Bloque 4

Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
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12.1. EL MODELO DUAL
A todo programa lineal, llamado problema primal, le corresponde otro que se
denomina problema dual. Las relaciones existentes entre ambos problemas son las
siguientes:
• El dual tiene tantas variables como restricciones existen en el primal.
• El dual tiene tantas restricciones como variables tiene el primal.
• Los coeficientes de la función objetivo del primal son los términos
independientes de las restricciones del dual.
• Los términos independientes de las restricciones del primal son los
coeficientes en la función objetivo del dual.
• La matriz de coeficientes de las restricciones del dual es igual a la
traspuesta de la del primal.
Se pueden distinguir dos tipos de problemas duales:
1. Duales simétricos: para primales que incluyan restricciones de
desigualdad.
2. Duales asimétricos: para primales en forma estándar, es decir, con
restricciones de igualdad.
Otro tipo de relaciones entre los problemas primal y dual son las siguientes:
77
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
• Para duales simétricos el sentido de desigualdad de las restricciones del
dual es inverso al de las del primal; mientras que para asimétricos, las
restricciones del dual son de sentido menor o igual en caso de que el
problema primal sea de minimización, y de mayor o igual en caso de
maximización. Además, las variables del dual, variables duales, no están
sujetas a la condición de no negatividad.
• El problema dual de uno de minimización es de maximización y
viceversa.
• El dual del programa dual es el primal.
Según estas afirmaciones, el problema dual queda unívocamente determinado por
su primal. Si x1 , K , xn son las variables primales, y1 , K , y m las correspondientes
variables duales, el planteamiento del problema dual es:
1. Duales simétricos:
Primal:
max
s.a.:
f ( X ) = c1 x1 + K + c n xn
a11 x1 + K + a1 n xn ≤ b1
a m1 x1 + K + amn xn ≤ bm
xi ≥ 0, i = 1, K , n
Dual:
min
s.a.:
g (Y ) = b1 y1 + K + bm ym
a11 y1 + K + am1 ym ≥ c1
a1n y1 + K + amn ym ≥ cn
yi ≥ 0, i = 1, K , m
Se pueden resumir primal y dual en un cuadro como el que sigue, donde el primal
se lee verticalmente y el dual de forma horizontal:
78
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
PROGRAMAS
a11
a12
K
a1 n
M
M
M
M
a m1
am 2
K
amn
DUAL (MIN.)
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
PRIMAL (MAX.)
x1 ≥ 0
ym ≥ 0
K
≥
≥
K
≥
c1
c2
K
cn
≤
b1
M
M
M
xn ≥ 0
≤
bm
variables
relación
constantes
2. Duales asimétricos:
a)
Primal:
max
s.a.:
f ( X ) = c1 x1 + K + c n xn
a11 x1 + K + a1 n xn = b1
a m 1 x1 + K + a mn xn = bm
xi ≥ 0, i = 1, K , n
Dual:
min
s.a.:
g (Y ) = b1 y1 + K + bm ym
a11 y1 + K + am1 ym ≥ c1
a1n y1 + K + amn ym ≥ cn
y i , i = 1, K , m , no restringidas en signo
b)
Primal:
min
s.a.:
f ( X ) = c1 x1 + K + c n xn
a11 x1 + K + a1 n xn = b1
a m 1 x1 + K + a mn xn = bm
xi ≥ 0, i = 1, K , n
Dual:
max
s.a.:
g (Y ) = b1 y1 + K + bm ym
a11 y1 + K + am 1 y m ≤ c1
a1 n y1 + K + a mn y m ≤ c n
y i , i = 1, K , m , no restringidas en signo
79
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
La tabla anterior queda ahora de la siguiente forma:
PROGRAMAS
DUAL MIN.
(MAX.)
PRIMAL MAX. (MIN.)
a1 n
x1 ≥ 0
a11
a12
K
M
M
M
M
a m1
am 2
K
amn
y1
≥ (≤ )
c1
y2
ym
K
≥ (≤ )
c2
K
K
≥ (≤ )
=
b1
M
M
M
xn ≥ 0
=
bm
variables
relación
constantes
cn
Nota:
Sin distinguir en el caso de duales simétricos o asimétricos, podemos formular una
tabla general, que reúne las relaciones entre el problema primal y dual, sea cual sea
su formulación:
VARIABLES
Problema de
minimización
≥ 0
≤ 0
no restringidas
≥
RESTRICCIONES
≤
=
Problema de
maximización
≤
≥
RESTRICCIONES
=
≥
0
≤ 0
no restringidas
VARIABLES
La ventaja de esta tabla es que se puede leer de derecha a izquierda o viceversa,
según el problema primal sea de maximización o minimización, respectivamente.
