemático. En sus Principia Mathematica supuso una Tierra cubierta por una capa homogénea de agua y mostró que
la superficie libre adoptaba la forma de un esferoide a resultas de la atracción L-T. El
hecho que el eje del esferoide estaba orientado según el eje T-L justificaba la ocurrencia
de 2 mareas diarias. La misma situación se observa con el sistema S-T, pero en menor
magnitud. De las posiciones de T-L-S dedujo la presencia de mareas vivas y mareas
muertas. Newton hizo una descripción solo cualitativa. Más tarde, Bernoulli ganó el
premio de la Academia de Ciencias de Paı́s por extender la teorı́a del Newton al Ecuador. Laplace trató de mejorar la teorı́a de Newton (en su “Mecánica Celeste”). Lo hizo,
pero también quedó reducido a un ámbito teórico debido a las complicadas condiciones
de contorno del problema. No obstante, los resultados de la teorı́a que muestran una
correspondencia entre las fuerzas periódicas y el movimiento del mar, son muy útiles
puesto que muestran cómo las observaciones meareales deben ser analizadas desde un
punto de vista teórico y práctico. Desde un punto de vista práctico, Lord Kelvin (Thompson) desarrolló el análisis armónico. Si bien Laplace combinó todas las contribuciones
periódicas en una fórmula, Kelvin basó su método en el desarrollo de una suma de
términos periódicos: las llamadas constituyentes mareales.
El estudio y análisis de las mareas se ha contemplado desde tres puntos de vista o
teorı́as:
Teorı́a del Equilibrio: la superficie libre sigue en cada instante la posición relativa de la Luna y el Sol, i.e. como si la Luna y el Sol estuvieran en reposo.
La masa de agua, por tanto, no tiene inercia. Esta teorı́a describe las variaciones
aparentes del nivel del agua que apreciarı́a un observador viajando con la rotación
terrestre a lo largo de un paralelo sobre la capa de agua deformada. El concepto
de equilibrio en este contexto fue introducido por Newton y posteriormente desarrollado por Darwin, 1898, y es útil para una descripción cualitativa de algunos
fenómenos relacionados con las mareas.
Teorı́a Dinámica: La teorı́a del equilibrio supone irrealmente que el agua no
tiene inercia; no hay retardos, la masa de agua responde instantáneamente a las
fuerzas generadoras de marea. Tampoco tiene en cuenta el efecto de los contornos
y de la batimetrı́a. Esa dependencia de la configuación de los contornos hace
1
que la marea sea un fenómeno muy local. Por tanto no predice bien ni las fases
ni las amplitudes. Para el estudio de las mareas reales, esto es, para describir
con precisión la marea, hay que resolver las ecuaciones generales del movimiento
y las fuerzas involucradas considerando las condiciones de contorno adecuadas.
Esto es lo que resuelve Laplace, 1775, y constituye la aproximación teórica más
correcta. Para contornos idealizados y asumiendo un cierto número de hipótesis
es posible obtener resultados analı́ticos los cuales son útiles para ganar intuición
sobre el efecto de cada agente. Para batimetrı́as y contornos realistas se recurre
invariablemente a modelos numéricos.
Análisis Armónico: La solución más heurı́stica al problema de la determinación
de las mareas llegó con Lord Kelvin, 1868-1876, y Darwin, 1883-1886. Como las
frecuencias de las mareas se conocen muy bien, se determinan las amplitudes y las
fases de las componentes armónica en un lugar determinado a partir de un registro
real de marea (en general de un año de duración). La técnica se denomina análisis
armónico. Luego, una vez obtenidas las amplitudes y las fases, puede extrapolarse
la elevación generada por marea a varias décadas con buena precisión.
1.1.
Definición
Se define marea (astronómica) como la distorsión en la forma de un cuerpo inducida por el empuje gravitatorio de otro.
Respecto a esta definición hay que tener en encuenta varios aspectos. Nótese que
no se menciona nada de rotación: la rotación terrestre no genera ninguna marea. Otro
punto a tener en cuenta se refiere al término marea meteorológica 1 , con el que trataremos en el Tema correspondiente. Según la definición dada, el término “marea” y el
término “meteorológica” no guardan relación. Además, ciertas constituyentes a las que
habitualmente nos referiremos como “mareas” no lineales o de aguas someras no se
generan astronómicamente, sino que se generan internamente durante la propagación
(no lineal), e.g. por efecto de la fricción. Y, por último, hay que mencionar que en este
Tema trataremos distorsiones diferenciales generadas por los empujes gravitatorios. El
elipsoide achatado por los polos más las deformaciones asociadas a las mareas terrestres
será nuestra referencia sobre la cual medir las mareas en el mar. A efectos prácticos,
esto es, para determinar los periodos caracterı́sticos que la marea genera, podemos
considerar una Tierra esférica y despreciar los esfuerzos tensionales sobre la una Tierra
sólida.
1
El viento y los cambios de presión atmosférica (marea meteorológica) también juega su papel en el
nivel observado.
2
2.
2.1.
Consideraciones cualitativas
Algunas caracterı́sticas del sistema T-S-L
La Tierra describe de dos movimientos: un movimiento de rotación sobre su propio
eje, efectuando una vuelta completa en 24 horas (un dı́a solar medio, TJ ), y un movimiento de revolución alrededor del Sol, dando una vuelta completa en un año tropical
(365d 5h 48m 45.68s, T2 ). Estos tiempos son medidos respecto al Sol, que a su vez se
mueve. Con respecto a las estrellas fijas la Tierra da una vuelta sobre sı́ misma cada
23h 56m 4.09s en tiempo solar (dı́a sidéreo, Td,s ) y completa su órbita alrededor del Sol
cda 366.256 dı́as sidéreos (año sidéreo, Ta,s ).
La órbita que la Tierra describe en su movimiento alrededor del Sol es (casi) una
elipse en uno de cuyos focos se encuentra éste. Entre el 3 y el 4 de enero la Tierra se
encuentra en el perihelio, punto de la órbita más cercano al Sol, y la distancia es de
1,47 · 1011 m. Hacia el 4 de julio la Tierra se encuentra en el afelio, punto de su órbita
más lejano del Sol a una distancia de 1,52 · 1011 m. Véase Fig. 1.
Debido a que la eclı́ptica, que es el plano que contiene la órbita de la Tierra, forma un
ángulo de 66,55◦ con el eje de rotación de la Tierra, resulta que el ángulo de incidencia de
los rayos solares a lo largo del año es variable. Este hecho causa los cambios estacionales
en el clima y los movimientos regulares del Sol hacia el N y hacia el S del Ecuador.
Si llamamos α al ángulo que forma el eje de la Tierra con la lı́nea que une los centros
de ésta y el Sol, resulta que el 21 ó 22 de junio α es mı́nimo y tiene un valor de 66,55◦ ;
esta situación se conoce como solsticio (sol estático) de verano y da origen al inicio del
verano. El 22 ó 23 de septiembre α = 113,45◦ = 180◦ − 66,55◦ es máximo y se tiene el
solsticio de invierno, comienzo del invierno2 . El 20 ó 21 de marzo α = 90 tiene lugar el
equinoccio de primavera, momento del año en que el eje Tierra-Sol está contenido en
el plano del ecuatorial terrestre (el Sol alcanza el cénit y la duración del dı́a es igual
que la de la noche). De igual manera, el 20 ó 21 de marzo de cada año tiene lugar el
equinoccio de primavera.
Tanto la rotación de la Tierra como su revolución se efectúan en sentido contrario
a las agujas del reloj mirando desde el N, esto es, hacia el Este. La Luna gira sobre
sı́ misma sobre un eje aproximadamente paralelo al del Tierra y en la misma dirección
dando una vuelta cada 27.32166 dı́as solares. El mismo periodo presenta su movimiento
de revolución alrededor de la Tierra. La órbita que describe es una órbita (cuasi) elı́ptica,
con la Tierra en uno de los focos.
