tension frente a numero de ciclos - Ingeniería Mecánica Aplicada y

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4. CARGAS
VARIABLES
Un componente se ve sometido a fatiga cuando soporta cargas alternadas: la rueda de un
ferrocarril, la biela de un motor de explosión, Pese a diseñarse estas piezas por debajo de su límite
elástico, con un número suficiente de ciclos, las piezas se rompen. El 90% de las piezas que se rompen
en servicio fallan debido a la fatiga. Esto lo descubrió Wöhler hacia el año 1920 y propuso unos límites
a las tensiones de diseño en función del número de ciclos que se requieran para una pieza. Se
conocen como curvas de Wöhler o curvas S-N (tensión frente a número de ciclos).
En la rotura por fatiga aparece una microgrieta, que crece a medida que se realizan ciclos de
carga hasta alcanzar un tamaño tal que la sección residual es incapaz de soportar la carga máxima en
el ciclo y finalmente el ligamento restante rompe de forma frágil o dúctil.
Se distinguen dos zonas en las caras de rotura:
Una zona suave con líneas asociadas a diferentes frentes de grieta
Una zona rugosa asociada a la rotura final
Figura 1 –Morfología de la fatiga.
La rotura se inicia en pequeños defectos o concentradores de tensión. Con cada ciclo de carga
se produce un avance del frente de la grieta, de forma que la rotura se produce cuando la sección
residual no soporta la carga estática. Existe evidencia de que la iniciación del proceso de fatiga
requiere la superación local del límite elástico (a pesar de que macroscópicamente las tensiones sean
inferiores al límite elástico).
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Todos los materiales tienen defectos de uno u otro tipo, incluso recién fabricados por los mejores
métodos disponibles: contienen inclusiones, precipitados, poros, bordes de grano,…Defectos a partir de
los cuales se desarrollan microgrietas. Dependerá del nivel de tensiones el que estas microgrietas se
propaguen hasta fracturar al componente o se detengan en la primera barrera microestructural (borde
de grano, inclusión) y así permanezcan para siempre.
Hay otro lugar crítico de una pieza: su superficie. En algún lugar de la superficie del sólido se
encuentran las tensiones máximas (probablemente junto a algún concentrador de tensiones). Estas
zonas son candidatas a desarrollar microdefectos superficiales en forma de estriaciones o lenguetas
debido a deformación plástica alternada, debido a picaduras producidas por la oxidación superficial, o
debidas a un pésimo mecanizado.
Ambos defectos, los internos y los superficiales compiten por romper la pieza. En general, si las
cargas son muy severas, superan el límite elástico y se producen deformaciones plásticas apreciables
en cada ciclo (fatiga de bajo número de ciclos o de gran amplitud), normalmente ganan los defectos
interiores (parten con ventaja de tamaño). El ensayo de tracción es un caso extremo de fatiga de bajo
número de ciclos. Si las cargas son más reducidas (fatiga de alto número de ciclos) suelen ganar los
defectos que se originan en la superficie pues tienen ventaja de velocidad de crecimiento sobre los
internos (la oxidación les ayuda).
Lo más costoso para las grietas son los tamaños más pequeños: las fuerzas directrices son
pequeñas y la grieta crece muy lentamente. Tanto que durante una buena fracción de la vida de la
pieza las microgrietas resultan invisibles para las técnicas de inspección más habituales. Se habla de
nucleación de las grietas. Por el contrario, cuando la grieta es grande es cuando más veloz avanza.
Una pieza que se diseña para soportar un elevado número de ciclos habitualmente morirá por un
defecto generado en su superficie. Lo peor que se puede hacer es un acabado superficial lleno de
rayas y estrías. Le habremos resuelto a la grieta su problema más difícil. Deberemos proporcionar a la
pieza un acabado superficial inmaculado, tipo espejo. Así tendrán su oportunidad los defectos internos.
4.1. ESTADIOS DE FATIGA
La historia de una grieta que se desarrolla en un componente sometido a fatiga tiene típicamente
tres etapas: una etapa de iniciación, una de propagación estable y finalmente una propagación
acelerada que conduce al fallo del componente.
Estadio I
Habitualmente en la superficie se encuentran zonas con altas cargas alternadas que producen
deformaciones plásticas en los granos próximos a la superficie. Esta deformación se localiza en bandas
persistentes de deslizamiento. Cuando un grano, situado en la superficie, deforma, se genera un
escalón en la superficie (veáse la Figura 2), que inmediatamente se oxida. Una vez oxidada la
superficie del escalón resulta imposible invertir la deformación en ese plano. La deformación en sentido
contrario deberá acontecer en otro plano, que obviamente forma otro escalón que se oxida y se
suprime la deformación en este nuevo plano. La repetición de este ciclo de deformación, oxidación y
bloqueo acaba por formar protuberancias o entrantes en la superficie original del sólido que concentra
tensiones. La situación se agrava y termina por aparecer una microgrieta a partir de estos defectos
superficiales que se propaga a lo largo de las bandas persistentes de deslizamiento (formando 45º con
la dirección de la tracción).
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Figura 2 –Formación de extrusiones e intrusiones superficiales previos a la iniciación de una
grieta.
En este estadio, la microgrieta tiene mucha dificultad para atravesar los bordes de grano, y a
menudo, la microgrieta sólo consigue progresar en un grano y ahí se detiene. Si la carga es algo más
alta o con suficiente número de ciclos, reinicia la propagación en el grano adjunto.
