SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

SISTEMAS DE CONTROL
AVANZADO
Sistemas de Control Avanzado
Luis Eduardo García Jaimes
SISTEMAS DE CONTROL
AVANZADO
POLITÉCNICO COLOMBIANO JIC
TERCERA EDICIÓN
2013
Luis Eduardo García Jaimes
1
Sistemas de Control Avanzado
CONTENIDO
1.
PROLOGO
6
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE
9
ESTADO
1.1
FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL ESPACIO
DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO
12
1.1.1
Forma Canónica Controlable
12
1.1.2
Forma Canónica Observable
13
1.1.3
Forma Canónica Diagonal
13
1.1.4
Forma Canónica de Jordan
14
1.2
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y
16
REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO.
1.3
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO
17
DISCRETO
1.3.1
Método Recursivo
17
1.3.2
Método de la Transformada z
18
PROBLEMAS PROPUESTOS
20
REFERENCIAS
22
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE
23
2.
ESTADO
2.1
CONTROLABILIDAD
23
2.1.1
Controlabilidad Completa del Estado
23
2.1.2
Controlabilidad Completa de la salida
25
2.2
OBSERVABILIDAD
26
2.3
CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y
28
ASIGNACIÓN DE POLOS
2.4
CALCULO DE LA MATRIZ DE GANANCIA DE
30
REALIMENTACIÓN
Luis Eduardo García Jaimes
2
Sistemas de Control Avanzado
2.5
SISTEMA DE CONTROL CON ENTRADA DE REFERENCIA
32
2.6
OBSERVADORES DE ESTADO DE ORDEN COMPLETO
35
2.7
OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR
36
2.7.1
Cálculo de la matriz de ganancia del observador
39
2.7.2
Formula de Ackerman
39
2.7.3
Función de Transferencia de Pulso del Controlador
40
2.8
OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEN REDUCIDO
46
2.9
SISTEMAS TIPO SERVO
53
2.10
SISTEMAS NO LINEALES
58
2.10.1
Linealización de sistemas no lineales
59
2.10.2
Diseño de Controladores para Sistemas no Lineales
60
PROBLEMAS PROPUESTOS
64
REFERENCIAS
66
3.
CONTROL ADAPTATIVO
67
3.1
DEFINICIÓN
67
3.1.1
Índice de desempeño
67
3.1.2
Controladores adaptativos
68
3.1.3
Identificación de las características dinámicas de la planta
69
3.1.4
Toma de decisión basada en la identificación de la planta
69
3.2
ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO
69
3.2.1
Controlador autosintonizado (STR)
70
3.2.2
Control con modelo de referencia (MRAC)
71
3.2.3
Control con ganancia programada (Gain Scheduling)
72
3.2.4
Modelos discretos para sistemas de control adaptativo
73
3.2.5
Clasificación de los controladores discretos según la señal de
73
control
REFERENCIAS
74
4.
CONCEPTOS BÁSICOS DE IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
75
4.1
TIPOS DE MODELOS
76
4.2
PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN.
77
4.2.1
Recolección de datos
77
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3
Sistemas de Control Avanzado
4.2.2
Tratamiento previo de los datos obtenidos
77
4.2.3
La Selección del Modelo
77
4.2.4
Estimación de parámetros
77
4.2.5
Validación del Modelo
78
4.3
TÉCNICAS DE IDENTIFICACIÓN
78
4.3.1
Identificación fuera de línea (Off-Line)
79
4.3.2
Identificación en línea (On-Line)
79
4.4
IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA
80
4.4.1
Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo
80
4.4.2
Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos
80
4.5
IDENTIFICACIÓMN NO PARAMÉTRICA
90
4.5.1
Modelo: Planta de primer orden con retardo (Modelo POR)
90
4.5.2
Modelo: Planta de segundo orden con retardo (Modelo SOR)
91
PROBLEMAS PROPUESTOS
97
REFERENCIAS
100
5.
REGULADORES AUTOADAPTABLES
101
5.1
ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES
101
5.1.1
Método de asignación de polos
102
5.1.2
Controlador de mínima varianza
104
5.1.3
Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y
113
cancelación de polos para un sistema de primer orden (POR):
PROBLEMAS PROPUESTOS
115
REFERENCIAS
118
6.
CONTROL ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERENCIA
119
6.1
MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE
120
LYAPUNOV
6.2
7.
MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS
128
PROBLEMAS PROPUESTOS
137
REFERENCIAS
140
CONTROL ADAPTATIVO CON GANANCIA PROGRAMABLE
141
PROBLEMAS PROPUESTOS
155
Luis Eduardo García Jaimes
4
Sistemas de Control Avanzado
REFERENCIAS
158
8.
CONTROL PREDICTIVO
159
8.1
ESTRATEGIA DE LOS CONTROLADORES PREDICTIVOS
159
8.2
ESTRUCTURA BÁSICA DEL CONTROL PREDICTIVO
160
8.3
ELEMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO
161
8.3.1
Modelo de predicción
161
8.3.2
Función objetivo
164
8.3.3
Algoritmos de control predictivo
164
8.4
CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GPC)
165
8.4.1
Formulación del control predictivo generalizado
165
8.4.2
Predicción óptima
166
8.4.3
Obtención de la ley de control
166
PROBLEMAS PROPUESTOS
175
REFERENCIAS
178
9
OTROS ALGORITMOS DE CONTROL
179
9.1
CONTROL CON MODELO INTERNO
179
9.2
DISEÑO DE COMPENSADORES POR EL MÉTODO DE
184
RAGAZZINI
PROBLEMAS PROPUESTOS
191
REFERENCIAS
192
BIBLIOGRAFIA GENERAL
193
Luis Eduardo García Jaimes
5
Sistemas de Control Avanzado
PRÓLOGO
Como consecuencia del gran avance experimentado por la computación digital
gran cantidad de los sistemas de control construidos hoy en día se basan en
microprocesadores y computadores de última generación. La utilización de los
sistemas de control basados en computador permite satisfacer especificaciones
más exigentes que las que se pueden lograr
con los sistemas analógicos
así como posibilitar nuevas funcionalidades.
Desde esta perspectiva, el objetivo central del control avanzado consiste en
proporcionar el conocimiento y las capacidades mínimas necesarias para analizar y
diseñar de una manera efectiva sistemas de control no convencionales e
implementarlos en el computador.
El desarrollo industrial ha traído consigo la aparición de nuevos procesos y
la necesaria optimización de los ya existentes con el fin de lograr productos de alta
calidad, utilizando tecnologías avanzadas que precisan de sistemas de control de
alto rendimiento y confiabilidad. Este libro pretende dar una respuesta a esta
necesidad abordando el problema desde el punto de vista del diseño de
controladores no convencionales como el PI y el PID.
Para su desarrollo el texto se ha dividido en ocho capítulos, a través de los
cuales se lleva al lector desde los conceptos básicos del diseño de sistemas de
control utilizando técnicas de realimentación del estado y asignación de polos
hasta la aplicación de la técnica del control predictivo basado en modelos.
Luis Eduardo García Jaimes
6
Sistemas de Control Avanzado
El primer capítulo presenta una introducción al análisis de sistemas de control en el
espacio de estado, la representación de los mismos en las formas canónicas y la
solución de ecuaciones de estado.
En el capítulo dos se plantean los principios fundamentales del diseño de sistemas
de control en el espacio de estado y se diseñan algoritmos de control utilizando
técnicas de realimentación del estado y asignación de polos.
En el capítulo tres se presenta una introducción al control adaptativo, los
esquemas básicos de adaptación en lazo abierto y adaptación en lazo cerrado.
El capítulo cuatro presenta algunas técnicas de identificación paramétricas
utilizando mínimos cuadrados no recursivos y mínimos cuadrados recursivos.
El capítulo cinco presenta la ecuación general para controladores lineales, el diseño
de algoritmos de reguladores autoadaptables por el método de asignación de polos
(STR) y se analizan los controladores de mínima varianza (MVR).
El capítulo seis se refiere al diseño de algoritmos de control adaptativo por
modelo de referencia (MRAC) para sistemas continuos y para sistemas discretos.
El capítulo siete presenta un análisis de los sistemas de control adaptativo con
ganancia programable y sus aplicaciones.
Finalmente, en los capítulos ocho y nueve se plantea la técnica del control predictivo
y se analizan otras técnicas de control como el control con modelo interno (IMC) y
el diseño de compensadores por el método de Ragazzini
El contenido del texto va acompañado de una buena cantidad de ejemplos
resueltos con el fin de afianzar la parte teórica expuesta.
Gran parte de los temas que se presentan en el texto se ha trabajado
durante varios semestres en cursos de ingeniería en instrumentación y control a
nivel de pregrado y de automatización industrial a nivel de posgrado.
Luis Eduardo García Jaimes
7
Sistemas de Control Avanzado
El contenido del libro se puede cubrir en un semestre académico al final del cual el
estudiante estará en capacidad de analizar, diseñar e implementar un sistema
de control no convencional para un determinado proceso.
Luís Eduardo García Jaimes
A la memoria de Martha y de mi padre
Dedico a mi madre, a Gloria y a mis hijos Ricardo y Timoteo
Entrego a mis alumnos
Luis Eduardo García Jaimes
8
Sistemas de Control Avanzado
1. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
Este método tiene como objetivo la descripción de un sistema en función de 𝑛
ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden, las cuales pueden
combinarse para formar una ecuación matricial en diferencias o una diferencial de
primer orden.
El diseño de sistemas en el espacio de estado se puede realizar con todo tipo de
entradas, permite incluir condiciones iniciales y analizar los sistemas de control con
respecto a índices de desempeño dados.
Para un mayor entendimiento del concepto de estado se definen a continuación
algunos términos [1.1].
Luis Eduardo García Jaimes
9
Sistemas de Control Avanzado
Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables,
tales que el conocimiento de dichas variables en 𝑡 = 𝑡𝑜 junto con el
conocimiento
de
la
entrada
para
𝑡 ≥ 𝑡𝑜 , determinan
completamente
el
comportamiento dinámico del sistema para 𝑡 ≥ 𝑡𝑜 .
Variables de Estado: son las variables que conforman el conjunto más pequeño
de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Las variables de
estado no necesitan ser cantidades físicamente medibles u observables. Pero, en
la práctica, es conveniente seleccionar como variables de estado a cantidades que
sean fácilmente medibles.
Vector de Estado: es el vector formado por el conjunto de las 𝑛 variables de estado
𝑥1 , 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 que sean necesarias para determinar completamente el comportamiento
del sistema.
En la figura 1.1a las variables 𝑢𝑖 (𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑟, representan las entradas que
comandan al sistema, las variables 𝑦𝑖 (𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑚, representan las salidas o
respuestas del sistema y las variables 𝑥𝑖 (𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑛, representan las variables
internas o variables de estado del sistema.
Figura 1.1 Representación de un sistema dinámico a) Representación con
las variables de estado. b) Representación con el vector de estado.
Luis Eduardo García Jaimes
10
Sistemas de Control Avanzado
Por conveniencia, el sistema de la figura 1.1a se puede representar como se
muestra en la figura 1.1b en donde 𝑢(𝑘) es el vector de entrada, 𝑦(𝑘) es el vector
de salida y 𝑥(𝑘) es el vector de estado es decir:
𝑢1 (𝑘)
𝑢2 (𝑘 )
𝑢 (𝑘 ) =
∙
∙
[𝑢𝑟 (𝑘 )]
𝑦1 (𝑘)
𝑦2 (𝑘)
𝑦 (𝑘 ) =
∙
∙
[𝑦𝑚 (𝑘)]
𝑥1 (𝑘)
𝑥2 (𝑘)
𝑥 (𝑘 ) =
∙
∙
[𝑦𝑛 (𝑘)]
1.1
En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo discreto,
en el instante 𝑘 + 1 se puede escribir en la forma:
𝑥(𝑘 + 1) = 𝑓 [𝑥(𝑘 ), 𝑢(𝑘)]
1.2
Así mismo, la salida del sistema se puede dar como:
𝑦(𝑘 ) = 𝑔[𝑥 (𝑘 ), 𝑢(𝑘)]
1.3
Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de
entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así:
En donde:
𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴(𝑘 )𝑥 (𝑘 ) + 𝐵(𝑘 )𝑢(𝑘 )
1.4
𝑦 (𝑘 ) = 𝐶 (𝑘 )𝑥 (𝑘 ) + 𝐷 ( 𝑘 )𝑢 (𝑘 )
1.5
𝑥(𝑘) = Vector de estado
(vector 𝑛)
𝑦(𝑘) =Vector de salida
(vector 𝑚)
𝑢(𝑘) = Vector de entrada
(vector 𝑟)
𝐴(𝑘) =Matriz de estado
(matriz 𝑛 × 𝑛)
𝐵(𝑘) = Matriz de entrada
(matriz 𝑛 × 𝑟)
𝐶(𝑘) = Matriz de salida
(matriz 𝑚 × 𝑛)
𝐷(𝑘 ) = Matriz de transmisión directa
(matriz 𝑚 × 𝑟)
La variable 𝑘 en el argumento de las matrices 𝐴(𝑘), 𝐵(𝑘), 𝐶(𝑘) y 𝐷(𝑘) indica que
estas matrices varían en el tiempo. Si se tiene un sistema de tiempo discreto lineal
e invariante en el tiempo, dichas matrices son constantes y las ecuaciones de
estado y salida del sistema se pueden escribir como:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
Luis Eduardo García Jaimes
1.6
11
Sistemas de Control Avanzado
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
1.7
En la representación por variables de estados de un sistema lineal, con matrices 𝐴,
𝐵, 𝐶 y 𝐷, las matrices 𝐴 y 𝐶 describen el comportamiento no-forzado del sistema (o
el comportamiento a entrada-cero), mientras que la matriz 𝐵 caracteriza el efecto de
la entrada (o el control) sobre la dinámica del sistema. La matriz 𝐷 representa la
transmisión directa de la entrada a la salida.
La figura 1.2 representa el diagrama en bloques de un sistema de control discreto
definido por las ecuaciones 1.6 y 1.7
Figura 1.2 Diagrama en bloques de un sistema de tiempo discreto lineal e
invariante en el tiempo
1.1 FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO
EN TIEMPO DISCRETO
Sea el sistema en tiempo discreto definido por la ecuación de diferencias:
𝑦(𝑘) + 𝑎1 𝑦(𝑘 − 1) + 𝑎2 𝑦(𝑘 − 2) + ⋯ 𝑎𝑛 𝑦(𝑘 − 𝑛) = 𝑏𝑜 𝑢(𝑘) + 𝑏1 𝑢(𝑘 − 1) ⋯ + 𝑏𝑛 𝑢(𝑘 − 𝑛) 1.8
En donde 𝑢(𝑘) es la entrada y 𝑦(𝑘) es la salida del sistema en el instante de
muestreo 𝑘. La función de transferencia de pulso correspondiente a la ecuación 1.8
está dada por:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧) 𝑏𝑜 + 𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2 ⋯ + 𝑏𝑛 𝑧 −𝑛
=
𝑈(𝑧) 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 −𝑛
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧) 𝑏𝑜 𝑧 𝑛 + 𝑏1 𝑧 𝑛−1 + 𝑏2 𝑧 𝑛−2 ⋯ + 𝑏𝑛
= 𝑛
𝑈(𝑧)
𝑧 + 𝑎1 𝑧 𝑛−1 + 𝑎2 𝑧 𝑛−2 ⋯ + 𝑎𝑛
1.9
1.10
Existen diferentes formas para representar el sistema discreto definido por las
ecuaciones 1.8, 1.9 y 1.10. Las más utilizadas son las llamadas formas canónicas
Luis Eduardo García Jaimes
12
Sistemas de Control Avanzado
a saber: forma canónica controlable, forma canónica observable, forma canónica
diagonal y forma canónica de Jordan [1.2]
1.1.1 Forma Canónica Controlable: la representación en el espacio de estado
del sistema en tiempo discreto definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó 1.10 se puede
expresar en la forma:
𝑥1 (𝑘 + 1)
−𝑎1
𝑥2 (𝑘 + 1)
1
0
𝑥3 (𝑘 + 1)
=
∙
∙
∙
∙
[
0
[𝑥𝑛 (𝑘 + 1)]
𝑦(𝑘 ) = [𝑏1 − 𝑎1 𝑏𝑜
−𝑎2
0
1
∙
∙
0
∙
∙
∙
∙
∙
∙
𝑏2 − 𝑎2 𝑏𝑜
−𝑎𝑛−1
0
0
∙
∙
1
∙
−𝑎𝑛 𝑥1 (𝑘)
1
0
𝑥2 (𝑘)
0
0
𝑥3 (𝑘)
∙ ( )
+
𝑢 𝑘
∙
∙
∙
∙
∙
0
0 ] [𝑥𝑛 (𝑘)] [0]
1.11
𝑥1 (𝑘)
𝑥2 (𝑘)
∙
𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 𝑏𝑜 ]
+ 𝑏𝑜 𝑢(𝑘)
∙
𝑥𝑛−1 (𝑘)
[ 𝑥𝑛 (𝑘) ]
1.1.2 Forma Canónica Observable: la representación en el espacio de estado del
sistema en tiempo discreto definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó 1.10 se puede
expresar en la forma:
𝑥1 (𝑘 + 1)
−𝑎1
−𝑎2
𝑥2 (𝑘 + 1)
∙
∙
=
∙
∙
−𝑎𝑛−1
𝑥𝑛−1 (𝑘 + 1)
[ 𝑥𝑛 (𝑘 + 1) ] [ −𝑎𝑛
1
0
∙
∙
0
0
0
1
∙
∙
0
0
𝑦 ( 𝑘 ) = [1 0 0
∙
∙
∙
∙
∙
∙
𝑏1 − 𝑎1 𝑏𝑜
0 𝑥1 (𝑘)
0 𝑥2 (𝑘)
𝑏2 − 𝑎2 𝑏𝑜
∙
∙
∙
+
𝑢(𝑘 ) 1.12
∙
∙
∙
1 𝑥𝑛−1 (𝑘)
𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑜
0] [ 𝑥𝑛 (𝑘) ] [ 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 𝑏𝑜 ]
𝑥1 (𝑘)
𝑥2 (𝑘)
∙
+ 𝑏𝑜 𝑢(𝑘)
∙ 0]
∙
𝑥𝑛−1 (𝑘)
[ 𝑥𝑛 (𝑘) ]
1.1.3 Forma Canónica Diagonal: si los polos de la función de transferencia de
pulso dada por la ecuación 1.10 son todos distintos, es decir, si ella se puede
expandir en fracciones parciales en la forma:
Luis Eduardo García Jaimes
13
Sistemas de Control Avanzado
𝐺 (𝑧 ) =
𝐶1
𝐶2
𝐶𝑛
+
+⋯
+ 𝑏𝑜
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2
𝑧 − 𝑝𝑛
1.13
La representación en el espacio de estado definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó
1.10 se puede expresar en la forma:
𝑥1 (𝑘 + 1)
𝑝1
0
𝑥2 (𝑘 + 1)
0
∙
=
∙
∙
∙
∙
[𝑥𝑛 (𝑘 + 1)] [ 0
𝑦(𝑘 ) = [𝐶1
𝐶2
0
𝑝2
0
∙
∙
0
∙
∙
∙
∙
∙
∙
0
0
0
∙
∙
0
0 𝑥1 (𝑘)
1
0 𝑥2 (𝑘)
1
0
∙
∙ ( )
+
𝑢 𝑘
∙
∙
∙
∙
∙
∙
𝑝𝑛 ] [𝑥𝑛 (𝑘)] [1]
1.14
𝑥1 (𝑘 )
𝑥2 (𝑘 )
∙
𝐶𝑛 ]
+ 𝑏𝑜 𝑢(𝑘 )
∙
∙
[𝑥𝑛 (𝑘 )]
∙ ∙
1.1.4 Forma Canónica de Jordan: Si al descomponer en fracciones parciales la
función de transferencia dada por la ecuación 1.10 se obtiene un polo múltiple de
orden 𝑟 en 𝑧 = 𝑝1 y todos los demás polos son distintos, es decir:
𝐺 (𝑧) =
𝐶1
𝐶2
𝐶𝑟
𝐶𝑟+1
𝐶𝑟+2
𝐶𝑛
+
+⋯
+
+
+⋯
+ 𝑏0 1.15
𝑟
𝑟−1
(𝑧 − 𝑝1 )
(𝑧 − 𝑝1 )
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝𝑟+1 𝑧 − 𝑝𝑟+2
𝑧 − 𝑝𝑛
La representación en el espacio de estado definido por las ecuaciones 1.8, 1.9 ó
1.10 se puede expresar en la forma:
𝑥1 (𝑘 + 1)
𝑝1
𝑥2 (𝑘 + 1)
0
∙
∙
𝑥𝑟 (𝑘 + 1)
0
=
0
𝑥𝑟+1 (𝑘 + 1)
∙
∙
∙
∙
[ 𝑥𝑛 (𝑘 + 1) ] [ 0
𝑦(𝑘 ) = [𝐶1
Luis Eduardo García Jaimes
1
𝑝1
∙
0
0
∙
∙
0
𝐶2
0
1
∙
0
∙
∙
∙
∙
∙
0 0
0
0
∙| ∙
𝑝1 0
|
0 𝑝𝑟+1
∙
| 0
∙
∙
0
0
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
𝑥1 (𝑘)
0
0
𝑥2 (𝑘)
0
0
∙
0
∙
𝑥𝑟 (𝑘)
0
1
+
𝑢(𝑘 ) 1.16
0 𝑥𝑟+1 (𝑘)
1
∙
0
∙
∙
∙
∙
𝑝𝑛 ] [ 𝑥𝑛 (𝑘) ] [1]
𝑥1 (𝑘 )
𝑥2 (𝑘 )
∙
∙ 𝐶𝑛 ]
+ 𝑏𝑜 𝑢(𝑘 )
∙
∙
[𝑥𝑛 (𝑘 )]
14
Sistemas de Control Avanzado
EJEMPLO 1.1
Dado el sistema:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧)
𝑧 2 + 0.2𝑧 + 0.5
=
𝑈(𝑧) (𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.6)(𝑧 − 0.8)
a) Obtener su representación en el espacio de estado en las formas canónicas
controlable, observable y diagonal.
SOLUCIÓN: el sistema dado puede escribirse en la forma:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧)
𝑧 2 + 0.2𝑧 + 0.5
= 3
𝑈(𝑧) 𝑧 − 1.9𝑧 2 + 1.18𝑧 + 0.24
En donde 𝑎1 = −1.9, 𝑎2 = 1.18, 𝑎3 = 0.24, 𝑏0 = 0, 𝑏1 = 1, 𝑏2 = 0.2 y 𝑏3 = 0.5
(ver ecuación 1.10)
La ecuación 1.11 da la forma canónica controlable así:
𝑥1 (𝑘 + 1)
1.9 −1.18 −0.24 𝑥1 (𝑘)
1
[𝑥2 (𝑘 + 1)] = [ 1
0
0 ] [𝑥2 (𝑘)] + [0] 𝑢(𝑘)
𝑥3 (𝑘 + 1)
𝑥3 (𝑘)
0
1
0
0
𝑥1 (𝑘)
𝑦(𝑘 ) = [1 0.2 0.5] [𝑥2 (𝑘)]
𝑥3 (𝑘)
La ecuación 1.12 da la forma canónica observable así:
𝑥1 (𝑘 + 1)
1.9
1 0 𝑥1 (𝑘)
1
[𝑥2 (𝑘 + 1)] = [−1.18 0 1] [𝑥2 (𝑘)] + [0.2] 𝑢(𝑘)
𝑥3 (𝑘 + 1)
−0.24 0 0 𝑥3 (𝑘)
0.5
𝑥1 (𝑘)
(
)
[
]
𝑦 𝑘 = 1 0 0 [𝑥2 (𝑘)]
𝑥3 (𝑘)
Como los polos de la función de transferencia del sistema son todos distintos, la
representación del mismo, en su forma canónica diagonal, se obtiene expandiendo
𝐺(𝑧) en fracciones parciales:
𝐺 (𝑧 ) =
28.333
49
21.667
−
+
𝑧 − 0.5 𝑧 − 0.6 𝑧 − 0.8
Utilizando la ecuación 1.14 se obtiene:
Luis Eduardo García Jaimes
15
Sistemas de Control Avanzado
𝑥1 (𝑘 + 1)
0.5 0
0 𝑥1 (𝑘)
1
[𝑥2 (𝑘 + 1)] = [ 0 0.6 0 ] [𝑥2 (𝑘)] + [1] 𝑢(𝑘)
𝑥3 (𝑘 + 1)
1
0
0 0.8 𝑥3 (𝑘)
𝑦(𝑘 ) = [28.333
𝑥1 (𝑘)
−49 21.667] [𝑥2 (𝑘)]
𝑥3 (𝑘)
1.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y REPRESENTACIÓN EN EL
ESPACIO DE ESTADO.
Como se ha visto, la representación en el espacio de estado de un sistema discreto
lineal e invariante en el tiempo se puede expresar en la forma:
𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
1.17
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
1.18
Tomando la transformada z a las ecuaciones 1.17 y 1.18 se obtiene:
𝑧𝑋(𝑧) − 𝑧𝑥 (0) = 𝐴𝑋 (𝑧) + 𝐵𝑈(𝑧)
𝑌 (𝑧) = 𝐶𝑋(𝑧) + 𝐷𝑈(𝑧)
La definición de la función de transferencia considera que las condiciones iniciales
son iguales a cero, entonces:
(𝑧𝐼 − 𝐴)𝑋(𝑧) = 𝐵𝑈(𝑧)
Premultiplicando por (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 se obtiene:
𝑋(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑧)
Es decir:
𝑌 (𝑧) = 𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑧) + 𝐷𝑈(𝑧) = [𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷 ]𝑈(𝑧)
Como 𝑢(𝑘) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑘) su salida, la función de transferencia del
mismo será:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧)
= 𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷
𝑈(𝑧)
1.19
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧) 𝐶 [𝑎𝑑𝑗(𝑧𝐼 − 𝐴)]𝐵
=
+𝐷
|𝑧𝐼 − 𝐴|
𝑈(𝑧)
1.20
De la ecuación 1.20 se deduce que la ecuación característica del sistema es:
|𝑧𝐼 − 𝐴| = 0
1.21
|𝑧𝐼 − 𝐴| = 𝑧 𝑛 + 𝑎1 𝑧 𝑛−1 + 𝑎2 𝑧 𝑛−2 + ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
1.22
Luis Eduardo García Jaimes
16
Sistemas de Control Avanzado
EJEMPLO 1.2
Hallar la función de transferencia de pulso del sistema cuyo comportamiento
dinámico está descrito mediante la ecuación:
0.8 0.5 ( )
0.6
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢(𝑘)
0.6
−0.4 0.3
𝑦(𝑘 ) = [1 0.5]𝑥(𝑘)
𝑥 (𝑘 + 1) = [
SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema es:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧)
= 𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷
𝑈(𝑧)
(𝑧𝐼 − 𝐴) = [ 𝑧
0
(𝑧𝐼 − 𝐴)−1
0
0.8 0.5
𝑧 − 0.8 −0.5
]−[
]=[
]
𝑧
−0.4 0.3
0.4
𝑧 − 0.3
𝑧 − 0.3
0.5
𝑧 − 0.3
0.5
[
]
[
]
𝑎𝑑𝑗(𝐴)
−0.4
𝑧
−
0.8
−0.4
𝑧
−
0.8
=
=
= 2
|𝑧𝐼 − 𝐴| (𝑧 − 0.8)(𝑧 − 0.3) + 0.2
𝑧 − 1.1𝑧 + 0.44
0.5 ] [0.6]
[1 0.5] [𝑧 − 0.3
−0.4
𝑧
−
0.8 0.6
𝐺 (𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴) 𝐵 =
𝑧 2 − 1.1𝑧 + 0.44
0.9𝑧 − 0.24
𝐺 (𝑧 ) = 2
𝑧 − 1.1𝑧 + 0.44
−1
1.3
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO.
Existen dos técnicas fundamentales para resolver ecuaciones de estado en tiempo
discreto: una que utiliza el método recursivo y otra, que utiliza el método de la
transformada z [1.3]
1.3.1 Método Recursivo: Considerando la ecuación de estado en tiempo discreto
e invariante en el tiempo:
𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
1.23
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
1.24
Es obvio que para 𝑘 = 0, 1, 2, 3 …
𝑥 (1) = 𝐴𝑥 (0) + 𝐵𝑢(0)
𝑥 (2) = 𝐴𝑥 (1) + 𝐵𝑢 (1) = 𝐴2 𝑥(0) + 𝐴𝐵𝑢 (0) + 𝐵𝑢(1)
𝑥 (3) = 𝐴𝑥 (2) + 𝐵𝑢 (2) = 𝐴3 𝑥(0) + 𝐴2 𝐵𝑢(0) + 𝐴𝐵𝑢(1) + 𝐵𝑢(2)
Entonces:
Luis Eduardo García Jaimes
17
Sistemas de Control Avanzado
𝑘−1
𝑥 (𝑘 ) = 𝐴 𝑥 (0) + ∑ 𝐴(𝑘−1−𝑗) 𝐵𝑢(𝑗)
𝑘
1.25
𝑗=0
La ecuación 1.25 es, entonces, la solución general de la ecuación 1.23. Además,
de 1.25 se obtiene:
𝑘−1
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝐴 𝑥(0) + 𝐶 ∑ 𝐴(𝑘−1−𝑗) 𝐵𝑢(𝑗)
𝑘
1.26
𝑗=0
La matriz 𝐴𝑘 se denomina “Matriz de Transición de Estado” y se puede expresar
como:
𝜙 ( 𝑘 ) = 𝐴𝑘
1.27
Reemplazando la ecuación 1.27 en la 1.25 y la 1.26 se obtiene:
𝑘−1
𝑥 (𝑘 ) = 𝜙 (𝑘 )𝑥(0) + ∑ 𝜙(𝑘 − 1 − 𝑗) 𝐵𝑢(𝑗)
1.28
𝑗=0
𝑘−1
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝜙(𝑘 )𝑥(0) + 𝐶 ∑ 𝜙(𝑘 − 1 − 𝑗) 𝐵𝑢 (𝑗)
1.29
𝑗=0
EJEMPLO 1.3
Resolver, utilizando el método recursivo, la ecuación de estado en tiempo discreto:
0.5 0.2 ( )
1
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢(𝑘)
𝑥 (𝑘 + 1) = [
0
−0.4 0.8
𝑦(𝑘 ) = [1 0]𝑥(𝑘)
Asumiendo que 𝑥(0) = 0 y que 𝑢(𝑘) = 1 para 𝑘 ≥ 0
Asumiendo que x(0) = 0 y que u(k) = 1 para k  0.
SOLUCIÓN: El procedimiento es el siguiente:
0
𝑦(0) = [1 0]𝑥 (0) = [1 0] [ ] = 0
0
0.5 0.2 ( )
1
1
] 𝑥 0 + [ ] 𝑢(0) = [ ]
𝑥 (1) = [
0
0
−0.4 0.8
1
𝑦(1) = [1 0]𝑥 (1) = [1 0] [ ] = 1
0
0.5 0.2 ( )
1
0.5 0.2 1
1
1.5
] 𝑥 1 + [ ] 𝑢(1) = [
][ ] + [ ]1 = [
]
𝑥 (2) = [
0
0
−0.4 0.8
−0.4 0.8 0
−0.4
1.5
] = 1.5
𝑦(2) = [1 0]𝑥 (2) = [1 0] [
−0.4
Luis Eduardo García Jaimes
18
Sistemas de Control Avanzado
0.5 0.2 ( )
1
0.5 0.2 1.5
1
1.67
] 𝑥 2 + [ ] 𝑢(2) = [
][
]+ [ ]1 = [
]
0
0
−0.92
−0.4 0.8
−0.4 0.8 −0.4
1.67
] = 1.67
𝑦(3) = [1 0]𝑥 (3) = [1 0] [
−0.92
𝑥 (3) = [
1.3.2 Método de la Transformada z: Considerando el sistema descrito por la
ecuación de estado [1.4]:
𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
Tomando la transformada z se obtiene:
𝑧𝑋(𝑧) − 𝑧𝑥 (0) = 𝐴𝑋(𝑧) + 𝐵𝑈(𝑧)
(𝑧𝐼 − 𝐴)𝑋(𝑧) = 𝑧𝑥 (0) + 𝐵𝑈(𝑧)
Premultiplicando por (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 se obtiene:
𝑋(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝑧𝑥 (0) + (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 [𝑧𝑥(0) + 𝐵𝑈(𝑧)]
Tomando la Transformada z inversa se obtiene:
𝑥 (𝑘 ) = ℑ−1 [(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝑧]𝑥(0) + ℑ−1 [(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑧)]
1.30
Comparando término a término las ecuaciones 1. 27 y 1.30 se obtiene que:
𝜙(𝑘 ) = 𝐴𝑘 = ℑ−1 [(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝑧]
1.31
EJEMPLO 8.4
Hallar la matriz de transición y resolver la ecuación de estado para el sistema
descrito por la ecuación:
0.5 0 ( )
1
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢(𝑘)
0
−0.4 0.8
𝑦(𝑘 ) = [1 0]𝑥(𝑘)
𝑥 (𝑘 + 1) = [
Asumiendo que 𝑥1 (0) = 1, 𝑥2 (0) = 0 y que 𝑢(𝑘) = 1 para 𝑘 ≥ 0.
SOLUCIÓN: La matriz de transición 𝜙(𝑘 ) está dada por:
𝜙 (𝑘 ) = ℑ−1 {(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝑧}
0
(𝑧𝐼 − 𝐴) = [𝑧 0] − [ 0.5 0 ] = [ 𝑧 − 0.5
]
0 𝑧
−0.4 0.8
0.4
𝑧 − 0.8
Luis Eduardo García Jaimes
19
Sistemas de Control Avanzado
𝑧 − 0.8
0
]
𝑎𝑑𝑗[(𝑧𝐼 − 𝐴)] [ −0.4
𝑧
−
0.5
(𝑧𝐼 − 𝐴
=
=
|𝑧𝐼 − 𝐴|
(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.8)
𝑧
0
𝑧 − 0.5
−1
(𝑧𝐼 − 𝐴) 𝑧 = [
−0.4𝑧
𝑧 ]
(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.8) 𝑧 − 0.8
)−1
(0.5)𝑘
𝜙(𝑘 ) = ℑ−1 [(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝑧] = [4
4
(0.5)𝑘 − (0.8)𝑘
3
3
0
(0.8)𝑘
]
La solución de la ecuación de estado se obtiene así:
𝑋 (𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 [𝑧𝑥 (0) + 𝐵𝑈(𝑧)]
𝑧2
𝑧
1
1
𝑧𝑥(0) + 𝐵𝑈(𝑧) = 𝑧 [ ] + [ ]
= [𝑧 − 1]
0
0 𝑧−1
0
𝑧 − 0.8
0
]
𝑧2
−0.4
𝑧
−
0.5
]
𝑋 (𝑧 ) =
∙[
(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.8) 𝑧 − 1
0
[
𝑧2
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.5)
𝑋 (𝑧 ) =
−0.4𝑧 2
[(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.8)]
𝑥 (𝑘 ) = ℑ
2 − (0.5)𝑘
]
𝑋(𝑧)] = [16
4
(0.8)𝑘 − (0.5)𝑘 − 4
3
3
−1 [
𝑥 (𝑘)
𝑦(𝑘 ) = [1 0] [ 1 ] = 𝑥1 (𝑘 )
𝑥2 (𝑘)
𝑦(𝑘 ) = 2 − (0.5)𝑘
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.1 Obtenga cuatro diferentes representaciones en el espacio de estado para cada
uno de los siguientes sistemas discretos. Considere condiciones iniciales iguales a
cero.
𝑎) 𝑦(𝑘 ) − 2𝑦(𝑘 − 1) + 𝑦(𝑘 − 2) = 𝑢(𝑘 ) + 2𝑢(𝑘 − 1)
𝑏) 𝑦(𝑘 + 3) − 0.7𝑦(𝑘 + 2) − 0.4𝑦(𝑘 + 1) + 0.1𝑦(𝑘 ) = 2𝑢(𝑘 + 1) + 𝑢(𝑘)
Luis Eduardo García Jaimes
20
Sistemas de Control Avanzado
𝑐) 𝐹 (𝑧) =
𝑌(𝑧)
0.5
=
𝑀 (𝑧) 𝑧(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.8)
𝑑)
𝜃(𝑧)
0.4(𝑧 2 + 0.5𝑧 + 0.8)
=
𝐸(𝑧) (𝑧 − 0.5)2 (𝑧 + 0.8)(1 − 0.4)
1.2 Obtenga la función de transferencia de pulso correspondiente a cada uno de
los sistemas cuya representación en el espacio de estado discreto se da a
continuación:
0.5 0.8 ( )
1
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢 (𝑘 )
𝑎) 𝑥 (𝑘 + 1) = [
0
−0.4 0.6
𝑦(𝑘 ) = [1 1]𝑥(𝑘)
0.5 0
𝑏) 𝑥 (𝑘 + 1) = [ 0 0.4
0
0
𝑦(𝑘 ) = [2 −1 0.8]𝑥(𝑘)
0 0
𝑐) 𝑥 (𝑘 + 1) = [1 0
0 1
0
1
0 ] 𝑥 (𝑘 ) + [1] 𝑢(𝑘 )
1
0.8
−𝑎1
1
−𝑎2 ] 𝑥 (𝑘 ) + [0] 𝑟(𝑘 )
−𝑎3
0
𝑦(𝑘 ) = [𝐶1
𝐶2
𝐶3 ]𝑥(𝑘)
𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐶1 = 𝑏1 , 𝐶2 = 𝑏1 − 𝑎2 𝑏2 , 𝐶3 = 𝑏𝑜 − 𝑎1 𝑏2 + 𝑎22 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
1.3 Dado el sistema:
[
𝑥1 (𝑘 + 1)
1 −1 𝑥1 (𝑘)
1
]=[
][
] + [ ] 𝑢 (𝑘 )
𝑥2 (𝑘 + 1)
−2 0 𝑥2 (𝑘)
−4
𝑦(𝑘 ) = [−1 1] [
𝑥1 (𝑘)
] + 2𝑢(𝑘)
𝑥2 (𝑘)
Hallar 𝑥 (4) si: 𝑢(0) = 2, 𝑢(1) = 0, 𝑢(2) = 1, 𝑢(3) = 2, 𝑦(1) = 3 y 𝑦(2) = 0
1.4 Dado el sistema:
𝑥1 (𝑘 + 1)
2 0 2 𝑥1 (𝑘)
6
[𝑥2 (𝑘 + 1)] = [−2 2 4] [𝑥2 (𝑘)] + [2] 𝑢(𝑘 )
𝑥3 (𝑘 + 1)
0 2 6 𝑥3 (𝑘)
0
𝑦(𝑘 ) = ⌈0
𝑥1 (𝑘)
2 2⌉ [𝑥2 (𝑘)] + 4𝑢(𝑘)
𝑥3 (𝑘)
Hallar 𝑥 (0) si: 𝑢(0) = 1, 𝑢(1) = −2, 𝑢(2) = 2, 𝑦(0) = 1, 𝑦(1) = 2, 𝑦(2) = −1
1.5 Para cada uno de los sistemas mecánicos rotacionales que se muestran en la
figura 1.3 obtenga las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento
dinámico y, a partir de ellas, obtenga su representación en el espacio de estado.
Asuma que el torque 𝜏 es la entrada al sistema y que 𝜃1 es su salida.
Luis Eduardo García Jaimes
21
Sistemas de Control Avanzado
Figura 1.3 Sistemas mecánicos rotacionales para el problema 1.6
1.6 Para cada uno de los sistemas mecánicos que se muestran en la figura 1.4
obtenga las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento dinámico y,
a partir de ellas, obtenga su representación en el espacio de estado. Asuma que
𝑦1 (𝑡) e 𝑦2 (𝑡) son las salidas y 𝑓(𝑡) la entrada.
Figura 1.4 sistemas mecánicos para el problema 1.5
REFERENCIAS
[1.1] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto. Prentice Hall.
Mexico 1996.
Luis Eduardo García Jaimes
22
Sistemas de Control Avanzado
[1.2]
Santina, Mohamed.
Stubberud et al.
Digital control systems design.
Saunders College Publishing Orlando 1994.
[1.3]
Phillips, Charles. Nagle Troy. Digital control systems. Analysis and design.
Prentice Hall. Englewood Cliffs 1995.
[1.4]
Phillips, Charles, Nagle Troy. Digital control systems. Analysis and design.
Prentice Hall. Englewood cliffs 1995.
2. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL
EN EL ESPACIO DE ESTADO
El problema de diseño de un sistema de control digital consiste en determinar un
algoritmo que permita generar una secuencia de valores de las variables de control
de la planta 𝑢(𝑘), de manera que las salidas 𝑦(𝑘) cumplan con las especificaciones
de funcionamiento establecidas en cuanto a estabilidad, exactitud, velocidad de
respuesta, un índice determinado de desempeño, etc.
Luis Eduardo García Jaimes
23
Sistemas de Control Avanzado
En esta sección se presenta el diseño de controladores en el espacio de estado,
utilizando el método de asignación de polos. Para su aplicación el método requiere
que el sistema sea completamente controlable y completamente observable.
La controlabilidad y la observabilidad son propiedades de la descripción interna del
sistema.
2.1 CONTROLABILIDAD
2.1.1 Controlabilidad Completa del Estado: Sea el sistema discreto:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢 (𝑘 )
2.1
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
Se dice que un sistema de control es de “estado completamente controlable”, si es
posible transferir el sistema desde un estado inicial arbitrario a cualquier otro estado
deseado en un intervalo de tiempo finito, es decir, si existe una señal de control, no
restringida, 𝑢(𝑘𝑇) definida a lo largo de un número finito de periodos de muestreo
de manera que, partiendo de cualquier estado inicial, el estado 𝑥(𝑘𝑇) pueda ser
transferido al estado deseado 𝑥𝑓 en 𝑛 periodos de muestreo como máximo. [2.1].
la controlabilidad completa del estado depende sólo de la variación del estado con
las entradas es decir, de las matrices 𝐴 y 𝐵 de la ecuación 2.1.
La solución de la ecuación 2.1 es:
𝑛−1
𝑥 (𝑛) = 𝐴𝑛 𝑥(0) + ∑ 𝐴(𝑛−1−𝑗) 𝐵𝑢(𝑗)
2.2
𝑗=0
De la ecuación 2.2 se obtiene:
𝑋(1) = 𝐴𝑥 (0) + 𝐵𝑢(0)
𝑥 (2) = 𝐴2 𝑥(0) + 𝐵𝑢(1) = 𝐴2 𝑥(0) + 𝐴𝐵𝑢(0) + 𝐵𝑢(1)
⋯
⋯
⋯
𝑥 (𝑛) = 𝐴𝑛 𝑥(0) + 𝐴𝑛−1 𝐵𝑢(0) + 𝐴𝑛−2 𝐵𝑢(1) ⋯ + 𝐴𝐵𝑢(𝑛 − 2) + 𝐵𝑢(𝑛 − 1)
2.3
La expresión anterior se puede escribir en la forma:
Luis Eduardo García Jaimes
24
Sistemas de Control Avanzado
𝑥(𝑛) = 𝐴𝑛 𝑥 (0) + [𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
𝑢(𝑛 − 1)
𝑢(𝑛 − 2)
𝑛−1 ]
⋮
⋯ 𝐴 𝐵
𝑢(1)
[ 𝑢(0) ]
2.4
Si 𝑥(𝑛) y 𝑥(0) son conocidos, la ecuación 2.4 se puede reescribir así:
𝑥 (𝑛) − 𝐴𝑛 𝑥(0) = [𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
𝑢(𝑛 − 1)
𝑢(𝑛 − 2)
𝑛−1 ]
⋮
⋯ 𝐴 𝐵
𝑢(1)
[ 𝑢(0) ]
2.5
Como el orden del vector de estado 𝑥(𝑘) es 𝑛, entonces la ecuación 2.5 debe
generar 𝑛 ecuaciones simultáneas, lo cual sólo es posible si el rango de la matriz
[𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
⋯
𝐴𝑛−1 𝐵] es 𝑛.
Resumiendo, el sistema descrito por la ecuación 9.1 es controlable si:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
⋯
𝐴𝑛−1 𝐵] = 𝑛
2.6
Siendo 𝑛 × 𝑛 el orden de la matriz A.

