D - Canek

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Optimización.
E: Se quiere construir una cisterna con base rectangular y sin tapa, de manera tal que el ancho de la
base sea el doble de la altura de la cisterna. Calcular las dimensiones que debe tener la cisterna
para que el volumen sea de 20 m3 y se requiera la mı́nima cantidad de material en su construcción.
D: H
x
2x
y
El volumen de la cisterna es área de la base (2x × y) por la altura (x) y es igual a 20 m3 (dato
que se proporciona).
V = (2xy)x = 2x2 y = 20.
(a)
El área total (cantidad mı́nima deseada)
A = 2x × y + 2(2x × x) + 2(x × y) = 2xy + 4x2 + 2xy ⇒
⇒ A = 4xy + 4x2 .
(b)
Despejamos y en (a)
y=
(c)
Sustituyendo en (b) obtenemos:
A = 4x
10
x2
10
.
x2
+ 4x2 =
Derivando esta útima función:
A0 = −
40
+ 4x2 .
x
40
+ 8x.
x2
Calculamos la segunda derivada
2x
80
A 00 = 40 4 + 8 = 3 + 8 > 0, pues x > 0.
x
x
Tenemos entonces una curva cóncava hacia arriba, lo cual nos dice que el punto crı́tico que calculemos será un mı́nimo absoluto.
Para calcular los puntos crı́ticos igualamos la primera derivada a cero
40
−40 + 8x3
+
8x
=
0
⇒
=0 ⇒
x2
x2
√
1
40
3
⇒ −40 + 8x3 = 0 ⇒ x3 =
= 5 ⇒ x = 5 = 53 .
8
A0 = 0 ⇒ −
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
2
Sustituimos en (c) para ver la dimension del otro lado de la base de la caja:
1
5
10
y = 1 = 2 2 = 2 × 5 3 = 2x.
(5 3 )2
53
Concluimos entonces que las dimensiones de la caja con la mı́nima cantidad de material en su
1
1
construcción son: base cuadrada de lado 2 × 5 3 y de alto 5 3 .