Taller 08-01-13-CalDif-UN

Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
1000004 Cálculo Diferencial - Grupos 10 y 15
Taller n◦ 8
Tema: Tasas relacionadas. Aproximaciones lineales. Diferenciales
Tasas relacionadas
Si inflamos un globo, tanto su volumen como su radio crecen (a medida que el tiempo transcurre) y
sus tasas (razones) de crecimiento están relacionadas una con la otra. Pero resulta en este caso más fácil
medir directamente la tasa de crecimiento del volumen que la tasa de crecimiento del radio.
En un problema de tasas relacionadas la idea es calcular la tasa (razón) de cambio de una cantidad en
términos de la tasa (razón) de cambio de otra cantidad (la cual podrı́a ser más fácil de medir), y en donde
ambas cantidades son variables que dependen a su vez del tiempo. El procedimiento es encontrar una
ecuación que relacione las dos cantidades y luego usar la regla de la cadena para derivar ambos lados de
dicha ecuación con respecto al tiempo.
Ejemplo 1. Se infla un globo esférico y su volumen se incrementa en una proporción de 100 cm3 /seg.
¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?
Solución. Empiece por identificar dos aspectos:
(i) La información que se proporciona
la tasa (o razón) de crecimiento del volumen es de 100 cm3 /seg
(ii) Lo que se desconoce
la tasa (o razón) de crecimiento del radio cuando el diámetro de 50 cm
Con el objetivo de expresar estas cantidades en términos matemáticos, introduzca una notación adecuada:
Sea V el volumen del globo y r su radio
El punto clave es recordar que las tasas de cambio son derivadas. En este problema, el volumen y el radio son ambos funciones del tiempo. La razón de crecimeinto del volumen con respecto al
tiempo es la derivada dV /dt, y la razón de crecimiento del radio es dr/dt. Podemos, por lo tanto, reescribir
los datos conocidos y lo que se desconoce en la siguiente forma:
dV
= 100cm3 /seg
dt
dr
Desconocido :
, cuando r = 25
dt
Con el objetivo de conectar dV /dt con dr/dt, primero relacionamos V y r mediante la fórmula del volumen
de una esfera:
4
V = πr3
3
Para usar la información dada, derivamos cada lado de esta ecuación con respecto a t. Para derivar el
lado derecho usamos regla de la cadena; obtenemos entonces:
Dado :
dV
dV dr
dr
=
= 4πr2
dt
dr dt
dt
1
Despejando dr/dt obtenemos:
dr
1 dV
=
dt
4πr2 dt
Si tomamos r = 25 y dV /dt = 100 en esta última ecuación, obtenemos
dr
1
1
=
100 =
dt
4π(25)2
25π
En consecuencia, el radio del globo crece a una razón de 1/25π ≈ 0,0127cm/seg cuando r = 25cm.
Ejemplo 2. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a una razón de 1pie/seg, ¿qué tan rápido se desliza
hacia abajo la parte superior de la escalera, cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro?
Solución. Inicialmente dibujemos una gráfica que nos permita
ver la situación. Sea x pies la distancia desde la parte inferior de
la escalera al muro y y pies la distancia desde la parte superior de
las escalera al piso. Nótese que x y y son funciones del tiempo t
que se mide en segundos. Se sabe que dx/dt = 1 pies/seg y se pide
determinar dy/dt cuando x = 6 pies. En este problema, la relación
entre x y y la define el teorema de Pitágoras:
x2 + y 2 = 100
Al derivar con respecto a t ambos miembros de esta última ecuación, aplicando la regla de la cadena,
obtenemos:
dx
dy
2x
+ 2y
=0
dt
dt
y despejamos dy/dt que es la relación que necesitamos:
dy
x dx
=−
dt
y dt
Cuando x = 6 , del teorema de Pitágoras se sigue que y = 8 y ası́, substituyendo estos valores y dx/dt = 1
obtenemos:
dy
6
3
= − (1) = − pies/seg.
dt
8
4
El hecho que dy/dt sea negativa significa que la escalera se resbala hacia abajo de la pared a razón de
3
4 pie/seg.
