Teoría de Probabilidades

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SCHAUM
PROBLEMAS
COMPENDIOS
y
DE
TEORIA
SERIE
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SEYMOUR
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Ph.D.
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Profesor Asociado de Matemáticas
Universidad de Temple
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DUQUE
FERRO
ALFREDO
ADAPTACION
y
TRADUCCION
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Profesor de la Universidad Nacional de Colombia.. Bogotá
.
TORONTO
YORK
NUEVA
PAULO
SAO
SIDNEY
JOHANNESBURG
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DUSSELDORF SINGAPUR
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LONDRES
BOGOTA
MEXICO
PANAMA
LIBROS McGRAW-HILL
J
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Ci(c--?~A~~::
INTRODUCCION
Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. Si un dado es
lanzado al aire, entonces hay certeza que caerá, pero no es cierto afirmar que aparecerá un 6. Sin
embargo, supongamosque repetimos el experimento de lanzar el dado; sea s el número de aciertos,
esto es, el número de vecesen que un 6 aparece,y sea n el número de jugadas. Se sabeentoncesque
empíricamente la relación f = sIn. llamadafrecuenciarelativa. tiende a estabilizarsea la larga, o
sea que se aproxima a un límite. Esta estabilidad es la base de la teoría de la probabilidad.
En teoría de probabilidad, definimos un modelo matemático de los fenómenosanteriores asignando "probabilidades" (o: valores límites de las frecuencias relativas) a los "eventos" asociados con un
experimento. Naturalmente, la seguridad en nuestro modelo matemático para un experimento dado
dependedel acercamientode las probabilidades asignadascon la frecuenciareal relativa. Esto da origen
entoncesa los problemas de verificación y confiabilidad que constituyen el tema principal de la estadística.
Históricamente,
la teoría de la probabilidad
comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales
C9mola ruleta y las cartas. La probabilidad p de un evento A se definió como sigue: si A puedeocurrir
-8
=
P(A)
=
p
de s maneras entre un total de n igualmente posibles, entonces
n
Por ejemplo, al tirar un dado puedesalir un número par de 3 maneras, de las 6 "igualmente posibles";
o sea, p =
= l. Esta definición clásica de probabilidad está viciada, esencialmente, puesto que
defi-
sido
ha
no
que
probabilidad"
igual
"con
de
la
que
misma
la
es
posible"
"igualmente
de
idea
la
t
nida. El tratamiento moderno de la teoría de la probabIlidad es puramente axiomático. Esto significa
que las probabilidades de nuestros eventos pueden ser. perfectamente arbitrarias,
excepto que ellas
deben satisfacer ciertos axiomas que se enuncian posteriormente. La teoría clásica corresponderá al
caso especial de los así llamados espacios equiprobables.
espacio
el
vacío
S.
muestra.
y
imposibilidad),
conjunto
muestral
o
llama
se
(o
El
espacio
muestral
dado
del
punto
un
elemental.
imposible
evento
evento
subconjunto
llama
experimento
se
el
llama
un
S.
un
se
S
E
denomina
se
a
palabras,
de
de
posibles
elemento
otras
un
en
veces
algunas
simple
o,
es,
resultados
resultados
muestra
~
una
el
de
de
esto
los
todos
particular,
de
S
conjunto
eventos;
consta
un
que
son
I
sí
a
es
resultado
conjunto
Un
A
por
de
I
evento
S
evento
y
~
El
Un
muestral.
El
ESPACIO MUESTRAL y EVENTOS
S el evento cierto o seguro.
Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones con
conjuntos:
simultáneamente;
suceden
B
y
A
si
sólo
y
si
sucede
que
evento
el
es
B
n
A
(ii)
(i) A U B esel eventoquesucedesi y sólosi A o B o ambossuceden;
iR
(iii) Ac, (complemento de A), es el evento que sucede si y sólo si A no sucede.
3]
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
39
Dos eventosA y B son llamadosmutuamenteexclusivossi son disyuntos,estoes, si A n B =
~. En otras palabras,sonmutuamenteexclusivossi no puedensucedersimultáneamente.
Ejemplo3.1: Experimento:Lánceseun dado y obsérvese
el númeroque apareceen la cara superior.Entoncesel
espacio muestral consiste en los seis números posibles:
s=
, 2, 3,4, 5, 6 I
,3,51,
=
B
12.4.61.
=
A
SeaA el eventode salir un númeropar, B de salir impar y C de salir primo:
C=12,3,SI
Entonces:
A U C = I 2, 3, 4, 5, 6 1 esel eventode queel númeroseapar o primo;
B n c = 13,51 esel ev~ntode queel númeroseaimparprimo;
cc
= 11,4,61 es el evento de que el número no sea primo.
Obsérvese
que A y B son mutuamenteexclusivos:A n B = 0; en otras palabras.un númeropar
y un impar no pueden ocurrir simultáneamente.
ocho
los
por
constituido
está
S
s
muestral
espacio
El
Ejemplo 3.2: Experimento: Láncese una moneda 3 vecesy obsérvesela serie de caras (H) y sellos (T) que aparecen.
elementos:
= I HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
SeaA el eventoen que doso máscarasaparecenconsecutivamente,
y B aquelen quetodoslos resul-
TTT
{HHH,
=
B
y
I
THH
HHT,
HHH,
I
=
A
tados son iguales:
EntoncesA n B = I HHH I es el eventoelementalen que aparecencarassolamente.El eventoen
que aparecen5 caras es el conjunto vacío 9}.
Ejemplo 3.3: Experimento: Láncese una moneda hasta que aparezca una cara y luego cuénteseel número de veces
que se lanzó la moneda. El espacio muestral de este experimento es S = 11,2,3, . . ., ~ l. Aquí el
~ se refiere al caso de que no aparezca nunca una cara y así la moneda se lanza un número infinito de
veces. Este es un ejemplo de un espacio muestral que es contab/emente infinito.
Ejemplo 3.4: Experimento: Sea un lápiz que cae de punta. en una caja
rectangular y obsérveseel punto del fondo de la caja donde
el lápiz toca primero. Aquí S está formado por todos los
puntos de la superficie del fondo. Representemosestos
puntos por el área rectangular dibujada a la derecha.Sean
A y B los eventos en que el lápiz cae en las respectivas
áreas ilustradas en la figura. Este es un ejemplo de un espacio muestral que no es finito ni siquiera contablemente
infinito. esto es. que es no contable.
. Si el espaciomuestraj)S es infinito
s
o contablementeinfinito, entoncescada subconjunto de S es
un evento. Por otra parte, si S es no contable, como en el ejemplo 3.4, entoncespor razonestécnicas (que caen fuera del alcance de este texto), algunos subconjuntosde S no puedenser eventos. Sin embargo, en todos los casoslos eventosforman una u-álgebra E de subconjuntosde S.
,.c
~~
~
CAP.
~~¡,,;~;
INTRODUCCION A L,
si
A
definida
reales
evento
del
valores
de
probabilidad
función
la
una
P
llamada
sea
y
es
P(A)
eventos
y
de
la.clase
c
probabilidad.
de
sea
función
muestral,
llama
l.
~
P(A)
~
O
A,
evento
axiomas:
l.
todo
=
Para
los siguientes
P(S)
[Ps]
[Pl]
se cumplen
se
espacio
P
un
S
Entonces
c.
en
Sea
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
. ..
P(B)
P(A)
=
+
...
+
P(As)
+
P(AI)
=
.)
.
.
U
es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces
As
Al, A2,
U
Si
P(A1
[P4]
UB)
P(A
[Pa] Si A Y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces
Las siguientesobservacionesconciernenal orden en que estánlos axiomas [Pa] y [P4] . Ante todo,
al utilizar [Pa] y la inducción matemática podemos probar que para eventos mutuamente exclusivos
Al, As,.. .,A..,
P(A1UA2U...
UA,,)
=
...
+ P(A2) +
P(A1)
+ P(A,,)
(*)
Hacemos énfasis en que [P.] no proviene de [Pa] ni siquiera (*) se cumple para todo entero positivo
n. Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P.] es superfluo
Ahora
probamos
un número
de teoremas
que se deducen directamente
de nuestros axidmas.
Teorema3.1: Si.o esel conjuntovacío,entoncesP(.o) = o.
Demostración:SeaA un conjunto;entoncesA y .o sondisyuntosy A U .o = A. Por [Pa],
=
P(A)
=
P(AU!1J)
P(A)+P(!1J)
=
P(AC)
entonces
A,
evento
un
de
complemento
el
es
AC
Si
3.2:
Teorema
RestandoP(A) de ambosladosobtenemosel resultado.
P(A).
P(AC)
+
P(A)
obtiene
=
se
[Ps]
y
P(AUAC)
= P(S)
1
=
[Pa]
Por
AC.
U
=
esto es, S
A
Demostración:El espaciomuestralS se puededescomponer
en los eventosA y AC mutuamente
exclusivos,
~
P(A)
entonces
B,
C
A
Si
3.3:
Teorema
de lo cual se desprendeel resultado.
P(B).
de-
la
a
ilustra
se
+ P(B""A)
Con lo cual secompruebael enunciadopuestoque P(B""A) ~ O.
sombreado.
= P(A)
P(B)
Así
B
recha).
(como
exclusivos
mutuamente
A
B""
y
eventos'A
Demostración:Si A C B, entoncesB sepuededescomponer
enlos
A""B
Demostración:
exclusivos
A se puede descomponer
y AnB;
esto es, A
B)
n
P(A
P(A)-
=
B)
""
P(A
Teorema 3.4: Si A Y B son dos eventos,entonces
en los eventos mutuamente
= (A
""B)U(AnB).
Por consiguiente, por [Pa],
P(A)
= P(A""B)
de lo cual se obtiene el resultado.
+
p(AnB)
A sombreado.
42
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
[CAP.
3
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
- \--,
de
probabilidad,
un
si
uniforme.
Además,
l/no
o
de
S
finito
es
palabras,
otras
En
punto
equiprobab/e
espacio
espacio
Un
cada
de
=!.
elementos
A
de
n
de
S
número de maneras en que el evento A puede suceder
número de maneras en que el espacio muestral S puede suceder
~
-
P(A)
n
v
n
elementos
de
número
=
P(A)
evento A contiene r puntos entoncessu probabilidad es r.!
número
sugieren que se asignen iguales
llamará
muestral.
probabilidad
la
se
espacio
del
probabilidad,
entonces
misma
resultados
la
puntbs
n
contiene
tiene
diferentes
los
a
muestral
S
punto
si
cada
particular,
En
donde
probabilidades
Frecuentemente, las características físicas de un experimento
equiproba-
formalmente,
espacio
un
es
equiprobable;
S
que
espacio
un
a
significa
S"
respecto
conjunto
un
solamente
de
azar
usará
al
se
punto
azar"
un
"al
expresión
"escoger
proposición
la
La
Hacemos hincapié en que la fórmula anterior para P(A) puede utilizarse solamente con respecto a un
espacio equiprobable, y no puede usarse en general.
ble, estoes,quecadapuntomuestraldeS tienela mismaprobabilidad.
Ejemplo 3.7: Seleccióneseuna carta al aMr de una baraja corriente de 52 cartas. Llamemos
I
K
o
Q
J,
es
figuras,
I
=
B
y
decir
= I espadas
I
A
Calculemos
P(A), P(B) Y P(A n B). Comosetratade un es¡mcio
equiprobable,
= nú~ero
P(A)
de espadas
=
numero de cartas
~
=
!
52
P(B)
=
n~mero
4
de
figuras
=.!!
=
numero de cartas
52
-2--
13
P(A nB) = númerode,espadas
quesonfiguras= -2-numero
de cartas
52
P(A)
Hallar
Y
P(B).
I
defectuosos
no
artículos
dos
I
defectuososI
=
I dos artículos
y
A =
B
Ejemplo 3.8: Sean 2 artículos escogidosal azar de un grupo de 12 de los cuales4 son defectuosos.Sea
Ahora
r:)
= 66 maneras, o número de vecesen que se puedenescoger2 artículos
entre 12;
A puede suceder de (:)
= 6 maneras, o número de vecesen que se puedenescoger2 artículos
defectuosos entre 4 defectuosos;
S puede suceder de
B puedesucederde (:> = 28 maneras,o númerode vecesen quesepuedenescoger
2 artículos
~.
=
~
=
=-¡¡\ = ft
P(B)
Por consiguiente, P(A)
y
no defectuosos entre 8 no defectuosos.
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que por 10 menos un artículo sea defectuoso?Ahora
C = I un artículo por 10 menoses defectuoso
I
33
-
= 1_11 - ~
33
)
B
P(C) = P(BC) = 1- P
(
esel complemento
de B; estoes, C = Bc. Así, por el teorema3..2,
La ventajacon queun eventode probabilidadp sucede,se definecomola relaciónp: (1 - p). Así, la
ventajade que por lo menosun artículoseadefectuoso
es ~: ~ ó 19; 14 queselee "19 a 14".
43
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP. 31
Ejemplo3.9: (Problemaclásicodel cumpleaños.)
Se deseahallar la probabilidadp de quen personas
tenganfechas
diferentes de cumpleaños. Para resolver este problema, no tenemosen cuenta los años bisiestosy suponemos que el cumpleaños de una persona puede caer en un día con igual probabilidad.
