Matemáticas Especiales II (2o semestre) Práctica 6 — Ecuaciones

Matemáticas Especiales II (2o semestre)
Año 2014
Prof: M. Reboiro — JTP: M. Matera
Práctica 6 — Ecuaciones Elı́pticas I - Ecuación de
Laplace
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Problema 1. * La transformada de Laplace La transformada de Laplace se define para funciones f : R+ → R como
Z ∞
FL (s) = L{f (x)}(s) =
exp(−sx)f (x)ds .
0
Demuestre que cuando está definida, la transformada de Laplace inversa viene dada por
Z c+i∞
−1
f (x) = L {FL (s)}(x) =
exp(sx)f (x)ds .
c−i∞
Luego, calcule las transformadas de Laplace de las siguientes funciones (asuma que ℜ(a) > 0) :
1. f (x) = 1
4. f (x) = cos(ax)
2. f (x) = eax
5. f (x) = xa
3. f (x) = sin(ax)
6. f (x) = Θ(x − a)
Problema 2. * Propiedades de la transformada de Laplace Muestre que
1. L{eax f (x)} = L{f (x + a)}.
2. L{Θ(x − a)f (x)} = e−as L{f (x + a)}.
3. L{f ′ (x)} = −f (0) + L{f (x)}.
4.
d
ds L{f (x)}
= −L{x f (x)}.
5. L{f (x) ∗ g(x)} = L{f (x)}L{f (x)}.
Problema 3. *Resolución de ecuaciones por transformada de Laplace Resuelva la ecuacin del oscilador armnico
amortiguado forzado mψ ′′ (t) + γψ ′ (t) + kψ(t) = Θ(t) exp(−at) con la condición inicial ψ(0) = 1, ψ ′ (0) = −1 mediante el
método de la transformada de Laplace.
Ecuaciones Elı́pticas
Problema 4. * Muestre que la solución a la ecuación de Laplace en el semiplano y ≥ 0, con u(x, 0) = f (x) es
Z
y ∞
f (x′ )dx′
u(x, y) =
π −∞ (x − x′ )2 + y 2
Tip: Resuelva utilizando la transformada de Laplace.
1
Problema 5. * Encuentre la solucion a la ecuación de Laplace en la región −∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ b, con u(x, 0) = f (x),
uy (x, b) = 0.
Tip: Utilice Transformada Exponencial de Fourier.
Problema 6. * Separación de Variables en coordenadas Cilı́ndricas. Construya el operador de Laplace ∇2
en coordenadas cilı́ndricas. Luego, encuentre las ecuaciones que deben satisfacer R(r), Φ(φ) y Z(z) de manera que
ψ(r, φ, z) = R(r)Φ(φ)Z(z) sea solución de esta ecuación.
Problema 7. *El problema de Dirichlet 2D Encuentre la solución del problema de Dirichlet en dos dimensiones
∇2 ψ = 0, en el interior de un sector de circunferencia R = {(r, φ)/φ1 < φ < φ2 , r < R} con las condiciones ψ(r, φ1 ) = a,
ψ(r, φ2 ) = b y ψ(R, φ) = a + φb−a
(φ − φ1 ).
2 −φ1
Problema 8. Transformaciones Conformes Encuentre una transformacin conforme que mapee la región R =
{(x, y) ∈ R2 , −π < x < π, y > 0} a la región R′ = {(x, y) ∈ R2 , x2 + 4y 2 ≥ 1}. Utilice este mapeo para resolver el
problema de Dirichlet en R′ .
Problema 9. *Función de Green en 2D y 3D para la Ec. de Laplace . Encuentre la función de Green para la
ecuación de Laplace en todo el espacio.
Problema 10.
*Método de las Imágenes I . Encuentre la función de Green para el problema de Laplace con la
= 0.
condición ∂ψ
∂z z=0
Problema 11. *Método de las Imágenes II . Encuentre la función de Green para el problema de Laplace con la
condición ψ|r=R = 0 donde r es la coordenada radial.
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