METODOS MULTIPASOS

METODOS MULTIPASOS
Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso
porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la información del último punto.
Los métodos multipaso utiliza la información de los puntos previos, a saber,
yi, yi-1,..., yi-m+1 para calcular yi+1. Por ejemplo, en un método de tres pasos para
calcular yi+1 , se necesita conocer yi, yi-1, yi-2.
El principio que subyace en un método multipaso es utilizar los valores previos para
construir un polinomio interpolante que aproxime a la función f(t,y(t)).
El número de valores previos considerados para determinar el polinomio interpolante
nos determina el g
grado del p
polinomio. Por ejemplo,
j p , si se consideran tres p
puntos p
previos,,
el polinomio de aproximación es cuadrático; si se usan cuatro puntos previos, el
polinomio es cúbico.
1
METODOS DE ADAMS
Los métodos de Adams son métodos multipasos. Los métodos de Adams se pueden
clasificar en dos grandes clases: los métodos de Adams-Bashforth y los
métodos de Adams-Moulton. Estos se pueden combinar para formar los métodos
predictor-corrector de Adams-Bashforth-Moulton.
La idea fundamental del método de Adams-Bashforth de n pasos es usar un
polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n puntos:
)
(t i-n+1,ff i-n+1).
)
( ti,ffi), (ti-1,ff i-1),...,
La idea fundamental del método de Adams-Moulton de n p
pasos es usar un
polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n+1 puntos:
(ti+1,fi+1) , (ti,fi),..., (ti-n +1,fi-n+1).
2
Ejemplo1 Deducir el método de Adams-Bashforth de dos pasos para resolver la
E.D.O. y' = f(t,y)
Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por los
puntos: (t i, f i),
) (t i-1
) donde f i-1
y(ti-1
y(ti)).
))
i 1,ffi - 1),
i 1= f(ti-1
i 1,y(t
i 1)); fi = f(ti,y(t
El polinomio interpolante esta dado por:
( ) = ( (t
( i – t ) fi-1+ ( t - ti-1) fi ) / h,, reemplazando
p
este polinomio
p
en la expresión
p
((1):
)
P(t)
3
De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos:
pasos:
métodos de Adams-Bashforth de 2 p
métodos de Adams-Bashforth de 3 pasos:
métodos de Adams-Bashforth de 4 pasos:
4
Ejemplo 2. Deducir el método de Adams-Moulton de un paso para resolver la E.D.O.
yy' = f(t,y)
Sol: y' = f(t, y) 
t
i 1
t
i 1
 y'( t ) dt   f ( t , y( t )) dt
t
t
i
i
t
yi+1 = yi +
i 1
 f ( t, y( t ))dt
t
(1)
i
Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por los
puntos: (ti+1, fi+1), (ti,fi) , donde fi = f(ti,y(ti)); fi+1 = f(ti+1, y(ti+1)).
El polinomio interpolante esta dado por:P(t) = ( (ti+1 – t ) fi+ ( t – ti) fi+1 ) / h,
h
reemplazando este polinomio en la expresión (1):
ti+1
yi+1  yi +  P(t)dt
ti
h
yi+1  yi + (fi+1+ fi )
2
5
De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos:
métodos
ét d d
de Ad
Adams-Moulton
M lt d
de 2 pasos: yi+1=yi+ h (5 fi+1 + 8 fi - fi-1 )/ 12
métodos de Adams-Moulton de 3 pasos: yi+1=yi + h (9 fi+1 + 19 fi - 5fi-1 + fi-2) /24
NOTA.
O
Los métodos de A-B de n pasos son de orden n
Los métodos de A-M de n pasos son de orden (n+1)
6
METODOS PREDICTOR-CORRECTOR
En la práctica los métodos multipaso implícitos (por ejemplo:el método de A-M) ,
no se puede usar directamente. Estos métodos sirven para mejorar las aproximaciones
obtenidas con los métodos explícitos.
La combinación de un método explícito con un método implícito del mismo orden se
denomina un método predictor-corrector.
Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton
La fórmula predictora es la de Adams
Adams-Bashforth:
Bashforth: y
*
= yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9
9 fi-3)/24,
)/24
i1
La fórmula correctora es la de Adams-Moulton: yi+1= yi+ h (9 f
donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1);
*
+19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;
i1
fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f
*
*
= f (ti+1 , y i1 );
i1
Observación Para usar la fórmula predictora se requiere que se conozcan los valores
y0, y1, y2, y3, para obtener y4. Sabemos que y0 es la condición inicial dada
y como el método de A-B-M es de orden 4,, los valores y1, y2, y3 se suelen
calcular con un método de igual orden, es decir de orden 4, como
por ejemplo, el método de Runge Kutta de orden 4.
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Ejemplo: Usar el método de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden con una
longitud de paso de 0.2 para obtener una aproximación a y(1) de la solución
de: y’= t + y -1, y(0) = 1.