Puesto que hay n personas y 365 días diferentes, hay 365ft maneras de que n personaspuedan
cumplir años. Por otra parte, si las n personascumplen en fechasdistintas, entoncesla primera persona
puedenacer en cualquier día de los 365, la segundapuedenacer en cualquiera de los 364 días restantes,
la tercera, en los 363 restantes, etc. Así hay
365.364.363...
(365
-
11,
+ 1)
maneras para que n
personastengan fechasdiferentes de cumpleaños. Por consiguiente,
p -- 365.364. 363
. 365"(365- n + 1) -- 365.365- 365
. . .
365
364
363
365
--
-
11, +
365
-
1
-
Se puede comprobar que para n ~ 23, P <:J¡; en otras palabras, de 23 personasen adelante es más
posible que por los menosdos de ellas tengan el mismo día de cumpleaños,a que todas difieran de fecha.
finito,
pro-
su
caso
el
en
llamado
Como
Pt,
real
.
1
=
Pi
~
=
..
.
+
P2
+
P1
(ii)
y
o
p(
(i)
~
~
número
a cada
un
asignando
S
tal que
E
un espacio de probabilidad
babilidad,
a.
obtenemos
.
= {al, a2,
Sea S un espacio muestral infinito contable; es decir, S
.}.
ESPACIOS MUESTRALES INFINITOS
(=1
La probabilidadP(A) de un eventoA esentoncesla sumade las probabilidades
de suspuntos.
el espacio
muestral
S = 11,2,3,
. . ., ~ I del experimento de lanzar una moneda hasta
que aparezca una cara; aquí n denota el número de vecesen que se lanza la moneda. Un espacio de
Considérese
p(n)
O
= t, ...,
p(2)
=
= t,
p(l)
p(~)
se obtiene designando
...,
probabilidad
l/2ft,
3.10:
=
Ejemplo
longitud de S
area de S
A
de
volumen
=
P(A)
o
A
de
=
P(A)
~rea
Los únicosespaciosmuestralesno contablesS que consideraremos
aquí son aquellosde medida
geométricafinita m(S) talescomo longitud,áreao volumen,y en los cualesun punto seseleccionaal
azar.La probabilidadde un eventoA. esto es, aquellaen que el punto seleccionado
pertenecea A.
esentoncesla relaciónde m(A) a m(S); o sea,
= long~tud de A
o P(A)
volumen de S
Se dice que un espacio de probabilidad tal es uniforme.
Ejemplo3.11: Sobrela líneareal R, seseleccionan
al azarlos puntosa y b talesque -2 ~ b ~ O Y O ~ a ~ 3,
comose muestraluego.Hallar la probabilidadp para quela distanciad entrea y b seamayorque3.
--.,
-2
a
3
El espaciomuestralconstade todaslas parejasor-
sombreada
superficie
la
tanto
lo
por
!.
3
=
!
6
=
A
S
de
de
área
=
Y
forman
P(A)
consecuencia
área
P
=
En
3
=
y
-
diagrama.
del
x
denadas (o. b) y forma así la región rectangular que se
indica en el diagrama adjunto. Por otra parte, el conjunto
A de puntos (o. b) para los cuales d = 0- b > 3 consta de aquellos puntos de S que caen debajo de la línea
Nota: Un espaciode probabilidadfinito o infinito contablese dice que es discreto,y un espaciono
contable se dice que esno discreto.
~
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
44
Problemas
[CAP.
3
resueltos
evento
el
ambos,
no
para
pero
Venn
de
suceden,
B
o
diagrama
A
el
(ii)
represéntese
solamente;
y
A
sucede
expresión
es,
una
esto
no,
Hállese
~
B.
y
pero
A
ocurre
eventos
A
los
(i)
Sean
que:
en
3.1.
ESPACIOS MUESTRALES y EVENTOS
even-
el
Observa-
indicadiJ.
palabras,
(o)
otras
en
figura
la
en
suceden;
como
BC
y
B
a
A
es,
exterior
esto
A
de
suceda;
no
B
superficie
la
que
desde
sombrea
sucede,
se
B),
de
sucede,
B
no
pero
A
Sucede
unode los dosA o B.
B.
no
pero
A
Sucede
Bc.
(complemento
que
BC
n
A
que
Puesto
es
to
mos
(i)
esto es, sucede exactamente uno de los dos eventos.
no ambos.
(b)
(o)
pero
(BnAc).
U
(AnBC)
es
dado
el diagrama
de Venn para el evento
solamente.
A
sucede
y representar
evento
el
Entonces
BnAc.
evento
el
es
(ii)
C.
no
pero
B
y
A
(i)
una expresión
AnBnCc.
es
evento
El
luego.
Puestoque A y B pero no C suceden,se sombrea la intersecciónde A y B que cae fuera de C. como en la figura (o)
indicada
(i)
A
no
pero
B.
y
AnBc;
evento
el
es
Sean los eventos A, By C. Hallar
en que,
suceden
3.2.
B
Puestoque sucedeA o B. pero no ambos, se sombrea la superficie de A y B salvo su interseccióncomo en la figura
(b) anterior. El evento es equivalente a A. si B no sucede;o 3 B. si A no sucede.Ahora, como en el caso (i), A. pero
no
(ii)
SucedenA Y B pero no C.
(ii)
(b)
(o)
A
Sucede
solamente.
(V
Puestoque solamenteA sucede,se sombrea la superficie de A que cae fuera de8 y de C, como en la figura (b) anterior. El evento es A nBcnCc.
\
3.3. Tengamosel caso de lanzar una moneday un dado; sea el espaciomuestral S que consta de doce
(i)
Expresar
explícitamente
los siguientes
eventos:
T61
T5,
T4,
T3,
T2,
TI,
H6,
H5,
H4,
H3,
H2,
HI,
I
s
=
elementos:
= ! aparecen caras y un número par 1,
A
(iii) ¿Cuálesde los sucesos
A, By C son mutuamenteexclusivo&?
sucede
(c)
suceden,
C
Y
B
(b)
suceden,
B
o
A
(o)
que:
en
evento
el
explícitamente
Expresar
solamente.
B
(ii)
B'= I apareceun númeroprimo 1, C = I aparecensellosy un númeroimpar l.
í;i!(,~
del
Los
posibili-
de
ajedrez.
de
doble
el
torneo
tiene
un
en
[CAP. 3
hombre
cada
intervienen
3,
pero
m
m2,
ganar
de
mujeres,
tres
probabilidades
Y
h2,
Y
iguales
1
h
tienen
hombres,
sexo
Dos
mismo
3.7.
mi,
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
46
h
Si
dades de ganar que una mujer. (i) Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo. (ii)
1Y m I soncasados,
hallar la probabilidadqueuno de ellosganeel torneo.
t
=
P
o
1
=
2p
p
".
Sea P(m1) = p; entoncesP(m2)= P(m3) = P y P(h1) = P(h2)= 2p. Luegodesignemos
JXlruno la sumade
de los cinco puntos muestrales: p + p +
las probabilidades
~
=
t
+
t
+
t
=
f
=
3)
p(m
+,
+
t
=
P(m2)
1)
+
1)
p(m
p(m
+
=
1)
P(h
1)
3
m
=
m2,
1,
mIl)
1,
m
h
p(1
p(1
Buscamos, (i) p(1 m 1, m2, m 31) y (ii) p(1 h 1, mil). Entonces por definición,
3.8. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número (por ejemplo, 6 tiene el doble de probabilidad de salir que 3). Sea
~
(i)
l.
impar
número
I
=
C
1,
primo
número
I
=
B
1,
par
número
I
=
A
("
Describir el espacio de probabilidad, esto es, hallar la probabilidad de cada punto muestral.
(ii) Hallar P(A), P(B) Y P(C).
(iii) Hallar la probabilidad de que: (a) salga un número par o primo; (b) salga un número impar
21'
=
P(C)
=
Así
1/21.
=
P
o
1
=
6p
P(5)
A,
P(6)
=
,
~.
=
/¡,
=
=
P«1,3,5})
P( 2,3,5})
+
5p
+
4p
P(4)
{
=
t,
~,
=
P«2,4,6})
P(B)
P(A)
=
(ii)
=
lO
P(l)
+
+
probabilidades
3p
= p. Entonces
P(2)= 2p. P(3)= 3p.P(4)= 4p, P(5)= 5p Y P(6)= 6p.Comola suma
delas
debe ser uno, obtenemos
p + 2p
=2\, P(2) = 2\, P(3)
P(I)
Sea
(i)
primo; (c) sucedaA perono B.
(iii) (a) El eventodequesalgaun númeroparo primo es A U B = 12,4,6,3,51, o que l no salga.Así,
P(A uB) = 1 - P(l) = 21.
(i)
2\.
=
*.
=
P({S,5})
=
P({4,6})
=
P(BnC}
P(AnBc)
Así,
tanto
{S,5}.
lo
=
Por
{4,6}.
BnC
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES
3.9. Determinar la probabilidad p de cada evento:
=
impares
nBc
A
es
primo
B
no
número
pero
A
un
salga
sucede
que
que
de
en
evento
evento
El
El
(c)
(b)
20
j
que salga un número par al lanzar un dado normal;
(ii) que resulte un rey al sacar una carta de una baraja corriente de 52 cartas;
(iii) que aparezcapor lo menos un sello al lanzar tres monedasnormales;
(iv) que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas,
3 rojas y 5 bolas azules.
"
(i)
El eventopuedeocurrir detresmaneras(2,4 Ó6) de 6 casosigualmenteposibles;por consiguientep = i = !.
(ii)
Hay 4 reyesen las52 cartas;por lo tanto p = ~ = /:¡.
(iii)
Si consideramos las monedas marcadas, entonces hay 8 casos igualmente posibles: HHH, HHT, HTH, HTT,
THH, THT, TTH, TTT. Solamenteel prim~r caso no es favorable para el evento deseado;por consiguiente p = ¡.
(iv)
Hay 4
- + 3 + 5 = 12 bolas;delascuales4 sonblancas;por
- lo tanto p = i2
4
1
= s.
!
47
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP. 3]
3.10. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad p de que,
(i) las dos seanespadas,(ii) la una espaday la otra corazón.
52
Hay (2)
(i)
= 1326 manerasde sacar 2 cartas de 52.
Hay (~) = 78 manerasdesacar2 espadas
de 13;o sea
númerode manerasposiblesde sacar2 cartas --
P -(ii)
78 -1326
número de maneras posibles de sacar 2 espadas
1
17
Puestoquehay 13espadas
y 13corazones,
hay 13 . 13 = 169 manerasde sacaruna espaday un corazón;o sea
169
13
P - i328- 102"
3.11.Se escogenal azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas.Hallar la probabilidad
p de que, (i) ninguna sea defectuosa, (ii) una exactamente sea defectuosa, (iii) una por lo menos sea defectuosa.
lámpa-
3
escoger
de
maneras
120
=
r~)
hay
entonces
defectuosas,
no
~.
=
lámparas
~
10
=
=
p
5
-
que
15
Así
hay
que
=m
=¡¡o
Hay 5 lámparasdefectuosas
y (1~) = 45 paresdiferentesde lámparasno defectuosas;
por consiguiente
hay
que
es
45
ninguna
que
en
p
evento
Entonces
del
defectuosa.
complemento
es
H.
=
1-~
=
p
una
el
cuales
es
las
defectuosa
de
sea
lámparas
Entonces
~.
una
3
menos
escoger
probabilidad
(i),
lo
de
por
maneras
que
225
según
evento
tiene
El
225
=
5
defectuosa
4
.
en
5
(iii)
defectuosas.
Puesto
(ii)
no
ras
(i)
Hay (1;) = 455 manerasdeescoger3 lámparasentre15.
25+25-- 00
50-- 9'
5
P -- -00-
Hay
par,
otro
el
y
impar
es
número
un
si
es
impar
maneras
25
=
5
5.
Hay
sustitución.
sin
otra
la
maneras de escoger un número par y uno impar. Así,
que
primero
25
una
=
cartas
5.5
dos
y
sacar
impar,
de
uno
y
maneras
par
un
escoger
número
=
Hay 10 . 9
de
(ii)
90
5 números pares y 5 impares; entonces hay 5.5
suma
La
= 25
cartas.
10
de
2
=
seleccionar
(1:)
de
Hay
maneras
(i)
45
3,12, Se seleccionanal azar dos cartas entre ID cartas numeradasde 1 a ID. Hallar la probabilidad p de
que la suma sea impar si, (i) las dos cartas se sacanjuntas, (ii) se sacan una tras otra sin sustitución, (iii) las dos cartas se sacanuna despuésde la otra con sustitución.
maneras
desacarunnúmero
impary luegounopar;portanto
(iii) Hay 10 . 10 = 100 manerasdesacardoscartasuna después
de la otra consustitución.Comoen (ii), hay 5.5 =
25 maneras de sacar un número par y luego uno impar. y 5. 5
= 25 maneras de sacar un número
impar y luego
25+25 = iOO
50 = 2'
1
unopar;entonces11= roo
3.13. Seis parejas de casadosse encuentranen un cuarto.
(i)
Si se escogen2 personasal azar, hallar la probabilidad p de que, (o) sean esposos,(b) uno
seahombrey otro mujer.