Ejemplo 3. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es
de 2m y la altura de 4m. Si el agua se empieza a bombear al tanque a razón de 2m3 /min, encuentre la
razón con la que el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3m de profundidad.
Solución. Primero elaboramos un diagrama de la situación que considere los datos e información proporcionada. Sean V , r y h el volumen
del agua, el radio de la superficie circular y la altura en el tiempo t donde
t es medido en minutos. Sabemos que dV /dt = 2m3 /min y nos preguntamos por dh/dt cuando h = 3. Las cantidades V y h se relacionan por
la ecuación V = 13 πr2 h, que corresponde al volumen de un cono circular
de radio r y altura h.
2
Dado que necesitamos que aparezcan sólo las variables V y h, debemos expresar r en términos de ellas.
De la figua anterior se sigue que:
r
2
h
= ⇒ r=
h
4
2
y la expresión para V la podemos reescribir como
2
1
h
π
V = π
h = h3 .
3
2
12
Derivando esta última ecuación con respecto a t tenemos:
π dh
dh
4 dV
dV
= h2
⇒
=
dt
4 dt
dt
πh2 dt
Reemplazando por h = 3m y dV /dt = 2m3 /min, obtenemos que
dh
4
8
=
(2) =
dt
π(3)2
9π
de modo que el nivel del agua se eleva a una razón de 8/9π ≈ 0,28m/min.
Estrategia:
1. Lea cuidadosamente el problema.
2. Si es posible, haga un diagrama.
3. Introduzca una notación adecuada. Asigne sı́mbolos a todas las cantidades que son función del tiempo.
4. Exprese la información dada y las tasas (razones) requeridas en términos de derivadas.
5. Escriba una ecuación que relacione las diferentes cantidades del problema. Si es necesario, aplique las
propiedades geométricas de la situación para eliminar una de las variables por sustituación (como en
el ejemplo 3 anterior, donde se eliminó la variable r).
6. Use la regla de la cadena para derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación obtenida en el
punto anterior.
7. Substituya la información dada en la ecuación resultante y determine la tasa (razón) desconocida.
Ejemplo 4. El automóvil A viaja hacia el Oeste a una velocidad de 50 millas/horas y el automóvil
B viaja hacia el norte a 60 millas/hora. Ambos se dirigen hacia la intersección de dos caminos. ¿Con
qué rapidez se aproximan los vehı́culos entre sı́ cuando el automóvil A está a 0.3 millas y el automóvil B
está a 0.4 millas de la intersección?
Solución. Considere el diagrama de la parte izquierda, aquı́ C representa la intersección de los caminos. En un tiempo dado t, sea x la distancia
entre el automóvil A y el punto C, y sea y la distancia desde el automóvil
B a C, y sea z entre los vehı́culos, donde x, y y z se miden en millas. Se
sabe que dx/dt = −50 millas/hora y dy/dt = −60 millas/hora; aquı́ las
derivadas son negativas dado que x y y son decrecientes. Se pide calcular
dz/dt.
3
la ecuación que relaciona x, y y z la proporciona el teorema de Pitágoras:
z 2 = x2 + y 2
Al derivar ambos lados, con respecto a t, se obtiene
dz
dx
dx
dy
dz
1
dy
2z
x
= 2x
+ 2y
⇒
=
+y
dt
dt
dt
dt
z
dt
dt
Cuando x = 0,3 millas y y = 0,4 millas, el teorema de Pitágoras de z = 0,5 millas, de manera que
dz
1
=
[(0,3)(−50) + (0,4)(−60)] = −78 millas/hora
dt
0,5
Los carros se aproximan uno a otro a una velocidad (razón) de 78 millas/hora.
Problemas.
(i) (a) Si V es el volumen de un cubo cuyo lado mide x y, además, el cubo se expande a medida que
transcurre el tiempo, calcule dV /dt en términos de dx/dt,
(b) Si A es el área de un cı́rculo cuyo radio es r y el cı́rculo se amplı́a a medida que pasa el tiempo,
determine dA/dt en términos de dr/dt.