Estadio II
A medida que crece la grieta, pronto descubre que su dirección de crecimiento no es óptima y
que su propagación requiere un menor trabajo si se orienta perpendicular al campo tractivo (modo I).
Habitualmente la reorientación de la grieta ocurre cuando la microgrieta ha atravesado unos pocos
granos en el material. A partir de este momento su propagación es estable y se ajusta a una ley
potencial de intensidad de tensiones, de acuerdo a la ley empírica que propuesieron Paris y Erdogan
(1960):
da
m
= C ⋅ ∆K I (1)
dN
∆KI : Rango de Intensidad de Tensiones
K = factor de intensidad de tensiones = Y· s(p·a)1/2 ; Y: función de la geometría
a: Semianchura de grieta.
En donde a es el tamaño de la grieta, N el número de ciclos, C y m son cosntantes que
dependen del material y del medio ambiente.
A medida que crece el tamaño de la grieta, si las tensiones alternadas son constantes, aumenta
∆KI y en consecuencia su velocidad de crecimiento: da/dN.
Figura 3 – Reorientación de la grieta al modo I en el estadio II de fatiga.
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Estadio III
Cuando el tamaño alcanza un valor determinado conocido como tamaño crítico de grieta, la
propagación de la grieta se convierte en catastrófica: la pieza rompe por clivaje o por coalescencia de
microcavidades.
Este último estadio de la fatiga, en general, carece de interés: la velocidad de crecimiento es tan
grande que el número de ciclos consumidos en el estadio III apenas cuenta en la vida de la pieza.
Figura 4 – Estadios de fatiga sobre un diagrama de Paris.
4.2. TEORÍAS DE FATIGA
Existen tres teorías que estudian la fatiga, relacionadas con las tres fases vistas anteriormente.
4.2.1. TEORÍA CLÁSICA O TEORÍA DE ALTO NÚMERO DE CICLOS (S-N):
Se emplea para elevado número de ciclos (>103), aunque la división es incierta.
Régimen elástico
No se distingue iniciación y propagación. Se obtiene la vida total hasta la rotura de la pieza.
Existe un gran número de datos experimentales disponibles
Curvas S-N: Realiza la estimación de vida a partir de la amplitud de tensiones. En este caso,
se parte de un modelo de comportamiento elástico, del cual se extrae el conjunto de ciclos de
tensión que se originan a partir de las series temporales de carga. Posteriormente, mediante
una serie de factores de concentración se aproxima el estado tensional a partir de la tensión
en zonas situadas a niveles de carga inferiores al límite elástico.
4.2.2. FATIGA DE BAJO NÚMERO DE CICLOS
Se emplea para bajo número de ciclos (<103)
Se basa en el estudio de deformaciones en lugar de tensiones
Curvas ε-N: Se establece una formulación de vida a partir la amplitud de deformaciones. Se
modelizan así situaciones en las que la fluencia ocurre en posiciones críticas del componente.
Se trata de zonas con concentración de tensiones o entallas, en las que tensión local se sitúa
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por encima del límite de fluencia del material, a pesar de que el material de su entorno
permanece en régimen elástico. Debido a dicho entorno elástico, la deformación de la zona
situada un nivel de carga superior al de fluencia se ve restringida, lo que da lugar una
deformación elastoplástica controlada en la zona de entalla. A su vez, estas entallas, debido a
la elevada tensión que experimentan, sirven como puntos críticos para el crecimiento de
grietas, con lo que el comportamiento frente al fenómeno de fatiga puede relacionarse con
ensayos de deformación controlada sobre diferentes probetas.
La formulación en desplazamientos es apropiada para situaciones en las que predomina la
deformación plástica, y en las que se puede obtener una estimación correcta del nivel de tensión
alcanzado. Es el caso de geometrías conocidas con niveles de tensión altos. Por el contrario, en casos
en los que la tensión alcanzada no llega al limite elástico, o bien en aquellas situaciones en las que
resulta difícil prever la tensión en el zona de concentración, como es el caso de las uniones soldadas,
se utiliza la formulación en amplitud de tensiones, que no tiene en cuenta el efecto de la plasticidad. En
los casos en los que el nivel de carga es bajo el resultado se adecua a los valores obtenidos en los
ensayos. Por otro lado, cuando se trata de estimar la vida en uniones o puntos de concentración de
tensión, se parte de puntos cercanos, que trabajan con tensiones inferiores al límite elástico y por lo
tanto verifican la hipótesis de obviar deformación plástica, de forma tal que a partir de factores de
concentración de tensión para cargas cíclicas se obtiene la tensión que permite extraer la estimación
de vida.
4.2.3. MECÁNICA LINEAL DE LA FRACTURA
Se considera que la grieta está ya iniciada
La vida se calcula como la propagación de la grieta hasta la rotura
Corresponde al estadio II de fatiga
4.3. RESISTENCIA A LA FATIGA
Para determinar la resistencia de los materiales bajo la acción de cargas de fatiga, las probetas
se someten a fuerzas variables y se cuentan los ciclos de esfuerzo que soporta el material hasta la
rotura.
El dispositivo para ensayos de fatiga más empleado es la máquina de flexión rotativa de alta
velocidad de R.R. Moore. Ésta somete a la probeta a flexión pura por medio de pesas (figura 5).
Figura 5 – Ensayo de flexión rotativa.
Otras maquinas para ensayos de fatiga permiten aplicar a las probetas esfuerzos axiales,
torsionales o combinados de tipo fluctuante o alternado (invertido alternativamente).