Además, en el problema primal pueden darse diferentes combinaciones en cuanto
al sentido de sus desigualdades o al signo de sus variables.
80
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Ejemplos:
Volver a
problema
primal
1.
Primal:
max
s.a.:
2 x1 + x2
x1 + 5 x2 ≤ 10
x1 + 3x2 ≤ 6
2 x1 + 2 x 2 ≤ 8
x1 , x2 ≥ 0
Como el primal es de maximización, el dual será de minimización, por lo
que leemos la última tabla de derecha a izquierda. Esto nos dice que por ser
todas las restricciones de menor o igual, las variables duales serán de signo
no negativo; además por ser las variables primales no negativas, todas las
restricciones duales serán de mayor o igual. El problema dual quedará por
lo tanto como:
Volver a
problema
dual
2.
Dual
min
s.a.:
10 y1 + 6 y 2 + 8 y3
y1 + y2 + 2 y3 ≥ 2
5 y1 + 3 y 2 + 2 y3 ≥ 1
y1 , y 2 , y3 ≥ 0
Primal
min
s.a.:
5 x1 + 2 x2 + x3
2 x1 + 3x 2 + x3 ≥ 20
6 x1 + 8x 2 + 5 x3 ≥ 30
7 x1 + x2 + 3x3 ≥ 40
x1 + 2 x 2 + 4 x3 ≥ 50
x1 , x2 , x3 ≥ 0
En este caso, leemos la tabla de izquierda a derecha, resultando el dual:
Dual
max
s.a.:
20 y1 + 30 y2 + 40 y3 + 50 y 4
2 y1 + 6 y 2 + 7 y3 + y 4 ≤ 5
3 y1 + 8 y 2 + y3 + 2 y 4 ≤ 2
y1 + 5 y 2 + 3 y 3 + 4 y4 ≤ 1
y1 , y 2 , y3 , y 4 ≥ 0
81
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
3.
Primal
min
s.a.:
x1 + 3x 2 − 2 x3
4 x1 + 8x 2 + 6 x3 = 25
7 x1 + 5 x2 + 9 x3 = 30
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Ahora, aunque como en el ejemplo anterior hay que leer la tabla de
izquierda a derecha, la formación del dual será ligeramente diferente a la de
dicho ejemplo.
4.
Dual
max
s.a.:
25 y1 + 30 y2
4 y1 + 7 y 2 ≤ 1
8 y1 + 5 y 2 ≤ 3
6 y1 + 9 y2 ≤ − 2
y1 , y2 no restringidas en signo
Primal
max
s.a.:
3x1 + x 2
x1 + x2 = 7
2 x1 + 3x 2 = 8
x1 , x2 ≥ 0
Al igual que el ejemplo 1, leemos la tabla de derecha a izquierda, resultando:
Dual
min
s.a.:
7 y1 + 8 y2
y1 + 2 y 2 ≥ 3
y1 + 3 y 2 ≥ 1
y1 , y2 no restringidas en signo
Nota:
La forma del dual asimétrico (ejemplos 3 y 4) está determinada exclusivamente por
la forma del dual simétrico. Si pasamos a forma estándar el problema con
restricciones de desigualdad y calculamos el dual, que sería dual asimétrico, el
problema que se obtiene es el mismo que le correspondería al primal como dual
simétrico. Por ejemplo:
82
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
max
s.a.:
f ( X ) = c1 x1 + K + c n xn
a11 x1 + K + a1 n xn ≤ b1
a m1 x1 + K + amn xn ≤ bm
xi ≥ 0, i = 1, K , n
Si pasamos a forma estándar:
max
f ( X ) = c1 x1 +
s.a.:
a11 x1 +
a m1 x1 +
K
K
K
+
cn xn + 0 xnH+ 1 +
+
a1n xn + x nH+ 1 = b1
+
amn xn + xnH+ m = bm
K
+
0 x nH+ m
xi ≥ 0, i = 1, K , n , xnH+ j ≥ 0, j = 1, K , m
El correspondiente dual asimétrico de este último problema primal es:
min
s.a.:
g (Y ) = b1 y1 + K + bm ym
a11 y1 + K + am1 ym ≥ c1
a1n y1 +
K
+
amn ym ≥ cn
y1 ≥ 0
ym ≥ 0
Es el mismo que el dual simétrico que le correspondería al problema sin
transformar en su formulación estándar.
