Ejercicios resueltos de trigonometría

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Ejercicios resueltos de trigonometría
1) Resuelve los siguientes triángulos:
a)
9m
40º
b)
70º
70º
10m
c)
120º
20m
20m
2) Desde lo alto de una torre, mirando hacia la izquierda, se ve un árbol que está a 10 metros de la
base, y mirando hacia la derecha, una roca que está a 40 metros. Si el ángulo de visión roca-árbol es
de 90º, calcula la altura de la torre.
3) Desde lo alto de un faro, una persona observa a dos hombres, a izquierda y derecha del edificio.
El que está a la izquierda se halla a 10 metros, y la altura del faro es de 20 metros. Si el ángulo de
visión entre ambos es de 90º, halla la distancia del segundo hombre al pie del faro.
4) Un hombre está al borde de un acantilado, y observa una roca que está al otro lado en línea recta
frente a él. Se desplaza 30 metros en horizontal, hasta que ve la piedra con un ángulo de 35º.
Calcula la anchura del foso.
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5) Resuelve estos triángulos:
a)
90º
6
10
b)
a
4
2a
c)
20
20
12
6) Un hombre que está a una distancia de la base de un árbol, observa la parte alta con un ángulo de
60º. Se aleja 6 metros más en línea recta, y ahora el ángulo de visión es de 30º. Calcula la altura del
árbol.
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Soluciones
1) Resuelve los siguientes triángulos:
a)
9m
40º
El tercer ángulo lo sacamos de la suma de los tres, que debe dar 180º. Por lo tanto, vale 50º.
Los dos lados que nos faltan podemos sacarlos con las razones trigonométricas.
sen 40º = 9/hipotenusa
cos40º = cateto/14
→ hipotenusa = 9/sen40º = 14m
→ cateto = 14·cos40º = 10,72m
b)
70º
70º
10m
El tercer ángulo lo sacamos de la suma de los tres, que debe dar 180º. Por lo tanto, vale 40º.
Para los lados (que son iguales los dos), partimos el triángulo isósceles en dos triángulos
rectángulos cuya base mide 5m y el ángulo inferior 70º. El lado que nos falta es la hipotenusa de
este medio triángulo:
cos70º = 5/hipotenusa → hipotenusa = 5/cos70º = 14,62m
c)
120º
20m
20m
Como es un triángulo obtusángulo isósceles, los dos ángulos que nos faltan deben ser iguales y
sumar 180º junto con el que conocemos. Cada uno vale, por tanto, 30º.
Para hallar la base, partimos el triángulo en dos triángulos rectángulos cuyo ángulo inferior mide
30º y la hipotenusa 20m.
cos30º = lado/20
→ lado = 20·cos30º = 17,32m
Por lo que la base mide 34,64m
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2) Desde lo alto de una torre, mirando hacia la izquierda, se ve un árbol que está a 10 metros de la
base, y mirando hacia la derecha, una roca que está a 40 metros. Si el ángulo de visión roca-árbol
es de 90º, calcula la altura de la torre.
El esquema del problema es como sigue:
90º
10m
40m
Aplicamos el teorema de la altura:
h2 = 10·40
h = 20m
3) Desde lo alto de un faro, una persona observa a dos hombres, a izquierda y derecha del edificio.
El que está a la izquierda se halla a 10 metros, y la altura del faro es de 20 metros. Si el ángulo de
visión entre ambos es de 90º, halla la distancia del segundo hombre al pie del faro.
Un problema muy parecido al anterior, sólo que en este caso la incógnita es una de las partes en que
se divide la base:
202 = 10·x
x = 40 m
4) Un hombre está al borde de un acantilado, y observa una roca que está al otro lado en línea
recta frente a él. Se desplaza 30 metros en horizontal, hasta que ve la piedra con un ángulo de 35º.
Calcula la anchura del foso.
El esquema del problema sería así:
d
30m
35º
Se puede resolver con una simple tangente:
tg35 = d/30
→ d = 30·tg35 = 21m
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5) Resuelve estos triángulos:
a)
90º
y
x
A
6
B
10
Calculamos la altura con el teorema de la altura, y a partir de ahí tenemos dos triángulos rectángulos
que podemos completar con Pitágoras, para luego sacar los ángulos con razones trigonométricas.
h2 = 6·10 → h = 7,75m
x2 = 62 + 7,752 → x = 9,80m
y2 = 102 + 7,752 → y = 12,65
cosA = 6/9,80 → A = 52,25º
cosB = 10/12,65 → B = 37,77º
b)
a
4
2a
Conocemos el ángulo de 90º, por lo que sabemos que los dos ángulos restantes deben medir otros
90º. Si eso es así: a + 2a = 90, por lo que a = 30º y 2a = 60º. Con esos ángulos y un lado, con las
razones trigonométricas, calculamos los dos lados que nos faltan.
sen60 = 4/hipotenusa → hipotenusa = 4/sen60 = 4,62
cos60 = cateto/4,62 → cateto = 4,62·cos60 = 2,31
B
c)
20
A
20
12
A
Dividimos el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de base 6 e hipotenusa 20. Con pitágoras
sacamos el cateto que falta (que se corresponde con la altura del triángulo original) y a partir de ahí usamos
las razones trignométricas para sacar los ángulos.
202 = 62 + cateto2 → cateto2 = 400 – 36 → cateto = 19,08
cosA = 6/19,08 → A = 71,67º
B = 180º – 71,67º – 71,67º = 36,66º
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6) Un hombre que está a una distancia de la base de un árbol, observa lo alto con un ángulo de
60º. Se aleja 6 metros más en línea recta, y ahora el ángulo de visión es de 30º. Calcula la altura
del árbol.
El esquema de este problema sería así:
h
30º
60º
6
Tenemos que plantear dos ecuaciones usando la tangente, una en cada triángulo.
Para el triángulo más pequeño:
tg60 = h/x
Para el más grande:
tg30 = h/(x+6)
A partir de ahí hacemos un sistema de ecuaciones y calculamos la altura del árbol.
tg60 = h/x
tg30 = h/(x+6)
→ h = x·tg60 → h = 1,73x
tg30 = 1,73x/(x+6)
0,58(x+6) = 1,73x
0,58x + 3,46 = 1,73x
3,46 = 1,73x – 0,58x
3,46 = 1,15x
x = 3,46/1,15 = 3m
No es lo que nos piden (x es la distancia que había al principio entre el hombre y el árbol), pero nos
sirve para calcular la altura, y, de todas formas, es otra cosa que nos podrían haber preguntado.
h = 1,73·x
h = 1,73·3
h = 3,52m
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