El plano en el cual la Luna orbita la Tierra está inclinado 5,15◦ repecto al plano
de la eclı́ptica y 28,5◦ con el plano ecuatorial terrestre (declinación3 lunar). Este plano
rota lentamente con un periodo de 18.6 años respecto a un eje normal al plano de la
eclı́ptica. Como consecuencia de esto, los puntos en que la trayectoria lunar corta el
plano de la eclı́ptica va girando (regresión de los nodos), completando una vuelta cada
2
En solsticios de verano e invierno el Sol alcanza, respectivamente, su mayor y menor altura aparente.
Las horas de luz son máximas en el solsticio de verano y mı́nimas en el soslticio de invierno.
3
La declinación de un cuerpo celeste es el ángulo que forma la lı́nea que forma su centro y el centro
de la Tierra con el plano del Ecuador.
3
Figura 1: Posición de los equinoccios y solsticios y afelio y perihelio.
18.6 años. Existe por tanto un periodo nodal de 18.6 años en el cual la declinación
lunar se incrementa y reduce lentamente. La declinación lunar mensual máxima varı́a
entre 18.3 y 28.6. Por ejemplo, hay valores máximos de declinación lunar en 1969, 1987,
2006, 2025 y mı́nimos en 1978, 1997, 2015 y 2034.
La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna varı́a entre 3,56 · 108 m en el
perigeo y 4,07 · 108 m en apogeo. La lı́nea que une el apogeo con el perigeo (lı́nea de
ápsides) se mueve también, aunque en sentido contrario al resto de los movimientos
(sentido horario); completa una vuelta cada 8.85 años. Los movimientos de las lı́neas
de nodos y ápsides, que son las más importantes de las numerosas perturbaciones de la
órbita de la Luna, no tienen periodos regulares de revolución. Los valores anteriormente
son valores medios.
La revolución de la Luna alrededor de la Tierra se efectúa en el mismo sentido que
la de ésta alrededor del Sol, y tiene un periodo de 27.32166 dı́as solares con respecto a
las estrella fijas, es lo que se llama mes sidéreo, Tm,s . Con respecto al Sol sin embargo,
el periodo de revolución de la Luna es, aproximadamente, Tm = 29,53 dı́as solares (mes
sinódico), este es el valor medio, pudiendo variar algunas horas.
Mientras la Tierra da un giro sobre sı́ misma, la Luna se ha desplazado. Por tanto,
el tiempo que transcurre entre dos pasos sucesivos de la Luna por el mismo meridiano
es de 24h 50m 28.33s (dı́a lunar, TL ). La declinación del Sol varı́a desde 23,45◦ en el
solsticio de verano hasta −23,45◦ en el solsticio de invierno, i.e. el plano ecuatorial de
la Tierra está inclinado 23.45 respecto a la eclı́ptica. La Luna puede tener además de
esta declinación otros 5,15◦ Norte o Sur, teniendo un rango total de 57,20◦ grados. La
Luna alcanza su máxima declinación 28,60◦ una vez cada 18.6 años. El ciclo completo
de declinación de la Luna, desde la máxima declinación Sur hasta la máxima Norte y
vuelta dura 27.2 dı́as, periodo que se conoce con el nombre de mes tropical.
Todas estas perturbaciones influyen en las mareas y originan diferentes componentes
periódicas de las cuales en un análisis práctico sólo se determinan las más importantes.
En la tabla siguiente se resumen algunas caracterı́sticas generales de la Tierra, la
Luna y el Sol.
4
Figura 2: Sistema Tierra-Luna-Sol mostrando el plano orbital lunar, su declinación y la eclı́ptica.
Diámetro Tierra
Diámetro Luna
Masa Tierra
Masa Luna
Masa Sol
Dist. media entre centros T-L
Dist. media entre centros T-S
2.2.
12753 km
3479 km
5,98 × 1024 kg
7,34 × 1022 kg
1,96 × 1030 kg
384329 km
149360000 km
Fuerza generadora de mareas
La fuerza generadora de marea en un punto dado se define como la aceleración4
relativa al centro de la Tierra de la unidad de masa situada en dicho punto debida a
las fuerzas gravitatorias creadas por un cuerpo celeste (digamos Luna o Sol) situado a
una distancia que, en general, varı́a con el tiempo.
Para derivar expresiones matemáticas para las fuerzas generadoras de marea debidas
al Sol y la Luna, los principales factores a tener en cuenta, aunque no todos participen
directamente en la generación, son (Fig. 2):
1. Revolución de la Luna alrededor de la Tierra en una órbita inclinada respecto del
ecuador terrestre.
2. Rotación de la Tierra sobre su propio eje5 .
3. Movimiento de la Tierra alrededor del Sol a lo largo de la eclı́ptica, la cual también
se encuentra inclinada respecto al Ecuador terrestre.
Para deferminar la fuerza generadora de marea, supondremos inicialmente un sistema de referencia no inercial, un geoide cubierto homogéneamente por una lámina de
4
5
Fuerza por unidad de masa.
Ojo. La rotación, por sı́ sola, no genera mareas.
5
Figura 3: Esquema mostrando los dos cuerpos celestes sobrellevando una rotación sobre su centro de
masas C. Los sı́mbolos se explican en el texto y θ es el ángulo cenital.
agua, la cual no tiene inercia. Es decir, no consideraremos la presencia de continentes
y que la masa de agua responde instantáneamente a las fuerzas generadoras de marea.
Consideremos la configuración dada en la Fig. 3, que muestra el centro de masas de la
Tierra, de masa ma , y el centro de masas de un cuerpo celeste (masa ms ). De acuerdo
con la ley de gravitación de Newton, en cualquier punto dado X de la Tierra, el cuerpo
celeste S ejerce un empuje gravitacional con dirección XS, cuya magnitud es inversamente proporcional a la distancia XS al cuadrado. Asimismo, la fuerza gravitacional en
M causa una aceleración hacia S. Los dos cuerpos, sin embargo, no colisionan, puesto
que ambos tienen una componente de velocidad en la dirección perpendicular a la lı́nea
MS. El resultado es que la Tierra y el cuerpo celeste revolucionan como cuerpos sólidos
alrededor de su centro de masas común (punto C, que cae en el interior de la Tierra).
El sistema de partı́culas T+L tiene un Centro de Masas (CdM) que cae a 4700 km del
dentro de la Tierra.
¿Cómo es la rotación del sistema T-L? La Luna siempre nos muestra su misma cara6 ,
pero por lo que a la Tierra respecta, ésta rota excéntricamente respecto del CdM (véase
Fig. 4). Por tanto, (1) Todos los puntos sobre y dentro de la Tierra rotan con la misma
frecuencia angular. (2) Todos los puntos sobre y dentro de la Tierra describen arcos
del mismo radio. Y (1)+(2) Todos los puntos sobre y dentro de la Tierra experimentan
la misma fuerza centrı́fuga (ojo, fuerza ficticia). Fuerza centrı́peta/centrı́fuga respecto
CDM. De acuerdo a la primera ley de Kepler, estas órbitas son elı́pticas. Los periodos
orbitales siguen la tercera ley de Kepler. Estos son 27.3 dı́as (el mes sidéreo) para la
T-L y 1 año para la T-S. Por tanto, en un sistema de referencia no-inercial (acelerado),
que se mueve con M , en cualquier punto de X existe una resultante de fuerzas, siendo
→
−
la diferencia entre la fuerza gravitacional local F g (X) y la fuerza gravitacional en M,
→
−
F g (M ). La resultante es lo que hemos definido como la fuerza generadora de marea.
Una expresión para esta fuerza puede obtenerse como sigue. Primero se definen los
−−→ −
−−→ −
−−→
−
−
−
−
vectores →
r 0 = SM , →
r 1 = SX y →
r = M X. Entonces →
r1 =→
r0+→
r y en todos los
casos relevantes r r0 , donde r y r1 denotan, respectivamente, los módulos de los
6
Fijación de fase, eso le pasa a los satélites de los planetas más grandes.
