8.5 Juegos repetidos con horizonte finito. Los equilibrios en los

8.5 Juegos repetidos con horizonte finito.
Los equilibrios en los juegos repetidos con horizonte
finito serán sustancialmente diferentes de los obtenidos
en los juegos repetidos con horizonte infinito.
La razón reside en la influencia determinante que tiene el
último periodo del juego repetido en el razonamiento
estratégico de los jugadores, ya que pueden utilizar la
inducción hacia atrás.
Estos adoptarán sus estrategias siendo conscientes de
que el resultado que se consiga en el último periodo
afectará al comportamiento de los jugadores en los
periodos previos.
Por ello, también será importante la estructura del juego
constituyente para efectuar una predicción del resultado.
Un juego de etapa con un único equilibrio Nash.
Supongamos el siguiente juego simultáneo G como juego
de etapa.
I
C
D
A
4,4
2,2
-1,-1
B
5,1
2,3
-1,-1
Consideremos la repetición dos periodos del juego G,
donde al final de cada periodo los jugadores consiguen la
información del resultado en ese periodo y sus pagos son
la suma de los pagos por periodo.
Es decir, por sencillez suponemos que el factor de
descuento es la unidad.
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Cuando este juego simultáneo se juega una sola vez,
comprobamos que existe un único equilibrio Nash, el par de
acciones (B, C), que proporciona unos pagos de (2,3).
Sin embargo, la combinación de acciones (A,I) proporciona
unos pagos de (4,4) que Pareto-domina el resultado (2,3),
pero que no es un EN.
De hecho, la acción B es la acción débilmente dominante del
jugador 1.
Obsérvese que este juego tiene estructura de dilema del
prisionero, pero sólo por parte del jugador 1.
Con otras palabras, para el jugador 1 es acción dominante la
acción B y esto impide que el jugador 2 coopere, aunque
para éste último cooperar (I) es mejor respuesta a A por
parte del jugador 1.
Veamos si es posible inducir a la cooperación al jugador 1
en el juego repetido con horizonte finito.
Es decir, si podemos conseguir que juegue A en un EN del
juego repetido, de forma que el jugador 2 pueda jugar I,
obteniéndose el resultado eficiente (cooperativo).
La primera conclusión sencilla que obtenemos es que la
cooperación, es decir, jugar (A,I), no será posible en el
último periodo (t = 2), pues no es equilibrio del juego
constituyente.
La idea es sencilla: la única forma de “obligar” a cooperar
a jugadores egoístas es mediante la amenaza de un
castigo futuro, como ya sabemos. Pero, ¡en el último
periodo ya no existe futuro!
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Por consiguiente, en cualquier EN de un juego repetido
con horizonte finito, las estrategias deben estipular que
se juegue un EN del juego constituyente en el último
periodo.
En nuestro caso, que se juegue el par de acciones no
cooperativas (B, C).
Luego, cuando hablamos de conseguir que el jugador 1
coopere, jugando A, nos referimos a hacerlo en los
periodos anteriores, en nuestro ejemplo, en t = 1.
El mecanismo para obtener dicha cooperación en los
periodos anteriores a la fecha límite es el mismo que
obtuvimos en juegos repetidos con horizonte infinito: la
amenaza de castigo futuro si no se coopera.
La siguiente estrategia del jugador 2 incorpora dicho
castigo y junto con la estrategia que describimos del
jugador 1, constituirán un EN del juego repetido.
Estrategia del jugador 1:
•En el primer periodo, t = 1, jugar A
•En el segundo periodo, t = 2,
jugar B, tras cualquier historia posible
Estrategia del jugador 2:
•En el primer periodo, t = 1, jugar I
•En el segundo periodo, t = 2,
jugar C , si el jugador 1 ha jugado A en t=1.
jugar D si el jugador 1 ha jugado B en t= 1.
El vector de pagos derivado de esta combinación de
estrategias es (6,7), pues la senda de juego que
observaríamos es (A,I) en t = 1 y (B,C) en t =2.
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Estas estrategias constituyen un equilibrio Nash.
Supongamos que el jugador 2 se mantiene fijo en su
estrategia y que el jugador 1 se desvía y juega B en t = 1.