(ii) Si se escogen4 personasal azar, hallar la probabilidad p de que, (o) se escojan dos parejas
de casados, (b) ninguna pareja sean casadosentre los 4, (c) haya exactamenteuna pareja
de casadosentre los 4.
(iii) Si las 12 personasse reparten en seisparejas,hallar la probabilidad p de que, (o) cada pareja
seancasados,(b) cada pareja la forme un hombre y una mujer.
Hay (1:> = 66 manerasdeesooger
2 personas
de las 12.
parejas
de
casados;
por
lo
tanto
=
p
la
=
1\.
~.
maneras de escoger2 parejas de las 6; o sea p
=
= 15
(:>
Hay
~
Hay (~> = 495 manerasdeescoger4 personas
de 12..
(o)
=
(ii)
f¡.
6
=
Hay
(b) Hay 6 manerasde escogerun hombre y 6 manerasde escogeruna mujer; por consiguiente p
~
(o)
=
(i)
(b) Las 4 personas
vienende 4 parejasdiferenfes.Hay (:> = 15 manerasde escoger4 parejasde las 6, y hay 2
d
.
.
2.2.2.2.15 18
maneras e escogerunapersonadecada pareja,
o seaquep
495
¡¡.
=
=
+~=1ÓP=~.
(b)
Cada
uno
de
los
6
hombres
pueden
colocar
en
células
6!
maneras
y
cada
de
las
mujeres
una.
cada
en
6
irl95.
personas
=
2
una
~
=
p
sea
O
ordenadas
6
de
maneras.
6!
de
6
células
a\
+
en
p
personas
tanto
ordenadas
12
lo
células
6
en
se
Por
las
dos.
repartir
estos
de
de
colocadas
ser
pueden
parejas
uno
maneras
suceder
W
debe
=
menos
212ti12~12121
lo
6
Las
Hay
(o)
(iii)
por
con
(c) Este evento es mutuamente disyunto de los dos eventosanteriores (que también son mutuamente disyuntos) y
lo
mismo.
Por conslgulen
..
te p -- 12i72i
8181-- m.
18
hÍirnbre
51
que
Hallar
azar.
centro
al
al
punto
cercano
un
más
selecciona
quede
se
punto
el
círculo
que
un
de
de
p
interior
el
En
probabilidad
la
3.15.
ESPACIOS UNIFORMES NO CONTABLES
a la circunferencia.
Denotemos por S el conjunto de los puntos interiores al círculo de radio r y
denotemospor A el conjunto de los puntos interiores al círculo concéntrico de radio
ir. (Así, A está formado precisamentepor aquellos puntos de S que están más cercanos a su centro que a su circunferencia.) Por consiguiente,
p
--
P(A)
--
...Qr)2 -- !4
áreadeS -- -;r¡-
área de A
*
=
-l
t
+
i
=
P(AnB)
-
=
P(AUB)
P(B)
=
+
p
P(A)
P(A)
Entonces
B
un
es
persona
3.14. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de losbombres y la mitad de
las mujeres tienen los ojos castaños.Hallar la probabilidad p de que una personaescogidaal azar
seaun hombre o tenga los ojos castaños.
SeaA = Ila
I y B = Ila persona
tieneojoscastaños
l. Buscamos
la P(A U B).
A
.
10
1
15
1
= 00= 8' P(B) = 00= ¡. P( n ) = 00= ¡. Asl porel teorema
3.5,
49
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP. 3]
mismo
el
sobre
caigan
puntos
los
que
de
p
probabilidad
la
llar
3.17. Tres puntos o, by c de una circunferencia se escogenal azar. Ha-
lon-
la
x
denotemos
y
Denotemos
reloj
21'.
del
sea
agujas
las
de
circunferencia
la
de
movimiento
del
longitud
la
sentido
que
.el
en
ab
arco
del
gitud
Supongamos
semi-círculo.
(*)
(*).
condición
siguientes:
la
caen
c
by
a,
8
8
>
que
>
Z
11
-
-
condiciones
cumple
28
<
se
las
de
11
-
Z
cumple
se
-
Y
Y
8
8
cuales
los
<
<
una
cuales
0<11
los
Y
para
para
11
Z
cumple
se
2
28
(iv)
(iii)
cual
R
<
3
¡
=
2
8
3
¡s2"
=
A
e
S
d
de
área
= P«AuB)c)
1
-
(vi)
UB),
P(A
(i)
Hallar
i.
=
nB)
P(A
p(BnAC).
!
=
-!
1
=
P(B)
-
tenemos
=
p(AnBC),
i
(v)
1
=
=
i
P(Bc)
y
I+!-
P(ACUBC),
(iii) Usandola ley deDe Morgan, (AuB)c=AcnBc,
P(ACnBc)
y
=!
P(B)
1,
=
i
=
=
(iv)
P(AnB)
I
-
1
-
p(ACnBc),
P(B)
=
P(A)
+
(iii)
P(A)
-
1
P(A)
con
eventos
B
P(BC),
=
P(AuB)
P(Ac)
(ii)
(i)
y
P(AC)
=
(ti)
y
VARIOS
A
Sean
3.18.
PROBLEMAS
=
P
area
'
puntos
8
8
el
de
z
puntos
para
Así
aquellos
>
<
S
los
Z,1I
Z,1I
de
consta
A
semi-círculo.
el
sobre
Entonces
(ii)
(i)
de
de
conjunto
subconjunto
el
S
el
A
Sea
Sea
0<
y la longitud del arco ac en el mismo sentido. Así
= 1- i = I
P(AuB)
(iv) Usandola leydeDe Morgan, (A nB)c = AcuBc, tenemos
P(ACuBC)
3.19. Sean A y Beventoscon
(i) P(A),
(ii) P(B),
-
P(A)
=
",B)
P(AC
P(A
P(B)
=
=
(v)
P(AnBC)
P(BnAc)
P«AnB)c)
= P(Ac)
u Bc)
Equivalentemente,
(vi)
=
1
P(AnB)
-
= 1- i = !
P(AnB)
- P(ACnBc)=
+ P(Bc)
- P(AnB) = t -!
P(AUB)
=
= i -!
i +! - I = !
= t
= !
= t, P(AC)= i y
p(AnB)
= l.
Hallar,
(iii) p(AnBC).
(i) P(A) = 1- P(AC)= 1 - i = *
(ii) Remplazamos
en P(A uB) = P(A) + P(B) - P(A nB) paraobtener
t = * + P(B) -: 1 o P(B) = .l.
(iii)
P(AnBe)
=
P(A)
- P(AnB) =
* -1 = n
3.20. Hallar la probabilidad p de un evento si la ventaja de que ocurra es a : b. esto es 'o a b".
La ventajadequeun eventocon probabilidadp sucedaesla relaciónp : (I - p). Por lo tanto
3.21. Hallar la probabilidad p de un evento si la ventaja de que sucedaes "3 a 2".
~
= l de lo cual p = l. Podemosusartambiénla fórmuladel problemaanteriorparaobtenerdirectamente
o
3
la respuesta:
p = an
= ffi3 = S'
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
50
[CAP.
3
3.22. Se lanza un dado 100 veces.La tabla siguiente detalla los seisnúmeros y la frecuenciacon la cual
aparece cada número:
Número
Frecuencia
1
2
3
4
5
6
14
17
20
18
15
16
Hallar la frecuenciaf del evento en que, (i) aparezcaun 3, (ii) aparezcaun 5, (iii) aparezcaun número par, (iv) aparezcaun número primo.
número
de de
sucesos
La frecuenciarelativaf = número
total
pruebas
¡ _17+20+15-
)
052
.
(
-
051
,
100
100 =
17+18+16
-
III f =
( "' )
5
O
,1
p(AnBnC)
+
P(BnC)
y
(AnC)
P(AnC)
u
=
(AnB)
p(AnB)
-
+ P(AnC)
P(AnBnC)
nú-
=
T
el
X
Sea
S
.
-
P(AnBnC)]
P(AnBnC)
producto
probabilidad.
+
P(AnC)
+
de
P(AnC)
conjunto
del
finitos
-
[P(AnB)
P(AnB)
bJ)
(a;,
espacios
-
-
p(AnD)
-
bt}
ordenada
...,
P(BnC)
P(BnC)
P(D)
+
pareja
b2,
-
P(C)
P(C)
+
P(A)
P(AnBnAnC)
{bl,
=
la
a
T
+
P(B)
P(B)
p(AnB)
An(BUC)
P(C)
+
=
P(B)
as}
asignado
...,
P(A)
=
=
a2,
P(bJ)
=
{al,
P(a¡)
Sean
S
=
pIJ
=
P(AuD)
=
,
-
+ P(AnC)
+
Así
=
P(AuBUC)
mero
AnD
+
P(AnB)
+
=
y
P(AnD)
Luego
=
BuC.
=
D
Sea
P(A)
Probarel corolario3.6:ParaloseventosA, By C,
P(AUBUC)
{(s, t) : s E S, t E T}. Comprobar que el Pt, define un espaciode probabilidad de S X T. esto
es,que los PtJson no negativosy sumanuno. (Este esel llamado espaciodeprobabilidad producto.
Hacemos énfasis que esta no es la única función de probabilidad que se puede definir del conjunto producto S X T.)
P.t
+
...
+
P.2
+
P.l
+
...
+
P2t
+
...
+
P22
+
P21
+
Plt
+
...
+
P12
+
Puestoque P(aJ, P(bj) ~ O, paracada¡y cadaj. Pij = P(aJ P(bj) ~ O.Además,
Pll
3.24.
II" ) f = 100
15 =
IV
O
(
O
20 = 0,2
= 100
P(A)
3.23.
(1
') f
= P(aJ P(bJ + ... + P(aJ P(bJ + ... + P(a.) P(bJ + .., + P(a.)P(bJ
= P(aJ[P(bJ +
=
... +
P(bJ] +
P(aJ.1 + ... + P(a.).1
= P(aJ + ... + P(a.)
... +
P(a.)[P(bJ +
... + P(bJ]
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
CAP.3J
51
propuestos
Problemas
ESPACIOS MUESTRALES y EVENTOS
¡\
c
e,
U
A
suceden.
8
ni
3.25. Sean A y 8 eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que, (i) sucedeA o no 8. (ii) ni A
3.26. SeanA, By C eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que, (i) sucedeexactamenteuno
de los tres eventos, (ii) sucedenpor lo menos dos de los eventos, (iii) ninguno de los eventossucede,(iv) sucedeA o B.
pero no C.
3.27. Seael caso de lanzar una moneda de centavo, una de diez centavosy un dado.
A
siguientes:
eventos
los
explícitamente
Expresar
Éscribir el espacio muestral S apropiado.
(ii)
(i)
= Ique
aparezcan
dos
caras
yunnúmero
primo
1,B=IQIIP
aparezcaun 2 l. C = I que aparezcaexactamenteuna cara y un número primo l.
(iii)
Expresar explícitamente el evento en que, (o) A y B suceden,(b) sucedesolamente B, (c) sucedeB o C.
DEPROBABILIDAD
FINITOS
ESPACIOS
3.28.
¿Cuáles funciones definen un espacio de probabilidad
de
(i) P(aJ= 1, P(a2)= -l, P(aa)= !
(ii) P(aJ= t, P(a2)= --l, P(aa)= i
S
= {ato a2, aa}?
(iii) P(aJ= 1, P(a2)= -l, P(aa)= !
(iv) P(aJ= o, P(a2)= -l, P(aa)= t
P(T).
y
P(H)
Hallar
sello.
salir
de
la
veces
tres
sea
cara
salir
de
posibilidad
la
que
manera
de
moneda
una
Se
3.30.
carga
3.29.SeaPunafunción
deprobabilidad
de S = {al' a2,aa}. Hallar P(a¡) si, (i) P(a~ = 1 y P(aa)= 1,
(ii) P(a¡) = 2P(a2)
y
P(aa) = 1, (iii) P({a2,aa}) = 2P(a¡), (iv) P(aa) = 2P(a2) y
P(a2)
= 3 P(a¡).
3.31. Tres estudiantesA. By C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Hallar la probabilidad de que gane B o C.
3.32.
Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de salir que los impares. Hallar la probabilidad de que, (i) aparezca un número par, (n) aparezca un número primo, (iii) aparezca un número impar, (iv) aparezca un número primo impar.
3.33.
Hallar
la probabilidad de un evento si la ventaja de que sucedaes, (i) 2 a
(ii) 5 a 11
3.34. En una carrera de natación. la ventaja de que A ganees 2 a 3 y la ventaja de que B gane es I a 4, Hallar la probabilidad p
y la ventaja de que A o B ganen la carrera.
ESPACIOSFINITOS EQUIPROBABLES
último
de
(ii)
segundo,
de
(1)
sea,
estudiante
el
que
de
probabilidad
la
Hallar
la
clase.
año.
último
de
representar
o
para
penúltimo
azar
de
(iii)
año,
al
Una clase está formada por 5 estudiantes de primero, 4 de segundo, 8 de penúltimo y 3 de último año. Se escogeun estudiante
3.35.
3.36. Se seleccionauna carta al azar entre 50 cartas numeradasde 1 a 50. Hallar la probabilidad de que el número de la carta
sea, (i) divisible por 5, (ii) primo, (iii) termine en dos.