Una condición suficiente y necesaria para la controlabilidad completa del estado,
es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de
transferencia de pulso.
2.1.2 Controlabilidad Completa de la salida: En la práctica, en un sistema de
control se controla la salida del sistema en lugar de controlar el estado. Por tal
motivo, es necesario analizar la controlabilidad completa de la salida. [2.2].
Sea el sistema definido por las ecuaciones:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.7
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
2.8
Se dice que el sistema definido por las ecuaciones 2.7 y 2.8 es de salida
completamente controlable, si mediante una señal de control no restringida 𝑢(𝑘), es
posible transferir la salida del sistema desde un valor inicial 𝑦(0) hasta un valor
deseado 𝑦𝑓 en 𝑛 períodos de muestreo como máximo.
La condición de controlabilidad competa de la salida se puede obtener teniendo en
cuenta las ecuaciones 2.4 y 2.8 es decir:
Luis Eduardo García Jaimes
25
Sistemas de Control Avanzado
𝑥 (𝑛) = 𝐴𝑛 𝑥(0) + [𝐵
𝐴2 𝐵
𝐴𝐵
𝐶𝑥 (𝑛) − 𝐶𝐴𝑛 𝑥(0) + [𝐶𝐵
𝐶𝐴𝐵
𝑢(𝑛 − 1)
𝑢(𝑛 − 2)
𝑛−1 ]
⋮
𝐴 𝐵
𝑢(1)
[ 𝑢(0) ]
⋯
𝐴2 𝐵
𝑢(𝑛 − 1)
𝑢(𝑛 − 2)
𝑛−1 ]
⋮
2.9
⋯ 𝐶𝐴 𝐵
𝑢(1)
[ 𝑢(0) ]
Teniendo en cuenta que 𝑦(𝑛) es el vector de salida y su orden es 𝑚, se deduce
que la ecuación 9.9 debe generar m ecuaciones simultáneas, lo cual sólo es posible
si el rango de la matriz [𝐶𝐵

⋯ 𝐶𝐴𝑛−1 𝐵] es 𝑚.
𝐴2 𝐵
𝐶𝐴𝐵
Resumiendo, el sistema descrito por las ecuaciones 2.7 y 2.8 es de salida
completamente controlable sí:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐶𝐵
𝐶𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
⋯ 𝐶𝐴𝑛−1 𝐵] = 𝑚
2.10
Así mismo, se puede demostrar que si la ecuación 2.8 es de la forma:
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
2.11
El sistema es de salida completamente controlable si:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐷
𝐶𝐵
𝐶𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
⋯
𝐶𝐴𝑛−1 𝐵] = 𝑚
2.12
2.2 OBSERVABILIDAD
En muchas ocasiones no es posible medir directamente el estado de un sistema ya
sea porque no existen los sensores necesarios o porque algunas de las variables
de estado no tienen correspondencia con magnitudes físicas. En este caso, no sería
posible establecer una estrategia de control basada en los valores alcanzados por
las variables de estado.
El concepto de observabilidad, se relaciona con la
posibilidad de obtener el estado de un sistema a partir de la medición o el
conocimiento de las entradas y de las salidas del mismo.
Sea el sistema discreto definido por:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.13
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 ) + 𝐷𝑢(𝑘 )
2.14
Luis Eduardo García Jaimes
26
Sistemas de Control Avanzado
Se dice que el sistema descrito por las ecuaciones 2.13 y 2.14 es complemente
observable si cualquier estado inicial 𝑥(0) puede determinarse a partir de la
observación de 𝑦(𝑘) en 𝑛 períodos de muestreo como máximo.
La condición de observabilidad se puede obtener a partir de las ecuaciones 2.13 y
2.14, asumiendo 𝑢(𝑘) = 0, es decir, considerando que:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 )
2.15
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 )
2.16
Al hacer variar 𝑘 desde cero hasta n resulta:
𝑦(0) = 𝐶𝑥(0)
𝑦(1) = 𝐶𝑥(1) = 𝐶𝐴𝑥 (0)
𝑦(2) = 𝐶𝑥(2) = 𝐶𝐴𝑥 (1) = 𝐶𝐴2 𝑥(0)
⋯
⋯
⋯
⋯
𝑦(𝑛 − 1) = 𝐶𝑥(𝑛 − 1) = 𝐶𝐴𝑛−1 𝑥(0)
Las ecuaciones anteriores escritas en forma matricial toman la forma:
𝑦(0)
𝐶
𝑦(1)
𝐶𝐴
= 𝐶𝐴2 𝑥 (0)
𝑦(2)
⋮
⋮
[
[𝑦(𝑛 − 1)]
𝐶𝐴𝑛−1 ]
2.17
El vector de salida 𝑦(𝑘) tiene 𝑛 elementos por lo tanto, en la ecuación 2.17 se deben
generar 𝑛 ecuaciones simultáneas, esta condición solo es posible si:
𝐶
𝐶𝐴
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐶𝐴2 = 𝑛
⋮
[𝐶𝐴𝑛−1 ]