(c) Suponga que un aceite se derrama de un depósito agrietado y que se extiende de acuerdo a
aun patrón circular. Si el radio del derrame de aceite se incrementa a una razón constante de
1m/seg, ¿qué tan rápido se incrementa el área del derrame cuando el radio es de 30 m?
(d) Un tanque cilı́ndrico con radio 5 m está siendo llenado con agua a una razón de 3 m3 /min.
¿Qué tan rápido se incrementa la altura del agua?
(e) Un globo de aire caliente que asciende en lı́nea recta desde el nivel del suelo es rastreado por
un observador que está a 500 pies del punto de elevación. En el momento que el ángulo de
elevación del observador es π/4, el ángulo crece a razón de 0,14 rad/min. ¿Qué tan rápido se
está elevando el globo en ese momento?
(ii) Para los siguientes problemas responda: ¿qué cantidades proporciona el problema?, ¿qué se desconoce?; trace además un diagrama de la situación en cualquier tiempo t; plantee una ecuación
que relacione las cantidades y, termine de resolver el problema.
(a) Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una rapidez de 500 millas/hora
pasa directamente sobre una estación de radar. Calcule la rapidez con que la distancia desde el
avión a la estación se incrementa, cuando este está a 2 millas de la estación.
(b) Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies
de altura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 pies/seg a lo largo de una
trayectorı́a rectilı́nea. ¿Qué tan rápido la punta de su sombra se desplaza cuando está a 40 pies
del poste?
(c) A mediodı́a, una barco A está a 150 km al oeste del barco B. El barco A navega hacia el este
a 35 km/hora y el barco B navega hacia el norte a 25 km/hora. ¿Qué tan rápido cambia la
distancia entre los barcos a las 4:00 pm?
(iii) Una lámpara sobre el piso ilumina una pared a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de estatura
camina desde la lámpara hacia el edificio a una rapidez de 1.6 m/seg, ¿qué tan rápido disminuye la
longitud de su sombra sobre el muro cuando está a 4 m del edificio?
4
(iv) Dos vehı́culos parten desde el mismo punto. Uno se dirige hacia el sur a 60 millas/h y el otro hacia
el oeste a 25 millas/h. ¿En qué proporción se incrementa la distancia entre los vehı́culos dos horas
después?
(v) La altura de un triángulo se incrementa a razón de 1 cm/min mientras que el área del triángulo
aumenta a razón de 2 cm2 /min. ¿A qué razón cambia la base del triángulo cuando la altura es de
10 cm y el área es de 100 cm2 ?
(vi) El agua sale de un depósito en forma de cono invertido a una razón de 10.000 cm3 /min al mismo
tiempo que se bombea agua al tanque a una razón constante. El depósito mide 6 m de alto y el
diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel de agua se eleva a una razón de 20 cm/min
cuando la altura del agua es 2 m, encuentre la razón a la que el agua está siendo bombeada hacia
el tanque.
(vii) Un canal de agua mide 10 m de largo y su sección transversal tiene la forma de una trapezoide
isósceles que tiene 30 cm de ancho en la parte inferior, 80 cm de ancho en la parte superior y tiene
una altura de 50 cm. Si el canal se está llenando con agua a razón de 0.2 m3 /min, ¿qué tan rápido
sube el nivel del agua cuando ésta se encuentra a 30 cm de profundidad?
(viii) Dos de los lados de un triángulo miden 4 y 5 m respectivamente, y el ángulo entre ellos crece a
razón de 0.06 rad/seg. Calcule la proporción a la que el área del rectángulo se incrementa cuando
en ángulo entre los dos lados de longitud constante es de π/3.
(ix) La ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la
presión P y el volumen V cumplen la ecuación P V = C, donde C es una constante. Suponga que
en cierto instante el volumen es de 600 cm3 , la presión es de 150 kPa y que la presión se incrementa
una cantidad de 20 kPa/min. ¿En qué proporción disminuye el volumen en este instante?