Para determinar la resistencia a la fatiga de un material es necesario un gran número de ensayos
debido a la naturaleza estadística de la fatiga. Se realizan ensayos con distintos niveles de tensión. El
primer nivel es un nivel de carga próximo a la resistencia a la tracción y el resto son niveles
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progresivamente inferiores. Se realizan varias pruebas por nivel y los resultados se grafican en un
gráfica doble logarítmica (log-log) obteniéndose un diagrama llamado S-N.
Figura 6 – Diagrama S-N.
Las ordenadas de este diagrama se definen como resistencia a la fatiga Sf. Al hablar de
resistencia a la fatiga Sf se deberá por lo tanto especificar el número de ciclos N a la que corresponde.
El empleo de escala logarítmica destaca los cambios de pendientes de la curva que no se
manifestaría si se emplearan coordenadas cartesianas. De la Figura 6 se observa que hay tres rectas
que podrían aproximar la nube de puntos experimentales. Estas rectas permiten distinguir entre fatiga a
bajo número de ciclos (<103) y fatiga de alto número de ciclos (>103). La recta horizontal define el límite
de resistencia a la fatiga Se del material. Es el límite de carga por debajo del cual el material no fallará
por fatiga.
No todos los materiales poseen un límite de resistencia a la fatiga. Los aceros muestran un
comportamiento como el citado, pero en el caso de metales no férreos y sus aleaciones, la gráfica de la
Figura 6 nunca llega a ser horizontal, y se dice entonces que no tienen límite de resistencia a la fatiga.
Existen, incluso algunos códigos de diseño, que ni siquiera permiten su utilización.
4.4. LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA O LÍMITE DE FATIGA
Existe una gran cantidad de datos publicados acerca de los resultados de límite de fatiga
obtenidos en flexión rotativa para un gran número de hierros y aceros.
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Figura 7 – Límite de fatiga en función de la resistencia a la tracción en hierros y aceros forjados.
La gráfica anterior indica que el límite a fatiga varía para los aceros, desde aproximadamente
40% a 60% de la resistencia a la tracción para valores de la resistencia a la traccion inferiores a 200
kpsi (1400Mpa). A partir de dicho nivel de resistencia a la tracción, la dispersión parece aumentar, pero
la tendencia es alcanzar un nivel estable de Se’=100kpsi (700Mpa).
Mischke ha analizado muchos datos de pruebas reales provenientes de varias fuentes y
concluye que el límite de fatiga puede estar relacionado con la resistencia a la tracción. En el caso de
aceros, la relación es:
S 'e =
0.504·S ut para S ut ≤ 1400MPa
700MPa para S ut > 1400MPa
(2)
Donde Sut es la resistencia a la tracción.
Se’ indica el límite de resistencia a la fatiga en flexión rotativa de una probeta. El símbolo Se se
reserva para el límite a fatiga de un elemento de máquina particular sujeto a cualquier clase de carga.
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4.5. FACTORES MODIFICADORES DEL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA
Se emplean una serie de factores modificadores que permiten relacionar el límite de resistencia
a la fatiga de un elemento mecánico Se con los resultados de límite de resistencia a la fatiga obtenidos
con probetas de ensayo Se’. Estos factores incluyen por lo tanto la influencia de las diferencias con la
aplicación real.
Factor de superficie Ka
Factor de tamaño Kb
Factor de carga Kq
Factor de temperatura Kd
Factor de concentración de tensiones Ke
Factor de efectos diversos Kg
Factor de confiabilidad Kc
S e = K a ⋅ K b ⋅ K q ⋅ K d ⋅ K e ⋅ K g ⋅ K c ⋅ S 'e
(3)
Factor de superficie Ka
La superficie de la probeta corresponde a un pulido especular. La de la pieza, en general,
presenta una rugosidad mayor. La sensibilidad a la rugosidad superficial es mayor cuanto mayor es la
resistencia del material. Existen algunos acabados que, incluso, pueden dar lugar Ka>1
K a = a ⋅ (S ut ) (4)
b
Acabado de superficie
Factor a
Exponente b
kpsi
MPa
Esmerilado (rectificado)
1,34
1,58
-0,085
Maquinado o estirado
en frío
2,70
4,51
-0,265
Laminado en caliente
14,4
57,7
-0,718
Forjado
39,9
272
-0,995
Figura 8 – Exponentes a y b en función del acabado superficial.
Factor de tamaño Kb
El factor de tamaño se ha evaluado a partir de datos experimentales. Como se ha comentado
anteriormente, la fatiga es un fenómeno estadístico. Cuanto mayor sea el volumen de la pieza sometida
a tensiones elevadas, mayor será la probabilidad de encontrar un defecto de tamaño crítico que
provoque el inicio de la grieta de fatiga. Por ello, se debe considerar este factor de tamaño.
Los resultados en los casos de flexión rotativa y torsión se pueden expresar como:
Kb =
d
7.62
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−0.1133
2.79 < d < 51 mm y K b = 0.6 − 0.75 d > 51 mm (5)
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O según otros autores:
K b = 1 d < 10 mm y K b = 1.189 ⋅ d−0.097 8 < d < 250mm
(6)
En carga axial:
Kb = 1
d < 10 mm
(7)
K b = 0.6 − 0.7 d > 10 mm (según excentricidad)
(8)
Según otros autores Kb=1 para cualquier tamaño.
