Práctica 4: Inferencia Estadística (I)

Práctica 5: Control de Calidad
Práctica 5: Control de Calidad
Objetivos específicos
Al finalizar esta práctica deberás ser capaz de:
•
Construir los gráficos de control para la media, la desviación típica y el rango
(gráficos de control por variables).
•
Interpretar correctamente la información contenida en dichos gráficos.
•
Estimar correctamente los parámetros del proceso µ y σ, utilizando las muestras
recogidas.
1. Introducción al control estadístico de la calidad
En control de calidad se distinguen entre dos tipos de fuentes de variación en un
proceso: las causas fortuitas y las causas asignables. Las causas fortuitas de variación
son debidas a muchas pequeñas influencias inherentes al proceso de fabricación. Las
causas asignables pueden ser debidas, por ejemplo, a un ajuste incorrecto de las
máquinas, errores del operario o defectos en las materias primas, entre otras. La
variabilidad producida por estas causas asignables hace que el funcionamiento del
proceso se considere inaceptable. Un gráfico de control constituye un mecanismo para
detectar situaciones donde las causas asignables pueden estar afectando de manera
adversa a la calidad del producto.
Un proceso puede monitorizarse midiendo algunos valores (en el caso de control por
variables se monitorizan la media y la desviación típica o el rango de la variable X de
interés) sobre muestras de ese proceso tomadas a intervalos de tiempo regulares. A estas
muestras se les llama subgrupos racionales. Control estadístico es la situación en la que
sólo existen causas fortuitas de variación, es decir, la distribución de los valores que se
monitorizan es predecible y estable a lo largo del tiempo.
Un gráfico de control consta de tres líneas horizontales: la línea central y los límites
inferior y superior de control. El cálculo de estas líneas se basa en la distribución de
probabilidades del valor monitorizado. Además de las líneas, sobre el gráfico se
representan con puntos (generalmente unidos con una recta) los valores monitorizados
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73
Práctica 5: Control de Calidad
obtenidos en cada uno de los subgrupos racionales. Si estos puntos caen dentro de los
límites de control inferior y superior y no se detecta ningún patrón no aleatorio en el
gráfico, se considerará que el proceso está bajo control estadístico. Un gráfico de
control será eficiente si da muy pocas señales de fuera de control cuando el proceso está
bajo control, pero muestra un punto fuera de los límites de control tan pronto como el
proceso se sale de control.
Los gráficos de control se utilizan ampliamente en la industria como técnica de
diagnóstico, para supervisar procesos de producción e identificar variaciones y
circunstancias anormales: cuando un gráfico indica una situación de fuera de control, se
puede iniciar una investigación para identificar causas y tomar medidas correctivas.
La notación que vamos a utilizar es la siguiente:
Tamaño del subgrupo racional
Número de subgrupos racionales
Número total de observaciones
n
k
n×k
xi
Media del subgrupo racional i-ésimo
Media de las medias
Desviación típica del subgrupo racional i-ésimo
Media de las desviaciones típicas
Rango del subgrupo racional i-ésimo
Media del rango
k
verificando que x =
∑ xi
i =1
k
k
∑ Ri
, R = i =1
k
x
si
s
Ri
R
k
∑ si
y s = i =1
k
.
Si tras la realización y el análisis de los gráficos de control se concluye que el proceso
está bajo control estadístico, los parámetros del proceso, µ y σ, se pueden estimar
utilizando la información de los datos. Las estimaciones son las siguientes: para la
media del proceso, µ̂ = x ; y para la desviación típica, σˆ =
R
s
o σˆ =
, dependiendo
d2
c2
de si se ha utilizado el gráfico de la desviación típica o del rango. Los valores de las
constantes c2 y d2 dependen del tamaño del subgrupo racional y sus valores se
encuentran tabulados en la Tabla 4.
Si los gráficos no muestran control estadístico, los subgrupos racionales que produzcan
observaciones fuera de los límites de control habrá que eliminarlos del estudio y
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Práctica 5: Control de Calidad
recalcular los gráficos de control con los subgrupos restantes hasta que los gráficos
muestren control.