Una vez visto que los duales simétricos pueden convertirse en asimétricos
utilizando variables de holgura, vamos a enunciar un teorema de dualidad válido
para ambos.
83
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Teorema:
Sea P un problema de Programación Lineal cuya región de factibilidad es F, y sea
D su problema dual de región de factibilidad G. Entonces:
i)
Si X ∈ F , Y ∈ G , se cumple que f ( X ) ≤ g (Y ) .
ii) Si para algún X ∈ F y algún Y ∈ G se verifica que f ( X ) = g (Y ) ,
entonces X es solución óptima de P, Y es solución óptima de D.
iii) Si uno de los problemas P ó D tienen una solución óptima X * ó Y * , el
otro también la tiene, verificándose además que f (X * ) = g (Y * ) .
iv) Si f está acotada superiormente en F ≠ ∅ , ó g está acotada
inferiormente en G ≠ ∅ , entonces ambos problemas P y D tienen
solución óptima.
Consecuencias del teorema:
1. Si el primal tiene solución finita, entonces el dual también la tiene y ambas
coinciden.
2. Si el primal tiene solución no acotada, el dual no tiene solución.
3. Si el primal no tiene solución, entonces ó el dual no tiene solución ó tiene
solución no acotada.
El dual del dual:
Volver al
Dual del Dual
Consideremos ahora como primal al dual, ¿cuál es su dual?.
min
s.a.:
g (Y ) = b1 y1 + K + bm ym
a11 y1 + K + am1 ym ≥ c1
a1n y1 + K + amn ym ≥ cn
yi ≥ 0, i = 1, K , m
84
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Introducimos variables de holgura:
min
g (Y ) = b1 y1 +
s.a.:
a11 y1 +
K
+
am 1 ym − y mH + 1 = c1
a1n y1 +
K
+
amn ym − y mH+ n = cn
K
+
bm y m + 0 y mH+ 1 +
K
+
0 ymH + n
yi ≥ 0, i = 1, K , m , ymH+ j ≥ 0, j = 1, K , n
Su dual sería:
max
s.a.:
f ( X ) = c1 x1 + K + c n xn
a11 x1 + K + a1 n xn ≤ b1
a m1 x1 +
−
K
+
amn xn ≤ bm
x1 ≤ 0
−
xn ≤ 0
Las últimas n restricciones son las de no negatividad, y el problema que se obtiene
es el primal. Luego el dual del dual es el primal.
12.2. RELACIONES PRIMAL-DUAL
Con la solución del primal, se obtiene con el Simplex implícitamente la del dual.
Veámoslo:
Sea el primal en forma estándar:
max
s.a.:
Z = CX
AX = b
X ≥ 0
Escribimos A = (B/N), con B la submatriz formada por las columnas
correspondientes a las variables básicas, y N lo mismo para las no básicas o libres.