Cuando se tienen secciones no circulares y/o flexión alternada, se emplea una dimensión
efectiva, de obtenida al igualar el volumen del material sometido a esfuerzo igual o superior al 95% del
esfuerzo máximo, con el correspondiente en flexión rotativa. Obsérvese que cuando se igualan ambos
volúmenes las longitudes se cancelan y basta considerar solamente las áreas.
Flexión rotativa: A 0.95⋅σ =
π 2
⋅ d − (0,95d)2 = 0,0766 ⋅ de (9)
4
(
)
Sección circular en flexión alternada: A 0.95⋅σ = 0,0105 ⋅ d 2 → d e = 0,37 ⋅ d
(10)
Sección rectangular en flexión alternada: A 0.95⋅σ = 0,05 ⋅ (h ⋅ b ) → d e = 0,808 ⋅ (h ⋅ b)0.5
(11)
Factor de carga Kq
Flexión rotativa: K q = 1 (12)
Flexión alternada: K q = 1
(13)
Carga axial:
•
K q = 0.923 para Sut<1520Mpa
•
K q = 1 para Sut>1520Mpa
(14)
(15)
Ensayos realizados muestran además que el límite a fatiga a tracción es un 85% del límite de
fatiga a flexión. Esto implica que Kq=0.85. Se puede trabajar o bien con las expresiones (14-15) o bien
con este valor.
Esfuerzo cortante: K q =
Esfuerzo de torsión: K q =
1
= 0.577
3
1
3
(16)
= 0.577 (17)
Factor de temperatura Kd
Este factor considera la diferencia de temperatura entre el ensayo realizado y la temperatura de
operación. Cuando las temperaturas son bajas, se debe comprobar el fallo frágil, y cuando las
temperaturas son altas se debe comprobar el fallo por fluencia. Esto es debido a la variación del límite
elástico y la resistencia a tracción con la temperatura. La variación de la resistencia a fatiga se supone
similar a la de la resistencia a tracción.
- 63
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Kd =
S uT
Su
(18)
con SuT resistencia a la tracción a temperatura T y Su resistencia atracción a temperatura normal
(normalmente 20ºC)
Temperatura
(ºC)
SuT/Su
20
1,000
50
1,010
1,1
100
1,020
1
150
1,025
200
1,020
250
1,000
300
0,975
0,7
350
0,927
0,6
400
0,922
450
0,840
500
0,766
550
0,670
600
0,546
1,2
0,9
0,8
0,5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
Figura 9 – Variación de propiedades con la temperatura.
Obsérvese que mientras que el límite elástico disminuye monótonamente con la temperatura, la
resistencia a la tracción aumenta inicialmente para luego disminuir.
Factor de concentración de tensiones Ke
El fallo por fatiga es muy sensible a la existencia de entalla. El efecto de la entalla sobre la
resistencia a la fatiga se expresa mediante el factor de concentración de esfuerzo por fatiga Kf que se
estudió en el Capítulo 5.
K f = 1 + q ⋅ (K t − 1)
(19)
Así, el factor de concentración de tensiones Ke se define como:
Ke =
1
Kf
(20)
El factor de concentración de tensiones Kf’ a 103 ciclos es:
K f = 1 + c ⋅ (K f − 1)
'
(21)
siendo
c=
0 .3 ⋅ S u
− 0 .1
700
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(22)
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donde Su está expresada en Mpa.
En materiales dúctiles, cuando estos soporten sólo cargas estáticas la fluencia mitigará la
concentración del esfuerzo, por lo que no se deberá considerar el efecto de concentración de esfuerzo.
A 103 ciclos, la carga es prácticamente estática, y por ello se emplea un factor Kf’ reducido de acuerdo
a la expresión (21).
Hay dos formas de afrontar el tema de la concentración de tensiones:
Considerando que la concentración de tensiones afecta como reductor de la resistencia: En
este caso consideraríamos el efecto de Kf sobre el límite de resistencia a la fatiga Se y el
efecto de Kf’ sobre el límite de resistencia a 103 ciclos.
Considerando que la concentración de tensiones afecta como concentrador de tensiones. En
este caso se considera, para materiales dúctiles, efecto nulo de Kf sobre la tensión media y
una concentración de tensiones de Kf para la tensión alterna. Y para materiales frágiles, el
factor Kf afectaría tanto a la tensión media como a la alterna. Algunos autores, van mas allá y
consideran que la tensión media se ve afectada por Kt mientras que la alternada por Kf en el
caso de materiales frágiles, tal y como se explicó en el Capítulo 2.
Factor de efectos diversos Kg
Los esfuerzos residuales (tensiones que permanecen en el material en ausencia de carga)
pueden aumentar el límite de fatiga cuando son compresivos o disminuirlo cuando son tractivos. Hay
operaciones como bombardeo con perdigones, martillado, galetado,…que mejoran el límite a fatiga del
componente al introducir tensiones residuales de compresión.
El límite de fatiga de piezas forjadas, laminadas…puede verse afectado por la direccionalidad de
la operación que produce que el material se comporte de forma anisótropa. Así, la resistencia a fatiga
transversal puede ser un 10-20% inferior.
Las piezas con temple superficial pueden fallar en la superficie o a la distancia del radio máximo
del núcleo, dependiendo del gradiente del esfuerzo. En la figura siguiente se muestra la distribución,
normalmente triangular, de las tensiones en una barra sometida a flexión o torsión. La línea gruesa
indica los límites de resistencia ala fatiga Se par la capa superficial (o corteza) y para el núcleo. En este
caso, el límite de fatiga del núcleo gobierna el diseño, porque el esfuerzo σ o τ, según corresponda, a
la distancia del radio exterior del núcleo es mayor que el límite de resistencia a la fatiga del núcleo.