2. Construcción del gráfico del rango
Para el cálculo de la línea central y los límites de control inferior y superior del gráfico
de control del rango se utilizan las expresiones que aparecen en la Tabla 1.
Tabla 1: Expresiones para la línea central y límites de control para el gráfico del rango
Línea central Límite inferior de control (LIC) Límite superior de control (LSC)
D3 R
D4 R
R
Las constantes D3 y D4 dependen del tamaño del subgrupo racional, n, y sus valores
aparecen en la Tabla 4.
Para su construcción deberemos seguir los siguientes pasos:
1. En primer lugar, calcular, para cada uno de los k subgrupos racionales, las
observaciones mínima (con la función estadística MIN) y máxima (con la
función MAX).
2. A continuación, haciendo la resta, obtendremos el rango.
3. Una vez obtenidos el rango de cada subgrupo, obtendremos el rango medio, R ,
utilizando la función estadística PROMEDIO.
4. Construiremos la línea central y los límites de control inferior y superior
utilizando las expresiones de la Tabla 1, y los valores de las constantes de la
Tabla 4.
5. Finalmente no tenemos más que hacer la representación gráfica correspondiente.
3. Construcción del gráfico de la desviación típica
Para el cálculo de la línea central y los límites de control inferior y superior del gráfico
de control de la desviación típica se utilizan las expresiones de la Tabla 2.
Tabla 2: Expresiones para la línea central y límites de control para el gráfico de la desviación típica
Línea central Límite inferior de control (LIC) Límite superior de control (LSC)
B3 s
B4 s
s
Las constantes B3 y B4 también dependen del tamaño del subgrupo racional, n, y sus
valores aparecen en la Tabla 4.
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75
Práctica 5: Control de Calidad
Para su construcción deberemos seguir los siguientes pasos:
1. En primer lugar, calcular la desviación típica de cada subgrupo racional
utilizando la función estadística DESVESTP.
2. Utilizando la función estadística PROMEDIO calcularemos la media de esas
desviaciones típicas, s .
3. Construiremos la línea central y los límites de control inferior y superior
utilizando las expresiones de la Tabla 2, y los valores de las constantes de la
Tabla 4.
4. No queda más que hacer la representación gráfica.
4. Construcción del gráfico de la media
Dependiendo de si la variabilidad se ha medido con el rango o con la desviación típica,
las expresiones para el cálculo de la línea central y los límites inferior y superior de
control del gráfico de la media se encuentran en la Tabla 3.
Tabla 3: Expresiones para la línea central y límites de control para el gráfico de la media
Variabilidad Línea
medida con central
Desviación
x
típica
Rango
Límite inferior de control Límite superior de control
(LIC)
(LSC)
x
x − A1s
x + A1s
x − A2 R
x + A2 R
Las constantes A1 y A2 también dependen del tamaño del subgrupo racional, n, y sus
valores aparecen en la Tabla 4.
Para su construcción deberemos seguir los siguientes pasos:
1. En primer lugar, calcular la media de cada subgrupo racional utilizando la
función estadística PROMEDIO.
2. Utilizando la función estadística PROMEDIO calcularemos la media de las
medias, x .
3. Construiremos la línea central y los límites de control inferior y superior
utilizando las expresiones de la Tabla 3, y los valores de las constantes de la
tabla Tabla 4.
4. Finalmente no tenemos más que hacer la representación gráfica correspondiente.
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Práctica 5: Control de Calidad
5. Valores de las constantes de los gráficos de control
Los valores de las constantes A1, A2, c2, B3, B4, d2, D3 y D4 aparecen en la Tabla 4, para
tamaños de subgrupo racional entre 2 y 25.