3.37. De las 10 niñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Si se escogendos niñas al azar, ¿cuáles la probabilidad de que, (i) las
dos tengan ojos azules?(ii) ninguna tenga ojos azules?(iii) una por lo menos tenga ojos azules?
3.38. Tres tomillos y tres tuercas están en una caja. Si se escogendos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un tomi
110 y una
tuerca.
\,1:ct~~r¿;~{"
,",;
'.,
'¡;;
.':'
[CAP. 3
52
3.39.
3.40.
Diez estudiantes, A. B. .. están en una clase. Si se escogeun comité de 3, al azar, hallar la probabilidad de que, (i) A
pertenezcaal comité, (ii) B pertenezcaal comité, (iii) A Y B pertenezcanal comité, (iv) A o B pertenezcaal comité.
Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escogeal azar un comité de 3, hallar la probabilidad de, (i) seleccionartres
niños; (ii) seleccionar exactamente 2 niños, (iii) seleccionar por lo menos un niño, (iv) seleccionar exactamente 2 niñas.
c
3.41.
Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de los dos números sea mayor que 4.
3.42.
De 120 estudiantes,60 estudian francés, 50 estudian español, y 20 estudian francés y español. Si se escogeun estudiante
al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante, (i) estudie francés y español, (ii) no estudie francésni español.
3.43.
Tres niños y 3 niñas se sientan en fila. Hallar la probabilidad de que, (i) las tres niñas se sientenjuntas, (ii) los niños y las
niñas se sienten alternados.
.,
ESPACIOSUNIFORMES NO CONTABLES
Se escogeal azar un punto interior a un triángulo equilátero de lado 3. Hallar la probabilidad de que su distancia a un
vértice sea mayor que l.
3.45.
Se lanza al azar una moneda sobre el plano cartesiano R '. Hallar la probabilidad de que la monedano corte ninguna línea
cuya ecuación sea de la forma, (o) x... k. (b) x + y ... k. (c) x = k o y = k. (Aquí k es un entero.)
~,
3.44.
P(A nB) =!
y P(Ac) = i.
3.49.
y
Hallar
P(AnB), P(AcnBc),
P(BnAc).
y
BC)
u
P(Ac
3.48. Sean
loseventos
A y Bcon P(A) = l, P(AuB) = t
Hallar P(A), P(B) y P(A nBc).
i.
PROBLEMASVARIOS
3.47. Seanlos eventosA y B con P(A UB) = t,
,
~
Seescogeal azarun puntoX sobreun segmento
de rectaAB con puntomedioO. Hallar la probabilidadde quelos segmentosderecta AX. XB y AO puedanformarun triángulo.
=
3.46.
P(BC)
.'
Se lanza un dado 50 veces.La tabla siguiente da los seisnúmeros y la frecuenciacon que se repiten:
Número
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
7
9
8
7
9
10
Hallar la frecuencia relativa del evento, (i) ~ que apareceun 4, (ii) en que apareceun número impar, (iii) en que aparece un número
3.50.
primo.
. . ., Ano
~P(AJ
Probar: Para los eventos Alo A20
P(AluooouA)
n
=
-
i
~
i<'
P(AinA¡)
+
~
i<'<k
(Nota: Este resultado generalizael teorema 3.5 y el corolario 3.6.)
',,;
p(A¡nAjnAk)
-
o..
:t:
P(Aln...nAn)
(i) A uBc,
Respuestas
a
los
problemas
propuestos
(ti) (A uB)c
(ii)
(AnB)
(i)
u
(AnO)
u
(BnO)
(AnBcnCc)
u
(BnAcnCc)
u
(CnACnBC)
(AuB)nCc
(iv)
(AUBuC)c
(iii)
(i)
S
=
{HHl,
HH2,
HH3,
HH4,
HH5,
HH6,
HTl,
TH6,
TTl,
HT2,
TH5,
TT2,
HT3,
TH4,
HT4,
TH3,
TT3,
TT4,
HT5,
TH2,
TT5,
HT6,
THl,
TT6}
(ii)
A
=
{HH2,
H~4,
HH6},
B
=
{HH2,
HT2,
TH2,
TT2},
C
=
{HT2,
TH2,
HT3,
TH3,
HT5,
TH5}
(iii)
(a)
A
nB
=
{HH2}
(b) B"",(AuC}
=
{TT2}
(o)
BuC
=
{HH2,
HT2,
TH2,
TT2,
HT3,
TH3,
HT5,
TH5}
(i) no, (ii) no, (iii) sí (iv) sí
29. (i)
J\,
(ii)
l, (iii) 1, (iv)n
30. P(H)= 1, P(T) = 1;
.31. i
.32. (i)
i,
f, (iii) 1, (v) i
(ii)
(i) l. (ti)h
3.34. P
3,35.
= i;
( .)
la ventajaes 3 a 2
('. ) 3
1
1 '5'
11 20'
(". ) 11
111 20
3.36. (i):1, (ii) 1\, (iii) 1\
.
3.37. (1) 15'
('.
11) 15'
7
(111
o..) 15
8
1
t
3
(" ) 3
"' ) 1
' ) 8
3.39. (1 iO'
11lO' (111
15' (IV
15
O
)
)
27
(
"'
)
27
(
O
)
15
3
40
(
'
)
3
(
"
..
1
ii'
11
56'
111
28'
IV
56
t
3.41.
3.42. (i) t, (ii) 1
3.43. (i) l. (ii) 1\
3.44. 1 - 2"./(9ya)
3.45. (i) t, (ii) 1 - tVii, (iii) 1;
3.46. !
=
t,
P(B)
=
1,
P(AnBC)
= 1, P(ACuBC)
= -l, P(BnAc)= 1
P(ACnBC)
..
1
M'
.O
M'
111
11
( ..' ) 28
24
50
P(A)
3.47.
= 1,
)
=
P(AnB)
3.48.
(
1
(' ) 7
3 49
"i"
,"{
,:;'rJ¡~;j
.,
c
4
!
even-
dado
un
A
que
de
de
condicional
probabilidad
La
O.
probabilidad
P(E»
la
con
S
palabras,
muestral
otras
en
o,
sigue:
lE) =
p(AnE)
lE)
"
re-
con
P(A
A
de
expuesto,
Venn
de
relativa
s
E.
probabilidad
diagrama
el
la
en
reducido
mide
aprecia
espacio
sentido
se
al
cierto
lación
en
Como
P(E)
P
(A
espacio
un
de
sucedido
haya
como
E
arbitrario
que
define
se
E),
I
vez
evento
un
una
E
P(A
suceda
A
escrito
E.
to
Sea
PROBABILIDAD CONDICIONAL
En particular,si S es un espaciofinito equiprobabley lA I denotael númerode elementosde un
=
'
P(AIE)
-
p(AnE)
IAnEI
--¡El
P(E)
aSl
y
¡sr
~
-
P(E)
-¡s¡-'
=
E)
n
P(A
IAnEI
IEI
A.entonces
evento
Entonces
E
de
E.
y
A
elementos
de
los
de
uno
que
de
probabilidad
la
hallar
6,
es
suma
la
Si
corrientes.
dados
número de maneras en que A y E pu:den su~eder
número de maneras en que E puede suceder
si
de
eventos
con
número
-
equiprobable
~,
I
par
=
palabras,
un
lanzar
otras
En
de
caso
2.
sea
el
Sea
P(A lE)
dados
4.1:
Ejemplo
o
\~
finito
c
espacio
un
S
Sea
4.1:
Teorema
Esto es,
~
dado}
un
en
menos
lo
por
aparece
2
{un
=
A
P(A
lE).
!.
P(A
=
(4, 2)1. Entonces
E)
Ahora E consta de cinco elementosy dos de ellos, (2, 4) Y (4, 2), pertenecena A: A n E = 1(2,4),
I
hallar
5
Por otra parte, puesto que A consta de nueve elementos,
A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}
Y S consta de 36 elementos,P(A) = *.
Ejemplo 4.2: Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos, un niño, entra en la sala. Hallar
la probabilidad p de que el otro seatambién niño si, (i) se sabeque el otro hijo (o hija) es menor, (ii) no se
sabenada del otro hijo.
El espaciomuestral para el sexo de los dos hijos es S = I bb. bg. gb. gg I con probabilidad 1- para
cada muestra. (Aquí la serie de cada punto correspondea la serie de nacimientos.)
(i)
(ii)
El espaciomuestralreducidocoqstade doselementos,
I bb. bg 1;o seap = i.
El espaciomuestralreducidoconstade treselementos,
I bb. bg.gb 1;o seap = l.
54
\
i,'C
'
~
Y
E = {sumaes6} == {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
,,;,'
:;
el
usamos
y
condicional
probabilidad
útil.
la
define
fórmula
que
siguiente
anterior
CONDICIONAL
E)
I
P(A
la
ecuación
la
PARA PROBABILIDAD
obtenemos
cruz
A,
P(E)
=
n
en
E
=
A)
E
n
n
P(E
A
multiplicamos
que
4.2:
de
Teorema
hecho
Si
TEOREMA DE LA MULTIPLICACION
55
INDEPENDENCIA
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
CAP. 4]
Esteteoremapuedeextenderse
por inducciónmatemáticacomosigue:
. . ., An,
P(AlnA2n . . . nAn)
= P(Al)P(A2/AI)P(AaIAlnA2)"
Corolario 4.3: Para los eventosAl, A2,
.P(AnIAlnA2n...
nAn-l)
Ahora aplicamos el teorema anterior que es llamado, apropiadamente, el teorema de la multiplicación.
buenos.
estén
tres
los
todos
que
de
p
probabilidad
la
Ejemplo 4.3: Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos.Se toman al azar tres artículos del lote uno tras otro. Hallar
~
~
sea
no
que
ar-
artículo
primeros
puesto
.!.
es
dos
próximo
los
multiplic~~ión,
la
de
defectuoso
Si
el
que
de
sea
defectuosos.
no
son
teorema
=
14
el
último
por
el
6
Así
que
no
probabilidad
la
de
7
8
defectuosos.
=
DE
10
55
ARBOL
p
y
ESTOCASTICOS
FINITOS
11
DIAGRAMAS
12
PROCESOS
sobrantes
11
entonces
los
de
probabilidad
son
no
la
7
defectuoso,
es
no
solamente
quedan
que
10
entonces
que
primero
el
puesto
los
defectuosos,
¡Í¡
Si
es
son
entre
6
no
solamente
tículos
defectuoso
defectuosos.
La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuosoes h puestoque 8 entre los 12 no son
Una sucesión(finita) de experimentosen los cualescada experimento tiene un número finito de resultadoscon probabilidades dadas se llama un proceso estocás!ico(finito). Una manera convenientede
describir tal procesoy calcular la probabilidad de un evento se obtiene por el diagrama de árbol como
seilustra en la figura siguiente; el teorema de la multiplicación de la secciónanterior se usa para calcular la probabilidad de que el resultado representadopor una trayectoria determinada del árbol suceda.
suceda.
\
Ejemplo 4.4~omemos
las tres cajas siguientes:
Caja 1 contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas.
Caja 11 contiene 6 con I defectuosa.
realizamos
(i)
una serie de dos experimentos:
escogeruna de las tres cajas;
!
N
D
(ii) escoger una lámpara que sea o defectuosa(D) o no defectuosa (N).
El diagrama de árbol siguiente describeel procesoy da la probabilidad de cada rama del árbol:
la
que
de
p
probabilidad
la
es
¿Cuál
lámpara.
una
azar
al
sacamos
luego
y
caja
una
azar
al
Aquí
defectuosa?
sea
lámpara
Escogemos
Caja 111contiene 8 con 3 defectuosas.
[CAP.
INDEPENDENCIA
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
56
4
La probabilidad de que una trayectoria determinada del árbol sucedaes, según el teorema de la multiplicación, el producto de las probabilidades de cada rama de la trayectoria, o sea, que la probabilidad de
escogerla caja 1 y luego una lámpara defectuosaes ~.~ = /5.
360
=8
3
6
3
-.-+-.-+-.-
5
3
=
P
Ahora como hay tres trayectorias mutuamente exclusivasque conducena una lámpara defectuosa,
la suma de las probabilidades de estastrayectorias es la probabilidad buscada:
1 2
1 1
1 3
113
Ejemplo 4.5: Se lanza una moneda cargada de modo que P(C) = I y P(S) = 1. Si sale cara, se escogeal azar un
número de l a 9; si sale sello, se escogeal azar un número de laS. Hallar la probabilidad p de que se
escoja un número par.
El diagrama de árbol con las probabilidades respectivases:
o
,E
Obsérveseque la probabilidad de escogerun número par de 1 a 9 es . puestoque hay 4 paresentre
los 9 números, mientras que la probabilidad de escogerun par de l a 5 es * puestoque hay 2 números
pares entre los 5. Dos de las trayectorias conducena un número par: CP y SP. Así
PARTICIONES Y TEOREMA DE BAYES
Supongamos
que los eventos
Al,
A2,...,
A.
forman
consecuencia.
sombreado.
B
En
exclusivos.
(AnnB)
U
mutuamente
U...