Figura 10 – Pieza con temple superficial en flexión o torsión. En este ejemplo el fallo se produce
en el núcleo.
Cuando se produce el fenómeno de corrosión, desaparece el límite de fatiga.
Recubrimientos electrolíticos como el cromado, niquelado y cadmiado reducen el limite de fatiga
hasta el 50%. El galvanizado (revestimiento con Zn) no afecta.
El metalizado por aspersión origina imperfecciones en la superficie que pueden ser principio de
grietas. Se estima una reducción del 14% de la resistencia a la fatiga.
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El fenómeno de corrosión por apriete (Fretting Corrosion) es el resultado de movimientos
microscópicos en la superficie de piezas mecánicas o estructuras con ajuste (juntas atornilladas,
cojinetes,…). El proceso no es muy conocido, pero parece ser un problema de concentración de
tensiones y desgaste por deslizamiento relativo entre eje y elementos calados al que se le añade una
acción corrosiva sobre las superficie desgastadas. La reducción en la resistencia a fatiga es de hasta el
70%. Soluciones a este problema son mejoras de diseño (reducción del deslizamiento), recubrimiento
de Molibdeno, tratamientos superficiales (bombardeo de perdigones,…).
Factor de confiabilidad Kc
Tal y como se comentó anteriormente, la fatiga es un fenómeno estadístico. La distribución de
las resistencias a la fatiga es una distribución normal para un número fijo de ciclos, con una desviación
típica o standard σ. Si se adopta el valor medio de resistencia, significa que el diseño se realiza con
una confianza del 50%. Funcionalmente, se diseña para una seguridad funcional > del 90%. Un
enfoque sencillo de abordar este tema consiste en considerar un valor medio de la resistencia a la
tracción y un factor de confianza que reste un número de desviaciones típicas del límite de fatiga medio
hasta alcanzar la confianza deseada.
La probabilidad X de que la resistencia a la fatiga de la pieza sea inferior a Se’-σ es:
P = [X < Se '−σ] = 0.15 → 15% , Luego la confianza es del 85%.
La probabilidad de que la resistencia a la fatiga de la pieza sea inferior a Se’-1.3·σ es:
P = [X < S e '−1.3 ⋅ σ] = 0.10 → 10% , Luego la confianza es del 90%.
La desviación típica σ en aceros es del 8%. Esto implica en las expresiones anteriores:
S e '−σ = S e '−0.08·Se ' = S e '⋅(1 − 0.08 ) = Se '⋅K c para el 85% de confianza
S e '−1.3·σ = S e '−0.08 ⋅ 1.3·S e ' = S e '⋅(1 − 0.08 ⋅ 1.3) = S e '⋅K c para el 90% de confianza
En general:
K c = 1 − σ ⋅ D (23)
Probabilidad de vida
Factor de multiplicación de la desviación D
50
0
85
1
90
1.3
95
1.6
99
2.3
99.9
3.1
99.99
3.7
4.6. CURVAS S-N PARA DISTINTOS TIPOS DE ESFUERZO
Para los distintos tipos de esfuerzo, las curvas S-N son distintas. En la figura siguiente se
muestran las distintas variaciones en función del tipo de solicitación. En el caso de esfuerzo axial
alternado, el factor Kq es 1 para Sut>1520Mpa y 0,923 para Sut<1520Mpa.
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Obsérvese estos diagramas incluyen el efecto del factor de carga. Por lo tanto, no se debe incluir
dicho efecto dos veces (modificación de Se y modificación de diagrama). La recomendación es incluir el
efecto del tipo de carga en el diagrama S-N según se adjunta abajo, y adoptar Kq=1 en la ecuación (3).
Flexión rotativa/alternada
Torsión alternada
Esfuerzo axial alternado
Figura 11 – Curvas S-N
4.7. TENSIONES FLUCTUANTES
El cálculo de fatiga se plantea cuando existe una variación en el tiempo de la carga actuante.
Se definen los siguientes valores característicos:
σ max = tensión máxima
σ min = tensión mínima
σa =
σ max − σ min
= tensión alternada (amplitud de tensiones)
2
σm =
σ max + σ min
= tensión media
2
∆σ = σ r = 2 ⋅ σ a = rango de tensión
Y las relaciones de tensión que se utilizan frecuentemente para describir tensiones variables son:
R=
- 67
σ
σ min
; Razón de tensiones y A = a ; Razón de amplitud
σ max
σm
(24) y (25)
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4.8. TENSIONES FLUCTUANTES. LÍNEAS DE FALLO
Para determinar el fallo de un componente sometido a tensiones fluctuantes, se compara el
término constante de la tensión actuante, la tensión media σ m , con el límite a rotura estático, y el
término variable, la tensión alternada σ a , con el límite a fatiga.
Existen cuatro líneas de fallo: la línea de fluencia, la línea de Soderberg, la línea de Goodman, y
la parábola de Gerber que a continuación se presentan. El factor de seguridad se expresa como cs.