Tabla 4: Valores de las constantes en función del tamaño del subgrupo racional
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A1
3.760
2.394
1.880
1.596
1.410
1.277
1.175
1.094
1.023
0.973
0.925
0.884
0.848
0.816
0.788
0.762
0.738
0.717
0.697
0.679
0.662
0.647
0.632
0.619
A2
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
0.285
0.266
0.249
0.235
0.223
0.212
0.203
0.194
0.187
0.180
0.173
0.167
0.162
0.157
0.153
c2
0.5642
0.7236
0.7979
0.8407
0.8686
0.8882
0.9027
0.9139
0.9227
0.9300
0.9359
0.9410
0.9453
0.9490
0.9523
0.9551
0.9576
0.9599
0.9619
0.9638
0.9655
0.9670
0.9684
0.9696
B3
0
0
0
0
0.030
0.118
0.185
0.239
0.284
0.321
0.354
0.382
0.406
0.428
0.448
0.466
0.482
0.497
0.510
0.523
0.534
0.545
0.555
0.565
B4
3.267
2.568
2.266
2.089
1.970
1.882
1.815
1.761
1.716
1.679
1.646
1.618
1.594
1.572
1.552
1.534
1.518
1.503
1.490
1.477
1.466
1.455
1.445
1.435
d2
1.128
1.693
2.059
2.326
2.534
2.704
2.847
2.970
3.078
3.173
3.258
3.336
3.407
3.472
3.532
3.588
3.640
3.689
3.735
3.778
3.819
3.858
3.895
3.931
D3
0
0
0
0
0
0.076
0.136
0.184
0.223
0.256
0.284
0.308
0.329
0.348
0.364
0.379
0.392
0.404
0.414
0.425
0.434
0.443
0.452
0.459
D4
3.276
2.575
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
1.744
1.719
1.692
1.671
1.652
1.636
1.621
1.608
1.596
1.586
1.575
1.566
1.557
1.548
1.541
6. Ejemplo
Una vez al día se eligen al azar tres especimenes de aceite para motor de su proceso de
producción y cada uno se analiza para determinar su viscosidad. Los datos del fichero
Aceite_motor.xls corresponden a un periodo de 25 días. El día en que se recogió la
muestra está situado en la columna A del fichero y las observaciones medidas en las
columnas B, C y D (ver Figura 1).
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Práctica 5: Control de Calidad
Figura 1: Datos del fichero Aceite_motor.xls
Construir los gráficos de control de la media y la desviación típica. ¿Qué conclusiones
se obtienen de la observación de estos gráficos?
En primer lugar, con las funciones PROMEDIO(B2:D2), DESVESTP(B2:D2),
MAX(B2:D2) y MIN(B2:D2) calculamos la media, desviación típica, máximo y
mínimo de cada subgrupo racional, que situaremos en las columnas E, F, G y H,
respectivamente. A continuación, calcularemos el rango haciendo la operación G2-H2
en la columna I. Una vez escritas todas estas expresiones, “estiraremos” las fórmulas
hasta la fila número 26, obteniendo los datos de la Figura 2.
Nos situaremos entonces en la celda E27, e insertaremos la función estadística
PROMEDIO(E2:E26), obteniendo así el valor x = 10.49 . Análogamente, en la celda
F27 calcularemos el PROMEDIO(F2:F26), obteniendo s = 0.14 ; y en la celda I27, la
función PROMEDIO(I2:I26), obteniendo con ello R = 0.32 .
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78
Práctica 5: Control de Calidad
Figura 2: Cálculo de la media, desviación típica y rango de los subgrupos racionales
Como en este caso, el tamaño del subgrupo racional es n=3 (se toman tres
especimenes), los valores de las constantes que proporciona la Tabla 4 son:
n
3
A1
2.394
A2
1.023
B3
0
B4
2.568
D3
0
D4
2.575
Debemos, por tanto, efectuar las operaciones anteriormente citadas para calcular los
valores de los límites de control para los gráficos de la media, de la desviación típica y
del rango. Lo haremos utilizando las funciones habituales de Excel, pegando la fórmula
en la segunda fila y luego “estirándola” hacia abajo. Los valores obtenidos se pueden
ver en la Figura 3.
Figura 3: Límites de control para la media, la desviación típica y el rango
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79
Práctica 5: Control de Calidad
Con estos valores representaremos los gráficos de control, con la opción del menú
INSERTAR>GRÁFICO. Los gráficos se pueden ver en la Figura 4 y la Figura 5.
