Investigación sobre diferenciabilidad

Ejercicios de Diferenciabilidad
1) a) Obtener un valor aproximado de (-1,05)2 + (3,03)2.
b) Calcular aproximadamente sen 2 (1,6)  3 e 0.02 teniendo en cuenta la aproximación
 / 2  1,571 (ejercicio 10 capítulo 3, [1])
2) El largo y el ancho de un rectángulo miden respectivamente 30 cm y 24 cm, con un error
máximo en la medición de 0,1 cm en cada una de las dimensiones. Use diferenciales
para estimar el error máximo en el área calculada del rectángulo (ej 33 sección 14.4 [2]).
3) Suponga que el lector necesita saber una ecuación del plano tangente a la superficie S en
el punto P(2,1,3). No tiene una ecuación para S pero sabe que las curvas
r1(t) = (2+3t, 1-t2, 3 -4t + t2)
y r2 (u) = (1+u2, 2u3 -1, 2u + 1 )
se encuentran ambas en S. Encuentre una ecuación del plano tangente a S en P (ejercicio
42 sección 14.4 [2] ).
4) En un cierto proceso productivo se emplean x piezas de maquinaria operadas por y
1
2
trabajadores, obteniéndose f ( x, y )  30 x 3 y 3 unidades de producto. Se parte de la
situación inicial de xo = 1000 máquinas e yo = 8000 trabajadores, y se desea obtener un
incremento de producción del 0,2%. Analizar las siguientes posibilidades.
a) La empresa adquiere una nueva máquina. ¿Cuántos trabajadores adicionales debería
contratar?
b) Por necesidades de producción, cada máquina nueva que se adquiera debe ser
operada por dos trabajadores. ¿Cuántas máquinas nuevas habría que adquirir y cuantos
trabajadores habría que contratar para producir el mismo incremento?
c) La empresa contrata 40 nuevos trabajadores. ¿Cómo interpretar el resultado
obtenido?
(Página 114 [1])
Soluciones
Comencemos con un ejercicio sencillo para familiarizarnos con los conceptos básicos.
1) a) Obtener un valor aproximado de (-1,05)2 + (3,03)2
Si nos hubieran pedido calcular (-1)2 + 32, obviamente no habría ninguna dificultad en
responder de forma inmediata que el valor es 10.
Vamos a aprovechar este hecho para dar la aproximación pedida.
Consideremos la función
f ( x, y )  x 2  y 2
y el punto
(xo,yo) = (-1,3).
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El valor que debemos aproximar esta dado por f (-1.05, 3.03), sabiendo que f (-1,3) = 10
El incremento de la función está dado por:
∆f
= f ( -1.05, 3.03) – f (-1, 3)
= f ( -1 + (-0.05) , 3 + 0.03) – f (-1, 3)
Como (xo, yo) = (-1, 3), el vector de incrementos es (∆x, ∆y) = ( -0.05, 0.03).
La función f es diferenciable en R2 (ejercicio), con lo cual, podemos aproximar el valor de
∆f por el valor de la diferencial de f en el punto (-1, 3) correspondiente al incremento
(-0.05, 0.03), lo cual notaremos df :
f  df
df  f x ( xo , y o ) . dx  f y ( xo , y o ) . dy
 2 x o . x  2 y o . y
con lo cual resulta :
f (1.05,3,03)  f (1,3)  f x (1,3) . (0.05)  f y (1,3) . 0.03
y finalmente
f (1.05,3,03)  f (1,3)  f x (1,3) . (0.05)  f y (1,3) . 0.03
Finalmente, el valor pedido es f (1.05,3,03)  10  0.1  0.18  10.28
El valor exacto, si recurrimos a la calculadora, es 10,2834.
Podemos observar que la aproximación que obtuvimos es cercana.
Tratemos de interpretar geométricamente el problema.
