Cointegración en series I(1,1)
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En E ell caso más á simple, i l cuando d d dos series i tienen una única raíz estacionaria, son I(1,0), si están cointegradas g implica p q que: Existe una relación en el largo plazo entre las dos series que es estable en el tiempo. O, O en otras t palabras, l b se puede d encontrar t una relación lineal entre ambas series que elimina la raíz unitaria común entre ambas series. Un ejemplo de este caso en la práctica es cuando se estudia la cointegración de series de tipos de interés a corto y largo plazo. En este caso, la relación de cointegración es claramente observable y se puede estimar por el procedimiento de Engle y Granger mediante la regresión Dependent Variable: TREASURY Method: Least Squares Date: 05/11/08 Time: 12:25 Sample: 1993M01 2008M04 Included observations: 184 C FED R-squared Adjusted R-squared S E off regression S.E. i Sum squared resid Log likelihood F-statistic P b(F t ti ti ) Prob(F-statistic) Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 0.482183 0 911246 0.911246 0.095869 0 021728 0.021728 5.029593 41 93875 41.93875 0.0000 0 0000 0.0000 0.906227 0.905712 0 493669 0.493669 44.35498 -130.1953 1758.859 0 000000 0.000000 Mean dependent var S.D. dependent var Ak ik info Akaike i f criterion it i Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat 4.201848 1.607707 1 436905 1.436905 1.471850 1.451069 0.148196 Los residuos de dicha regresión parecen estacionarios RESID 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 10 -1.5 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 L La no estacionariedad de los residuos se puede contrastar formalmente mediante un test D‐F t i i d dd l id d t t f l t di t t tD F Null Hypothesis: RESID1 has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.919414 0.0451 Test critical values: -3.466377 -2.877274 -2.575236 1% level 5% level 10% level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. La hipótesis de raíz unitaria en los residuos se rechaza a un 5% de significación y podemos La hipótesis de raíz unitaria en los residuos se rechaza a un 5% de significación y podemos aceptar que los tipos de interés oficiales de la reserva federal y las letras del tesoro a un año están cointegradas. Es más, parece lógico suponer que la simple diferencia entre los tipos de las letras del tesoro y los tipos de interés oficiales es estacionaria. En otras palabras, existe una relación de equilibrio entre ambas series de forma que en el largo plazo ambas tienen una evolución idéntica 2.00 Diferencia entre los Tipos de Letras del Tesoro a un Año y los Tipos de I t é Ofi i l d l R Interés Oficiales de la Reserva Federal F d l 1.50 1.00 0.50 ‐0.50 ‐1.00 ‐1.50 1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 0.00 El test de raíces unitarias de la diferencia de tipos de interés confirma dicha hipótesis Null Hypothesis: DIFERENCIA has a unit root E Exogenous: Constant C t t Lag Length: 1 (Automatic based on AIC, MAXLAG=13) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.908723 0.0463 Test critical values: -3.466377 -2.877274 -2.575236 1% level 5% level 10% level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Como hemos visto visto, la presencia de cointegración en series que son I(1,0) genera unos resultados análiticos muy intuitivos en los que la evolución de las series cointegradas es similar en el largo plazo. plazo Sin embargo, esta circunstancia se vuelve algo más compleja cuando estudiamos cointegración en series I(1 1) dado que, I(1,1) que como va a quedar claro más adelante, el componente determinista puede permanecer en la relación de cointegración dando lugar a una relación de largo plazo entre las series cointegradas que no es estable en el tiempo. La cointegración entre series I(1,1) es especialmente relevante dado que gran parte de las series económicas muestran crecimiento o decrecimiento sistemático que puede caracterizarse mediante este tipo de procesos. • En procesos I(1,1) se tiene que en ellos hay dos componentes que sólo tendenciales,, uno estocástico de raiz unitaria,, q es responsable que se produzcan oscilaciones locales de nivel en la serie temporal, y otro determinístico, que es el responsable del crecimiento y, y en consecuencia, consecuencia es el componente más importante en el largo plazo. En este contexto dos variables I(1,1) se pueden representar así: 1 1,0 1 1,0 Si tá Si están cointegradas i t d 3 La presencia de raíces unitarias desaparece en 4 pero falta determinar qué ocurre con los componentes falta determinar qué ocurre con los componentes deterministas. Esto se puede ver sustituyendo en (3) y por sus valores en (1) y (2). Así . 5 • Si y están cointegradas, el segundo componente en el término de la derecha de ((5)) es estacionario y el primero p es una tendencia determinista, a no ser que el coeficiente de la relación de cointegración que anula la no estacionariedad de y anule también las tendencias deterministas de y . • Esto último p parece más importante p que lo p q primero ya y que q si la tendencia determinista no se anula esto implica que la posible relación entre las dos variables no es estable en el tiempo sino que evoluciona alrededor de un componente q p determinista. Dicho componente está sustituyendo a otras variables que no incluimos en el sistema por lo que es una indicación de que estamos dejando fuera de nuestro análisis información de interés económico. Esto implica que si tenemos procesos I(1,1), la relación a contrastar es yt = c + ρt + βxt +rt Y si hay cointegración rt es I(0) pudiendo darse dos casos: (1) el más general, 0, con lo que en la relación de cointegración entra una tendencia determinista con lo que yt - c - βxt se distancian cada vez más en el