Se puede observar que a priori, éste es el único jugador
que tiene incentivos a desviarse.
En este caso, obtendría un pago de 5 en el primer periodo,
pero dada la estrategia del jugador 2, obtendría un pago
de –1 en el último periodo, por lo que globalmente sus pagos
serían de 4.
Por tanto, el jugador 1 no tiene incentivos a desviarse.
Puede comprobar que tampoco el jugador 2 tiene
incentivos a desviarse.
Por consiguiente, tendríamos un EN del juego repetido
caracterizado por el hecho de que en el primer periodo se
juegan las estrategias (A,I), que no constituyen un EN del
juego de etapa,
pero que proporcionan unos pagos
superiores.
Es decir, hemos obtenido cooperación en el primer periodo.
De hecho, si el horizonte fuera más largo, pero finito, no
habría problemas para obtener este mismo tipo de EN en
el que los jugadores cooperan en todos los periodos menos
en el último.
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Sin embargo, estas estrategias no forman un equilibrio
perfecto.
Es decir, este EN del juego repetido está basado en la
amenaza no creíble por parte del jugador 2 de jugar la
acción D en el último periodo si el jugador 1 se desvía en el
primer periodo.
No es creíble porque si el jugador 1 se desvía y juega B en
el primer periodo, ante este hecho consumado, la mejor
respuesta del jugador 2 en el segundo periodo es jugar C,
el EN del juego constituyente, obteniendo un pago de 3 y
no jugar D, que le reporta un pago de -1.
Luego, el único plan creíble del jugador 2 es que jugará C
en t = 2, sea cual sea la historia, es decir, lo sucedido en
t = 1.
Por supuesto, esta ausencia de una amenaza de castigo
creíble hace que el jugador 1 no cooperará en el periodo
anterior, t = 1.
En definitiva, el único equilibrio perfecto del juego repetido
lo constituye el par de estrategias :
Jugador 1: elegir B en t = 1, y elegir B en t = 2, para toda
historia.
Jugador 2 : elegir C en t = 1, y elegir C en t = 2, para toda
historia.
La senda de equilibrio a que da lugar este par de estrategias
es la mera repetición del equilibrio Nash de etapa:
{(B,C),(B,C)}.
En definitiva, no es posible obtener la cooperación en
equilibrio perfecto.
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Obsérvese que el resultado obtenido en este ejemplo
puede generalizarse:
para cualquier juego repetido con horizonte finito G(T)
con un único EN en el juego constituyente G,
el único equilibrio perfecto viene dado por la repetición
en cada periodo del EN del juego de etapa.
La razón se debe a que como el juego repetido finito es
un juego secuencial finito, al resolver el juego mediante
la inducción hacia atrás, el resultado en el último periodo
debe ser necesariamente el equilibrio Nash.
Por tanto, en el penúltimo periodo, como ya se anticipa
este resultado, no se puede construir una amenaza
creíble que obligue a jugar en este periodo acciones que
no sean las del EN del juego de etapa.
El único plan creíble para el siguiente periodo es jugar las
acciones de dicho EN tras cualquier historia, pero esto
implica que también en el penúltimo periodo se jugará en
cualquier caso el EN y, así sucesivamente hasta llegar al
primer periodo.
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Luego, según este resultado es imposible sostener la
cooperación en un dilema de los prisioneros repetido con
horizonte finito por largo que éste sea.
Este resultado es paradójico pues contradice la evidencia
experimental existente cuando el número de periodos es
alto.
Como veremos, la explicación a esta paradoja, puede residir
en el supuesto que hasta el momento hemos mantenido de
existencia de información completa sobre la motivación de
los jugadores.
En el tema 9 analizaremos este juego con ciertas dosis de
información incompleta y comprobaremos como de forma
natural nuestra predicción cambiará en una dirección más
realista
Pero, aún manteniendo el supuesto de información completa,
si el juego de etapa tiene múltiples EN este resultado cambia,
como ilustraremos mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2: Un juego de etapa con varios equilibrios Nash.
Consideremos la repetición dos periodos del siguiente juego
simultáneo, donde nuevamente los pagos totales de los
jugadores son la suma de los pagos por periodo.
