Desde una perspectiva Piagetiana, los niños no pueden tener una

COMO COMPRENDE EL NÚMERO EL NIÑO
Mariela Orozco Hormaza
Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados
en Psicología, Cognición y Cultura
Desde una perspectiva Piagetiana, los niños no pueden tener una comprensión significativa del
número hasta tanto ellos alcancen el periodo de las operaciones concretas, más o menos a los 7
años. Las conclusiones contrastantes alcanzadas por Piaget y Gelman pueden ser producto, por lo
menos en parte, de una perspectiva bien diferente sobre lo que significa entender el número.
Para Piaget el número es producto de la fusión de la inclusión y la seriación en una única totalidad
operaria a los conjuntos, haciendo abstracción de sus cualidades. Gelman y Gallistel argumentan
que los niños tienen principios conceptuales básicos que orientan el aprendizaje del conteo en el
periodo preescolar. Los tres primeros principios definen los procedimientos del conteo, el cuarto
define el tipo de objetos a los cuales el procedimiento se aplica, y el quinto distingue el conteo de la
denominación. Gallistel sugiere que los niños conocen este procedimiento a edad temprana pero
tienen dificultad al ponerlo en práctica con los conjuntos más grandes. (Gallistel, Meck, 1989, p.
949) Gelman y Gallistel proponen que los niños no pueden explicar verbalmente los principios, por lo
que deben inferirse de las regularidades en las conductas de los niños durante los diferentes
ensayos del conteo. El conteo ha sido concebido por estas autoras como uno de los procedimientos
que le permiten a los niños establecer una cantidad. Un niño cuenta cuando sabe establecer la
correspondencia Uno a Uno entre los objetos de una colección y la palabra-número”.
PRINCIPIOS DEL CONTEO
Principio de la correspondencia uno a uno
La correspondencia uno a uno consiste en la asignación de una sola etiqueta o rótulo verbal a cada
ítem de la colección. De esta manera, para contar la totalidad de sus elementos, es necesario que a
cada uno de ellos se le asigne una sola palabra de la secuencia numérica convencional. Según los
autores, así se establece la correspondencia término a término entre la serie ordenada de los
números naturales y un conjunto determinado de elementos que forman una colección.
Principio del orden estable
A través de los ensayos de conteo las etiquetas o rótulos verbales deben ordenarse en la misma
secuencia, es decir, el orden de las palabras dichas ha de ser el mismo y no se puede alterar. Es
necesario que los niños aprendan la secuencia verbal de los números que ha sido
convencionalizada por nuestra comunidad matemática y no modificarla a lo largo de las diferentes
ensayos de conteo. Inicialmente las secuencias que el niño utiliza son aleatorias y poco a poco, con
una práctica que requiere memorización y experiencias diversas, va aprendiendo la secuencia
estandarizada, hasta que se vuelva fija e inmodificable.
Principo de la irrelevancia del orden
El orden que el niño utilice para contar los elementos de una colección no importa, es decir que los
objetos pueden rotularse siguiendo cualquier orden, en tanto los otros principios del conteo no se
violen. De esta manera cualquiera que sea el recorrido que el niño realice para contar, por donde se
empiece o se termine, siempre obtendrá la misma cantidad.
Principio de abstracción
Este principio le permite al niño saber que cualquier clase de objetos se puede juntar con el fin de
contarlos. En un sentido más amplio “todo se puede contar”, y los niños utilizan criterios para
organizar por si mismos los objetos en colecciones de objetos enumerables, es decir suceptibles de
ser contados. Esta es la propiedad de selectividad que tienen las colecciones en general.
Principio de la cardinalidad
La última etiquela o rótulo verbal utilizado en la secuencia durante el conteo, es el símbolo de ítems
en la colección. Según los autores, cuando un niño ha terminado de contar y se le pregunta:
“Cuántos hay?”, la respuesta a éste interrogante es una palabra-número con doble significado:
Representa el nombre dado al último objeto contado.
Nos informa sobre la cantidad de objetos que fueron contados.