Debido a la escasa claridad que nos ofrece la representación en 3 dimensiones del
paraboloide con su plano tangente en el punto considerado, realizaremos esquemas
aclarativos que no corresponden a la representación gráfica de la función que estamos
considerando aquí.
Consideremos la superficie S dada por
z = f ( x, y )  x 2  y 2
y el punto
P (xo, yo , zo) = (-1, 3, f(-1, 3) ) = (-1, 3, 10)
Sea C1 la curva intersección de la superficie S con el plano de ecuación y = yo.
fx (xo, yo) representa la pendiente de la recta T1 tangente a la curva C1 en el punto P.
El vector tangente a la curva C1 en el punto P es ux = (1 , 0 , fx(xo, yo) )
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Plano y = yo
 y  yo
C1 
 z  f ( x, y )
T1
z
Una posible
parametrización de C1 es:
S
ux
x  x

C1  y  y o
 z  f ( x, y )

o
C1
y
xo
de donde se obtiene el
vector ux .
yo
x
De manera similar sea C2 es la curva intersección de la superficie S con el plano de
ecuación x = xo.
fy (xo, yo) representa la pendiente de la recta T2 tangente a la curva C2 en el punto P.
El vector tangente a la curva C2 en el punto P es uy = ( 0 , 1 , fy(xo, yo ) )
z
 x  xo
C2 
 z  f ( x, y )
Plano x = xo
S
Una posible
parametrización de C2 es:
uy
C2
T2
x  xo

C1  y  y
z  f ( x , y)
o

yo
xo
y
de donde se obtiene el
vector uy .
x
El plano tangente a la superficie que pasa por el punto P (xo, yo, zo) debe contener a las
rectas tangentes a la superficie S en las direcciones de x e y en el punto P, por lo que un
vector n normal al plano tangente podemos obtenerlo haciendo el producto vectorial entre ux
y uy:
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n  ux  uy 
1 0
f x ( xo, yo)
0 1
f y ( xo, yo)
z
 ( f x ,  f y , 1)
n
S
P
ux
uy
Plano tangente
y
x
Recordando lo aprendido en Algebra I, una ecuación del plano con vector normal n que pasa
por el punto (xo, yo, zo) es:
 f x ( xo , yo ) . ( x  xo )  f y ( xo , yo ) . ( y  yo )  1 . ( z  zo )  0
O equivalentemente:
z – zo = f x ( xo , y o ) . ( x  xo )  f y ( xo , yo ) . ( y  y o )
como ya se había obtenido en teoría.
La expresión lineal obtenida de la ecuación anterior despejando z, L(x, y) es:
L(x, y) = zo + f x ( xo , y o ) . ( x  xo )  f y ( xo , yo ) . ( y  y o )
df
y es la única expresión lineal en x e y que aproxima a la función f(x, y) en el punto indicado,
que llamamos aproximación lineal o aproximación del plano tangente en (xo, yo, zo).
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Destaquemos que:
• df representa el incremento que experimentaría la función al pasar de (xo, yo) a
(xo + ∆x, yo + ∆y) si la función se sustituyese por su aproximación lineal en (xo, yo).
Representa el incremento medido sobre el plano tangente a S en el punto (xo, yo, zo)
• ∆f es el incremento real que experimenta la función al pasar de (xo, yo) a
(xo + ∆x, yo + ∆y) medido sobre la superficie
b) Calcular aproximadamente
 / 2  1,571
sen 2 (1,6)  3 e 0.02 teniendo en cuenta la aproximación
Si miramos detenidamente el valor que nos piden calcular, podemos notar que es fácil
realizar sin calculadora el cálculo más sencillo
sen 2 / 2  3e0  1  3  2
lo cual nos sugiere considerar el punto
(xo, yo) = (π/2, 0)
el vector de incrementos
(∆x, ∆y) = (1.6 – 1.571) = (0.029, -0.02)
y la función
f ( x, y )  sen 2 x  3e y .