Solución: Identificando: f(t,y)= t + y –1; t0 = 0; y0 = 1; h = 0.2
 Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton
Predictor Adams-Bashforth: y* = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24,
i1
Corrector de Adams-Moulton: yi+1= yi+ (9 f
donde: fi = f (ti ,yi); fi-1
i 1 = f (ti-1
i 1 ,yi-1
i 1);
 INICIALIZACION
*
i1
+19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;
fi-2
i 2 = f (ti-2
i 2 ,yi-2
i 2); fi-3
i 3 = f (ti-3
i 3 ,yi-3
i 3); f = f (ti+1 , y
*
i1
con RK clásico de orden 4
yi + 1 = y i +h (k1 + 2k 2 +2k3 )/6
8
);
 INICIALIZACION DE con RK clásico de orden 4
yi + 1 = y i +h (k1 + 2k 2 +2k3 )/6
Iteración1:
It
ió 1
k1= f(t0;y 0)= f(0;1)= 0+ 1 -1 = 0
k2= f(t 0+h/2;y0+h k1/2) = f(0.1;1+ 0.2 k1/2) =f(0.1,1)= 0.1
k3= f(t 0+h/2;y 0+h k2/2) = f(0
f(0.1;1+
1;1+ 0
0.2
2 k2/2)=0.11
/2)=0 11
k4= f(t 0+h,y 0 + h k3) = f(0.2;1+ 0.2 k3)=0.222
y 1 = y0 +h(k 1 + 2k 2 +2k 3 + k 4)/6
y 1 = 1+0.2(0
1+0 2(0 + 20.1
20 1 +2 0.11
0 11 +0.222)/6
+0 222)/6 = 1.0214
1 0214
t 1 = t 0 + h = 0.2
9
Iteración2:
k1= f(t1,y1)= f(0.2; 1.0214 ) = 0.2214
k2= f(t1+h/2,y1+hk1/2)=f(0.3; 1.04354)=0.34354
k3= f(t
( 1+h/2,y
/ ,y1+h k2//2)) f(0.3;
(0 3; 1.05575)=0.35574
055 5) 0 355
k4= f(t1+h,y1 + hk3) =f(0.4; 1.09255) = 0.492551
y 2 = y1 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6
y 2 =1.0214+ 0.2(0.2214+ 20.34354 +2 0.35574 + 0.492551) /6
= 1.09182
t 2 = t 1 + h = 0.4
Iteración3:
k1= f(t2,y2)= f(0.4, 1.09182 ) = 0.491818
k2= f(t2+h/2,y
+h/2 2+hk1/2)=f(0.5,
/2) f(0 5 1.141)=0.641
1 141) 0 641
k3= f(t2+h/2,y2+h k2/2) f(0.5, 1.15592)=0.655918
k4= f(t2+h,y2 + hk3) =f(0.6, 1.223) = 0.823002
y 3 = y2 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6
y 3 =1.09182+0.2 (0.491818+ 20.641 +2 0.655918 + 0.823002) /6
= 1.22211
t 3 = t 2 + h = 0.6
10
 Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton
Predictor Adams-Bashforth: y* = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24,
i1
C
Corrector
t de
d Ad
Adams-Moulton:
M lt
yi+1= yi+ (9 f
donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1);
*
i1
+19
19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;
)/24
*
*
fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f i=1 f (ti+1 , yi 1 );
Iteración4:
y *= y3+ h(55 f3 – 59 f2+37 f1 -9 f0)/24
4
f0= f(t0;y0)= f(0;1)= 0 + 1 -1 = 0 ;
f1= f(t1;y1)= f(0.2;1.0214)= 0.2214
f2= f(t2;y2)= f(0.4;1.09182)=
f(0 4;1 09182)= 0
0.49182
49182
f3= f(t3;y3)= f(0.6; 1.22211)= 0.82211
*
i1
y* = y3+h (55 f3 – 59 f2+37 f1 -9 f0)/24
4 = 1.22211+(55
1 22211 (55 0.82211
0 82211 – 59
59 0.49182
0 49182 + 37
37 0.2214
0 2214 - 9
9 0)0.2/24
0)0 2/24
=1.42536
*
4
*
y4 = y3+ h(9 f +19 f3 - 5 f2+ f1)/24; donde: f 4= f (t4 ; y *4 )= f(0.8;
f(0 8; 1.42536)
1 42536) =1
=1.22536
22536
11
y4 = 1.22211+ (9 1.22536 +19 0.82211 - 5 0.48182 + 0.2214)0.2/24
1 42553
= 1.42553
t 4 = t 3 + h = 0.8
Iteración5:
y * = y4+ (55 f4 – 59 f3+37 f2 -9 f1)  h/24
5
f1= f(t1;y1)= 0.2214; f2= f(t2;y2)= 0.49182; f3= f(t3;y3)= 0.82211
f4= f(t4;y4)= f(0.8; 1.42553)= 1.22536
y * = 1.42553+(55 1.22536 – 590.82211 + 37 0.49182- 9 0.2214) 0.2/24
5
=1.71806
y5 = y4+ (9 f *5 +19 f4 - 5 f3+ f2)  h/24; donde: f *5 = f (t5; y *5 )= f(1; 1.71806) =1.71806
y5 = 1.42553+ (9 1.71806 +19 1.22536 - 5 0.82211+ 0.49182) 0.2  /24
= 1.71827
t5=t4+h=1
Por lo tanto, y(1)  y5 = 1.71827
12
Tabla Comparativa
p
del método de Método Predictor Corrector de cuarto orden de
Adams- Bashforth- Moulton, con el método Runge Kutta de orden 4 clásico, en la
solución de la ecuación y’ = t + y -1, con y( 0 ) = 1, en el intervalo [0,1]
t
0
0.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
A- B- M orden 4
1
1.
1.0214
1.09182
1.22211
1.42553
1.71827
RK4
1
1.0214
1.09182
1.22211
1.42552
1.71825
y exacta
1
1.0214
1.09182
1.22212
1.42554
1.71828
13