Del gráfico:

Matemática básica para ingeniería (MA105)
Clase Práctica 14.2
1. Dada la siguiente ecuación, identifique la cónica, grafique y encuentre todos sus
elementos. 16 x 2 9 y 2 64 x 54 y 161 0
Completando cuadrados:
(x 2)2 (y 3)2
1
32
42
Centro= C(2; 3)
a 3
b 4
Como c 2 a 2 b 2
Entonces c 5
V1(5; 3)
F1(7; 3)
V2 ( 1;
3)
F2 ( 3;
3)
2. Los focos de la hipérbola están en los puntos ( 13;0) y (13;0) , siendo uno de sus
vértices (5;0) . Determinar la ecuación de la hipérbola.
Del gráfico:
c 13
a 5
Como c 2
b 12
b2
a2
la ecuación de la hipérbola es:
x
y2
x2 y2
1
1
a 2 b2
25 144
2
3. Determine la ecuación de una hipérbola cuyos vértices y focos coinciden con los focos
y vértices de la elipse cuya ecuación es 9 x 2 25 y 2 225 .
De la Elipse
x2
25
y2
9
a 5
b 3
1
c
4
En la Hipérbola
a 4
c 5
c2 a 2 b2
b 3
Luego la ecuación de la Hipérbola es:
x2
a2
y2
b2
1
x2
16
y2
9
1
4. Los focos de la hipérbola 7 x 2 9 y 2 63 son los extremos del lado recto (ancho focal)
de una parábola cuyo eje focal coincide con el eje Y. Determine la ecuación de la
parábola si esta abre hacia abajo.
La Hipérbola dada es:
x2 y2
1
9
7
a 3
b
c
7
4
Del gráfico:
2p 4
p 2
Para la parábola cuya ecuación es:
(x h)2
4p(y k)
Donde el vértice (h, k) (0; 2)
x2
8(y
2)
5. El reflector de una antena de satélite es un paraboloide de revolución con diámetro de
5 pies y profundidad de 2 pies. ¿A qué distancia del vértice debe estar colocada la
antena receptora?
En la figura adjunta se muestra una sección
axial de una antena parabólica.
AB representa el diámetro de 5 pies de
longitud
CD representa la profundidad de 2 pies de
longitud.
Se traza los ejes cartesianos, de modo que
su origen de coordenadas coincida con el
vértice de la parábola.
El receptor de la antena se debe colocar en
el foco de la parábola.
La ecuación de la parábola es
(x h)2 4p(y k)
A
R
B
F
X
D
x2 4py
Como vértice (0; 0)
De la condición del diámetro y profundidad se obtiene que (2,5 ; 2) pertenece a la parábola,
(2,5) 2 4 p(2) , por lo tanto p 0,78125
Respuesta: El receptor de la antena se debe colocar a 0,78 pies de su vértice aproximadamente.
6. Los cables principales de un puente colgante, cuando están en forma de parábola,
distribuyen de manera uniforme el peso del puente. Los cables principales de un
puente en particular están colocados en torres separadas entre si 600 pies. Los cables
están atados a las torres a una altura de 110 pies sobre el piso, y su punto más bajo
está a 10 pies del piso. Si los soportes verticales de los cables están a intervalos de 50
pies a lo largo del nivel del piso, ¿cuáles son las longitudes de estos cables verticales?
La ecuación de la parábola es (x
Como el vértice está en (0; 10)
h)2
4p(y
2
(x)
k)
4p(y
10)
(300)2 4p(100)
Y el punto (300; 110) pertenece a la parábola
x2 900(y 10)
Para hallar la longitud del cable vertical I, reemplazamos en la ecuación x
( 250)2 900(y 10)
y 79, 4
El cable vertical I mide 79,4 pies aproximadamente.
900
250
4p
7. Se sabe que los arcos parabólicos son más resistentes que otros arcos. El arco
parabólico de apoyo de un puente tiene una anchura de 60 pies y está sobre una pista
que mide 30 pies de ancho y pasa por abajo del puente. Con la finalidad de tener una
altura mínima de 16 pies (al nivel del borde de la pista), ¿cuál es la altura máxima del
arco parabólico?