Línea de Fluencia: σm S + σa S = 1
yt
yt
cs
cs
Línea de Soderberg: σm S + σa S = 1
yt
e
cs
cs
Línea de Goodman: σm S + σa S = 1
ut
e
cs
cs
2
σm
Parábola de Gerber:
Curva de Kececioglu:
2
σm
Sut
cs
+
σa
Se
cs
Sut
cs
2.6
+
σa
Se
cs
=1
Figura 12 – Criterios de fallo
=1
El criterio más empleado es el criterio de Goodman. En este criterio se distingue entre tensiones
medias tractivas y compresivas, y considera que las tensiones medias compresivas no afectan a la vida
a fatiga. Cuando además se incluye la fluencia como criterio de fallo, surge el diagrama de Goodman
modificado. Considérese cs el factor de seguridad, tal que cs=mín (cs1,cs2). cs1 es el factor de
seguridad que cumple el criterio de fluencia. cs2 es el factor de seguridad que cumple el criterio de
Goodman. El criterio de Gerber no se recomienda en materiales frágiles.
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Si σ m ≤ 0
σa
σm − σ a ≤
Se
− S yt
≤ 1
cs1
cs2
(línea de fluencia)
Si σ m > 0
σm
Sut
σm + σ a ≤
+
S yt
σa
cs2
Se
≤ 1
cs1
(línea de fluencia)
Figura 13 – Diagrama de Goodman modificado (Smith)
Obsérvese que siempre es necesario realizar la comprobación de fluencia para el caso de
tensiones más desfavorable.
Existen distintos métodos para representan el estado de tensiones medio y variable de un
componente. Otra variación del diagrama de Goodman modificado se muestra a continuación. El
esfuerzo medio se representa en abscisas y las demás componentes se representan en ordenadas,
considerando la tracción en la dirección positiva del eje vertical. El límite de resistencia a fatiga, la
resistencia a la fatiga o la resistencia a vida infinita, según corresponda, se dibujan como ordenadas
por encima o por debajo del origen. La línea de esfuerzo medio es una recta a 45º. El diagrama de
Goodman modificado consiste en las rectas trazadas hasta Se (o Sf).
Figura 14 – Diagrama de Goodman modificado
- 69
DISEÑO DE MÁQUINAS I
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4.9. TENSIONES FLUCTUANTES EN TORSIÓN
En ausencia de concentradores de tensión, la tensión media no afecta a la resistencia a la fatiga.
Las resistencias a torsión se consideran:
S ys =
1
⋅ S y = 0.577 ⋅ S y
3
(26) Resistencia a fluencia en Torsión
S es =
1
⋅ S y = 0.577 ⋅ S e
3
(27) Resistencia a fatiga en Flexión
Nótese que las ecuaciones anteriores implican que en el cálculo de Se será necesario adoptar
Kq=1 si se consideran el límite a fatiga Ses en lugar de Se.
Sin concentradores de tensión
τa
τm + τ a ≤
S ys
cs 2
S es
cs1
Con concentradores de tensión
τm
≤1
Sus
cs1
τm + τ a ≤
(línea de fluencia)
Figura 15 – Sin concentradores
+
S ys
cs 2
τa
S es
cs1
≤1
(línea de fluencia)
Figura 16 – Con concentradores
4.10. ESFUERZOS COMBINADOS
Se deben considerar tres situaciones:
Caso
1:
Actúan
simultáneamente
varias
componentes
del
tensor
tensiones,
σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz , τ zy (o bien varias componentes de las tensiones principales σ1, σ 2 , σ 3 )
bajos esfuerzos para los que los coeficientes modificativos son los mismos.
Caso 2: Actúan diferentes esfuerzos que dan lugar a la misma componentes del tensor de
tensiones (p.e., σ x ) pero los coeficientes modificativos son diferentes.
Caso 3: Se producen simultáneamente las situaciones 1 y 2.
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DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
Caso 1
En este caso, se calculan las tensiones equivalentes de von Mises para las componentes de
tensión media y alternada.
Se aplica el criterio de Goodman para las tensiones equivalentes media y alternada.
La comprobación de límite elástico para ver si hay fluencia se realiza para la tensión equivalente
máxima (incluyendo componentes medias y alternadas) correspondiente a la combinación de tensiones
más desfavorable.
(σ1m − σ 2m )2 + (σ 2m − σ 3m )2 + (σ 3m − σ1m )2
σ eqm =
=
(σ
xm
) + (σ
2
ym
− σ zm
) + (σ
2
zm
=
(
− σ xm ) + 6 ⋅ τ xym + τ yzm + τ zxm
2
2
2
2
)
2
(σ1a − σ 2a )2 + (σ 2a − σ 3a )2 + (σ 3a − σ1a )2
σ eqa =
=
− σ ym
2
(σ
xa
− σ ya
) + (σ
2
2
ya
− σ za
) + (σ
2
(
=
− σ xa ) + 6 ⋅ τ xya + τ yza + τ zxa
2
za
2
2
2
)
2
En el caso biaxial, considerando x e y las direcciones en la que los esfuerzos no son nulos y para
los que tenemos unas direcciones principales A y B:
2
σ eqm = σ 2Am + σ Bm
− σ Am ⋅ σ Bm =
2
2
= σ xm + σ ym − σ xm ⋅ σ ym + 3 ⋅ τ xym
2
2
σ eqa = σ 2Aa + σ Ba
− σ Aa ⋅ σ Ba =
2
2
= σ xa + σ ya − σ xa ⋅ σ ya + 3 ⋅ τ xya
2
En el caso uniaxial:
2
σ eqm = σ 2Am + σ Bm
− σ Am ⋅ σ Bm =
2
= σ xm + 3 ⋅ τ xym
2
2
σ eqa = σ 2Aa + σ Ba
− σ Aa ⋅ σ Ba =
2
= σ xa + 3 ⋅ τ xya
2
Caso 2
En este caso se emplea un único límite Se afectando las tensiones con un coeficiente
αi =
Se
S ei
.