2.18
Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completa del estado
es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de
transferencia de pulso.
EJEMPLO 2.1
Dado el sistema en tiempo discreto definido por:
Luis Eduardo García Jaimes
27
Sistemas de Control Avanzado
0
1
0
1
𝑥(𝑘 + 1) = [ 0
0
1 ] 𝑥 ( 𝑘 ) + [0 ] 𝑢 ( 𝑘 )
−0.5 −0.4 −0.8
0
𝑦(𝑘 ) = [1 0 0]𝑥(𝑘)
a) Es el sistema completamente controlable? b) Es el sistema completamente
observable?
SOLUCION: a) La matriz de controlabilidad para el sistema dado es:
𝐶𝑜 = [𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵 ]
0
1
0
1
0
𝐴𝐵 = [ 0
0
1 ] [0] = [ 0 ]
−0.5 −0.4 −0.8 0
−0.5
0
0
1
1
0
𝐴2 𝐵 = [−0.5 −0.4 −0.8] [0] = [−0.5]
0.4 −0.18 0.24 0
0.4
1
0
0
1
0
0
]
[
𝐶𝑜 = [0
=
0
−0.5
0 −0.5 0.4 ] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐶𝑜 ] = 3
0 −0.5 0.4
0
0
−0.5
Se intercambian la fila dos y la tres para obtener una matriz triangular inferior.
El sistema es controlable.
b) La matriz de observabilidad para el sistema dado es:
𝐶𝐴 = [1
0
𝐶𝐴2 = [1 0
1
𝑂𝑏 = [0
0
𝐶
𝑂𝑏 = [ 𝐶𝐴 ]
𝐶𝐴2
0
1
0
]
[
0
0
0
1 ] = [0 1 0]
−0.5 −0.4 −0.8
0
0
1
0] [−0.5 −0.4 −0.8] = [0 0 1]
0.4 −0.18 0.24
0 0
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝑂𝑏 ] = 3
1 0]
0 1
El sistema es observable.
2.3 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y ASIGNACIÓN DE
POLOS
El método de asignación de polos para el diseño de controladores en el espacio de
estado requiere que el sistema sea de estado completamente controlable y
completamente observable.
Luis Eduardo García Jaimes
28
Sistemas de Control Avanzado
El método de asignación de polos, comienza con la determinación de los polos de
lazo cerrado deseados, utilizando para ello especificaciones basadas en la
respuesta transitoria y/o en los requerimientos de respuesta en frecuencia.
Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en 𝑧 = 𝑧1 , 𝑧 = 𝑧2 , … 𝑧 = 𝑧𝑛 es
posible elegir una matriz de ganancia de realimentación K adecuada, que force al
sistema a tener los polos de lazo cerrado en el lugar deseado siempre y cuando el
sistema sea de estado completamente controlable y completamente observable.
A continuación se presenta el método de diseño de controladores en el espacio de
estado conocido con el nombre de “técnica de asignación de polos”. Se supone
que todas las variables de estado son medibles y están disponibles para la
realimentación, además se insiste, el sistema debe ser completamente controlable
y completamente observable.
Sea el sistema de control en lazo abierto dado en la figura 2.1a y definido por la
ecuación de estado:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.19
Si se elige como ley de control:
𝑢(𝑘 ) = −𝐾𝑥(𝑘 )
2.20
Se obtiene el sistema de control realimentado mostrado en la figura 2.1b. A este
esquema se le denomina “sistema con realimentación de estado”.
Luis Eduardo García Jaimes
29
Sistemas de Control Avanzado
Figura 2.1 a) Sistema de control en lazo abierto. b) Sistema de control en
lazo cerrado 𝒖(𝒌) = − 𝑲𝒙(𝒌).
La matriz 𝐾 = [𝑘1 𝑘2 ⋯ 𝑘𝑛 ] se llama “matriz de ganancia de realimentación” y
convierte al sistema en un sistema de control en lazo cerrado, cuya dinámica queda
determinada por las especificaciones de funcionamiento dadas las cuales
determinan, a la vez la ubicación de los polos de lazo cerrado deseados.
Reemplazando la ecuación 2.20 en la ecuación 2.19, se obtiene la ecuación de
estado del sistema en lazo cerrado, así:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) − 𝐵𝐾𝑥(𝑘)
𝑥 (𝑘 + 1) = [𝐴 − 𝐵𝐾 ]𝑥 (𝑘 )
2.21
La estabilidad y las características de respuesta transitoria del sistema se
determinan a partir de los valores propios de la matriz [𝐴 − 𝐵𝐾].
Tomando la transformada z a la ecuación 2.21 se obtiene:
𝑧𝑋(𝑧) − 𝑧𝑥 (0) = [𝐴 − 𝐵𝐾 ]𝑋(𝑧)
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ] = 𝑧𝑥 (0)
2.22
Premultiplicando por [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾]−1 resulta:
𝑋(𝑧) = [𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝑧𝑥(0)
𝑋 (𝑧 ) =
𝑧. (𝑎𝑑𝑗[𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 ]). 𝑥(0)
|𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 |
2.23
De la ecuación 2.23 se deduce que la ecuación característica del sistema en lazo
cerrado es:
|𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 | = 0
2.24
|𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 | = 𝑧 𝑛 + 𝛼1 𝑧 𝑛−1 + 𝛼2 𝑧 𝑛−2 ⋯ + 𝛼𝑛−1 𝑧 + 𝛼𝑛 = 0 2.25
En donde 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ 𝛼𝑛 son los coeficientes de la ecuación característica deseada.
2.4
CALCULO DE LA MATRIZ DE GANANCIA DE REALIMENTACIÓN.
La matriz de ganancia de realimentación 𝐾 se puede obtener por diferentes
métodos.
A continuación se presenta el método de la fórmula de Ackerman,
caracterizado por su fácil aplicación y generalidad.
Luis Eduardo García Jaimes
30
Sistemas de Control Avanzado
Formula de Ackerman: Esta fórmula permite calcular directamente la matriz de
ganancia de realimentación, a partir de la ecuación:
𝐾 = [0 0 ⋯
1][𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵
⋯
𝐴𝑛−1 𝐵]−1 𝜙(𝐴)
2.26
En donde:
𝜙(𝐴) = 𝑧 𝑛 + 𝛼1 𝑧 𝑛−1 + 𝛼2 𝑧 𝑛−2 ⋯ + 𝛼𝑛−1 𝑧 + 𝛼𝑛
2.27
Siendo 𝛼1 , 𝛼2 ⋯ 𝛼𝑛 los coeficientes de la ecuación característica deseada:
(𝑧 − 𝑧1 )(𝑧 − 𝑧2 ) ⋯ (𝑧 − 𝑧𝑛 ) = 𝑧 𝑛 + 𝛼1 𝑧 𝑛−1 + 𝛼2 𝑧 𝑛−2 ⋯ + 𝛼𝑛−1 𝑧 + 𝛼𝑛 = 0 2.28
EJEMPLO 2.2
La dinámica del sistema de flujo que se muestra en la figura 2.2 está dada por:
𝐺𝑓 (𝑆) =
2.372𝑒 −0.45𝑆
1.64𝑆 + 1
Obtener para este proceso, la matriz de ganancia de realimentación de modo que
el sistema en lazo cerrado, tenga un tiempo de establecimiento de 3 𝑠 y coeficiente
de amortiguamiento igual a 0.8. Asuma que el período de muestreo es 𝑇 = 0.3 𝑠.
(El modelo matemático del sistema se estimó aplicando una señal en escalón
unitario en la válvula de control de flujo FCV).
Figura 2.2 Sistema de flujo para el ejemplo 2.2
SOLUCION: La función de transferencia de pulso del sistema, con 𝑇 = 0.3 𝑠 está
dada por:
𝐺 (𝑆 )
]
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )𝑧 −𝑁 ℑ𝑚 [
𝑆
𝐻𝐺 (𝑧) =
𝐺 (𝑆 ) =
2.372
1.64𝑆 + 1
0.2073𝑧 + 0.1892 0.2073(𝑧 + 0.9126)
=
𝑧 3 − 0.8328𝑧
𝑧 2 (𝑧 − 0.8328)
Luis Eduardo García Jaimes
31
Sistemas de Control Avanzado
La representación en el espacio de estado en tiempo discreto es:
0.8323 0 0
1
1
0 0] 𝑥 (𝑘 ) + [0] 𝑢(𝑘)
0
1 0
0
𝑦(𝑘 ) = [0 0.2073 0.1892]𝑥(𝑘)
𝑥 (𝑘 + 1) = [
La ubicación de los polos de lazo cerrado deseados se obtiene a partir de las
especificaciones de tiempo de establecimiento y coeficiente de amortiguamiento
requerido así:
𝑡𝑠 =
4
𝜉𝑤𝑛
𝑤𝑛 =
4
4
=
𝜉𝑡𝑠 0.8 ∗ 3
𝑤𝑛 = 1.66 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Entonces:
|𝑧| = 𝑒 −𝜉𝑤𝑛 𝑇 = 0.671
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇√1 − 𝜉 2 = 17.12𝑜
𝑧 = 0.671(cos 17.12º ± 𝑗 sin 17.12º) = 0.641 ± 𝑗0.197
Por lo tanto, los polos de lazo cerrado diseñados deben estar ubicados en 𝑧 =
0.641 + 𝑗0.197 y 𝑧 = 0.641 − 𝑗0.197. El tercer polo se asigna en 𝑧 = 0.05 de
modo que no sea polo dominante; así la ecuación característica está dada por:
(𝑧 − 0.641 − 𝑗0.197)(𝑧 − 0.641 + 𝑗0.197)(𝑧 − 0.05) = 0
𝑧 3 − 1.332𝑧 2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 0
Utilizando la Fórmula de Ackerman:
𝐾 = [0 0 1][𝐵
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵]−1 𝜙(𝐴)
La ecuación característica deseada dio: 𝑧 3 − 1.332𝑧 2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 0
Entonces:
0.0589
𝜙(𝐴) = 𝐴3 − 1.332𝐴2 + 0.5137𝐴 − 0.0224𝐼 = [ 0.0977
−0.4997
[𝐵
1
[
]
[
𝐾= 0 0 1 0
0
𝐴𝐵
1 −0.8323
1
𝐴2 𝐵 ] = [ 0
0
0
−0.8323
1
0
Luis Eduardo García Jaimes
0
]
0
−0.0224
0.6927
0.8323]
1
0.6927 −1 0.0589
0.8323] [ 0.0977
1
−0.4997
𝐾 = [−0.4997 0.5137
0
−0.0224
0.5137
0
−0.0224
0.5137
0
]
0
−0.0224
−0.0224]
32
Sistemas de Control Avanzado
La figura 2.3 representa la respuesta del sistema en lazo cerrado con la matriz K
estimada ante un escalón unitario aplicado en la referencia.
3
2.5
Flujo
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
t [sec]
6
7
8
9
10
Figura 2.3 Respuesta del sistema del ejemplo 2.2 con K estimada
2.5 SISTEMA DE CONTROL CON ENTRADA DE REFERENCIA
El sistema de control descrito en la sección anterior no tiene entrada de referencia.
Este tipo de control se denomina “sistema de control tipo regulador”. En la
mayoría de los casos, es necesario que la salida 𝑦(𝑘) siga a una entrada de
referencia 𝑟(𝑘), este sistema se denomina “sistema de control tipo Servo” y su
configuración básica se muestra en la figura 2.4
Figura 2.4 Sistema de control con realimentación de estado y entrada de
referencia
Considerando el sistema de la figura 2.4, su comportamiento dinámico se puede
definir por las siguientes ecuaciones de estado:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢 (𝑘 )
Luis Eduardo García Jaimes
2.29
33
Sistemas de Control Avanzado
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥(𝑘 )
2.30
La señal de control 𝑢(𝑘) está dada por:
𝑢(𝑘 ) = 𝐾𝑜 𝑟(𝑘 ) − 𝐾𝑥 (𝑘 )
2.31
En donde 𝐾𝑜 es una constante que se debe determinar y 𝑟(𝑘) es la entrada de
referencia.
Reemplazando la ecuación 2.31 en la 2.29 se obtiene:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝐾𝑜 𝑟(𝑘 ) − 𝐵𝐾𝑥 (𝑘 )
𝑥 (𝑘 + 1) = [𝐴 − 𝐵𝐾 ]𝑥(𝑘 ) + 𝐵𝐾𝑜 𝑟(𝑘 )
2.32
Tomando la transformada z a las ecuaciones 2.30 y 2.32 y asumiendo las
condiciones iniciales iguales a cero resulta:
𝑌(𝑧) = 𝐶𝑋(𝑧)
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]𝑋(𝑧) = 𝐵𝐾𝑜 𝑅(𝑧)
𝑋(𝑧) = [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝐵𝐾𝑜 𝑅(𝑧)
𝑌 (𝑧) = 𝐶 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝐵𝐾𝑜 𝑅(𝑧)
Por lo tanto, la función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝑌(𝑧)
𝑎𝑑𝑗[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]
=𝐶
𝐵𝐾𝑜
|𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 |
𝑅(𝑧)
2.33
La ecuación característica del sistema es:
|𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 | = 0
2.34
La introducción de la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 modifica la ecuación
característica del sistema original y al hacerlo, modifica también la ganancia de
estado estable del sistema en lazo cerrado. En estas condiciones, la constante
𝐾𝑜 se puede tomar como un parámetro de ajuste en el circuito del set-point, tal que
el valor de la respuesta en régimen permanente del sistema ante un escalón unitario
sea igual a la unidad, es decir, tal que 𝑦(∞) = 1.
Al aplicar el teorema del valor final a la ecuación 2.33 y teniendo en cuenta que 𝑅(𝑧)
es un escalón unitario, el error del sistema en estado estable será igual a cero se
cumple que:
𝑦(∞) = lim 𝑦(𝑘 ) = lim 𝐺𝑤 (𝑧) = 1
𝑘→∞
Luis Eduardo García Jaimes
𝑧→1
2.35
34
Sistemas de Control Avanzado
Es decir:
𝐾𝑜 lim 𝐶 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝐵 = 1
2.36
𝑧→1
La ecuación 2.36 permite calcular el valor adecuado de 𝐾𝑜 para que el error de
estado estable del sistema en lazo cerrado ante una entrada en escalón unitario,
aplicada en la señal de referencia, sea igual a cero.
EJEMPLO 2.3
Hallar el valor de 𝐾𝑜 de modo que el sistema de flujo analizado en el ejemplo 2.2
tenga error cero ante una entrada en escalón unitario aplicado en la señal de
referencia.
SOLUCIÓN: En el ejemplo 2.2 se obtuvo que: 𝐾 = [0.2443
0.1623
−0.0068].
Para que el error de estado estable del sistema, en lazo cerrado, ante un cambio en
escalón aplicado en la señal de referencia sea igual a cero, se debe cumplir que:
𝐾𝑜 lim 𝐶 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝐵 = 1
𝑧→1
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ] = [
𝐶 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝐵 = [0 0.2073
𝑧 − 0.5885
−1
0
0.1623
𝑧
−1
𝑧 − 1.332
0.1892] [ −1
0
−0.0068
]
0
𝑧
0.5137
𝑧
−1
−0.0224 −1 1
] [0]
0
0
𝑧
Así, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema, sin el factor de
corrección de error 𝐾𝑜 en el circuito del set-point es:
𝐺𝑤 (𝑧) = 𝐶 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 ]−1 𝐵 =
𝐾𝑜 lim [
𝑧→1 𝑧 3
0.2073(𝑧 + 0.9126)
𝑧 3 − 1.332𝑧 2 + 0.5137𝑧 − 0.0224
0.2073(𝑧 + 0.9126)
]=1
− 1.332𝑧 2 + 0.5137𝑧 − 0.0224
𝐾𝑜 = 0.4
La figura 2.5 corresponde a la respuesta del sistema cuando se le adiciona el factor
de corrección de error 𝐾𝑜 = 0.4 en el circuito del set-point.
Luis Eduardo García Jaimes
35
Sistemas de Control Avanzado
1.4
1.2
Flujo
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
t [sec]
6
7
8
9
10
Figura 2.5 Respuesta del sistema con el factor de corrección de error K0
2.6
OBSERVADORES DE ESTADO DE ORDEN COMPLETO
En la práctica, no todas las variables de estado de un sistema se pueden medir en
forma directa. Este hecho hace necesario estimar el valor de aquellas variables de
estado cuya medición directa no es posible. La estimación se debe realizar a partir
de mediciones en las variables de entrada y en las variables de salida.
En esta sección se desarrolla una técnica que permite estimar los estados de una
planta a partir de la información disponible en ella. El sistema que posibilita la
estimación se denomina “Observador o estimador de estado”.
El observador de un sistema dinámico lineal en tiempo discreto es otro sistema
dinámico lineal en tiempo discreto que tiene como entradas la entrada y la salida
del sistema discreto y como salida, los valores de las variables de estado.
Sea el sistema definido por:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.37
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 )
2.38
Para resolver el problema de la observación son posibles dos soluciones [2.3]:
a. Utilizar un observador tipo predictor que permite obtener el estado del
sistema en el instante (𝑘 + 1), estimando 𝑥(𝑘 + 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y
de la salida 𝑦(𝑘).
Luis Eduardo García Jaimes
36
Sistemas de Control Avanzado
b. Utilizar un observador corriente que permite obtener el estado del sistema
en el instante (𝑘 + 1) estimando 𝑥(𝑘 + 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y de la
salida 𝑦(𝑘 + 1)
Las figuras 2.6a y 2.6b representan, respectivamente los dos tipos de observadores.
El orden de ellos es igual al orden del sistema.
Figura 2.6 Observadores de estado a) Tipo Predictor b) Tipo Corriente
2.7 OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR
Para obtener las ecuaciones que describen a este observador, se supone que el
estado real del sistema 𝑥(𝑘) no puede medirse directamente. Si el estado 𝑥(𝑘) debe
estimarse, es necesario que el estado estimado 𝑞(𝑘) y el estado real 𝑥(𝑘) sean
iguales o lo más aproximadamente iguales. La figura 2.7 ilustra cómo se realiza la
estimación de los estados.
Figura 2.7 Estimador de estados
La planta está descrita mediante la ecuación:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.39
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 )
Tomando la transformada z se obtiene:
𝑋(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑧)
Luis Eduardo García Jaimes
2.40
37
Sistemas de Control Avanzado
𝑌(𝑧) = 𝐶𝑋(𝑧)
De la figura 2.7 se deduce que el sistema correspondiente al observador tiene dos
entradas 𝑢(𝑘) e 𝑦(𝑘), entonces, su ecuación se puede escribir en la forma:
𝑞(𝑘 + 1) = 𝐹𝑞(𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘 ) + 𝐻𝑢(𝑘 )
En donde 𝐹, 𝐿 y 𝐻 son matrices desconocidas.
2.41
Tomando la transformada z a la
ecuación 2.41 y considerando condiciones iniciales iguales a cero, resulta:
𝑧𝑄(𝑧) = 𝐹𝑄(𝑧) + 𝐿𝑌 (𝑧) + 𝐻𝑈(𝑧)
(𝑧𝐼 − 𝐹 )𝑄(𝑧) = 𝐿𝑌(𝑧) + 𝐻𝑈(𝑧)
𝑄(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 [𝐿𝑌(𝑧) + 𝐻𝑈(𝑧)]
𝑌(𝑧) = 𝐶𝑋(𝑧)
𝑄(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 [𝐿𝐶𝑋(𝑧) + 𝐻𝑈(𝑧)]
2.42
Teniendo en cuenta la ecuación 2.40 se obtiene:
𝑄(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 [𝐿𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐻 ]𝑈(𝑧)
Si el estado real 𝑥(𝑘) de la planta es igual al estado estimado 𝑞(𝑘), las funciones de
transferencia 𝑄(𝑧)/𝑈(𝑧) y 𝑋(𝑧)/𝑈(𝑧) deben ser iguales es decir:
𝑄(𝑧)
= (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 [𝐿𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐻 ]
𝑈(𝑧)
𝑋(𝑧)
= (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵
𝑈(𝑧)
(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 [𝐿𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐻 ]
(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 𝐿𝐶 (𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 𝐻
[𝐼 − (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 𝐿𝐶 ](𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 𝐻
(𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 [𝑧𝐼 − (𝐹 + 𝐿𝐶)](𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 = (𝑧𝐼 − 𝐹 )−1 𝐻
Simplificando:
[𝑧𝐼 − (𝐹 + 𝐿𝐶)](𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 = 𝐻
(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 = [𝑧𝐼 − (𝐹 + 𝐿𝐶)]−1 𝐻
2.43
La ecuación 2.43 se satisface si se cumple que 𝐻 = 𝐵 y 𝐴 = 𝐹 + 𝐿𝐶.
Entonces, la ecuación 2.41 correspondiente al observador predictor, se puede
escribir en la forma:
𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶 )𝑞 (𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
Luis Eduardo García Jaimes
2.44
38
Sistemas de Control Avanzado
La matriz 𝐿 se denomina Matriz de ganancia de realimentación del observador.
La figura 2.8 representa el sistema de control con la matriz de ganancia de
realimentación 𝐾 y el observador de estado incluidos.
Figura 2.8 Sistema de Control con realimentación del estado observado
De la figura 2.8 se deduce que 𝑢(𝑘) = − 𝑘𝑞(𝑘), así la ecuación del observador tipo
predictor de orden completo se puede escribir en la forma:
𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 )𝑞(𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘 )
2.45
De la ecuación 2.44 se deduce que el observador es un sistema dinámico con 𝑢(𝑘)
e 𝑦(𝑘) como entradas y con ecuación característica dada por:
|𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 | = 0
2.46
2.7.1 Cálculo de la matriz de ganancia del observador: la ecuación característica
del observador de estado de orden completo se dedujo en la sección anterior y, está
dada por:
|𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 | = 0
La matriz 𝐿 es una matriz pesante y se debe diseñar de modo que 𝑞(𝑘) se aproxime
asintóticamente a 𝑥(𝑘) cuando 𝑘 → ∞. El procedimiento para diseñar la matriz 𝐿
consiste en seleccionar, primero, los polos deseados para el observador y luego,
mediante la aplicación del procedimiento adecuado, calcular la matriz 𝐿.
Luis Eduardo García Jaimes
39
Sistemas de Control Avanzado
Los polos de lazo cerrado deseados para el observador se diseñan de manera que
el sistema cumpla con los requisitos de funcionamiento especificados y se eligen de
modo que su respuesta sea de dos a cuatro veces más rápida que la del sistema.
2.7.2 Formula de Ackerman: esta fórmula permite evaluar directamente la matriz
de ganancia del observador 𝐿 a partir de la ecuación:
𝐶 −1 0
𝐶𝐴
0
𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶𝐴2
0
⋮
⋮
[𝐶𝐴𝑛−1 ] [1]
2.47
En donde:
𝜙(𝐴) = 𝐴𝑛 + 𝛼1 𝐴𝑛−1 + 𝛼2 𝐴𝑛−2 + ⋯ 𝛼𝑛−1 𝐴 + 𝛼𝑛 𝐼
2.48
Siendo 𝛼1 , 𝛼2 ⋯ 𝛼𝑛 los coeficientes de la ecuación característica deseada para el
observador:
(𝑧 − 𝑝1 )(𝑧 − 𝑝2 ) ⋯ (𝑧 − 𝑝𝑛 ) = 𝑧 𝑛 + 𝛼1 𝑧 𝑛−1 + 𝛼2 𝑧 𝑛−2 + ⋯ 𝛼𝑛−1 𝑧 + 𝛼𝑛 2.49
El diseño de la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y el diseño de la matriz de
ganancia del observador 𝐿, son dos problemas independientes entre si que se
combinan para obtener el sistema de control con realimentación del estado
observado.
EJEMPLO 2.4
Considere el sistema definido por:
𝑥(𝑘 + 1) = [
0
1
0
] 𝑥 (𝑘 ) + [ ] 𝑢 (𝑘 )
−0.5 −0.4
1
𝑦(𝑘 ) = [1 −1]𝑥(𝑘)
a) Determine la matriz de ganancia de realimentación 𝐿 del observador, de modo
que los valores característicos deseados para la matriz del observador sean 𝑧1 =
0.5 + 𝑗0.5 y 𝑧2 = 0.5 − 𝑗0.5
SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula de Ackerman:
𝐿 = 𝜙(𝐴) [
𝐶 −1 0
] [ ]
𝐶𝐴
1
Se obtiene:
Luis Eduardo García Jaimes
40
Sistemas de Control Avanzado
[𝐶𝐴] = [1 −1] [ 0
−0.5
1
] = [0.5 1.4]
−0.4
[
𝐶
1 −1
]=[
]
𝐶𝐴
0.5 1.4
La ecuación característica deseada es: 𝑧 2 − 𝑧 + 0.5 = 0 , por lo tanto:
𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 𝐴 + 0.5𝐼 = [
𝐿=[
0
0.7
0 −1.4
]
0.7 0.56
−1.4 1 −1 −1 0
][
] [ ]
0.56 0.5 1.4
1
𝐿=[
−0.7368
]
0.6631
2.7.3 Función de Transferencia de Pulso del Controlador: una vez obtenida la
matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz de ganancia del observador 𝐿,
es posible obtener la función de transferencia de pulso del controlador. Se hace
notar que, para este controlador, la entrada es −𝑌(𝑧) y la salida 𝑈(𝑧). Ver figura
2.9.
La figura 2.9a muestra el sistema de control equivalente con realimentación unitaria
y con entrada de referencia igual a cero (sistema tipo regulador). La figura 2.9b
muestra la configuración del hardware. Más adelante se analiza el caso de sistemas
con entrada de referencia predeterminada.
De la ecuación 2.45 se obtiene:
𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾)𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘)
Tomando la transformada z a esta ecuación y, considerando las condiciones
iniciales iguales a cero resulta:
Figura 2.9 Implementación del controlador digital
𝑧𝑄(𝑧) = [𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 ]𝑄(𝑧) + 𝐿𝑌(𝑧)
Luis Eduardo García Jaimes
41
Sistemas de Control Avanzado
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]𝑄(𝑧) = 𝐿𝑌(𝑧)
𝑄(𝑧) = [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿𝑌(𝑧)
La ley de control es:
𝑢(𝑘 ) = −𝐾𝑞(𝑘 )
𝑈(𝑧) = −𝐾𝑄(𝑧)
Entonces:
𝑈(𝑧) = −𝐾𝑄(𝑧) = −𝐾 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿𝑌(𝑧)
Es decir:
𝐷 (𝑧 ) = −
𝑈(𝑧)
= 𝐾 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿
𝑌(𝑧)
2.50
La ecuación 2.50 permite estimar la función de transferencia de pulso del
controlador con el observador tipo predictor.
Figura 2.10 Sistema de Control para el ejemplo 2.5
EJEMPLO 2.5
Dado el sistema de control en tiempo discreto mostrado en la figura 2.10. a) Hallar
la matriz de ganancia 𝐾 de modo que la respuesta del sistema en lazo cerrado tenga
un máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 4 s.
b)
Diseñar un
observador adecuado para el sistema. c) obtener la ecuación del controlador y la
respuesta del sistema en lazo cerrado ante una entrada en escalón unitario. Asuma
que el período de muestreo es 1 s.
SOLUCIÓN: Con 𝑇 = 1 𝑠, la función de transferencia de pulso del sistema es:
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ {
𝐺𝑝 (𝑆)
}
𝑆
0.25
}
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ { 2
𝑆 (𝑆 + 0.1)
Luis Eduardo García Jaimes
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.25
𝑆(𝑆 + 0.1)
0.1209(𝑧 + 0.9672)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9048)
42
Sistemas de Control Avanzado
𝐻𝐺 (𝑧) =
𝑧2
0.1209𝑧 + 0.1169
− 1.9048𝑧 + 0.9048
La representación en el espacio de estado del sistema en su forma canónica
controlable es:
1.9048 −0.9048 ( )
1
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢(𝑘)
1
0
0
𝑦(𝑘 ) = [0.1209 0.1169]𝑥(𝑘)
𝑥(𝑘 + 1) = [
a) De acuerdo con las especificaciones dadas, la ubicación de los polos de lazo
cerrado deseados para estimar la matriz de ganancia de realimentación 𝐾, se
calcula así:
𝑀𝑝 = 𝑒 −𝜋𝜉⁄√1−𝜉
𝑡𝑝 =
2
𝜉=−
𝜋
𝑤𝑛 =
𝑤𝑛 √1 − 𝜉 2
ln(𝑀𝑝 )
𝜉 = 0.59
√𝜋 2 + (ln(𝑀𝑝 ))2
𝜋
𝑤𝑛 = 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑡𝑝 √1 − 𝜉 2
La ubicación de los polos deseados es por lo tanto:
|𝑧| = 𝑒 −𝜉𝑤𝑛 𝑇
|𝑧| = 0.563
𝜃 = 45𝑜
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇√1 − 𝜉 2
𝑧 = 0.398 ± 𝑗0.398
La ecuación característica deseada para el sistema es, entonces:
(𝑧 − 0.398 − 𝑗0.398)(𝑧 − 0.398 + 𝑗0.398) = 𝑧 2 − 0.796𝑧 + 0.3168 = 0
Utilizando la fórmula de Ackerman:
𝐾 = [0
1][𝐵
𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 0.796𝐴 + 0.3168𝐼
[𝐵
𝐴𝐵] = [
𝐾 = [0
𝐴𝐵]−1 𝜙(𝐴)
𝜙 (𝐴 ) = [
1.5241
1.1088
−1.0032
]
−0.5880
1 1.9048
]
0
1
1 1.9048 −1 1.5241
] [
1] [
0
1
1.1088
−1.0032
]
−0.5880
𝐾 = [1.1088
−0.588]
b) Para diseñar el observador, se debe tener en cuenta que su velocidad debe ser
mayor que la del sistema. Sea 𝜉 = 0.59 y 𝑤𝑛 = 1.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Con estos parámetros,
la ubicación de los polos deseados para el observador es:
Luis Eduardo García Jaimes
43
Sistemas de Control Avanzado
|𝑧| = 𝑒 −𝜉𝑤𝑛 𝑇
|𝑧| = 0.412
𝜃 = 69.4 𝑜
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇√1 − 𝜉 2
Es decir, los polos deseados son 𝑧 = 0.145 ± 𝑗0.385. Así, la ecuación característica
deseada para el observador es:
(𝑧 − 0.145 − 𝑗0.385)(𝑧 − 0.145 + 𝑗0.385) = 𝑧 2 − 0.29𝑧 + 0.16925 = 0
Utilizando la fórmula de Ackerman:
𝐿 = 𝜙(𝐴) [
𝐶 −1 0
] [ ]
𝐶𝐴
1
𝜙 (𝐴) = 𝐴2 − 0.29𝐴 + 0.16925𝐼 = [
[
𝐿=[
2.3404
1.6148
𝐶
0.1209
]=[
𝐶𝐴
0.3472
−1.4612
]
−0.7356
0.1169
]
−0.1093
−1.4612 0.1209
][
−0.7356 0.3472
𝐿=[
2.3404
1.6148
0.1169 −1 0
] [ ]
−0.1093
1
8.3634
]
5.1586
La ecuación del observador está dada por:
𝑞(𝑘 + 1) = [𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 ]𝑞 (𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘)
𝑞 (𝑘 + 1) = [
0.2155 −1.2949 ( )
8.3634
]𝑞 𝑘 + [
] 𝑦(𝑘)
5.1586
0.3761 −0.6033
b) La ecuación del controlador está dada por:
𝐷 (𝑧 ) = −
𝑈(𝑧)
= 𝐾[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿
𝑌(𝑧)
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ] = [𝑧 + 0.2151
−0.3764
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]−1
𝑈(𝑧) [1.1088
(
)
𝐷 𝑧 =−
=
𝑌(𝑧)
Luis Eduardo García Jaimes
1.2944
]
𝑧 + 0.6030
𝑧 + 0.6030 −1.2944
]
0.3764
𝑧
+
0.2151
= 2
𝑧 + 0.8188𝑧 + 0.6171
[
𝑧 + 0.6030 −1.2944 8.3634
][
]
−0.588] [
0.3764
𝑧 + 0.2151 5.1586
𝑧 2 + 0.8188𝑧 + 0.6171
44
Sistemas de Control Avanzado
𝐷 (𝑧 ) = −
𝑈(𝑧)
6.2403(𝑧 − 0.6916)
= 2
𝑌(𝑧) 𝑧 + 0.8188𝑧 + 0.6171
La función de transferencia de lazo cerrado para el sistema es:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝐻𝐺(𝑧)
1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
Es decir:
𝐺𝑤 (𝑧) =
0.1209𝑧 3 + 0.216𝑧 2 + 0.1704𝑧 + 0.07219
𝑧 4 − 1.086𝑧 3 + 0.7169𝑧 2 − 0.2266𝑧 + 0.05362
La figura 2.11 corresponde a la respuesta del sistema de control en lazo cerrado con
las matrices 𝐾 y 𝐿 diseñadas
Figura 2.11 Respuesta del sistema del ejemplo 2.5
Si se desea tener un error igual a cero, ante una entrada en escalón, es necesario
adicionar un factor de corrección de error 𝐾𝑜 en el circuito del set-point como se
indica en la figura 2.12
Luis Eduardo García Jaimes
45
Sistemas de Control Avanzado
Figura 2.12 Sistema de control por realimentación de estados con factor
de corrección de error en el circuito del set-point
De la figura 2.12 se obtiene
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝑌(𝑧)
𝐾0 𝐻𝐺(𝑧)
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
2.51
Si la entrada es un escalón unitario se obtiene:
𝑌 (𝑧 ) =
𝐾0 𝐻𝐺(𝑧)
𝑧
∙
1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧) 𝑧 − 1
Teniendo en cuenta el teorema del valor final:
𝑦(∞) = lim(𝑧 − 1) 𝑌(𝑧)
𝑧→1
Para que el error sea cero debe cumplirse que 𝑦(∞) = 1, por lo tanto:
𝐻𝐺(𝑧)
=1
𝑧→1 1 + 𝐷 (𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
𝐾0 ∗ lim
2.52
Para el caso del ejemplo 2.5 se tiene:
(0.1209𝑧 3 + 0.216𝑧 2 + 0.1704𝑧 + 0.07219)
𝑧→1 𝑧 4 − 1.086𝑧 3 + 0.7169𝑧 2 − 0.2266𝑧 + 0.05362
𝐾𝑜 ∗ lim
1.265𝐾𝑜 = 1
𝐾𝑜 = 0.79
La figura 2.13 muestra la respuesta del sistema con 𝐾𝑜 = 0.79 introducida en el
circuito del set-point.
La función de transferencia del lazo cerrado del sistema es:
𝐺𝑤 (𝑧) =
0.79(0.1209𝑧 3 + 0.216𝑧 2 + 0.1704𝑧 + 0.07219)
𝑧 4 − 1.086𝑧 3 + 0.7169𝑧 2 − 0.2266𝑧 + 0.05362
Luis Eduardo García Jaimes
46
Sistemas de Control Avanzado
Figura 2.13 Respuesta del sistema del ejemplo 2.5 con K0 = 0.79
2.8 OBSERVADOR DE ESTADO DE ORDEN REDUCIDO
En la práctica, algunas de las variables de estado del sistema pueden ser medidas
exactamente y, por lo tanto, no es necesario estimarlas. En este caso, es posible
diseñar un observador que estime menos de las n variables que conforman el vector
de estado. Un observador de este tipo se conoce con el nombre de Observador de
Estado de Orden Reducido. Si el número de variables a estimar es el mínimo
posible, el observador se llama Observador de Orden Mínimo.
Sea 𝑥𝑎 (𝑘) la parte del vector de estado que puede medirse exactamente y sea 𝑥𝑏 (𝑘)
la parte no medible, el observador de orden reducido puede diseñarse dividiendo el
vector de estado en la forma:
𝑥 (𝑘 ) = [
𝑥𝑎 (𝑘)
]
𝑥𝑏 (𝑘)
2.53
Entonces, la ecuación del sistema puede escribirse así:
𝑥𝑎 (𝑘 + 1)
𝐴𝑎𝑎 𝐴𝑎𝑏 𝑥𝑎 (𝑘 )
𝐵𝑎
[
]=[
|
][
] + [ ] 𝑢 (𝑘 )
𝑥𝑏 (𝑘 + 1)
𝐴𝑏𝑎 𝐴𝑏𝑏 𝑥𝑏 (𝑘 )
𝐵𝑏
2.54
𝑥𝑎 (𝑘 )
]
𝑦(𝑘 ) = [𝐼 |0] [
𝑥𝑏 (𝑘 )
La ecuación correspondiente a la parte medible es:
𝑥𝑎 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑎𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) + 𝐴𝑎𝑏 𝑥𝑏 (𝑘 ) + 𝐵𝑎 𝑢(𝑘 )
2.55
Agrupando los términos conocidos se obtiene:
𝑥𝑎 (𝑘 + 1) − 𝐴𝑎𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) − 𝐵𝑎 𝑢(𝑘 ) = 𝐴𝑎𝑏 𝑥𝑏 (𝑘 )
2.56
El término de la izquierda de la ecuación 2.56 corresponde a las cantidades
medidas.
La ecuación correspondiente a la parte no medible es:
𝑥𝑏 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑏𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) + 𝐴𝑏𝑏 𝑥𝑏 (𝑘 ) + 𝐵𝑏 𝑢(𝑘 )
2.57
El término [𝐴𝑏𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) + 𝐵𝑏 𝑢(𝑘 )] se puede considerar como la entrada conocida.
Al comparar las ecuaciones del observador de orden completo, con la ecuación 2.57
y la de la salida del sistema con la ecuación 2.56 resulta:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
Luis Eduardo García Jaimes
2.58
47
Sistemas de Control Avanzado
𝑥𝑏 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑏𝑏 𝑥𝑏 (𝑘 ) + [𝐴𝑏𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) + 𝐵𝑏 𝑢(𝑘 )]
2.59
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 )
2.60
𝑥𝑎 (𝑘 + 1) − 𝐴𝑎𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) − 𝐵𝑎 𝑢(𝑘 ) = 𝐴𝑎𝑏 𝑥𝑏 (𝑘 )
2.61
𝑞(𝑘 + 1) = [𝐴 − 𝐿𝐶 ]𝑞(𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.62
La ecuación del observador de orden reducido, se puede obtener haciendo las
siguientes sustituciones en la ecuación del observador de orden completo (ecuación
2.62).
𝑥 (𝑘 ) = 𝑥𝑏 (𝑘)
𝐴 = 𝐴𝑏𝑏
𝐵𝑢(𝑘 ) = 𝐴𝑏𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) + 𝐵𝑏 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘 ) = 𝑥𝑎 (𝑘 + 1) − 𝐴𝑎𝑎 𝑥𝑎 (𝑘 ) − 𝐵𝑎 𝑢(𝑘)
𝐶 = 𝐴𝑎𝑏
Es decir:
𝑞𝑏 (𝑘 + 1) =
[𝐴𝑏𝑏 − 𝐿𝐴𝑎𝑏 ]𝑞𝑏 (𝑘) + 𝐿[𝑥𝑎 (𝑘 + 1) − 𝐴𝑎𝑎 𝑥𝑎 (𝑘) − 𝐵𝑎 𝑢(𝑘)] + 𝐴𝑏𝑎 𝑥𝑎 (𝑘) + 𝐵𝑏 𝑢(𝑘) 2.63
De la ecuación 2.54 se obtiene:
𝑦(𝑘 ) = 𝑥𝑎 (𝑘 )
2.64
Entonces:
𝑞𝑏 (𝑘 + 1) = [𝐴𝑏𝑏 − 𝐿𝐴𝑎𝑏 ]𝑞𝑏 (𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘 + 1) + [𝐴𝑏𝑎 − 𝐿𝐴𝑎𝑎 ]𝑦(𝑘) + [𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 ]𝑢(𝑘) 2.65
La ecuación característica del observador de orden reducido es:
|𝑧𝐼 − 𝐴𝑏𝑏 + 𝐿𝐴𝑎𝑏 | = 0
2.66
La matriz 𝐿 se puede obtener por comparación directa entre la ecuación
característica deseada para el observador de orden reducido y la ecuación
característica del mismo dada por la ecuación 2.66 o utilizando la formula de
Ackerman:
𝐴𝑎𝑏 −1 0
𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑏
0
2
𝐿 = 𝜙(𝐴𝑏𝑏 ) 𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑏
0
⋮
⋮
𝑛−2
[
[𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑏 ] 1]
2.67
𝑛−2
𝜙(𝐴𝑏𝑏 ) = 𝐴𝑛−1
𝑏𝑏 + 𝛼1 𝐴𝑏𝑏 + ⋯ 𝛼𝑛−2 𝐴𝑏𝑏 + 𝛼𝑛−1 𝐼
2.68
En donde:
Luis Eduardo García Jaimes
48
Sistemas de Control Avanzado
Siendo 𝛼1 , 𝛼2 ⋯ 𝛼𝑛−1 los coeficientes de la ecuación característica deseada y 𝑛 el
orden de la matriz 𝐴.
Finalmente, una vez calculadas la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la
matriz del observador 𝐿 se procede a calcular la ecuación del controlador, utilizando
la ecuación [2.4]:
𝐷 (𝑧 ) = −
𝑈 (𝑧 )
=
𝑌 (𝑧 )
𝐾1 + 𝐾𝑏 [𝑧𝐼 − 𝐴𝑏𝑏 + 𝐿𝐴𝑎𝑏 + (𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 )𝐾𝑏 ]−1 [𝐿𝑧 + {𝐴𝑏𝑎 − 𝐿𝐴𝑎𝑎 − 𝐾1 (𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 )}] 2.69
Para obtener la ecuación 2.69 se asume que 𝑦(𝑘) = 𝑥1 (𝑘) y que la matriz de
ganancia de realimentación 𝐾, se particiona de tal forma que:
𝑢(𝑘 ) = −𝐾[𝑦(𝑘) 𝑞𝑏 (𝑘)]𝑇 = −[𝐾1
𝐾𝑏 ][𝑦(𝑘) 𝑞𝑏 (𝑘)]𝑇 2.70
𝑢(𝑘 ) = −𝐾1 𝑦(𝑘 ) − 𝐾𝑏 𝑞𝑏 (𝑘 )
Para utilizar correctamente las ecuaciones 2.67 y 2.69 es necesario tener presente
que la matriz 𝐶 debe estar en la forma 𝐶 = [1 0 0 . . 0], en caso contrario se
precisa utilizar una matriz de transformación 𝑇 tal que:
𝐶𝑇 −1 = [1
𝐶 = [1
0 ⋯ 0]
0 ⋯ 0]𝑇
Así, la nueva representación de estado del sistema será:
𝑥̂ (𝑘 + 1) = 𝐴̂𝑥̂ (𝑘 ) + 𝐵̂𝑢(𝑘 )
2.71
̂ 𝑢 (𝑘 )
𝑦̂(𝑘 ) = 𝐶̂ 𝑥̂ (𝑘 ) + 𝐷
2.72
En donde:
𝐴̂ = 𝑇𝐴𝑇 −1
𝐵̂ = 𝑇𝐵
𝐶̂ = 𝐶𝑇 −1 = [1 0 ⋯ 0]
̂=𝐷
𝐷
2.73
EJEMPLO 2.6
Considere el sistema descrito por:
2.3
𝑥(𝑘 + 1) = [ 1
0
−1.7 0.4
1
0
0 ] 𝑥 (𝑘 ) + [0] 𝑢(𝑘 )
1
0
0
𝑦 (𝑘 ) = [0 0
0.8]𝑥(𝑘)
a) Determine la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 de modo que el sistema
tenga polos de lazo cerrado ubicados en 𝑧 = 0.2, 𝑧 = 0.4 y 𝑧 = 0.6.
b) Si se
supone que sólo la salida 𝑦(𝑘) es medible, diseñe un observador de orden mínimo
Luis Eduardo García Jaimes
49
Sistemas de Control Avanzado
𝑧 = 0.2 y 𝑧 = 0.5. c) Obtenga la ecuación del
con polos localizados en
controlador y grafique la respuesta del sistema en lazo cerrado cuando se aplica un
escalón unitario a la referencia. d) Calcule, si es necesario, el valor del factor de
corrección de error 𝐾𝑜 que se debe adicionar en el circuito del set-point para obtener
un error de estado estable igual a cero.
SOLUCIÓN: Para resolver el problema, es necesario obtener la representación de
estado del sistema de modo que 𝐶 = [1 0 0].
La matriz que transforma a 𝐶 = [0 0 0.8] en 𝐶 = [1 0 0] es: 𝐶 = [1 0 0]𝑇
0 0
𝑇 = [0 1
1 0
0.8
1]
0
𝑇
−1
0
0 1
=[ 0
1 0]
1.25 0 0
Utilizando la ecuación 9.107:
0 0 0.8 2.3 −1.7
𝐴̂ = 𝑇𝐴𝑇 −1 = [0 1 1 ] [ 1
0
1 0 0
0
1
0 0
̂
𝐵 = 𝑇𝐵 = [0 1
1 0
𝐶̂ = 𝐶𝑇 −1 = [0 0
0.4
0
0 1
0
0.8
0
0 ][ 0
1 0] = [ 0
0
1]
0 1.25 0 0
0.5 −1.7 2.3
0.8 1
0
1 ] [0] = [0]
0 0
1
0
0 1
0.8] [ 0
1 0] = [1 0 0]
1.25 0 0
a) La matriz de ganancia de realimentación 𝐾 es:
𝐾 = [0
0 1][𝐵̂
𝐴̂𝐵̂
−1
𝐴̂2 𝐵̂] 𝜙(𝐴̂)
La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado es:
(𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.6) = 𝑧 3 − 1.2𝑧 2 + 0.44𝑧 − 0.048 = 0
Por lo tanto:
[𝐵̂
0.352 −1.008 0.88
3
2
̂
̂
̂
̂
𝜙(𝐴) = 𝐴 − 1.2𝐴 + 0.44𝐴 − 0.048𝐼 = [0.550 −1.518 1.27 ]
0.635 −1.719 1.403
0 0
0.8
2.125 −2.3
[𝐵̂ 𝐴̂𝐵̂ 𝐴̂2 𝐵̂]−1 = [−2.875
2.3 ]
1
𝐴̂𝐵̂ 𝐴̂2 𝐵̂] = [0 1
1 2.3 3.59
1.25
0
1
0]
0
Así, la matriz de ganancia de realimentación está dada por:
𝐾 = [0
2.125 −2.3 1 0.352 −1.008
]
[
0 1 −2.875
1
0] [0.550 −1.518
1.25
0
0 0.635 −1.719
𝐾 = [0.44 −1.26 1.1]
Luis Eduardo García Jaimes
0.88
1.27 ]
1.403
50
Sistemas de Control Avanzado
b. Dado que sólo se puede medir la salida 𝑦(𝑘), la única variable de estado conocida
será 𝑥1 (𝑘). Por lo tanto, es necesario estimar las otras dos variables y el orden del
observador de orden mínimo es 2. Entonces, la representación de estado del
sistema se puede escribir en la forma:
𝑥1(𝑘 + 1)
0
𝑥1 (𝑘)
0
0.8 0
=[ |
+
𝑢 (𝑘 )
0
0
1 ] [ 𝑥2 (𝑘 ] [0]
[𝑥2 (𝑘 + 1)]
0.5 −1.7 2.3 𝑥3 (𝑘
1
𝑥3 (𝑘 + 1)
𝑦(𝑘 ) = [1|0 0]
𝑥1 (𝑘)
[ 𝑥2 (𝑘 ]
𝑥3 (𝑘
La matriz de ganancia L del observador se puede calcular mediante la formula de
Ackerman:
𝐴𝑎𝑏 −1 0
] [ ]
𝐿 = 𝜙(𝐴𝑏𝑏 ) [
𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑏
1
La ecuación característica deseada para el observador es:
(𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.5) = 𝑧 2 − 0.7𝑧 + 0.1 = 0
Por lo tanto:
𝜙(𝐴𝑏𝑏 ) = 𝐴2𝑏𝑏 + 0.7𝐴𝑏 + 0.1𝐼 = [
𝐴
0.8 0
[ 𝑎𝑏 ] = [
]
𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑏
0 0.8
𝐿=[
−1.60
−2.72
[
−1.60 1.60
]
−2.72 2.08
𝐴𝑎𝑏 −1
1.25
0
] =[
]
𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑏
0
1.25
1.60 1.25
0
0
][
][ ]
2.08
0
1.25 1
𝐿=[
2.0
]
2.6
La ecuación del observador es, en este caso:
𝑞𝑏 (𝑘 + 1) = [𝐴𝑏𝑏 − 𝐿𝐴𝑎𝑏 ]𝑞𝑏 (𝑘) + 𝐿𝑦 (𝑘 + 1) + [𝐴𝑏𝑎 − 𝐿𝐴𝑎𝑎 ]𝑦(𝑘) + [𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 ]𝑢(𝑘)
0
1
2.0
−1.60 1.0
] − [ ] [0.8 0] = [
]
−1.7 2.3
2.6
−3.78 2.3
[𝐴𝑏𝑎 − 𝐿𝐴𝑎𝑎 ] = [0.0] − [2.0] [0] = [0.0]
0.5
2.6
0.5
[𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 ] = [0] − [2.0] [0] = [0]
1
2.6
1
−1.60 1.0
2.0
0.0
0
] 𝑞 (𝑘 ) + [ ] 𝑦(𝑘 + 1) + [ ] 𝑦(𝑘 ) + [ ] 𝑢(𝑘)
𝑞𝑏 (𝑘 + 1) = [
−3.78 2.3 𝑏
2.6
0.5
1
[𝐴𝑏𝑏 − 𝐿𝐴𝑎𝑏 ] = [
c. La ecuación del controlador es:
𝐷 (𝑧 ) = −
𝑈 (𝑧 )
=
𝑌 (𝑧 )
𝐾1 + 𝐾𝑏 [𝑧𝐼 − 𝐴𝑏𝑏 + 𝐿𝐴𝑎𝑏 + (𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 )𝐾𝑏 ]−1 [𝐿𝑧 + 𝐴𝑏𝑎 − 𝐿𝐴𝑎𝑎 − 𝐾1 (𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 )]
Luis Eduardo García Jaimes
51
Sistemas de Control Avanzado
−1
[𝑧𝐼 − 𝐴𝑏𝑏 + 𝐿𝐴𝑎𝑏 + (𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 )𝐾𝑏 ] = [𝑧 + 1.6
]
2.52
𝑧 − 1.2
2𝑧
[𝐿𝑧 + 𝐴𝑏𝑎 − 𝐿𝐴𝑎𝑎 − 𝐾1 (𝐵𝑏 − 𝐿𝐵𝑎 )] = [
]
2.6𝑧 + 0.06
2𝑧
𝑧 + 1.6
−1 −1
] [
]
𝐷(𝑧) = 0.44 + [−1.26 1.1] [
2.6𝑧 + 0.06
2.52
𝑧 − 1.2
𝐷 (𝑧 ) =
0.78𝑧 2 − 0.978𝑧 + 0.294 0.78(𝑧 − 0.7538)(𝑧 − 0.5)
=
𝑧 2 + 0.4𝑧 + 0.6
𝑧 2 + 0.4𝑧 + 0.6
d. La función de transferencia de lazo cerrado del sistema planta-controlador con
el factor de corrección de error 𝐾𝑜 incluido en el circuito del set-point es:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝐾𝑜 𝐻𝐺(𝑧)
1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
En donde 𝐻𝐺(𝑍) es la función de transferencia de pulso de la planta y, está dada
por:
𝐻𝐺 (𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 =
0.8
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8)(𝑧 − 0.5)
Por lo tanto:
0.8(𝑧 2 + 0.4𝑧 + 0.6)
(𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.6)
𝐺𝑤 (𝑧) =
Para que el error de estado estable ante una entrada en escalón unitario sea igual
a cero, se debe cumplir:
𝐾𝑜 𝐻𝐺(𝑧)
=1
𝑧→1 1 + 𝐷 (𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
lim 𝐺𝑤 (𝑧) = lim
𝑧→1
Reemplazando 𝐺𝑤 (𝑧):
0.8(𝑧 2 + 0.4𝑧 + 0.6)𝐾0
=1
𝑧→1 (𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.2)(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.6)
lim
Tomando el límite se obtiene:
𝐾𝑜 = 0.048
La figura 2.14 corresponde al sistema de control diseñado en el ejemplo 2.6, en ella
se muestra la disposición del controlador 𝐷(𝑧) en la realimentación y el factor de
corrección 𝐾𝑜 en el circuito del set-point. La figura 2.15a muestra la respuesta del
sistema ante un escalón unitario sin el factor de corrección 𝐾𝑜 y la figura 2.15b da
la respuesta con el factor 𝐾𝑜 incluido en el circuito del set-point.
Luis Eduardo García Jaimes
52
Sistemas de Control Avanzado
Figura 2.14 Configuración del sistema de control para el ejemplo 2.6
Figura 2.15 a) Respuesta del sistema al escalón unitario sin el factor K 0. b)
Respuesta del sistema con K0 = 0.048
2.9 SISTEMAS TIPO SERVO
La figura 2.16 muestra un sistema de control por realimentación del estado en el
cual se utiliza un integrador adicional para estabilizar adecuadamente el sistema y
mejorar su exactitud.
Figura 2.16 Sistema tipo Servo con realimentación del estado
Luis Eduardo García Jaimes
53
Sistemas de Control Avanzado
La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son,
respectivamente:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.74
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 )
2.75
La ley de control para el sistema es:
𝑢(𝑘 ) = −𝐾1 𝑥(𝑘 ) + 𝐾𝑖 𝑣(𝑘 )
2.76
𝑣(𝑘 ) = 𝑟(𝑘 ) − 𝑦(𝑘 ) + 𝑣(𝑘 − 1)
2.77
De las ecuaciones 2.76 y 2.77 se obtiene:
𝑢(𝑘 + 1) = −𝐾1 𝑥(𝑘 + 1) + 𝐾𝑖 [𝑟(𝑘 + 1) − 𝑦(𝑘 + 1) + 𝑣(𝑘)]
𝑢(𝑘 + 1) = −𝐾1 [𝐴𝑥(𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘)] + 𝐾𝑖 [𝑟(𝑘 + 1) − 𝐶 {𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘)} + 𝑣(𝑘)]
𝑢(𝑘 + 1) = [−𝐾1 𝐴 − 𝐾𝑖 𝐶𝐴]𝑥(𝑘 ) + [−𝐾1 𝐵 − 𝐾𝑖 𝐶𝐵]𝑢(𝑘 ) + 𝐾𝑖 𝑟(𝑘 + 1) + 𝐾𝑖 𝑣(𝑘 ) 2.78
De la ecuación 2.76 se obtiene:
𝐾𝑖 𝑣 (𝑘 ) = 𝑢(𝑘 ) + 𝐾1 𝑥(𝑘)
Entonces:
𝑢(𝑘 + 1) = [𝐾1 − 𝐾1 𝐴 − 𝐾𝑖 𝐶𝐴]𝑥(𝑘 ) + [𝐼 − 𝐾1 𝐵 − 𝐾𝑖 𝐶𝐵]𝑢(𝑘 ) + 𝐾𝑖 𝑟(𝑘 + 1) 2.79
Las ecuaciones 2.74 y 2.79 se pueden escribir en forma matricial así:
𝑥(𝑘 + 1)
𝐴
[
]=[
𝐾1 − 𝐾1 𝐴 − 𝐾𝑖 𝐶𝐴
𝑢(𝑘 + 1)
𝑥(𝑘)
𝐵
0
][
] + [ ] 𝑟(𝑘 + 1) 2.80
𝐼 − 𝐾1 𝐵 − 𝐾𝑖 𝐶𝐵 𝑢(𝑘)
𝐾𝑖
La ecuación de salida del sistema es:
𝑦(𝑘 ) = [𝐶
0]𝑥(𝑘 )
2.81
Si la referencia es un escalón de magnitud 𝑟, entonces 𝑟(𝑘 + 1) = 𝑟(𝑘) = 𝑟.
Con esta consideración, la ecuación 2.80 se puede escribir en la forma:
𝑥(𝑘 + 1)
𝐴
[
]=[
𝐾1 − 𝐾1 𝐴 − 𝐾𝑖 𝐶𝐴
𝑢(𝑘 + 1)
𝑥(𝑘)
𝐵
0
][
]+[ ]𝑟
𝐼 − 𝐾1 𝐵 − 𝐾𝑖 𝐶𝐵 𝑢(𝑘)
𝐾𝑖
2.82
Para realizar el diseño, utilizando la técnica de asignación de polos, se debe estimar
la matriz 𝐾𝑖 correspondiente al integrador y la matriz 𝐾1 correspondiente a la matriz
de ganancia de realimentación. Se puede demostrar que [2.5]:
̂ + [0 ⋮ 𝐼𝑚 ]] [
[𝐾1 ⋮ 𝐾𝑖 ] = [𝐾
𝐴 − 𝐼𝑛 𝐵 −1
| ]
𝐶𝐴 𝐶𝐵
2.83
En donde:
̂ = [0
𝐾
0 ⋯ 1][𝐵̂
Luis Eduardo García Jaimes
𝐴̂𝐵̂
𝐴̂2 𝐵̂
−1
⋯ 𝐴̂𝑛−1 𝐵̂] 𝜙(𝐴̂) 2.84
54
Sistemas de Control Avanzado
𝐴 𝐵
𝐴̂ = [ | ]
0 0 (𝑛+𝑚)×(𝑛+𝑚)
𝐵=[
0
]
𝐼𝑚 (𝑛+𝑚)×𝑚
2.85
La figura 2.17 muestra el sistema de control por realimentación del estado
observado incluyendo un integrador en la trayectoria directa
r(k)
+
v(k)
-
+
Ki
+
u(k)
+
B
-
x(k+1)
+
z-1
x(k)
y(k)
C
+
-1
A
z
K1q(k)
B
K1
q(k+1)
+
+
+
z-1
q(k)
C
+
^
y(k) -
+
A
L
Figura 2.17 Sistema tipo Servo con realimentación del estado observado
La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son,
respectivamente:
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝐴𝑥 (𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.86
𝑦(𝑘 ) = 𝐶𝑥 (𝑘 )
2.87
La ley de control para el sistema es:
𝑢(𝑘 ) = −𝐾1 𝑞(𝑘 ) + 𝐾𝑖 𝑣(𝑘 )
2.88
𝑣(𝑘 ) = 𝑟(𝑘 ) − 𝑦(𝑘 ) + 𝑣(𝑘 − 1)
2.89
La ecuación correspondiente al observador está dada por la ecuación 2.44:
𝑞(𝑘 + 1) = [𝐴 − 𝐿𝐶 ]𝑞(𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘 )
2.90
Tomando la transformada z a las ecuaciones 2.88 y 2.90 se obtiene:
𝑈(𝑧) = −𝐾1 𝑄(𝑧) + 𝐾𝑖 𝑉(𝑧)
2.91
𝑧𝑄(𝑧) = [𝐴 − 𝐿𝐶 ]𝑄(𝑧) + 𝐿𝑌 (𝑧) + 𝐵𝑈(𝑧)
[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]𝑄(𝑧) = 𝐿𝑌(𝑧) + 𝐵𝑈(𝑧)
𝑄(𝑧) = [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿𝑌(𝑧) + [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐵𝑈(𝑧) 2.92
Reemplazando la expresión para 𝑄(𝑍) en la ecuación 2.91 resulta:
𝑈(𝑧) = −𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿𝑌(𝑧) − 𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐵𝑈(𝑧) + 𝐾𝑖 𝑉(𝑧)
Luis Eduardo García Jaimes
55
Sistemas de Control Avanzado
Si se asume que la variable 𝑢(𝑘) es un escalar se obtiene, después de simplificar y
agrupar términos:
[1 + 𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1𝐵]𝑈(𝑧) = −𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿𝑌(𝑧) + 𝐾𝑖 𝑉(𝑧)
𝑈(𝑧) = [1 + 𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐵]−1 [𝐾𝑖 𝑉(𝑧) − 𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿𝑌(𝑧)] 2.93
Al tomar la transformada z a la ecuación 2.89 se obtiene:
𝑉 (𝑧 ) =
𝑧[𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧)]
𝑧−1
2.94
Combinando las ecuaciones 1.93 y 2.94 resulta:
𝑈(𝑧)
=
[1 + 𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶]−1 𝐵]−1 [𝐾𝑖 𝑧[𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧)] − 𝐾1 (𝑧 − 1)[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶]−1 𝐿𝑌(𝑧)]
𝑧−1
2.95
Las matrices 𝐾𝑖 y 𝐾1 se obtienen utilizando las ecuaciones 2.83 y 2.84. La matriz 𝐿,
correspondiente a la matriz de ganancia del observador, se calcula a partir de la
ecuación 2.47 para observador de orden completo o de la ecuación 2.67 para
observador de orden reducido.
EJEMPLO 2.7
La dinámica de cierto tanque presurizado está dada por:
𝑥 (𝑘 + 1) = [
0.4 0.2 ( )
1
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢 (𝑘 )
0.5 0.6
0
𝑦(𝑘 ) = [0 1]𝑥(𝑘)
a) Diseñar la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 incluyendo integrador de
modo que el sistema en lazo cerrado tenga polos ubicados en el origen. b) Diseñar
un observador de orden completo con polos ubicados en el origen. c) Establecer
la ley de control para el sistema.
̂, que contiene a la matriz de realimentación 𝐾 y a la
SOLUCIÓN: a) La matriz 𝐾
matriz del integrador 𝐾𝑖 se calcula a partir de las ecuaciones 2.83, 2.84 y 2.85.
0.4 0.2 1
𝐴 𝐵
𝐴̂ = [ | ] = [0.5 0.6| 0]
0 0
0 0 0
̂ = [0
𝐾
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0 1][𝐵̂
𝐴̂𝐵̂
0
0
𝐵̂ = [ ] = [0]
𝐼𝑚
1
−1
𝐴̂2 𝐵̂] 𝜙(𝐴̂)
56
Sistemas de Control Avanzado
La ecuación característica deseada para el sistema, en lazo cerrado, es: 𝑧 3 = 0,
entonces:
[𝐵̂
0.204 0.172 0.260
3
̂
̂
)
[
𝜙(𝐴 = 𝐴 = 0.430 0.376 0.500]
0
0
0
0 1 0.4
0
0
1
−1
2
2
[𝐵̂ 𝐴̂𝐵̂ 𝐴̂ 𝐵̂] = [1 −0.8 0]
𝐴̂𝐵̂ 𝐴̂ 𝐵̂] = [0 0 0.5]
1 0 0.0
0
2
0
0
0
1 0.204 0.172 0.260
̂ = [0 0 1] [1 −0.8 0] [0.430 0.376 0.500]
𝐾
0
2
0
0
0
0
̂ = [0.86 0.752 1]
𝐾
̂ + [0 ⋮ 𝐼𝑚 ]] [
[𝐾1 ⋮ 𝐾𝑖 ] = [𝐾
𝐴 − 𝐼𝑛 𝐵 −1
| ]
𝐶𝐴 𝐶𝐵
̂ + [0 ⋮ 𝐼𝑚 ]] = [0.86
[𝐾
0.752
2]
[𝐴 − 𝐼𝑛 ] = [−0.6 0.2 ]
0.5 −0.4
0.4 0.2
1
] = [0.5 0.6]
𝐶𝐴 = [0 1] [
𝐶𝐵 = [0 1] [ ] = [0]
0.5 0.6
0
−0.6 0.2 1
𝐴 − 𝐼𝑛 𝐵
[
| ] = [ 0.5 −0.4 0]
𝐶𝐴 𝐶𝐵
0.5
0.6 0
[𝐾1 ⋮ 𝐾𝑖 ] = [0.86
0.752
⋮
𝐾1 = [2
−0.6 0.2 1 −1
2] [ 0.5 −0.4 0] = [2
0.5
0.6 0
2.12]
2.12
⋮ 2]
𝐾𝑖 = [2]
b) El diseño del observador se realiza utilizando la fórmula de Ackerman:
𝐿 = 𝜙(𝐴) [
𝐶 −1 0
] [ ]
𝐶𝐴
1
La ecuación característica deseada para el observador es: 𝑧 2 = 0, por lo tanto:
𝜙 (𝐴 ) = [
𝐿=[
0.26 0.2
]
0.5 0.46
0.26
0.5
0.2
0
1 −1 0
][
] [ ]
0.46 0.5 0.6
1
[
𝐶
0
1
]=[
]
𝐶𝐴
0.5 0.6
𝐿=[
0.52]
1
La ecuación del observador es:
𝑞 (𝑘 + 1) = [𝐴 − 𝐿𝐶 ]𝑞(𝑘 ) + 𝐿𝑦(𝑘 ) + 𝐵𝑢(𝑘)
𝑞(𝑘 + 1) = [
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0.4 −0.32 ( )
1
] 𝑞 𝑘 + [0.52] 𝑦(𝑘 ) + [ ] 𝑢(𝑘)
0.5 −0.40
0
1
57
Sistemas de Control Avanzado
a) La ley de control para el sistema está dada por:
𝑈(𝑧) =
[1 + 𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶]−1 𝐵]−1 [𝐾𝑖 𝑧[𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧)] − 𝐾1 (𝑧 − 1)[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶]−1 𝐿𝑌(𝑧)]
𝑧−1
𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐵 =
𝑈 (𝑧 ) =
𝑈 (𝑧 ) =
2z + 1.86
z2
𝐾1 [𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 ]−1𝐿 =
3.16𝑧 − 0.52
𝑧2
2𝑧 3 𝑅(𝑧) − (2𝑧 3 + 3.16𝑧 2 − 3.68𝑧 + 0.52)𝑌(𝑧)
(𝑧 − 1)(𝑧 2 + 2𝑧 + 1.86)
2𝑅(𝑧) − 2𝑌(𝑧) − 3.16𝑧 −1 𝑌(𝑧) + 3.68𝑧 −2 𝑌(𝑧) − 0.52𝑧 −3 𝑌(𝑧)
1 + 𝑧 −1 − 0.14𝑧 −2 − 1.86𝑧 −3
Tomando transformada z y, despejando 𝑢(𝑘) se obtiene la ley de control:
𝑢(𝑘 ) = 2𝑟(𝑘 ) − 2𝑦(𝑘 ) − 3.16𝑦(𝑘 − 1) − 3.68𝑦(𝑘 − 2) − 0.52𝑦(𝑘 − 3) − 𝑢(𝑘 − 1)
+ 0.14𝑢(𝑘 − 2) + 1.86𝑢(𝑘 − 3)
La figura 2.18 corresponde a la representación del sistema implementado en
Simulink para obtener la respuesta del mismo y la figura 2.19 muestra la respuesta
del tanque cuanto se aplica a su entrada un escalón unitario
FIGURA 2.18 Representación del sistema del ejemplo 2.7 en Simulink para
simular su respuesta.
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58
Sistemas de Control Avanzado
FIGURA 2.19 Respuesta del sistema del ejemplo 2.7
2.10
SISTEMAS NO LINEALES
En la práctica, todos los sistema físicos presentan algún grado de alinealidad por lo
tanto, estrictamente hablando, no existen sistemas físicos perfectamente lineales y
los modelos con que se trabajan son ideales y basados en simplificaciones con el
fin de facilitar el análisis y diseño de sus sistemas de control.
Cuando las
magnitudes de las señales aplicadas al sistema de control están dentro de un rango
en el cual exhibe una característica lineal, el sistema se puede considerar lineal
pero, cuando los valores de las señales sobrepasan el rango de la parte lineal, el
sistema no se puede considerar lineal [2.6].
Para el análisis y diseño de sistemas de control lineal existe, como se ha visto, una
gran cantidad de técnicas y métodos bien definidos. Por su parte, los sistemas no
lineales son difíciles de tratar en forma matemática y los procedimientos para hallar
soluciones a problemas presentes en estos sistemas son bastante complicados.
Debido a esta dificultad,
se hace necesario introducir sistemas lineales
“equivalentes” para reemplazar los no lineales. Estos sistemas “equivalentes” se
pueden obtener mediante linealización del sistema no lineal en un rango restringido
de funcionamiento. Una vez obtenida la aproximación del sistema no lineal por
medio de un modelo matemático lineal, se le pueden aplicar técnicas y métodos
lineales para su análisis y diseño [2.7].
2.10.1 Linealización de sistemas no lineales: un sistema no lineal se puede
representar mediante ecuaciones de estado en la siguiente forma:
𝑥̇ 1 = 𝑓1 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
𝑥̇ 2 = 𝑓2 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
⋯
⋯
2.96
𝑥̇ 𝑛 = 𝑓𝑛 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑢, 𝑡)
La ecuación 2.96 se puede escribir en la forma matricial así:
𝒙̇ (𝑡) = 𝒇[𝑥 (𝑡), 𝑢(𝑡)]
2.97
𝑦(𝑡) = 𝒉[𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)]
Luis Eduardo García Jaimes
59
Sistemas de Control Avanzado
En donde 𝒙(𝑡) es el vector de estado (𝑛 × 1), 𝒖(𝑡) es el vector de entradas (𝑟 × 1)
y 𝒇[𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)] es un vector que es función del vector de estado y del vector de
entrada.
Para linealizar el sistema descrito por la ecuación 2.97 existen diferentes métodos:
uno de ellos consiste en la expansión de las ecuaciones de estado no lineales en
series de Taylor alrededor de un punto o de una trayectoria de operación nominal
del sistema, despreciando los términos de orden superior al primero, con lo cual
resulta una aproximación lineal de las ecuaciones de estado en un punto
determinado.
Si 𝑥𝑜 es el punto o la trayectoria de operación nominal correspondiente a la entrada
nominal 𝑢𝑜 , al expandir la ecuación 2.97 en una serie de Taylor y, despreciando los
términos de orden superior, resulta:
𝑛
𝑟
𝑥̇ 𝑖 (𝑡) = 𝑓𝑖 (𝑥𝑜 , 𝑢𝑜 ) + ∑ 𝐾𝑗 (𝑥𝑗 − 𝑥𝑜𝑗 ) + ∑ 𝑃𝑗 (𝑢𝑗 − 𝑢𝑜𝑗 )
𝑗=1
2.98
𝑗=1
En donde:
𝐾𝑗 =
𝜕𝑓𝑖 (𝑥, 𝑢)
|
𝜕𝑥𝑗
(𝑥
𝑃𝑗 =
𝑜 ,𝑢𝑜)
𝜕𝑓𝑖 (𝑥, 𝑢)
|
𝜕𝑢𝑗 (𝑥
2.99
𝑜 ,𝑢𝑜 )
Si se hace: 𝑥̂𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑜𝑖 y 𝑢̂𝑖 = 𝑢𝑖 − 𝑢𝑜𝑖 se obtiene, al reemplazar estas expresiones
en la ecuación 2.98:
𝑛
𝑟
𝑥̇̂𝑖 + 𝑥̇̂𝑜𝑖 = 𝑓 (𝑥𝑜 , 𝑢𝑜 ) + ∑ 𝐾𝑗 𝑥̂𝑗 + ∑ 𝑃𝑗 𝑢̂𝑗
𝑗=1
2.100
𝑗=1
Teniendo en cuenta que: 𝑥̂𝑜𝑖 = 𝑓(𝑥𝑜 , 𝑢𝑜 ) se obtiene:
𝑛
𝑟
𝑥̇̂𝑖 = ∑ 𝐾𝑗 𝑥̂𝑗 + ∑ 𝑃𝑗 𝑢̂𝑗
𝑗=1
2.101
𝑗=1
La ecuación 2.101 se puede escribir en la siguiente forma matricial:
𝑥̇̂ = 𝐴̂𝑥̂𝑖 + 𝐵̂𝑢̂𝑖
2.102
En donde:
Luis Eduardo García Jaimes
60
Sistemas de Control Avanzado
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝐴̂ = 𝜕𝑥1
⋯
𝜕𝑓𝑛
[𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
⋯
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑥2
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓2
⋮
𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋯
𝜕𝑓𝑛
⋮
𝜕𝑥𝑛 ]
⋮
𝜕𝑓1
𝜕𝑢1
𝜕𝑓2
𝐵̂ = 𝜕𝑢1
⋯
𝜕𝑓𝑛
[𝜕𝑢1
𝜕𝑓1
𝜕𝑢2
𝜕𝑓2
𝜕𝑢2
⋯
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑢2
⋮
⋮
⋮
⋮
𝜕𝑓1
𝜕𝑢𝑛
𝜕𝑓2
𝜕𝑢𝑛
⋯
𝜕𝑓𝑛
𝜕𝑢𝑛 ]
2.103
Para que el sistema linealizado “se aproxime” convenientemente al sistema no
lineal, los valores de 𝑥 (𝑡) y de 𝑢(𝑡) deben mantenerse siempre lo más cerca posible
a los valores de referencia 𝑥𝑜 y 𝑢𝑜 respectivamente.
Además, 𝑥𝑜 y 𝑢𝑜 corresponden a los puntos de equilibrio de la ecuación 2.96 y para
ellos se cumple que:
𝑥̇̂𝑜𝑖 = 𝑓𝑖 (𝑥𝑜 , 𝑢𝑜 ) = 0
2.104
2.10.2 Diseño de Controladores para Sistemas no Lineales: Teniendo en cuenta
la buena cantidad de herramientas existentes para el análisis y diseño de
controladores de sistemas lineales, una de las técnicas utilizadas para este fin en
los sistemas no lineales es linealizarlos previamente alrededor de un punto de
operación y luego tratarlos como sistemas lineales. Este método puede presentar
inconvenientes cuando la zona de funcionamiento del sistema se aleja
apreciablemente del punto de operación alrededor del cual se realizó la linealización
puesto que, en este caso, el modelo pierde precisión con respecto a la planta
verdadera con la que se está trabajando. Para explicar el procedimiento de diseño
de controladores para sistemas no lineales se presenta a continuación un ejemplo.
EJEMPLO 2.8
Las siguientes ecuaciones corresponden al modelo matemático de un giroscopio
electrostático:
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ = −𝑥1 − 𝑥32 + 1
𝑥̇ 3 = 𝑥3 − 𝑥1 𝑥3 − 𝑢
𝑦 = 𝑥1
El punto de operación deseado es 𝑢𝑜 = 8
Luis Eduardo García Jaimes
61
Sistemas de Control Avanzado
a) Linealice el sistema en el punto de operación deseado. b) Discretice el modelo
lineal obtenido utilizando un período de muestreo 𝑇 = 0.5 𝑠
c)
Diseñe un
controlador discreto utilizando técnicas de realimentación de estado, de modo que
el sistema en lazo cerrado tenga sus polos en el origen. d) Grafique la respuesta del
sistema no lineal con el controlador diseñado.
SOLUCIÓN. a) La linealización se debe realizar alrededor del punto de operación
𝑢𝑜 = 8. Para los puntos de equilibrio se tiene, según la ecuación 2.104:
𝑥̇̂𝑜𝑖 = 𝑓𝑖 (𝑥𝑜 , 𝑢𝑜 ) = 0
𝑥2 = 0
−𝑥1 − 𝑥32 + 1 = 0
𝑥3 − 𝑥1 𝑥3 − 𝑢 = 0
Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene que, en el punto de equilibrio 𝑢𝑜 =
8, 𝑥1 = −3, 𝑥2 = 0 y 𝑥3 = 2. Es decir:
𝑥𝑜𝑖 = [−3 0
2]𝑇
Las matrices 𝐴̂ y 𝐵̂ se evalúan con la ecuación 9.138
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝐴̂ =
𝜕𝑥1
𝜕𝑓3
[𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
𝜕𝑓3
𝜕𝑥2
𝜕𝑓1
𝜕𝑥3
𝜕𝑓2
𝜕𝑥3
𝜕𝑓3
𝜕𝑥3 ]
𝜕𝑓1
𝜕𝑢
𝜕𝑓
2
𝐵̂ =
𝜕𝑢
𝜕𝑓3
[ 𝜕𝑢 ]
Evaluando las derivadas parciales en el punto de equilibrio se obtiene:
𝜕𝑓1
=0
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
= −1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓3
= −2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
=1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
=0
𝜕𝑥2
𝜕𝑓3
=0
𝜕𝑥2
𝜕𝑓1
=0
𝜕𝑥3
𝜕𝑓2
= −4
𝜕𝑥3
𝜕𝑓3
=4
𝜕𝑥3
𝜕𝑓1
=0
𝜕𝑢
𝜕𝑓2
=0
𝜕𝑢
𝜕𝑓3
= −1
𝜕𝑢
Así, el sistema linealizado es:
𝑥̇ 1 (𝑡)
0 1
1 𝑥1 (𝑡)
0
[𝑥̇ 2 (𝑡)] = [ −1 0 −4] [𝑥2 (𝑡)] + [ 0 ] 𝑢(𝑡)
𝑥̇ 3 (𝑡)
−2 0
4 𝑥3 (𝑡)
−1
Luis Eduardo García Jaimes
62
Sistemas de Control Avanzado
𝑥1 (𝑡)
𝑦(𝑡) = [1 0 0] [𝑥2 (𝑡)]
𝑥3 (𝑡)
La función de transferencia del sistema continuo equivalente es:
𝐺𝑝 (𝑆) = 𝐶 [𝑆𝐼 − 𝐴]−1 𝐵
Es decir:
𝐺𝑝 (𝑆) =
4
𝑆 3 − 4𝑆 2 + 𝑆 − 12
b) La discretización del modelo, con 𝑇 = 0.5 𝑠 da:
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ {
𝐺𝑝 (𝑆)
4
} = (1 − 𝑧 −1 )ℑ {
}
3
𝑆
𝑆(𝑆 − 4𝑆 2 + 𝑆 − 12)
Utilizando el MATLAB:
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.1491𝑧 2 + 1.0206𝑧 + 0.3906
𝑧 3 − 10.2337𝑧 2 + 11.9419𝑧 − 7.3891
La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en
la forma canónica observable es:
10.2337 1
𝑥 (𝑘 + 1) = [−11.9419 0
7.3891
0
𝑦(𝑘 ) = [1
0
0.1491
(
)
]
[
𝑥
𝑘
+
1
1.0206] 𝑢(𝑘)
0
0.3906
0 0]𝑥(𝑘)
c) La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado y para el
observador es : 𝑧 3 = 0 por lo tanto:
𝐾 = [0 0 1][𝐵
[𝐵
𝐾 = [0
𝐴𝐵
𝐴2 𝐵]−1 𝜙(𝐴)
𝜙 (𝐴) = 𝐴3
0.1491 2.5464
24.6696
𝐴𝐵 𝐴 𝐵] = [1.0206 −1.3899 −29.3077]
0.3906 1.1017
18.8159
834.7
92.8
10.2
𝜙(𝐴) = [1032.4 −114.8 −11.9]
685.6
75.6
7.4
2
0.1491
]
0 1 [1.0206
0.3906
2.5464
−1.3899
1.1017
𝐾 = [38.5915
Luis Eduardo García Jaimes
24.6696 −1 834.7
92.8
10.2
−29.3077] [1032.4 −114.8 −11.9]
685.6
75.6
7.4
18.8159
4.2449
0.3774]
63
Sistemas de Control Avanzado
𝐶 −1 0
𝐿 = 𝜙(𝐴) [ 𝐶𝐴 ] [0]
𝐶𝐴2
1
𝐶
1
[ 𝐶𝐴 ] = [10.2337
𝐶𝐴2
92.7867
𝜙 ( 𝐴 ) = 𝐴3
0
1
10.2337
834.7
92.8
10.2
1
𝐿 = [1032.4 −114.8 −11.9] [10.2337
685.6
75.6
7.4
92.7867
0
0]
1
0
0 −1 0
1
0] [0]
10.2337 1
1
10.2337
𝐿 = [−11.9419]
7.3891
La ecuación para el controlador con observador de orden completo tipo predictor
es:
𝐷 (𝑧 ) = −
𝐷 (𝑧 ) = −
𝑈(𝑧)
= 𝐾[𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 ]−1 𝐿
𝑌(𝑧)
𝑈(𝑧)
347.03𝑧 2 − 429.4896𝑧 + 285.1561
= 4
𝑌(𝑧) 𝑧 + 10.2337𝑧 2 + 41.0445𝑧 + 15.0738
La función de transferencia del sistema en lazo cerrado está dada por:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝐻𝐺(𝑧)
1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
0.1491𝑧 5 + 2.5464𝑧 4 + 16.9548𝑧 3 + 48.1348𝑧 2 + 31.4163𝑧 + 5.8878
𝑧6
El valor del factor de corrección de error 𝐾𝑜 esta dado por:
lim 𝐾𝑜 𝐺𝑤 (𝑧) = 1
𝑧→1
5
4
0.1491𝑧 + 2.5464𝑧 + 16.9548𝑧 3 + 48.1348𝑧 2 + 31.4163𝑧 + 5.8878
]=1
lim 𝐾𝑜 [
𝑧→1
𝑧6
𝐾𝑜 = 0.009515
La figura 2.20 muestra la respuesta del sistema ante una entrada en escalón
unitario con el controlador diseñado y el factor de corrección de error en el circuito
del set-point.
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64
Sistemas de Control Avanzado
Figura 2.20 Respuesta del sistema del ejemplo 2.8 a un escalón unitario
PROBLEMAS PROPUESTOS
2.1 Para cada uno de los sistemas de control discretos dados a continuación
determinar: a) la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 de modo que el sistema
tenga polos de lazo cerrado en el lugar indicado. b) El valor del factor de corrección
𝐾𝑜 para que la respuesta del sistema tenga error de estado estable igual a cero.
1.9 −1.1 0.2
1
(
)
(
)
a) 𝑥 𝑘 + 1 = [ 1
0
0 ] 𝑥 𝑘 + [0] 𝑢(𝑘 )
0
1
0
0
0
1
0
0
b) 𝑥 (𝑘 + 1) = [ −1
0
0 ] 𝑥 (𝑘 ) + [0] 𝑢(𝑘 )
−1.7 −0.1 1.9
1
𝑦(𝑘 ) = [0 0 0.2]𝑥(𝑘)
Polos en: 𝑧 = 0; 0.2 𝑦 04
𝑦(𝑘 ) = [0.5 0 0]𝑥(𝑘)
Polos en: 𝑧 = 0.2; 0.4 y 0.4
2.2 Para los sistemas de control discreto que se dan a continuación: a) Evalúe la
matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz del observador de orden
completo 𝐿 de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga sus polos en el lugar
especificado. b) Obtenga, para cada caso, la ecuación del controlador. c) Calcule,
si es necesario, el factor de corrección de error en el circuito del set-point 𝐾𝑜 , de
modo que el sistema tenga error igual a cero ante una entrada en escalón unitario.
Obtenga la respuesta al escalón para cada sistema con su respectivo controlador.
a)
0.8 0 ( )
1
] 𝑥 𝑘 + [ ] 𝑢 (𝑘 )
𝑦(𝑘 ) = [2 −1]𝑥(𝑘)
0 0.4
1
Polos para la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 en: 𝑧 = 0.4 y 0.6
𝑥(𝑘 + 1) = [
Polos para el observador en: 𝑧 = 0.2 y 0.3
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65
Sistemas de Control Avanzado
0.3 0 0
3
b) 𝑥 (𝑘 + 1) = [0.2 −1 0] 𝑥 (𝑘 ) + [ 0 ] 𝑢(𝑘 )
𝑦(𝑘 ) = [0
0
1 1
−1
Polos Para la matriz K en: 𝑧 = 0.4 ± 𝑗0.2 y 𝑧 = 0.5
1 1]𝑥(𝑘)
Polos Para el observador en: 𝑧 = 0.3 ± 𝑗0.2 y 𝑧 = 0.4
2.3 Para cada uno de los sistemas discretos propuestos en el problema 2.2
obtener: a) La matriz de ganancia de realimentación 𝐾 incluyendo integrador de
modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga polos ubicados en el origen del plano
z. b) Un observador de orden completo con oscilaciones muertas. c) Establecer la
ley de control del sistema con los resultados obtenidos en a y b.
2.4 La dinámica de un intercambiador de calor se puede describir mediante un
modelo de segundo orden de la forma:
𝑒 −𝜃𝑆
𝐺𝑝 (𝑆) =
(𝑎𝑆 + 1)(𝑏𝑆 + 1)
Asumiendo 𝜃 = 0.5 𝑠, 𝑎 = 60 𝑠, 𝑏 = 10 𝑠, período de muestreo 𝑇 = 5 𝑠, y que el
sistema está precedido por un retenedor de orden cero obtener: a) La función de
transferencia de pulso del intercambiador b) Una representación del sistema en el
espacio de estado discreto c) La matriz de ganancia de realimentación 𝐾 incluyendo
integrador, de modo que el sistema tenga polos en 𝑧 = 0 y en z = 0.8  𝑗0.25. c)
Diseñe un estimador de estados con polos en 𝑧 = 0; 𝑧 = 0.5 y 𝑧 = 0.5 e) Obtenga
la ley de control para el sistema. f) Obtenga la respuesta del sistema ante un escalón
unitario aplicado en la referencia.
2.5 Dado el sistema no lineal:
𝑥̇ 1 = 𝑥22 − cos 𝑥1
𝑥̇ 2 = 𝑥22 + 𝑥2 − 3 + 𝑢
𝑦 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑥2 > 0
a) Linealice el sistema alrededor del punto 𝑢𝑜 = 1
b)
Obtenga la función de
transferencia del sistema continuo c) Discretice el sistema con 𝑇 = 0.1 𝑠. d)
Obtenga su ecuación de estado en tiempo discreto en forma canónica controlable.
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66
Sistemas de Control Avanzado
e) Diseñe para el sistema linealizado, un controlador de modo que el sistema tenga
sus polos de lazo cerrado ubicados en el origen y que garantice error cero ante una
entrada en escalón.
REFERENCIAS
[2.1] Ollero, Aníbal. Control por Computador. Marcombo Boixareu Editores.
México. 1991.
[2.2] Ogata, Katsuhico. Sistemas de control en tiempo discreto. Prentice Hall.
Mexico1996.
[2.3] Santina, Mohamed et al. Digital Control Systems Design. Saunders College
Publishing . Fort Worth 1994.
[2.4] Franklin, Gene. Powell, David. Digital control of dynamics systems. Addison
Wesley Publishing Company. Massachusetts 1994.
[2.5] Phillips, Charles. Nagle Troy. Digital control systems analysis and design.
Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey 1995.
[2.6]
Ogata, Katsuhico. Sistemas de control en tiempo discreto. Prentice Hall.
Mexico 1996.
[2.7]
Slotine , Jeans. Li, Weiping. Applied non Linear Control. Prentice Hall.
Englewood Cliffs 1991.
[2.8] Slotine, Jeans. Li, Weiping. Applied non Linear Control. Prentice Hall.
Englewood Cliffs 1991.
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67
Sistemas de Control Avanzado
3.
CONTROL ADAPTATIVO
3.1 DEFINICIÓN
Un sistema de control adaptativo, es aquel que mide en forma continua y
automática, las características dinámicas de la planta (tales como la función de
transferencia o la ecuación de estado), las compara con las características
dinámicas deseadas y utiliza la diferencia para modificar los parámetros ajustables
del sistema (por lo general los parámetros del controlador) o para generar una señal
de control, de modo que se mantenga el desempeño óptimo, independientemente
de las modificaciones ambientales que experimente el sistema.
El control adaptativo puede controlar sistemas con parámetros constantes ó
sistemas con parámetros variables. La idea básica del control adaptativo es estimar
on-line las variaciones de los parámetros de la planta, basándose en la medida de
las señales de entrada – salida de la misma y utilizar los parámetros estimados
para realizar los ajustes del controlador. El control adaptativo, tanto para sistemas
lineales ó no lineales, es esencialmente no lineal.
3.1.1 Índice de desempeño: la base del control adaptativo descansa en el
fundamento de que existe alguna condición de operación o desempeño del sistema,
mejor que cualquiera otra. En sistemas de control adaptativo tal desempeño está
definido en función del índice de desempeño, que se debe fijar al establecer los
objetivos. Esos objetivos pueden ser tan diversos como los sistemas a los cuales
se van a aplicar, pero en general, el objetivo de la optimización se puede orientar a
minimizar el costo de operación o maximizar el beneficio económico.
Es importante tener en cuenta que, en general, los índices de desempeño
matemáticamente utilizables (como los índices de desempeño cuadrático o los de
la integral del error), presentan un inconveniente grave: aunque especifican el costo
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68
Sistemas de Control Avanzado
de operación del sistema en función del error y de la energía, no ofrecen información
sobre las características de respuesta transitoria del sistema. Así un sistema
diseñado para funcionar en forma óptima desde el punto de vista de las "utilidades",
puede tener características transitorias indeseables o hasta ser inestable. Por tanto
para asegurar características de repuesta satisfactorias, es necesario utilizar
criterios adicionales que hagan referencia a las características de respuesta
transitoria.
3.1.2 Controladores adaptativos: un controlador adaptativo conlleva las siguientes
funciones:

Identificación de las características de la planta.