Vértice (0; k)
k es la máxima altura
(altura mínima, útil)
(x h)2 4p(y k)
Como V(0; k)
x2 4p(y k)
(15; 16) pertenece a la parábola
(15)2 4p(16 k)
(30; 0) pertenece a la parábola
(30)2 4p(0 k)
Entonces
225 4p(16 k)
1 16 k
4
k
900 4p( k)
La altura máxima del arco es 21,3 pies
V
(15; 16)
k pies
16 pies
X
(30; 0)
15 pies
Pista
(ancho 30 pies)
Ancho del arco = 30 pies
k = 21,3
8. El arco de un túnel es de forma semielíptica, tiene un ancho en la parte más baja de
16 m y una altura en el centro de 6 m. ¿Qué ancho tiene el túnel a la mitad de su
altura?
Según el gráfico adjunto la ecuación de la elipse:
x2
y
1
2
8
62
d
Evaluamos el punto P ( ; 3) perteneciente a la
2
elipse.
Y
P
6
d
(d )2
2
82
3
62
1
16
d 8 3 13,86
Entonces, el ancho del túnel a la mitad de su altura es aproximadamente 13,86 pies
9. La forma de un litotriptor se construye rotando, con respecto a su eje mayor, la porción
inferior de una elipse debajo de su eje menor. Si la longitud del eje mayor es de 26
pulgadas y la longitud del eje menor es de 10 pulgadas, ¿dónde debe colocarse la
fuente de la onda de choque y el paciente para tener efecto máximo?
Para la elipse que ha generado el LITOTRIPTOR
a 13
b 5
c2 132
c 12
5 pulg
52
La fuente de onda de choque se debe colocar en el foco de la
elipse, es decir, a 12 pulgada del centro de la base del
Litotriptor (a una pulgada de su vértice)
13 pulg
F
LITOTRIPTOR
10. La forma básica de un reflector elíptico es un semielipsoide de semieje mayor a y
semieje menor b. Las ondas emitidas desde el foco F1 se reflejarán en su superficie, y
llegarán al foco F2. Se desea fabricar un reflector elíptico de semieje mayor 17 cm,
de modo que F2 esté a 32 cm del vértice del reflector. Calcular el semieje menor del
elipsoide.
a 17
Se observa que:
17 c 32
c 15
152 172 b2
b2 289 225
b 8
17 cm
F1
c
32 cm
El semieje menor del elipsoide mide
8cm
REFLECTOR ELÍPTICO
F1
11. El semieje mayor de un litotriptor (altura) mide 15 cm y su eje menor (diámetro) 18 cm.
Desde el foco F se emiten ondas de choque intra-acuáticas, de alta energía. Calcule la
distancia del foco F del litotriptor a su vértice.
Para la elipse que genera el Litotriptor.
18 cm
a
b
c2
15
9
152
92
c 12
Es la distancia del centro de la elipse al foco.
La distancia del foco del Litotriptor a su vértice es
15 cm – 12 cm = 3 cm
15 cm
+F
V
LITOTRIPTOR
12. Dos micrófonos, separados 1 milla, registran una explosión. El micrófono A recibe el
sonido 2 segundos antes que el micrófono B. ¿Dónde ocurrió la explosión? (considere
que el sonido viaja a 1100 pies por segundo). Considere 1milla=5280 pies.
2c = 1 milla = 5280 pies
c = 2640
La diferencia de distancias
d(P,B) – d(P,A) es equivalente a lo que
recorre el sonido en 2 s, esto es:
(1100 pies).2 = 2200 pies
Como d(P,B) – d(P,A) = 2200 = 2a,
entonces a = 1100
Por tanto
c2 a2 b2 =5759600
Se concluye que la explosión tuvo lugar
en algún punto de la rama derecha de la
Hipérbola:
x2
y2
1
1210000 5759600
13. En la figura, las estaciones LORAN en A y B están apartadas 500 millas y la nave en P
recibe la señal de la estación A 2640 microsegundos (μs) antes de que reciba la señal
de B.
a. Si se suponen que las señales de radio viajan a 980 pies/μs, encuentre:
d(P,A) – d(P,B).
b. Encuentre una ecuación para la hipérbola indicada. (Use millas como unidad de
distancia).
d(P,A) – d(P,B) = 2640 980
d(P,A) – d(P,B) = 2587200 pies
d(P,A) – d(P,B) = 490 millas
Y (millas)
A
+
P
d(P,A) – d(P,B) = 2a
2a = 490
Entonces a= 245
d(A,B) = 500 = 2c
c = 250
como
c2 a2 b2
Entonces
b2 = 2475
La ecuación de la hipérbola es:
y2
x2
1
60025 2475
250
X (millas)
0
B
-250