(A1UA2U...UAn)nB
(A2nB)
=
eventos
son
U
SnB
B
n
(A1nB)
=
A,
las
donde
=
B
una partición de un espacio muestral S; esto es, que los eventos A, son mutuamente exclusivos y su unión es S. Ahora
sea B otro evento. Entonces
= p(AlnB) + p(A2nB) + ... + p(AnnB)
P(B)
Luego por el teorema de la multiplicación,
=
P(AI)
P(B
IAl) + P(A2)
IA2) + ... + P(An)
P(B
P(B
IAn)
(1)
parte, para cualquier i, la probabilidad condicional de Al dado B sedefine por
=
P(A¡IB)
~
otra
Por
P(B)
En esta ecuación usamos (1) para remplazar P(B) y usamos P(AI n B) = P(AI) p(BIAI) para remplazar P(A¡ n B), obteniendo así el
An)
I
P(B
P(An)
+
...
+
A¡)
I
A2)
I
P(B
i,
P(B
P(A2)
+
Al)
I
P(B
P(A¡)
cualquier
para
Entonces
P(AI)
-
B)
P(A¡I
-
to.
Teorema de Bayes 4.4: Supóngaseque Al, A 2,. . ., A" esuna partición de S y que B escualquier even-
~
57
INDEPENDENCIA
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
E
Ejemplo 4.6: Tres máquinas A. By C producen respectivamente50%, 30% Y 20% del número total de artículos de una
fábrica. Los porcentajes de desperfectosde producción de estas máquinas son 3%, 4% Y 5%. Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo seadefectuoso.
0,03
B)
I
P(X
P(B)
+
A)
I
P(A)
=
P(X)
P(X
SeaX el eventode queun artículoesdefectuoso.Entoncessegún(1) vistoatrás,
+ P(C) P(X I C)
= (0,50)(0,03),+ (0,30)(0,04) + (0,20)(0,05)
0.04
0.30
1-
= 0,037
"-
""- < ::::::::°,05 j
0.20
C
Obsérveseque también podemos considerar este problema como
de árbol adjunto.
.
N
un proceso estocástico que tiene el diagrama
IX).
P(A) P(X I A) + P(A)
1>(:8)P(X
P(X IIA)
B) + P(C) P(X I C)
=
I
de Bayes,
P(A
Por el teorema
X)
P(A
Ejemplo 4.7: Considéresela fábrica del ejemplo anterior. Supóngaseque se seleccionaun artículo al.azar y resulta ser
defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina A; esto es. hallar
(0,50)(0,03)+ (0,20)(0,05)
--- (0,50)(0,03)
+ (0,30)(0,04)
- -15
37
.
En otras palabras, dividimos la probabilidad de la trayectoria pedida por la probabilidad del espacio
muestral reducido, o sea, aquellas trayectorias que conducen a un artículo defectuoso.
=
anterior
como nuestra
definición
la
iguala
B
de
probabilidad
la
si
palabras,
.
obtenemos
lA),
P(B
P(A)
=
B)
n
B dado
A: P(B) = P(B I A). Ahora sustituyendoP(B) por P(BI A) en
P(A
p(AnB)
la ecuación
otras
En
sucedido.
no
o
haya
A
porque
. condicional
de
--- de
la multiplicación
P(A)P(B)
formal
de independencia.
A y B son eventosindependientes
si P(A n B) = P(A) P(B); de otro modosondependientes.
Ejemplo 4.8: Lánceseuna moneda corriente tres veces;obtenemosel espacioequiprobable
S =
{HHH,
I
=
P(AnB)
P({HHH, HHT}) =~,
P(AnC) = P({HHT}) = ~,
P(BnC) = P({HHT, THH}) = ~
rela-
son
C
la
Entonces
y
parte,
B
que
otra
Por
I
pero
seguida.
en
independientes,
~on
verifica
C
se
y
A
caras
son
lanzamientos
segundos
I
=
B
hecho
que
.
Insistimos
independientes;
es
no
eventos
C
B
y
A
son
y
B
o
Tenemos
C
y
A
entre
THT, TTH, TTT}
se lanzan dos caras seguidas
este
= I exactamente
c
dependientes.
son caras
I
lanzamientos
en
= I primeros
A
Claramente
HHT, HTH, HTT, THH,
los eventos
obvia.
Consideremos
ción
intluenciada
Se dice que un eventoB es independiente
de un eventoA si la probabilidadde que B sucedano
[CAP.
INDEPENDENCIA
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
58
4
2
independientes;
son
dependientes.
independientes;
B
son
son
C
B
y
A
y
B
y
así
A
y
y
así
y
B),
n
O),
P(BnC),
así
,,&
n
P(A
=
= !.! = _81
P(B)P(C)
P(A
~
=
=
~
~
=
~
l.
=
~.
P(C)
=
P(B)
P(A)
P(A)
En consecuencia,
4
Frecuentemente,postularemosque dos eventosson independientes,o que será claro por la naturaleza del experimento que dos eventosson independientes.
Ejemplo 4.9: La probabilidad de que A dé en el blanco es 1 y la de B es i. Si A Y B disparan, ¿cuáles la probabilidad
.
1
-
1
-+---0-
que
de
inde-
es
blanco
probabilidad
el
la
en
dé
A
Además,
que
P(A)P(B)
-
P(B)
+
Así
de
B).
evento
U
11
-
P(B).
P(A)
el
P(A
es,
=
B)
=
P(AnB)
2
P(A)
-
P(B)
2
n
esto
buscamos
dé;
y
i;
otro
P(A
el
=
blanco:
que
P(B)
de
el
en
+
dé
B
P(A)
=
P(AUB)
y
i
=
depende,
que
de
no
P(A)
que
blanco
el
evento
en
den
del
B
o
pendiente
A
Sabemos
de que se pegue al blanco?
-
-454-5-20
P(B)P(C)
=
P(BnC)
y
y
P(A)P(C)
=
dos,
a
dos
p(AnC)
P(A)P(B)P{C).
independientes
P(A)P(B),
=
son
eventos
si
P(AnBnC)
es,
(ti)
esto
los
p(AnB)
(i)
=
Tres eventos A, B Y C son independientes si:
sí.
entre
independientes
no
pero
independientes
dos
a
dos
ser
pueden
eventos
tres
labras,
El próximo ejemplo muestra que la condición (ii) no se desprende de la condición (i); en otras pa-
HT}
TH}
TH}
{HT,
{HH,
=
=
=
I
I
exactamente
moneda
moneda
segunda
la
primera moneda I
una
en
caras
en
caras
I
=
B
=
C
I
= I caras en la
A
{HH,
eventos
los
Consideremos
equiprobable.
Ejemplo4.10: Sea el casode lanzar un par de monedascorrientes;aquí S= I HH, HT, TH, TT r es un espacio
i
=
embargo,
({TH})
Sin
=
dos.
a
dos
P(BnC)
i,
=
independientes
son
P({HT})
independientes.
son
no
eventos
tres
P(A) P(B) P(C)
los
tanto
o ~
por
=
y
satisface
= P(9)
se
no
(ii)
condición
la
palabras,
otras
P(A nBnC)
En
eventos
=
1
.los
P(AnC)
sea,
i,
o
=
satisface,
así
se
P({HH})
y
(i)
=
0
=
c
condición
n
B
la
n
A
Así
P(AnB)
2
EntoncesP(A) = P(B) = P(C) = ¡ ~ 2 Y
PRUEBAS REPETIDAS O INDEPENDIENTES
Hemosdiscutidopreviamenteespaciosde probabilidadque estabanrelacionadoscon un experimento repetido un número [mito de veces, tal como el lanzamiento de una moneda tres veces. Este concépto de repetición se formaliza como sigue:
Definición:
Sea S un espacio finito de probabilidad.
Por n pruebas repetidas o independientes. sig-
nificamosel espaciode probabilidadT que constade n-uplaso elementosde S con la
probabilidad de una n-upla definida como el producto de las probabilidades de sus componentes:
P((81,82,
. . ., 8n)) = P(81)P(82)
P(Sn)
4
[CAP.
INDEPENDENCIA
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
60
~~~~
#
4.2. Se lanzan tres monedascorrientes. Hallar la probabilidad p de que seantodas caras si, (i) la primera de las monedases cara, (ii) una de las monedases cara.
(i)
El espaciomuestraltieneochoelementos:
S = I HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT ,TTH, TTT l.
Si la primeramonedaes cara, el espaciomuestralreducidoes A = I HHH, HHT, HTH, HTT l. Puestoque las
monedasson todas caras en I de 4 casos,p =
Si unadelas monedas
escara,el espaciomuestralreducidoesB = I HHH, HHT, HTH, HTT,THH, THT, TTH l.
Puestoquelas monedassontodascarasen I de 7 casos,p = ,.
r~'
(ii)
1
4.3. Se lanza un par de dados.corrientes.Si los dos números que aparecenson diferentes,hallar la probabilidad p de que, (i) la suma sea seis, (ii) aparezca un as, (iii) la suma sea menor o igual a 4.
De las 36 manerasque se puedelanzar el par de dados, 6 contienen números repetidos: (1,1), (2, 2),..., (6, 6). Así
6 = 30 elementos.
el espacio muestral reducido constará de 36 -
La suma 6 puedesucederde 4 maneras: (1, 5), (2,4), (4, 2) (5, 1). (No incluimos (3, 3) puesto que los números son
iguales.)
Entonces
P
(i)
=
-!. = .!.
30
15.
(ii)
Un as puede aparecer de 10 maneras: (1,2),(I,3),...,(I,6)y(2,
1),(3,1),...,(6,1).Entoncesp=
(iii)
La suma menor o igual a 4 puede sucederde 4 maneras: (3, 1), (1, 3), (2,1), (1, 2). Asíp =3\=
~=
l.
ft.
4.4. Se escogenal azar dos dígitos desde 1 hasta 9. Si la suma es par, hallar la probabilidad p de que
im-
números
dos
escoger
de
maneras
10
(:)
escoger dos números pares. Hay 5 impares (1, 3, 5, 7,9); o sea que hay
=
ambos números sean impares.
La suma es par si los números son impares o si son pares. Hay 4 pares (2,4, 6, 8); por tanto hay (~) = 6 manerasde
pares. Así hay 6 + 10 = 16 maneras de escogerdos números tales que su suma sea par; puesto que 10 de estasmaneras
.
10
suced en cuandIo os dos numeros son Impares,
p = 16
= i'5
.
4.5. A un hombrese reparten4 espadasde una barajacorrientede 52 cartas.Si sele dantres cartas
más, hallar la probabilidad p de que por lo menos una de las cartas adicionales sea también espada.
=
<~)
Hay
espadas.
son
9
=
4
Puesto que recibió 4 espadas,quedan 52 - 4 = 48 cartas de las cuales 13 17.296maneras en las que puede recibir tres cartas más. Puesto que hay 48 - 9 = 39 cartas que no son espadas,hay
<a:) = 9139 maneras en que puede recibir tres cartas que no son espadas.Así la probabilidad q de que no reciba espa~
~'"
9139 por lo tanto p = l - q = 17:298".
8157
das es q = i7:296";
~
4.6. Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a cuatro personasque denominamos
Norte, Sur, Este y Oeste.
(i) Si S no tiene ases,hallar la probabilidad p de que su compañeroN tenga exactamentedos ases.
(ii) Si N Y S juntos tienen nuevecorazones,hallar la probabilidad p de que E y O tengancada uno
dos corazones.
Hay 39 cartas, contando los 4 ases,repartidas entre N, E Y O. Hay <::> manerasde que N reciba 13 de las 39 cartas. Hay <:> manerasde que pueda recibir 2 de los cuatro ases,y <~~>manerasde que pueda recibir 11 cartas de
las 39 - 4 = 35 cartas que no son ases.Así
11)
6812813825826
36837838839
--
~=
2
( 4)( 305
=
(i)
P
Í
;:::!;i;,
,..
~-;1'",
.;.
650
2109
~
(ii)
61
lNDEPENDENCIA
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
", 4]
Hay 26 cartas, incluyendo 4 corazones, repartidos entre E y O. Hay (~:) maneras de que, por ejemplo, E pueda
recibir 13 cartas. (Necesitamos solamente analizar las 13 cartas de E puesto que O debe tener el resto.) Hay .(:)
maneras para que E pueda recibir 2 corazonesde los 4, y (~~) maneras para que el mismo pueda recibir 11 no-corazones
de
26 4 = 22 no-corazones.Así
TEOREMA
DE LA
4
-
p
22
(2)(11) (~:)
6' 12' 13 '12' 13
23 ' 24 ' 25 ' 26
-
234
575
MULTIPLICACION
4,7. Una clasetiene 12niños y 4 niñas. Si seescogentres estudiantesde la claseal azar. ¿cuáles la probabilidad p de que sean todos niños?
La probabilidad de que el primer estudianteescogidosea un niño es 12/16 puesto que hay 12niños entre los 16estudiantes. Si el primero es un niño, entoncesla probabilidad de que el segundoseaniño es 11/15 puestoque hay 11niños entre
los 15 restantes.Finalmente, si los primeros dos escogidosson niños, entoncesla probabilidad de que el tercero seaniño es
10/14 puesto que quedan 10 niños entre 14. Así, por el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que todos tres
sean niños es
p
Otro
método.