Toma de decisión basada en la identificación de la planta.

Modificación o acción basada en la decisión tomada.
Si la dinámica de la planta no se conoce exactamente, la identificación, la decisión
y la modificación iniciales, no serán suficientes para minimizar (o maximizar) el
índice de desempeño. Por lo tanto es necesario realizar estos procedimientos,
continua o frecuentemente, a intervalos que dependen de la velocidad de variación
de los parámetros.
En la figura 3.1 se muestra una representación, en diagrama de bloque de un
sistema de control adaptativo. En este sistema se identifica la planta y se mide el
índice de desempeño continua o periódicamente. Una vez logrado esto, el índice de
desempeño se compara con el óptimo y se toma una decisión sobre cómo modificar
la señal actuante. Como la planta se identifica dentro del sistema mismo, el ajuste
de los parámetros es una operación de lazo cerrado.
Decisión
Identificación
Modificación
Entrada
Controlador
Planta
Salida
+Perturbaciones
Figura 3.1 Esquema del control adaptativo
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69
Sistemas de Control Avanzado
3.1.3 Identificación de las características dinámicas de la planta: las
características dinámicas de la planta se deben medir e identificar continuamente,
o al menos frecuentemente. Esto se debe realizar sin afectar el funcionamiento
normal del sistema. Para identificar las características de un sistema hay que
efectuar una prueba o medición y analizar los resultados. La identificación se puede
realizar con base en los datos de funcionamiento normal de la planta, o mediante el
uso de una señal de prueba, como pueden ser las señales senoidales de pequeña
magnitud o diversas señales estocásticas de baja amplitud. En la práctica no se
debe realizar una aplicación directa de entradas en forma de escalón. Las entradas
normales son señales de prueba ideales, ya que no producen dificultades en cuanto
a salidas indeseadas, o entradas que produzcan confusión. Sin embargo, la
identificación con entradas normales, sólo es posible cuando tienen característica
de señal adecuadas como ancho de banda, amplitud y otros, para su correcta
identificación.
3.1.4 Toma de decisión basada en la identificación de la planta: se entiende por
decisión la que se toma teniendo en cuenta las características de la planta que han
sido identificadas y el índice de desempeño calculado. Una vez identificada la
planta, se compara con las características óptimas (o desempeño óptimo) y luego
se debe tomar una decisión respecto a cómo se deben variar los parámetros
ajustables (características del controlador), para mantener el desempeño óptimo.
La decisión se logra con un computador.
3.2 ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO
Existen dos tipos principales de controladores adaptativos:

Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC)

Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable)
Para el diseño de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes
métodos, unos que utilizan criterios de optimización y otros que no los utilizan, en
este sentido se tiene la siguiente clasificación [3.1]:

Criterio no óptimo:
o Asignación de polos y ceros (APPC)
o Controladores de tiempo finito
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70
Sistemas de Control Avanzado
o Controladores PID

Criterio óptimo:
o Controladores de mínima varianza (MVR)
o Controladores predictivos generalizados
3.2.1 Controlador autosintonizado (STR): Este regulador está compuesto por dos
lazos, un lazo interno de realimentación ordinaria y un lazo externo que actualiza
los parámetros del proceso y del controlador por medio de identificación de
sistemas.
La operación del controlador con auto-ajuste es la siguiente: en cada instante el
sistema de identificación en línea estima los parámetros de la planta, los cuáles son
calculados a partir de la medida de los datos entrada-salida de la misma. Con los
parámetros estimados se calculan los nuevos parámetros del controlador lo cual
causa una nueva salida de la planta. El ciclo de adaptación se repite, y así la acción
de control cambia cuando hay cambio de los parámetros de la planta.
Para una planta lineal existen muchos métodos disponibles para estimar la variación
de los parámetros. Uno de los más utilizados es el método “Mínimos cuadrados
recursivos”. También existen diferentes técnicas de control para plantas lineales,
tales como controladores PID, Controladores tipo Deadbeat, controladores de
mínima varianza etc. Mediante la conjunción de las diferentes técnicas, métodos de
control y estimadores se obtienen varios tipos de reguladores STR [3.2].
La figura 3.2 muestra un esquema general del sistema de control con autosintonia.
Figura 3.2 Sistema de control autosintonizado
3.2.2 Control con modelo de referencia (MRAC): En este regulador la adaptación
se obtiene a partir de la señal de error que resulta de comparar la salida real del
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71
Sistemas de Control Avanzado
sistema con la esperada a partir de un modelo de comportamiento establecido. El
comportamiento ideal del modelo de referencia debería poder ser alcanzado por el
sistema de control adaptativo. La figura 3.3 da una idea del control con modelo de
referencia. La teoría de control dispone de varios métodos que se pueden utilizar
para obtener el mecanismo de adaptación: método de Lyapunov, método de la
hiperestabilidad etc. En cualquier caso, los resultados obtenidos son semejantes,
en cuanto a la estabilidad del sistema se refiere [3.1].
El control de procesos por modelo de referencia consiste en diseñar un sistema
que modifique
el comportamiento natural de la planta con el objetivo que
se aproxime a la respuesta que tiene el modelo de referencia establecido.
En este esquema de control se supone que el diseñador tiene algún conocimiento
previo de las características dinámicas de la planta que le permitan definir
comportamiento
el
deseado del sistema por medio del modelo de referencia
adecuado para lograr la salida deseada. El modelo de referencia que se utiliza es
usualmente lineal y con ganancia unitaria. En este caso el modelo está en
paralelo con el sistema.
El regulador está formado por dos lazos: un lazo interno de realimentación
ordinaria compuesta por la planta y el controlador y un lazo externo que ajusta los
parámetros del regulador de tal forma que el error entre la salida de la planta
𝑦𝑝 (𝑘), y la referencia 𝑦𝑚 (𝑘) sea pequeño, convirtiendo al lazo externo en un lazo
regulador.
El problema clave es determinar un mecanismo de ajuste tal que el sistema sea
estable y lleve el error a cero.
Figura 3.3 Sistema de control con modelo de referencia.
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72
Sistemas de Control Avanzado
3.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling): El control por
ganancia programable se refiere a un sistema donde los parámetros del controlador
varían dependiendo de las condiciones de operación medidas [3.3].
En
algunos
sistemas
existen
variables auxiliares que describen bien las
características de la dinámica del proceso. Si estas variables, llamadas variables
de programación o de tabulación pueden ser medidas, estas variables pueden ser
usadas para estimar los parámetros del regulador, es decir se utilizan para
compensar los cambios en la ganancia del proceso. El ajuste de ganancia es
una compensación en lazo abierto y puede ser visto como un sistema con
control de realimentación en el cual el lazo de realimentación es ajustado
en compensación directa.
La variable programable para el cálculo de los parámetros del controlador puede ser
el set-point, la variable controlada ó una señal externa. Una vez seleccionadas las
variables, se calculan los parámetros del regulador para varios puntos de operación
o zonas de trabajo en base a una adecuada estrategia de control que puede ser
del tipo PID, Deadbeat, etc. La figura 3.4 representa un esquema del control con
ganancia programable.
Esta técnica de control asume que el sistema se puede representar mediante un
modelo parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de programación o
de tabulación “scheduling variables”, de modo que cuando estas variables asumen
un valor constante se obtiene un punto de equilibrio. En estos casos, se linealiza el
sistema en diferentes puntos de equilibrio de interés, con lo cual se obtiene una
familia de modelos lineales para la cual se diseña una familia de controladores
lineales. Luego, se implementa el esquema de control en un único controlador cuyos
parámetros se modifican según los valores que toman las variables de tabulación,
que deberán monitorearse continuamente.
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73
Sistemas de Control Avanzado
Parámetros del
Controlador
Controlador
SP
+
Punto de
Trabajo
Programación
Precalculada
Planta
Señal de
Control
-
Salida
Figura 3.4 Sistema de control con ganancia programable.
3.2.4 Modelos discretos para sistemas de control adaptativo
La figura 3.5 muestra cómo se pueden clasificar los modelos discretos de los
sistemas en el control adaptativo [3.4]
MODELOS DISCRETOS PARA
CONTROL ADAPTATIVO
MODELOS
NO PARAMÉTRICOS
Modelo de
Respuesta al
Impulso
Modelo de
Respuesta al
Escalon
MODELOS
PARAMÉTRICOS
Modelos de
Respuesta a la
Frecuencia
Modelo Mínimos
Cuadrados
(ARX)
Modelo
Entrada-Salida
Modelo
Variables de
Estado
Modelo
CARMA ó
ARMAX
Modelo
CARIMA ó
ARIMAX
Figura 3.5 Modelos discretos para sistemas de control adaptativo
3.2.5 Clasificación de los controladores discretos según la señal de control
Los sistemas de control, adaptativos y no adaptivos, se pueden clasificar en tres
grandes grupos, según la forma en que generan la señal de control, como se indica
en la tabla 3.1. Estos tipos de sistemas de control determinan los métodos de control
correspondientes que se han desarrollado para los diferentes grupos de
controladores. Por ejemplo, casi todos los enfoques estocásticos subóptimos han
aparecido como resultado de considerar problemas de control para sistemas de tipo
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74
Sistemas de Control Avanzado
I, los métodos de control predictivo se consideran los sistemas de tipo II y otros
controladores como los STR pertenecen al tipo III.
Tabla 3.1 Clasificación de los controladores discretos
TIPO
DESCRIPCIÓN DEL GRUPO
EJEMPLO
Generan una secuencia de control 𝑢(𝑘) … 𝑢(𝑁 −
I
1) o de leyes de control 𝑢𝑘 (ℑ𝑘 ) … 𝑢𝑁−1 (ℑ𝑁−1 ) . En
Sistemas de control
donde 𝐾 = [0,1 … 𝑁 − 1]. 𝑁 puede asumir valores
óptimo
[1, … , ∞]
En cada instante de muestreo generan una
secuencia de control 𝑢(𝑘) … 𝑢(𝑁 − 1) que optimiza
II
una función de costo, pero solo se aplica 𝑢(𝑘). En
donde 𝑘 = [0,1, … , ∞]. N puede tomar valores en
el intervalo: [1, … , ∞]
Controladores
Predictivos.
Si 𝑁 → ∞ coinciden
con los tipo I
En cada instante de muestreo se genera STR,
III
MVR,
MRAC
solamente la señal de control 𝑢(𝑘), en donde 𝑘 = APPC y Controladores
[0,1, … ∞]. No es necesario conocer las referencias tipo I de realimentación
futuras.
constante.
REFERENCIAS
[3.1] Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de
Sevilla.1996.
[3.2] Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall.1989
[3.3] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.
[3.4] Filatov, Nikolai M. Adaptive Dual Control. Theory and Applications. SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York. 2004
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75
Sistemas de Control Avanzado
4.
CONCEPTOS BÁSICOS DE
IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
En la actualidad la mayoría de las técnicas utilizadas en el diseño de sistemas de
control se basan en el modelo del proceso considerado, por lo que el modelado y la
identificación se convierten en etapas importantes en los diseños. Para satisfacer
las especificaciones de funcionamiento deseadas en un proceso, el sistema de
control debe garantizar la operación de este con un buen desempeño sobre un
rango amplio de condiciones de operación.
La identificación de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema
dinámico a partir de datos experimentales. Puede decirse que la identificación de
sistemas es la teoría y el arte de construir modelos matemáticos de sistemas
dinámicos basados en las entradas y salidas observadas. Como disciplina científica
data de los primeros intentos de modelar series de tiempo usando técnicas autoregresivas (AR). Aunque una parte sustancial del desarrollo de las técnicas está
ligado a la Comunidad de Control, está básicamente construida a partir de técnicas
estadísticas, en particular en los métodos de regresión lineal y no-lineal.
La figura 4.1 es una representación conceptual de un sistema dinámico. El sistema
es comandado por variables de entrada 𝑢(𝑡) y por perturbaciones 𝑣(𝑡). El usuario
puede controlar las variables de entrada 𝑢(𝑡), pero no las perturbaciones 𝑣(𝑡). Las
señales de salida 𝑦(𝑡) son variables que suministran información útil acerca del
sistema.
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76
Sistemas de Control Avanzado
Figura 4.1 Representación de un sistema dinámico.
4.1 TIPOS DE MODELOS
Los modelos de los sistemas dinámicos pueden ser de varias clases, incluyendo los
siguientes:

Modelos Mentales, Intuitivos o Verbales: éste es el tipo de modelo que se
forma por ejemplo cuando se maneja un carro (pisando el freno decrece la
velocidad, girando la cabrilla el carro voltea en determinada dirección, etc.)

Modelos Gráficos: En este caso el modelo del sistema está dado mediante una
gráfica. Un diagrama de Bode de un servo sistema es un ejemplo de un modelo
dado en forma gráfica. La respuesta de un sistema ante una entrada en escalón
es otro tipo de modelo gráfico.

Modelos Matemáticos: Son aquellos que describen el comportamiento del
sistema a partir de ecuaciones diferenciales (sistemas continuos) o de
ecuaciones en diferencias (sistemas discretos). Estos modelos son muy
utilizados para el análisis, predicción y diseño de sistemas dinámicos,
controladores y filtros.
Existen dos formas básicas para obtener el modelo de un sistema dinámico:

Matemáticamente: Es un método analítico en el cual se utilizan leyes físicas,
tales como las leyes de Newton y ecuaciones de balance para describir el
comportamiento dinámico de un fenómeno o de un proceso.

Identificación del Sistema: Es un método experimental en el cual se realizan
algunas pruebas sobre el sistema que permiten obtener los datos necesarios
para estimar el valor de los parámetros del modelo representativo del sistema.
4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN.
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77
Sistemas de Control Avanzado
La obtención de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las siguientes
etapas fundamentales: la recolección de datos, la selección del modelo y la
validación del modelo [4.1].
4.2.1 Recolección de datos: Los datos de entrada y salida se pueden obtener
mediante un experimento diseñado específicamente para la identificación del
sistema. En este caso, el usuario puede determinar que señales va a medir, cuándo
y cómo las va a medir y también puede escoger las señales de entrada. El objetivo
del diseño del experimento es entonces, seleccionar los datos que proporcionen la
máxima información posible. En otros casos, el usuario no tiene la posibilidad de
realizar el experimento pero puede utilizar los datos obtenidos a partir de la
operación normal del sistema y llevar a cabo con ellos la identificación del mismo.
4.2.2 Tratamiento previo de los datos obtenidos: Los datos registrados están
generalmente acompañados de ruidos indeseados u otro tipo de imperfecciones
que puede ser necesario corregir antes de iniciar la identificación del modelo. Se
trata, por tanto, de ‘filtrar’ los datos para facilitar y mejorar el proceso de
identificación.
4.2.3 La Selección del Modelo: Esta se realiza a partir de un grupo de modelos,
eligiendo el más adecuado y representativo del sistema. Este paso es sin duda, el
más importante y al mismo tiempo constituye la etapa más difícil en el procedimiento
de la identificación. Es acá en donde el conocimiento previo del sistema y el de las
características de cada modelo deben combinarse para obtener resultados
satisfactorios. Algunas veces el modelo apropiado sólo se obtiene después de un
cuidadoso proceso de modelado.
4.2.4 Estimación de parámetros: Una vez que se tiene la estructura del modelo y
los datos experimentales, el paso siguiente es encontrar los parámetros del modelo
que dan la respuesta más cercana a la experimental. Los métodos más comunes
de estimación de parámetros están basados en un enfoque de optimización, donde
el mejor conjunto de parámetros es aquél que hace que la respuesta del modelo
sea la más cercana a la real según un criterio o función de coste.
4.2.5 Validación del Modelo: La evaluación de la calidad del modelo se basa en
determinar cómo se desempeña el modelo cuando se trata de reproducir con él los
Luis Eduardo García Jaimes
78
Sistemas de Control Avanzado
datos obtenidos en la medición experimental. Un comportamiento deficiente del
modelo en este aspecto hace que el modelo sea rechazado, mientras que un buen
desempeño, proporcionará cierta confianza en el modelo.
Un modelo no se puede aceptar como la última y verdadera descripción del sistema;
por el contrario, es mejor mirarlo sólo como una descripción suficientemente buena
de ciertos aspectos que son de interés particular para un fin determinado. La figura
4.2 muestra un diagrama de flujo del proceso de identificación.
Conocimiento
inicial del Sistema
Adquisición
de los datos
Filtrado
de los datos
Selección
del Modelo
Criterios de
calculo
Datos
Cálculo del Modelo
Validación
del Modelo
Modelo no válido
revisar
Modelo válido
usar
Figura 4.2 Proceso para la identificación
4.3 TÉCNICAS DE IDENTIFICACIÓN
Pueden subdividirse en dos grandes clases:
4.3.1 Identificación fuera de línea (Off-Line): En este caso los datos son recogidos
tomando medidas durante la experimentación y, una vez terminada ésta, se
procesan para producir el modelo.
Entre la gran variedad de algoritmos de identificación fuera de línea posibles pueden
citarse los siguientes [4.2]:
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79
Sistemas de Control Avanzado
 Métodos no paramétricos: Estos métodos de identificación se caracterizan
porque los modelos resultantes son funciones o curvas y no pueden ser expresados
en función de un vector de parámetros de dimensión finita. Dentro de este grupo
pueden citarse:
o Análisis transitorio
o Análisis frecuencial
o Análisis de correlación
o Análisis espectral
 Métodos paramétricos: A diferencia del grupo anterior, los modelos resultantes
del proceso de identificación contienen la información relevante acerca de la
dinámica del proceso real en un vector de parámetros de dimensión finita. Pueden
destacarse los siguientes métodos:
o
Regresión lineal
o
Métodos de predicción del error
o

Mínimos cuadrados

Mínimos cuadrados generalizados
Métodos basados en la estimación de máxima verosimilitud de los
parámetros.
o
Métodos de variable instrumental
o
Métodos de identificación paramétrica basados en análisis frecuencial
4.3.2 Identificación en línea (On-Line): En este caso se emplea un algoritmo o
método de actualización de parámetros de tipo recursivo que procesa los datos tal
como son producidos por el sistema real. Este método se caracteriza por llevar a
cabo la adquisición de datos y el procesamiento de los mismos de forma simultánea
por tal razón esta técnica se emplea, principalmente, en control adaptativo y en
aplicaciones de tiempo real cuando la dinámica del proceso debe ser monitorizada
de forma continua. Entre ellos destacan:
o Método recursivo de mínimos cuadrados
o Método recursivo de predicción del error
o Método recursivo de la variable instrumental
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80
Sistemas de Control Avanzado
4.4 IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA
Algunas técnicas de diseño de sistemas de control, incluyendo el método del lugar
geométrico de las raíces y el de asignación de polos, requieren de un modelo
paramétrico del sistema. Este tipo de modelo es particularmente importante en
sistemas de control adaptativo, en los cuales, los parámetros de la planta deben ser
estimados en línea para calcular el controlador correspondiente. Para dar una idea
de la identificación paramétrica se consideran a continuación el método de mínimos
cuadrados no recursivo y el método de mínimos cuadrados recursivos.
4.4.1 Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo. Se
asume que la función de transferencia de pulso del modelo es de la forma [4.3]:
𝐺 (𝑧 −1 ) =
𝑌(𝑧 −1 )
𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2 + ⋯ 𝑏𝑛 𝑧 −𝑛
=
𝑈(𝑧 −1 ) 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + ⋯ 𝑎𝑛 𝑧 −𝑛
4.1
En donde 𝑈(𝑧) es la entrada e 𝑌(𝑧) es la salida.
El sistema dado por 4.1 queda descrito por la ecuación en diferencias:
𝑦(𝑘 ) = −𝑎1 𝑦(𝑘 − 1) − 𝑎2 𝑦(𝑘 − 2) … − 𝑎𝑛 𝑦(𝑘 − 𝑛) + 𝑏1 𝑢(𝑘 − 1) + 𝑏2 𝑢(𝑘 − 2)
+ ⋯ 𝑏𝑛 𝑢(𝑘 − 𝑛)
4.2
Este modelo se conoce como “MODELO ARMAX” (Auto Regressive Moving
Average) y en él se debe estimar el vector de parámetros dado por:
𝜃 = [𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ]𝑇
4.3
A partir de un conjunto de N pares de mediciones de entrada–salida del sistema:
{𝑢(0), 𝑦(0)} {𝑢(1), 𝑦(1)} {𝑢(2), 𝑦(2)} … {𝑢(𝑁), 𝑦(𝑁)} 4.4
Debido al error que se puede introducir en la medición, la ecuación 4.2 se puede
escribir en la forma:
𝑦(𝑘 ) = −𝑎1 𝑦(𝑘 − 1) − 𝑎2 𝑦(𝑘 − 2) … − 𝑎𝑛 𝑦(𝑘 − 𝑛) + 𝑏1 𝑢(𝑘 − 1) + 𝑏2 𝑢(𝑘 − 2)
+ ⋯ 𝑏𝑛 𝑢(𝑘 − 𝑛) + 𝑒(𝑘)
4.5
El primer error es función solamente de las mediciones conocidas. Entonces, para
periodos de muestreo 𝑛, 𝑛 + 1,···· 𝑁, se tendrá:
𝑦(𝑛) = 𝑓 𝑇 (𝑛)𝜃 + 𝑒(𝑛)
𝑦(𝑛 + 1) = 𝑓 𝑇 (𝑛 + 1)𝜃 + 𝑒(𝑛 + 1)
Luis Eduardo García Jaimes
81
Sistemas de Control Avanzado
⋯
⋯
⋯
𝑦 (𝑁 ) = 𝑓 𝑇 (𝑁 )𝜃 + 𝑒 (𝑁 )
4.6
En donde 𝜃 es el vector de parámetros definido en la ecuación 4.3 y:
𝑓 𝑇 (𝑘) = [−𝑦(𝑘 − 1) − 𝑦(𝑘 − 2) … − 𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2) … 𝑢(𝑘 − 𝑛)] 4.7
Para facilitar el tratamiento matemático, se definen las siguientes ecuaciones:
𝑦(𝑛)
(
)
𝑌 (𝑁) = [𝑦(𝑛) 𝑦(𝑛 + 1) … 𝑦(𝑁)]𝑇 = [𝑦 𝑛 + 1 ]
⋮
𝑦(𝑁)
𝑓 𝑇 (𝑛)
𝑇(
)
𝐹 (𝑁) = [𝑓 𝑇 (𝑛) 𝑓 𝑇 (𝑛 + 1) … 𝑓 𝑇 (𝑁)]𝑇 = 𝑓 𝑛 + 1
⋮
[ 𝑓 𝑇 (𝑁) ]
4.8
𝑒(𝑛)
(
)
𝑒(𝑁) = [𝑒(𝑛) 𝑒(𝑛 + 1) … 𝑒 (𝑁)]𝑇 = [𝑒 𝑛 + 1 ]
⋮
𝑒(𝑁)
𝜃 = [𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ]𝑇
Así, las ecuaciones dadas en 4.6 se pueden escribir en forma matricial cómo:
𝑌 (𝑁 ) = 𝐹 (𝑁 )𝜃 + 𝑒 (𝑁 )
En donde:
4.9
𝑌(𝑁) Es de orden (𝑁 − 𝑛 + 1) × 1.
𝐹(𝑁) Es de orden (𝑁 − 𝑛 + 1) × 2𝑛
𝑒(𝑁) Es de orden (𝑛 − 𝑛 + 1) × 1
𝜃 Es de orden 2𝑛 × 1
Al utilizar el método de mínimos cuadrados para estimar 𝑌(𝑁), el vector 𝜃 debe ser
tal que minimice la suma de los cuadrados del error, es decir, que minimice la
función:
𝑁
𝐽 (𝜃 ) = ∑ 𝑒 2 (𝑘 ) = 𝑒 𝑇 (𝑘 )𝑒 (𝑘 )
4.10
𝑘=𝑛
Si se despeja 𝑒(𝑁) de la ecuación 4.9 y se reemplaza en la ecuación 4.10 se
obtiene:
𝐽 ( 𝜃 ) = [𝑌 ( 𝑁 ) − 𝐹 ( 𝑁 ) 𝜃 ] 𝑇 [ 𝑌 ( 𝑁 ) − 𝐹 ( 𝑁 ) 𝜃 ]
4.11
𝐽(𝜃 ) = 𝑌 𝑇 (𝑁)𝑌 (𝑁) − 𝑌 𝑇 (𝑁)𝐹 (𝑁)𝜃 − 𝜃 𝑇 𝐹 𝑇 (𝑁)𝑌 (𝑁) + 𝜃 𝑇 𝐹 𝑇 (𝑁)𝐹(𝑁)𝜃
Luis Eduardo García Jaimes
82
Sistemas de Control Avanzado
𝐽(𝜃 ) = 𝑌 𝑇 (𝑁)𝑌 (𝑁) − 2𝜃 𝑇 𝐹 𝑇 (𝑁)𝑌 (𝑁) + 𝜃 𝑇 𝐹 𝑇 (𝑁)𝐹 (𝑁)𝜃 4.12
El valor de 𝜃 que minimiza a 𝐽(𝜃) debe cumplir con la ecuación:
𝜕[𝐽(𝜃 )]
= −2𝐹 𝑇 (𝑁)𝑌(𝑁) + 2𝐹 𝑇 (𝑁)𝐹 (𝑁)𝜃 = 0
𝜕𝜃
Es decir:
2𝐹 𝑇 (𝑁)𝑌(𝑁) = 2𝐹 𝑇 (𝑁)𝐹 (𝑁)𝜃
Por lo tanto, el valor estimado de 𝜃 es:
𝜃̂ = [𝐹 𝑇 (𝑁)𝐹 (𝑁)]−1 [𝐹 𝑇 (𝑁)𝑌 (𝑁)]
4.13
EJEMPLO 4.1
Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de
control ante una entrada en escalón unitario. Obtener, a partir de ellos, un modelo
de segundo orden que describa la dinámica del sistema.
K
0
1
2
3
4
5
u(k)
0
1
1
1
1
1
y(k)
0
0.73
1.26
1.55
1.73
1.84
SOLUCIÓN: El modelo pedido es:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌 (𝑧 1 )
𝑏1 + 𝑏2 𝑧
=
𝑈(𝑧 1 ) 𝑧 2 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2
El vector de parámetros a estimar es: 𝜃 = [𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 ]𝑇
Para ello se utiliza la ecuación: 𝜃̂ = [𝐹 𝑇 (𝑁)𝐹 (𝑁)]−1 [𝐹 𝑇 (𝑁)𝑌 (𝑁)]
El número de pares de medidas es: 𝑁 + 1 = 6 Entonces:
Orden de 𝐹(𝑁): (𝑁 − 𝑛 + 1) × 2𝑛 = 4 × 4
Orden de 𝑌(𝑁): (𝑁 − 𝑛 + 1) × 1 = 4 × 1
−𝑦(1)
−𝑦(2)
𝐹 (𝑁 ) = [
−𝑦(3)
−𝑦(4)
−𝑦(0)
−𝑦(1)
−𝑦(2)
−𝑦(3)
𝑢(1)
𝑢(2)
𝑢(3)
𝑢(4)
𝑢(0)
−0.73
0
1
𝑢(1)
−1.26 −0.73 1
]=[
𝑢(2)
−1.55 −1.26 1
−1.73 −1.55 1
𝑢(3)
0
1
]
1
1
𝑌 (𝑁) = [𝑦(2) 𝑦(3) 𝑦(4) 𝑦(5)]𝑇 = [1.26 1.55 1.73 1.84]𝑇
Luis Eduardo García Jaimes
83
Sistemas de Control Avanzado
−0.73−1.26−1.55−1.73 −0.73
0 −0.73−1.26−1.55 −1.26
][
𝐹 𝑇 (𝑁 )𝐹 (𝑁 ) = [
−1.55
1
1
1
1
−1.73
0
1
1
1
0
−0.73
−1.26
−1.55
1
1
1
1
0
1
]
1
1
7.5159 5.5543 −5.27 −4.54
5.5543 4.5230 −3.54 −3.54
]
𝐹 𝑇 (𝑁 ) 𝐹 (𝑁 ) = [
−5.270 −3.540 4.00
3.00
−4.540 −3.540 3.00
3.00
−0.73−1.26−1.55−1.73 1.26
−8.7375
0
−0.73−1.26−1.55
1.55
−6.1633
][
]=[
]
𝐹 𝑇 (𝑁 )𝑌 (𝑁 ) = [
1.73
1
1
1
1
6.3800
1.84
0
1
1
1
5.1200
Con los resultados anteriores se obtiene:
7.5159
5.5543
𝜃=[
−5.270
−4.540
5.5543
4.5230
−3.540
−3.540
𝜃 = [−0.5398
−5.27
−3.54
4.00
3.00
−0.0442
−4.54
−3.54
]
3.00
3.00
0.8659
−1
−8.7375
−6.1633
[
]
6.3800
5.1200
−0.0284]𝑇
El modelo estimado es, entonces:
𝐺 (𝑍 ) =
𝑧2
0.8659𝑧 − 0.0284
− 0.5398𝑧 − 0.0442
La figura 4.3 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los
datos estimados, éstos últimos se dan como una función en línea continua.
Figura 4.3 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)
4.4.2 Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos: En el
método no recursivo, el vector de parámetros 𝜃 se calcula utilizando toda la
información disponible, siendo esta pequeña en los primeros instantes, pero
aumenta a medida que transcurre el tiempo, lo que genera un alto costo
Luis Eduardo García Jaimes
84
Sistemas de Control Avanzado
computacional al procesar la información. En el método recursivo el vector de
parámetros 𝜃 , se calcula a partir de los resultados obtenidos en el instante anterior
(𝑁 − 1) y de los datos de entrada y salida actuales (instante 𝑁).
Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable,
linealizable y con una sola entrada y una salida por lo que puede ser descrito por
una ecuación en diferencias lineal de la forma:
𝑦(𝑘 ) = −𝑎1 𝑦(𝑘 − 1) − 𝑎2 𝑦(𝑘 − 2) … − 𝑎𝑛 𝑦(𝑘 − 𝑛) + 𝑏1 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 1)
+ 𝑏2 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 2) + ⋯ 𝑏𝑛 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 𝑛) + 𝑒(𝑘)
4.14
La ecuación 4.14 se puede escribir en forma vectorial así:
𝑦 (𝑘 ) = 𝜑 𝑇 (𝑘 )𝜃 + 𝑒 (𝑘 )
4.15
En donde:
𝜑 𝑇 (𝑘) = [−𝑦(𝑘 − 1) − 𝑦(𝑘 − 2) … − 𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 1) 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 2) … 𝑢(𝑘 − 𝑑 − 𝑛)]
𝜃 = [𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ]𝑇
El procedimiento para la identificación es el siguiente [4.3]:
1. Seleccionar 𝜃(𝑘 ) = [𝟎]𝑇 y 𝑃 (𝑘 ) = 𝛼𝐼.
1000 ≤ 𝛼 ≤ 10000
2. Conformar el vector: 𝜑 𝑇 (𝑘 + 1)
3. Calcular 𝐿(𝑘 + 1) mediante la ecuación:
𝐿(𝑘 + 1) =
𝑃 (𝑘 )𝜑(𝑘 + 1)
𝜆 + 𝜑 𝑇 (𝑘 + 1)𝑃(𝑘 )𝜑(𝑘 + 1)
4. Obtener los nuevos valores de 𝑦(𝑘 + 1) y de 𝑢(𝑘 + 1)
5. Calcular el error en la estimación:
𝑒(𝑘 + 1) = 𝑦(𝑘 + 1) − 𝜑 𝑇 (𝑘 + 1)𝜃 (𝑘 )
6. Calcular los nuevos parámetros estimados:
𝜃(𝑘 + 1) = 𝜃(𝑘 ) + 𝐿(𝑘 + 1)𝑒(𝑘 + 1)
7. Actualizar la matriz de covarianza:
𝑃(𝑘 + 1) =
1
[𝐼 − 𝐿(𝑘 + 1)𝜑 𝑇 (𝑘 + 1)]𝑃(𝑘 )
𝜆
8. Actualizar el vector de medidas: 𝜑(𝑘 + 2)
9. Hacer 𝑘 = 𝑘 + 1 y regresar al paso 3.
En donde:
Luis Eduardo García Jaimes
85
Sistemas de Control Avanzado
𝜆: Es el factor de olvido. Este factor se introduce para que las últimas medidas
tengan más peso que las antiguas. Si 𝜆 = 1, se tiene el algoritmo de mínimos
cuadrados normal, mientras que si 𝜆 < 1 el algoritmo “olvida” las medidas más
antiguas. Para casos prácticos se sugiere tomar 0.95 ≤ 𝜆 ≤ 1.
𝑃(𝐾 + 1): Es la matriz de covarianza. Esta matriz puede interpretarse como un factor
de ganancia que determina el cambio en la identificación.
𝐿(𝐾 + 1): Es el factor de corrección del error en la estimación
EJEMPLO 4.2
Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de
control a un escalón unitario. Obtener a partir de ellos, un modelo de segundo orden
que describa la dinámica del sistema. Asumir 𝜆 = 1 y utilizar mínimos cuadrados
recursivos.
K
0
1
2
3
4
5
6
u(k)
0
1
1
1
1
1
1
y(k)
0
0.73
1.26
1.55
1.73
1.84
1.91
SOLUCIÓN: el modelo pedido es:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑏1 + 𝑏2 𝑧
𝑧 2 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2
El vector a estimar es: 𝜃 = [𝑎1 𝑎2 𝑏1 𝑏2 ]𝑇
Orden de 𝑃(𝑘 ) es: 2𝑛 × 2𝑛 = 4 × 4
El orden de 𝜑 𝑇 (𝑘) es: 1 × 2𝑛 = 1 × 4
1. Se toma: 𝜃(𝑘 ) = 𝜃(1) = [0 0 0 0]𝑇 y :
1000
0
𝑃(𝑘 ) = 𝑃 (1) = [
0
0
0
1000
0
0
0
0
1000
0
0
0
]
0
1000
2. Se conforma el vector: 𝜑 𝑇 (𝑘 + 1) = 𝜑 𝑇 (𝑛). Con 𝑛 = 2 resulta:
𝜑 𝑇 (2) = [−𝑦(1) − 𝑦(0) 𝑢(1) 𝑢(0)] = [−0.73
Luis Eduardo García Jaimes
0 1 0]
86
Sistemas de Control Avanzado
3. Calcular 𝐿(𝑘 + 1):
−0.4759
𝑃(1)𝜑(2)
0
]
𝐿(2) =
=[
0.6519
1 + 𝜑 𝑇 (2)𝑃(1)𝜑(2)
0
Nuevos valores de 𝑦(𝑘) y de 𝑢(𝑘) :
𝑦(𝑘 + 1) = 𝑦(2) = 1.26
𝑢(𝑘 + 1) = 𝑢(2) = 1
4. Calcular el error: 𝑒(𝑘 + 1)
𝑒(𝑘 + 1) = 𝑒 (2) = 𝑦(2) − 𝜑 𝑇 (2)𝜃 (1) = 1.26
5. Calcular los nuevos parámetros estimados 𝜃(𝑘 + 1)
−0.5996
0
]
𝜃(2) = 𝜃 (1) + 𝐿(2)𝑒 (2) = [
0.8214
0
6. Actualizar la matriz de covarianza:
652.584
1
0
𝑃(2) = [𝐼 − 𝐿(2)𝜑 𝑇 (2)]𝑃 (1) = [
475.911
𝜆
0
0 475.911
1
0
0 348.067
0
0
0
0
]
0
1000
7. Actualizar el vector de medidas: 𝜑 𝑇 (2)
𝜑 𝑇 (3) = [−𝑦(2) − 𝑦(1) 𝑢(2) 𝑢(1)] = [−1.26 −0.73 1
1]
−0.2015
𝑃(2)𝜑(3)
−0.4247
]
𝐿(3) =
=[
𝑇
−0.1463
1 + 𝜑 (3)𝑃(2)𝜑(2)
0.5818
Nuevos valores de 𝑦(𝑘) y de 𝑢(𝑘):
𝑦(3) = 1.55 𝑢(3) = 1
𝑒(3) = 𝑦(3) − 𝜑 𝑇 (3)𝜃 (2) = −0.027
−0.5942
0.0114
]
𝜃(3) = 𝜃 (2) + 𝐿(3)𝑒(3) = [
0.8253
−0.0157
582.791 −147.105 425.213
1
−147.105
689.942 −106.855
𝑃(3) = [𝐼 − 𝐿(3)𝜑 𝑇 (3)]𝑃(2) = [
425.213 −106.855 311.241
𝜆
201.514
424.735
146.377
Luis Eduardo García Jaimes
201.514
424.735
]
146.377
418.169
87
Sistemas de Control Avanzado
𝜑 𝑇 (4) = [−𝑦(3)
−𝑦(2)
𝑢(3)
𝑢(2)] = [−1.55
−1.26
1 1]
−0.4558
𝑃(3)𝜑(4)
−1.6158
]
𝐿(4) =
=[
−0.3338
1 + 𝜑 𝑇 (4)𝑃(3)𝜑(4)
−1.4136
𝑦(4) = 1.73
Nuevos valores de 𝑦(𝑘) y de 𝑢(𝑘):
𝑢(4) = 1
𝑒(4) = 𝑦(4) − 𝜑 𝑇 (4)𝜃(3) = 0.01373
−0.6004
−0.0107
]
𝜃 (4) = 𝜃 (3) + 𝐿(4)𝑒(4) = [
0.8207
−0.0351
541.197
1
−294.543
𝑃(4) = [𝐼 − 𝐿(4)𝜑 𝑇 (4)]𝑃(3) = [
394.751
𝜆
72.523
𝜑 𝑇 (5) = [−𝑦(4)
−𝑦(3)
𝑢(4)
−294.543 394.751
167.324 −214.834
−214.834 288.931
−32.495
51.908
𝑢(3)] = [−1.73
72.523
−32.495
]
51.908
18.145
−1.55 1
1]
−0.4558
𝑃(4)𝜑(5)
−1.6158
]
𝐿(5) =
=[
𝑇
−0.3338
1 + 𝜑 (5)𝑃(4)𝜑(5)
−1.4136
𝑦(5) = 1.84
Nuevos valores de 𝑦(𝑘) y de 𝑢(𝑘):
𝑢(5) = 1
𝑒(5) = 𝑦(5) − 𝜑 𝑇 (5)𝜃 (4) = −0.00113
−0.5969
−0.0115
]
𝜃(5) = 𝜃 (4) + 𝐿(5)𝑒 (5) = [
0.8233
−0.0336
501.954 −285.475
1
−285.475
165.228
𝑃(5) = [𝐼 − 𝐿(5)𝜑 𝑇 (5)]𝑃(4) = [
366.120 −208.217
𝜆
56.630
−28.822
𝜑 𝑇 (6) = [−𝑦(5)
−𝑦(4)
𝑢(5)
366.120
−208.217
268.040
40.311
𝑢(4)] = [−1.84
−1.73
56.630
−28.822
]
40.311
11.707
1 1]
−3.0346
𝑃 (5)𝜑(6)
1.0386
]
𝐿(6) =
=[
𝑇
(
)
(
)
−2.2140
1 + 𝜑 6 𝑃 5 𝜑(6)
−1.0074
Nuevos valores de 𝑦(𝑘) y de 𝑢(𝑘):
Luis Eduardo García Jaimes
𝑦(6) = 1.91
𝑢(6) = 1
88
Sistemas de Control Avanzado
𝑒(6) = 𝑦(6) − 𝜑 𝑇 (6)𝜃 (5) = 0.00197
−0.6029
−0.0095
]
𝜃 (6) = 𝜃 (5) + 𝐿(6)𝑒(6) = [
0.8190
−0.0356
El modelo del sistema es:
𝐺 (𝑧 ) =
0.819𝑧 − 0.03567
𝑧 2 − 0.6029𝑧 − 0.00951
A continuación se presenta un programa en Matlab para identificación recursiva
con modelo de orden n.
clc,clear all,close all
u=[ones(1,20) 2*ones(1,20) ones(1,20)]'; % Se crea base de datos para sistema
y=dlsim([1.5 0.02],[1 -0.97 0.3],u)+0.05*wgn(60,1,1); %Respuesta del sistema
%Nota: reemplazar las líneas anteriores para cargar cualquier archivo de base de
%datos
n=input('Entre el orden del sistema: n = ');
lam=input('Entre el factor de olvido: lamda = ');
alfa=input('Entre el factor alfa de la matriz de covarianzas: alfa = ');
th=zeros(2*n,1); % Parámetros iniciales [0 0 0 0]
I=eye(2*n);
P=alfa*I; % Matriz de Covarianza
nmuestras=length(y); %Tamaño de los datos o número de muestras
Fi=zeros(2*n,1); % Inicialización del vector de regresión
for k=2:nmuestras % Algunos autores recomiendan desde k=n+1
Fi=[-y(k-1);Fi(1:n-1);u(k-1);Fi(n+1:end-1)]; % Actualización del vector de
%regresión
L=(P*Fi)/(lam+Fi'*P*Fi); % Cálculo de L(k+1)
e=y(k)-(Fi)'*th;
th=th+L*e;
% Cálculo del error de estimación e(k+1)
% Cálculo de los nuevos parámetros estimados th(k+1)
P=(1/lam)*(I-L*Fi')*P; % Se actualiza la matriz de covarianza P(k+1)
Luis Eduardo García Jaimes
89
Sistemas de Control Avanzado
if any(isnan(th)) % En caso de explosión del algoritmo
error('Se ha producido explosión en el algoritmo de identificación.');
end
end
B=th(n+1:end)'; % Se construye el numerador
A=[1 th(1:n)']; % Se construye el denominador
printsys(B,A,'z')
y1=dlsim(B,A,u); % Se simula el sistema estimado
tk=1:nmuestras; plot(tk,y1,tk,y);
xlabel('Instantes de tiempo (k)'),ylabel('Amplitud')
ylim([min([u;y]) max([u;y])]),legend('Sistema estimado','Datos reales',4),
%
En la tabla adjunta se presenta una comparación entre los valores de la salida real
del sistema y los de la salida estimada para diferentes instantes de muestreo.
𝑘
0
1
2
3
4
5
6
𝑦(𝑘)
0.0
0.73
1.26
1.55
1.73
1.84
1.91
𝑦(𝑒𝑠𝑡)
0.0
0.819
1.277
1.561
1.736
1.845
1.912
La figura 4.4 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los
estimados, éstos últimos se presentan como una función en línea continua.
Obsérvese la correspondencia entre los valores reales y los valores estimados.
Figura 4.4 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)
Luis Eduardo García Jaimes
90
Sistemas de Control Avanzado
4.5 IDENTIFICACIÓN NO PARAMÉTRICA
En el desarrollo de esta sección se aplica método el análisis transitorio y se utiliza
como modelo el correspondiente a la respuesta del sistema ante una entrada en
escalón.
4.5.1 Modelo: Planta de primer orden con retardo (Modelo POR). La función de
transferencia correspondiente a este tipo de planta está dada por:
′
𝑌(𝑆) 𝐾𝑒 −𝜃 𝑆
𝐺 (𝑆 ) =
=
𝑈(𝑆) 𝜏𝑆 + 1
4.16
En donde 𝐾 =ganancia de la planta, 𝜏 =constante de tiempo, 𝜃 ′ =retardo o tiempo
muerto, 𝑦(𝑡) es la salida del sistema y 𝑢(𝑡) es la entrada.
El procedimiento experimental para estimar el modelo consiste en abrir el lazo de
control (llevando el controlador a manual) antes del elemento final de control y crear
un pequeño y rápido cambio en escalón en el proceso. La respuesta del sistema se
gráfica y sobre la curva obtenida se hace el análisis para estimar los valores de la
ganancia (𝐾), de la constante de tiempo (𝜏) y el de el retardo (𝜃 ′) del proceso. Para
lograr lo anterior se procede así:
Se determina el punto de operación del proceso y se aplica al sistema en lazo
abierto, un cambio en escalón de magnitud apropiada (ver figura 4.5). Esta
operación se debe realizar varias veces cubriendo toda la zona lineal del proceso,
luego se promedian los valores obteniendo así una información confiable.
U(S)
R(S)
+
Controlador
Válvula
Proceso
Y(S)
-
Figura 4.5 Forma de aplicar el escalón para obtener la curva de reacción
En las curvas obtenidas como respuesta, se eligen dos puntos representativos. Por
lo general, estos puntos son aquellos para los cuales la respuesta alcanza el 28.3%
Luis Eduardo García Jaimes
91
Sistemas de Control Avanzado
y el 63.2% de su valor final, estos puntos se presentan cuando los tiempos
transcurridos a partir del momento de la aplicación del escalón, al elemento final de
control, son respectivamente 𝜃 ′ + 𝜏⁄3 y 𝜃 ´ + 𝜏 (ver figura 4.6).
Con los datos obtenidos de la gráfica se plantean las siguientes ecuaciones:
𝜏
= 𝑡1
3
4.17
𝜃 ′ + 𝜏 = 𝑡2
4.18
𝜃′ +
Los valores de 𝑡1 y de 𝑡2 se calculan directamente de las cartas que dan las gráficas
o de la base de datos obtenida. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 4.17
y 4.18 se estiman los valores de 𝜃 ′ y 𝜏
Si al resolver las ecuaciones el valor de 𝜃 ′ es negativo, se asume que el sistema no
tiene retardo es decir, se hace 𝜃 ′ = 0 y por lo tanto 𝜏 = 𝑡2 .
El valor de la ganancia 𝐾 se obtiene mediante el cociente Δ𝑌⁄Δ𝑈 que se interpreta
como el cociente entre el cambio de la variable de salida y el cambio en la variable
de entrada (valor del escalón de entrada).
𝐾=
Δ𝑌
Δ𝑈
4.19
El modelo de la planta se obtiene reemplazando los valores de 𝐾, 𝜏 y 𝜃 ′ en la
ecuación 4.16
y(t)
63.2%
ΔY
28.3%
t1
t2
t
u(t)
ΔU
t
Figura 4.6 Curva de reacción para el modelo POR
Luis Eduardo García Jaimes
92
Sistemas de Control Avanzado
4.5.2 Modelo: Planta de segundo orden con retardo (Modelo SOR). La función
de transferencia correspondiente a una planta de segundo orden con retardo está
dada por:
′
𝐾𝑤𝑛2 𝑒 −𝜃 𝑆
𝐺𝑝 (𝑆) = 2
𝑆 + 2𝜉𝑤𝑛 𝑆 + 𝑤𝑛2
𝜉<1
4.20
𝜉≥1
4.21
′
𝐾𝑒 −𝜃 𝑆
𝐺𝑝 (𝑆) =
(𝜏1𝑆 + 1)(𝜏2 𝑆 + 1)
En donde:
𝜏1,2 =
Siendo:
𝜉 ± √𝜉 2 − 1
𝑤𝑛
𝐾=
ΔY
ΔU
𝐾 =Ganancia de la planta.
𝑤𝑛 =Frecuencia natural.
𝜉 = Coeficiente de amortiguamiento.
𝜃 ′ = Tiempo muerto de la planta.
𝜏1 𝑦 𝜏2 =Constantes de tiempo.
El procedimiento experimental para estimar el modelo consiste en obtener la curva
de reacción o la base de datos del proceso a partir de la aplicación de escalones
dentro de la zona de trabajo como se indicó anteriormente.
En la curva obtenida o en la base datos se eligen tres puntos representativos. Estos
puntos corresponden a aquellos para los cuales la respuesta del sistema ha
alcanzado el 15%, el 45% y el 75% del valor total del cambio experimentado por el
sistema ante la aplicación del escalón, como se indica en la figura 4.7.
Luis Eduardo García Jaimes
93
Sistemas de Control Avanzado
y(t)
75%
ΔY
45%
15%
t1
t2
t3
t
u(t)
ΔU
t
Figura 4.7 Curva de reacción para modelo SOR
De la figura 4.7 se obtienen los siguientes parámetros:
Δ𝑌 =Cambio total en la salida de la planta.
Δ𝑈 =Magnitud del escalón aplicado.
𝑡1 =Tiempo requerido para que la respuesta alcance el 15% del cambio total.
𝑡2 =Tiempo requerido para que la respuesta alcance el 45% del cambio total.
𝑡3 =Tiempo requerido para que la respuesta alcance el 75% del cambio total.
Con los valores estimados a partir de la curva de respuesta, para ∆𝑌, ∆𝑈, 𝑡1, 𝑡2 y
𝑡3 , se calculan los parámetros del modelo experimental de la planta utilizando las
siguientes ecuaciones:
𝑥=
𝑡2 − 𝑡1
𝑡3 − 𝑡1
4.22
𝜉=
0.0805 − 5.547(0.475 − 𝑥)2
𝑥 − 0.356
4.23
2.6𝜉 − 0.6
𝐹2 (𝜉 ) = {
0.708(2.811)𝜉
𝑤𝑛 =
𝐹2 (𝜉)
𝑡2 − 𝑡1
𝐹3 (𝜉 ) = 0.922(1.66)𝜉
Luis Eduardo García Jaimes
𝜉≥1
𝜉<1
4.24
4.25
4.26
94
Sistemas de Control Avanzado
𝜃 ′ = 𝑡2 −
𝐹3 (𝜉 )
𝑤𝑛
4.27
Si al aplicar la ecuación 4.27 se obtiene un valor negativo para 𝜃 ′, se asume que el
modelo de la planta no tiene retardo. Los valores de los parámetros estimados con
las ecuaciones 4.23, 4.25 y 4.27 se reemplazan en la ecuación 4.20 o en la
ecuación 4.21 y así se obtiene el modelo experimental de la planta.
EJEMPLO 4.3
La figura 5.6 muestra la respuesta de la presión de un tanque ante una entrada en
escalón aplicada en el elemento final de control. a) Aproxime la dinámica del
sistema a un modelo de primer orden con retardo. b) Aproxime la dinámica del
sistema a un modelo de segundo orden con retardo.
SOLUCIÓN: De la figura 4.8 se obtiene:
Cambio total en la señal de entrada: Δ𝑈 = 14% − 9% = 5%
Cambio total en la señal de salida: Δ𝑌 = 17.5% − 10% = 7.5%
Los tiempos se miden a partir de la aplicación del escalón, en este caso a partir de
𝑡 = 10 𝑠.
a) Para aproximar el modelo a un sistema de primer orden con retardo (𝑃𝑂𝑅):
El 28.3% del cambio en la salida corresponde a: 10% + 0.283 ∗ 7.5% = 12.12%
El 63.2% del cambio en la salida corresponde a: 10% + 0.632 ∗ 7.5% = 14.74%
Con los valores anteriores se obtiene (ver figura 4.8):
Tiempo para alcanzar el 28.3% del cambio total: 𝑡1 = 9 𝑠.
Tiempo para alcanzar el 63.2% del cambio total: 𝑡2 = 19 𝑠.
Luis Eduardo García Jaimes
95
Sistemas de Control Avanzado
18
17
16
15
P [%]
14
13
12
11
10
9
8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t [sec]
Figura 4.8 Respuesta del sistema para el ejemplo 5.1
Utilizando las ecuaciones 4.17 y 4.18 resulta:
𝜃′ +
𝜏
=9
3
𝜃 ′ + 𝜏 = 19
Es decir: 𝜏 = 15 𝑠 y 𝜃 ′ = 4 𝑠.
La ganancia del sistema se estima con la ecuación 4.19:
𝐾=
ΔY 7.5%
=
= 1.5
ΔU
5%
Entonces, el modelo 𝑃𝑂𝑅 para el sistema es:
′
𝐾𝑒 −𝜃 𝑆 1.5𝑒 −4𝑆
𝐺𝑝 (𝑆) =
=
𝜏𝑆 + 1 15𝑆 + 1
b) Para aproximar el modelo a un sistema de segundo orden con retardo (𝑆𝑂𝑅):
El 15% del cambio total en la salida corresponde a: 10% + 0.15 ∗ 7.5% = 11.12%
El 45% del cambio total en la salida corresponde a: 10% + 0.45 ∗ 7.5% = 13.37%
El 75% del cambio total en la salida corresponde a: 10% + 0.75 ∗ 7.5% = 15.62%
Con los valores anteriores se obtiene (ver figura 4.8):
Tiempo para alcanzar el 15% del cambio total: 𝑡1 = 6.7 𝑠.
Tiempo para alcanzar el 45% del cambio total: 𝑡2 = 14.3 𝑠.
Tiempo para alcanzar el 75% del cambio total: 𝑡2 = 24.9 𝑠.
Luis Eduardo García Jaimes
96
Sistemas de Control Avanzado
Utilizando las ecuaciones 4.22 a 4.27 se obtiene:
𝑥=
𝜉=
𝑡2 − 𝑡1 14.3 − 6.7
=
= 0.417
𝑡3 − 𝑡1 24.9 − 6.7
0.0805 − 5.547(0.475 − 0.417)2
= 1.013
0.417 − 0.356
𝐹2 (𝜉 ) = 2.6 ∗ 1.013 − 0.6 = 2.033
𝑤𝑛 =
2.033
= 0.1117
24.9 − 6.7
𝐹3 (𝜉 ) = 0.922(1.66)1.013 = 1.54
𝜃 ′ = 14.3 −
1.54
= 0.513
0.1117
Entonces el modelo 𝑆𝑂𝑅 para el sistema es:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝐺𝑝 𝑆) =
1.5(0.1117)2 𝑒 −0.513𝑆
𝑆 2 + 2(1.013)(0.1117)𝑆 + 0.11172
0.01871𝑒 −0.513𝑆
1.5𝑒 −0.513𝑆
=
𝑆 2 + 0.2263𝑆 + 0.01247 (10.53𝑆 + 1)(7.63𝑆 + 1)
La figura 4.9 muestra las respuestas de los modelos estimados 𝑃𝑂𝑅 y 𝑆𝑂𝑅 ante una
entrada en escalón similar a la aplicada al sistema bajo prueba. Se observa que los
dos modelos reproducen con buena exactitud los datos del sistema original.
18
17
16
15
P [%]
14
13
12
11
10
u(t)
POR
SOR
9
8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t [sec]
Figura 4.9 Respuesta de los modelos estimados
Luis Eduardo García Jaimes
97
Sistemas de Control Avanzado
PROBLEMAS PROPUESTOS
4.1 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta en grados
centígrados de la temperatura del agua de un intercambiador de calor al variar la
apertura de la válvula de control del flujo de vapor del 30% al 40%.
La temperatura se midió con un termómetro calibrado de 0 ºC a 100 ºC. Aproxime
la dinámica del intercambiador a un sistema de segundo orden utilizando el método
de: a) Mínimos cuadrados no recursivos b) Mínimos cuadrados recursivos. c) Valide
el modelo obtenido en cada caso
NOTA: Es necesario trasladar los datos y expresar la temperatura en %
t (seg)
0
30
60
90
120
150
180
% Ap Válv
30
40
40
40
40
40
40
Temp (ºC) 20.0 45.9 56.9 61.5 63.5 64.4 64.6
4.2 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta en PSI, del
cambio de presión en un tanque al variar la apertura de la válvula de suministro de
aire del 45% al 55%. Utilice el método de mínimos cuadrados a) No recursivos b)
Recursivos y obtenga un modelo de segundo orden que describa adecuadamente
la dinámica del tanque. La presión del tanque se mide con un manómetro calibrado
de 0 a 15 PSI.
NOTA: Es necesario trasladar los datos y expresar la presión en %
t (min)
0
2
4
6
8
10
12
% Ap Válv
45
55
55
55
55
55
55
P (PSI)
4.0 7.30 8.78 9.45 9.75 9.89 9.95
4.3 A un sistema de primer orden con función de transferencia discreta de la
forma:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌 (𝑧 )
𝑏
=
𝑈(𝑧) 𝑧 − 𝑎
Se le aplicaron las siguientes secuencias de entrada:
a) Entrada: 𝑢(𝑘) = {1,0,1,0,1,0,0,0,0 … 0}
Luis Eduardo García Jaimes
98
Sistemas de Control Avanzado
b) Entrada: 𝑢(𝑘 ) = {1,0,1,0,1,1,1,1,1 … 1}
Las salidas 𝑦(𝑘) obtenidas para cada secuencia se muestran en las tablas que se
dan a continuación:
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
30
Entrada a)
Entrada b)
u(k) y(k)
K u(k) y(k)
1
0.0000 0
1
0.0000
0
0.5000 1
0
0.5000
1
0.2500 2
1
0.2500
0
0.6250 3
0
0.6250
1
0.3125 4
1
0.3125
0
0.6562 5
1
0.6562
0
0.3281 6
1
0.8281
0
0.1641 7
1
0.9141
0
0.0820 8
1
0.9570
0
0.0410 9
1
0.9785
0
0.0205 10
1
0.9893
…
…
…
…
…
0
0.0000 30
1
1.0000
Utilizando el método de mínimos cuadrados no recursivos y el método de mínimos
cuadrados recursivos, a) Obtenga para cada entrada, los valores de los parámetros
𝑎 y 𝑏 del modelo. b) Utilizando las mismas secuencias de entrada valide los modelos
obtenidos mediante simulación en MATLAB.
4.4 A un sistema de segundo orden con función de transferencia discreta de la
forma:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧)
𝑏1 𝑧 + 𝑏2
= 2
𝑈(𝑧) 𝑧 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2
Se le aplicó la secuencia de entrada: 𝑢(𝑘 ) = {1,0,1,0,1,1,1,1,1 … 1}, los datos de la
salida del sistema se dan en la tabla adjunta:
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
u(K)
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
y(K)
0.000
1.000
1.100
1.320
0.918
1.102
1.8491
2.2348
2.2122
2.0675
1.9884
2.0270
Luis Eduardo García Jaimes
99
Sistemas de Control Avanzado
Utilizando el método de mínimos cuadrados no recursivos y el de mínimos
cuadrados recursivos, a) Obtenga los valores de los parámetros 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖 del modelo.
b) Utilizando la misma secuencia de entrada valide el modelo obtenido mediante
simulación en MATLAB.
4.5 Al sistema de control discreto definido por la función de transferencia:
𝐺 (𝑧 ) =
𝑌(𝑧)
0.5𝑧 + 0.4
=
𝑈(𝑧) (𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)
𝑇 = 0.1 𝑠.
Se le aplica la secuencia de entrada: 𝑢(𝐾 ) = [0 1 1
0 1 1 0]. a) Obtenga
la respuesta del sistema a dicha secuencia. b) Grafique la salida y(k).
4.6 Para modelar la respuesta de la temperatura de una torre de destilación se
implementó el sistema que se muestra en la figura 4.10a. Se utilizaron elementos
continuos para la toma de datos y los resultados obtenidos se muestran en la figura
4.10b. a) Aproxime la dinámica de la torre a un modelo 𝑃𝑂𝑅. b) Asuma 𝑇 = 20 𝑠,
discretice el modelo obtenido y determine a partir del mismo, la respuesta de la
temperatura si se le aplica al sistema un cambio en escalón igual al utilizado en el
procedimiento de identificación inicial. Qué conclusiones se pueden obtener con
este experimento? c) Repita los pasos anteriores si la dinámica del sistema se
aproxima a un modelo 𝑆𝑂𝑅.
80
a.
b.
78
TR
Temp [%]
76
TT
74
72
70
68
Vapor
TCV
66
64
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
t [sec]
Condensado
Figura 4.10 Sistema para el problema 4.6
Luis Eduardo García Jaimes
100
Sistemas de Control Avanzado
REFERENCIAS
[4.1] Ljung L. System Identification. Theory for the user. Second Edition, PrenticeHall, 1999.
[4.2] Söderström T. Stoica P. System Identification. New York: Prentice-Hall. 1989.
[4.3] Rodriguez, R. López, M. Control adaptativo y robusto. Universidad de Sevilla
1996.