Gr áf i c o de c o nt r o l d e l a m e d i a m i di e n do l a
Gr áf i c o de l a de sv i a c i ón t í p i c a
d i sp e r si ón c on l a de sv i a c i ón t í p i c a
0,40
11,00
0,35
0,30
10,80
Medi a
10,60
0,25
Desvi aci ón típi ca
0,20
LCI
0,15
LCS
LCI
10,40
LCS
0,10
10,20
0,05
10,00
0,00
D ía
D ía
Figura 4: Gráficos de control de la media y la desviación típica
Gr áf i c o de c o nt r o l d e l a m e d i a m i di e n do l a
Gr áf i c o de l r a ng o
d i sp e r si ón c on e l r a n go
0,90
11,00
0,80
0,70
10,80
0,60
10,60
10,40
Medi a
0,50
LCI
0,40
LCS
0,30
Rango
LCI
LCS
0,20
10,20
0,10
10,00
0,00
Di a
D ía
Figura 5: Gráficos de control de la media y el rango
Observando los gráficos de control podemos decir que, dado que ninguna observación
se sale de los límites y que no se aprecia un comportamiento no aleatorio, el proceso
está bajo control estadístico.
Podemos estimar los parámetros del proceso utilizando los datos. Las estimaciones son
µˆ = x = 10.49 para la media y σˆ =
R
0.32
s
0.14
=
= 0.1890
=
= 0.1935 ó σˆ =
d 2 1.693
c 2 0.7236
para la desviación típica.
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80
Práctica 5: Control de Calidad
Apellidos y nombre:
Profesor:
Grupo:
Ejercicio 1.- En el fichero Resistencia.xls se recogen los valores de la resistencia al
esfuerzo de hojas de plástico utilizadas para transparencias (la fuerza, en psi, necesaria
para romper una hoja). Hay k=22 muestras de tamaño n=4, obtenidas en instantes
equidistantes en el tiempo. (psi= pounds/inch2 = libras/pulgada2).
Calcula la media, la desviación típica y el rango de cada muestra. Con los datos
obtenidos, completa la tabla siguiente:
x
s
R
Calcula los límites de control inferior y superior y la línea central para los gráficos de la
media, de la desviación típica y del rango. Con los datos obtenidos, completa las tablas
siguientes:
LIC
Gráfico de control para la desviación típica
LC
LSC
LIC
Gráfico de control para el rango
LC
LSC
Gráfico de control para la media, utilizando la desviación típica
LIC
LC
LSC
Gráfico de control para la media, utilizando el rango
LIC
LC
LSC
Representa los gráficos de control. ¿Qué observas?...........................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
Estima los parámetros del proceso y completa la tabla siguiente:
µ̂
σ̂ con la desviación típica
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σ̂ con el rango
81
Práctica 5: Control de Calidad
Ejercicio 2.- Se han recogido datos del índice de refracción de un cable de fibra óptica
tomando subgrupos racionales de tamaño n=6. Los datos del fichero Fibra_optica.xls
contienen la media y la desviación típica de los subgrupos racionales en 24 días.
Calcula la media total y la media de las desviaciones típicas y completa la tabla.
x
s
Calcula los límites de control inferior y superior y la línea central para los gráficos de la
media y de la desviación típica. Con los datos obtenidos, completa las tablas siguientes:
Gráfico de control para la desviación típica
LC
LIC
LSC
Gráfico de control para la media, utilizando la desviación típica
LIC
LC
LSC
Representa los gráficos de control. ¿Hay alguna observación que quede fuera de los
límites de control?....................¿Cuál?..................................¿En qué gráfico?...................
.............................................................................................................................................
Recalcula los límites de control eliminando los subgrupos racionales que hayan quedado
fuera de los límites y completa las tablas siguientes:
Gráfico de control para la desviación típica
LC
LIC
LSC
Gráfico de control para la media, utilizando la desviación típica
LIC
LC
LSC
Representa los gráficos de control. ¿Qué observas?...........................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
Estima los parámetros del proceso y completa la tabla siguiente:
µ̂
σ̂ con la desviación típica
Isolina Alberto Moralejo
σ̂ con el rango
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