6
Figura 4: Esquema del movimiento excéntrico del sistema Tierra-Luna sin considerar la rotación
terrestre. El punto negro grueso central representa el CdM del sistema. El punto marcado como T,
representa un punto cualquiera en la superficie terrestre, el cual describe un cı́rculo de radio idéntico a
cualquier otro punto de la Tierra. El código de colores sirve de ayuda para ver la correspondencia entre
la posición de la Luna y la Tierra en el ciclo de ∼ 27,3 dı́as.
7
Figura 5: Fuerza gravitacional Fg (X), Fg (M ) y generadora de marea K en distintos puntos de la
superficie terrestre.
−
−
vectores →
r y→
r 1 . La fuerza generadora de marea (por unidad de masa) en los puntos
X y M es
−
→
−
−Gms →
r1
F g (X) =
2
r1
r1
(1)
−
→
−
−Gms →
r1
F g (M ) =
,
2
r0
r0
(2)
y
con G = 6,67 × 10−11 Nm2 /kg2 es la constante de gravitación universal. Por tanto,
→
−
la fuerza generadora de marea K por unidad de masa en el punto X es
→
−
−
→
−
→
−
→
−
r1 →
r0
K (X) = F g (X) − F g (M ) = −Gms
− 3 .
(3)
r13
r0
En el sistema de referencia no inercial, dirı́amos que la fuerza centrı́fuga equilibra
la gravitacional. En el centro de la Tierra son iguales y opuestas. Una idea cualitativa
tanto de magnitud como de dirección de estas fuerzas en distintos puntos de la superficie
de la Tierra se muestra en la Fig. 5.
Las fuerzas mayores tienen lugar en el zénit y en el nadir. Para r = R, con R ≈
6,4 × 106 m el radio terrestre, se sigue que
→
−
1
2Gms R
1
− 2 ≈
,
(4)
| K |max = Gms
2
(r0 − R)
r0
r03
donde se ha hecho uso de que R r0 . De este resultado se concluye que
→
−
| K |max,Sol
r0,Luna 3
mSol
≈ 0,46 .
=
→
−
mLuna
r0,Sol
| K |max,Luna
8
(5)
ası́ que la fuerza generadora de marea debido al empuje gravitatorio del Sol es
menos de la mitad de intensa que la causada por la Luna. Esto es una consecuencia de
la dependencia en ∼ r03 . La influencia de otros cuerpos celestes en las mareas registradas
en la Tierra son totalmente despreciables.
La componente normal a la superficie terrestre genera dos abultamientos, i.e. una
→
−
variación del nivel, orientados según el eje T-L. En los puntos de zénit y nadir, donde K
se dirige perpendicularmente hacia la superficie terrestre y cuya magnitud es máxima,
se tiene que
→
−
| K |max,Luna
= 1,15 × 10−7 .
g
(6)
Ası́, incluso en estos puntos donde K es máximo, el balance de momento vertical
apenas se ve afectado por la presencia de las fuerzas mareales7 . Sólo la componente
tangencial de la fuerza generadora de marea (llamada por Doodson fuerza de tracción)
es dinámicamente importante, aunque, digamos, ambas componentes generan abultamientos en la misma posición. La Fig. 6 muestra que la fuerza tractora conduce el agua,
precisamente, hacia los puntos de nadir y zénit. Este hecho conduce a la manifestación
de la marea de equilibrio, consistente en dos abultamientos simétricos en el eje M S.
El hecho de que la fuerza generadora de marea resultante genere dos abultamiento es
quizás lo más complicado de entender cuando uno se enfrenta por primera vez al estudio de las mareas. Desde un punto de referencia inercial, dirı́amos simplemente que
la Luna atrae a la Tierra en todos sus puntos, pero que esa atracción es mayor en los
lugares más próximos y menor en los más alejados. Como consecuencia, la Tierra se
“abomba” en la dirección T-L. Por esa razón, la Luna provoca siempre dos mareas, una
en la parte de la superficie terrestre más cercana a la Luna y otra en la opuesta.
La realidad, por supuesto, es más complicada que esto debido a
1. La rotación de la Tierra sobre su propio eje, en combinación con efectos inerciales:
la celeridad de la onda de marea en el océano es menor que la velocidad por el cual
el zénit y el nadir se mueven por la superficie terrestre. En buena aproximación
la onda
√ de marea se propaga por aguas someras y su celeridad es por tanto
c = gh. Considerando una profundidad media de 4000 m, se tiene que c ≈ 197
m/s, mientras que la velocidad lineal de rotación en el Ecuador es de 448 m/s.
esto hace que no se alcance la situación de equilibrio. Un retardo en la masa
oceánica respecto las fuerzas tractoras es inevitable. El retardo depende de la
latitud y decrece hacia los polos: unas 6 horas en el Ecuador y prácticamente
0 ya 65◦ de latitud. El retardo concreto depende de la localización. Además, la
propagación de onda se frena en la plataforma continental, donde la profundidad
se reduce. La carrera de marea (el rango de marea) y las corrientes mareales
habitualmente son mayores en áreas próximas a la costa y en mares someros que
7
Para estimar la variación relativa en altura, puede plantearse la ecuación de conservación del
momento en vertical 0 ≈ −1/ρ∂p/∂z − g imponiendo la condición de que con g y la g 0 , siendo esta
última la corregida g − gc con gc = 1,15 × 10−7 g, un punto con la misma presión en ambos casos se
desplaza un ∆z.
9
Figura 6: Al ser un fluido (no newtoniano) el que se encuentra en la superficie terrestre, éste no es
capaz de compensar los esfuerzos generados por la componente tangencial a la superficie de la fuerza
generadora y fluye. Aquı́ se muestran la dirección de la fuerza tangencial en magnitud arbitraria.
en mar abierto. Por otra parte, se observa que la fricción entre la masa de agua
y el fondo oceánico hace que los abultamientos estés adelantados (desplazados al
Este) respecto a la lı́nea imaginaria que une los centros de la Tierra y la Luna
(unos 3◦ de circunferencia). Por esto es habitual que las pleamares tengan lugar
algo después de que la Luna pase por el meridiano local8 .
2. La presencia de continentes, que en la mayorı́a de las partes de la superficie impide
el libre movimiento de las masas de agua (aparte del mar circumantártico). La
presencia de los continentes (reflexión) y la rotación terrestre son las responsables
de la presencia de los sistemas anfidrómicos.
Si añadimos la rotación terrestre respecto de su propio eje (efectuada con una velocidad angular Ω = 7,3 × 10−5 s−1 ), el zénit y el nadir se mueven sobre la superficie
terrestre. El forzamiento debido a la presencia de la Luna, más importante, da lugar al armónico semidiurno de origen Lunar M2, o marea M2, que tiene un periodo
TM 2 = TG /2, siendo TM 2 = 12h 25m y TG un dı́a lunar (TL =23h 50m). Este periodo
es ligeramente superior al de la S2 puesto que después de una revolución de la tierra
sobre su propio eje (antihoraria) la orientación de la Luna respecto a un punto fijo en
la superficie terrestre es diferente puesto que la Luna rota alrededor de la Tierra (en
sentido antihorario también; hacia el E).
Del mismo modo, en el caso de fuerzas mareales generadas por el sol, en cada punto
fijo sobre la superficie de la Tierra, tienen lugar dos pleamares y dos bajamares en un
intervalo de 24 horas. Esto genera la presencia del armónico S2, que es un armónico
semidiurno de origen solar, con un periodo TS2 = TJ /2, siendo TJ = 24h un dı́a solar
(cercano a un dı́a sidéreo, Td,s = 23 h 56 m).
Las constituyentes mareales M2 y la S2 conjuntamente explican la presencia de los
ciclos de mareas vivas y muertas en los registros de marea. Véase Fig. 8. Si el Sol y la
8
De hecho, las mayores pleamares en mareas vivas tienen lugar uno o dos dı́as después de la luna
nueva o llena. Este retardo se conoce como Edad de la Marea.