Aström K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems: Theory and Design.
Third edition. Prentice-Hall. 1997.

Sinha, N. K.: Modelling and Identification of Dynamic Systems, Van Nostrand
Reinhold Co.1983.
Luis Eduardo García Jaimes
101
Sistemas de Control Avanzado
5.
REGULADORES
AUTOADAPTABLES
Estos controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de
la separación de las tareas de control e identificación. El diseño se realiza
suponiendo inicialmente parámetros conocidos y luego éstos son sustituidos por los
estimados. En estos reguladores se aplica el principio de equivalencia cierta pues
se supone que los parámetros identificados coinciden con los reales.
En el diseño de controladores autoajustables se distinguen tres partes [5.1]:

Un algoritmo recursivo de identificación de parámetros.

Un mecanismo de adaptación que realiza la tarea de diseño del controlador

Un controlador con parámetros ajustables.
5.1 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES
Un controlador lineal se puede describir mediante la función de transferencia de
pulso:
𝐺𝑅 (𝑧) =
𝑈(𝑧) 𝑄(𝑧 −1 ) 𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑞𝑣 𝑧 −𝑣
=
=
𝐸(𝑧) 𝑃(𝑧 −1 ) 1 + 𝑝1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑝𝑢 𝑧 −𝑢
Luis Eduardo García Jaimes
5.1
102
Sistemas de Control Avanzado
En donde los grados de 𝑢 y de 𝑣 y los parámetros 𝑝𝑖 y 𝑞𝑖 deben seleccionarse
adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control [5.2].
Se asume que el proceso lineal que se va a controlar tiene como función de
transferencia de pulso:
𝐺𝑃 (𝑧) =
𝑦(𝑧) 𝐵(𝑧 −1 )
𝑏1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑏𝑚 𝑧 −𝑚
=
=
∗ 𝑧 −𝑑
𝑢(𝑧) 𝐴(𝑧 −1 ) 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑎𝑚 𝑧 −𝑚
5.2
En donde 𝑏1 ≠ 0
Para el diseño del controladores adaptativos se pueden utilizar diferentes métodos:
Asignación de polos, optimización de parámetros, ajuste por tablas etc.
5.1.1 Método de asignación de polos: El objetivo de este método es diseñar el
controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados
en el lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. El diseño
del controlador consiste básicamente, en resolver una ecuación polinomial con
ciertas restricciones en los órdenes de los polinomios para asegurar que el
controlador propuesto sea causal y con realización mínima [5.2].
La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma:
Δ(z−1 ) = 1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2 ⋯ + 𝛼𝑙 𝑧 −𝑙 = 𝑃(𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑄(𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )𝑧 −𝑑
5.3
El orden de 𝑙 en la ecuación 5.3 está determinado por:
𝑙 = max[𝑚 + 𝑢, 𝑚 + 𝑑 + 𝑣 ]
5.4
La ecuación 5.3 genera 𝑙 ecuaciones simultáneas cuya solución da como resultado
los parámetros del controlador.
Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador
tenga un integrador, con esta condición, el denominador del controlador 𝑃(𝑧 −1 )
cumple con la igualdad:
𝑢
𝑃(1) = 0
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ∑ 𝑝𝑖 = −1
5.5
𝑖=1
Con la adición del integrador se obtienen 𝑙 + 1 ecuaciones y el controlador tendrá
𝑢 + 𝑣 + 1 parámetros desconocidos 𝑞𝑖 y 𝑝𝑖 . La solución de orden mínimo se obtiene
haciendo:
𝑣=𝑚
Luis Eduardo García Jaimes
𝑢 =𝑚+𝑑
5.6
103
Sistemas de Control Avanzado
En este caso los parámetros del controlador se obtienen con la ecuación:
𝑝1
𝑝2
⋮
𝑝𝑚+𝑑
𝑞0
𝑞1
⋮
[ 𝑞𝑚 ]
1 0
𝑎1 1
𝑎2 𝑎1
⋮
𝑎𝑚 𝑎𝑚−1
𝑎𝑚
= 0
⋮
⋮
0
{1
0 …
0 …
1 0
…
0
1
…
0 0
0 ⋮ {𝑑
|
… 0 0
𝑏1
⋱
0 𝑏2
⋱
1| ⋮
⋱
𝑎1 𝑏𝑚
0
| ⋮
𝑎𝑚 0
1 0
𝑚+𝑑
0
…
0
0
𝑏1
𝑏2
…
…
0 …
⋱
⋱
0
0
0
0
…
−1
0
𝑏1
⋮
𝑏𝑚
0}
𝛼1 − 𝑎1
𝛼2 − 𝑎2
𝛼𝑚 − 𝑎𝑚
𝛼𝑚+1
5.7
⋮
𝛼2𝑚+𝑑
[ −1 ]
𝑚+1
EJEMPLO 5.1
La función de transferencia de pulso de cierto sistema neumático está dada por:
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.2𝑧 + 0.1
𝑧(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.8)
Diseñar para el sistema un controlador digital de modo que los polos dominantes
del sistema en lazo cerrado estén ubicados en 𝑧 = 0.6 ± 𝑗0.2
SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.2𝑧 −1 + 0.1𝑧 −2
∗ 𝑧 −1
−1
−2
1 − 1.2𝑧 + 0.32𝑧
En donde: 𝑚 = 2 y 𝑑 = 1
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 − 1.2𝑧 −1 + 0.32𝑧 −2
𝐵(𝑧 −1 ) = 0.2𝑧 −1 + 0.1𝑧 −2
El orden del numerador del controlador es: 𝑣 = 𝑚 = 2
El orden del denominador del controlador es: 𝑢 = 𝑚 + 𝑑 = 3
Por lo tanto, la función de transferencia de pulso del controlador toma la forma:
𝐷 (𝑧 ) =
𝑄(𝑧 −1 )
𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 + 𝑞2 𝑧 −2
=
𝑃(𝑧 −1 ) 1 + 𝑝1 𝑧 −1 + 𝑝2 𝑧 −2 + 𝑝3 𝑧 −3
El orden de la ecuación característica deseada es: max[𝑚 + 𝑢, 𝑚 + 𝑑 + 𝑣 ] =
max[5, 5] es decir 𝑙 = 5.
Se da como polo dominante 𝑧 = 0.6 ± 𝑗0.2 los tres polos restantes se pueden
asignar en el origen, así la ecuación características es:
Luis Eduardo García Jaimes
104
Sistemas de Control Avanzado
∆(𝑧) = 𝑧 3 (𝑧 − 0.6 − 𝑗0.2)(𝑧 − 0.6 + 𝑗0.2) = 𝑧 5 − 1.2𝑧 4 + 0.4𝑧 3
∆(𝑧 −1 ) = 1 − 1.2𝑧 −1 + 0.4𝑧 −2
Teniendo en cuenta las ecuaciones 5.1, 5.2 y 5.7 se obtiene:
𝑝1
1
𝑝2
−1.2
𝑝3
0.32
𝑞0 = 0
𝑞1
0
[𝑞2 ] [ 1
0
0
0
1
0
0.2
−1.2
1
0.1
0.32 −1.2 0
0
0.32 0
1
1
0
0
0 −1 0
0
0
0.08
0.2 0
0
0.1 0.2
0
0 0.1
0
]
[
0
0
−1 ]
Resolviendo resulta:
𝑝1 = 0.00, 𝑝2 = −0.661, 𝑝3 = −0.339, 𝑞0 = 3.7048, 𝑞1 = −4.1231, 𝑞2 = 1.0849
Por lo tanto el controlador pedido es:
𝐷 (𝑧 ) =
𝑄(𝑧 −1 ) 3.7048 − 4.1231𝑧 −1 + 1.0849𝑧 −2
=
𝑃(𝑧 −1 )
1 − 0.661𝑧 −2 − 0.339𝑧 −3
La figura 5.1 muestra la respuesta del sistema ante un escalón unitario aplicado en
el set-point.
Figura 5.1 Respuesta del sistema al escalón unitario
5.1.2 Controlador de mínima varianza: Este tipo de controlador puede
englobarse dentro de los de síntesis óptima, ya que se utiliza la minimización de un
índice de coste como criterio de diseño. Sin embargo, también puede interpretarse
como un problema de asignación de polos, puesto que el método de síntesis está
basado en manipulaciones algebraicas con los polinomios que se utilizan en la
descripción externa.
Luis Eduardo García Jaimes
105
Sistemas de Control Avanzado
El interés de este tipo de controladores se ve acentuado sobre todo en multitud de
procesos industriales en los cuales es de vital importancia la minimización de la
varianza de la salida. Esta técnica de control se utiliza cuando la salida del sistema
está contaminada por una perturbación estocástica. Estas perturbaciones no se
pueden eliminar por completo, pero se puede reducir su varianza.
El controlador de mínima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las
perturbaciones sobre la salida [5.1].
La estrategia control consiste en calcular la señal de control 𝑢(𝑘) en una función de
los valores disponibles en ese instante o sea 𝑢(𝑘 − 1), 𝑢(𝑘 − 2) … , 𝑦(𝑘 ),
𝑦(𝑘 − 1) …, de tal forma que minimice el criterio:
𝐽 = 𝐸{[𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)]2 }
5.8
En donde: 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1), es el valor de consigna o referencia.
También se han propuesto controladores de mínima varianza minimizando el
criterio:
𝐽 = 𝐸 {[𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)]2 + 𝑟𝑢2 (𝑘 )}
5.9
Si se supone que sobre el sistema actúan perturbaciones estocásticas, el proceso
estará descrito por un modelo ARMAX de la forma (ver figura 5.2):
𝑦 (𝑘 ) =
𝐵 (𝑧 )
𝐶 (𝑧 )
𝐵(𝑧 −1 )
𝐶 (𝑧 −1 )
(
)
𝑢 (𝑘 ) +
𝑣 (𝑘 ) = 𝑧 −𝑑
𝑢
𝑘
+
𝑣 (𝑘 )
𝐴 (𝑧 )
𝐴(𝑧)
𝐴(𝑧 −1 )
𝐴(𝑧 −1 )
5.10
Donde:
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑎𝑚 𝑧 −𝑚
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑏𝑚 𝑧 −𝑚
𝐶 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝑐1𝑧 −1 + ⋯ 𝑐𝑚 𝑧 −𝑚
Figura 5.2 Proceso con perturbación
Luis Eduardo García Jaimes
106
Sistemas de Control Avanzado
Para el instante 𝑘 + 𝑑 + 1 , la ecuación 5.10 se puede escribir en la forma:
𝑧𝐵(𝑧 −1 )
𝐶 (𝑧 −1 )
𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) =
𝑢 (𝑘 ) +
𝑣 (𝑘 + 𝑑 + 1)
𝐴(𝑧 −1 )
𝐴(𝑧 −1 )
5.11
Utilizando la identidad:
𝐶 (𝑧 −1 ) = 𝐴(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 ) + 𝑧 −(𝑑+1) 𝐺 (𝑧 −1 )
5.12
En donde:
𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝑓1 𝑧 −1 … + 𝑓𝑑 𝑧 −𝑑
𝐺 (𝑧 −1 ) = 𝑔0 + 𝑔1 𝑧 −1 … + 𝑔𝑚−1 𝑧 −(𝑚−1)
La ecuación 5.11 se transforma en:
𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) =
𝑧𝐵(𝑧 −1 )
𝐺 (𝑧 −1 )
(
)
𝑢
𝑘
+
𝑣 (𝑘 ) + 𝐹 (𝑧 −1 )𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1) 5.13
𝐴(𝑧 −1 )
𝐴(𝑧 −1 )
Los dos últimos términos del lado derecho de la ecuación 5.13 tienen el siguiente
significado:

𝐺(𝑧 −1 )
𝐴(𝑧 −1 )
𝑣 (𝑘 ): Es el efecto sobre la salida correspondientes a las perturbaciones
anteriores a 𝑘.

𝐹 (𝑧 −1 )𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1): contiene las perturbaciones producidas entre el instante 𝑘 y
el instante 𝑘 + 𝑑 + 1, cuyo efecto sobre la salida no se puede controlar con 𝑢(𝑘)
pues 𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1) es independiente de 𝑦(𝑘 − 1), 𝑦(𝑘 − 2) … , 𝑢(𝑘 − 1), 𝑢(𝑘 − 2) …
Resolviendo la ecuación 5.10 para 𝑣(𝑘) se obtiene:
𝑣 (𝑘 ) =
𝐴(𝑧 −1 )
𝐵(𝑧 −1 )
−𝑑
(
)
𝑦
𝑘
−
𝑧
𝑢
𝐶 (𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 ) (𝑘)
5.14
Reemplazando la expresión para 𝑣(𝐾) en 5.13 resulta:
𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) = 𝐹(𝑧 −1 )𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1) +
𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) = 𝐹 (𝑧
−1 )
𝐺(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )
𝐵(𝑧 −1 )
−𝑑
𝑦(𝑘)
−
𝑧
𝑢(𝑘)
+
𝑢(𝑘)
𝐶(𝑧 −1 )
𝐴(𝑧 −1 )𝐶(𝑧 −1 )
𝐴(𝑧 −1 )
𝐺 (𝑧 −1 )
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 )
𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1) +
𝑦 (𝑘 ) +
𝑢(𝑘 ) 5.15
𝐶 (𝑧 −1 )
𝐶 (𝑧 −1 )
En la ecuación 5.15 se debe calcular la acción de control 𝑢(𝑘) que minimice la
varianza de la salida:
Luis Eduardo García Jaimes
107
Sistemas de Control Avanzado
𝐽 = 𝐸{[𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1)]2 }
2
=
𝐸{[𝐹(𝑧 −1 )𝑣(𝑘
+𝑑
+ 1)]2 }
𝐺(𝑧 −1 )
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 )
+ 𝐸 {[
𝑦(𝑘) +
𝑢(𝑘)] }
𝐶(𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 )
El mínimo de 𝐽 se encuentra derivando 𝐽 con respecto a 𝑢(𝑘):
𝜕𝐽
𝐺 (𝑧 −1 )
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
= 2[
𝑦 (𝑘 ) +
𝑢(𝑘 )] = 0
𝜕𝑢
𝐶 (𝑧 −1 )
𝐶 (𝑧 −1 )
Resolviendo para 𝑢(𝑘) se obtiene la ley de control:
𝑢 (𝑘 ) = −
𝐺 (𝑧 −1 )
𝑦 (𝑘 )
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
5.16
La figura 5.3 corresponde al sistema con el controlador de mínima varianza
incorporado.
Figura 5.3 Controlador de mínima varianza
 Control de mínima varianza con seguimiento de referencias: En este caso se
debe calcular la acción de control que minimice la varianza de la salida:
2
𝐽 = 𝐸 {(𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)) }
5.17
O sea:
𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)
=
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )
𝑢(𝑘)
+
𝑦(𝑘) + 𝐹(𝑧 −1 )𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)
𝐶(𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 )
Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación se obtiene:
𝐸{(𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1))2 }
2
= 𝐸{(𝐹(𝑧 −1 )𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1))2 } + 𝐸 {(
𝑧𝐹(𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )
𝑢(𝑘)
+
𝑦(𝑘) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)) }
𝐶(𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 )
Para hallar el valor mínimo de la ecuación anterior se deriva 𝐽 con a respecto 𝑢(𝑘):
Luis Eduardo García Jaimes
108
Sistemas de Control Avanzado
𝜕𝐽
𝑧𝐹 (𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )
= 2[
𝑢 (𝑘 ) +
𝑦(𝑘 ) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)] = 0
𝜕𝑢(𝑘)
𝐶(𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 )
Despejando 𝑢(𝑘) se obtiene la ley de control así:
𝑢 (𝑘 ) =
1
[𝐶 (𝑧 −1 )𝑤 (𝑘 + 𝑑 ) − 𝐺 (𝑧 −1 )𝑦(𝑘)]
−1
−1
(
)
(
)
𝑧𝐵 𝑧 𝐹 𝑧
5. 18
La ecuación 5.18 corresponde al controlador de mínima varianza con seguimiento
de referencias.
La figura 5.4 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de
control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 5.18
Figura 5.4 Control de mínima varianza con seguimiento de referencias
 Controlador de mínima varianza ponderado: en este caso se debe calcular la
acción de control que minimice la varianza de la salida:
𝐽 = 𝐸 {[𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)]2 + 𝑟𝑢2 (𝑘 )}
5.19
Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación 5.19 se obtiene:
𝐸{[𝑦(𝑘 + 𝑑 + 1)) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)]2 + 𝑟𝑢2 (𝑘)}
= 𝐸{(𝐹𝑣(𝑘 + 𝑑 + 1))2 }
2
𝑧𝐹(𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )
+ 𝐸 {(
𝑢(𝑘)
+
𝑦(𝑘) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)) + 𝑟𝑢2 (𝑘)}
𝐶(𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 )
Para hacer mínimo el valor de 𝐽 es necesario calcular su derivada con respecto a
𝑢(𝑘 ) e igualar el resultado a cero lo cual da como resultado:
𝜕𝐽
𝑧𝐹 (𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )
(
)
= 2[
𝑢
𝑘
+
𝑦(𝑘 ) − 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1)] + 2𝑟𝑢(𝑘 ) = 0
𝜕𝑢
𝐶(𝑧 −1 )
𝐶(𝑧 −1 )
Resolviendo para 𝑢(𝑘) se obtiene la ley de control:
𝑢 (𝑘 ) =
1
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
+ 𝑟𝐶(𝑧 −1 )
Luis Eduardo García Jaimes
[𝐶 (𝑧 −1 )𝑤(𝑘 + 𝑑 ) − 𝐺 (𝑧 −1 )𝑦(𝑘)] 5.20
109
Sistemas de Control Avanzado
La ecuación 5.20 corresponde al controlador de “mínima varianza generalizado”
La figura 5.5 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de
control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 5.20
Figura 5.5 Control de mínima varianza ponderado
NOTA: La ecuación 5.20 está formada por dos términos: uno corresponde a un
controlador colocado en la realimentación y el otro es un prefiltro para la referencia
no causal 𝑤(𝑘 + 𝑑). En los controladores de mínima varianza es más común el
sistema tipo regulador 𝑤(𝑘) = 0, por esta razón, es más conveniente utilizar
solamente la parte de la ecuación correspondiente al controlador ubicado en la
realimentación. En estas condiciones se consideran tres tipos de controladores de
mínima varianza así:

Controlador MVR1: Correspondiente al controlador de mínima varianza
generalizado
𝑢 (𝑘 ) =

1
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
[𝐶 (𝑧 −1 )𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝐺 (𝑧 −1 )𝑦(𝑘)] 5.21
Controlador MVR2: Correspondiente al MVR1 con 𝑟 = 0
𝑢 (𝑘 ) =

+ 𝑟𝐶(𝑧 −1 )
𝐺(𝑧 −1 )
[𝐶 (𝑧 −1 )𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1) − 𝐺 (𝑧 −1 )𝑦(𝑘)]
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
5.22
Controlador MVR3: Correspondiente al MVR1 con 𝑤(𝑘 + 𝑑 + 1) = 0 𝑦 𝑟 = 0
𝑢 (𝑘 ) = −
𝐺(𝑧 −1 )
∗ 𝑦 (𝑘 )
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
5.23
Eliminación del offset: El controlador de mínima varianza presenta offset (Error de
estado estable) ante cambios en la referencia ó cambios en la perturbación, para
Luis Eduardo García Jaimes
110
Sistemas de Control Avanzado
eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador así, la ecuación
5.23 se puede escribir en la forma [5.3]:
𝐺 (𝑧 −1 )
𝑧−1+𝛼
[
] 𝑦 (𝑘 )
𝑢 (𝑘 ) = −
∗
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 )
𝑧−1
5.24
Los controladores MVR1 y MVR2 no cancelan polos ni ceros de la planta por lo tanto
pueden ser utilizados con sistemas inestables y con sistemas con ceros fuera del
circulo unitario sin mayores restricciones, el controlador MVR3 cancela los ceros del
proceso por lo tanto no puede utilizarse en sistemas con ceros ubicados fuera del
circulo unitario [5.3].
APLICACIÓN: En caso de realizar control adaptativo con identificación en línea, es
importante definir previamente el orden del sistema que se va a tomar como modelo
del proceso, así para un sistema de tercer orden (𝑚 = 3), el modelo dado en la
ecuación 5.10 toma la forma:
𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2 + 𝑏3 𝑧 −3
1 + 𝑐1 𝑧 −1 + 𝑐2 𝑧 −2 + 𝑐3 𝑧 −3
−𝑑
𝑦 (𝑘 ) =
∗ 𝑧 𝑢 (𝑘 ) +
𝑣 (𝑘 ) 5.25
1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + 𝑎3 𝑧 −3
1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + 𝑎3 𝑧 −3
 Con 𝑑 = 0, los polinomios de diseño del controlador 𝐹(𝑧 −1 ) y 𝐺(𝑧 −1 ) son:
𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 y 𝐺 (𝑧 −1 ) = 𝑔0 + 𝑔1 𝑧 −1 + 𝑔2 𝑧−2 y cumplen con la identidad dada por 5.12:
1 + 𝑐1 𝑧 −1 + 𝑐2 𝑧 −2 + 𝑐3 𝑧 −3 = (1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + 𝑎3 𝑧 −3 ) + 𝑧 −1 (𝑔0 + 𝑔1 𝑧 −1 + 𝑔2 𝑧 −2 )
Resolviendo para 𝑔0, 𝑔1 y 𝑔2 se obtiene:
𝑔0 = 𝑐1 − 𝑎1
𝑔1 = 𝑐2 − 𝑎2
5.26
𝑔2 = 𝑐3 − 𝑎3
 Con 𝑑 = 1 los polinomios de diseño 𝐹(𝑧 −1 ) y 𝐺(𝑧 −1 ) son: 𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝑓1 𝑧 −1 y
𝐺 (𝑧 −1 ) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧 −1 + 𝑔2 𝑧−2 y cumplen con la identidad dada por 5.12 con lo cual
se obtiene:
𝑓1 = 𝑐1 − 𝑎1
𝑔0 = 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑎1 𝑓1
𝑔1 = 𝑐3 − 𝑎3 − 𝑎2
5.27
𝑔2 = −𝑎3 𝑓1
Luis Eduardo García Jaimes
111
Sistemas de Control Avanzado
 Con 𝑑 = 2 los polinomios de diseño 𝐹(𝑧 −1 ) y 𝐺(𝑧 −1 ) son: 𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝑓1 𝑧 −1 +
𝑓2 𝑧 −2 y 𝐺 (𝑧 −1 ) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧 −1 + 𝑔2 𝑧−2 y cumplen con la identidad dada por 5.12 con
lo cual se obtiene:
𝑓1 = 𝑐1 − 𝑎1
𝑓2 = 𝑐2 − 𝑎2 − 𝑎1 𝑓1
𝑔0 = 𝑐3 − 𝑎3 − 𝑎1 𝑓2 + 𝑎2 𝑓1
5.28
𝑔1 = −𝑎2 𝑓2 − 𝑎3 𝑓1
𝑔2 = −𝑎3 𝑓2
Los coeficientes para 𝑚 = 2 se obtienen haciendo 𝑎3 = 𝑐3 = 0 y para 𝑚 = 1, se
hace 𝑎2 = 𝑐2 = 𝑎3 = 𝑐3 = 0
EJEMPLO 5.2
Se desea diseñar un controlador de mínima varianza para un sistema con función
de transferencia discreta:
𝐺𝑃 (𝑧) =
𝐵(𝑧)
𝑧 + 0.5
= 3
𝐴(𝑧) 𝑧 − 1.7𝑧 2 + 0.7𝑧
𝑇 = 0.1 𝑠.
La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo
comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la
perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro:
𝐺𝑣 (𝑧) =
𝐶(𝑧)
𝑧 3 − 0.9𝑧 2
= 3
𝐴(𝑧) 𝑧 − 1.7𝑧 2 + 0.7𝑧
SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema y la de la perturbación se
pueden escribir en la forma:
𝐺𝑃 (𝑧 −1 ) =
𝐵(𝑧 −1 ) −𝑑
𝑧 −1 + 0.5𝑧 −2
∗
𝑧
=
𝑧 −1
𝐴(𝑧 −1 )
1 − 1.7𝑧 −1 + 0.7𝑧 −2
𝐺𝑣 (𝑧 −1 ) =
𝐶(𝑧 −1 )
1 − 0.9𝑧 −1
=
𝐴(𝑧 −1 ) 1 − 1.7𝑧 −1 + 0.7𝑧 −2
En donde:
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 − 1.7𝑧−1 + 0.7𝑧−2 ,
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑧−1 + 0.5𝑧−2 ,
𝐶(𝑧−1 ) = 1 − 0.9𝑧 −1
Con 𝑑 = 1 y 𝑚 = 2 , se obtiene:
𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝑓1 𝑧 −1 … + 𝑓𝑑 𝑧 −𝑑
𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝑓1 𝑧 −1
𝐺 (𝑧 −1 ) = 𝑔0 + 𝑔1 𝑧 −1 … + 𝑔𝑚−1 𝑧 −(𝑚−1)
𝐺 (𝑧 −1 ) = 𝑔0 + 𝑔1 𝑧 −1
Luis Eduardo García Jaimes
112
Sistemas de Control Avanzado
𝐶 (𝑧 −1 ) = 𝐴(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 ) + 𝑧 −(𝑑+1) 𝐺 (𝑧 −1 )
1 − 0.9𝑧 −1 = (1 − 1.7𝑧 −1 + 0.7𝑧 −2 )(1 + 𝑓1𝑧 −1 ) + 𝑧 −2 (𝑔0 + 𝑔1 𝑧 −1 )
1 − 0.9𝑧 −1 = 1 − (1.7 − 𝑓1 )𝑧 −1 + (0.7 − 1.7𝑓1 + 𝑔0 )𝑧 −2 + (0.7𝑓1 +𝑔1 )𝑧 −3
Igualando los coeficientes de igual potencia en 𝑧 se obtiene:
1.7 − 𝑓1 = 0.9
0.7 − 1.7𝑓1 + 𝑔0 = 0
0.7𝑓1 + 𝑔1 = 0
Resolviendo se obtiene: 𝑔0 = 0.66 , 𝑔1 = −0.56, 𝑓1 = 0.8
𝐺 (𝑧 −1 ) = 0.66 − 0.56𝑧 −1
𝐹 (𝑧 −1 ) = 1 + 0.8𝑧 −1
Con los resultados anteriores, el controlador de mínima varianza MVR3 es:
𝑢 (𝑘 ) = −
𝐺 (𝑧 −1 )
0.66 − 0.56𝑧 −1
(
)
𝑦
𝑘
=
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
𝑧(𝑧−1 + 0.5𝑧−2 )(1 + 0.8𝑧 −1 )
𝑢 (𝑘 ) = −
𝑧 (0.66𝑧 − 0.56)
𝑦 (𝑘 )
(𝑧 + 0.5)(𝑧 + 0.8)
𝑀𝑉𝑅3
Si se asume 𝑟 = 0.05, el controlador de mínima varianza MVR2 toma la forma:
𝑢 (𝑘 ) = −
𝑢 (𝑘 ) =
𝐺(𝑧 −1 )
∗ 𝑦 (𝑘 )
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹(𝑧 −1 ) + 𝑟𝐶(𝑧 −1 )
0.66 − 0.56𝑧 −1
∗ 𝑦(𝑘)
𝑧(𝑧−1 + 0.5𝑧−2 )(1 + 0.8𝑧 −1 ) + 0.05(1 − 0.9𝑧 −1 )
𝑢 (𝑘 ) = −
0.9523𝑧 (0.66𝑧 − 0.56)
∗ 𝑦(𝑘)
𝑧 2 + 1.1952𝑧 + 0.3809
𝑀𝑉𝑅2
Finalmente, con 𝑟 = 0.05, el controlador de mínima varianza generalizado MVR1,
es:
𝑢 (𝑘 ) =
𝑢(𝑘) =
𝑧(𝑧 −1
𝑢 (𝑘 ) =
1
𝑧𝐵(𝑧 −1 )𝐹 (𝑧 −1 )
+ 𝑟𝐶(𝑧 −1 )
[𝐶 (𝑧 −1 )𝑤(𝑘 + 𝑑 ) − 𝐺 (𝑧 −1 )𝑦(𝑘)]
(1 − 0.9𝑧 −1 )𝑤(𝑘 + 𝑑)
(0.66 − 0.56𝑧 −1 ) 𝑦(𝑘)
−
−1
−1
−1
−2
0.8𝑧 ) + 0.05(1 − 0.9𝑧 ) 𝑧(𝑧 + 0.5𝑧 )(1 + 0.8𝑧 −1 ) + 0.05(1 − 0.9𝑧 −1 )
+ 0.5𝑧 −2 )(1 +
0.9523𝑧(𝑧 − 0.9)
0.9523𝑧 (0.66𝑧 − 0.56)
(
)
∗
𝑤
𝑘
+
𝑑
−
∗ 𝑦(𝑘) 𝑀𝑉𝑅1
𝑧 2 + 1.1952𝑧 + 0.3809
𝑧 2 + 1.1952𝑧 + 0.3809
Luis Eduardo García Jaimes
113
Sistemas de Control Avanzado
En las figura 5.6 a, b, c y d se muestran las respuestas del sistema con los
controladores de mínima varianza estimados. En la figura d se adicionó un
integrador con 𝛼 = 0.8 para eliminar el offset en el controlador MV3
1.2
d)
1
1
0.8
0.8
Salida
Salida
a)
0.6
0.4
0.6
0.4
0.2
0.2
0
10
20
30
40
t [s]
50
60
70
80
0
20
30
40
t [s]
50
60
70
80
1.2
1.2
c)
b)
1
1
0.8
Salida
0.8
Salida
10
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.6
0
10
20
30
40
t [s]
50
60
70
80
10
20
30
40
t [s]
50
60
70
80
Figura 5.6 Respuesta con el controlador de mínima varianza a) MVR3
b)
MVR2 c) MVR1 y d) MVR3 con integrador para eliminar el offset
5.1.3 Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y cancelación de
polos para un sistema de primer orden (POR): Si la dinámica del sistema se
aproxima a la de un sistema de primer orden con retardo de la forma:
𝐺𝑃 (𝑆) =
𝑘𝑒 −𝜃𝑆
𝜏𝑆 + 1
5.29
El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es:
𝐺𝑃 (𝑧) =
(𝑏0 + 𝑏1 𝑧 −1 ) −𝑑
𝑧
1 − 𝑎𝑧 −1
5.30
Para el diseño, se asume que la función de transferencia del controlador PI toma la
forma:
𝐷 (𝑧 ) =
𝑀(𝑧) 𝑞0 (𝑧 − 𝑘)
=
𝐸(𝑧)
𝑧−1
Luis Eduardo García Jaimes
5.31
114
Sistemas de Control Avanzado
Si se selecciona el cero del controlador de modo que cancele el polo de la planta,
es decir, si se hace 𝑘 = 𝑎, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:
𝑄(𝑧) = 𝑧 𝑑+1 − 𝑧 𝑑 + 𝑞0 𝑏0 𝑧 + 𝑞0 𝑏1 = 0
5.32
Si al sistema en lazo cerrado se le condiciona a que tenga un polo estable en 𝑧 = 𝑝,
entonces, al evaluar 𝑄(𝑧) en 𝑧 = 𝑝 se obtiene:
𝑝𝑑+1 − 𝑝𝑑 + 𝑞0 𝑏0 𝑝 + 𝑞0 𝑏1 = 0
5.33
Despejando q0 resulta:
𝑞0 =
𝑝𝑑 (1 − 𝑝)
𝑏0 𝑝 + 𝑏1
5.34
Entonces, conociendo 𝑎, 𝑏0 y 𝑏1 del modelo, los parámetros 𝑘 y 𝑞0 del controlador
pueden calcularse especificando un polo dominante en lazo cerrado en 𝑧 = 𝑎 que
ha de cancelarse con el cero del controlador.
Resolviendo 𝑄(𝑧) se puede determinar la ubicación de los n polos restantes,
comprobándose que corresponden a polos no dominantes que decaen rápidamente
y que el polo 𝑧 = 𝑝 es efectivamente el polo dominante.
Este método de diseño de controladores PI se recomienda especialmente cuando:
0≤
𝜃′
≤2
𝑇
EJEMPLO 5.3
Un sistema de flujo tiene como función de transferencia:
𝐺𝑃 (𝑧) =
0.05288(𝑧 + 0.8824)
𝑧(𝑧 − 0.7788)
Diseñar Para el sistema un controlador PI utilizando el método de cancelación y
asignación de polos de modo que el sistema tenga un polo dominante de lazo
cerrado en 𝑧 = 0.8. El sistema se muestrea cada 0.2 s.
SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema se puede escribir como:
𝐺𝑃 (𝑧) =
0.05288 + 0.04666𝑧 −1 −1
𝑧
1 − 0.7788𝑧 −1
𝑎 = 0.7788, 𝑏0= 0.05288, 𝑏1= 0.04666, 𝑑 = 1
El controlador PI toma la forma:
Luis Eduardo García Jaimes
115
Sistemas de Control Avanzado
𝐷 (𝑧 ) =
𝑀(𝑧)
𝑞0 (𝑧 − 𝑘)
=
𝐸(𝑧)
𝑧−1
Si se asume que el cero del controlador cancela el polo de la planta, entonces 𝑘 =
0.7788.
El polo dominante deseado es 𝑝 = 0.8 , por lo tanto:
𝑝𝑑 (1 − 𝑝)
0.8(1 − 0.8)
𝑞0 =
=
𝑏0 𝑝 + 𝑏1
0.05288 ∗ 0.8 + 0.04666
𝑞0 = 1.798
El controlador pedido es:
𝐷 (𝑧 ) =
𝑀(𝑧) 1.798(𝑧 − 0.7788)
=
𝐸(𝑧)
𝑧−1
La figura 5.7 muestra la respuesta del sistema con el controlador PI calculado.
Figura 5.7 Respuesta con el controlador PI por cancelación y asignación de
polos.
PROBLEMAS PROPUESTOS
5.1 La función de transferencia para el proceso del sistema de control que se
muestra en la figura 5.8 está dada por:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝐾
(𝜏1 𝑆 + 1)(𝜏2 𝑆 + 1)
En donde: 𝐾 = 1.25%/% , 𝜏1 = 2 𝑚𝑖𝑛, 𝜏2 = 0.8 min a) Discretice el sistema con 𝑇 =
0.5 𝑚𝑖𝑛. b) Diseñe un controlador digital utilizando el método de asignación de polos
de modo que el sistema en lazo cerrado tenga tiempo de establecimiento de 6 𝑚𝑖𝑛
y coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8.
Luis Eduardo García Jaimes
116
Sistemas de Control Avanzado
Figura 5.8 Sistema de control para el problema 5.1
5.2 La figura 5.9 muestra el diagrama de instrumentación para el control digital de
la temperatura de un horno. El sistema se muestreó cada 0.1 min. La dinámica de
los elementos componentes del sistema se puede modelar así: Horno, sistema de
primer orden con ganancia 0.6, constante de tiempo 1.75 min y retardo de 0.2 min.
Válvula: Sistema de primer orden. Ganancia 1 y constante de tiempo 0.25 min.
Medición: sistema con ganancia unitaria. Diseñe para el horno un controlador digital
por asignación de polos de modo que el sistema en lazo cerrado tenga máximo
sobreimpulso igual al 10% y tiempo de establecimiento de 1.5 min.
Figura 5.9 Sistema para el problema 5.2
5.3 La figura 5.10 representa el diagrama en bloques del sistema de control de un
motor de DC. Utilizado para controlar la velocidad de una carga. Las ecuaciones
que describen la dinámica del motor se pueden resumir así:
𝑒𝑎 (𝑡) = 𝑅𝑖𝑎 (𝑡) + 𝐿𝑎
Luis Eduardo García Jaimes
𝑑𝑖𝑎 (𝑡)
+ 𝑒𝑏 (𝑡)
𝑑𝑡
117
Sistemas de Control Avanzado
𝑒𝑏 (𝑡) = 𝐾𝑎 𝜔(𝑡)
𝜏𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑚 𝑖𝑎 (𝑡)
𝜏 𝑚 (𝑡 ) = 𝐽
𝑑𝜔(𝑡)
+ 𝜏𝑐
𝑑𝑡
En donde:
𝑒𝑎 (𝑡): Voltaje aplicado al motor
𝑅𝑎 = 2.5  : Resistencia de la armadura
𝑒𝑏 (𝑡): Fuerza contraelectromotriz
𝐿𝑎 = 2 𝑚𝐻 ∶ Inductancia de la armadura
𝑖𝑎 (𝑡): Corriente de la armadura
𝐾𝑚 = 7.2 × 10−3 𝐾𝑔. 𝑚/𝐴 ∶ Constante
𝜔(𝑡): Velocidad angular del motor
de torque del motor
𝜏𝑚 (𝑡):Torque del motor
𝐾𝑎 = 0.04𝑉. 𝑠/𝑟𝑎𝑑 :Constante de 𝑓𝑐𝑒𝑚
𝜏𝑐 : Perturbación en torque de la carga
𝐽 = 7.2 × 10−6 𝐾𝑔. 𝑚. 𝑠2 /𝑟𝑎𝑑:Inercia
del
motor
a) Obtenga la función de transferencia 𝐺𝑚 (𝑆) = 𝜔(𝑆)/𝐸𝑎 (𝑆). b) Asuma para el
sistema un periodo de muestreo 𝑇 = 0.02 𝑠 y diseñe para el mismo a) Un controlador
por asignación de polos de modo que el sistema del motor en lazo cerrado tenga
tiempo de establecimiento igual al 60% del correspondiente al sistema en lazo
abierto. b) Un controlador MVR3, MVR2 y MVR1 con r=0.01 y con modelo de
perturbación estocástica modificada por el filtro 𝐶 (𝑧 1 ) = 𝑧 2 − 0.2𝑧 + 0.3
Figura 5.10 Sistema para el problema 5.3
5.4 La función de transferencia para un sistema de control está dada por:
𝐺𝑝 (𝑧) =
0.07355𝑧 + 0.05495
𝑧 2 − 1.3141𝑧 + 0.4168
𝑇 = 0.5 𝑠𝑒𝑔
a) Diseñe un controlador digital por asignación de polos de modo que el sistema, en
lazo cerrado tenga máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 0.4 min. b)
Luis Eduardo García Jaimes
118
Sistemas de Control Avanzado
Obtenga controladores de mínima varianza MVR3, MVR2 y MVR1. Considere que
el factor de ponderación en el MVR1 es r=0.05. Asuma que la salida de dicho
sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se
puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación
estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:
𝐶(𝑧)
𝑧 2 − 0.854𝑧
𝐺𝑣 (𝑧) =
=
𝐴(𝑧) 𝑧 2 − 1.3141𝑧 + 0.4168
5.5 Un sistema térmico tiene por función de transferencia:
𝐺𝑝 (𝑆) =
0.25𝑒 −5.2𝑆
25.4𝑆 + 1
𝑇 = 5 𝑠.
Obtenga para el sistema un controlador PI por asignación y cancelación de polos
de modo que el sistema en lazo cerrado tenga tiempo de establecimiento igual al
60% del correspondiente en lazo abierto.
REFERENCIAS
[5.1] Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de
Sevilla.1996.
[5.2] Iserman, R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.
[5.3] Isermann, R. Digital Control Systems, Springer Verlag .1981.

