4 La función logaritmo natural y derivadas impl´ıcitas

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La función logaritmo natural y derivadas
implı́citas
Tratemos de evaluar la siguiente integral
sultado es
Z
R
1
xn
dx. Todos sabemos que el re-
x−n+1
+ c.
−n + 1
x−n dx =
Sin embargo, se tienen problemas cuando n = 1. Esto es precisamente lo
que motiva a definir a la función logaritmo.
Z
ln(x) =
x
1
1
dt,
t
para x > 0.
Del teorema fundamental del cálculo sabemos que si G(x) está definida
como
Z
G(x) =
x
f (t) dt
a
para xǫ [a, b]. Entonces G es una antiderivada de f en [a, b], con lo cual
dG(x)
= f (x).
dx
Para nuestro caso se tiene que
1
d Zx1
dt = ,
dx 1 t
x
o también
d ln(x)
1
= .
dx
x
4.1
Propiedades de la función logaritmo natural
A partir de la definición se encuentra que
ln(1) =
Z
1
1
1
dt = 0.
t
Si y = ln(u) y u = g(x), encontramos que
dy
d ln(u)
1 du
=
=
,
dx
dx
u dx
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para u = g(x) > 0.
Ahora supongamos que p > 0 y x > 0 forman a u = xp, por lo tanto
1 d(xp)
p
1
d ln(xp)
=
=
= .
dx
xp dx
xp
x
Además sabemos que
1
d ln(x)
= ,
dx
x
por lo que podemos decir que
ln(xp) = ln(x) + c,
ya que sus derivadas son iguales. Esta relación es válida para toda x, en
particular para x = 1 se tiene que
ln(p) = ln(1) + c,
o que c = ln(p). Por lo tanto
ln(xp) = ln(x) + ln(p).
• Si x = q con q > 0
ln(qp) = ln(q) + ln(p).
• Si p =
1
q
1
1
ln(q ) = ln(q) + ln( ),
q
q
1
ln(1) = ln(q) + ln( ) = 0,
q
1
ln( ) = − ln(q).
q
Por lo tanto
1
1
p
ln( ) = ln(p ) = ln(p) + ln( ) = ln(p) − ln(q),
q
q
q
p
ln( ) = ln(p) − ln(q).
q
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Ahora consideremos u = xr
1 du
1
d ln(u)
=
= r rxr−1 ,
dx
u dx
x
d ln(xr )
1
= rx−1 = r .
dx
x
Pero sabemos que
d ln(x)
dx
= x1 , por lo que
r
1
d ln(x)
= r( )
dx
x
o también
1
dr ln(x)
= r( ),
dx
x
lo cual lleva a
d ln(xr )
dr ln(x)
1
=
= r( ).
dx
dx
x
Este resultado sugiere que
ln(xr ) = r ln(x) + c,
para toda x. En particular para x = 1 se tiene
ln(1) = r ln(1) + c,
llevando a que c = 0 y que
ln(xr ) = r ln(x).
4.2
Derivadas implı́citas
En muchas ocasiones se nos pide encontrar la derivada de una función que
depende en x, sin tener una expresión explı́cita de esa función en términos
de x. En estos casos hay que recurrir a la derivación implı́cita. Supongamos
que tenemos la ecuación
x2 y + y 4 − 6x = 8y 2 + 6,
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dy
. Es claro que no podemos despejar a la variable y
y nos piden obtener a dx
para tenerla en términos de x exclusivamente. Por lo tanto, vamos a derivar
ambos lados de la ecuación para tener
2xy + x2
como nos piden a
y factorizamos
dy
,
dx
dy
dy
dy
+ 4y 3
− 6 = 16y ,
dx
dx
dx
agrupamos a los términos que contienen esta cantidad
dy 2
(x + 4y 3 − 16y) = −2xy + 6.
dx
Finalmente despejamos a
dy
dx
dy
(−2xy + 6)
= 2
.
dx
(x + 4y 3 − 16y)
En muchos problemas aparece la función logaritmo natural, trabajemos
dy
a partir
en un ejemplo donde aparece esa función. Encontrar la derivada dx
de la siguiente expresión
x
y 2 + ln( ) − 4x + 3 = 0.
y
Al derivar implı́citamente se obtiene que
(4 − x1 )
dy
=
.
dx
(2y − y1 )
Ejercicios:
• Obtener
dy
,
dx
y evaluarla en el punto P indicado:
–
2xy
+ sen(y) = 2, P (1, π/2).
π
–
2y 3 + 4xy + x2 = 7, P (1, 1).
–
x + tan(xy) = 2, P (1, π/4).
• Encontrar los puntos sobre la gráfica de la función y = x2 + 4 ln(x), en
los cuales la recta tangente es paralela a la recta y − 6x + 3 = 0.
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