Una de las tesis sobre el desarrollo numérico temprano, en que Piaget y Gelman difieren, es con
relación es a la comprensión que el niño tiene de las correspondencias uno a uno. Piaget, se centra
en la compresión del niño, de la correspondencia uno a uno como una manera de evaluar la
equivalencia numérica de las colecciones. Concluye que los niños preescolares no entienden la
relación entre numerosidad y correspondencia uno a uno.
Gelman y Gallistel se centran en las apreciaciones de los niños de guardar los números en
correspondencia con los objetos al contarlos y concluyen que los niños preescolares dominan éste
aspecto del conteo y que por supuesto poseen conocimiento de la correspondencia uno a uno.
Gelman especialmente propone que las dificultades de los niños con las tareas de conservación,
descansan en la falta de acceso al conocimiento que está explícito en su conteo y en otros
esquemas de acción, más que en la falta de conocimiento como Piaget sostiene.
Piaget no asigna importancia, ni significado al conteo inicial de los niños, argumentando que es
producto de la memoria y no una reflexión significativa del niño sobre la construcción del número.
Al mismo tiempo, muchos investigadores han argumentado que en las tareas de conservación
propuestas por Piaget, subestima el conocimiento de los niños especialmente porque se le
presentan muchas claves que lo llevan al error, por ejemplo, las claves tipo perceptual. La noción de
que las dos colecciones tienen en mismo número y pueden ponerse en correspondencia uno a uno
es central al concepto de la cardinalidad. Gelman y Gallistel atribuyen a los niños pequeños más
conocimiento sobre la correspondencia uno a uno, que el que Piaget les atribuye. Ellos caracterizan
éste conocimiento como algo que está encajado en esquemas de acción, especialmente esquemas
de comparación y conteo.
Existe sin embargo, una tercera posición que señala: los niños poseen más conocimiento
matemático que lo que Piaget les atribuyó. Sin embargo, su conocimiento no parece estar
relacionado con los esquemas de conteo y otros esquemas de acción.
Una perspectiva desarrollista basada en la interconexión de procedimientos numéricos inicialmente
separados pueden tener más potencial para dar cuenta de la mezcla de éstas fortalezas y
limitaciones de las habilidades numéricas tempranas en el niño. A continuación se describen
algunos de estos supuestos.
OPERACIONES QUE PERMITEN CONSTRUIR LOS NÚMEROS
Para Steffe el niño ha construido el número cuando considera una colección de manera unificada
como una suma de unidades aritméticas. En este sentido es el resultado tanto del control de la
extensión de una colección como de la representación de dicha extensión por un signo único. El
número constituye un desarrollo conceptual resultado de la construcción progresiva de dos
operaciones mentales fundamentales:
Una operación de construcción del concepto de unidad (UNITIZING)
Una operación de unificación, es decir totalizadora (UNITING)
Construcción del concepto de unidad
Los niños más pequeños solo sabrían contar unidades percibidas (colecciones, sonidos oídos de
formas sucesiva); después accederían a contar actos motores (por ejemplo, contar extensiones
sucesivas de dedos), antes de acceder a las unidades aritméticas o abstractas.
Operación de unificación
Para estimular esta operación, se pueden ayudar del uso de constelaciones. Los niños solo acceden
a ella al final del proceso de construcción de la unidad.
1. Operación unitaria o de integración: tiene una colección como material y una “unidad de
unidades” –un número entero- como resultado.
2. Operación unitizante: Produce unidades simples.
- Sensorio motora: Cuando el contenido es material sensorial.
- Unidad aritmética: Cuando un acto de abstracción resulta su unitariedad, por fuera del material
sensomotor.
3. Iteración: la iteración está ligada al conteo. Itera una unidad abstracta se uno y el observador
no siempre puede inferirlo.
Tipos de esquema de conteo
Es uno de los esquemas más importantes de la temprana infancia y fluctúa desde ser perceptual
hasta ser numérico. El conteo no es producto de la memoria, sino una reflexión significativa del niño
sobre la construcción del número
Items de unidad perceptual: utilizar colección de artículos y en el acto de conteo, tomar cada
item como una unidad.