Aström, K. Wittenmark, B. Adaptive Control. Addison Wesley, 1989.

Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley,
1990.

Phillips, C. Nagle, H. Digital control systems. Análysis and Desing. Ediciones G.
Gili. 1997.
Luis Eduardo García Jaimes
119
Sistemas de Control Avanzado
6.
CONTROL POR MODELO DE
REFERENCIA
Esta técnica se emplea con modelos matemáticos simulados en computador y es
muy útil para sistemas complicados de controlar por ejemplo, sistemas no lineales
o con parámetros variables en el tiempo. Se trata de que el sistema controlado siga
el comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar una
señal de control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo para
una cierta señal de entrada.
En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que cumpla
con las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la planta y se
desarrolla un mecanismo de control que permita que la planta siga el modelo
escogido. No es necesario un conocimiento extensivo de la planta, pero si es
Luis Eduardo García Jaimes
120
Sistemas de Control Avanzado
necesaria la escogencia del modelo adecuado para lograr la salida deseada. El
modelo de referencia que se utiliza es usualmente lineal.
Como se indica en la figura 6.1, el control por modelo de referencia está formado
por tres partes fundamentales: [6.1]

El controlador primario: Debe cumplir la condición de hacer posible que el
conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia.

El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinámico
estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar.

La ley de adaptación: esta se puede obtener por diferentes métodos: Método
de sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.
Figura 6.1 Control por modelo de referencia
6.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE LYAPUNOV
Este método establece que un sistema tiene un punto de equilibrio 𝑥 = 0
asintóticamente estable, si existe una función 𝑉(𝑥) que cumpla con las
siguientes condiciones [6.1]:

𝑉(𝑥) : Definida positiva para 𝑥 ≠ 0
𝑉(𝑥) > 0

𝑉̇ (𝑥 ): Definida negativa para 𝑥 ≠ 0
𝑉̇ (𝑥) < 0

𝑉(𝑥) → ∞ para ‖𝑥 ‖ → ∞

𝑉(0) = 0
Procedimiento para aplicar el método de Lyapunov:
1. Encontrar la ecuación de error en la salida: 𝑥𝑝 − 𝑥𝑚
2. Encontrar la función de Lyapunov como una función del error entre las
señales y del error en los parámetros. Esta función es de la forma:
Luis Eduardo García Jaimes
121
Sistemas de Control Avanzado
𝑉 = 𝑒 𝑇 𝑃𝑒 + ∅𝑇 Γ−1 ϕ
6.1
Donde las matrices 𝑃 y Γ −1 deben ser definidas positivas.
3. Calcular la derivada de la función de Lyapunov. Esta derivada debe ser
definida negativa. Por lo general toma la forma:
𝑉̇ = −𝑒 𝑇 𝑄𝑒 + 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜙
6.2
El primer término garantiza que la derivada es negativa definida, entonces,
haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solución para la adaptación.
4. Hacer
el término extra igual a cero para obtener la ley de adaptación.
Normalmente tiene la forma:
𝜃̇ = −Γ𝜀𝜉
6.3
𝜀 , está relacionado directamente con el error 𝑒 y 𝜉 tiene que ver con el vector de
señales (Referencia, salida etc.)
EJEMPLO 6.1
Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de primer
orden [6.2].
SOLUCIÓN: Sea el sistema de primer orden:
𝐺𝑃 (S) =
yp (S)
K
=
U(S) τS + 1
6.4
Si se toma como modelo de referencia:
𝐺𝑚 (𝑆) =
𝑦𝑚 (𝑆)
𝑎
=
𝑅(𝑆)
𝑆+𝑎
6.5
El error es:
𝑒 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑝
6.6
La ecuación de la planta se puede escribir como:
𝑑𝑦𝑝
1
𝐾
= − 𝑦𝑝 + 𝑢
𝑑𝑡
𝜏
𝜏
6.7
Haciendo:
𝐴=
1
𝜏
𝑦
𝐵=
𝐾
𝜏
Se obtiene:
Luis Eduardo García Jaimes
122
Sistemas de Control Avanzado
𝑑𝑦𝑝
= −𝐴𝑦𝑝 + 𝐵𝑢
𝑑𝑡
6.8
En donde 𝑦𝑝 es la salida y 𝑢 es la ley de control.
La ecuación del modelo de referencia se puede escribir como:
𝑑𝑦𝑚
= −𝑎𝑦𝑚 + 𝑎𝑟
𝑑𝑡
6.9
Para que el error sea cero se debe cumplir que: 𝑦𝑝 = 𝑦𝑚 por lo tanto:
−𝐴𝑦𝑝 + 𝐵𝑢 = −𝑎𝑦𝑚 + 𝑎𝑟
6.10
Despejando 𝑢:
𝑢=
𝐴
𝑎
𝑎
𝑦𝑝 − 𝑦𝑟 + 𝑟
𝐵
𝐵
𝐵
Es decir:
𝑢=
𝑎
𝑎−𝐴
𝑟−
𝑦𝑝
𝐵
𝐵
𝑡0 =
𝑎
𝐵
6.11
Haciendo:
y
𝑆0 =
𝑎−𝐴
𝐵
𝑢 = 𝑡0 𝑟 − 𝑆0 𝑦𝑝
6.12
La ecuación 6.12 corresponde a la ley de control del sistema y en ella no se conocen
los parámetros 𝑡0 y 𝑆0 debido a que 𝐴 y 𝐵 son desconocidos.
Los valores apropiados de 𝑡0 y 𝑆0 que se adapten al sistema de control se pueden
determinar tomando en cuenta las siguientes consideraciones:
𝑒 = 𝑦𝑚 − 𝑦𝑝
𝑒̇ = 𝑦̇𝑚 − 𝑦̇𝑝
6.13
Reemplazando 6.8 y 6.9 en 6.13 se obtiene:
𝑒̇ = −𝑎𝑦𝑚 + 𝑎𝑟 + 𝐴𝑦𝑝 − 𝐵𝑢
6.14
Reemplazando 6.12 en 6.14:
𝑒̇ = −𝑎𝑦𝑚 + 𝑎𝑟 + 𝐴𝑦𝑝 − 𝐵(𝑡0 𝑟 − 𝑆0 𝑦𝑝 )
𝑒̇ = −𝑎𝑦𝑚 + 𝑎𝑟 + 𝐴𝑦𝑝 − 𝐵𝑡0 𝑟 + 𝐵𝑆0 𝑦𝑝
Sumando y restando 𝑎𝑦𝑝 en la ecuación anterior se obtiene, después de simplificar:
𝑒̇ = −𝑎𝑒 + (𝐵𝑆0 + 𝐴 − 𝑎)𝑦𝑝 + (𝑎 − 𝐵𝑡𝑜 )𝑟
Luis Eduardo García Jaimes
6.1 5
123
Sistemas de Control Avanzado
De la ecuación 6.15 se deduce que 𝑒̇ = 0 si 𝑦𝑝 = 𝑦𝑚 , 𝑎 = 𝐴 + 𝐵𝑆0 y 𝑎 = 𝐵𝑡0 .
Se trata de diseñar un sistema que lleve los parámetros 𝑆0 y 𝑡0 a los valores
deseados. Para este propósito se define la función de Lyapunov:
𝑉(𝑒, 𝑡0 , 𝑆0 ) =
1 2
1
1
(𝑎 − 𝐴 − 𝐵𝑆0 )2 +
[𝑒 +
(𝑎 − 𝐵𝑡0 )2 ]
2
𝐵𝛾
𝐵𝛾
6.16
Esta función es cero cuando 𝑒 = 0 y los parámetros del controlador tengan su valor
óptimo.
Derivando parcialmente la ecuación la ecuación 6.16 con respecto a los parámetros
se obtiene:
1
1
𝑉̇ (𝑒, 𝑡0 , 𝑆0 ) = 𝑒. 𝑒̇ − (𝑎 − 𝐴 − 𝐵𝑆0 )𝑆0̇ − (𝑎 − 𝐵𝑡0 )𝑡̇0
𝛾
𝛾
6.17
Reemplazando la ecuación 6.15 en la 6.17 se obtiene:
1
1
𝑉̇ = 𝑒. [−𝑎𝑒 + (𝐵𝑆0 + 𝐴 − 𝑎)𝑦𝑝 + (𝑎 − 𝐵𝑡𝑜 )𝑟] − (𝑎 − 𝐴 − 𝐵𝑆0 )𝑆0̇ − (𝑎 − 𝐵𝑡0 )𝑡̇0
𝛾
𝛾
1
1
𝑉̇ = −𝑎. 𝑒 2 + (𝐵𝑆0 + 𝐴 − 𝑎) (𝑒𝑦𝑝 + 𝑆0̇ ) + (𝑎 − 𝐵𝑡0 ) (𝑒𝑟 − 𝑡̇0 )
𝛾
𝛾
1
1
𝑉̇ = −𝑎. 𝑒 2 + (𝐵𝑆0 + 𝐴 − 𝑎)(𝛾𝑒𝑦𝑝 + 𝑆0̇ ) + (𝑎 − 𝐵𝑡0 )(𝛾𝑒𝑟 − 𝑡̇0 ) 6.18
𝛾
𝛾
De acuerdo con la teoría de la estabilidad de Lyapunov, el sistema es estable si 𝑉̇
es semidefinida negativa, esto se cumple si en la ecuación 6.18 se da:
𝑡̇𝑜 = 𝛾𝑒𝑟
𝑆0̇ = −𝛾𝑒𝑦𝑝
𝑡0 = ∫ 𝛾𝑒𝑟𝑑𝑡 + 𝑡0 (0)
𝑆0 = − ∫ 𝛾𝑒𝑦𝑝 𝑑𝑡 + 𝑆0 (0)
6.19
6.20
Entonces:
𝑉̇ = −𝑎. 𝑒 2
La figura 6.2 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control
MRAC aplicado al sistema de primer orden.
En donde:
𝑟 ∶ Señal de entrada.
𝑢: La señal de control.
𝑦𝑝 : La salida del proceso.
𝑦𝑚 :La salida del modelo de referencia.
Luis Eduardo García Jaimes
124
Sistemas de Control Avanzado
𝑒: El error.
𝑡 0 y 𝑆0 son las ganancias adaptativas y 𝛾 es una constante positiva que se puede
tomar como parámetro de ajuste. Se trabajó con 𝛾 = 2
Para realizar la simulación se tomaron como modelo para el proceso y como modelo
de referencia:
𝐺𝑃 (𝑆) =
4
0.8𝑆 + 1
𝐺𝑚 (𝑆) =
ym
5
s+5
R
5
𝑆+5
e
Modelo de Ref
u
yp
4
to
0.8s+1
Proceso
2
1
s
So
-2
1
s
Figura 6.2 Diagrama de bloques y respuesta del control MRAC
EJEMPLO 6.2
Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de segundo
orden [6.3].
SOLUCIÓN: Sea el sistema de segundo orden:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝑌𝑝 (𝑆)
𝑏𝑜
= 2
𝑈(𝑆) 𝑆 + 𝑎1 𝑆 + 𝑎2
6.21
En donde 𝑏𝑜 𝑎1 y 𝑎2 son parámetros del proceso variables en el tiempo.
Luis Eduardo García Jaimes
125
Sistemas de Control Avanzado
Sea el modelo de referencia:
𝐺𝑚 (𝑆) =
𝑌𝑚 (𝑆)
𝛽
= 2
𝑅(𝑆)
𝑆 + 𝛼1 𝑆 + 𝛼2
6.22
Se asume como ley de control para el sistema [3]:
𝑢 = 𝑓. 𝑟 − 𝑞𝑜 𝑦̇𝑝 − 𝑞1 𝑦𝑝
6.23
En donde 𝑟 es la señal de referencia.
La ecuación diferencial que describe el sistema es:
𝑦̈𝑝 + 𝑎1 𝑦̇𝑝 + 𝑎2 𝑦𝑝 = 𝑏0 𝑢
6.24
𝑦̈𝑝 + 𝑎1 𝑦̇𝑝 + 𝑎2 𝑦𝑝 = 𝑏0 (𝑓. 𝑟 − 𝑞𝑜 𝑦̇𝑝 − 𝑞1 𝑦𝑝 )
6.25
Factorizando y simplificando se obtiene:
𝑦̈𝑝 + (𝑎1 + 𝑏𝑜 𝑞𝑜 )𝑦̇𝑝 + (𝑎2 + 𝑏𝑜 𝑞1 )𝑦𝑝 = 𝑏𝑜 𝑓. 𝑟
6.26
La ecuación diferencial del modelo de referencia es:
𝑦̈𝑝 + 𝛼1 𝑦̇𝑚 + 𝛼2 𝑦𝑚 = 𝛽𝑟
6.27
Restando las ecuaciones 6.26 y 6.27 se obtiene:
𝑦̈𝑝 − 𝑦̈𝑚 + (𝑎1 + 𝑏𝑜 𝑞𝑜 )𝑦̇𝑝 − 𝛼1 𝑦̇𝑚 + (𝑎2 + 𝑏𝑜 𝑞1 )𝑦𝑝 − 𝛼2 𝑦𝑚 = 𝑏𝑜 𝑓. 𝑟 − 𝛽𝑟
6.28
Introduciendo los parámetros de error:
𝑏̃0 = 𝑏𝑜 𝑓 − 𝛽
𝑎̃1=𝑎1 + 𝑏𝑜 𝑞𝑜 − 𝛼1
6.29
̃𝑎2 = 𝑎2 + 𝑏𝑜 𝑞1 − 𝛼2
Y teniendo en cuenta que el error es:
𝑒 = 𝑦𝑝 − 𝑦𝑚
Se obtiene:
𝑦̈𝑝 − 𝑦̈𝑚 + (𝑎̃1 + 𝛼1 )𝑦̇𝑝 − 𝛼1 𝑦̇𝑚 + (𝑎̃2 + 𝛼2 )𝑦𝑝 − 𝛼2 𝑦𝑚 = 𝑏̃𝑜 𝑟
𝑦̈𝑝 − 𝑦̈𝑚 + 𝛼1 (𝑦̇𝑝 − 𝑦̇𝑚 ) + 𝛼2 (𝑦𝑝 − 𝑦𝑚 ) = 𝑏̃𝑜 𝑟 − 𝑎̃1𝑦̇𝑝 − 𝑎̃2 𝑦𝑝
6.30
La ecuación anterior se puede escribir así:
𝑒̈ + 𝛼1 𝑒̇ + 𝛼2 𝑒 = 𝑏̃𝑜 𝑟 − 𝑎̃1 𝑦̇𝑝 − 𝑎̃2 𝑦𝑝
6.31
Ahora se introduce la función de Lyapunov:
𝑉 = 𝛼2 𝑒 2 + 𝑒̇ 2 +
1 2 1 2 1 2
𝑏̃ + 𝑎̃ + 𝑎̃
𝛾𝑜 𝑜 𝛾1 1 𝛾2 2
6.32
En donde 𝛾𝑜 , 𝛾1 y 𝛾2 son constantes positivas.
Luis Eduardo García Jaimes
126
Sistemas de Control Avanzado
Como el modelo de referencia se supone estable, entonces 𝛼2 es positiva y 𝑉 es
una función positiva definida.
La derivada de la función de Lyapunov introducida es:
𝑉̇ = 2𝛼2 𝑒𝑒̇ + 2𝑒̇ 𝑒̈ +
2
2
2
𝑏̃𝑜 𝑏̃̇𝑜 + 𝑎̃1𝑎̃̇1 + 𝑎̃2 𝑎̃̇2
𝛾𝑜
𝛾1
𝛾2
𝑉̇ = 2𝛼2 𝑒𝑒̇ + 2𝑒̇ (−𝛼1 𝑒̇ − 𝛼2 𝑒 + 𝑏̃𝑜 𝑟 − 𝑎̃1𝑦̇𝑝 − 𝑎̃2 𝑦𝑝 ) +
2
2
2
𝑏̃𝑜 𝑏̃̇𝑜 + 𝑎̃1 𝑎̃̇1 + 𝑎̃2 𝑎̃̇2
𝛾𝑜
𝛾1
𝛾2
Factorizando y simplificando se obtiene:
𝑉̇ = −2𝛼1 𝑒̇ 2 + 2𝑏̃𝑜 (𝑒̇ 𝑟 +
1 ̇
1
1
𝑏̃𝑜 ) + 2𝑎̃1 ( 𝑎̃̇1 − 𝑒̇ 𝑦̇𝑝 ) + 2𝑎̃2 ( 𝑎̃̇2 − 𝑒̇ 𝑦𝑝 )
𝛾𝑜
𝛾1
𝛾2
6.33
La teoría de estabilidad de Lyapunov garantiza la estabilidad global del sistema
dinámico si 𝑉̇ es una función semidefinida negativa. Esto se puede asegurar para la
ecuación 6.33 si:
𝑒̇ 𝑟 +
1 ̇
𝑏̃ = 0
𝛾𝑜 𝑜
𝑏̃̇𝑜 = −𝛾𝑜 𝑒̇ 𝑟
1
𝑎̃̇ − 𝑒̇ 𝑦̇𝑝 = 0
𝛾1 1
𝑎̃̇1 = 𝛾1𝑒̇ 𝑦̇𝑝
1
𝑎̃̇ − 𝑒̇ 𝑦𝑝 = 0
𝛾2 2
𝑎̃̇2 = 𝛾2 𝑒̇ 𝑦𝑝
De la ecuación 6.29 se obtiene:
𝑏̃̇0
𝛾𝑜
= − 𝑒̇ 𝑟
𝑏𝑜
𝑏𝑜
𝑏̃̇0 = 𝑏𝑜 𝑓̇
𝑓̇ =
𝑎̃̇1 = 𝑏𝑜 𝑞̇ 𝑜
𝑞̇ 𝑜 =
𝑎̃̇1 𝛾1
= 𝑒̇ 𝑦̇
𝑏𝑜 𝑏𝑜 𝑝
𝑎̃̇2 = 𝑏𝑜 𝑞̇ 1
𝑞̇ 1 =
𝑎̃̇2 𝛾2
=
𝑒̇ 𝑦
𝑏𝑜 𝑏𝑜 𝑝
Integrando cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:
𝑓=−
𝑞𝑜 =
𝛾𝑜
∫ 𝑒̇ 𝑟𝑑𝑡 + 𝑓 (0)
𝑏𝑜
𝛾1
∫ 𝑒̇ 𝑦̇𝑝 𝑑𝑡 + 𝑞0 (0)
𝑏𝑜
Luis Eduardo García Jaimes
6.34
127
Sistemas de Control Avanzado
𝑞1 =
𝛾2
∫ 𝑒̇ 𝑦𝑝 𝑑𝑡 + 𝑞1 (0)
𝑏𝑜
La figura 6.3 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control
MRAC aplicado al sistema de segundo orden.
r
1
ym
s2 +1.6s+1
1
s
-2
f
5
q1
u
4
yp
s2 +2s+4
1
s
qo
5
1
s
du/dt
du/dt
Figura 6.3 Control MRAC para sistema continuo de segundo orden
En donde:
𝑟: La señal de entrada.
𝑢: La señal de control.
𝑦𝑝 : La salida del proceso.
𝑦𝑚 : La salida del modelo de referencia.
𝑒: El error.
Para realizar las simulaciones se tuvieron en cuenta los siguientes valores:
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128
Sistemas de Control Avanzado
𝛾𝑜
=2
𝑏𝑜
𝛾1
=5
𝑏𝑜
𝛾2
=5
𝑏𝑜
El modelo del proceso a controlar se tomó como:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝑆2
4
+ 2𝑆 + 4
El modelo de referencia se tomó como:
𝐺𝑚 (𝑆) =
𝑆2
1
+ 1.6𝑆 + 1
6.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS
Al igual que en los sistemas continuos, la idea básica del control con modelo de
referencia MRAC, para sistemas discretos, es que el proceso con función de
transferencia [6.3]:
𝐺𝑝 (𝑧) =
𝑦𝑝 (𝑧 −1 ) 𝐵(𝑧 −1 ) −𝑑
=
𝑧
𝑈(𝑧 −1 ) 𝐴(𝑧 −1 )
6.35
Con:
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑏𝑚 𝑧 −𝑚
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑎𝑚 𝑧 −𝑚
Siga el modelo:
𝐺𝑚 (𝑧) =
𝑦𝑚 (𝑧 −1 ) 𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) −𝑑
=
𝑧
𝑊(𝑧 −1 ) 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )
6.36
En donde:
𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) = 𝛽1 𝑧 −1 + 𝛽2 𝑧 −2 ⋯ 𝛽𝑚 𝑧 −𝑚
𝐴𝑚 (𝑧 −1 ) = 1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2 ⋯ 𝛼𝑚 𝑧 −𝑚
Mediante la aplicación de la ley de control:
𝑃(𝑧 −1 )𝑈(𝑧) = 𝐹 (𝑧 −1 )𝑊 (𝑧) − 𝑄(𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑧)
6.37
En donde:
𝑃(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑝1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑝𝑚+𝑑−1 𝑧 −(𝑚+𝑑−1)
𝑄(𝑧 −1 ) = 𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑞𝑚−1 𝑧 −(𝑚−1)
Luis Eduardo García Jaimes
129
Sistemas de Control Avanzado
La figura 6.4 muestra el diagrama en bloques del sistema de control con modelo de
referencia propuesto.
Figura 6.4 Control con modelo de referencia
La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura 6.4 es:
𝐺𝑢 (𝑧) =
𝑦𝑝 (𝑧)
𝐹 (𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )𝑧 −𝑑
𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) −𝑑
=
=
𝑧
6.38
𝑊 (𝑧) 𝑃(𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑄 (𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )𝑧 −𝑑 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )
El procedimiento para el diseño es el siguiente:
1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado.
2. Reescribir el polinomio 𝐵(𝑧 −1 ) del proceso en la forma:
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 𝐵+(𝑧 −1 )𝐵−(𝑧 −1 )
En donde: 𝐵+(𝑧 −1 ): Contiene los ceros estables del proceso.
𝐵−(𝑧 −1 ): Contiene los ceros inestables del proceso.
3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio 𝑃(𝑧 −1 ) es decir:
𝑃 (𝑧 −1 ) = 𝐵+(𝑧 −1 )𝑃′ (𝑧 −1 )
4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de 𝐺𝑤 (𝑧), es decir, ceros
de 𝐵𝑚 (𝑧 −1 )
5. Si el grado de 𝐺𝑤 (𝑧) seleccionado es menor que el grado de
𝑄(𝑧 −1 )𝐵(𝑧 −1 )𝑧 −𝑑 después de la cancelación de 𝐵+(𝑧 −1 ), el lado derecho de
la ecuación 6.38 se multiplica y divide por el polinomio 𝑅(𝑧 −1 )
6. Los polinomios 𝑃′ (𝑧 −1 ), 𝑄 (𝑧 −1 ) y el filtro 𝐹 (𝑧 −1 ) quedan determinados por las
ecuaciones:
𝑃′ (𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑏1 𝑄(𝑧 −1 )𝐵−(𝑧 −1 )𝑧 −(𝑑+1) = 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )
6.39
𝑏1 𝐹 (𝑧 −1 )𝐵−(𝑧 −1 )𝑧 −1 = 𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )
De la última ecuación se despeja el filtro 𝐹(𝑧 −1 ) así:
Luis Eduardo García Jaimes
130
Sistemas de Control Avanzado
𝐹 (𝑧 −1 ) =
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )
𝑏1 𝐵−(𝑧 −1 )
6.40
El filtro 𝐹 (𝑧 −1 ) es realizable si 𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) es de la forma 𝛽1 𝑧 −1 + 𝛽2 𝑧 −2 ⋯ +𝛽𝑚 𝑧 −𝑚 con
𝛽1 ≠ 0
NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que
𝐵−(𝑧 −1 ) = 1, en este caso la ley de control toma la forma:
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅 (𝑧 −1 )𝑤(𝑘 ) = 𝑏1 [𝑃(𝑧 −1 )𝑢(𝑘 ) + 𝑄 (𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑘 )]
6.41
La ecuación 6.41 se puede escribir en forma vectorial como:
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )𝑤(𝑘 ) = 𝜑 𝑇 (𝑘 )𝜃
6.42
En donde:
𝜑 𝑇 (𝑘)
= [𝑢(𝑘)
𝑢(𝑘 − 1)
⋯ 𝑢(𝑘 − 𝑚 − 𝑑 + 1)
𝜃 = [𝑏1
𝑏1 𝑝1
𝜃 = [𝜌𝑜
𝜌1
𝑦(𝑘) 𝑦(𝑘 − 1)
⋯ 𝑏1 𝑝𝑚+𝑑−1
⋯ 𝜌𝑚+𝑑−1
𝛾𝑜
𝑏1 𝑞𝑜
𝛾1
𝑏1 𝑞1
⋯
⋯ 𝑦(𝑘 − 𝑚 + 1)] 6.43
⋯ 𝑏1 𝑞𝑚−1 ] 𝑇
𝛾𝑚−1 ]𝑇
6.44
6.45
EJEMPLO 6.3
La función de transferencia de un sistema de presión está dada por:
𝐺𝑝 (𝑆) =
0.4𝑒 −2𝑆
10𝑆 + 1
𝑇 = 1.5 𝑠
Diseñe para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el
sistema, en lazo cerrado siga la dinámica del modelo:
𝑒 −2𝑆
𝐺𝑚 (𝑆) =
6𝑆 + 1
SOLUCIÓN: Los modelos discretos son:
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )𝑧 −𝑁 ℑ𝑚 [
𝐻𝐺𝑝 (𝑧) =
𝐻𝐺𝑚 𝑍) =
𝐺(𝑆)
]
𝑆
𝐵(𝑧 −1 ) 0.038𝑧 + 0.0176 0.038𝑧 −1 + 0.0176𝑧 −2
= 2
=
∗ 𝑧 −1
𝐴(𝑧 −1 )
𝑧 (𝑧 − 0.8607)
1 − 0.8607𝑧 −1
𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) 0.1535𝑧 + 0.0676 0.1535𝑧 −1 + 0.0676𝑧 −2
= 2
=
∗ 𝑧 −1
𝐴𝑚 (𝑧 −1 )
𝑧 (𝑧 − 0.7788)
1 − 0.7788𝑧 −1
Luis Eduardo García Jaimes
131
Sistemas de Control Avanzado
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 𝐵+ (𝑧 −1 )𝐵− (𝑧 −1 ) = 0.038𝑧 −1 (1 + 0.4613𝑧 −1 )
𝐵 + (𝑧 −1 ) = (1 + 0.4613𝑧 −1 )
{
𝐵 − (𝑧 −1 ) = 1
Por lo tanto, la ley de control es:
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )𝑤(𝑘 ) = 𝑏1 [𝑃(𝑧 −1 )𝑢(𝑘 ) + 𝑄(𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑘)]
Grado de 𝑃(𝑧 −1 ) = 𝑚 + 𝑑 − 1 = 2
𝑃(𝑧 −1 ) = 𝐵+ (𝑧 −1 )𝑃′ (𝑧 −1 ) = (1 + 0.4613𝑧 −1 )(1 + 𝑝1 𝑧 −1 )
Grado de 𝑄(𝑧 −1 ) = 𝑚 − 1 = 1
𝑄 (𝑧 −1 ) = 𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1
Condición de los polinomios:
𝑃′ (𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑏1 𝑄(𝑧 −1 )𝐵− (𝑧 −1 )𝑧 −(𝑑+1) = 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )𝑅 (𝑧 −1 )
(1 + 𝑝1 𝑧 −1 )(1 − 0.8607𝑧 −1 ) + 0.038(𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1 )𝑧 −2 = 1 − 0.7788𝑧 −1
1 − (0.8607 − 𝑝1 )𝑧 −1 − (0.8607𝑝1 − 0.038𝑞𝑜 )𝑧 −2 + 0.038𝑞1 𝑧 −3 = 1 − 0.7788𝑧 −1
Comparando término a término y resolviendo las ecuaciones resultantes se obtiene
qué:
𝑝1 = 0.0819, 𝑞𝑜 = 1.855, y 𝑞1 = 0
Entonces:
𝑃′ (𝑧 −1 ) = 1 + 0.0819𝑧 −1 y 𝑄(𝑧 −1 ) = 1.855
Por lo tanto:
𝑃(𝑧 −1 ) = 𝐵 + (𝑧 −1 )𝑃′ (𝑧 −1 ) = (1 + 0.4631𝑧 −1 )(1 + 0.0819𝑧 −1 ) = 1 + 0.545𝑧 −1 + 0.03792𝑧 −2
Finalmente, la ley de control es:
𝑧(0.1535𝑧 −1 + 0.0676𝑧 −2 )𝑤(𝑘) = 0.038[(1 + 0.545𝑧 −1 + 0.03792𝑧 −2 )𝑢(𝑘) + 1.855𝑦𝑝 (𝑘)]
Despejando 𝑢(𝑘) se obtiene:
𝑢(𝑘) = 4.0394𝑤(𝑘) + 1.7789𝑤(𝑘 − 1) − 0.545𝑢(𝑘 − 1) − 0.03792𝑢(𝑘 − 2) − 1.855𝑦𝑝 (𝑘)
Tomando transformada z y reuniendo términos:
[1 + 0.545𝑧 −1 + 0.03792𝑧 −2 ]𝑈(𝑧) = [4.0394 + 1.7789𝑧 −1 ]𝑊 (𝑧) − 1.855𝑌𝑝 (𝑧)
Es decir:
Luis Eduardo García Jaimes
132
Sistemas de Control Avanzado
𝑈 (𝑧 ) =
4.0394𝑧 (𝑧 + 0.4404)
1.855𝑧 2
𝑊 (𝑧 ) −
𝑌 (𝑧)
(𝑧 + 0.4631)(𝑧 + 0.0819)
(𝑧 + 0.4631)(𝑧 + 0.0819) 𝑝
La figura 6.5 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta
del mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria.
4.0394z(z+0.4404)
0.038(z+0.4631)
(z+0.4631)(z+0.0819)
z2(z-0.8607)
1.855z2
(z+0.4631)(z+0.0819)
1
y(k)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
t[s]
200
250
300
Figura 6.5 Control con modelo de referencia
EJEMPLO 6.4
La función de transferencia de un sistema térmico está dada por:
𝐺𝑝 (𝑆) =
30𝑒 −2𝑆
(20𝑆 + 1)(2𝑆 + 1)
El sistema es muestreado cada tres segundos. Diseñar para el sistema un
controlador con modelo de referencia de modo que su comportamiento en lazo
cerrado siga la dinámica de un modelo de segundo orden con ganancia unitaria,
coeficiente de amortiguamiento 𝜉 = 0.8 y constante de tiempo equivalente igual a
12.5 s.
SOLUCIÓN: al discretizar el sistema con 𝑇 = 3 𝑠 se obtiene:
𝐻𝐺𝑝 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )𝑧 −𝑁 ℑ𝑚 [
Luis Eduardo García Jaimes
𝐺𝑝 (𝑆)
]
𝑆
133
Sistemas de Control Avanzado
0.1699𝑧 2 + 1.6603𝑧 + 0.3746 0.1699𝑧 −1 + 1.6603𝑧 −2 + 0.3746𝑧 −3
𝐻𝐺𝑝 (𝑧) =
=
𝑧 (𝑧 − 0.8607)(𝑧 − 0.4723)
1 − 1.333𝑧 −1 + 0.4065𝑧 −2
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 − 1.333𝑧 −1 + 0.4065𝑧 −2
𝑑=0
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 𝐵+(𝑧 −1 )𝐵− (𝑧 −1 ) = 0.1699𝑧 −1 (1 + 0.2311𝑧 −1 )(1 + 9.5411𝑧 −1 )
El numerador 𝐵(𝑧 −1 ) tiene un cero fuera del círculo unitario, entonces:
𝐵+ (𝑧 −1 ) = (1 + 0.2311𝑧 −1 )
𝑏1 = 0.1699
𝐵−(𝑧 −1 ) = (1 + 9.5411𝑧 −1 )
Para obtener la función de transferencia discreta del modelo de referencia se tiene:
𝜉 = 0.8
𝜏 = 12.5 𝑠.
𝑤𝑛 =
|𝑧| = 𝑒 −𝜉𝑤𝑛 𝑇 = 0.7866
1
= 0.1 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜉𝜏
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇√1 − 𝜉 2 = 10.31𝑜
Los polos deseados para el sistema en lazo cerrado son: 𝑧 = 0.7739 ± 𝑗0.1408 y su
ecuación característica es: 𝑧 2 − 1.5478𝑧 + 0.6187 = 0
El modelo de referencia debe tener en el numerador el cero inestable del sistema a
controlar, es decir:
𝐻𝐺𝑚 (𝑧 −1 ) =
𝐵𝑚 (𝑧 −1 )
𝐾𝑧 −1 (1 + 9.5411𝑧 −1 )
=
𝐴𝑚 (𝑧 −1 ) 1 − 1.5478𝑧 −1 + 0.6187𝑧 −2
Para que el sistema tenga ganancia unitaria se debe cumplir que:
𝐾𝑧 −1 (1 + 9.5411𝑧 −1 )
lim
=1
𝑧→1 1 − 1.5478𝑧 −1 + 0.6187𝑧 −2
𝐾 = 0.006726
Por lo tanto el modelo de referencia es:
𝐻𝐺𝑚 (𝑧 −1 ) =
𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) 0.006726𝑧 −1 (1 + 9.5411𝑧 −1 )
=
𝐴𝑚 (𝑧 −1 )
1 − 1.5478𝑧 −1 + 0.6187𝑧 −2
𝐴𝑚 (𝑧 −1 ) = 1 − 1.5478𝑧 −1 + 0.6187𝑧 −2
𝐵𝑚 (𝑧 −1 ) = 0.006726𝑧 −1 (1 + 9.5411𝑧 −1 )
La ley de control está determinada por la ecuación:
𝑃(𝑧 −1 )𝑈(𝑧) = 𝐹 (𝑧 −1 )𝑊 (𝑧) − 𝑄 (𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑧)
Grado de 𝑃(𝑧 −1 ): 𝑚 + 𝑑 − 1 = 2
Grado de 𝑄(𝑧 −1 ): 𝑚 − 1 = 2
𝑃(𝑧 −1 ) = 𝐵+(𝑧 −1 )𝑃′ (𝑧 −1 ) = (1 + 0.2311𝑧 −1 )(1 + 𝑝1 𝑧 −1 )
𝑄(𝑧 −1 ) = 𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1 + 𝑞2 𝑧 −2
Luis Eduardo García Jaimes
134
Sistemas de Control Avanzado
Las ecuaciones de diseño son:
𝑃′ (𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑏1 𝑄(𝑧 −1 )𝐵− (𝑧 −1 )𝑧 −(𝑑+1) = 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )𝑅 (𝑧 −1 )
(1 + 𝑝1 𝑧 −1 )(1 − 1.333𝑧 −1 + 0.4065𝑧 −2 ) + 0.1699(𝑞𝑜 + 𝑞1 𝑧 −1 + 𝑞2 𝑧 −2 )(1 + 9.5411𝑧 −1 )𝑧 −1
= 1 − 1.5478𝑧 −1 + 0.6187𝑧 −2
Efectuando operaciones y reuniendo términos semejantes:
1 − [1.333 − 𝑝1 − 0.1699𝑞𝑜 ]𝑧 −1 + [0.4065 − 1.333𝑝1 + 1.621𝑞𝑜 + 0.1699𝑞1 ]𝑧 −2
+ [0.4065𝑝1 + 1.621𝑞1 + 0.1699𝑞2 ]𝑧 −3 + 1.621𝑞2 𝑧 −4
= 1 − 1.5478𝑧 −1 + 0.6187𝑧 −2
Comparando término a término se obtiene:
1.333 − 𝑝1 − 0.1699𝑞𝑜 = 1.5478
0.4065 − 1.333𝑝1 + 1.621𝑞𝑜 + 0.1699𝑞1 = 0.6187
0.4065𝑝1 + 1.621𝑞1 + 0.1699𝑞2 = 0
1.621𝑞2 = 0
Al resolver las ecuaciones anteriores resulta:
𝑞𝑜 = −0.04483
𝑞1 = 0.05193
𝑞2 = 0
𝑝1 = −0.207
Es decir:
𝑄(𝑧 −1 ) = −0.04483 + 0.05193𝑧 −1
𝑃′ (𝑧 −1 ) = 1 − 0.207𝑧 −1
El filtro 𝐹(𝑧 −1 ) se obtiene con la ecuación 6.40:
𝐹 (𝑧 −1 ) =
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 ) 𝑧 ∗ 0.006726𝑧 −1 (1 + 9.5411𝑧 −1 )
=
= 0.03958
𝑏1 𝐵−(𝑧 −1 )
0.1699(1 + 9.5411𝑧 −1 )
La ley de control es:
𝑃(𝑧 −1 )𝑈(𝑧) = 𝐹 (𝑧 −1 )𝑊 (𝑧) − 𝑄(𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑧)
(1 + 0.2311𝑧 −1 )(1 − 0.207𝑧 −1 )𝑈(𝑧) = 0.03958𝑊(𝑧) − (−0.04483 + 0.05193𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑧)
Es decir:
(−0.04483 + 0.05193𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑧)
0.03958𝑊 (𝑧)
𝑈 (𝑧 ) =
−
(1 + 0.2311𝑧 −1 )(1 − 0.207𝑧 −1 ) (1 + 0.2311𝑧 −1 )(1 − 0.207𝑧 −1 )
0.03958𝑧 2
(0.05193𝑧 − 0.04483𝑧 2 )
𝑈 (𝑧 ) =
∗ 𝑊 (𝑧 ) −
∗ 𝑦 (𝑧 )
(𝑧 + 0.2311)(𝑧 − 0.207)
(𝑧 + 0.2311)(𝑧 − 0.207) 𝑝
Luis Eduardo García Jaimes
135
Sistemas de Control Avanzado
Esta expresión escrita como una ecuación en diferencias es:
𝑢(𝑘 ) = 0.03958𝑤 (𝑘 ) + 0.04438𝑦𝑝 (𝑘 ) − 0.05193𝑦𝑝 (𝑘 − 1) − 0.0241𝑢(𝑘 − 1)
+ 0.0478𝑢(𝑘 − 2)
La figura 6.6 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta
del mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria.
1.2
1
y(k)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
t [s]
600
700
800
900
1000
Figura 6.6 Diagrama en bloques del sistema de control y respuesta del
mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria.
APLICACIÓN: Para un sistema de segundo orden caracterizado por el modelo
discreto:
𝐺𝑝 (𝑧) =
𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2
∗ 𝑧 −𝑑
1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2
6.46
Se propone como modelo de referencia el siguiente sistema discreto:
𝐺𝑚 (𝑧) =

𝛽1 𝑧 −1 + 𝛽2 𝑧 −2
∗ 𝑧 −𝑑
1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
6.47
Con 𝑚 = 2 y 𝑑 = 0 y asumiendo que todos los ceros de 𝐵(𝑧 −1 ) están dentro del
circulo unitario (𝑏1 > 𝑏2 )
Luis Eduardo García Jaimes
136
Sistemas de Control Avanzado
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 (1 +
𝑏2 −1
𝑧 )
𝑏1
𝐵+(𝑧 −1 ) = (1 +
𝑏2 −1
𝑧 )
𝑏1
𝐵+ (𝑧 −1 ) = 1
𝑃(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑝1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑝𝑚+𝑑−1 𝑧 −(𝑚+𝑑1) = 1 + 𝑝1 𝑧 −1
Es decir:
𝑃(𝑧 −1 ) = 𝐵+(𝑧 −1 )𝑃′ (𝑧 −1 ) = (1 +
𝑏2 −1
𝑧 )
𝑏1
𝑃′ (𝑧 −1 ) = 1
𝑄(𝑧 −1 ) = 𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑞𝑚−1 𝑧 −(𝑚−1) = 𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1
Los polinomios 𝑃′ (𝑧 −1 ) y 𝑄 (𝑧 −1 ) se relacionan mediante la ecuación:
𝑃′ (𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑏1 𝑄 (𝑧 −1 )𝐵−(𝑧 −1 )𝑧 −(𝑑+1) = 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )
1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + 𝑏1 (𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 )𝑧 −1 = 1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
Factorizando:
1 + (𝑎1 + 𝑏1 𝑞0 )𝑧 −1 + (𝑎2 + 𝑏1 𝑞1 )𝑧 −2 = 1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
La identidad anterior se cumple cuando:
𝑝1 =
𝑏2
𝑏1
𝑞0 =
𝛼1 − 𝑎1
𝑏1
𝑞1 =
𝛼2 − 𝑎2
𝑏1
6.48
La ley de control está dada por:
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅 (𝑧 −1 )𝑤(𝑘 ) = 𝑏1 [𝑃(𝑧 −1 )𝑢(𝑘 ) + 𝑄(𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑘 )]
𝑧(𝛽1 𝑧 −1 + 𝛽2 𝑧 −2 )𝑤(𝑘 ) = 𝑏1 [(1 + 𝑝1 𝑧 −1 )𝑢(𝑘 ) + (𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑘)]
Es decir:
𝑢 (𝑘 ) =
1
[𝛽 𝑤(𝑘 ) + 𝛽2 𝑤(𝑘 − 1) − 𝑏1 𝑝1 𝑢(𝑘 − 1) − 𝑏1 𝑞0 𝑦𝑝 (𝑘 ) − 𝑏1 𝑞1 𝑦𝑝 (𝑘 − 1)] 6.49
𝑏1 1
Para realizar el control adaptativo se cuenta entonces con el vector de parámetros
del proceso 𝜃 = [𝑎1
referencia 𝜃𝑚 = [𝛼1
𝑎2
𝛼2
𝑏1
𝛽1
𝑏2 ]𝑇 , el vector de parámetros del modelo de
𝛽2 ]𝑇 y las ecuaciones 6.48 y 6.49 para calcular el
algoritmo de control.