Entonces:
85
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
max
s.a.:
Z = CB X B + CN X N
BX B + NX N = b
X B, X N ≥ 0
La solución de este problema consiste en hacer que el vector no básico X N sea cero,
y resolver el vector básico en términos de la base B, es decir:
BX B + NX N = b ⇒ BX B = b ⇒ X B = B − 1b
y la función objetivo será:
Z = CB X B + CN X N = C B X B = CB B − 1 b
Ahora bien, la función objetivo dual es g (Y ) = bT Y = Y T b , y en el óptimo el valor de
la función objetivo primal coincide con el valor óptimo de la función objetivo dual,
esto es, Z (X * ) = g (Y * ) . Por lo tanto:
Z ( X * ) = g (Y * ) ⇒ CB* (B* ) b = (Y * ) b ⇒ CB* (B* ) = (Y * )
−1
−1
T
T
En los casos particulares que estudiaremos, este valor no hace falta calcularlo
explícitamente si hemos resuelto el primal aplicando el algoritmo del Simplex,
puesto que en la última tabla:
Volver a
Primal-Dual
Variables básicas
Valor de las
variables
básicas
Variables originales
Variables de holgura
B−1A
B−1
XB
X B = B − 1b
C − CB B − 1 A
Solución óptima primal
86
−
CBB−1
Solución óptima dual
opuesta en signo
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Ejemplo:
max
s.a.:
Paso a
forma
estándar
max
s.a.:
4 x1 + 3 x2
2 x1 + 3 x2 ≤ 18
4 x1 + 3 x2
2 x1 + 3x 2 + x3H = 18
4 x1 + 2 x2 + x 4H = 10
x1 , x2 , x3H , x4H ≥ 0
4 x1 + 2 x 2 ≤ 10
x1 , x2 ≥ 0
Introduciendo las variables de holgura. La última tabla es:
x1
x2
x3H
x 4H
x3H
3
-4
0
1
-3/2
x2
5
2
1
0
1/2
-2
0
0
-3/2
Solución óptima dual:
Soluciones
óptimas
Solución óptima primal:
Función objetivo primal y dual óptimas:
3
Y * =  0, 
 2
*
X = (0,5)
f (X * ) = g (Y * ) = 15
El dual sería:
Sobre el
Dual
min
18 y1 + 10 y2
max
−
s.a.:
2 y1 + 4 y 2 ≥ 4
s.a.:
2 y1 + 4 y 2 − y3H + y5A = 4
18 y1 − 10 y2 − My5A − My6A
3 y1 + 2 y2 ≥ 3
3 y1 + 2 y 2 − y4H + y6A = 3
y1 , y 2 ≥ 0
y1 , y 2 , y3H , y 4H , y5A , y6A ≥ 0
Se puede comprobar con el Simplex que da la misma solución, pero el proceso es
más largo por la introducción de variables de holgura y artificiales, de ahí el interés
de la relación entre dual y primal (entre otras razones).
Interesará pasar al dual cuando su resolución sea más fácil que la del primal. Así,
podemos resolver el dual por el Simplex y deducir, sin ningún cálculo
87
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
suplementario, la solución óptima del primal. Este caso se presentará cuando el
primal incluya restricciones de mayor o igual para las cuales es preciso introducir
variables de holgura y artificiales.
Ejemplo:
Paso a
forma
estándar
min
5 x1 + 6 x2
max
−
s.a.:
5 x1 + 2 x2 ≥ 20
s.a.:
5 x1 + 2 x2 − x3H + x5A = 20
5 x1 − 6 x2 − Mx5A − Mx6A
3x1 + 8 x2 ≥ 24
3x1 + 8x 2 − x4H + x6A = 24
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2 , x3H , x 4H , x5A , x6A ≥ 0
Si calculamos su dual:
max
s.a.:
Cálculo
del Dual
max
s.a.:
20 y1 + 24 y2
5 y1 + 3 y2 ≤ 5
20 y1 + 24 y2
5 y1 + 3 y2 + y3H = 5
2 y1 + 8 y 2 + y4H = 6
y1 , y 2 , y 3H , y4H ≥ 0
2 y1 + 8 y2 ≤ 6
y1 , y 2 ≥ 0
Se ve que es más fácil aplicar el Simplex al estándar del dual que al del primal.
La última tabla es:
y1
y2
11/17
10/17
y1
y2
y3H
y4H
1
0
0
1
---------
---------
0
0
-56/17
-30/17
Lo que realmente nos interesa es el valor de los costes en la tabla final, por eso
dejamos sin rellenar huecos en esa tabla que no aportan nada a la solución que
buscamos. Así:
Soluciones
óptimas
11 10
Y * =  ,  ,
 17 17 
88
56 30
X * =  ,  ,
 17 17 
f (X * ) = g (Y * ) =
460
17
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
12.3. MÉTODO DUAL DEL SIMPLEX
Supongamos el problema de la dieta (mezcla de alimentos más barata,
satisfaciendo unos valores nutritivos necesarios):
min
s.a.:
c1 x1 + K + cn xn
a11 x1 + K + a1 n xn ≥ b1
a m1 x1 + K + amn xn ≥ bm
xi ≥ 0, i = 1, K , n
Aquí, x j representa la cantidad del alimento j a precio c j y con una composición
a ij de un cierto elemento nutritivo N i del cual hay un requerimiento de al menos
bi unidades.
