9. Flujo Supersónico Bidimensional

Lección
Flujo
j
Supersónico
Bidimensional
Pedro Javier Gamez
Gamez--Montero
Dpt. Mecánica de Fluidos
Universitat Politècnica de Catalunya
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Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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Índice y Objetivos Específicos
Índice
Objetivos
Específicos
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‰
‰
‰
El cono de Mach
Onda de choque oblicua
Ondas de choque muy débiles
‰ Explicar la onda/cono de Mach
‰ Interpretar el concepto de onda de choque oblicua
‰ Explicar el fenómeno de la onda de choque oblicua
‰ Reconocer las expresiones de la relación antes y después de la
onda
d d
de choque
h
en ffunción
ió d
dell número
ú
d
de Mach
M h
Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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Perspectiva del Temario
PROPIEDADES
Tema I
ESTÁTICA
Tema II
CINEMÁTICA
Tema III
PRINCIPIOS BÁSICOS
Tema IV
ANALISIS DIMENSIONAL
Tema V
REYNOLDS ALTOS
Tema IX
TURBULENCIA
Tema VII
FLUJO EXTERNO
Tema X
CAPA LÍMITE
Tema VIII
COMPRESIBLE
Tema XI
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REYNOLDS BAJOS
Tema VI
TUBERÍAS
Tema XII
Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
El Cono de Mach
En la Figura, tomada por cortesía de White (White, R.M. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill) , una fuente sonora se
mueve con una velocidad U, que puede ser menor (subsónico), igual (sónico) o mayor
(supersónico) que la velocidad del sonido (en la figura denominada a ≡ c en la presente nomenclatura)
Si la velocidad del objeto es mayor que
la del sonido, se forma el denominado
cono de Mach (hay que considerar
que es tridimensional).
Lo que hay fuera del cono en un cierto
instante es la zona de silencio. Un
objeto en esta zona no es capaz de
“oír” la fuente de sonido hasta que la
onda de Mach no le alcance.
De acuerdo con la figura (c), el ángulo del cono
de Mach es:
c δt
c
⎛
⎞
⎞
−1 ⎛
−1 ⎛ 1 ⎞
μ = sin −1 ⎜
⎟
⎟ = sin ⎜ ⎟ = sin ⎜
⎝ U δt ⎠
⎝U ⎠
⎝ Ma ⎠
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Cuanto mayor es el número de Mach
de la partícula, tanto más esbelto es el
cono de Mach
Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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Onda de Choque Oblicua
En ocasiones un flujo supersónico es desviado por un objeto. Se crea entonces una onda de
choque oblicua que forma una ángulo β con el flujo, que es más o menos arbitrario. El flujo es
entonces deflectado un ángulo θ que es función β y de las condiciones aguas arriba.
El flujo antes de la onda de choque es supersónico. Después puede ser subónico, sónico o
supersónico, dependiendo de las condiciones.
Es conveniente analizar el flujo
descomponiéndolo en sus
componentes normal y tangencial
con respecto a la onda. Para un
VC delgado que incluya a la onda,
aplicando las leyes fundamentales
en forma integral y donde se
omiten las área por ser iguales a
cada lado de la onda, A1= A2
Continuidad:
ρ1vn1 = ρ 2vn 2
Cant. Mov. Normal:
Cant. Mov. Tangencial:
Energía:
5
Por tanto, el único efecto de la
velocidad tangencial es añadir un
2
término constante 12 v t a la
energía cinética en cada
miembro de la ecuación de la
Energía.
p1 − p2 = ρ 2vn22 − ρ1v n21
0 = ρ1v n1 (vt 2 − vt 1 )
vt 1 = vt 2 = vt = Cte
h0 = h1 + 12 vn21 + 12 vt21 = h2 + 12 vn22 + 12 vt22
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Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
Onda de Choque Oblicua
La única diferencia entre estas ecuaciones y las relativas a la onda de choque normal es que
se añade una velocidad tangencial, que es idéntica a ambos lados de la onda.