10
Figura 7: Marea de equilibrio en el caso de la Luna. Se muestran los planos ecuatoriales y el plano
orbital de la Luna, los cuales forman un ángulo (declinación) de aprox. 28◦ . Se indican el eje de giro
Ω de la Tierra respecto de su propio eje, la desigualdad diurna entre dos pleamares consecutivas y la
ocurrencia de mareas tropicales y ecuatoriales debido a la declinación lunar. Véase también registro de
marea en la Fig. 8.
Luna están en conjunción de fase (sizigia), estamos hablando de Luna Nueva o Llena,
los abultamientos asociados a las constituyentes M2 y S2 se refuerzan la una a la otra
resultando en un marea viva (Fig. 8). Durante cuarto menguante o creciente, el sistema
S-T-L se encuentra en cuadratura, resultando en una marea muerta. El periodo sucesivo
entre dos mareas vivas (muertas) es 14 dı́as, 18 horas y 22min, i.e. medio periodo lunar
Tm . Nótese que el periodo Lunar es mayor que el mes sidéreo de 27.3 dı́as, puesto que
también incluye el efecto de la traslación terrestre alrededor del Sol. En la naturaleza,
las plamares, bajamares, las mareas vivas, etc. ocurren con cierto desfase respecto de lo
que nos indica la marea de equilibrio, lo cual es debido a los efectos inerciales. Aparte de
las constituyentes M2 y S2 hay muchas otras. Un número de ellas fueron ya identificadas
por Laplace en 1778-1779; en 1931 un refinamiento mayor fue alcanzado por Doodson.
La mayorı́a de ellas están relacionadas y determinadas por los dos siguientes aspectos:
Mareas equinociales y solsticiales y mareas ecuatoriales y tropicales. La eclı́ptica,
el plano de traslación de la Tierra alrededor del Sol, y el plano de traslación de
la Luna alrededor de la Tierra no coinciden con el plano ecuatorial. En ángulo de
declinación entre el plano de la órbita lunar y el plano ecuatorial es del orden de
28◦ y de la eclı́ptica y el plano ecuatorial unos 23,5◦ . Esto implica que, en un punto
fijo de la superficie de la Tierra, altura la luna (o el Sol) con respecto al horizonte
varı́a sinusoidalmente con un periodo de 27.3 dı́as (1 año en el caso del Sol). La
consecuencia es que constituyentes de largo periodo son generadas (con periodos
de medio mes sidéreo, Mf , y medio año sidéreo, Ssa), además de componentes
diurnas. La Fig. 7 muestra el caso de un eje que una el centro de la Tierra y el
cuerpo celeste (la Luna en esta Figura) y que no pase por el plano ecuatorial.
Entonces un punto dado pasa alternativamente por una pleamar grande y una
pleamar pequeña. El resultado es la ası́ llamada desigualdad diurna de la marea,
la cual varı́a en función del tiempo puesto que el ángulo δ en la Fig. 7 depende
11
Figura 8: Ciclos de mareas vivas y muertas. Esquema con posiciones relativas de T-L-S y registro de
marea en Bonanza (Autoridad Portuaria de Sevilla).
12
del tiempo. Más adelante se indicarán otras mareas debidas a la declinación.
La órbita Lunar alrededor de la Tierra (y la terrestre alrededor del Sol) son
elipses. Eso significa que la distancia entre el centro de la Tierra y el cuerpo
celeste dado varı́a en función del tiempo. Las fuerzas generadoras de marea son
un 20 % mayores que la media si la Luna se encuentra en el perigeo. Del mismo
modo, cuando la distancia a la Tierra alcanza su máximo, se encuentra en el
apogeo, la fuerza mareal asociada a la Luna se reduce un 20 %. Para el caso del
Sol este efecto es débil, siendo las variaciones menores al 1 %. Este efecto conduce
a la generación de consituyentes elı́pticas.
3.
Derivación del potencial generador de mareas
La discusión cualitativa de la sección anterior, deja paso ahora a una aproximación
más cuantitativa en términos del potencial generador de mareas del cual se derivan
las fuerzas que se incorporan en las ecuaciones del movimiento. Puesto que las fuerzas
mostradas en Fig. 5 son ambas potenciales (conservativas), está claro que la fuerza
generadora puede ser escrita como el gradiente de una función potencial.
→
−
K = −∇Φ ,
(7)
y haciendo uso de la Eq.3 se llega a
dΦ =
G ms →
G ms − →
−
−
r 1 d→
r − 3 →
r 0 d−
r .
3
r1
r0
y de la Fig. 3 puede inferirse que
Z r1
Z r
G ms
G ms
Φ=
=
dτ +
cos θdτ ,
2
τ
r02
r0
0
(8)
(9)
donde los lı́mites de intgración se han elegido de tal modo que Φ(r = 0) = 0 (la
elección del origen de potencial es arbitrario). Desarrollando la ecuación anterior se
llega a
1
1
r cos θ
Φ = −Gms
−
−
.
(10)
r1 r0
r02
La distancia r1 puede ser expresada respecto a las variables r0 , r y θ haciendo uso
de la relación trigonométrica r12 = r02 − 2rr0 cos θ + r2 siendo
"
2 #−1/2
1
1
r
r
=
1 − 2 cos θ +
r1
r0
r0
r0
(11)
Es posible desarrollar 1/r1 en potencias de r/r0 en serie de Taylor puesto que
r/r0 1. De esta manera, se obtiene el bien conocido desarrollo en armónicos zonales
que viene dado en función de los polinomios de Legendre:
13
1/r1 = 1/r0
∞
X
(r/r0 )n Pn (cos θ)
(12)
n=0
donde
P0 (cos θ) = 1
(13)
P1 (cos θ) = cos(θ)
(14)
2
P2 (cos θ) = (3 cos (θ) − 1)/2 = (3 cos(2θ) + 1)/4
(15)
P3 (cos θ) = (5 cos (θ) − 3 cos(θ))/2 = (5 cos(3θ) + 3 cos(θ))/8
(16)
...
(17)
3
donde Pn está definido en general como
Pn (cos θ) =
m
X
(−1)k
k=0
(2n − 2k)!
(cos θ)n−2k
− k)!(n − 2k)!
2n k!(n
(18)
donde m = n/2 si n es par y m = (n − 1)/2 si es impar9 . Sustituyendo Eq. 11 y 12
en Eq. 10, esto es, el desarrollo en la expresión de potencial, se llega a
n X
∞
∞
r
Gms X
Pn (cos θ)
Φn (r, θ) .
Φ=−
≡
r0
r0
n=2
(19)
n=2
Nótese que derivando el potencial deberı́an aparecer las componentes de la fuerza
generador de mareas. Nótese asimismo que los polinomios P0 y P1 no aparecen en la
Eq. 10.
Ahora, teniendo en cuenta que r/r0 1 (en el caso de la Luna y el Sol la relación es
0.01 y 10−5 respectivamente). Por ello, en la mayorı́a de los casos prácticos, el desarrollo
del potencial puede ser truncado después del primer término. No obstante, su influencia
puede detectarse en el caso real de las mareas. En el caso del Sol, sin embargo, este
término es absolutamente despreciable. El resultado final a primer orden es10
r
Φ(r, θ) = Φ2 1 + O
,
r0
1
Gms r2 3
Φ2 (r, θ) = −
cos(2θ) +
.
3
r03 4
(20)
(21)
El potencial Φ2 (r, θ) consiste en dos partes
9
NótesePque una de las funciones generatrices de los polinomios de Legendre es F (t, x) = (1 − 2 x t +
n
t2 )−1/2 = ∞
n=0 t Pn (x).
10
En elh caso de la Luna el resultado conservando
el segundo término serı́a Φm =
i
2
− Gmr3s r 43 cos(2θ) + 13 + 43 rr0 (5 cos(3θ) + 3 cos(θ)) . En el caso del Sol, serı́a simplemente Φs =
0
2
− Gmr3s r 43 cos(2θ) + 13 .