Con 𝑚 = 2 y 𝑑 = 1 y asumiendo que todos los ceros de 𝐵(𝑧 −1 ) están dentro del
circulo unitario (𝑏1 > 𝑏2 )
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 (1 +
𝑏2 −1
𝑧 )
𝑏1
𝐵+(𝑧 −1 ) = (1 +
𝑏2 −1
𝑧 )
𝑏1
𝐵+(𝑧 −1 ) = 1
𝑃(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑝1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑝𝑚+𝑑−1 𝑧 −(𝑚+𝑑1) = 1 + 𝑝1 𝑧 −1 + 𝑝2 𝑧 −2
Luis Eduardo García Jaimes
137
Sistemas de Control Avanzado
𝑃(𝑧 −1 ) = 𝐵+(𝑧 −1 )𝑃′ (𝑧 −1 ) = (1 +
𝑏2 −1
𝑧 ) (1 + 𝑝1 𝑧 −1 )
𝑏1
𝑃′ (𝑧 −1 ) = (1 + 𝑝1 𝑧 −1 )
𝑄 (𝑧 −1 ) = 𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 + ⋯ 𝑞𝑚−1 𝑧 −(𝑚−1) = 𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1
Los polinomios 𝑃′ (𝑧 −1 ) y 𝑄 (𝑧 −1 ) se relacionan mediante la ecuación:
𝑃′ (𝑧 −1 )𝐴(𝑧 −1 ) + 𝑏1 𝑄(𝑧 −1 )𝐵−(𝑧 −1 )𝑧 −(𝑑+1) = 𝐴𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )
(1 + 𝑝1 𝑧 −1 )(1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 ) + 𝑏1 (𝑞0 + 𝑞1 𝑧 −1 )𝑧 −2 = 1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
1 + (𝑎1 + 𝑝1 )𝑧 −1 + (𝑎2 + 𝑎1 𝑝1 + 𝑏1 𝑞0 )𝑧 −2 + (𝑎2 𝑝1 + 𝑏1 𝑞1 ) = 1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
Comparando término a término se obtiene:
𝛼2 − 𝑎2 − 𝑎1 𝑝1
𝑝1 = 𝛼1 − 𝑎1
𝑞0 =
𝑏1
𝑞1 = −
𝑎2 𝑝1
𝑏1
6.50
La ley de control está dada por:
𝑧𝐵𝑚 (𝑧 −1 )𝑅(𝑧 −1 )𝑤(𝑘 ) = 𝑏1 [𝑃(𝑧 −1 )𝑢(𝑘 ) + 𝑄(𝑧 −1 )𝑦𝑝 (𝑘 )]
Reemplazando y simplificando se obtiene:
u(k)=
1
[β w(k)+β2 w(k-1)-(b2 +b1p1 )u(k-1)-b2 p1 u(k-2)-b1 q 0yp (k)b1 1
b1 q 1 yp (k-1)] 6.51
Para realizar el control adaptativo se cuenta entonces con el vector de parámetros
del proceso 𝜃 = [𝑎1
referencia 𝜃𝑚 = [𝛼1
𝑎2
𝛼2
𝑏1
𝛽1
𝑏2 ]𝑇 , el vector de parámetros del modelo de
𝛽2 ]𝑇 y las ecuaciones 6.50 y 6.51 para calcular el
algoritmo de control.
PROBLEMAS PROPUESTOS
6.1 Sea el tanque con agitador representado en la figura 6.7.
Luis Eduardo García Jaimes
138
Sistemas de Control Avanzado
Figura 6.7 Tanque para el problema 6.1
El objetivo es controlar la temperatura 𝑇𝑜 del fluido de salida 𝑓𝑜 , manipulando el
caudal de vapor 𝑞𝑖 que pasa a través del serpentín. Se debe controlar también el
nivel del tanque manipulando el flujo de entrada 𝑓𝑖 . Se dispone de sensores para
medir el nivel, el flujo de entrada y el flujo de salida del tanque y las temperaturas
de entrada y de salida del fluido.
Mediante una serie de experiencias llevadas a cabo en el entorno de las condiciones
nominales de operación, se han obtenido las funciones de transferencia que se
presentan a continuación (tiempo en segundos):
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%)
2.5𝑒 −20.3𝑆
=
Flujo de vapor (%)
75.4𝑆 + 1
𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%)
1.25𝑒 −4.2𝑆
=
Flujo de entrada (%)
37.4𝑆 + 1
a) Obtenga un diagrama de instrumentación para el proceso incluyendo todos los
componentes necesarios para realizar el control digital del mismo. b) Dibuje un
diagrama de bloques del proceso completo identificando todas las variables
significativas (manipuladas, controladas y perturbaciones a la entrada y a la salida).
c) Diseñe controladores por modelo de referencia discretos para regular el nivel y la
temperatura del tanque. Analice la viabilidad del modelo de referencia seleccionado
en cada caso.
6.2 El sistema de la figura 6.8 representa un intercambiador de calor con un
sistema de calefacción interno no manipulable que calienta un flujo 𝑞 de agua desde
una temperatura 𝑇𝑖 (𝑡) a una temperatura 𝑇(𝑡).
Luis Eduardo García Jaimes
139
Sistemas de Control Avanzado
Figura 6.8 Intercambiador para el problema 6.2
Para este sistema se sabe que la relación entre la señal de control aplicada a la
válvula de entrada 𝑚(𝑡) y la temperatura de salida 𝑇(𝑡) viene dada por:
3
𝑑 2 𝑇(𝑡)
𝑑𝑇(𝑡)
+ 1.5
+ 0.6𝑇(𝑡) = 4𝑚(𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Para el análisis del sistema se considera un periodo de muestreo de 0.5 min.
Se desea que el sistema siga como modelo de referencia a un sistema de segundo
orden con coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8 y constante de tiempo de 2.5
min. Obtenga la ley de control para el controlador discreto que cumpla con dichas
especificaciones.
6.3 La función de transferencia de un determinado proceso es
𝐺𝑝(𝑆) =
2
8𝑆 + 1
𝑇 = 1.5 𝑠.
El proceso está en serie con un sensor 𝐺𝑚 (𝑆) como se indica en la figura 6.9. Existe
la posibilidad de seleccionar la función de transferencia del sensor así:
𝑎) 𝐺𝑚 (𝑆) = 𝑒 −2𝑆
𝑏) 𝐺𝑚 (𝑆) =
1
𝑆+1
𝑐) 𝐺𝑚 (𝑆) =
𝑒 −2𝑆
𝑆+1
Obtenga para el sistema, el controlador por modelo de referencia discreto adecuado
para cada tipo de sensor propuesto. Justifique la selección de los parámetros del
modelo en cada caso.
Figura 6.9 Sistema para el problema 6.3
6.4 Para un sistema de segundo orden caracterizado por el modelo discreto:
𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2
𝐺𝑝 (𝑧) =
∗ 𝑧 −𝑑
1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2
Se propone como modelo de referencia el siguiente sistema discreto:
Luis Eduardo García Jaimes
140
Sistemas de Control Avanzado
𝛽1 𝑧 −1 + 𝛽2 𝑧 −2
𝐺𝑚 (𝑧) =
∗ 𝑧 −𝑑
1 + 𝛼1 𝑧 −1 + 𝛼2 𝑧 −2
Asuma 𝑑 = 2 y que 𝑏1 > 𝑏2 y obtenga una expresión para calcular la ley de control
𝑢(𝑘) en función de los parámetros de la planta y del modelo de referencia.
REFERENCIAS
[6.1]
Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de
Sevilla.1996.
[6.2] Äström, K., Wittenmark. Adaptive Control, Prentice Hall.1989
[6.3] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.

Äström, K., Hägglung. Automatic Tuning of PID Controllers, ISA.1988

Bellman, R. Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University.
1961.

Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley,
1990.

Phillips, C. Nagle, H. Digital control systems. Análysis and Desing. Ediciones G.
Gili. 1997.

Söderström, T. & Stoica, P. System Identification, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, N.J. 1989.
Luis Eduardo García Jaimes
141
Sistemas de Control Avanzado
7.
CONTROL CON GANANCIA
PROGRAMABLE
La técnica de la ganancia programable (Gain scheduling) es un acercamiento al
control de sistemas no lineales que utiliza una familia de controladores lineales,
para proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operación del
sistema.
Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo
parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulación o de
programación (“scheduling variables”), de modo que cuando estas variables
asumen un valor constante se obtiene un punto de funcionamiento [7.1] Para
sintonizar el controlador adecuado se utilizan una o más de las variables de
Luis Eduardo García Jaimes
142
Sistemas de Control Avanzado
programación. En este caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos de
operación de interés, obteniéndose una familia de modelos lineales para la cual se
diseña una familia de controladores lineales. Luego, se implementa el esquema de
control con un controlador cuyos parámetros son cambiados acorde a los valores
que
toman
las
variables
de
programación,
que
deberán
monitorearse
continuamente.
La literatura no documenta reglas generales para el diseño de controladores con
ganancia programable. Sin embargo, se pueden establecer los siguientes pasos:
 Determinar las variables de programación: Estas variables deben reflejar las
condiciones de operación de la planta y permitir establecer expresiones simples
que relacionen los parámetros del controlador con las variables de ajuste. Esto
se hace normalmente mediante la identificación física del sistema.
 Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operación: estos
puntos deben estar parametrizados por las variables de programación. Si el
sistema es no lineal se linealiza alrededor de dichos puntos.
 Calcular los parámetros del controlador para los diferentes puntos de
operación: Se calculan los parámetros del controlador para un determinado
número de condiciones de trabajo, en función de las variables de programación,
empleando algún método de diseño apropiado. El controlador se calibra o
sintoniza para cada condición de operación. No existe norma sobre el número
de condiciones o zonas de operación
en que debe dividirse el rango de
operación de la planta, el diseñador decide al respecto.
 Seleccionar el controlador en función de las variables de programación:
según el punto de operación en que se encuentre el proceso, se selecciona el
controlador diseñado para dicho punto de operación. Para evitar los
inconvenientes que puede causar la conmutación de un controlador a otro se
puede generar una ecuación de regresión que permita calcular los parámetros
del controlador en función de las variables de programación.
En la figura 7.1 se presenta un diagrama básico de la técnica de control por ganancia
programable.
Luis Eduardo García Jaimes
143
Sistemas de Control Avanzado
Parámetros del
Controlador
Programación
Precalculada
Controlador
SP
+
Planta
Señal de
Control
-
Punto de
Trabajo
Salida
Figura 7.1 Control con ganancia programable.
EJEMPLO 7.1
La figura 7.2 muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones
aplicados en diferentes zonas de operación. La temperatura se midió con un
instrumento calibrado de 0 a 100 ºC y la apertura de la válvula se da en porcentaje.
Diseñar para el sistema un controlador PI con ganancia programable.
Figura 7.2 Prueba del escalón
SOLUCIÓN: La dinámica del intercambiador se aproximó a un sistema de primer
orden con retardo. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones aplicados,
se discretizaron los modelos y para cada uno de ellos se calculó un controlador PI
utilizando el método de Ziegler-Nichols.
Modelos continuo y discreto:
′
𝐾𝑒 −𝜃 𝑆
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝜏𝑆 + 1
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ𝑚 [
𝐺(𝑆)
]
𝑆
Controlador PI:
Luis Eduardo García Jaimes
144
Sistemas de Control Avanzado
𝐷 (𝑧 ) =
𝑞𝑜 𝑧 + 𝑞1
𝑧−1
Formulas empleadas para el cálculo del controlador:
𝜃 = 𝜃′ +
𝑇
2
𝑞𝑜 = 𝐾𝐶 [1 +
𝐾𝐶 =
𝑇
]
2𝜏𝑖
0.9𝜏
𝐾𝜃
𝜏𝑖 = 3.33𝜃
𝑞1 = −𝐾𝐶 [1 −
𝑇
]
2𝜏𝑖
En la tabla 7.1 se muestran los parámetros obtenidos para los controladores en
cada uno de los puntos de operación considerados.
Tabla 7.1 Controladores obtenidos
𝑇 º𝐶
𝐺𝑝 (𝑆)
𝐻𝐺(𝑧)
𝑞𝑜
𝑞1
22
2.2𝑒 −8𝑆
40𝑆 + 1
0.3532𝑧 + 0.0229
𝑧 2 (𝑧 − 0.8291)
1.5261
-1.2592
40
2.6𝑒 −8𝑆
46𝑆 + 1
0.25972𝑧 + 0.0411
𝑧 2 (𝑧 − 0.8495)
1.8289
-1.5233
52
1.8𝑒 −8.8𝑆
38𝑆 + 1
0.27098𝑧 + 0.0514
𝑧 2 (𝑧 − 0.8208)
1.6498
-1.3781
67
1.5𝑒 −8.4𝑆
42𝑆 + 1
0.2183𝑧 + 0.0271
𝑧 2 (𝑧 − 0.8364)
2.2663
-1.8818
78
1.4𝑒 −9.1𝑆
32𝑆 + 1
0.2357𝑧 + 0.0567
𝑧 2 (𝑧 − 0.7910)
1.7412
-1.4606
Las ecuaciones para el cálculo de 𝑞𝑜 y de 𝑞1 que se han de utilizar para estimar el
controlador son:
𝑞𝑜 = −0.00000320219331 ∗ 𝑇 4 + 0.00064731670415 ∗ 𝑇 3 − 0.04637864761192 ∗ 𝑇 2
+ 1.38740212216297 ∗ 𝑇 − 12.69195431747467
𝑞1 = 0.00000261383293 ∗ 𝑇 4 − 0.00052895390772 ∗ 𝑇 3 + 0.03795090114038 ∗ 𝑇 2
−1.13753686472272 ∗ 𝑇 + 10.41839242409771
Los datos presentados en la tabla 7.1 y las ecuaciones de regresión para estimar
los parámetros 𝑞𝑜 y 𝑞1 del controlador, se obtienen a partir de los valores de los
puntos de operación y de los modelos de primer orden con retardo
Luis Eduardo García Jaimes
145
Sistemas de Control Avanzado
correspondientes. Para
ello se utilizó el programa en MATLAB que se da a
continuación:
% GANANCIA PROGRAMABLE
% El programa calcula un controlador PI según Ziegler-Nichols
% Para este caso, el modelo debe ser de primer orden con retardo POR
% Para cada punto de operación se debe estimar el modelo correspondiente.
% Puntos de operación: los valores medios de la respuesta de la variable en cada
% uno de los escalones.
clc
T=input('Entre los puntos de operacion V=');
L=length(T);
N=0;
while N<L
N=N+1
n=input('Entre el numerador n=');
d=input('Entre el denominador d=');
R=input('Entre el retardo R=');
TM=input('Entre el periodo de muestreo TM=');
[a,b,c,d1]=tf2ss(n,d);
[ad,bd,cd,dd]=c2dt(a,b,c,TM,R);
[nd1,dd1]=ss2tf(ad,bd,cd,dd);
k=length(nd1);
for j=1:k
if (abs(nd1(j)))<10^(-8)
nd1(j)=0;
else
nd1(j)=nd1(j);
end
end
printsys(nd1,dd1,'z')
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146
Sistemas de Control Avanzado
theta=R+TM/2;
kc=0.9*d(1)/(n*theta);
ti=3.33*theta;
qo=kc*(1+TM/(2*ti))
q1=-kc*(1-TM/(2*ti))
qo1(N)=qo
q11(N)=q1
end
disp('Los coeficientes para el calculo de qo sn:')
coeqo=polyfit(T,qo1,4);
disp('Los coeficientes para el calculo de q1 son:')
coeq1=polyfit(T,q11,4);
T1=20:85;
qo2=polyval(coeqo,T1);
q12=polyval(coeq1,T1);
figure(1)
plot(T1,qo2,T,qo1,'*')
title('VALORES DE qo')
xlabel('T (ºC)')
ylabel('qo')
grid
figure(2)
plot(T1,q12,T,q11,'*')
title('VALORES DE q1')
xlabel('T (ºC)')
ylabel('q1')
grid
La figura 7.3 muestra la variación de 𝑞0 con la temperatura
Luis Eduardo García Jaimes
147
Sistemas de Control Avanzado
VALORES DE qo
2.5
qo
2
1.5
1
20
30
40
60
50
70
80
90
T (ºC)
Figura 7.3 Variación de 𝒒𝟎 con la temperatura
La figura 7.4 muestra la variación de 𝑞0 con la temperatura
VALORES DE q1
-0.6
-0.8
-1
q1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
20
30
40
50
60
70
80
90
T (ºC)
Figura 7.4 Variación de 𝒒𝟏 con la temperatura
La figura 7.5 muestra la forma de simular el sistema con ganancia programable con
el controlador PI. Los polinomios para el cálculo de 𝑞𝑜 y 𝑞1 se incluyen en el bloque
f(u).
Los resultados de la simulación se muestran en la figura 7.6, se manejaron los
puntos de operación correspondientes a 40, 70 y 50 ºC respectivamente. Para
disminuir el sobreimpulso los valores estimados para 𝑞0 y 𝑞1 se multiplicaron por
0.75
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148
Sistemas de Control Avanzado
r(k)
m(k)
1.5
T
42s+1
e(k)
20
-1
Z
-K-
qo
To Workspace
-1
Z
e(k-1)
D
f(u)
q1
-K-
f(u)
Figura 7.5 Simulación para el ejemplo 7.1
Otra alternativa para realizar el control por ganancia programable consiste en
seleccionar un controlador fijo para cada punto de operación. En este caso se
utilizan ciertos valores de la variable de programación para realizar la conmutación
entre los diferentes controladores. En el ejemplo 7.2 se ilustra el método.
Figura 7.6 resultado de la simulación con ganancia programable.
EJEMPLO 7.2
La dinámica de los tanques interconectados de la figura 7.7 se describe mediante
las ecuaciones diferenciales no lineales:
𝑑ℎ1
= 𝑞𝑖 − 0.5√ℎ1 − ℎ2
𝑑𝑡
𝑑ℎ2
= 0.5√ℎ1 − ℎ2 − 0.5√ℎ2
𝑑𝑡
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149
Sistemas de Control Avanzado
Figura 7.7 Tanques interconectados para el ejemplo 7.2
Para el diseño del controlador se proponen como puntos de equilibrio: 𝑞𝑖 = 0.4, 𝑞𝑖 =
0.8, 𝑞𝑖 = 0.6 y 𝑞𝑖 = 0.2 . a) Linealice el sistema alrededor de cada uno de los puntos
de operación establecidos. b) Obtenga, para cada punto de operación, la matriz de
ganancia de realimentación incluyendo integrador de modo que los polos de lazo
cerrado del sistema queden ubicados en 𝑆 = −0.1, 𝑆 = −0.2 𝑦 𝑆 = −0.5. c) Simule
el sistema de control obtenido con el sistema no lineal propuesto originalmente.
SOLUCIÓN: Para ilustrar el procedimiento se resuelve completamente el problema
para el punto de equilibrio correspondiente a 𝑞𝑖 = 0.4. Los resultados para todos los
puntos de equilibrio se presentan en la tabla 7.2
La dinámica del sistema linealizado se puede representar mediante la ecuación de
estado:
𝒉̇1 = 𝐴𝒉 + 𝐵𝑞𝑜
𝑦 = 𝐶𝒉
En donde:
𝒉=[
ℎ1
]
ℎ2
𝜕𝑓1
𝜕ℎ1
𝐴=
𝜕𝑓2
[𝜕ℎ1
𝜕𝑓1
𝜕ℎ2
𝜕𝑓2
𝜕ℎ2 ]
𝜕𝑓1
𝜕𝑞𝑜
𝐵=
𝜕𝑓2
[𝜕𝑞𝑜 ]
𝐶 = [1 0]
Las derivadas parciales se calculan en el punto de equilibrio:
[ℎ1 (0)
ℎ2 (0)
𝑞𝑜 (0)]
Los puntos de equilibrio cumplen con la condición: ℎ̇𝑖 = 0 es decir:
𝑞𝑖 − 0.5√ℎ1 − ℎ2 = 0
0.5√ℎ1 − ℎ2 − 0.5√ℎ2 = 0
Luis Eduardo García Jaimes
150
Sistemas de Control Avanzado
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para 𝑞𝑖 = 0.4 se obtiene que el punto
de equilibrio es: [1.28
0.64
0.4]
Para el cálculo de las matrices 𝐴 y 𝐶 se tiene:
𝜕𝑓1
0.25
=−
= −0.3125
𝜕ℎ1
√ℎ1 − ℎ2
𝜕𝑓2
0.25
=
= 0.3125
𝜕ℎ1 √ℎ1 − ℎ2
𝜕𝑓1
0.25
=
= 0.3125
𝜕ℎ2 √ℎ1 − ℎ2
𝜕𝑓2
0.25
0.25
=−
−
= −0.625
𝜕ℎ2
√ℎ1 − ℎ2
√ℎ2
𝜕𝑓1
=1
𝜕𝑞𝑜
𝜕𝑓2
=0
𝜕𝑞𝑜
El sistema linealizado es, entonces:
ℎ̇
−0.3125
[ 1] = [
̇ℎ2
0.3125
0.3125 ℎ1
1
] [ ] + [ ] 𝑞0
0
−0.625 ℎ2
𝑦 = [1 0] [
ℎ1
]
ℎ2
La matriz de ganancia de realimentación del sistema incluyendo integrador está
dada por la fórmula de Ackerman:
𝐾 = [0 0 … 1][𝐵̂
𝐴̂𝐵̂
𝐴̂2 𝐵̂
−1
… 𝐴̂𝑛−1 𝐵̂] 𝜑(𝐴̂)
En donde:
𝐴
𝐴̂ = [
𝐶
𝐵
𝐵̂ = [ ]
0
0
]
0
𝜑(𝐴̂) = 𝐴𝑛 + 𝑎1 𝐴𝑛−1 + 𝑎2 𝐴𝑛−2 + ⋯ 𝑎𝑛
Siendo 𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑎𝑛 los coeficientes de la ecuación característica deseada:
𝑆 𝑛 + 𝑎1 𝑆 𝑛−1 + 𝑎2 𝑆 𝑛−2 + ⋯ 𝑎𝑛 = 0
Entonces:
−0.3125
𝐴̂ = [ 0.3125
1
0.3125
−0.625
0
0
0]
0
1
𝐵̂ = [0]
0
La ecuación característica deseada es:
(𝑆 + 0.1)(𝑆 + 0.2)(𝑆 + 0.5) = 0
𝑆 3 + 0.8𝑆 2 + 0.17𝑆 + 0.01 = 0
Por lo tanto:
−0.03946
3
2
̂
̂
̂
̂
𝜑(𝐴) = 𝐴 + 0.8𝐴 + 0.17𝐴 + 0.01𝐼 = [ 0.06289
0.11531
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0.06289
−0.10235
−0.042968
0
0 ]
0.01
151
Sistemas de Control Avanzado
[𝐵̂
𝐾 = [0
𝐴̂𝐵̂
1
2 ̂] = [0
̂
𝐴 𝐵
0
1 −0.3125
0 1] [0 0.3125
0
1
−0.3125
0.3125
1
0.19531
−0.29296]
−0.3125
0.19531 −1 −0.03946
−0.29296] [ 0.06289
0.11531
−0.3125
𝐾 = [−0.1375 0.4553
0.06289
−0.10235
−0.042968
0
0 ]
0.01
0.016]
La ganancia correspondiente al integrador es:
𝐾𝑖 = [0.016]
La matriz de ganancia de realimentación es:
𝐾1 = [−0.1375
0.4553]
En la tabla 7.2 se presentan los valores de la ganancia del integrador y de la matriz
de ganancia de realimentación para cada punto de operación.
Tabla 7.2 Ganancias del sistema en función del punto de operación 𝒒𝒐
𝑲
𝑷𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑬𝑹𝑨𝑪𝑰Ó𝑵
𝑲𝟏
𝑲𝒊
0.2
[−1.0750
1.7842 0.008]
[−1.075 1.7842]
[0.008]
0.4
[−0.1375
0.4553 0.016]
[−0.1375
0.4553]
[0.016]
0.6
[0.1750
0.14246
0.024]
0.14246]
[0.024]
0.8
[0.33125
0.06445
0.032] [0.033125
[0.1750
0.06445]
[0.032]
A continuación se presenta el programa en Matlab utilizado para realizar los cálculos
de la matriz de ganancia de realimentación y de la ganancia del integrador.
% gananciavar11
% Se trabaja conjuntamente con el diagrama gananciavar1 de simulink
clc
% Generacion de puntos de operacion
t=0:1999;
t=t';
ref1=[0.4*ones(600,1)];
ref2=[0.7*ones(500,1)];
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152
Sistemas de Control Avanzado
ref3=[0.5*ones(500,1)]
ref4=[0.3*ones(400,1)];
reft=[ref1;ref2;ref3;ref4];
ref=[t,reft];
%Parametros y puntos de operacion
q1=0.4;
q2=0.8;
q3=0.6;
q4=0.2;
% Estados de equilibrio para punto1
h1=8*q1^2;
h2=4*q1^2;
a11=-0.25/sqrt(h1-h2);
a12=0.25/sqrt(h1-h2);
a21=0.25/sqrt(h1-h2);
a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);
b11=1;
b21=0;
c=[1 0];
% Matrices linealizadas punto1
a=[a11 a12;a21 a22];
b=[b11;b21];
c=[1 0];
cero=zeros(length(a),1);
A=[a cero;c 0];
B=[b;0];
p=[-0.1 -0.2 -0.5]'; % Polos deseados
K1=acker(A,B,p);
k11=K1(1,1:2);
k21=K1(1,3);
% Estados de equilibrio para punto2
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153
Sistemas de Control Avanzado
h1=8*q2^2;
h2=4*q2^2;
a11=-0.25/sqrt(h1-h2);
a12=0.25/sqrt(h1-h2);
a21=0.25/sqrt(h1-h2);
a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);
b11=1;
b21=0;
c=[1 0];
% Matrices linealizadas punto 2
a=[a11 a12;a21 a22];
b=[b11;b21];
c=[1 0];
cero=zeros(length(a),1);
A=[a cero;c 0];
B=[b;0];
K2=acker(A,B,p);
k12=K2(1,1:2);
k22=K2(1,3);
% Estados de equilibrio para punto3
h1=8*q3^2;
h2=4*q3^2;
a11=-0.25/sqrt(h1-h2);
a12=0.25/sqrt(h1-h2);
a21=0.25/sqrt(h1-h2);
a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);
b11=1;
b21=0;
c=[1 0];
% Matrices linealizadas punto 3
a=[a11 a12;a21 a22];
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154
Sistemas de Control Avanzado
b=[b11;b21];
c=[1 0];
cero=zeros(length(a),1);
A=[a cero;c 0];
B=[b;0];
K3=acker(A,B,p);
k13=K3(1,1:2);
k23=K3(1,3);
% Estados de equilibrio para punto4
h1=8*q4^2;
h2=4*q4^2;
a11=-0.25/sqrt(h1-h2);
a12=0.25/sqrt(h1-h2);
a21=0.25/sqrt(h1-h2);
a22=-0.25/sqrt(h1-h2)-0.25/sqrt(h2);
b11=1;
b21=0;
c=[1 0];
% Matrices linealizadas punto4
a=[a11 a12;a21 a22];
b=[b11;b21];
c=[1 0];
cero=zeros(length(a),1);
A=[a cero;c 0];
B=[b;0];
K4=acker(A,B,p);
k14=K4(1,1:2);
k24=K4(1,3);
sim('gananciavar1')
Luis Eduardo García Jaimes
155
Sistemas de Control Avanzado
La figura 7.8 muestra la respuesta del sistema ante cambios en la referencia y la
figura 7.9 corresponde al diagrama de bloques en simulink realizado para simular el
sistema.
Figura 7.8 Control con ganancia programable y realimentación de estado
En el ejemplo 7.1 los parámetros del controlador se calculan a partir de una
ecuación de regresión en la cual las variables dependientes son los parámetros del
controlador y la variable independiente es la temperatura del intercambiador, en este
caso los parámetros se calculan en forma continua y la dinámica del controlador
varia con cada cambio que se presente en la temperatura. En el ejemplo 7.2 el
procedimiento es diferente: en este caso se estima un modelo del proceso y se
calcula el controlador correspondiente para cada zona de trabajo o punto de
equilibrio seleccionado y el sistema de control asume el controlador correspondiente
cuando la variable controlada entra en su respectiva zona de trabajo.
PROBLEMAS PROPUESTOS
7.1 La figura 7.10 muestra un tanque presurizado con un gas inerte que descarga
a través de una válvula de característica lineal. El caudal a través de una válvula de
este tipo se puede expresar mediante la ecuación:
𝐹 = 𝐾𝑣 𝑥√Δ𝑃
Donde 𝑥 representa la fracción de abertura de la válvula (0 − 1), 𝐾𝑣 el coeficiente
de caudal 𝑚3 ⁄(ℎ. 𝑏𝑎𝑟
1⁄
2)
y Δ𝑃 es la diferencia de presión a través de la válvula
(𝑏𝑎𝑟).
Luis Eduardo García Jaimes
156
Sistemas de Control Avanzado
Po=4 bar
Fe
h
x
F
P=3 bar
Figura 7.10 Tanque presurizado
Luis Eduardo García Jaimes
157
Sistemas de Control Avanzado
Datos:

Caudal nominal a través del tanque: 𝐹 = 15 𝑚3 /ℎ

Coeficiente de caudal de la válvula : 𝐾𝑣 = 20,5 ℎ.𝑏𝑎𝑟1⁄2

Área de la sección transversal del tanque: 𝐴 = 1 𝑚2

Densidad del líquido: 𝜌 = 1000 𝑚3

Presión en el tanque constante: 𝑃0 = 4 𝑏𝑎𝑟

Presión (constante) aguas abajo de la válvula : 𝑃 = 3 𝑏𝑎𝑟
𝑚3
𝑘𝑔
a) Obtener el modelo matemático del proceso que tiene como variable de salida el
nivel ℎ y como variables de entrada el caudal de entrada 𝐹𝑖 y la abertura de la válvula
𝑥. b) Si el valor nominal de la apertura de la válvula es 𝑥 = 0.6, calcular el valor
nominal del nivel ℎ. c) Linealizar el modelo alrededor de los puntos de equilibrio
correspondientes a 𝑥 = 0.4, 𝑥 = 0.5, 𝑥 = 0.6 y 𝑥 = 0.7 y obtener su función de
transferencia para cada caso. d) Discretice los modelos obtenidos con el periodo de
muestreo adecuado e) Tomando como variable de programación la apertura 𝑥 de la
válvula diseñe un controlador Deadbeat con ganancia programada.
7.2 Dado el sistema no lineal:
𝑥̇ 1 = 𝑥22 − cos 𝑥1
𝑥̇ 2 = 𝑥22 + 𝑥2 − 3 + 𝑢
𝑦 = 𝑥1
𝑥2 > 0
1 ≤ 𝑢𝑜 ≤ 3.25
a) Linealice el sistema alrededor de los puntos 𝑢𝑜 = [1 1.2 1.6 2]
b)
Obtenga
para cada punto de operación, la función de transferencia Y(S)/U(S) c) Discretice
cada una de los modelos lineales obtenidos con 𝑇 = 0.2 𝑠. d) Estime el valor de la
matriz de ganancia de realimentación 𝐾 para que el sistema en lazo cerrado tenga
todos sus polos en el origen y obtenga mediante el Matlab un polinomio que permita
calcular los valores de 𝐾 en función de 𝑢𝑜 e) Realice en SIMULINK un diagrama
que permita simular el sistema de control con los 𝐾 estimados mediante los
polinomios.
7.3 Para obtener el modelo del comportamiento dinámico de la temperatura en el
interior de una autoclave en diferentes puntos de operación, se utilizó el método de
Luis Eduardo García Jaimes
158
Sistemas de Control Avanzado
la curva de reacción. Para el efecto se aplicaron varios escalones que cubrieron
diferentes zonas de trabajo de la autoclave. Estos escalones tuvieron una magnitud
del 5% y se aplicaron a la válvula de entrada de vapor a la camisa de la autoclave
con aperturas correspondientes al 40%, 45%, 50%, 55%, 60%, 65%, 70% y 75%.
El transmisor de temperatura se calibró de 0 a 200ºC.
La dinámica de la temperatura se aproximó a un sistema de primer orden con
retardo. En la tabla adjunta se dan los modelos obtenidos para cada temperatura a)
Estime para cada modelo un controlador PI según Ziegler-Nichols. b) La relación
entre la variable temperatura dentro de la autoclave y los parámetros 𝑞𝑜 y 𝑞1 del
controlador se definen mediante una ecuación de la forma:
𝑞(𝑇) = 𝑎𝑛 𝑇 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑇 𝑛−1 + ⋯ 𝑎1 𝑇 + 𝑎𝑜
En dónde 𝑇 es la variable de ajuste. Obtenga los polinomios que permitan calcular
los parámetros del controlador en función de la temperatura y utilice el Simulink para
simular el sistema con los controladores estimados.
𝑻𝑬𝑴𝑷 º𝑪
𝑮𝑻(𝑺)
𝟏𝟎𝟎
−32.8𝑆
3.57𝑒
321.4𝑆 + 1
𝟏𝟎𝟓
−59𝑆
0.96𝑒
289.9𝑆 + 1
𝟏𝟏𝟎
−62.5𝑆
1.04𝑒
367.5𝑆 + 1
𝟏𝟏𝟓%
−89.5𝑆
1.02𝑒
463.2𝑆 + 1
𝟏𝟐𝟎
−50𝑆
0.58𝑒
249.6𝑆 + 1
𝟏𝟐𝟓
0.704𝑒 −72.6𝑆
206.5𝑆 + 1
REFERENCIAS
[7.1] Isermann, R. Digital Control Systems, Springer Verlag .1981.
[7.2] Bellman, R. Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University.
1961.
[7.3] Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley,
1990.
[7.4] Iserman,R. Lachman,K. Adaptive Control Systems. Prentice Hall 1991.
[7.5] Kuo, B: Discrete Data Control Systems, Prentice Hall. 1970
[7.6] Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de
Sevilla.1996.
[7.7] Wang, M. y F. Crusca. Design and implementation of a gain scheduling
controller for a level control system, ISA transactions, 41(3), (2002).
Luis Eduardo García Jaimes
159
Sistemas de Control Avanzado
8.
CONTROL PREDICTIVO
Es una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita de un
modelo del proceso para predecir el valor de las variables controladas a lo largo de
un horizonte temporal especificado por el usuario, calculando el valor de las
variables manipuladas para hacer que en ese horizonte las variables controladas
estén en sus valores de referencia.
Los controladores predictivos calculan los valores de las variables manipuladas en
cada periodo de muestreo de acuerdo con los valores de consigna deseados para
las variables controladas y las restricciones y condiciones de operación del proceso
[8.1].
8.1 ESTRATEGIA DE LOS CONTROLADORES PREDICTIVOS
La metodología de los controladores predictivos se caracteriza por la siguiente
estrategia [8.2], representada en la figura 8.1

En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las salidas
futuras para un determinado horizonte, llamado horizonte de predicción. Estas
salidas predichas, 𝑦(𝑡 + 𝑘 |𝑡) para 𝑘 = 1 … 𝑁 dependen de los valores conocidos
Luis Eduardo García Jaimes
160
Sistemas de Control Avanzado
de las entradas y de las salidas pasadas hasta el instante 𝑡 y de las señales de
control futuras u(𝑡 + 𝑘 |𝑡) para 𝑘 = 0 … 𝑁

Las señales de control futuras se calculan optimizando un determinado criterio
en el que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la
trayectoria de referencia 𝑤(𝑡 + 𝑘 ) (que puede ser directamente el set-point o
una aproximación suave a este). Este criterio suele tomar la forma de una
función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de
referencia también predicha, incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control.
Si el criterio es cuadrático, el modelo lineal y no existen restricciones se puede
obtener una solución explicita, en otro caso se debe usar un método iterativo de
optimización.

Sólo la señal de control 𝑢(𝑡|𝑡) se envía al proceso mientras que las demás
señales de control calculadas se desechan, puesto que en el siguiente instante
de muestreo ya se conoce 𝑦(𝑡 + 1) y se repite el paso 1 con este nuevo valor y
todas las secuencias son actualizadas. Se calcula por tanto 𝑢( 𝑡 + 1| 𝑡 + 1) (que
en principio será diferente al 𝑢(𝑡 + 1| 𝑡) al disponer de nueva información),
haciendo uso del concepto de horizonte deslizante.
Figura 8.1 Estrategia del control predictivo
8.2 ESTRUCTURA BÁSICA DEL CONTROL PREDICTIVO
Para llevar a cabo la estrategia propuesta, se usa una estructura como la mostrada
en la figura 8.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del
Luis Eduardo García Jaimes
161
Sistemas de Control Avanzado
proceso, basándose en las señales de control futuras propuestas. Estas señales
son calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la función de coste así como
las restricciones [8.2].
El modelo elegido debe describir lo mejor posible la dinámica del proceso para poder
predecir las salidas futuras al mismo tiempo que debe ser sencillo de usar y de
comprender. El optimizador es otra parte fundamental de la estrategia pues
proporciona las acciones de control.
Figura 8.2 Estructura básica del control predictivo
8.3 ELEMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO
Hay una serie de elementos comunes a todos los controladores predictivos [8.2]

El modelo de predicción.

La función objetivo

Obtención de la ley de control
8.3.1 Modelo de predicción. Debe ser capaz de capturar la dinámica del proceso
para poder predecir las salidas futuras, al mismo tiempo debe ser sencillo de usar y
comprender y además, debe permitir un análisis teórico.
A continuación se presentan los principales modelos de procesos y de
perturbaciones utilizados en la formulación del control predictivo.