σ mT S ut +
α i ⋅ σ ai Se ≤ 1 para σ mT =
α i ⋅ σ ai Se ≤ 1 para σ mT =
- 71
σ mi > 0
σ mi < 0
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Caso 3
Esfuerzos de distinto tipo dan lugar a diferentes componentes del tensor de tensiones
σ xmT =
σ xmi
σ ymT =
σ ymi σ zmT =
σ zmi
τ xymT =
τ xymi
τ xzmT =
τ xzmi τ zymT =
τ zymi
σ xaT =
α i ⋅ σ xai
σ yaT =
α i ⋅ σ yai
σ zaT =
α i ⋅ σ zai
τ xyaT =
α i ⋅ τ xyai
τ xzaT =
α i ⋅ τ xzai
τ zyaT =
α i ⋅ τ zyai
σ eqm =
=
(σ
xm
− σ ym
) + (σ
2
2
ym
− σ zm
) + (σ
2
zm
=
(
− σ xm ) + 6 ⋅ τ xym + τ yzm + τ zxm
2
2
2
2
)
2
σ eqa =
=
(σ1m − σ 2m )2 + (σ 2m − σ 3m )2 + (σ 3m − σ1m )2
(σ
xa
(σ1a − σ 2a )2 + (σ 2a − σ 3a )2 + (σ 3a − σ1a )2
− σ ya
) + (σ
2
2
ya
− σ za
) + (σ
2
za
=
(
− σ xa ) + 6 ⋅ τ xya + τ yza + τ zxa
2
2
2
2
)
2
Donde α i = S e S .
ei
Para el caso en que i corresponda a un esfuerzo torsor: α i = S e
Sei se introduce el factor Kc=0.577
( 3 ⋅ S ) , y en el cálculo de
ei
4.11. DAÑO ACUMULADO. REGLA DE MINER
En general, los ciclos no son de amplitud constante. Se supone linealidad y superposición.
Cuando los ciclos no presentan una tendencia (creciente o decreciente) definida se acepta que
un punto está del dado de la seguridad si:
n1
N1
+
n2
N2
+ ...
nn
Nn
≤1
ni= número de ciclos de amplitudes σmi , σai
Ni=vida para ciclos de amplitudes σmi , σai
4.12. RECUENTO DE CICLOS. RAIN FLOW.
La técnica para estudiar un histograma se denomina Rain Flow. El objetivo es descomponer una
historia de cargas o tensiones en una tabla de ciclos ( σmi , σai ).
Esta técnica supone que se analiza una carga cíclica que se repite en el tiempo.
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Figura 17.
➨Paso 1: Reordenar la historia comenzando por el pico más alto.
Figura 18.
➨Paso 2: Empezando por el ciclo más alto, continuar hacia abajo hasta la próxima inversión de
pendiente A. Continuar horizontalmente hasta el próximo tramo descendiente B. Repetir hasta que
lleguemos al valle más profundo D. Entonces repetir el proceso hacia arriba. Así se define el primer
ciclo O-D-E.
- 73
DISEÑO DE MÁQUINAS I
 2004 V. BADIOLA
Figura 19.
➨Paso 3: Repetir el paso 2 con todos los rangos o partes de rango que no se utilizaron
previamente. Segundo ciclo: F-G-H
Figura 20.
➨Paso 4: Por último quedan los ciclos restantes:
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Figura 21.
Y con todo, el ciclo OE se desglosa en: O-D-E (1)+F-G-H (1)+5 ciclos s/Figura 21. Esto es, 7
ciclos totales. Si desearamos calcular la vida del componente en un punto sometido a el histograma OE, definiríamos n1=n2=n3=…=n7=n, puesto que en 1 ciclos O-E el componente está sometido a 1 ciclo
O-D-E, a 1 ciclo F-G-H, y a 1 ciclo del resto de ciclos, y por último, despejaríamos de la expresión de la
regla de Miner la vida n de ciclos O-E.
4.13. TEORÍA GENERALIZADA ε-N. MODELO DE COMPORTAMIENTO PLÁSTICO
DEL MATERIAL.
Se establece a continuación el camino para determinar el comportamiento elastoplástico del
material, de forma que el caso de régimen elástico se deduce como simplificación del modelo general.