(x) Un individuo corre por una pista circular de 100 m de radio a una rapidez constante de 7 m/seg. Un
amigo del corredor está situado a una distancia de 200 m del centro de la pista . ¿Qué tan rápido
cambia la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200 m?
Aproximaciones lineales y diferenciales
Dado que, gráficamente, una curva se encuentra muy cerca de su recta tangente alrededor de su punto
de tangencia, la idea en esta segunda parte es usar la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto
(a, f (a)) como una aproximación para los valores de f (x) cuando x es un número cercano a a. Ası́, si f es
diferenciable en a, la función de aproximación (que es simplemente la recta tangente a la curva y = f (x)
en el punto (a, f (a)))
L(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)
se denomina la linealización de f en a, y la aproximación
f (x) ≈ L(x)
de f por L es la aproximación lineal de f en a.
Ejemplo 1. Encontrar la linealización de f (x) =
√
1 + x en x = 0.
5
Solución. Como f 0 (x) = 21 (1 + x)−1/2 , tenemos f (0) = 1 y f 0 (0) = 1/2,
de modo que la linealización es L(x)
= f (a)+f 0 (a)(x−a) = 1+ 12 (x−0) =
√
1+ x2 . Nótese que la aproximación x + 1 ≈ 1+(x/2) es bastante precisa
para valores de x cercanos a 0.
La utilidad de la linealización radica en la posibilidad de reemplazar una√fórmula complicada por una
más sencilla en todo un intervalo de valores. Si tenemos que trabajar con 1 + x para x cercanos a 0 y
podemos tolerar el pequeño error involucrado, podemos usar es su lugar 1+(x/2). Considere las siguientes
aproximaciones:
Las ideas tras las aproximaciones lineales son en ocasiones formuladas en términos de diferenciales. Si
y = f (x), donde f es una función diferenciable, entonces la diferencial dx es una variable independiente
que puede tomar cualquier valor. La diferencial dy es definida en términos de dx mediante la siguiente
ecuación:
dy = f 0 (x)dx
Ası́, dy es una variable dependiente; esta depende tanto de x como de dx.
Para dar un significado geométrico a las diferenciales, considere la gráfica. Sean P = (x, f (x)) y Q = (x + ∆x, f (x + ∆x)) dos puntos sobre
la gráfica de f y tome dx = ∆x. El correspondiente cambio en y es
∆y = f (x + ∆x) − f (x). La pendiente de la recta tangente a la curva en
P es f 0 (x), ası́ que la distancia entre los puntos R y S en la gráfica es
f 0 (x)dx = dy. Por consiguiente, dy representa el incremento (o cambio)
en la linealización cuando x cambia en una cantidad dx, mientras que
∆y es el incremento (o cambio) en f cuando x cambia en una cantidad
dx = ∆x.
En consecuencia, para valores pequeños de ∆x, se tiene la aproximación dy ≈ ∆y, con lo que
f (x + dx) ≈ f (x) + dy.
Observación.(i) Si y = f (x), algunas veces se escribe df = f 0 (x)dx.
(ii) Toda fórmula de derivación tiene una forma diferencial correspondiente. Ası́, por ejemplo:
d(u + v) = du + dv,
d(uv) = vdu + udv
Ejemplo 2. (a) d(tan(2x)) = sec2 (2x)d(2x) = 2 sec2 (2x)dx.
(x+1)dx−xd(x+1)
x
dx
(b) d x+1
=
= xdx+dx−xdx
= (x+1)
2
(x+1)2
(x+1)2
6
Ejemplo 3. El radio r de un cı́rculo crece de r = 10 m a 10.1 m. Use dA para estimar el crecimiento del
área A del cı́rculo. Estimar el área del cı́rculo agrandado y comparar la estimación con el área real.
Solución. Como A = πr2 , el incremento estimado es
dA = A0 (r)dr = 2π(10)(0,1) = 2πm2 .