Hay
r:)
=-
3 mnos
.. entre;12 por 1o tanto p
56_Q
12 11 10 =
= 168"15814
11
28
r:) = 220
maneras de escoger3 estudiantesentre 16, y
11
= 220
560= 28.
maneras de escoger
Un tercermétodo.Si los estudiantes
seescogen
uno después
del otro, entonces
hay 16.15.14
ger
tres
estu
d .
lantes,
y
12
.
11
.
10
d
maneras
e escoger
tres
..
mnos;
por
.
.
consIguIente
p
=
12.11.10
"iij":15:¡¡
=
manerasdeesco-
11
28.
A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad p de que todas sean espadas?
La probabilidadque la primeracarta seaespadaes 13/52,la segundaseaespadaes 12/51,la tercera11/50,la
y la última
9/48.
(Suponemos
en cada
casoque las cartas anteriores fueron espadas.)Así'
13 12 11 10 9
52°51°50°49°49=
=
10/49,
P
cuarta
33
66MO
. Una urna contiene7 bolas'rojasy 3 bolasblancas.Sesacan3 bolasdela urna unatras otra. Hallar la probabilidad p de que las dos primeras seanrojas y la tercera blanca.
La probabilidad de que la primera bola sea roja es 7/10 puesto que hay 7 rojas entre las 10 bolas. Si la primera bola
es roja, entoncesla probabilidad de que la segundabola &earoja es 6/9 puesto que quedan 6 rojas entre las 9 bolas restantes. Si las dos primeras son rojas, entoncesla probabilidad de que la tercera seablanca es 3/8 puestoque quedan3 blancas
entre las 8 bolas restantesen la urna. Entoncespor el teorema de la multiplicación,
p
7 6
= -0-010 9
3 =- 7
8
40
Los estudiantesde una clasese escogenal azar, uno tras otro, para presentarun exameff.Hallar la
probabilidad p de que niños y niñas quedenalternados si, (i) la clase consta de 4 niños y 3 niñas,
(ii) la claseconsta de 3 niños y 3 niñas.
(i)
Si los niños y ¡as niñas se alternan, el primer estudianteexaminado debeser niño. La probabilidad de que el segundo
sea niña es 3/6 puesto que hay 3 niñas entre los 6 restantes.Continuando en esta forma, obtenemosque la probabilidad de que el tercero sea niño es 3/5, que el cuarto sea niña es 2/4, que el quinto sea niño es 2/3, que el sexto sea
niña es 1/2, y que el último seaniño es l/l. Así
p
= -0-0-0-0-0-07 6 5 4 3 2
4332211
1
1 --- 35
PROBABILIDAD CONDICIONAL
62
(ii)
INDEPENDENCIA
[CAP.
Hay dos casos mutuamente exclusivos: el primer estudiante es un niño, y el primero es una
dianteesun niño, entoncespor el teoremade la multiplicaciónla probabilidadp ) de quelos
es
= -332211
- 6 5 4
1'1
o
o
o
o
3
2
. Si e
Idianl
¡e alternen
¡lidad
de que los
imer
estu-
= -201
- - -
o
4
1
Si el primer estudiante es una niña, entoncespor el teorema de la multiplicación la prc
estudiantes se alternen es
332211
1'2
-0_0-0-0-0=- 1
6 5 4 3 2 1
20
=
10'
..L
-
20
1 +
20
1
-
P2
+
Pl
P
=
'Así,
PROBLEMAS V ARIOS SOBRE PROBABILIDAD CONDICIONAL
4.11. En cierta facultad, 25% de los estudiantesperdieron matemáticas, 15%perdieron química y 10%
perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.
(i)
Si perdió química, ¿cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas?
(ii)
Si perdió matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que perdió química?
(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas o química?
0,10
=
p(MnC)
0,15
=
P(C)
0,25
3
.?
-
0,15
-
-.Q¡!Q. -
P
-
P(MnC>
P(C)
-
C)
I
M
La probabilidad de que el estudiante perdiera matemáticas, dado que haya perdido química es
(
(i)
=
P(M)
Sea M = I estudiantesque perdieron matemáticas I y C = I estudiantesque perdieron química 1;entonces
&
Hallar,
l.
=
=
5
~
=~-.?
p(AnB)
y
=0,25;+0,15-0,10=0,30
0,25
P(CnM)
=!
P(B)
t,
P(A)
con
B
y
A
eventos
los
=
=
P(MuC)
Sean
4.12.
(iii)
P(M)+P(C)-p(MnC)
P(M)
=
La probabilidad de que el estudiante perdiera química, dado que haya perdido matemáticases
P(CIM)
(ii)
(i) P(A lB), (ii) P(B lA), (iii) P(A U B), (iv) P(A C1BC), (v) P(BCI A C).
(iii)
=
P(AuB)
= l+l=-i = ~
P(A)+P(B)-p(AnB)
gan,
(iv)
Primero
calculamos
P(BC)y P(AcnBC).P(BC)= 1 - P(B) = 1 - i = i. Porla leydeDeMor(AuB)C= ACnBCjporlo tantoP(AcnBC)= P«AuB)c)= 1 - P(AuB) = 1 - ~ = /f.
- -ti -
S'
o
Así,
P(AnB):
-
P(B)
+
P(A)
=
P(AUB)
fórmula
la
usando
B)
n
P(A
calculemos
P(BIA)
Y
B)
P(A
6.
=
T
5
Hallar
=
t.
=
B)
P(Ac)
U
=
p(BCnAC)
1\
P(A
y
AC)
I
t
P(Bc
=
P(B)
Luego
t,
=
P(A)
con
B
5
-
P(AcnBC)
T
-
)
-
c
P(BC)
I
B
c
- P(A) = 1 - i = i.
A
eventos
los
Primero
4.13.
Sean
(v) P(Ac) = 1
P(A
y
.
AS1.
~
63
INDEPENDENCIA
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
4]
Hallar P(B I A) si, (i) A es un subconjunto de B, (ii) A Y B son mutuamente exclusivos.
entonces
A:
=
B
n
A
entonces
B
de
subconjunto
un
es
A
si
no,
tur-
esun subconjuntode B. entoncessiemprequeA suceda,B debesuceder;por lo tanto P(BIA) =
A
su
Si
A
(i)
o
(i)
Si A Y B son mutuamente exclusivos,esto es, disyuntos, entoncessiempre que A suceda,B no puedesuceder;por lo
= O. Alternadamente, si A y B son mutuamente exclusivos entonces A n B = 0;1 por lo tanto
p(BIA)
artícu-
de
probabili-
Hallar
respecti-
número
máquinas
del
estas
10%
Y
defectuoso.
de
30%
C.
resultó
producción
60%,
azar
máquina
al
la
por
artículo
de
respectivamente
desperfectos
un
producido
sido
Seleccionado
de
producen
C
hubiera
4%.
porcentajes
By
Los
A,
Y
3%
artículo
el
que
de
2%,
fábrica.
máquinas
una
Tres
de
los
vamente
dad
total
r;(~(B),~(~~~~~
. .
son
tanto
la
(ii)
(ii)
facultad,
~
.!.
25
(0,60)(0,02) + (0,30)(0,03)+ (0,10)(0,04)
4% de los hombres
y 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura.
Ade-
más, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es
que el estudiante
Si A 1, A2,
...
~
condicional
11
=
(0,40)(0,04)
+
de
es,
función
esto
la
(0,60)(0,01)
probabilidad;
que
1M)
P(A
W)
I
P(M)
de
1.
~
E)
lE).
P(B
+
lE)
P(A
=
E)
I
B
U
P(A
entonces
= l.
exclusivos,
mutuamente
son
B
Y
A
Si
[P.]
Comprobar
+
o.
W)
I
espacio
>
I
un
P(A
~
O
A,
de
P(E)
P(A
cual
P(W)
-
axi.omas
el
A)
los
evento
un
P(A
Para el evento cierto S, P(SIE)
[Pa]
[P2]
P(W)
para
I
evento
satisface
un
E
E)
Para
I
[Pt]
P(*
Sea
P(W
-
sea mujer?
probabilidad de que el estudiante sea una mujer
probabilidad
A = I estudiantesde más de 6 pies l. Busc!lmos P(WIA),
dado que el estudiantees de más de6 pies. Por el teorema de Bayes,
Sea
(0,60)(0,01)
más alto que 6 pies, ¿cuál es la probabilidad
es una sucesiónde eventos mutuamente exclusivos,entonces
P(At U A2U . . . lE) = P(A1 I E) + P(A21E) + . . .
P(E)
cumple.
[PJ
así
y
1
~
E)
I
P(A
~
O
es
Esto
también.
(i) Tenemos
A nE c E; por lo tantoP(AnE) ~ P(E). Así P(A lE) = P(AnE) ~ 1 y es no negativo
-='~
1
f\
(b(
\
-
~
C)
P(C)P(X¡
+
C)
lB)
P(B)P(X
+
(0,10)(0,04)
=
En cierta
lA)
P(A)P(X
=
X)
P(CI
P(C)P(XI
Sea X = I artículos defectuososl. Buscamos P(CIX), probabilidad de que un artículo sea producido por la máquina C dado que el artículo seadefectuoso.Por el teorema de Bayes,
INDEPENDENCIA
[CAP.
= 1.
=
Así
[P2]
4
satisface.
P(E)
~
=
E)
I
P(S
consiguiente
por
E;
=
P(E)
S
E
Tenemos
n
(ii)
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
64
P(BnE)
+
nE)
P(A
=
(BnE))
U
nE)
P((A
=
E)
n
uB)
P((A
(iii) Si A Y B son eventosmutuamenteexclusivos,entoncesasí son A n E y B n E. Además(A UB) n E =
(AnE) U (BnE). Así
P(BnE)
+
P(E)
-
P(E)
P(E)
P(A lE) + P(B I E)
+
Así
p(A2nE)
+
nE)
P(A1
=
.)
.
.
U
(A2nE)
U
)
nE)
.
P«A1
.. sonmutuamente
exclusivos,
tambiénlo sonA1nE, A2nE,
si Al- Az,
P«AluA2u..
=
Similarmente
=
satisface.
E)
[Pa]
n
(iv)
+ P(BnE}
P(E}
P(AnE)
o sea que
P(AnE)
E)
n
UB)
-
=
E)
I
P(AuB
P«A
y por ende
y por tanto
=
E) =
p(A1nE)
+
P(A2nE)
+
+
E)
P(A21
+
satisface.
4]
[P
FINITOS
ESTOCASTICOS
PROCESOS
es,
Esto
E)
=
+
P(A11
P(E)
P(AluA2u...I.
4.18. Una caja contiene
tres monedas;
una moneda es corriente,
una moneda tiene dos caras y una mo-
t Se seleccionauna moneda
neda está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea
al azar y se lanza. Hallar la probabilidad p de que salga cara.
Construimos el diagrama de árbol como se muestra en la figura (a) siguiente. Obsérveseque I se refiere a la moneda corriente, II a la de doble cara y III a la moneda cargada. Ahora las caras aparecena lo largo de tres de las trayectorias; por lo tanto
1 1
1
1 1
11
=
-0-+-01
+-0= -18
3 3
H
¡
m<T
¡
¡
"---'--H
'-<f=:T
~
¡
3
H
3 2
t
p
(b)
(a)
blancas.
5
blanca.
1
3
blancas.
y
y
y
rojas
rojas
rojas
3
bolas
bolas
bolas
2
2
contiene
contiene
contiene
A
B
C
urna
urna
urna
Una
Una
Una
4.19. Se nos dan tres urnas como sigue:
Se seleccionauna urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es roja, ¿cuáles la probabilidad de que proceda de la urna A?
Se construye el diagrama de árbol como se muestra en la figura (b) anterior.
Buscamos la probabilidad
de que se seleccione A. dado que la bOla es roja; esto es, P(A IR).
Con. el fin de hallar
P(A IR), esnecesario
calcularprimero P(A n R) y P(R).
La probabilidadde queseseleccione
A y se saqueuna bola roja es ~. ~ = l; estoes,P(A nR) = l. Puesto
.
.
que hay tres trayectorias que conducen a bola roJa,
P(R)
1
3
=3" 8+3"
1
-
2
1 -2
3"+3" 5"
=
173
s:eo-" Entonces
-
65
INDEPENDENCIA
CONDICIONAL
CAP.4J
PROBABILIDAD
E
.:!!!-.-
-
173
-
l
m
-
nR)
P(R)
=
de Bayes,
P(A 1R) --
A)
P(A)
P(A)P(RI A) + P(B)P(RI B) + P(C)P(RI c)
I
por el teorema
P(R
Alternadamente,
IR)
P(A
P(A
1
-- 173
45
- lo! + lo!
lo¡ + lo!
-
4.20. La caja A contiene nueve cartas numeradas de 1 a 9, y la caja B contiene cinco cartas numeradas
de 1 a 5. Se escogeuna'caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.
que
de
con-
que
probabilidad
La
trayectorias
par.
dos
es
hay
que
número
Puesto
el
que
=~.
dado
A.
P(AnE)
es,
seleccione
esto
se
%;
que
=
de
t8~
es
par
probabilidad
E),
número
1
4 + 1
2 = 45.
19
.