Curvas Monotónicas
Ante una carga de carácter monotónico, la relación tensión – deformación (Figura 22) se puede
expresar según la ecuación de Ramberg Osgood, que estima la deformación total como suma de la
deformación elástica por un lado y la plástica por otro:
ε = εe + ε p
Siendo:
ε=
σ
E
+
σ
k
1
n
Curva Monotónica
k: Coeficiente de resistencia
N: exponente de endurecimiento por deformación
E: Módulo elástico (Young)
- 75
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Figura 22 Curva tensión - deformación para comportamiento plástico
Curvas Cíclicas
Según el tipo de material, ocurre que ante cargas cíclicas (controlando e) se produce bien un
endurecimiento o bien un ablandamiento durante un período inicial, hasta que se llega a la
estabilización. La curva de definición del material se obtiene a partir de la unión de los diferentes picos
de los ciclos de histéresis de distintos ensayos y distintas amplitudes de deformación, una vez
estabilizado (Figura 23) .De tal manera que esto se refleja en los parámetros de la ecuación de
comportamiento hasta llegar a:
1
ε=
σ
E
+
σ
n'
k'
k’: Coeficiente de resistencia cíclica
n’: exponente de endurecimiento
por deformación cíclica
Figura 23. Obtención de la curva tensión
deformación para un material con
endurecimiento cíclico (Ramberg-Osgood)
El siguiente paso es establecer el camino para determinar el ciclo de histéresis del material. Para
materiales con similares propiedades en tracción y en compresión se comprueba que verifican el
llamado comportamiento Masing, según el cual las ramas del ciclo de histéresis se pueden construir
aplicando un cambio de coordenadas y duplicando la curva cíclica tensión – deformación (Figura 24)
(efecto Bauschinger):
Ecuación curva cíclica tensión deformación
Ecuación de la rama del ciclo de histéresis
DISEÑO DE MÁQUINAS I
ε = f (σ )
∆σ
∆ε
=f
2
2
- 76 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
 2004 V. BADIOLA
Figura 24. Esquema del comportamiento Masing de un material
La ultima consideración para completar el modelo consiste en aplicar la llamada ‘Memoria del
Material’, según la cual, al cerrarse un ciclo completo de histéresis, el material recuerda el camino
marcado por la curva cíclica para la relación tensión deformación y continua la variación de dichos
parámetros según lo establecido en la ecuación correspondiente a la curva (Figura 25)
Figura 25. Comportamiento según la hipótesis de memoria del material
Por lo tanto, utilizando estas premisas se dispone de un modelo completo para determinar el
histórico de la relación que mantienen en zona plástica la tensión y la deformación.
Una vez obtenida la historia de ciclos de histéresis tensión - deformación a los que se somete el
componente, se procede a establecer una relación entre éstos y la vida útil. Tal y como se ha hecho
con el comportamiento plástico, se trabaja con el modelo ε-n ya que el basado en amplitud de ciclos de
tensión se deduce como caso particular del primero.
1º Para niveles bajos de carga, en los que la deformación producida permanece dentro del
régimen elástico, la vida del componente se correlaciona de forma adecuada con la amplitud de
tensiones, según la llamada Ley de Basquin:
∆σ
b
= σ 'f (2 N i )
2
donde:
- 77
-
2Ni : Numero de inversiones de carga = 2 inversiones/ciclo
-
σf´: Coeficiente de resistencia a fatiga.
-
b: Exponente de resistencia a fatiga.
-
∆σ : rango de tensión
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2º Por el contrario, para niveles altos de carga, en los que predomina la deformación elástica, el
número de ciclos hasta rotura del componente está ligado con la amplitud de deformaciones mediante
la ley (Coffin-Manson):
∆ε
= ε 'f (2 N i )c
2
donde a su vez:
-
εf´: Coeficiente de ductilidad a fatiga. (deformación a la rotura en 1 ciclo)
-
c: Exponente de ductilidad a fatiga. (0.6, si no hay más datos)
Las dos ecuaciones previas actúan a modo de asíntotas en la representación, doble logarítmica,
de la amplitud de tensiones frente al numero de ciclos hasta rotura. Mediante la ecuación de Manson –
Coffin – Morrow se propone el ajuste de la curva de predicción de vida a ambas asíntotas obteniéndose
así una relación válida para cualquier nivel de carga cuyo representación se muestra en la Figura 26:
'
∆ε σ f
(2 N i )b + ε 'f (2 N i )c
=
2
E
Figura 26. Modelo de vida frente a amplitud de deformación
El paso siguiente consiste en definir un ‘parámetro de daño’ que se sirve de la curva de amplitud
de deformaciones frente a número de ciclos para, aplicando las correcciones pertinentes, estimar el
daño de un ciclo concreto de carga.
El primer efecto a considerar es el de la tensión media. El crecimiento de grieta se ve favorecido
por tensiones medias mayores que cero, es decir, de tracción. Por ello, para cada ciclo de carga es
necesario estimar su tensión media y en el caso de que ésta sea positiva incluir un término en la
ecuación de daño que lo mayore. A continuación, se presentan las ecuaciones de los dos parámetros
de daño más utilizados y sus correcciones de valor medio, junto con las correcciones que suponen al
ser aplicados sobre la curva incremento de deformación frente a vida útil:
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-
' 2
∆ε (σ f )
(2 N i )2b + σ 'f ε 'f (2 N i )b+c ; en no
Parámetro Smith-Watson-Topper: σ max ⋅
=
E
2
conservador con tensiones medias <0
-
'
∆ε (σ f )
(2 N i )b 1 − σ m' + ε 'f (2 N i )c
Parámetro Morrow:
=
2
E
σf
El último paso para estimar la vida total del componente ante una historia de solicitaciones es
componer el histograma de ciclos en amplitud y valor medio asociado a dicha historia de cargas. Una
vez se dispone de éste, para cada grupo se aplica el parámetro de daño equivalente y por medio de la
llamada ‘Regla de Miner’ (Figura 27) se obtiene el daño total como suma de los daños asociados a
cada grupo de ciclos con una amplitud y un valor medio determinados:
ε
Daño cicloi =
n º ciclosi
N º ciclosi Rotura
Daño Total =
i
Vidal Total =
N1…
…Ni
N
Daño Cicloi
1
Daño Total
Figura 27. Representación gráfica de la regla de Miner
- 79
-
El método e-N se puede utilizar tanto en LCF como en HCF porque utiliza ambos métodos.
-
Los datos son más complicados de conseguir, es necesario realizar más ensayos.
-
Las curvas e-N se obtienen mediante ensayos con deformación controlada, que supone una mejor
aproximación al comportamiento en las entallas.
DISEÑO DE MÁQUINAS I