Por lo tanto, A(10 + 0,1) ≈ A(10) + 2π = π(10)2 + 2π = 102π. Ası́, el área del cı́rculo de radio 10.1 es
aproximadamente 102π m2 . El área real es
A(10,1) = π(10,1)2 = 102,01πm2 .
El error en esta estimación es de 1.01π m2 , que es la diferencia ∆A − dA.
Cuando nos movemos de un punto a a un punto cercano a + dx, podemos escribir el cambio en f
de tres maneras:
Problemas.
(i) Encuentre la linealización de la función en el punto a.
(a) f (x) = sen(x),
a = π/6
(b) f (x) =
√
3
1 + x,
a = 0.
(ii) Verifique la aproximación lineal dada en a = 0. Luego determine los valores de x para los que la
aproximación tiene una precisión de 0.1.
(a)
ln(1 + x) ≈ x
(b)
ex cos(x) ≈ 1 + x
(c)
tan(x) ≈ x.
(iii) (a) Demuestre que la linealización de f (x) = (1 + x)k , con k ∈ R, en x = 0 es L(x) = 1 + kx.
(b) Use la aproximación (1 + x)k ≈ 1 + kx para encontrar una aproximación de la función f (x) para
valores de x cercanos a 0.
s
2
2
1
1
3
6
(3) f (x) = √
(4) f (x) =
1−
.
(1) f (x) = (1 − x) (2) f (x) =
1−x
2+x
1+x
(iv) Encuentre la diferencial dy para cada una de las siguientes funciones.
(a)
(d)
y = x2 sen(2x)
√
2 x
√
y=
3(1 + x)
1 − v2
1 + v2
(b)
p
y = ln( 1 + t2 )
(c) y =
(e)
xy 2 − 4x3/2 − y = 0
√
(f ) y = 3 csc(1 − 2 x).
7
(v) En los siguientes ejercicios, cada función f cambia su valor cuando x cambia de x0 a x0 + dx.
Encuentre:
(a) El cambio ∆y = f (x0 + dx) − f (x0 ).
(b) El valor de la estimación dy = f 0 (x0 )dx.
(c) El error de aproximación |∆y − dy|.
(1)
f (x) = 2x2 + 4x − 3,
(3)
f (x) = cos(πx),
x0 = −1, dx = 0,1 (2)
1
x0 = , dx = −0,02
(4)
3
f (x) = x4 , x0 = 1, dx = −0,1
x+1
f (x) =
, x0 = 2, dx = 0,05.
x−1
(vi) Use una aproximación lineal (o diferenciales) para estimar el número dado.
p
(a) (1,9999)4
(b) e−0,015
(c)
99,8
(d) sec(0,08)
(e)
ln(1,05).
(vii) La arista de un cubo fue medida y se encontró que su longitud era 30 cm con un posible error en
la medida de 0.1 cm. Use diferenciales para estimar la error máximo posible, el error relativo y el
error porcentual en el cálculo de (a) el volumen del cubo y (b) el área superficial del cubo.
(viii) La circunferencia de una esfera fue medida como 84 cm pero con un posible error de 0.5 cm.
(a) Use diferenciales para estimar el error máximo el el cálculo del área de su superficie. ¿Cuál es
el error relativo?
(b) Use diferenciales para estimar el máximo error en el cálculo del volumen. ¿Cuál es el error
relativo?
(ix) Use diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0.05 cm
de espesor a un domo hemisférico que tiene un dáimetro de 50 m.
(x) Al final de la década de 1830 el fisiólogo francés Jean Poiseuille descubrió la fórmula que usamos
hoy en dı́a para predecir cuánto se tiene que expandir el radio de una arteria parcialmente obstruida
para restaurar el flujo normal. Esta fórmula, V = kr4 , dice que el volumen V del fluido que corre
por una cañerı́a o tubo pequeño en una unidad de tiempo a presión constante, es una constante por
el radio del tubo elevado a la cuarta potencia. ¿Cómo afecta a V un crecimiento de 10 % de r?
8