= 289
285"
SI
A
I
un
P(A
y
A
caja
la
.
ucena un numero
par,
P(E)
d
escoja
se
Buscamos
El diagrama de árbol del proceso se muestra en la figura (o) siguiente.
!Q.
-
- 19
.!.
-
nE)
-.!!
45
=
lE)
P(A
P(A
2
P(E)
-A
(b)
(a)
!
4.21. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se saca una bola de la urna y se remplaza por una
del otro color. Se sacade la urna una segundabola.
(i)
Hallar la probabilidad p de que la segundabola sea roja.
(ii) Si ambasbolasson del mismocolor, ¿cuálesla probabilidadp de quelas dosseanblancas?
Construimos el diagrama de árbol como se indica en la figura (b) anterior.
lo
fue-
bolas
Por
.
~
=
ambas
&
.
que
~
+
de
fo
fo.
es
probabilidad
La
*.
reducido,
=
&
muestral
lo.
es
espacio
blancas
f.
=
del
fueran
~/~
=
p
probabilidad
bolas
la
ambas
es,
condicional
esto
que
de
color,
del
mismo
probabilidad
la
tanto
ran
(ii)
La
(i)
probabilidad
Dos trayectorias del diagrama de árbol conducena bola roja: p = ~. ~ + h. lo = M.
4.22. Se nos dan dos urnas como sigue:
blancas.
5
y
rojas
bolas
2
contiene
B
urna
La
La urna A contiene3 bolasrojasy 2 blancas.
Se seleccionaal azar una urna; se sacauna bola y se coloca en la otra urna; luego se sacauna bola de la segundaurna. Hallar la probabilidad p de que las dos bolas sacadasseandel mismo color.
Construimos
el siguiente
diagrama
de árbol:
;'
(i)
..
':
,
~
BuscamosP(A n B). PuestoqueA y B sonindependientes,
P(A n B) = P(A) P(B) = l. l = -h.
años;
10
los
años,
10
de
esposa
~u
2
4
a
=
=
~
=
=i
que
8"
=
{bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg}.
viva
de
P(Ac)P(Bc)
P(AnB)
dentro
=
P(B)
P(A)
esté
vivos
P(B)]
+
esposa
probabilidad
así
Y
ggg}
y así
su
estén
P(B)
-
y así
que
la
P(A)][I-
así
Y
l.
gg
gb.
bg.
{bgg, gbg, ggb}
y
l,
P(A)
así
y
gb}
ggb,
A = {bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb}
de
ambos
es
1-
=
uu}
ub,
bb.
I
=
tiene
familia
una
si
dependientes
eventos
son
B
y
A
que
una
si
independientes
eventos
son
B
y
A
que
Comprobar
(i)
que
de
evento
al
=
B
sea
y
sexos;
ambos
de
niños
tenga
familia
una
que
de
258254273272
=
-0-0-
-0-0-+
+
-0-0-+-0-0-
=
P
c"
901
1
5
1
2
2
1
3
2
1
3
3
1
color.
mismo
del
bolas
dos
a
conducen
que
trayectorias
cuatro
blancas.
5
y
rojas
i".
evento
(i)
[1-
=
gb}
{bg,
=
niño.
un
sumo
1.0
a
hay
que
Puesto
las
i
A<:::::
i
al
más
P(AUB)
{bU,
=
Comprobar
(ii)
hijos.
tres
evento
al
=
A
Sea
~:=:~;
.-:::::-~
~:~
w
:
~
W-=:
R
--""~ ~
~
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
INDEPENDENCIA
E
=
que,
de
años
P(A)P(B)
:c
B
y
años,
10
10
{bU,
=
gbg,
=
los
+
1-
S
{bgg,
S
a
vivirá
B
A
probabilidad
=
AnB
equiprobable
P(B)
-
P(A)
=
B
Tenemos el espacio equiprobable
viva
la
hombre
un
=
hombre
Hallar
el es~cio
el
P«AUB)c)
=
AnB
.¡..
1-
=
Bc)
..
l.
que
de
;
"
que
de
es
más
tenga
familia
una
66
=
evento
n
tiene
familia
;
P(B)
y
1
al
P(Ac
Tenemos
=
años
(ii)
10
(i)
=
/
probabilidad
::
La
"
,..
A
Sea
vivirá
4.23.
:' -
P(A)
entonces
4.25.
~
"
[CAP.
4
R---r-
-w-~:::~;
Nótese que si se seleccionala urna A y se saca una bola roja y se coloca en la urna B. entoncesla urna B tiene 3 bo.
\j
1680
INDEPENDENCIA
dos hijos.
Aquí
1
3
8"
Puesto
queP(A)P(B)= !. i = t = P(A n B), A YB sonindependientes.
Aquí
y así
Puestoque P(A) P(B) ~ P(A n B), A Y B sondependientes.
4.24. Probarsi A y B soneventosindependientes,
entoncesAc y Bc soneventosindependientes.
P(AnB)
(ii) al menosuno estará vivo a los 10 años, (iii) ninguno estará vivo a los 10 años, (iv) solamente
la esposaestará viva a los 10 años.
Además,
f.
=
i
-
1
t
=
=
n
y P(Bc) = 1
P(B)
-
i
+
1
=
I~DEPENDENCIA
= 1 -1 = !
P(A)
-
-
67
P(AnB)
=
P(AUB)
c n BC). Ahora P(A c) = 1
-
P(A
P(B)
P(AUB).
Buscamos,
+
Buscamos
P(A)
(ii)
(iii)
E
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
4]
puesto
queAc y Bc sonindependientes,
P(AcnBc) = P(Ac)P(Bc) = !. f = t
Alternadamente,
puesto
4.56),
problema
(ver
independientes
son
B
y
Ac
y
=!
1-P(A)
=
P(Ac)
que
1.
=
Puesto
8).
P(B)
p(ACn
P(Ac)
=
Buscamos
p(AcnB)
(iv)
que
= AcnBc, p(AcnBC)= P((AUB)C)
= 1- P(AUB)= 1--1 = t
(AUB)C
4.26. La caja A contiene 8 artículos de los cuales 3 son defectuosos, y la caja B contiene 5 artículos de
los cuales2 son defectuosos.Se sacaal azar un artículo de cada caja.
(i)
¿Cuál es la probabilidad p de que ambos artículos sean defectuosos?
(ii) ¿Cuál es la probabilidad p de que un artículo sea defectuosoy otro no?
.
(iii) Si un artículo es defectuosoy otro no, ¿cuál es la probabilidad p de que el artículo defectuoso proceda de la caja A?
(i)
La probabilidadde escogerun artículono defectuoso
de A es t y de B es ~, Puestoquelos eventossonindepend
(ii)
'
lentes, p
= S85=8.
5
3
3
Método l. La p~obabilidad
deescogerdosartículosdefectuosos
es ~ 8~ = ~.
= 1-
3 Por lo tanto p
bos sean no defectuososes S'
De (i) la probabilidadde queam-
3 - 20
3 - ió.
19
S
Bus-
1,
no
otro
y
defectuoso
es
artículo
-19
-
9
i.
y
-l
1,
respectivamente,
son,
blanco
el
en
peguen
hombres
tres
que
de
probabilidades
Las
Cada uno dispara una vez al blanco. (i) Hallar la probabilidad p de que exactamenteuno de
ellos pegueen el blanco. (ii) Si solamenteuno pegaen el blanco, ¿cuáles la probabilidad de que
(i)
eventos
tres
Los
i.
=
P(C)
y
-l
=
P(B)
=
l.
=
P(CC)
1,
=
P(Bc)
1,
=
P(Ac)
y
independientes,
y c = I el tercer hombre pega en el blanco 1; entonces P(A)
1,
A = I el primer hombre pegaen el blanco 1, B = I el segundohombre pegaen el blanco I
eventos
los
hombre?
Consideremos
sea el primer
son
Sea E = I exactamenteun hombre pega en el blanco l. Entonces
E =
(AnBcnCc)
U (ACnBnCc)
u (ACnBCnC)
P(AcnBcnC)
+
4.62)
problema
el
1
1
12
3
4
6
3
4
6
3
4
5
5
31
-
3
72
5
=
2
24
1
36
5
=
2
-0-0-+-0-0-+-0-0-
3
6
-
-
1
sea
~
31
!-
1
=
II
-!!
-
P(AnE)
P(E)
=
)
E
I
A
(
P
el
en
pega
hombre
primer
el
solamente
que
en
evento
o
=
P(E)
y
31
ii
=
1
p(AnBCnCC)
p(AnE)
=
(i),
72;
blanco.
Por
el
es
AnBcnCc
=
AnE
Ahora
blanco.
el
Buscamos P(A I E), la probabilidad de que el primer hombre pegue en el blanco dado que solamente un hombre
en
(ii)
P(ACnBnCC)
P(A) P(Bc) P(Cc) + P(A c) P(B) P(Cc) + P(A c) P(Bc) P(C)
-+-+-
=
+
(usando
P(AnBcnCC)
obtenemos
=
exclusivos,
P(E)
p
=
mutuamente
son
tos
En otras palabras, si solamente uno pegó en el blanco, entoncesfue o únicamente el primer hombre, A nBcn Cc;
o únicamenteel segundohombre, AcnBnCc;
o únicamente el tercer hombre, AcnBcnC.
Como los tres even-
pega
4.27.
40
W
ió
-
Xn
P
9
-
Y)
P(Y)
Y
(
-
P(X
-
-
)
-
P
.
I
un
consiguiente
I
=
Por
y
y
I
=~.
A
de
P(Y)
y
~
defectuosos
=
I
P
=
Y)
artículos
n
I
=
P(X
X
(ii),
eventos
Por
los
Y).
p(XI
Consideremos
p+p
_9
camos
(iii)
P
Método2. La probabilidadpide escogerun artículodefectuoso
de A y uno no defectuoso
de B es ~ 8~ = ~.
La probabilidadP2de escogerun artículono defectuoso
de A y uno defectuoso
de B es ~ 8~ =!. Por lo tanto
'
-- 1
S - ¡o + ¡1-!!- 40.
.
'
'.
.if
.:
0.,'
,.;0.,-,'
Cd
.j,.
68
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
E INDEPENDENCIA
[CAP.
4
INDEPENDIENTES
PRUEBAS
4.28. Cierto tipo de proyectil da en el blanco con probabilidad 0,3. ¿Cuántosproyectiles deberán ser
fallen
proyectiles
n
que
de
probabilidad
la
tanto
lo
por
0,7;
es
blanco
1-(0,7)">0,8
ti~\éj
de pegar en el blanco?
que
su
el
falle
para
n
proyectil
menor
un
el
que
de
buscamos
Así
probabilidad
(0,7)".
es
blanco
el
La
disparados para que haya al menos un 80% de probabilidad
o
equivalentemente
(0,7)"<0,2
~,
Calculamos:(0,7)1= 0,7, (0,7)2= 0,49, (0,7)8= 0,343,(0,7)4= 0,2401,(0,7)5= 0,16807.Así por lo menos5 proyectiles deben ser disparados.
tí
"
rJ
4.29. Cierto equipo de balompiégana (W), con probabilidad0,6; pierde (L), con probabilidad0,3;
y empata(T), con probabilidadO,l. El equipojuega tres encuentrosduranteel fin de semana.
pata,
y hallar
em-
y
pierde
gana,
equipo
el
que
en
B
evento
del
elementos
los
Determinar
(ii)
P(A).
hallar
y
(i) Determinar los elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos dos y no pierde;
P(B).
A consta de todas las temas con al menos dos W (juegos ganados)y ningún L (juego perdido). Así
(i)
=
A
Además
P(A)
{WWW,
=
P(WWW)
=
(0,6)(0,6)(0,6)
WWT, WTW, TWW}
+ P(WWT)
+ P(WTW)
+ P(TWW)
+ (0,6)(0,6)(0,1) + (0,6)(0,1)(0,6) + (0,1)(0,6)(0,6)
= 0,216+ 0,036+ 0,036+ 0,036= 0,324
Aquí
B = I WLT, WTL, LWT, LTW, TWL, TLW
(0,3)(0,1)= 0,018 P(B) = 6(0,018)= 0,108.
(ii)
~,;
Puestoque cadaelementode B tiene probabilidad(0,6)
que
indepen-
de
pruebas
n
de
probabilidad
la
(i)
probabilidad
mostrar,
de
es,
espacio
esto
el
T
sea
definido;
y
bien
está
T
probabilidad
que
de
finito
Comprobar
espacio
S.
un
de
S
Sea
l.
es
probabilidades
las
de
suma
la
(ii)
y
no-negativo,
es
T
de
elemento
Puestoque P(ai) ~ O,tenemos
1
,.. a.)
'n
=
...,r}
...,in=!,
P(a¡).
1
'"
.P(a¡)n
:!: o
~~'i
W
P(a¡
i1,
{all..'aln:
=
T
I
=
al, .. .,arl, entonces
T puede
representarse
por
~,
,,~
",;
S
Si
~,'
~"
~¿
cada
~
dientes
4.30.
~[i,
paraun elementotípico a¡ .. 'a¡ de T. lo cual prueba(i).
n
1
en n. Esto es cierto obviamente
aceptamos que (ii) ha sido probado para n-l.
= l. Porlo tantoconsideremos
n> 1 Y
para n
Entonces
.