tiempo; (2) ρ=0, en cuyo caso en la relación de cointegración no entra una tendencia y yt - c - βxt es estacionario pues esa relación li l no sólo lineal ól cancela l llas raíces í unitarias it i que hay h en yt y xt, sino que tambien cancela las tendencias deterministas presentes en dichas variables. La evolución de los precios en las diferentes áreas geográficas de un mismo país puede utilizarse para ilustrar estos casos. En general, los precios muestran una evolución con crecimiento sistemáticos en el tiempo. p Uno podría pensar que, por la ley del precio único, el diferencial de precios debería evolucionar de forma estacionaria en el tiempo. El significado económico de esto es que el precio de un artículo en un área geográfica no debería ser muy diferente del precio de dicho artículo en el resto de la nación ya que en caso contrario el arbitraje se encargaría de eliminarlo. Este caso corresponde a la situación (1) en la transparencia anterior. Sin embargo, existen diferentes razones que hacen que se observen diferencias en los niveles de precios de distintas áreas geográficas que no son estables en el tiempo. Por ejemplo, el coste de transporte p en p productos con un valor añadido muyy alto puede hacer el arbitraje no atractivo. También factores asociados a la utilidad del consumo de distintos productos en diferentes regiones tenga diferente interés. Por ejemplo, en el grupo de precios de Artículos no duraderos para el hogar se observa que los precios han crecido de una forma desfavorable a la Comunidad de Cataluña en relación con España en los últimos años 1.02 Precios Relativos de Artículos Precios Relativos de Artículos de Uso no Duradero para el g y p Hogar entre Cataluña y España 1.01 1 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 2005 2002 1999 1996 1993 0.93 Si regresamos los dos precios incluyendo un termino de tendencia determinista, el té i d término de ttendencia d i es significativo i ifi ti y llos residuos de dicha regresión son estacionarios Esto puede verse en las estacionarios. siguientes dos transparencias. Dependent Variable: PrecioCataluña Method: Least Squares Date: 05/11/08 Time: 13:38 Sample: p 1993M01 2008M04 Included observations: 184 C PrecioEspaña @TREND(1993M1) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic) Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 1.094006 0.947447 0.022277 2.908082 0.035814 0.004519 0.376195 26.45433 4.929728 0.7072 0.0000 0.0000 0.991172 0.991074 0.714480 92.39706 -197.7114 10160.95 0.000000 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat 90.68553 7.562612 2.181645 2.234063 2.202891 0.244628 Null Hypothesis: RESID2 has a unit root Exogenous: g Constant Lag Length: 1 (Automatic based on AIC, MAXLAG=13) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical 1% values: level 5% level 10% level t-Statistic Prob.* -2.891255 0.0483 -3.466377 -2.877274 -2.575236 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Lo que se extrae de este análisis es que la relación de largo plazo de los precios de uso duradero en Cataluña es estacionaria una vez que controlamos por un elemento determinista. Este elemento determinista podría ser un sustituto de una variable que estamos dejando fuera del análisis (niveles de ) renta, hábitos de consumo, etc). En un caso así, un analista económico debe continuar investigando en la identificación de las posible información que se está excluyendo para incorporarla al análisis de f id l t en la l especificación ifi ió fi forma que idealmente finall se llogre relaciones de largo plazo estables. Para esto hay que valerse del análisis estadístico y de la teoría económica. En el análisis empírico esto no siempre es posible y a menudo hay que trabajar con relaciones de cointegración que incorporan este elemento determinista. Un ejemplo en el que la evolución de precios relativos parece ser estacionaria es en patatas y sus derivados al tratarse de un bien homogéneo lo que hace fácil su arbitraje. Precios Relativos de Patatas y sus Preparados entre España y Cataluña 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0.9 2007 2005 2003 2001 1999 1997 1995 1993 0.85 En este caso, la relación de cointegración elimina el término de tendencia determinista. Por esto, si hacemos la regresión de los precios de patatas y sus derivados en Cataluña y España sin incluir un término de tendencia, los residuos de esta regresión son estacionarios. Dependent Variable: LOG(PATATASCAT) Method: Least Squares Date: 05/11/08 Time: 14:18 Sample: 1993M01 2008M04 Included observations: 184 LOG(PATATAESP) C R squared R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F statistic F-statistic Prob(F-statistic) Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 0.886665 0.517061 0.008638 0.036929 102.6492 14.00157 0.0000 0.0000 0.983021 0 983021 0.982927 0.031492 0.180499 376.1961 10536 86 10536.86 0.000000 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin Watson stat Durbin-Watson 4.300271 4 300271 0.241019 -4.067349 -4.032404 -4.053185 0 435044 0.435044 RESID .08 .04 .00 - 04 -.04 -.08 -.12 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Null Hypothesis: yp RESID3 has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on AIC, MAXLAG=13) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. t-Statistic Prob.* -5.474778 -3.466377 -2.877274 -2.575236 0.0000 El caso en el que la relación de cointegración elimina el componente determinista es especialmente i l t iinteresante t t para El análisis económico ya que equivale a encontrar una relación de equilibrio que es estable en el tiempo. Elaborar predicciones ya que nos da información sobre como van a evolucionar en el futuro las series según su valor se encuentre por encima o por debajo d b d de lla relación l ó de d equilibrio. lb