T
N
B
L
7,7
8,2
1,2
M
2,8
5,5
1,1
R
1,2
1,1
2,3
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En el juego constituyente existen dos EN: el equilibrio
(N,M) que proporciona unos pagos de (5,5) y el equilibrio
(B,R) que proporciona unos pagos de (2,3).
Ahora bien, ninguno de estos EN es eficiente. Como vemos
el resultado eficiente (cooperativo) es (T,L) con unos
pagos (7,7).
En este caso, la cooperación no es posible en el juego
aislado, porque ambos jugadores se desviarían a una acción
no cooperativa.
Sabemos que en el segundo y último periodo se jugará un
EN del juego de etapa.
La pregunta nuevamente es si podemos sostener en
equilibrio perfecto del juego repetido la cooperación en el
primer periodo.
Pero, obsérvese que ahora el juego constituyente tiene
dos EN y, lo que es más importante, uno de ellos es
“mejor” que el otro.
Es decir, el EN (N,M) ofrece más pagos a ambos
jugadores que el EN (B,R).
Este hecho, nos permite construir amenazas creíbles que
sostienen la cooperación.
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Las estrategias que formarían dicho equilibrio perfecto son
las siguientes:
Estrategia del jugador 1:
•En el primer periodo, t = 1, jugar T
•En el segundo periodo, t = 2,
jugar N, si en t = 1 se ha jugado (T,L).
jugar B, si en t = 1 se ha jugado otra cosa.
Estrategia del jugador 2:
•En el primer periodo, t = 1, jugar L
•En el segundo periodo, t = 2,
jugar M, si en t = 1 se ha jugado (T,L)
jugar R, si en t = 1 se ha jugado otra cosa.
Por tanto, la senda de equilibrio perfecto del juego sería
{(T,L), (N,M)} en la que se obtendrían unos pagos de (7,7)
en el primer periodo y de (5,5) en el segundo.
Obsérvese que se ha obtenido un EP en el que en el
primer periodo se juegan acciones que no forman un EN
del juego de etapa.
Estas estrategias forman un equilibrio Nash porque, si
mantenemos fija la estrategia del jugador 1, si el jugador
2 se desvía a M en t = 1 obtiene un pago de 8 en ese
periodo, pero un pago de 3 en el segundo periodo,
obteniendo un pago total de 11.
Por tanto, el jugador 2 no tiene incentivos a desviarse.
Los mismos argumentos se aplican para descartar
posibles desviaciones del jugador 1.
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Se trata de un equilibrio perfecto porque está basado en la
amenaza creíble de jugar en el segundo periodo el EN
inferior en pagos en vez del EN superior en pagos, para
disuadir a los jugadores de que se desvíen para obtener 8 en
lugar de 7 en el primer periodo.
Esta es una amenaza creíble porque (B,R) es un EN del juego
de etapa.
Luego, la existencia de un EN del juego de etapa que Paretodomina a otro EN permite construir castigos creíbles que
sostienen la cooperación aunque el horizonte sea finito.
Debemos señalar que este no es el único EP de este juego
repetido.
En general, cualquier sucesión de EN
constituyente sería un EP del juego repetido.
del
juego
En concreto, para este juego repetido, las siguientes
sendas también serían sendas de EP: {(N,M), (N,M)},
{(B,R),(B,R)}, {(B,R),(N,M)} o {(N,M),(B,R)}.
Pero el hecho destacable es que con multiplicidad de
equilibrios en el juego de etapa, también se pueden
construir un EP del juego repetido con estrategias que
dictan acciones que no formen parte de ningún EN del
juego constituyente.
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Muestre si existe un EP del juego repetido, en el que los
jugadores cooperan en el primer periodo, si los jugadores
tienen un δ = 0.4
En general, este par de estrategias será un EP cuando:
para el jugador 2:
7 + 5δ
δ >= 8 + 3δ
δ, es decir, si δ>= 1/2
para el jugador 1 :
7 + 5δ
δ >= 8 + 2δ
δ, es decir, si δ>= 1/3
Es decir, si δ>= 0.5 habrá un EP donde se juegue cooperación
en el primer periodo
Como δ = 0.4 no existe cooperación en t=1 , ya que 2 se
desviará
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