Por lo demás son idénticas, con las velocidades normales vn1 y vn 2 en los papeles de
velocidades en la onda de choque normal. Lo único que hay que hacer es definir un número
de Mach normal,
Ma n1 =
v n1
= Ma 1 sin β
c1
Ma n 2 =
vn 2
= Ma 1 sin (β − θ )
c2
Y las relaciones que se obtuvieron para ondas de choque normales se escriben ahora como:
p2 2γMa 2n1 − (γ − 1)
=
p1
γ +1
Ma 2n2 =
(γ − 1)Ma 2n1 + 2
2γMa 2n1 − (γ − 1)
(γ + 1)Ma 2n1
ρ 2 vn1
tan β
=
=
=
ρ1 vn 2 (γ − 1)Ma 2n1 + 2 tan (β − θ )
tan θ =
2 cot β (Ma12 sin 2 β − 1)
Ma12 (γ + cos 2 β ) + 2
T2
2γMa 2n1 − (γ − 1)
= [2 + (γ − 1)Ma 2n1 ]
(γ + 1)2 Ma 2n1
T1
p02 ρ 02 ⎡ (γ + 1)Ma 2n1 ⎤
=
=
p01 ρ 01 ⎢⎣ 2 + (γ − 1)Ma 2n1 ⎥⎦
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γ
( γ −1 )
⎡
⎤
(γ + 1)
⎢ 2γMa 2 − (γ − 1) ⎥
⎣
⎦
n1
1
( γ −1 )
Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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Onda de Choque Oblicua
Calculemos el ángulo de defección θ. Del esquema de la onda de choque oblicua se puede
deducir por trigonometría que
v
v
θ = arctan
t
vn 2
− arctan
t
v n1
Podemos ahora calcular el valor de vt para el cual el ángulo de defección es máximo:
dθ
v
v
v
= 0 ⇒ t = n2 y t =
dv t
v n1
v n1
vn 2
v n1
vn 2
θ max = arctan
v n1
v
− arctan n 2
vn 2
v n1
Este ángulo máximo limita bastante los posibles valores de defección.
Por ejemplo en aire, para Man1 = 5.0 se tiene vn1/vn2 = 5 obteniéndose θmax =41.81º.
(White)
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Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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Onda de Choque Oblicua
En la presente gráfica se ha representado Ma1 en función de β para diferentes valores de θ.
tan θ =
2 cot β (Ma12 sin 2 β − 1)
Ma12 (γ + cos 2 β ) + 2
Para deflexiones θ < θmax existen dos
q
soluciones: una onda de choque
débil ( β pequeño) y una onda de
choque intensa ( β grande).
Para deflexiones nulas ( θ = 0), la
familia de ondas de choque débiles
satisface la siguiente relación para el
ángulo de la onda:
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⎝ Ma1 ⎠
β = μ = sin −1 ⎜⎜
Por tanto, las ondas de choque
débiles con deflexión muy pequeña
son equivalentes a las ondas de
Mach.
(White)
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Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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Ondas de Choque Muy Débiles
Para valores pequeños de θ se puede desarrollar la ecuación de tan θ = … , en serie de
potencias obteniéndose la siguiente relación linealizada para el ángulo de la onda:
sin β ≈ sin μ +
γ +1
tan θ
4 cos μ
Para Ma1 ente 1.4 y 20.0 y deflexiones menores que 6º esta relación predice
le valor de β con un error menor de 1º p
para las ondas débiles.
Para deflexiones más grandes, esta expresión puede utilizarse para obtener un valor inicial.
Otras magnitudes fluidas a linealizar para una onda de choque débil de particular interés son:
p2 − p1
γMa 12
≈
tan θ
p1
(Ma12 − 1)
1
2
s2 − s1 (γ 2 − 1)Ma 16
≈
tan 3 θ
cp
12(Ma
M 12 − 1)
3
2
El incremento de entropía varía con el cubo del ángulo de deflexión θ. Por tanto, las ondas de
choque muy débiles son prácticamente isentrópicas, un hecho que es utilizado para resolver
flujos más complicados, como son las ondas de expansión de Prandtl-Meyer. (en este curso
no serán estudiadas)
(White)
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Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
Conclusiones
Conclusiones
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‰ Se ha explicado la onda/cono de Mach
‰ Se ha interpretado el concepto de onda de choque
oblicua
‰ Se ha descrito el fenómeno de la onda de choque oblicua
‰ Se han expuesto las expresiones de la relación antes y
después de la onda de choque en función del número de
Mach
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Próxima Lección
En la próxima lección, Visita al Laboratorio del Departamento de Mecánica de
Fluidos, veremos:
Índice
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‰
Túnel de Viento, instrumentación y medida
Mecánica de Fluidos – Flujo Supersónico Bidimensional
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