Una posible interpretación del dual sería: supongamos que una empresa se plantea
la posibilidad de fabricar un concentrado de cada uno de los elementos nutritivos
que se requieren para la correcta alimentación, de modo que propondría que se
ingirieran los concentrados directamente en lugar de los alimentos que contienen
los elementos nutritivos, de modo que se satisfacieran las necesidades
nutricionales igualmente.
El problema que se plantearía la compañía consistiría en encontrar los precios
unitarios y1 , K , y m para cada nutriente de forma que maximizara su beneficio, pero
teniendo en cuenta que al mismo tiempo este procedimiento debería ser
competitivo con el usual en el que se aportan directamente los alimentos. Así, se
debe maximizar b1 y1 + K + bm y m .
Esta competitividad significa que la suma de los precios totales de los elementos
nutritivos en las cantidades que intervienen en cada alimento deberá ser menor o a
lo sumo igual que el precio o coste de este alimento. Así, para el alimento j-ésimo
de coste c j , deberá verificarse a1 j y1 + K + amj ym ≤ c j .
89
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Por último, el precio de cada unidad de nutriente yi debe ser positivo. Con todo
esto, planteamos el dual:
max
s.a.:
b1 y1 + K + bm y m
a11 y1 + K + am1 ym ≤ c1
a1n y1 + K + amn ym ≤ cn
yi ≥ 0, i = 1, K , m
Podemos deducir fácilmente del estudio desarrollado en los apartados anteriores
una de las aplicaciones inmediatas de la teoría de la dualidad: la resolución de
problemas lineales con más restricciones que variables. Puesto que parte de la
dificultad y el número de iteraciones del Simplex dependen del número de
restricciones, resolveremos el primal si m < n, y el dual si m > n.
Otra aplicación de la dualidad es la resolución de problemas lineales utilizando
el Algoritmo Dual del Simplex, que consiste básicamente en aplicar el Simplex al
problema dual, pero efectuando los cálculos sobre el primal. Lo explicamos a
continuación.
Para comenzar con el Simplex, si no es posible obtener una solución factible, se
añaden tantas variables artificiales como sea necesario. El Método Dual del
Simplex hace innecesario el empleo de dichas variables artificiales, pero necesita
para comenzar a iterar una condición llamada de factibilidad dual, es decir, que
todos los costes marginales c j sean negativos o nulos (en caso de máximo). Por
tanto, no siempre se podrá aplicar.
Volver a
Método Dual
del Simplex
Algoritmo.
Paso 1:
Partimos de una tabla en la que c j = c j − z j ≤ 0 .
Paso 2:
Si X B (solución básica) es tal que X B ≥ 0 , estamos en la solución óptima.
PARAR.
90
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
En otro caso, elegimos para que salga de la base la variable xi , cuya
coordenada ( X B )i es la más negativa.
Paso 3:
Si todos los elementos a ij de la fila correspondiente a la variable que sale
de la base son positivos o nulos, entonces el problema no tiene solución o
tiene solución óptima no acotada.
Si al menos algún aij < 0 , calculamos:
 c j
min 
j = 1, , n
K
 aij
∋

aij < 0 =

ck
aik
Si corresponde a la columna k-esima, entra en la base x k .
Paso 4:
Pivotamos sobre aik , efectuando las operaciones precisas para que la
columna k tenga un 1 en el lugar i-ésimo y ceros en el resto.
Volver al paso 2.
Nótese que los problemas “ideales” para resolver mediante este algoritmo son
aquellos de minimización que incluyen restricciones del tipo mayor o igual, y
cuyas desigualdades contienen coeficientes positivos. Así, el problema de la dieta
es un candidato para aplicarle este procedimiento.