0
14
(a) Un término constante independiente del ángulo zenital θ, que contrinuye a una
deformación permanente del geoide. Este término no es relevante desde un punto
de vista dinámico.
(b) Una contribución que es proporcional a cos(2θ).
→
−
Las fuerzas generadoras de marea vendrán dadas, por tanto, por K = ∇ (Φs + Φm ),
donde Φs y Φm son, respectivamente, las contribuciones al potencial generador del Sol
y la Luna. Para cada caso (por ejemplo, la Luna) y cogiendo solamente el término a
primer orden, se tiene
→
−
K m = −∇Φm =
1 ∂ ∂
,
r ∂θ ∂r
Φm
Gms r
=
r03
3
1
− cos θ, (3 cos(2θ) + 1) ,
2
2
(22)
donde en cada caso se tendrı́a una masa ms y ángulo θ distintos.
En la Fig. 9 (panel sup. izdo.) se representan las lı́neas equipotenciales del potencial,
escaladas por γms /r0 . Compárese este resultado con el mostrado en la Fig. 5 y Fig. 6.
De nuevo, la presencia de dos pleas y dos bajamares puede observarse. Términos de
orden superior en el potencial generados de mareas dan lugar a nuevas contribuciones,
e.g. Φ3 genera mareas diurnas y mareas de 3 dı́as (con amplitudes muy pequeñas).
Para un uso práctico, el potencial de mareas debe ser expresado en términos de
las coordenadas definidas en una Tierra con rotación, i.e. con longitud λ y latitud φ.
Considere la Fig. 10. Cuando se proyecta sobre el plano ecuatorial, se tiene una situación
como en el panel derecho de la Fig. 10. Aquı́
S 0 es la proyección de S sobre el plano ecuatorial.
X 0 es la proyección de X sobre el plano ecuatorial.
M G0 es el meridiano de Greenwich.
T es el ángulo horario (posición del cuerpo celeste, de este a oeste).
Entonces, la longitud del punto S es 2π − T y su latitud δ. Debido a la rotación
terrestre dT /dt = 2π/(dı́a solar)= 2π/TJ , que es 15◦ /(hora solar media), más el tiempo
de cambio de la longitud media (se incrementa un factor 2π/(año solar)= 2π/T2 ). El
ángulo zenital puede entonces expresarse en términos de λ, φ, δ y T aplicando la regla
−−→ −−→
del coseno a los vectores M X y M S. El resultado es que
cos θ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos(T + λ) .
(23)
Sustitución de este resultado en la Eq. 19 del desarrollo de Φ y estableciendo r = R
(radio medio terrestre) se llega a
(0)
(0)
(0)
Φ2 = Φ2 + Φ2 + Φ2 ,
15
(24)
Figura 9: Panel sup.izdo.: Lı́neas equipotenciales del potencial de marea Φ2 (r, θ) ∝ cos(2θ). Valores
escalados por γms /r0 . Las fuerzas generadoras de marea son normales a la lı́neas equipotenciales y su
sentido es de colores frı́os a colores cálidos. Se asume que el eje MS es horizontal y pasa por el centro
(0)
de la esfera. Panel sup.dcho.: Lı́neas de contorno del potencial mareal Φ2 para δ = 0 y escalado por
(1)
2
3
−3/4 γms R /r0 . Panel inf.izdo.: Lı́neas de contorno del potencial mareal Φ2 para δ > 0 y escalado por
(2)
2
3
−3/4 γms R /r0 . Panel inf.dcho.: Lı́neas de contorno del potencial mareal Φ2 para δ > 0 y escalado
2
3
por −3/4 γms R /r0 .
Figura 10: Panel izquierdo: Esquema de situación. S es la proyección del cuerpo celeste, δ es el ángulo
de declinación y θ es el ángulo cenital. Panel derecho: Esquema de situación en el plano ecuatorial.
16
donde
(0)
Φ2 = −
3 γms R2 1 (1 − 3 sin2 φ)(1 − 3 sin2 δ) ,
3
4 r0 3
(25)
3 γms R2
sin 2φ sin 2δ cos(T + λ) ,
4 r03
(26)
3 γms R2
cos2 φ cos2 δ cos[2(T + λ)] .
4 r03
(27)
(1)
Φ2 = −
(2)
Φ2 = −
El prefactor dimensional que está en todas las expresiones anteriores se denomina
(0)
(1)
factor de Doodson. Nótese que Φ2 es independiente de la longitud, Φ2 es periódica
(2)
en t + λ y que Φ2 es periódica en 2(T + λ). Estas expresiones describen las mareas de
primer, segundo y tercer tipo, respectivamente, siguiendo la denominación introducida
por Laplace (1799).
(0)
El potencial Φ2 da cuenta de las mareas de largo periodo debidas a variaciones
temporales en el ángulo δ (efectos de la declinación) y variaciones en la distancia r0
(0)
(efectos de la elipticidad de las órbitas). Una representación de los valores de Φ2 en la
superficie terrestre (en el caso de δ = 0) se muestra en la Fig. 9 (panel sup.dcho.). Los
valores del potencial son negativos para latitudes φ entre ±35,3◦ (véase Fig. 9) y positivos fuera de esa zona. Esto es una función armónica zonal. Las fuerzas correspondientes
están dirigidas desde los polos hacia el ecuador.
(1)
El potencial Φ2 , que es periódico en el ángulo horario T , tiene una estructura
diferente. En el caso en el que el cuerpo celeste sea el Sol (la Luna) este potencial es
periódico en el tiempo con un periodo de ∼ 24 horas (24h 25m). Las amplitudes de las
correspondientes mareas diurnas varian con la declinación y desaparecen con δ = 0 (el
cuerpo celeste en el plano ecuatorial).
(2)
Finalmente, el potencial de segundo orden Φ2 describe las componentes mareales
más importantes en la Tierra, i.e. las mareas semidiurnas. Las correspondientes fuerzas
de marea presentan su mayor magnitud si δ = 0. Véase contornos en la Fig. 9 (panel
inf. dcho.).
3.1.
Fuerzas mareales en las ecuaciones del movimiento: Marea de
Equilibrio
La información obtenida en la sección previa puede usarse para introducir las fuerzas
de marea en las ecuaciones del movimiento (aguas someras). Esta fuerza está dada por
las ecuaciones promediadas en vertical.
En la práctica, el concepto de marea de equilibrio se usa en vez del término de potencial mareal. Éste es el nivel del mar, medido con respecto a una superficie equipotencial
de la fuerza gravitatoria, que podrı́a alcanzarse si la Tierra estuviera enteramente cubierta de agua y el océano respondiera instantáneamente a las fuerzas mareales. Una
relación entre la marea de equilibrio y el potencial de marea se deriva a continuación.
17
Considere primero la situación en ausencia de mareas. En tal caso, las superficies
equipotenciales de gravedad están dadas por r = r? (λ, φ), tal que
Φg (r? , λ, φ) = const. ,
(28)
con Φg el potencial gravitatorio. Definiendo r = r? + ξe como el nivel imaginario del
mar que resultarı́a de la presencia de las fuerzas de marea, la superficie correspondiente
estarı́a descrita por
Φg (r? + ξe , λ, φ) + Φ(r? + ξe , λ, φ) = const .
(29)
El hecho que ξe r permite desarrollar el primer término en series de Taylor. El
resultado es
ξe
∂Φg
∂r
+ Φ(r? + ξe , λ, φ) = const. ,
(30)
donde el primer término del desarrollo se incorpora en la contante (que toma un
nuevo valor). La elección del origen del potencial
es arbitrario. La constante se toma
∂Φg
de tal modo que ξe = 0 si Φ = 0. Puesto que ∂r = g, esto conduce a
ξe = −
Φ
.
g
(31)
Si en esta expresión se sustituyen los potenciales generadores de marea se tienen
que las amplitudes correspondientes a las mareas de equilibrio que son 36.4 cm para la
Luna y 16.8 cm para el Sol.
4.
