16.- Una agencia publicitaria con 10 empleados ha obtenido un

16.- Una agencia publicitaria con 10 empleados ha obtenido un contrato para promover
un nuevo producto. La agencia puede anunciar por la radio y la televisión. La siguiente
tabla proporciona los datos acerca del número de personas a la que llega cada tipo de
anuncio y el coste y los requerimientos de trabajo:
Coste (miles de euros)
Empleados asignados
Personas que ven el anuncio
(millones)
Radio (minutos)
8
1
Televisión (minutos)
25
2
5
8
El contrato prohíbe que la agencia utilice más de 6 minutos de anuncios por la radio.
El gerente desea conocer los minutos asignados a los anuncios por radio y por
televisión, que verifiquen las siguientes metas, si es posible:
1º) En un primer nivel de prioridad, que el coste total sea, como mucho, de 100.000
euros.
2º) En un segundo nivel de prioridad, que los anuncios lleguen, por los menos, a 40
millones de personas.
Plantee el modelo de programación por metas lexicográfico para resolver el problema
anterior e indique el problema a resolver para cada nivel de prioridad.
Resuelva gráficamente el problema planteado, indicando si hay solución o no al final.
Solución:
a) Denominamos x1 a los minutos de radio y x2 a los minutos de televisión.
Si tenemos en cuenta el nº de empleados de que dispone y los requerimientos de
trabajo de cada tipo de anuncio, tenemos la siguiente restricción:
x1 + 2x2 ≤ 10
Y con el nº de minutos máximo posible de emisión en radio según el contrato,
obtenemos la siguiente restricción:
x1 ≤ 6
Primer nivel de prioridad: Que el coste total sea, como mucho, de 100.000 euros. (100
miles de euros, ya que el coste se mide en miles de euros)
La meta será:
8x1 + 25x2 ≤ 100
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
8x1 + 25x2 + n1 – p1 = 100
la variable no deseada es p1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = p1
Segundo nivel de prioridad: El que los anuncios lleguen, por los menos, a 40 millones
de personas. La meta será:
5x1 + 8x2 ≥ 40
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
5x1 + 8x2 + n2 – p2 = 40
la variable no deseada es n2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = n2
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { p1, n2 }
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 10
x1 ≤ 6
8x1 + 25x2 + n1 – p1 = 100
5x1 + 8x2 + n2 – p2 = 40
xi, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2
Nivel 1:
Min p1
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 10
x1 ≤ 6
8x1 + 25x2 + n1 – p1 = 100
x1, x2, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min n2
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 10
x1 ≤ 6
8x1 + 25x2 + n1 – p1 = 100
p1 = 0
5x1 + 8x2 + n2 – p2 = 40
x1, x2, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
A partir de la gráfica podemos concluir que hay soluciones factibles que
verifican todas las metas, y son los puntos que, en el dibujo, aparecen sombreados.
x1