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La función así definida es diferenciable en R2, pues:
senx cos x
 fx(x,y) =
es continua en R2 dado que el denominador nunca se
2
y
sen x  3e
anula:

3e y  0 
2
2
y
  sen x  3e  0 ( x, y )  R
2
sen x  0
De manera similar fy (x, y) es continua en R2 (ejercicio)
Aplicando el teorema
Si las derivadas parciales fx y fy existen cerca de (xo, yo) y son continuas en (xo, yo)
entonces f es diferenciable en (xo, yo)
la función f resulta diferenciable en (π/2, 0) y se puede aproximar el incremento de la
función por su diferencial en el punto:
f  df
df  f x ( xo , y o ) . dx  f y ( x o , y o ) . dy 
senx o cos x o
sen 2 x o  3e yo
.x 
3e yo
2 sen 2 x o  3e yo
.y
con lo cual resulta :
f (1.6, 0)  f ( / 2, 0)  f x ( / 2, 0) . (0.029)  f y ( / 2, 0) . (0.02)
y finalmente usando la aproximaciòn dada  / 2  1.571 tenemos
f (1.6, 0)  f (1.571, 0)  f x (1.571, 0) . (0.029)  f y (1.571, 0) . (0.02) 
 2  0  0.015  1.985
2) El largo y el ancho de un rectángulo miden respectivamente 30 cm y 24 cm, con un error
máximo en la medición de 0,1 cm en cada una de las dimensiones. Use diferenciales para
estimar el error máximo en el área calculada del rectángulo (ej 33 sección 14.4 Stewart).
30 cm
24 cm
Consideremos la función
f(x,y) = xy
que da el área de un rectángulo de lados x e y.
En el contexto del problema, Domf= ( x, y ) / x  0, y  0 
Tomemos xo= 30, yo = 24
Omitimos trabajar con las unidades pues todas las medidas están expresadas en cm.
Como el error al medir cada uno de los lados es 0.1 cm, tenemos que | ∆x |  0.1, | ∆y |  0.1
La función f es diferenciable en todo su dominio, pues:
 fx (x, y)= y
contínuas en R2
 fy (x,y) = x
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Para determinar el error máximo en la medición del área tomaremos el máximo error en la
medición de cada uno de los lados, es decir, tomaremos ∆x = 0.1 y ∆y = 0.1.
Error máximo = máximo ∆f ≈ máximo df
Entonces:
df  f x ( xo, yo) dx  f y ( xo, yo) dy
df  yo . x  xo . y  24. 0,1  30 . 0,1  5.4
Comparemos, en este sencillo problema, el valor aproximado df = 5.4 con el incremento
real:
f  f (30.1 , 24.1)  f (30 , 24)  5,41
Representa el área del
rectángulo de lados 30,1 y 24,1
Representa el área del rectángulo
original de lados 30 y 24
Obviamente ∆f ≠ df. Más aún, | ∆f – df | = 0.01
Interpretemos los resultados obtenidos:
∆f
= f (xo + ∆x, yo +∆y) – f(xo, yo)
= (xo + ∆x).( yo +∆y) – xo. yo
= xo . ∆x + yo . ∆x + ∆x . ∆y =
=
3
+ 2.4 + 0.01
xo + ∆ x= 30 + 0,1
yo + ∆ y = 24 + 0,1
xo . yo = 30 . 24
∆x . ∆ y
0,1 . 0,1
yo . ∆ x= 24 . 0,1
xo . ∆ y = 30 . 0,1
Los primeros dos términos de esta expresión se corresponden con los incrementos parciales
de la función, obtenidos fijando uno de los lados e incrementando el otro:
Incremento respecto a x: ∆xf = f(xo+∆x , yo) - f(xo,yo) = yo . ∆x = 2,4
Incremento respecto a y: ∆yf = f(xo , yo+∆y) - f(xo,yo) = xo . ∆y = 3
Con lo cual vemos que
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∆f = ∆xf + ∆yf + ∆x . ∆y = 5.41
≠
∆xf + ∆yf = df = 5.4
La diferencia está en el término ∆x . ∆y = 0.01, el cual aparece por el hecho de que la
función no es lineal, y por tanto el incremento medido sobre la función difiere del
incremento medido sobre el plano tangente al cual corresponde la expresión lineal ∆xf +∆yf .