Constituyentes de aguas someras. Mareas no lineales
Como consecuencia de los estudios de Gauss (en números complejos), Cauchy (en
la resolución de ecuaciones en derivadas parciales), a principios del s.XVIII, fue posible comenzar con los estudios teóricos del movimiento mareal en aguas someras. En la
publicación de Airy de 1842 se muestra que debido al carácter no lineal de la propagación, una onda sinusoidal pura puede llegar a distorsionarse por efectos no lineales que
producen armónicos de ordenes mayores.
Debido a la distorsión de la marea durante su penetración desde aguas relativamente
profundas hasta aguas someras y estuarios, la descripción de la marea empleando sólo
constantes de aguas profundas (de origen astronómico) es inadecuado. Las constituyentes de aguas someras deben ser entonces consideradas. Desde un punto de vista teórico,
las constituyentes de aguas someras son infinitas, pero en la práctica sólo un número
finito de ellas son importantes. Cuando se estudia la marea en un punto de la costa, y
18
más aún en el interior de una bahı́a, rı́a, estuario, es preciso tener en cuenta que las mareas se ven afectadas por fenómenos de contorno tales como la resonancia, la reflexión,
la fricción, etc. que modifican sus caracterı́sticas de amplitud y fase fundamentalmente.
Estos fenómenos pueden estudiarse dinámicamente utilizando la teorı́a de las ondas
largas. Pero también pueden tenerse en cuenta en el análisis armónico en la mayor parte
de los casos.
Los fenómenos de distorsión, resultantes de la acción de los contornos sobre las mareas, producen la aparición de una serie de constituyentes llamadas de “aguas someras”
o de “profundidades reducidas”. Estas componentes son de dos clases:
1. Sobremareas: cuya velocidad angular es un múltiplo exacto de las componentes
astronómicas y que se designan por M 4, M 6, M 8 ... , S4, S6, ... indicando con
el subı́ndice que su periodo es la mitad, la tercera o la cuarta parte del M 2 ó S2
2. Mareas compuestas: cuyo periodo es la suma o diferencia de los periodos de dos
o más constituyentes astronómicas. Se designan por M S4 (M 2 + S2), 2M S6
(2M 2 + S2), 2M S2 (2M 2 − S2), etc.
Al efectuar el análisis armónico de la marea en profundidades reducidas es pues
necesario considerar alguna de estas componentes. Normalmente las más importantes
serán las originadas por las componentes astronómicas de mayor importancia, M 2, S2.
Las más importantes, por ejemplo, en el Guadalquivir, son las sobremareas asociadas
a la M 2 y a la S2: M 4, M 6, M S4, etc.
5.
Mecánica celeste y mareas
Algunas definiciones a priori:
Dı́a solar: TJ = 24h. Frecuencia ωJ = 2π/TJ . Tras un dı́a solar un punto fijo
en la superficie terrestre tiene la misma orientación con respecto al Sol.
Dı́a sidéreo: Td,s = 23h 56m. Td,s = 0,9973 · TJ . Frecuencia Ω = 2π/Td,s . Tras un
dı́a sidéreo, un punto fijo en la tierra tiene la misma orientación con respecto a
una estrella fija. Ası́, un dı́a sidéreo es T2 /(1 + T2 ) dı́as solares, puesto que en un
año la Tierra realiza una revolución completa alrededor del Sol.
Dı́a lunar: TL = 24h 50m. Frecuencia ω = 2π/TL .
Mes sidéreo: Tm,s = 27,32166 dı́as solares, con respecto a las estrella fijas.
Año solar: T2 = 365,242 dı́as solares. Frecuencia ω2 = 2π/T2 .
Año sidéreo: Ta,s = 366,256 dı́as sidéreos.
Periodo lunar: Tm = 29,5306 dı́as solares (mes sinódico). Tras un periodo lunar,
el sistema Tierra-Luna tiene la misma orientación con respecto al Sol.
19
Figura 11: Panel izquierdo: Esquema mostrando la rotación de la Luna y la Tierra alrededor del Sol.
Panel derecho: Esquema que muestra el movimiento de la Luna para un observador situado en una
Tierra bajo rotación.
En primer lugar, se determinará el mes sidéreo Tm,s ≡ T1 . Este periodo de revolución
del sistema Tierra-Luna alrededor de su CdM será menor que el periodo lunar, puesto
que no tiene en cuenta la rotación del sistema T-L alrededor del Sol.
La Fig. 11 muestra que tras un periodo Lunar Tm la Luna ha rotado sobre un ángulo
2π + α con una velocidad angular ω1 = 2π/T1 (2π adicional debido a la rotación de la
Luna alrededor de la Tierra). Entonces
2π + α = 2πTm /T1 .
(32)
En el mismo periodo la Tierra ha rotado sobre un ángulo α con una velocidad
angular ω2 = 2π/T2 , ası́ que
α = 2πTm /T2 .
(33)
Para estas relaciones se tiene que
1
1
1
+
=
,
Tm T2
T1
(34)
por tanto, T1 ≡ Tm,s = 27,3213 dı́as solares. Ahora puede obtenerse una expresión
para el dı́a Lunar TG . Después de un tiempo TG un punto fijo en la Tierra tiene de nuevo
la misma orientación respecto de la Luna (Fig. 11). Tras un dı́a Lunar, un punto fijo en
la Tierra ha rotado respecto del centro de la Tierra un ángulo 2π + β con una velocidad
angular Ω = 2π/Td,s (el 2π adicional es a causa de la rotación de la Tierra sobre su
propio eje). Ası́,
2π + β = 2πTG /Td,s .
(35)
En ese mismo tiempo, la Luna ha rotado un ángulo β a velocidad angular ω1 , ası́ que
20
β = 2πTG /T1 .
(36)
Combinando estas dos últimas expresiones se llega a
TG =
Td,s
,
1 − (Td,s /T1 )
(37)
o bien TG = 24h 50m 28s.
5.1.
Lista de constituyentes y origen
En este Tema se ha mostrado que el periodo principal Lunar y el principal Solar son
la constituyente M2 (de frecuencia 2ωG ) y la S2 (de frecuencia 2ωJ ), respectivamente.
A continuación, se muestran otras constituyentes mareales y se indica brevemente su
origen.
Efecto de la declinación :
Mareas de largo periodo. Mareas ecuatorial y tropical. Mareas equinocial y
solsticial.
Marea
Mf
Ssa
Origen
Lunar
Solar
Frecuencia
2ω1
2ω2
Periodo
T /2 ≈ 13,6 dı́as
T2 /2 ≈ 182,6 dı́as
Al incrementarse la intensidad de las mareas diurnas, las semidiurna decrece
y viceversa. Las fuerzas semidiurnas máximas tienen lugar cuando tanto
la Luna como el Sol están en el plano ecuatorial. Al contrario, cuando la
declinación de estos astros es grande (se desplazan al N y al S del Ecuador)
las mareas semidiurnas son menores. Por ejemplo, las mareas semidiurnas se
reducen un 23 % cuando la Luna presenta su máxima declinación de 28,6◦ .
La contribución semidiurna solar se reduce un 16 % cuando la declinación
solar alcanza su máximo de 23,5◦ (solsticios). En marzo y septiembre cerca
de los equinoccios, con el Sol sobre el Ecuador, la contribución semidiurna
solar se ve maximizada con el resultado de que las mareas vivas cerca de los
equinoccios son mayores de lo habitual. Estas mareas se denominan mareas
vivas equinociales11 .
Mareas diurnas. Localmente, el forzamiento diurno mostrará una modulación a causa de que el ángulo de la declinación cambia con el tiempo. La
11
A veces conocidas como las mareas de Santiago
21
componente de la fuerza mareal diurna causada por la Luna es proporcional
a la siguiente expresión
cos(ωG t) cos(ω1 t) =
1
1
cos (ωG − ω1 )t + cos (ωG + ω1 )t ,
2
2
(38)
que resulta en la manifestación de las siguientes constituyentes:
Marea
O1
K1
P1
K1
Origen
Lunar
Lunar
Solar
Solar
Frecuencia
ωG − ω1
ωG + ω1 ≡ Ω
ωJ − ω2
ωJ + ω2 ≡ Ω
Periodo
25,823 horas
23,93 horas
24,07 horas
23,93 horas
En la práctica, la K1 de origen Solar es indistinguible de la Lunar y se combinan en una única marea denominada K1 .