Item de unidades figuradas: contar artículos que no están dentro del campo de la percepción o
acción del niño, por ejemplo, objetos ocultos.
Items de unidad motora: crear y contar actos motores.
Items verbales: cuando la expresión de una palabra se puede tomar como sustituto de un item
unitario concomitante cuya producción no se muestra como entidad sensorial. La expresión toma el
significado del item contable.
Items unitarios abstractos: cuando el niño mantiene la pista de sus actos de conteo. Éste niño
es numérico.
ANALISIS DEL PROCEDIMIENTO COMPLETAR
El procedimiento de completar en la resolución de tres o problemas aditivos ha sido descrito por
Fuson. El complemento (counting on) se deriva del procedimiento más simple: contar todos. Ambos
procedimientos involucran configurar los dos sumandos utilizando objetos materiales y la
subsecuente enumeración de al menos uno de los sumandos.
Al completar el niño comienza la enumeración con la “palabra número” del primer sumando y
continua hasta enumerar los “entes”, que representan el segundo sumando.
En la suma 5 + 3.
El niño dice: cinco, seis, siete, ocho.
Estructura del primer sumando en el procedimiento completar
En el procedimiento de complemento ( o completar), para la suma, el conteo final de los entes,
comienza con una palabra número que designa el primer sumando.
Esta palabra simple tiene cuatro significados diferentes. Los tres primeros relativos al sumando “ per
se”; el cuatro, relaciona el primer sumando con el segundo, en le contexto del conteo total.
Significado 1 : Una palabra de conteo para el último ente enumerado en el primer sumando:
regla de la cardinalidad.
Significado 2 : Conteo. Par saber cuantos objetos hay en una colección. El niño debe conectar
el significado de conteo, de la última expresión que produce, con significado cardinal de esa palabra
y viceversa.
La bidireccionalidad de este significado dual se expresa así:
- La dirección conteo-cardinal.
- La dirección cardinal-conteo.
Una vez que el niño ha hecho la conexión cardinal-conteo, entonces aparece el tercer significado.
Dado un “nueve”, el niño sabe que tiene que contar 1, 2, 3, …9.
Cuando cuenta hasta 9, la producción de la palabra simple “nueve” es un resumen de la
enumeración del primer sumando.
Significado 3. la palabra como una abreviación de la enumeración del primero sumando y
sustituye la enumeración.
Significado 4. el significado abreviado del primer sumando es el punto de partida para enumerar
el segundo.
ESTRUCTURA DEL SEGUNDO SUMANDO EN EL PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR
A completar las palabras de conteo producidas por el segundo sumando, no coinciden con las
palabras que producen al contar el segundo sumando por sí mismo.
. . . . .
. . .
5,
6, 7, 8
Los niños empiezan en un numero dado y producen el numero significante utilizando 3 tipos de
métodos para mantener la pista (keeping – track meted). Los dos primeros son utilizados por los
niños, el tercero por los adultos.
1. Contar entes u objetos de objetos materiales: Con este procedimiento el niño:
- Crea una colección que presente la cardinalidad del segundo sumando.
- Produce la palabra del primer sumando.
- Cuenta colecciones comenzando con la palabra de conteo que sigue al primer sumando.
- Termina de completar cuando ha contado todos los entes del segundo sumando.
2. Igualar palabras de conteo: Las palabras que completan no se usan para contar otros entes,
sino que ellas mismas se convierten en entes que son contados o igualados. Con este
procedimiento el niño:
- Genera un patrón con la cardinalidad del segundo sumando.
- Produce palabra del primer sumando.
- Produce palabra del siguiente.
- Agota un ente del patrón hasta que se complete.
Cuando usan los dedos lo hacen moviéndolos o levantándolos uno a uno.
3. Procedimiento de doble conteo: En él las tres palabras de conteo son doblemente contadas.
8 + 5 = 13
Ocho, nueve es uno, diez es dos, once es tres, doce es cuatro, trece es cinco.