1
n
,
'P'..'n-l-
¡
r
-
'p..."n-l-
1
n-l
¡ _
n-l
,
~
1
1
n
n-
r
_1
=
.
P(a¡)...P(a¡)
~
=
r
,
1
P(a¡)
n
~
1
~
_1
P(a¡)...P(a¡)
r
'1'."'n-
P(a¡)...P(a¡)
~
¡
'
=
r
1
=
P(a¡...a¡)
.
'1'..."n=
¡
'P...'n-l-
_1
P(ai
,
{
~
~
r
~;
~
'v
Probamos (ii) por inducción
l
"'ai
n-
1
) =
1
por la hipótesis inductiva. lo cual prueba (ii) para n.
:};:-'
~~
te
l:;
~!
,{..,
~
[t\\"" ~~f;
'1\\,~"
,t;~~~ ':\;Jti~~
INDEPENDENCIA
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
E
propuestos
Problemas
PROBABILIDADCONDICIONAL
4.31. Se lanza un dado. Si el número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo?
4.32. Se lanzan tres monedas corrientes. Si aparecen dos caras y un sello, determinar la probabilidad de que aparezcauna
cara exactamente.
Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea par.
4.34. A una personasele reparten5 cartasrojasde una barajacorrientede 52 cartas.¿Cuálesla probabilidadde quetodas
seande la mismapinta.estoes.corazones
o diamantes?
4.35. A una personase le reparten3 cartas,espadas,de una barajacorrientede 52 cartas.Si se le dan cuatrocartasmás,
detevminar la probabilidad
de que por lo menos dos de las cartas adicionales sean también espadas.
4.36. Se escogenal azar dos dígitos diferentes entre los dígitos l a 9.
(i)
(ii)
4.37.
Si la sumaes impar, ¿cuálesla probabilidadde que2 seauno de los númerosescogidos?
Si 2 es uno de los dígitosseleccionados,
¿cuáles la probabilidadde quela ,sumaseaimpar?
Cuatro personas,llamadas Norte, Sur, Este y Oeste, reciben cada una, B cartas de una baraja corriente de 52 cartas.
(i)
Si Sur tiene un as exactamente, ¿cuál es la probabilidad de que su comp.añeroNorte tenga los otros tres ases?
(ii) Si Norte y Sur juntos tienen 10 corazones,¿cuáles la probabilidad de que Esteu Oestetengan los otros 3 corazones?
4.38. Una clase tiene 10 niños y 5 niñas. Se escogentres estudiantesde la clase al azar, uno tras otro. Hallar la probabilidad
de que, (i) los dos primeros sean niños y la tercera niña, (ii) el primero y el tercero sean niños y el segundoniña, (iii)
el primero y el tercero seandel mismo sexo y el segundodel sexo opuesto.
4.39. En el problemaanterior,si el primery tercerestudiantes
seleccionados
son del mismoseXoy el segundoestudiantees
del sexo opuesto, ¿cuál es la probabilidad de que el segundosea niña?
~
\
A
(
~
castaños?
ojos
ni
1
I
1-
'\
"
U
I
\,
C
o
"
-
)
r
,
!
P(ACIC).
(iv)
P(CIAC).
(iji)
P(BIC).
(ii)
lB).
P(A
(j)
Hallar.
c,fl.
lb.
=
e.fl
'---V",bL]
i ,
conP{a}= ñ. P{b) = ñ. P(c) = i. P(d) = :1\. P(e) = 1 y P(f) = h. SeaA = la. c. e
C
y
e,fl
d,
(c,
=
B
4.42. SeaS ,.: la. b. c, d,
4.43.
P(B) = i y P(A U B) = t. Ha!Jar.(i) P(A JB), (ii) P(B lA), (iii) P(A n B.C).
-
BC\.
I
A
(
P
)
iv
(
I
4.41. Seanlos eventosA y B con P(A) = i.
~
cabellos
tenga
no
que
de
probabilidad
la
es
¿Cuál
(iii)
4.40. En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos castañosy 15%tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar.
(i)
Si tiene cabellos castaños,¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?
(ii) Si tiene ojos castaños,¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
I/~ ;,
En cierta facultad,25%de losjóvenesy 10%de lasjóvenessonestudiantes
de matemáticas.
Las mujeresconstituyenel
600/0de los hombres. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de matemáticas, determinar
que el estudiante sea "una joven.
..
la probabilidad
de
nos dan dos urnas como sigue:
Se
4.44.
,../
Una urna A contiene 5 bolas rojas, 3 biancas y 8 azules.
:oge de A. Hallar
Jla azul.
de
B:
de
bola
una
escoge
se
6,
el
o
3
el
dado
aparece
un
corriente;
lanza
si
La otra urna B contiene 3 bolas rojas y 5 blancas.
Se
la probabilidad de que, (i) se escoja una bola roja, (ii) se escoja una bola blal
4.45.
Respectoal problema anterior. (i) Si se escogeuna bola roja. ¿cuál es la probabilidad de que proceda de A? (ii) Si se
escogeuna bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que aparezcaun 5 en el dado?
4.46.
Una urna contiene5 bolasrojasy 3 blancas.Seselecciona
una bola al azar,sedescartay secolocandosbolasdel otro
color en la urna. Luego se saca de la urna una segundabola. Hallar la probabilidad de que, (i) la segundabola sea roja,
(ii) ambasbolas seandel mismo color.
Respectoal problema anterior. (i) Si la segundabola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja?
(ii) Si ambas son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
Una caja contiene tres monedas,dos de ellas corrientes y una de dos caras. Se seleccionaal azar una moneda y se lanza
dos veces. Si apareceambas vecescara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras?
(i)
(ti)
A;
de
bola
una
saca
se
luego
y
A
en
B.
se
pone
de
y
bola
B
de
una
bola
saca
una
se
saca
luego
y
B
se
6,
en
un
o
pone
3
un
se
y
A
de
aparece
si
bola
una
corriente;
saca
dado
se
un
lanza
lo
de
Se
4.49. Se nos dan dos urnas como sigue:
Una urna A contiene5 bolasrojasy 3 blancas.
La otra urnaB contiene1 bola roja y 2 blancas.
contrario,
'-.".
PROCESOS ESTOCASTICOS FlNITOS
¿CuAles la probabilidadde que ambasbolasseanrojas?
¿CuAlesla probabilidadde quelas dosbolasseanblancas?
4.50. Una caja A contienenuevecartasnumeradasde l a 9, y otra caja B contiene5 cartasnumeradas
de l a 5. Se escoge
una caja al azar y se saca una carta; si la carta indica un número par, se saca otra carta de la misma caja; si la carta es
de número impar, se sacauna carta de la otra caja.
4.51.
(i)
¿Cuáles la probabilidadde que ambascartasmuestrennúmerospares?
(ii)
(iii)
Si ambas cartas muestran números pares, ¿cuál es la probabilidad de que procedan de A?
¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas tengan números impares?
Una caja contieneuna monedacorrientey una de doscaras.Seescogeuna monedaal azary selanza.Si aparececara,
selanzala otra moneda;si aparecesello,selanzala mismamoneda.
(i)
(ii)
Hallar la probabilidad de que salga cara en el segundolanzamiento.
Si resulta cara en el segundolanzamiento, hallar la probabilidad de que también aparezcaen el primero.
Una caja contiene tres monedas,dos corrientes y una de dos caras. Se seleccionauna monedaal azar y selanza. Si sale cara se lanza la moneda de nuevo; si sale sello, entoncesse escogeotra moneda entre las dos que quedany se lanza.
4.53.
./
[CAP. 4
E INDEPEN
70
(i)
(ii)
Hallar la probabilidad de que salga cara dos veces.
Si se lanza la misma moneda dos veces,hallar la probabilidad de que sea la moneda de dos caras.
(iii)
Hallar la probabilidad de que salga sello dos veces.
Una urna A contiene x bolas rojas y y bolas blancas, y otra urna B contiene z bolas rojas y v blancas.
(i)
Si se escogeuna urna al azar y se sacauna bola, ¿cuál es'la probabilidad de que la bola sea roja?
(ii)
Si se saca una bola de la urna A y se pone en la B y luego se sacauna bola de la urna B. ¿cuáles la probabilidad de
que la segundabola sea roja?
71
INDEPENDENCIA
CONDICIONAL
PROBABILIDAD
E
4.54. Una caja contiene 5 tubos de radio de los cuales 2 son defectuosos.Se prueban los tubos uno tras otro hasta que se descubren dos defectuosos.¿Cuál es la probabilidad de que se suspendael proceso en la, (i) segundaprueba? (ii) la tercera
prueba?
4.55. Respectoal problema anterior. Si el proceso se suspendeen la tercera prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el primer
tubo no seadefectuoso?
INDEPENDENCIÁ
4.56. Probar: Si A Y B son independientes.entoncesA y BC' son independientesy A C y B son independientes.
B.
de
subconjunto
es
A
si
p
Hallar
(iii)
P(A U B) = i y P(B) = p. (i) Hallarp si A y B sonmutuamente
exclusivos.
independientes.
son
B
y
A
si
p
Hallar
(ii)
4.57. Seanlos eventosA y B con P(A) = l.
4.~.
cada
de
bola
una
saca
urna, ¿cuál es la probabilidad de que las dos seandel mismo color?
todas
caras
otodas
sellos
1,B=Idos
caras
por
lomenos
Iy
I
=
A
Sea
corrientes.
monedas
tres
lanzar
de
caso
el
Si se sacan dos bolas de cada urna, ¿cuáles la probabilidad de que todas las cuatro bolas seandel mismo color?
Sea
c
4.59.
(ii)
se
Si
(i)
4.58. Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 blancas,y una urna B contiene 2 rojas y 6 blancas.
= I dos caras cuando más l. De las parejas (A, B), (A, C) Y (B, C), ¿cuálesson independientesy cuálesdependientes?
La probabilidadde queA dé en el blancoes 1 y la probabilidadde queB dé esl.
(i)
(ii)
Si cada uno dispara dos veces,¿cuál es la probabilidad de que el blanl'o sea alcanzado una vez por lo menos?
Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vez, ¿cuál es la probabilidad de que A dé en
el blanco?
(iii) Si A puededispararsolamentedos veces,¿cuántasvecesdebedispararB para quehaya por lo menosun 90%
4.62. Supóngaseque A.
p(BCIA).
(iii)
lB),
P(A
(ii)
P(B),
(i)
Hallar,
i.
=
B)
U
P(A
y
!
=
P(A)
con
B
y
A
independientes
eventos
Sean
4.61.
los
de probabilidad de que el blanco sea alcanzado?
B. C son eventos independientes.Comprobar que cualquiera de las combinaciones
Ac, B, C; A, Bc, C; ...;
Ac, Bc, C; o..;
Ac, Bc, Cc
son también independientes.Además, comprobar que A y B U C son independientes;y así sucesivamente.
INDEPENDIENTES
PRUEBAS
P(A).
hallar
y
exactamente;
veces
dos
menos.
blanco
lo
al
por
vez
pegue
una
hombre
el
blanco
ál
que
para
pegue
A
hombre
evento
el
que
del
de
elementos
los
probabilidad
la
Determinar
Hallar
(ii)
(i)
4.63. Un tirador pega(H), a su blancocon probabilidad0,4; y ademásfalla (M), con probabilidad0,6. Disparacuatroveces.
4.64. Un equipogana(W), con probabilidad0,5; pierde(L) con probabilidad0,3; y empata(T), con probabilidad0,2. El
equipo juega dos veces. (i) Determinar el espaciomuestral S y las probabilidades de los eventoselementales. (ii) Hallar
la probabilidad de que el equipo gane una vez por lo menos.
4.65. Consideremosun espacio de probabilidad infinito contable S
T
y sea
P(Sl'
=
S"
82'
= {al' a2,. . .}. Sea
:
. . ., 8,,) = P(sJ P(S2). . . P(8n)
=
{(SI,S2'
...,Sn)
atES}
Comprobarque T tambiénes un espaciode probabilidadinfinito contable.(Esto generalizala definición(página58)
de pruebas independientespara un espacio infinito contable.)
E
73
INDEPENDENCIA
PROBABILIDAD
CAP. 4]
CONDICIONAL
.
4.52.(i) n + n + t = l. (ii) l. (iii)n
de árbol
del
(11)
4.53. (i) t(z-f;- + zf;),
00
problema
4.52
Diagrama
de árbol
del
problema
4.54
%%+%+11%
Diagrama
(%+11)(%+"+
1)
n, (ti) 1\; debemos incluir el caso en que los tres tubos no defectuosos aparecen primero, puesto que los
últimos dos tubOstienen que ser los defectuosos
4.54. (i)
4.55. i
(ti)
l,
..
55
11
18'
( )
m
.
n'
() 7
1
4.58.
4.57. (i)
(tii)
1:
4.59. SolamenteA y B son independientes
4.61. (i)
1, (ti)!,
(i)
4.64.
(ii)
(ii)
(ii)
l,
(iii) 5
(iti) ¡
= {HHMM,HMHM,HMMH,MHHM,MHMH,MMHH}, P(A) = 0,3456
A
1
S
(i)
1,
4.63.
4.60. (i)
-
(0,6)4= 0,8704
= {WW,WL,WT,LW,LL,LT,TW,TL,TT}
0,75