Mareas semidiurnas adicionales.
Marea
K2
K2
Origen
Lunar
Solar
Frecuencia
2(ωG + ω1 ) = 2Ω
ωJ + ω2 ≡ 2Ω
Periodo
11,97 horas
11,97 horas
Del mismo modo que con la K1 , la K2 Solar y Lunar son indistinguibles y
se combinan en una sóla K2 .
Efecto de la elipticidad de las órbitas :
Debido a la (cuasi) elipticidad de las órbitas, nuevos armónicos de marea son
generados. Considerando la órbita elı́ptica de la Luna alrededor de la Tierra,
resulta que esta elipse rota alrededor de la Tierra con un periodo de 8,85 años
(frecuencia ωs , 118 meses sidéreos), tal y como se ilustra en la Fig. 12.
La frecuencia del movimiento del apogeo Lunar es (ω1 −ωs ), cuyo periodo es 27,56
dı́as. En el caso de la Luna aparecen nuevas constituyentes mareales:
Marea
Mm
N2
L2
Q1
2N2
Origen
Lunar
Lunar
Lunar
Lunar
Lunar
Frecuencia
(ω1 − ω3 )
2ωG − (ω1 − ω3 )
2ωG + (ω1 − ω3 )
ωG − ω1 − (ω1 − ω3 )
2ωG − ω1
Y en el caso del Sol:
22
Periodo
27,56 dı́as
12,66 horas
12,19 horas
26,87 horas
12,90 horas
Marea
Sa
T2
π1
Origen
Solar
Solar
Solar
Frecuencia
ω2
J
2ω − 2ω2
2ωG − 2ω2
Periodo
365,25 dı́as
12,01 horas
24,13 horas
Otros efectos :
Ciclo nodal de 18,6 años. En este periodo los puntos de intersección del
plano orbital Lunar y el plano ecuatorial rotan alrededor del centro de la
Tierra. Este ciclo es reconocible tanto en variaciones del nivel del mar como
en depósitos marinos. Incrementos en el rango de la declinación lunar sobre
el periodo nodal de 18.6 años incrementan la amplitud de las mareas lunares
diurnas, que llevan consigo un decremento de las contribuciones semidiurnas.
Estas variaciones nodales, hacen decrecer la marea de equilibrio lunar semidiurna promedio un 3.7 % cuando la declinación es máxima; al contrario, 9.3
años después las semidiurnas recuperan el 3.7 % perdido.
Otras constituyentes importantes son las generadas en aguas someras:
Marea
M4
M S4
M6
Origen
No Lineal
No Lineal
No Lineal
Frecuencia
2ωG
ωJ + ωG
3ωG
Periodo
6h 13m
6h 6m
4h 8m
Estas constituyentes no están generadas por fuerzas generadora de marea,
sino por efectos no lineales en la propagación de la onda de marea, i.e.
por términos no lineales en las ecuaciones del movimiento. Por ejemplo, la
constiuyente M4 es debida a la interacción de la marea M2 consigo misma,
la M S4 es debida a la interacción no lineal entre la M2 y la S2 , etc.
23
Figura 12: Precesión del movimiento elı́ptico de la Luna alrededor del Sol.
6.
6.1.
Mareas reales. Análisis Armónico
Introducción
La descripción y predicción de la marea real es un punto dado puede (afortunadamente) llevarse a cabo sin necesidad de considerar la respuesta dinámica global de
los océanos a las fuerzas generadoras. Puesto que el potencial generador actúa en frecuencias bien definidas, el nivel de mar observado y las variaciones de las corrientes de
marea pueden descomponerse en series armónicas de las constituyentes a esas mismas
frecuencias, con la adición, como veremos después, de algunos efectos no lineales en
la respuesta local. La predicción de marea astronómica en zonas costeras está basada
en la descripción de la marea a partir de constantes que pueden ser determinadas mediante análisis armónico aplicado a una serie de marea observada. Un análisis de este
tipo permite predecir de forma precisa las mareas. Puesto que la amplitud y la fase de
cada constituyente mareal puede determinarse mediante observación, se puede medir,
y puesto que los periodos son bien conocidos a partir de la información astronómica,
las mareas se pueden predecir razonablemente bien en cualquier lugar.
En lı́neas generales el análisis armónico consiste en medir el nivel del mar durante
cierto tiempo y, utilizando uno de los métodos de ajuste existentes, extraer las amplitudes y fases de las ondas constituyentes en las frecuencias conocidas. De hecho,
es análisis armónico es uno de los éxitos más importantes en el campo de la oceanografı́a fı́sica, basado únicamente en el análisis de una única serie temporal y no en la
comprensión de la respuesta dinámica del océano. Dronkers (2005) da varios métodos
de análisis. Aquı́ hablaremos sólo de los mı́nimos cuadrados. Pawlowicz (basado en
desarrollos previos de Foreman) emplea mı́nimos cuadrados.
Uno de los parámetros importantes dentro del análisis armónico de las mareas son
24
la longitud del registro de niveles que constituye la información de partida y el número
de componentes a utilizar. El periodo de datos requerido depende naturalmente del
número de componentes que se deseen determinar y de los periodos de éstas. Hay
que tener en cuenta que para poder separar componentes de frecuencias parecidas es
necesario tener varios ciclos de conjunción de fases. Según Dronkers (2005), con 29 dı́as
es suficiente para determinar de forma aproximada las 8 ó 10 constituyentes diurnas y
semidiurnas principales, más alguna de las constituyentes de profundidades reducidas.
La longitud estándar que se considera en el análisis armónico es de 369 dı́as. El número
de componentes depende de la exactitud requerida; deben utilizarse al menos 30. A
esto habrı́a que añadir errores en la medida, marea meteorológica, corrientes en aguas
someras y otros efectos no periódicos registrados en el mareógrafo.
Si llamamos ξ(τ ) al nivel de mar en tiempo τ con respecto a un nivel de referencia
previamente definido, el problema trata de obtener los 2k + 1 valores α0 , αn , βn los
cuales representan el valor medio α0 y las amplitudes y las fases (αn , βn ) consideradas
que hagan que la expresión
ξ(τ ) = α0 +
k
X
αn cos(ωn τ + βn )
(39)
n=1
aproxime lo mejor posible al registro ξτ . Supongamos que se ha efectuado un registro
horario de mareas durante 369 dı́as (8857 observaciones) y que pretendemos obtener el
nivel medio más las amplitudes y fases de 64 componentes (129 incógnitas).
Normalmente se toma como origen de tiempos el centro del registro. Sean ξτ , τ =
(−p, −p + 1, . . . , 0, . . . , p − 1, p) el total de las observaciones horarias con respecto al
tiempo central (τ = 0) y expresando la ecuación anterior de la forma
ξ(τ ) = A0 +
k
X
An cos(ωn τ ) +
n=1
k
X
Bn sin(ωn τ )
(40)
n=1
p
donde α0 = A0 , αn = A2n + Bn2 , βn = arctan(−Bn /An ). La idea es buscar los
parámetros libres mediante un método de mı́nimos cuadrados, esto es, minimizando el
error
2
=
p
X
|ξ(τ ) − ξm |2 .
(41)
m=−p
A la diferencia ξ(τ ) − ξm se le denomina resı́duo meteorológico y contiene información
sobre “todo lo que no es astronómico”, en particular, sobre la marea meteorológica.
Las condiciones para que el error sea mı́nimo son
∂2
∂2
∂2
=
=
= 0,
∂A0
∂An
∂Bn
que constituyen las ecuaciones siguientes
25
n = 1 . . . k.