Es decir, el incremento medido sobre la función no es equivalente a la suma de los
incrementos parciales.
3) Suponga que el lector necesita saber una ecuación del plano tangente a la superficie S en
el punto P(2,1,3). No tiene una ecuación para S pero sabe que las curvas
r1(t) = (2+3t, 1-t2, 3 -4t + t2)
y
r2 (u) = (1+u2,2u3 -1, 2u + 1 )
se encuentran ambas en S.
Encuentre una ecuación del plano tangente a S en P
Para hallar la ecuación del plano tangente a la superficie S, tenemos distintos caminos:
- si conocemos la ecuación z = f(x, y) de la superficie, y sabemos que la misma es
diferenciable, usando diferenciales obtenemos de forma casi inmediata una expresión
para el plano tangente, mediante la expresión
z  z o  f x ( xo, yo)( x  xo)  f y ( xo, yo)( y  yo)
- si no tenemos la ecuación que representa a S, pero sabemos que la superficie posee
plano tangente en un cierto punto, debemos tratar de hallar el plano tangente con otras
herramientas.
En nuestro caso, no poseemos la información sobre la existencia del plano tangente pero
podemos suponer, dado que pide hallarlo, que la superficie S posee dicho plano en el punto
en cuestión. Además poseemos información sobre dos curvas C1 y C2 que están contenidas
en S, con ecuaciones paramétricas r1 y r2 respectivamente. Más aún, podemos observar que
el punto P (2, 1, 3) está en ambas curvas, para los valores de los parámetros t = 0 y u = 1:
P  C1:
r1(0) = (2,1,3)
P  C2:
r2(1) = (2,1,3)
Además, por la propia definición de plano tangente, sabemos que si C es una curva
cualquiera contenida en S que pasa por el punto P, entonces su tangente en P también estará
contenida en el plano tangente a S que pasa por P.
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De este modo, podemos obtener dos vectores tangentes a las curvas C1 y C2 que están
contenidos en el plano tangente que deseamos hallar. Entonces:
Vector tangente a C1 que pasa por P:
r1´(t) = (3, -2t, -4 + 2t) y para t = 0 obtenemos r1 ´(0) = (3, 0, -4)
Vector tangente a C2 que pasa por P:
r2´(t) = (2u, 6u2, 2) y para u = 1 obtenemos r2 ´(1) = (2,6,2) // (1,3,1) = u2
Recordando lo aprendido en Algebra I, un vector normal al plano tangente buscado puede
ser r1´(0)  u2 = n
n
n = r1´(0)  u2
i j k
n 3 0 4
1 3 1
u2
 (12,  7, 9)
r1’ (0)
Ecuación del plano tangente:
12 x  7 y  9 z  d  0
Como P(2, 1, 3) pertenece al plano tangente, obtenemos d reemplazando las coordenadas de
P en la ecuación anterior, con lo cual la ecuación del plano tangente pedido es:
12 x  7 y  9 z  44  0
4) En un cierto proceso productivo se emplean x piezas de maquinaria operadas por y
1
2
trabajadores, obteniéndose f ( x, y )  30 x 3 y 3 unidades de producto. Se parte de la
situación inicial de xo = 1000 máquinas e yo = 8000 trabajadores, y se desea obtener un
incremento de producción del 0,2%. Analizar las siguientes posibilidades.
a) La empresa adquiere una nueva máquina. ¿Cuántos trabajadores adicionales debería
contratar?
b) Por necesidades de producción, cada máquina nueva que se adquiera debe ser operada
por dos trabajadores. ¿Cuántas máquinas nuevas habría que adquirir y cuantos
trabajadores habría que contratar para producir el mismo incremento?
c) La empresa contrata 40 nuevos trabajadores. ¿Cómo interpretar el resultado obtenido?