Ejemplo:
min
s.a.:
3x1 + 4 x2 + 5 x3
x1 + 2 x2 + 3x3 ≥ 5
2 x1 + 2 x2 + x3 ≥ 6
x1 , x2 , x3 ≥ 0
max
s.a.:
−
3 x1 − 4 x2 − 5x3
− x1 − 2 x2 − 3x3 ≤ − 5
− 2 x1 − 2 x2 − x3 ≤ − 6
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Introducimos las correspondientes variables de holgura para obtener la
formulación estándar:
91
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
max
−
3 x1 − 4 x2 − 5x3
s.a.:
−
x1 − 2 x2 − 3x3 + x 4H = − 5
−
2 x1 − 2 x2 − x3 + x5H = − 6
x1 , x2 , x3 , x 4H , x5H ≥ 0
La tabla inicial con la que comenzar a iterar, siguiendo los pasos del Algoritmo
Dual del Simplex, es la siguiente:
paso 2
x 4H
x5H
-5
-6
x1
x2
x3
x 4H
x5H
-1
-2
-2
-2
-3
-1
1
0
0
1
-3
-4
-5
0
0
paso 3
Puesto que c j ≤ 0, ∀ j , sale de la base la variable cuya coordenada ( X B )i es la más
negativa, en este caso x5 = − 6 , y aplicamos el criterio de entrada, calculando:
−
3 − 4 − 5 3
,
,
 =
2
 − 2 − 2 − 1
min 
Así pues, entra en la base la variable x1 , siendo el elemento pivote a 21 = − 2 .
Con todo esto, la siguiente tabla quedará como sigue:
paso 2
x 4H
x1
-2
3
x1
x2
x3
x 4H
x5H
0
1
-1
1
-5/2
1/2
1
0
-1/2
-1/2
0
-1
-7/2
0
-3/2
paso 3
92
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Seguimos teniendo que c j ≤ 0, ∀ j , y ahora la variable básica con valor más
negativo es x4H = − 2 (la única), por tanto es la que abandona la base.
Aplicamos el criterio de entrada calculando:
−
1 − 7 2 − 3 2
,
,
 =1
− 1 − 5 2 − 1 2
min 
que corresponde a la variable x2 , que entra en la base, siendo el elemento pivote el
elemento a12 = − 1 .
Con todo esto, la siguiente tabla quedará como sigue:
2
1
x2
x1
x1
x2
x3
x 4H
x5H
0
1
1
0
5/2
-2
-1
1
1/2
-1
0
0
-1
-1
-1
paso 2
Todas las variables básicas son positivas, por lo que el algoritmo termina con la
solución óptima:
x1* = 1 ,
x2* = 2 ,
x3* = 0 ,
Z * = 11
Ejemplo:
min
s.a.:
Z = 2 x1 + x 2
3x1 + x 2 ≥ 3
max
s.a.:
−
Z = − 2 x1 − x2
H
− 3 x1 − x2 + x3 = − 3
4 x1 − 3 x2 + x4H = − 6
H
− x1 − 2 x 2 + x5 = − 3
4 x1 + 3x 2 ≥ 6
x1 + 2 x2 ≥ 3
−
x1 , x2 ≥ 0
x1 , x2 , x3H , x 4H , x5H ≥ 0
93
Programación Lineal para la Ingeniería Técnica
Una vez que hemos cambiando de signo, e introducido las correspondientes
variables de holgura, la primera tabla será:
paso 2
x1
x2
x3H
x 4H
x5H
x3H
-3
-3
-1
1
0
0
H
4
H
5
-6
-3
-4
-1
-3
-2
0
0
1
0
0
1
-2
-1
0
0
0
x
x
paso 3
paso 4
paso 2
x1
x2
x3H
x 4H
x5H
x3H
-1
-5/3
0
1
-1/3
0
x2
x5H
2
1
4/3
5/3
1
0
0
0
-1/3
-2/3
0
1
-2/3
0
0
-1/3
0
x1
x2
x3H
x 4H
x5H
1
0
0
0
1
0
-3/5
4/5
1
1/5
-3/5
-1
0
0
1
0
0
-2/5
-1/5
0
paso 3
paso 4
x1
x2
x5H
3/5
6/5
0
paso 2
Todas las variables básicas son positivas, por tanto el algoritmo concluye con la
solución óptima:
x1* = 3 5 ,
x2* = 6 5 ,
Z * = 12 5
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