(42)
p
X
(ξ(τ ) − ξm ) = 0
(43)
m=−p
p
X
(ξ(τ ) − ξm ) cos(ωm τ ) = 0
(44)
(ξ(τ ) − ξm ) sin(ωm τ ) = 0.
(45)
m=−p
p
X
m=−p
con n = 0 . . . k. Sustituyendo la Eq. 40 en Eq. 43 y haciendo cuentas se llega a transformar las Eq. 43 en
A0 N +
k
X
(46)
p
k
X
1X
ξm cos(ωs τ )
An fns =
2
m=−p
(47)
p
k
X
1X
Bn gns =
ξm sin(ωs τ )
2
m=−p
(48)
n=1
A0 S(ωs ) +
p
X
ξm
An S(ωn ) =
m=−p
n=1
n=1
para s = 1, 2, 3..., k, N = 2p + 1, S(x) = sin((n + 1/2)x)/ sin(x/2), fns = S(ωn − ωs ) +
S(ωn + ωs ) y gns = S(ωn − ωs ) − S(ωn + ωs ).
De este sistema de 2k + 1 ecuaciones se pueden determinar las 2k + 1 incógnitas
A0 , An y Bn con lo cual está resuelto el problema y puede efectuarse la predicción de
mareas en el futuro a partir de, por ejemplo, Eq. 40 o Eq. 39.
El uso del análisis armónico en el problema de la propagación de la onda de marea puede llevar consigo importantes resultados sobre la reflexión completa o parcial
de ondas sinusoidales, el problema del carácter oscilatorio del movimiento mareal, la
influencia general de la fricción del fondo (amortiguamiento de la marea), la información contenida en el resı́duo meteorológico, sobre la variabilidad espacio temporal de las
constituyentes, la predicción de elevaciones y corrientes mareales, etc. Algunos ejemplos
se esquematizan en las Figs. 13 y 14.
6.2.
Práctica análisis armónico
En esta práctica se realizará el análisis armónico de un registro de elevaciones de
Puertos del Estado. Concretamente, de los datos del Mareógrafo del Puerto de Sevilla
(Esclusa)12 . Se proporcionará a los alumnos un documento en pdf con información de
Puertos del Estado sobre el mareógrafo e información climática del nivel del mar en
esa posición. El análisis armónico se realiza con la herramienta estándar de uso en
12
Conjunto de Datos REDMAR. Código BD:3338.
26
Figura 13: Análisis armónico de un registro de marea del Puerto de Sevilla (datos de Puertos del
Estado) medido en el estuario del Guadalquivir (aprox. 85 km de la desembocadura). En azul se
muestra la serie de datos original, en verde la predicción mareal y en rojo el residúo meteorológico. Las
sobreelevaciones observadas en torno al 06-May-1996, que dejan su traza en el residuo, fueron inducidas
por el caudal de agua dulce descargado desde la presa de cabecera de Alcalá del Rı́o. Estos resultados
han sido generados haciendo uso del paquete de funciones de MatlabT M T − T IDE de Pawlowicz para
análisis armónico.
Figura 14: Variación longitudinal en el estuario del Guadalquivir y plataforma continental interior
de las constituyentes armónicas semidiurnas y cuarti-diurnas de las elevaciones (en metros). Las barras
de error representan el intervalo de confianza al 95 %. Esta información, proporcionada también por un
análisis armónico de datos experimentales, es relevante para el estudio de la reflexión mareal, posibles
resonancias, identificación de procesos dominantes (procesos no lineales como la fricción), etc.
27
oceanografı́a T-TIDE 13 , programado en MatlabTM y basado en un desarrollo previo de
Foreman (Foreman, 1996; Pawlowicz et al., 2002). Este análisis proporciona la amplitud
y la fase de los armónicos resueltos.
1. En la carpeta que se indicará en clase, los alumnos dispondrán de las funciones de
MatlabTM necesarias para el desarrollo de la práctica. Aparte de otros archivos,
la carpeta incluye los archivos
a) ’Sevilla-Esclusa-NIVEL-MAR-3338.pdf’ con información climática y técnica
del mareógrafo.
b) ’APSevilla.dat’. Contiene datos ordenados en dos columnas: tiempo en dı́as
julianos y elevaciones en centı́metros.
c) ’CaudalCabecera.dat’. Contiene datos ordenados en dos columnas: tiempo
en dı́as julianos y caudal descargado por la presa de cabecera del estuario
del Guadalquivir, ubicada en Alcalá del Rı́o.
d ) ’Analisis armonico wrapper.m’. Esta función de MatlabTM es un envoltorio
para facilitar el uso de las subrutinas de T-TIDE para llevar a cabo el análisis
armónico.
2. Con el material descrito en el punto anterior, se pide
a) Cargar los datos del archivo ’APSevilla.dat’ en el espacio de trabajo de
MatlabTM con la función load. Realizar una figura con la instrucción plot que
represente la elevación en función del tiempo (dateaxis para que el tiempo
se visualice en formato fecha).
b) Con los datos necesarios, ejecutar la función ’Analisis armonico wrapper.m’
y realizar el análisis14 .
c) Interpretar los resultados de la figura producida y responder a las siguientes
cuestiones:
1) ¿Cuáles son las constituyentes de mayor amplitud? ¿Qué origen astronómico tienen esas constituyentes?
2) Cómparese los resultados (amplitudes y fases) con los obtenidos en Bonanza, la desembocadura (a 85km de Sevilla), mostrados en la Tabla 1.
13
http://www2.ocgy.ubc.ca/~rich
Como puede deducirse de las entradas requeridas de la función ’Analisis armonico wrapper.m’
(teclear en la ventana de instrucciones ’help Analisis armonico wrapper.m’). Para realizar el análisis
armónico se requiere, como mı́nimo,
1) un vector de tiempos,
2) un vector de elevaciones (las correspondientes a cada tiempo),
3) latitud del instrumento de medida (especificada en ’Sevilla-Esclusa-NIVEL-MAR-3338.pdf’) y
4) el periodo de muestreo de los datos Ts .
14
28
Tabla 1: Amplitudes en cm y fases en grados Greenwich estimadas al 95 % del intervalo
de confianza, separadas por especies y obtenidas tras el análisis armónico de las elevaciones registradas en el mareógrafo de Puertos del Estado ubicado en en fondeadero de
Bonanza, en la desembocadura del estuario del Guadalquivir.
Amp.(cm)
Fase (◦ )
M2
92,4
61,74
S2
32,60
90,7
N2
19,2
46,2
K1
6,51
52,7
Q1
1,82
280,6
O1
6,4
332,5
M4
3,81
92,8
M S4
1,84
103,9
M N4
2,08
70,2
M6
1,4
279,0
2M S6
1,60
294,8
2M N6
0,87
270
M Sf
3,9
32
Estime cuánto tiempo tarda la marea en propagarse desde la desembocadura hasta el Puerto de Sevilla. ¿Podrı́a explicar las diferencias
observadas entre las amplitudes obtenidas en Sevilla y en Bonanza para
las constituyentes indicadas en la Tabla 1?
3) ¿Cuál es el % de la varianza (energı́a) de la señal original que es capaz
de explicar o reproducir los armónicos resueltos en este análisis?
4) ¿En qué intervalo de tiempo se producen las mayores diferencias entre
la señal original y la predicha por el análisis armónico? ¿A qué puede
ser debida esta diferencia?
3. (Opt.) Se pretende realizar un análisis armónico reducido de los datos de elevaciones contenidos en el archivo ’aaM2S2.dat’. Reproduzca el desarrollo teórico indicado anteriormente (Eqs. 39–Eq. 6.1), que es el fundamento del análisis armónico,
para las constituyentes armónicas M2 (TM 2 ≈ 12,42 horas) y S2 (TS2 = 12,00 horas) únicamente. Resuelva el sistema de ecuaciones resultante con MatlabTM para
obtener las amplitudes y las fases correspondientes teniendo en cuenta los datos
de elevaciones proporcionados en el archivo ’aaM2S2.dat’.
29
Mm
1,6
7