Comencemos notando que un 2% de incremento en la producción significa un 2% de la
producción inicial:
Producción inicial:
1
f(xo, yo) = f(1000, 8000) = 30 .1000 3 .8000
2
3
 120.000 unidades de producto.
Incremento del 2%:
∆f = f( xo + ∆x, yo + ∆y) = f (1000 + ∆x, 8000 + ∆y) = 2% de 120.000 = 240
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a) Si la empresa adquiere una nueva máquina, nos están diciendo que ∆x = 1, y al
preguntarnos cuantos trabajadores adicionales debería contratar nos está pidiendo que
hallemos ∆y. Si utilizamos la expresión que nos da las unidades de producción, deberíamos
resolver la ecuación cuya incógnita es ∆y:
f  240
f ( xo  x, yo  y )  f ( xo, yo)  240
f (1000  1 , 8000  y )  f (1000 , 8000)  240
1
2
1
2
30 .1001 3 . (8000  y )
30 .1001 3 . (8000  y )
3
 120.000  240
3
 120.240
Aún cuando podemos resolver esta ecuación sin mayor dificultad, vamos a tratar de obtener
la solución usando una aproximación lineal. De este modo la complejidad resultará bastante
menor.
En el contexto de nuestro problema, como x e y representan cantidades positivas no nulas, y
más aún enteras, resulta que la función f es diferenciable (ejercicio) en su dominio.
Entonces podemos utilizar la aproximación ∆f ≈ df.
f  df
df  f x ( xo, yo) dx  f y ( xo, yo) dy
2
1
1
1 2
2
df  30. .xo 3 . y o 3 .x  30. ..x o 3 . y o 3 .y
3
3
df  40 . x  10 . y
De esta manera, la solución ∆y de la ecuación ∆f = 240 se puede estimar resolviendo la
ecuación df = 240, que es una ecuación lineal en ∆x y ∆y:
40. ∆x + 10 . ∆y = 240 → ∆ y = 20
Esto significa que si la empresa compra una nueva máquina y desea incrementar la
producción en 240 unidades deberá contratar 20 nuevos empleados.
b) Por necesidades de producción, cada máquina nueva que se adquiera debe ser operada por
dos trabajadores. Como ∆x representa la cantidad de máquinas adicionales y ∆y representa
la cantidad de trabajadores adicionales, la condición pedida se escribe simbólicamente:
∆y = 2 . ∆x
Como deseamos producir el mismo incremento, tenemos que resolver la ecuación df = 2400
con la relación ∆y = 2 . ∆x
40. ∆x + 10 . (2 . ∆x) = 240 → ∆ x = 4 y ∆y = 8.
Es decir, se deberán adquirir 4 máquinas nuevas y 8 trabajadores nuevos para producir el
incremento deseado con la condición impuesta.
c) La empresa contrata 40 nuevos trabajadores. ¿Cómo interpretar el resultado obtenido?
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Si contrata 40 nuevos trabajadores, y suponiendo que desea el mismo aumento de
productividad, tenemos:
∆y = 40
40 . ∆x + 10 . ∆y = 240
40 . ∆x + 400 = 240 → ∆ x = -4
¿Qué significado tiene en el contexto de nuestro problema un incremento negativo? Que la
empresa podría prescindir de 4 máquinas y aún así producir el aumento propuesto.
Bibliografía
[1] Cálculo diferencial de varias variables. C. F. Pérez, F. J. V. Hernández, J. M. V.
Montaner. Editorial Thomson.
[2] Cálculo. Trascendentes tempranas. J. Stewart. Editorial Thomson. Sexta edición.
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