Modelo de respuesta al impulso. Este modelo no requiere información previa
sobre el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta representación
sólo es válida para sistemas estables. La figura 8.3 muestra la respuesta del sistema
al impulso.
Luis Eduardo García Jaimes
162
Sistemas de Control Avanzado
Figura 8.3 Respuesta al impulso
La salida del sistema está dada por:
𝑁
𝑦(𝑡) = ∑ ℎ𝑖 𝛿 (𝑡 − 𝑖 ) = 𝐻(𝑧 −1 )𝛿(𝑡)
8.1
𝑖=0
En donde:
𝐻(𝑧 −1 ) = ℎ1 𝑧 −1 + ℎ2 𝑧 −2 + ⋯ ℎ𝑁 𝑧 −𝑁
Siendo ℎ𝑖 los valores muestreados cuando el proceso es excitado con un impulso
unitario.
La predicción del modelo está dada por:
𝑁
𝑦(𝑡 + 𝑗|𝑡) = ∑ ℎ𝑖 𝛿 (𝑡 + 𝑗 − 𝑖 |𝑡) = 𝐻 (𝑧 −1 )𝛿(𝑡 + 𝑗|𝑡)
8.2
𝑖=0
 Modelo de respuesta al escalón. Este modelo no requiere información previa
sobre el proceso y permite una fácil identificación del mismo. Esta representación
sólo es válida para sistemas estables. La figura 8.4 muestra la respuesta del sistema
al escalón.
Figura 8.4 Respuesta al escalón
La salida está dada por:
Luis Eduardo García Jaimes
163
Sistemas de Control Avanzado
𝑁
𝑦(𝑡) = ∑ 𝑔𝑖 ∆𝑢(𝑡 − 𝑖 ) = 𝑦(0) + (1 − 𝑧 −1 )𝐺(𝑧 −1 )
8.3
𝑖=1
En donde 𝑔𝑖 son los valores muestreados de la salida correspondientes a la
entrada en escalón y Δ𝑢(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)
La predicción del modelo es:
𝑁
𝑦(𝑡 + 𝑗|𝑡) = ∑ 𝑔𝑖 ∆𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑖 |𝑡)
8.4
𝑖=1
 Modelo de función de transferencia. Este modelo está dado por la ecuación:
𝑦 (𝑡 ) =
𝐵(𝑧 −1 )
𝑢 (𝑡 )
𝐴(𝑧 −1 )
8.5
En donde:
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + ⋯ 𝑎𝑛𝑎 𝑧 −𝑛𝑎
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2 + ⋯ 𝑏𝑛𝑏 𝑧 −𝑛𝑏
La predicción del modelo es:
𝑦 ( 𝑡 + 𝑗 |𝑡 ) =
𝐵(𝑧 −1 )
𝑢 ( 𝑡 + 𝑗 |𝑡 )
𝐴(𝑧 −1 )
8.6
Esta representación es también válida para procesos inestables y tiene la ventaja
de que necesita pocos parámetros.
 Modelo de las perturbaciones. Tan importante como la elección del modelo del
proceso es la elección del modelo utilizado para representar las perturbaciones. Uno
de los modelos más utilizados para modelar las perturbaciones es el Autorregresivo
Integrado de Media Móvil
(Auto-Regressive and Integrated Moving Average,
ARIMA):
𝐶 (𝑧 −1 )
𝑒 (𝑡 )
𝐷(𝑧 −1 )
8.7
A continuación se definen los siguientes modelos estocásticos de los modelos de
proceso y perturbaciones utilizados:
Modelo ARX
𝐴(𝑧 −1 )𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑧 −1 )𝑢(𝑡) + 𝑒(𝑡)
8.8
Modelo ARMAX
Luis Eduardo García Jaimes
164
Sistemas de Control Avanzado
𝐴(𝑧 −1 )𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑧 −1 )𝑢(𝑡) + 𝐶 (𝑧 −1 )𝑒(𝑡)
8.9
Modelo ARIX
𝐴(𝑧 −1 )𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑧 −1 )𝑢(𝑡) +
e(t)
Δ
8.10
𝐶 (𝑧 −1 )
𝑒(𝑡)
𝛥𝑒 (𝑡)
8.11
Modelo ARIMAX
𝐴(𝑧 −1 )𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑧 −1 )𝑢(𝑡) +
8.3.2 Función objetivo: Los diversos algoritmos de control predictivo proponen
distintas funciones de coste para la obtención de la ley de control. En general se
persigue que la salida futura en el horizonte considerado siga a una determinada
señal de referencia al mismo tiempo que se puede penalizar el esfuerzo de control
requerido para hacerlo. La expresión general de tal función objetivo es:
𝑁2
𝑁𝑢
𝐽 (𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁𝑢 ) = ∑ 𝛿 (𝑗)[𝑦(𝑡 + 𝑗|𝑡) − 𝑤(𝑡 + 𝑗)]2 + ∑ 𝜆(𝑗) [Δ𝑢(𝑡 + 𝑗 − 1]2 8.12
𝑗=𝑁1
𝑗=1
Parámetros: 𝑁1 𝑦 𝑁2 representan el horizonte mínimo y el horizonte máximo de
predicción y 𝑁𝑢 es el horizonte de control. El significado de 𝑁1 𝑦 𝑁2 resulta bastante
intuitivo: marcan los límites de los instantes en que se desea que la salida siga a la
referencia. Los coeficientes 𝛿(𝑗) y 𝜆(𝑗)son secuencias que ponderan el
comportamiento futuro.
8.3.3 Algoritmos de control predictivo: Existen diferentes algoritmos de control
predictivo que han sido aplicados con éxito: DMC, IDCOM, PFC, EPSAC, GPC…
 Control con matriz dinámica (Dynamic Matrix Control, DMC): Este método usa
la respuesta ante un escalón para modelar el proceso, considerando solo los 𝑁
primeros términos, asumiendo por tanto que el proceso es estable.
 Control predictivo con modelo heurístico: (Model Predictive Heuristic Control,
IDCOM) Este método se conoce comercialmente como IDCOM (IdentificationCommand). Es muy similar al DMC con la diferencia principal de utiliza un
modelo de respuesta impulsional.
 Control predictivo funcional (Predictive Functional Control, PFC): Este
algoritmo utiliza un modelo en el espacio de estados, por lo que permite el
manejo de procesos inestables y procesos no lineales.
Luis Eduardo García Jaimes
165
Sistemas de Control Avanzado
 Control adaptativo con predicción extendida. (Extended Prediction Self Adaptive
Control, EPSAC). Este algoritmo usa un modelo de función con transferencia:
𝐴(𝑧 −1 )𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑧 −1 )𝑢(𝑡 − 𝑑 ) + 𝑣 (𝑡)
8.13
Donde 𝑑 es el retardo y 𝑣(𝑡) es la perturbación.
 Control adaptativo con horizonte extendido. (Extended Horizont Adaptive
Control, EHAC): Esta formulación también emplea un modelo de función de
transferencia y pretende minimizar la discrepancia entre la salida calculada y la
referencia en el instante 𝑡 + 𝑁
El único coeficiente de ajuste es el horizonte de predicción 𝑁, lo cual simplifica
el uso pero proporciona poca libertad para el diseño. No utiliza trayectoria de
referencia porque el error se considera sólo en un instante 𝑡 + 𝑁 , tampoco se
pondera el esfuerzo de control.
 Control predictivo generalizado. (Generalized Predictive Control, GPC) Este
método utiliza un modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated
Moving Average) para la predicción de la salida:
𝐴(𝑧 −1 )𝑦(𝑡) = 𝑧 −𝑑 𝐵(𝑧 −1 )𝑢(𝑡 − 1) +
𝐶 (𝑧 −1 )
𝑒(𝑧 −1 )
∆
8.14
Donde la perturbación viene dada por un ruido blanco coloreado por el polinomio
𝐶(𝑧 −1 ). Este algoritmo, al igual que otros que usan el modelo de función de
transferencia, se puede implementar fácilmente en forma adaptativa usando un
algoritmo de identificación en línea como los mínimos cuadrados recursivos.
8.4 CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO (GPC)
La idea básica del GPC es calcular una secuencia de futuras acciones de control de
tal forma que minimice una función de coste multipaso. El índice a minimizar es una
función cuadrática que mide por un lado, la diferencia entre la salida predicha del
sistema y una cierta trayectoria de referencia hasta el horizonte de predicción, y por
otro el esfuerzo de control necesario para obtener dicha salida.
8.4.1 Formulación del control predictivo generalizado. El GPC utiliza un Modelo
Autorregresivo de Media Móvil (Controller Auto-Regressive Moving-Average
CARMA). Para aplicaciones industriales en las que las perturbaciones son noLuis Eduardo García Jaimes
166
Sistemas de Control Avanzado
estacionarias resulta más conveniente el uso de un modelo CARMA integrado,
dando lugar al CARIMA, que viene descrito por [8.2]:
𝐴 (𝑧
−1 )
𝑦 (𝑡 ) = 𝑧
−𝑑
𝐵 (𝑧
−1 )
𝐶 (𝑧 −1 )
𝑢(𝑡 − 1) +
𝑒(𝑧 −1 )
∆
8.15
En donde:
∆= 1 − 𝑧 −1
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 + 𝑎1 𝑧 −1 + 𝑎2 𝑧 −2 + ⋯ 𝑎𝑛𝑎 𝑧 −𝑛𝑎
𝐵(𝑧 −1 ) = 𝑏𝑜 + 𝑏1 𝑧 −1 + 𝑏2 𝑧 −2 + ⋯ 𝑏𝑛𝑏 𝑧 −𝑛𝑏
Para simplificar se considera que 𝐶 (𝑧 −1 ) = 1, así la ecuación 8.15 se puede escribir
en la forma:
𝑦(𝑡) = 𝑧 −𝑑
𝐵(𝑧 −1 )
1
𝑢(𝑡 − 1) +
𝑒(𝑧 −1 )
−1
𝐴 (𝑧 )
∆𝐴(𝑧 −1 )
8.16
El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuencia
de señales de control que minimice una función de coste de la forma:
𝑁2
𝑁𝑢
2
𝐽(𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁𝑢 ) = ∑ 𝛿 (𝑗)[𝑦(𝑡 + 𝑗| 𝑡) − 𝑤(𝑡 + 𝑗)] + ∑ 𝜆(𝑗)[Δ𝑢(𝑡 + 𝑗 − 1)]2
𝑗=𝑁1
8.17
𝑗=1
En donde:
𝑦(𝑡 + 𝑗|𝑡): Es la predicción óptima de la salida del proceso 𝑗 pasos adelante.
𝑁1 : Horizonte mínimo de coste. (Horizonte mínimo de predicción).
𝑁2 : Horizonte máximo de coste. (Horizonte máximo de predicción).
𝑁𝑢 : Horizonte de control.
𝛿(𝑗) y 𝜆(𝑗):Secuencias de ponderación. En la práctica 𝛿(𝑗) = 1 y 𝜆(𝑗) se toma como
parámetro de diseño.
𝑤(𝑡 + 𝑗): Es la trayectoria futura de referencia o Set-point.
El objetivo es el cálculo de la secuencia de control futura 𝑢(𝑡), 𝑢(𝑡 + 1) ⋯ de tal
manera que la salida futura del proceso 𝑦(𝑡 + 𝑗) permanezca se aproxime lo mejor
posible a 𝑤(𝑡 + 𝑗). Esto se logra minimizando la función de costo dada en la
ecuación 8.16
8.4.2 Predicción óptima. Para minimizar la función de costo, es necesario obtener
primero la predicción óptima de 𝑦(𝑡 + 𝑗) en el intervalo 𝑁1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁2 . Aplicando el
Luis Eduardo García Jaimes
167
Sistemas de Control Avanzado
algoritmo de la división, el último término de la ecuación 6.16, se puede escribir en
la forma:
𝐹𝑗 (𝑧 −1 )
1
−1
−𝑗
= 𝐸𝑗 (𝑧 ) + 𝑧
∆𝐴(𝑧 −1 )
∆𝐴(𝑧 −1 )
Para simplificar se utiliza:
8.18
𝐴(𝑧 −1 ) = 𝐴, 𝐵(𝑧 −1 ) = 𝐵,
𝐸 (𝑧 −1 ) = 𝐸,
𝐹 (𝑧 −1 ) = 𝐹
Entonces:
1 = ∆𝐴𝐸𝑗 + 𝐹𝑗 𝑧 −𝑗
8.19
Haciendo: 𝐴̂ = ∆𝐴 = (1 − 𝑧 −1 )𝐴
1 = 𝐴̂𝐸𝑗 + 𝐹𝑗 𝑧 −𝑗
→ 𝐴̂𝐸𝑗 = 1 − 𝐹𝑗 𝑧 −𝑗
8.20
Multiplicando la ecuación 8.15 con 𝐶 (𝑧 −1 ) = 1 por ∆𝐸𝑗 𝑧 𝑗 se obtiene:
𝑗
𝑗 −𝑑
∆𝐸𝑗 𝑧 𝐴𝑦(𝑡) = ∆𝐸𝑗 𝑧 𝑧
∆𝐸𝑗 𝑧 𝑗
𝐵𝑢 (𝑡 − 1) +
𝑒(𝑡)
∆
𝐴̂𝐸𝑗 𝑦(𝑡 + 𝑗) = 𝐸𝑗 𝐵∆𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑑 − 1) + 𝐸𝑗 𝑒(𝑡 + 𝑗)
(1 − 𝐹𝑗 𝑧 −𝑗 )𝑦(𝑡 + 𝑗) = 𝐸𝑗 𝐵∆𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑑 − 1) + 𝐸𝑗 𝑒(𝑡 + 𝑗)
Despejando 𝑦(𝑡 + 𝑗)
𝑦(𝑡 + 𝑗) = 𝐸𝑗 𝐵∆𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑑 − 1) + 𝐹𝑗 𝑧 −𝑗 𝑦(𝑡 + 𝑗) + 𝐸𝑗 𝑒(𝑡 + 𝑗)
Haciendo 𝐺𝑗 = 𝐵𝐸𝑗 resulta:
𝑦(𝑡 + 𝑗) = 𝐺∆𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑑 − 1) + 𝐹𝑗 𝑦(𝑡) + 𝐸𝑗 𝑒(𝑡 + 𝑗)
8.21
Los polinomios 𝐸𝑗 y 𝐹𝑗 se pueden obtener recursivamente, de forma que los nuevos
valores en el paso 𝑗 + 1 ( 𝐸𝑗+1 y 𝐹𝑗+1 ) sean función de los del paso 𝑗.
La mejor predicción de 𝑦(𝑡 + 𝑗) se obtiene cuando 𝑒(𝑡 + 𝑗) = 0, es decir:
𝑦(𝑡 + 𝑗) = 𝐺∆𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑑 − 1) + 𝐹𝑗 𝑦(𝑡)
8.22
El conjunto de las 𝑗 predicciones óptimas es:
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 1|𝑡) = 𝐺𝑑+1 Δ𝑢(𝑡) + 𝐹𝑑+1 𝑦(𝑡)
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 2|𝑡) = 𝐺𝑑+2 Δ𝑢(𝑡 + 1) + 𝐹𝑑+2 𝑦(𝑡)
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 3|𝑡) = 𝐺𝑑+3 Δ𝑢(𝑡 + 2) + 𝐹𝑑+3 𝑦(𝑡)
⋮
⋮
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 𝑁|𝑡) = 𝐺𝑑+𝑁 Δ𝑢(𝑡 + 𝑁 − 1) + 𝐹𝑑+𝑁 𝑦(𝑡)
8.23
La ecuación 8.23 se puede escribir en forma matricial así:
𝒚 = 𝑮𝒖 + 𝑭(𝒛−𝟏 )𝒚(𝒕) + 𝑮′ (𝒛−𝟏 )𝚫𝒖(𝒕 − 𝟏)
Luis Eduardo García Jaimes
8.24
168
Sistemas de Control Avanzado
Donde:
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 1|𝑡)
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 2|𝑡)
𝑦=[
]
⋮
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 𝑁|𝑡)
𝐺 ′ (𝑧 −1 ) =
𝑔𝑜
𝑔
𝐺=[ 1
⋮
𝑔𝑁−1
0
𝑔𝑜
⋮
𝑔𝑁−2
… 0
… 0
]
⋮
⋮
… 𝑔𝑜
Δ𝑢(𝑡)
Δ𝑢(𝑡 + 1)
𝑢=[
]
⋮
Δ𝑢(𝑡 + 𝑁 − 1)
𝑧[𝐺𝑑+1 (𝑧 −1 ) − 𝑔0 ]
2
𝑧 [𝐺𝑑+2 (𝑧 −1 ) − 𝑔0 − 𝑔1 𝑧 −1 ]
⋮
[𝑧 𝑁 [𝐺𝑑+𝑁 (𝑧 −1 ) − 𝑔0 − 𝑔1 𝑧 −1 … − 𝑔𝑁−1 𝑧 (𝑁−1) ]]
𝐹𝑑+1 (𝑧 −1 )
−1
𝐹(𝑧 −1 ) = 𝐹𝑑+2 (𝑧 )
⋮
[𝐹𝑑+𝑁 (𝑧 −1 )]
Los dos últimos términos de la ecuación 8.24 dependen solo del pasado por lo
tanto, pueden agruparse en un solo término 𝒇, dando lugar a:
𝒚 = 𝑮𝒖 + 𝒇
8.25
8.4.3 Obtención de la ley de control. La función de costo a minimizar propuesta
para el control predictivo generalizado, según la ecuación 8.17 es [8.3]:
𝑁2
𝑁𝑢
2
𝐽(𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁𝑢 ) = ∑ 𝛿(𝑗)[𝑦(𝑡 + 𝑗| 𝑡) − 𝑤(𝑡 + 𝑗)] + ∑ 𝜆(𝑗)[Δ𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑖 )]2
𝑗=𝑁1
𝑗=1
Reemplazando 𝒚 en esta ecuación y con 𝛿 (𝑗) = 1 se obtiene:
𝑁2
𝑁𝑢
2
𝐽(𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁𝑢 ) = ∑ [ 𝐺𝑢 + 𝑓 − 𝑤(𝑡 + 𝑗)] + ∑ 𝜆(𝑗)[Δ𝑢(𝑡 + 𝑗 − 𝑖 )]2
𝑗=𝑁1
𝑗=1
La ecuación anterior se puede escribir como:
𝐽 = (𝐺𝑢 + 𝑓 − 𝑤)𝑇 (𝐺𝑢 + 𝑓 − 𝑤) + 𝜆𝑢𝑇 𝑢
8.26
𝐽 = 𝑢𝑇 𝐺 𝑇 𝐺𝑢 + 𝑢𝑇 𝐺 𝑇 𝑓 − 𝑢𝑇 𝐺 𝑇 𝑤 + 𝑓 𝑇 𝐺𝑢 + 𝑓 𝑇 𝑓 − 𝑓 𝑇 𝑤 − 𝑤 𝑇 𝐺𝑢 − 𝑤 𝑇 𝑓 − 𝑤 𝑇 𝑤 + 𝜆𝑢𝑇 𝑢
𝐽 = 𝑢𝑇 𝐺 𝑇 𝐺𝑢 + 2𝑓 𝑇 𝐺𝑢 − 2𝑤 𝑇 𝐺𝑢 + 𝑓 𝑇 𝑓 − 𝑓 𝑇 𝑤 − 𝑤 𝑇 𝑓 − 𝑤 𝑇 𝑤 + 𝜆𝑢𝑇 𝑢
Factorizando la expresión anterior resulta:
𝐽 = 𝑢𝑇 (𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)𝑢 + 2(𝑓 − 𝑤)𝑇 𝐺𝑢 + (𝑓 − 𝑤)𝑇 (𝑓 − 𝑤)
Haciendo:
𝐻 = 2(𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)
𝑏𝑇 = 2(𝑓 − 𝑤)𝑇 𝐺
𝑓𝑜 = (𝑓 − 𝑤)𝑇 (𝑓 − 𝑤)
Se obtiene:
Luis Eduardo García Jaimes
169
Sistemas de Control Avanzado
1
𝐽 = 𝑢𝑇 𝐻𝑢 + 𝑏𝑇 𝑢 + 𝑓𝑜
2
8.27
La ecuación 8.27 debe ser un mínimo, el cual se obtiene derivando la función con
respecto a la variable 𝑢 e igualar el resultado a cero.
Para el cálculo de la derivada se tienen en cuenta las siguientes propiedades del
cálculo matricial:
𝑑(𝐴. 𝐵) 𝑑𝐴
𝑑𝐵
=
∗𝐵+𝐴∗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑(𝑥 𝑇 𝐴𝑥)
= 2𝐴𝑥
𝑑𝑥
𝑑(𝐴𝑥)
= 𝐴𝑇
𝑑𝑥
Es decir:
𝑑𝐽
= 𝐻𝑢 + 𝑏 = 0
𝑑𝑢
Por lo tanto:
𝑢 = −𝐻 −1 𝑏 = −[2(𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼 )]−1 (2(𝑓 − 𝑤)𝑇 𝐺 )𝑇
𝑢 = (𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇 (𝑤 − 𝑓)
8.28
Debido a que en el instante 𝑡 solo se aplica al sistema de control la salida 𝑢(𝑡), solo
interesa el primer elemento del vector 𝑢. Por lo tanto, en la ecuación 8.28 sólo
interesa la primera fila de la matriz (𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇 así, la ley de control para el GPC
queda:
Δ𝑢 = 𝐾(𝑤 − 𝑓 )
8.29
Siendo 𝐾, la primera fila de (𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇
EJEMPLO 8.1
Para el sistema de control de la figura 8.5, diseñe un controlador predictivo. Asuma
horizonte de predicción 3, horizonte de control 3, 𝜆 = 1 y periodo de muestreo 𝑇 =
2 𝑠.
Figura 8.5 Sistema para el ejemplo 8.1
SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para el sistema es:
Luis Eduardo García Jaimes
170
Sistemas de Control Avanzado
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )𝑧 −𝑁 ℑ𝑚 [
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ𝑚 [
𝐺(𝑆)
]
𝑆
0.6
0.07056𝑧 −1 + 0.0621𝑧 −2
]=
𝑆(8𝑆 + 1)
1 − 0.7788𝑧 −1
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 − 0.7788𝑧 −1
𝐵(𝑧 −1 ) = 0.07056 + 0.0621𝑧 −1
𝑑=0
𝐴̂(𝑧 −1 ) = (1 − 𝑧 −1 )(1 − 0.7788𝑧 −1 )
𝑁1 = 𝑑 + 1 = 1
𝑁2 = 3
𝑁𝑢 = 3
𝐴̂(𝑧 −1 ) = 1 − 1.7788𝑧 −1 + 0.7788𝑧 −2
Las ecuaciones para obtener la predicción son:
𝐸𝑗+1 = 𝐸𝑗 + 𝑓𝑗,0 𝑧 −𝑗
𝐹𝑗 = [1 − 𝐸𝑗 𝐴̂]𝑧 𝑗
𝐺𝑗 = 𝐵𝐸𝑗
𝐸1 = 1
𝐸1 = 1
𝐹1 = [1 − 𝐸1 𝐴̂]𝑧
𝐹1 = 1.7788 − 0.7788𝑧 −1
𝐺1 = 𝐵𝐸1
𝐺1 = 0.07056 + 0.0621𝑧 −1
𝐸2 = 𝐸1 + 𝑓1,0𝑧 −1
𝐸2 = 1 + 1.7788𝑧 −1
𝐹2 = [1 − 𝐸2 𝐴̂]𝑧 2
𝐹2 = 2.3853 − 1.3853𝑧 −1
𝐺2 = 𝐵𝐸2
𝐺2 = 0.07056 + 0.1876𝑧 −1 + 0.1104𝑧 −2
𝐸3 = 𝐸2 + 𝑓2,0 𝑧 −2
𝐸3 = 1 + 1.7788𝑧 −1 + 2.3853𝑧 −2
𝐹3 = [1 − 𝐸3 𝐴̂ ]𝑧3
𝐹3 = 2.8576 − 1.8576𝑧 −1
𝐺3 = 𝐵𝐸3
𝐺3 = 0.07056 + 0.1876𝑧 −1 + 0.2787𝑧 −2 + 0.1481𝑧 −3
La ecuación de predicción está dada por:
𝒚 = 𝑮𝒖 + 𝑭(𝒛−𝟏 )𝒚(𝒕) + 𝑮′ (𝒛−𝟏 )𝚫𝒖(𝒕 − 𝟏)
En donde:
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 1|𝑡)
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 2|𝑡)
]
𝑦=[
⋮
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 𝑁|𝑡)
𝑔𝑜
𝑔
𝐺=[ 1
⋮
𝑔𝑁−1
0
𝑔𝑜
⋮
𝑔𝑁−2
… 0
… 0
]
⋮
⋮
… 𝑔𝑜
𝑧[𝐺𝑑+1 (𝑧 −1 ) − 𝑔0 ]
𝑧 2 [𝐺𝑑+2 (𝑧 −1 ) − 𝑔0 − 𝑔1𝑧 −1 ]
𝐺 ′(𝑧 −1 ) =
⋮
𝑁
−1 )
(
𝑧
[𝐺
𝑧
−
𝑔
−
𝑔1 𝑧 −1 … − 𝑔𝑁−1 𝑧 (𝑁−1) ]]
[
𝑑+𝑁
0
Luis Eduardo García Jaimes
Δ𝑢(𝑡)
Δ𝑢(𝑡 + 1)
]
𝑢=[
⋮
Δ𝑢(𝑡 + 𝑁 − 1)
𝐹𝑑+1 (𝑧 −1 )
−1
𝐹 (𝑧 −1 ) = 𝐹𝑑+2 (𝑧 )
⋮
[𝐹𝑑+𝑁 (𝑧 −1 )]
171
Sistemas de Control Avanzado
y(t+2)
0.07056
[y(t+3)] = [ 0.1876
0.2787
y(t+4)
∆u(t)
0.0621
0
1.7788-0.7788z -1
-1
]
[
∆u(t+1)
]
+
[
]
y(t)+
[
0
0.1104] ∆u(t-1)
2.3853-1.3853z
-1
0.1484
0.07056 ∆u(t+2)
2.8576-1.8576z
0
0.07056
0.1876
La ecuación anterior se puede escribir en la forma:
𝒚 = 𝑮𝒖 + 𝒇
𝑦(𝑡 + 2)
0.07056
𝑦(𝑡
+
3)
[
] = [ 0.1876
𝑦(𝑡 + 4)
0.2787
0
0.07056
0.1876
∆𝑢(𝑡)
0
∆𝑢(𝑡
+ 1)]
0 ][
0.07056 ∆𝑢(𝑡 + 2)
0.0621∆𝑢 (𝑡 − 1) + 1.778𝑦 (𝑡) − 0.7788𝑦(𝑡 − 1)
+ [0.1104∆𝑢 (𝑡 − 1) + 2.3853𝑦 (𝑡) − 1.3853𝑦(𝑡 − 1)]
0.1484∆𝑢 (𝑡 − 1) + 2.8576𝑦 (𝑡) − 1.8576𝑦(𝑡 − 1)
Finalmente, la ley de control es:
∆𝑢 = 𝐾(𝑤 − 𝑓)
En donde 𝐾 es la primera fila de la matriz: (𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇
Con 𝜆 = 1 𝑦:
0.07056
𝐺 = [ 0.1876
0.2787
0
0.07056
0.1876
0
0 ]
0.07056
Se obtiene:
0.0634
(𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇 = [ −0.004
−0.0012
𝐾 = [0.0634 0.1645
Δ𝑢
= [0.0634 0.1645
0.1645 0.2386
0.0575 0.1645]
−0.004 0.0634
0.2386]
𝑤(𝑡) − 0.0621∆𝑢(𝑡 − 1) − 1.778𝑦(𝑡) + 0.7788𝑦(𝑡 − 1)
0.2386] [ 𝑤(𝑡) − 0.1104∆𝑢(𝑡 − 1) − 2.3853𝑦(𝑡) + 1.3853𝑦(𝑡 − 1) ]
𝑤(𝑡) − 0.1484∆𝑢(𝑡 − 1) − 2.8576𝑦(𝑡) + 1.8576𝑦(𝑡 − 1)
Δ𝑢(𝑡) = 0.4665𝑤(𝑡) − 0.0575Δ𝑢 (𝑡 − 1) − 1.1869𝑦(𝑡) + 0.7204𝑦(𝑡 − 1)
Pero:
Δ𝑢 = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)
Δ𝑢(𝑡 − 1) = 𝑢(𝑡 − 1) − 𝑢(𝑡 − 2)
Entonces:
𝑢(𝑡) = 0.9425𝑢(𝑡 − 1) + 0.0575𝑢 (𝑡 − 2) − 1.1869𝑦(𝑡) + 0.7204𝑦 (𝑡 − 1) +
0.4665𝑤 (𝑡)
Tomando la transformada 𝑧 a la ecuación anterior:
(1 − 0.9425𝑧 −1 − 0.0575𝑧 −2 )𝑈(𝑧) = 0.4665𝑊 (𝑧) − (1.4869 − 0.7204𝑧 −1 )𝑌(𝑧)
Luis Eduardo García Jaimes
172
Sistemas de Control Avanzado
Es decir:
𝑈 (𝑧 ) =
0.4665𝑧 2
1.1869𝑧 2 + 0.7204𝑧
−
𝑧 2 − 0.9425𝑧 − 0.0575 𝑧 2 − 0.9425𝑧 − 0.0575
La figura 8.6 muestra el diagrama en bloques del sistema con el controlador
predictivo calculado para el sistema.
Figura 8.6 Diagrama en bloques para el control predictivo del ejemplo 6.1
En la figura 8.7 se presenta la respuesta del sistema con el control predictivo con
diferentes valores de la referencia 𝑤(𝑡).
Figura 8.7 Respuesta del control predictivo para ejemplo 6.1
EJEMPLO 8.2
La función de transferencia de un sistema neumático está dada por:
𝐺 (𝑧 ) =
0.4(𝑧 + 0.5)
− 0.6𝑧 + 0.4)
𝑧 2 (𝑧 2
El periodo de muestreo es de 0.5 s. Calcular para el sistema, un controlador
predictivo con 𝜆 = 1.5 , horizonte mínimo de predicción 3, horizonte máximo de
predicción 5 y horizonte de control 5.
Luis Eduardo García Jaimes
173
Sistemas de Control Avanzado
SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:
𝐺 (𝑧 ) =
0.4𝑧 −1 + 0.2𝑧 −2
0.4 + 0.2𝑧 −1
−2
∗𝑧 =
∗ 𝑧 −3
−1
−2
−1
−2
1 − 0.6𝑧 + 0.4𝑧
1 − 0.6𝑧 + 0.4𝑧
En donde: 𝑁1 = 𝑑 + 1 = 3,
𝑁2 = 5,
𝑁𝑢 = 5 y 𝑑 = 2.
𝐴(𝑧 −1 ) = 1 − 0.6𝑧 −1 + 0.4𝑧 −2
𝐵(𝑧 −1 ) = 0.4 + 0.2𝑧 −1
𝐴̂(𝑧 −1 ) = (1 − 𝑧 −1 )𝐴 = 1 − 1.6𝑧 −1 + 𝑧 −2 − 0.4𝑧 −3
Entonces:
𝐸1 = 1
𝐸1 = 1
𝐹1 = (1 − 𝐸1 𝐴̂)𝑧
𝐹1 = 1.6 − 𝑧 −1 + 0.4𝑧 −2
𝐺1 = 𝐸1 𝐵
𝐺1 = 0.4 + 0.2𝑧 −1
𝐸2 = 𝐸1 + 𝑓1,0𝑧 −1
𝐸1 = 1 + 1.6𝑧 −1
𝐹2 = (1 − 𝐸2 𝐴̂)𝑧 2
𝐹2 = 1.56 − 1.2𝑧 −1 + 0.64𝑧 −2
𝐺2 = 𝐸2 𝐵
𝐺2 = 0.4 + 0.84𝑧 −1 + 0.32𝑧 −2
𝐸3 = 𝐸2 + 𝑓2,0 𝑧 −2
𝐸3 = 1 + 1.6𝑧 −1 + 1.56𝑧 −2
𝐹3 = (1 − 𝐸3 𝐴̂)𝑧 3
𝐹3 = 1.296 − 0.92𝑧 −1 + 0.624𝑧 −2
𝐺3 = 𝐸3 𝐵
𝐺3 = 0.4 + 0.84𝑧 −1 + 0.9442𝑧 −2 + 0.312𝑧 −3
𝐸4 = 𝐸3 + 𝑓3,0 𝑧 −3
𝐸4 = 1 + 1.6𝑧 −1 + 1.56𝑧 −2 + 1.296𝑧 −3
𝐹4 = (1 − 𝐸4 𝐴̂)𝑧 4
𝐹4 = 1.1536 − 0.672𝑧 −1 + 0.51824𝑧 −2
𝐺4 = 𝐸4 𝐵
𝐺4 = 0.4 + 0.84𝑧 −1 + 0.9442𝑧 −2 + 0.8304𝑧 −3 + 0.2592𝑧 −4
𝐸5 = 𝐸4 + 𝑓4,0 𝑧 −4
𝐸5 = 1 + 1.6𝑧 −1 + 1.56𝑧 −2 + 1.296𝑧 −3 + 1.1536𝑧 −4
𝐹5 = (1 − 𝐸5 𝐴̂)𝑧 5
𝐹5 = 1.1728 − 0.6346𝑧 −1 + 0.4612𝑧 −2
𝐺5 = 𝐸5 𝐵
𝐺5 = 0.4 + 0.84𝑧 −1 + 0.9442𝑧 −2 + 0.8304𝑧 −3 + 0.72042𝑧 −4 + 0.2306𝑧 −5
Entonces la de predicción entre 𝑁1 = 3 y 𝑁2 = 5 es:
𝒚 = 𝑮𝑢 + 𝒇
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 1|𝑡)
𝑦(𝑡 + 3|𝑡)
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 2|𝑡)
] = [𝑦(𝑡 + 4|𝑡)]
𝑦=[
⋮
𝑦(𝑡 + 5|𝑡)
𝑦(𝑡 + 𝑑 + 𝑁|𝑡)
0.4
𝐺 = [ 0.8
0.944
0
0
0.4 0 ]
0.8 0.4
Luis Eduardo García Jaimes
𝐹 (𝑧
−1 )
1.296 − 0.92𝑧 −1 + 0.624𝑧 −2
= [1.1536 − 0.672𝑧 −1 + 0.51824𝑧 −2 ]
1.1728 − 0.6346𝑧 −1 + 0.4612𝑧 −2
174
Sistemas de Control Avanzado
𝐺 (𝑧
−1 )
0.84 + 0.9442𝑧 −1 + 0.312𝑧 −2
= [ 0.9442 + 0.8304𝑧 −1 + 0.2592𝑧 −2 ]
0.8304 + 0.72042𝑧 −1 + 0.2306𝑧 −2
𝑦(𝑡 + 3|𝑡)
0.4
[𝑦(𝑡 + 4|𝑡)] = [ 0.8
0.944
𝑦(𝑡 + 5|𝑡)
∆𝑢(𝑡)
0
0
0.4 0 ] [∆𝑢(𝑡 + 1)]
0.8 0.4 ∆𝑢(𝑡 + 2)
1.296 − 0.92𝑧 −1 + 0.624𝑧 −2
+ [1.1536 − 0.672𝑧 −1 + 0.51824𝑧 −2 ] 𝑦(𝑡)
1.1728 − 0.6346𝑧 −1 + 0.4612𝑧 −2
0.84 + 0.9442𝑧 −1 + 0.312𝑧 −2
+ [ 0.9442 + 0.8304𝑧 −1 + 0.2592𝑧 −2 ] ∆𝑢(𝑡 − 1)
0.8304 + 0.72042𝑧 −1 + 0.2306𝑧 −2
Es decir:
𝑦 (𝑡 + 4 |𝑡 )
[𝑦(𝑡 + 5|𝑡)]
𝑦 (𝑡 + 6 |𝑡 )
0.4
0
= [ 0.8
0.4
0.944 0.8
∆𝑢(𝑡)
0
]
0 [∆𝑢(𝑡 + 1)]
0.4 ∆𝑢(𝑡 + 2)
0.84∆𝑢(𝑡 − 1) + 0.9442∆𝑢(𝑡 − 2) + 0.312∆𝑢(𝑡 − 3) + 1.296𝑦(𝑡) − 0.92𝑦(𝑡 − 1) + 0.624𝑦(𝑡 − 2)
(𝑡 − 1) + 0.8304∆𝑢(𝑡 − 2) + 0.2592∆𝑢(𝑡 − 3) + 1.1536𝑦(𝑡) − 0.672𝑦(𝑡 − 1) + 0.51824𝑦(𝑡 − 2) ]
0.9442∆𝑢
+[
0.8304∆𝑢(𝑡 − 1) + 0.72042∆𝑢(𝑡 − 2) + 0.2306∆𝑢(𝑡 − 3) + 1.1728𝑦(𝑡) − 0.6346𝑦(𝑡 − 1) + 0.4612𝑦(𝑡 − 2)
La ley de control es:
∆𝑈 = 𝐾(𝑤 − 𝑓)
En donde 𝐾 es la primera columna de (𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇 . Con 𝜆 = 1.5 se obtiene:
0.15058
(𝐺 𝑇 𝐺 + 𝜆𝐼)−1 𝐺 𝑇 = [ −0.0674
−0.02125
0.23373
0.07403
−0.06743
0.19924
0.23373]
0.15058
Por lo tanto:
𝐾 = [0.15058
0.23373
0.19924]
La ley de control es:
Δ𝑢
= [0.15058
0.23373
0.19924 ]
𝑤 (𝑡) − 0.84∆𝑢 (𝑡 − 1) − 0.9442∆𝑢 (𝑡 − 2) − 0.312∆𝑢 (𝑡 − 3) − 1.296𝑦 (𝑡 ) + 0.92𝑦 (𝑡 − 1) − 0.624𝑦 (𝑡 − 2)
∗ [ 𝑤 (𝑡 ) − 0.9442∆𝑢 (𝑡 − 1) − 0.8304∆𝑢 (𝑡 − 2) − 0.2592∆𝑢 (𝑡 − 3) − 1.1536𝑦 (𝑡 ) + 0.672𝑦 (𝑡 − 1) − 0.51824𝑦 (𝑡 − 2) ]
𝑤 (𝑡 ) − 0.8304∆𝑢 (𝑡 − 1) − 0.72042∆𝑢 (𝑡 − 2) − 0.2306∆𝑢 (𝑡 − 3) − 1.1728𝑦 (𝑡 ) + 0.6346𝑦 (𝑡 − 1) − 0.4612𝑦 (𝑡 − 2)
𝛥𝑢(𝑡) = 0.58355𝑤(𝑡) − 0.51263𝛥𝑢(𝑡 − 1) − 0.47981𝛥𝑢(𝑡 − 2) − 0.1535𝛥𝑢(𝑡 − 3)
− 0.69846𝑦(𝑡 ) + 0.42204𝑦(𝑡 − 1) − 0.30698𝑦(𝑡 − 2)
Luis Eduardo García Jaimes
175
Sistemas de Control Avanzado
Es decir:
𝑢 = 0.48737𝑢(𝑡 − 1) + 0.03255u(t − 2) + 0.3263u(t − 3) + 0.1535u(t − 4) − 0.69846 y(t)
+ 0.42204y(t − 1) − 0.30698y(t − 2) + 0.58355w(t)
Finalmente:
𝑈 (𝑧) =
𝑧4
−
0.58355𝑧 4
𝑊 (𝑧 )
− 0.03255𝑧 2 − 0.3263𝑧 − 0.1535
𝑧 2 (0.69846𝑧 2 − 0.42204𝑧 + 0.30698)
− 4
𝑌 (𝑧 )
𝑧 − 0.48737𝑧 3 − 0.03255𝑧 2 − 0.3263𝑧 − 0.1535
0.48737𝑧 3
Figura 8.8 Respuesta del sistema del ejemplo 8.2
PROBLEMAS PROPUESTOS
8.1 En el intercambiador de la figura 8.9 el objetivo es calentar una corriente de
proceso con temperatura de entrada 𝑇𝑖 (𝑡) mediante un flujo de vapor. La
temperatura de salida 𝑇𝑜 (𝑡), se controla manipulando la válvula FCV que regula el
flujo de vapor 𝑓𝑣 (𝑡) al intercambiador. La temperatura de la corriente de entrada
puede variar, por lo que constituye la entrada de perturbación más importante. Se
supone que el resto de entradas se mantiene constante.
Experimentalmente se obtuvieron las funciones de transferencia de los
componentes individuales del sistema así:

Válvula de control:
𝑌(𝑆)
0.1
[𝑐𝑚/𝑚𝐴]
=
𝑀(𝑆) 0.05𝑆 + 1
Luis Eduardo García Jaimes
176
Sistemas de Control Avanzado
𝐹𝑣 (𝑆)
= 40 [𝐾𝑔/𝑐𝑚. 𝑚𝑖𝑛]
𝑌(𝑆)
En donde 𝑦(𝑡) es el recorrido del vástago y 𝑚(𝑡) la salida del controlador

Intercambiador de calor:
Función de transferencia respecto a la entrada de control (Flujo de vapor)
𝑇𝑜 (𝑆)
1.5
[𝑚𝑖𝑛℃/𝐾𝑔]
=
𝐹𝑣 (𝑆) (0.5𝑆 + 1)(0.02𝑆 + 1)
Función de transferencia respecto a la perturbación (temperatura de la
corriente de entrada)
𝑇𝑜 (𝑆)
0.1
[℃⁄℃]
=
𝑇𝑖 (𝑆) (1.25𝑆 + 1)(0.4𝑆 + 1)

Transmisor de temperatura:
𝐼(𝑆)
0.2
[𝑚𝐴/℃]
=
𝑇𝑜 (𝑆) 0.025𝑆 + 1
a) Obtenga la función de transferencia del proceso 𝐺𝑝 (𝑆) = 𝐼(𝑆)⁄𝑀(𝑆) y la función
de transferencia de la perturbación 𝐺𝐷 (𝑆) = 𝐼(𝑆)⁄𝑇𝑖 (𝑆). b) Dibuje el diagrama de
bloques del sistema incluyendo los diferentes componentes del mismo y la
realimentación c) Asuma que la temperatura de la corriente de entrada permanece
constante (Perturbación igual a cero), discretice la función de transferencia del
proceso con 𝑇 = 0.02 𝑚𝑖𝑛 y diseñe un controlador predictivo para el sistema. Asuma
horizonte de predicción 3 y horizonte de control 3.
Figura 8.9 Intercambiador de calor para el problema 8.1
Luis Eduardo García Jaimes
177
Sistemas de Control Avanzado
8.2 Sea el tanque con agitador representado en la figura 8.10.
FT1
TT1
Fi
Fluido
frío
LCV
FT2
TT2
LT
PT
Fo
qi
Vapor
Fluido
caliente
To
FCV
Figura 8.10 Tanque para el problema 8.2
El objetivo es controlar la temperatura 𝑇𝑜 del fluido de salida 𝑓𝑜 , manipulando el
caudal de vapor 𝑞𝑖 que pasa a través del serpentín. Se debe controlar también el
nivel del tanque manipulando el flujo de entrada 𝑓𝑖 . Se dispone de sensores para
medir el nivel, el flujo de entrada y el flujo de salida del tanque y las temperaturas
de entrada y de salida del fluido. Se ha observado gran variabilidad en la
temperatura del fluido de entrada.
Mediante una serie de experiencias llevadas a cabo en el entorno de las condiciones
nominales de operación, se han obtenido las funciones de transferencia que se
presentan a continuación (tiempo en segundos):
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%)
2.5𝑒 −20.3𝑆
=
Flujo de vapor (%)
75.4𝑆 + 1
𝑇 = 15 𝑠.
𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%)
1.25𝑒 −6.2𝑆
=
Flujo de entrada (%)
37.4𝑆 + 1
𝑇 = 5 𝑠.
b) Obtenga un diagrama de instrumentación para el proceso incluyendo todos los
componentes necesarios para realizar el control del mismo. b) Dibuje un diagrama
de bloques del proceso completo identificando todas las variables significativas
(manipuladas, controladas y perturbaciones a la entrada y a la salida). c) Diseñe
controladores predictivos para regular el nivel y la temperatura del tanque.
Luis Eduardo García Jaimes
178
Sistemas de Control Avanzado
Considere horizontes de predicción y de control máximo 5 y 𝜆 = 2 d) Que solución
se podría dar para que las variaciones de la temperatura en el flujo de entrada no
afecten la temperatura de salida del fluido?
REFERENCIAS
[8.1] Bordons, C. Control Predictivo: metodología, tecnología y nuevas perspectivas.
Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática.
[8.2] Camacho, E. Bordons, C. Model Predictive Control. Springer Verlag, 1999.
Universidad de Sevilla. 2000
Luis Eduardo García Jaimes
179
Sistemas de Control Avanzado
9. OTROS ALGORITMOS DE CONTROL
9.1 CONTROL CON MODELO INTERNO
Los métodos de control basados en modelos, incorporan dentro del controlador un
modelo del proceso. Este tipo de control es conocido como control con modelo
interno o 𝐼𝑀𝐶, por sus siglas en inglés.
El control por modelo interno (IMC) se utiliza como una alternativa al tradicional
control PID y presenta dos características relevantes: incorpora explícitamente el
modelo de la planta y el diseño del controlador está completamente ligado a dicho
modelo, esto permite que el cálculo de sus parámetros se pueda realizar de una
manera particularmente sencilla.
La figura 9.1a muestra un sistema de control realimentado en donde GP(S) es el
modelo de la planta y 𝐺𝑐 (𝑆) es el controlador del sistema. La figura 9.1b muestra el
diagrama de bloques básico del sistema de control basado en modelo, en donde
𝐺̂𝑝 (𝑆) es un modelo de la planta 𝐺𝑝 (𝑆), en la práctica se hace 𝐺̂𝑝 (𝑆) = 𝐺𝑝 (𝑆) y 𝐺𝑐′(𝑆)
es el modelo del controlador con modelo interno 𝐼𝑀𝐶. Comparando las figuras 9.1a
y 9.1b, se observa como el controlador 𝐺𝑐 (𝑆) equivalente está dado por:
Luis Eduardo García Jaimes
180
Sistemas de Control Avanzado
𝐺𝑐 (𝑆) =
𝐺𝑐′ (𝑆)
1 − 𝐺𝑐′ (𝑆)𝐺̂𝑝 (𝑆)
9.1
La ecuación 9.1 es la base para el diseño de los controladores del tipo PID cuyos
parámetros se calculan aplicando alguna de las técnicas de control con modelo
interno.
Figura 9.1 a) Sistema de control realimentado. b) Estructura IMC básica
Tomando como base la estructura 𝐼𝑀𝐶 general, Rivera, Morari y Stogestad
demostraron que para modelos simples esta estructura conduce a controladores del
tipo PID y desarrollaron un procedimiento para obtener los controladores y lograr un
cierto desempeño deseado. Para lograr la solución redefinieron el controlador IMC
como:
𝐺𝑐′(𝑆) = 𝐺𝑝−1 (𝑆)𝐹(𝑆)
9.2
Donde 𝐹(𝑠) es un filtro pasa bajo, que debe seleccionarse de manera que garantice
que la función de transferencia del controlador 𝐼𝑀𝐶 sea propia. El filtro es de la
forma:
𝐹 (𝑆 ) =
1
(𝜆𝑆 + 1)𝑛
Luis Eduardo García Jaimes
9.3
181
Sistemas de Control Avanzado
EJEMPLO 9.1
Se desea diseñar un controlador PI con modelo interno para un sistema de primer
orden sin retardo. Obtener los parámetros 𝐾𝑐 y 𝜏𝑖 del controlador.
SOLUCIÓN: El modelo del sistema de primer orden sin retardo es:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝐾
𝜏𝑆 + 1
La ecuación del controlador PI ideal es:
𝐺𝑐 (𝑆) = 𝐾𝑐 [1 +
1
𝐾𝑐 𝜏𝑖 𝑆 + 1
]= [
]
𝜏𝑖 𝑆
𝜏𝑖
𝑆
Se elige la ecuación del filtro 𝐹(𝑆) como:
𝐹 (𝑆 ) =
1
𝜆𝑆 + 1
Con 𝐺̂𝑝 (𝑆) = 𝐺𝑝 (𝑆) Se obtiene:
𝐺𝑐′ (𝑆) = 𝐺𝑝−1 (𝑆)𝐹(𝑆) =
𝜏𝑆 + 1
𝐾(𝜆𝑆 + 1)
Reemplazando en la ecuación 9.1 resulta:
𝜏𝑆 + 1
𝜏𝑆 + 1
1 𝜏𝑆 + 1
𝐾(𝜆𝑆 + 1)
𝐺𝑐 (𝑆) =
=
=
∗
𝜏𝑆 + 1
𝐾
𝐾𝜆𝑆
𝐾𝜆
𝑆
1 − 𝐾(𝜆𝑆 + 1) ∗ (𝜏𝑆 + 1)
Comparando las dos ecuaciones obtenidas para el controlador G C(S) se obtiene:
𝐾𝑐 𝜏𝑖 𝑆 + 1
1 𝜏𝑆 + 1
[
]=
∗
𝜏𝑖
𝑆
𝐾𝜆
𝑆
Es decir:
𝐾𝑐 =
𝜏
y 𝜏𝑖 = 𝜏
𝐾𝜆
Con un procedimiento similar al anterior, Rivera et al dedujeron, para diferentes
modelos de la planta, los parámetros para los controladores como se indica en la
tablas 9.1 y 9.2. Es necesario tener en cuenta que la ganancia del controlador varía
inversamente con el valor del parámetro 𝜆 es decir, si 𝜆 es pequeño la ganancia del
controlador es alta y la respuesta del sistema en lazo cerrado es rápida y si 𝜆 es
grande la ganancia del controlador es pequeña y la respuesta del sistema en lazo
cerrado es lenta.
Luis Eduardo García Jaimes
182
Sistemas de Control Avanzado
Tabla 9.1 Parámetros del IMC para diferentes modelos
𝑷𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂
𝑭𝒊𝒍𝒕𝒓𝒐
𝐾
𝑆
𝐾
𝜏𝑆 + 1
𝐾
𝑆(𝜏𝑆 + 1)
1
𝜆𝑆 + 1
1
𝜆𝑆 + 1
1
𝜆𝑆 + 1
PD
𝐾
(𝜏1 𝑆 + 1)(𝜏2 𝑆 + 1)
1
𝜆𝑆 + 1
𝜏 2𝑆 2
𝐾
+ 2𝜉𝜏𝑆 + 1
𝐾(1 − 𝛽𝑆)
𝜏 2 𝑆 2 + 2𝜉𝜏𝑆 + 1
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍
𝑲𝒄
𝝉𝒊
𝝉𝒅
𝝀
−
−
𝜆 ≥ 0.2𝜏
𝜏
−
𝜆 ≥ 0.2𝜏
1
𝐾𝜆
−
𝜏
𝜆 ≥ 0.2𝜏
PID
𝜏1 + 𝜏2
𝐾𝜆
𝜏1 + 𝜏2
𝜏1 𝜏2
𝜏1 + 𝜏2
𝜆 ≥ 0.2𝜏
1
𝜆𝑆 + 1
PID
2𝜉𝜏
𝐾𝜆
2𝜉𝜏
𝜏
2𝜉
𝜆 ≥ 0.2𝜏
1 − 𝛽𝑆1
𝜆𝑆 + 1
PID
2𝜉𝜏
𝐾(𝜆 + 𝛽)
2𝜉𝜏
𝜏
2𝜉
𝜆 ≥ 0.2𝜏
1
𝐾𝜆
𝜏
𝐾𝜆
P
PI
La tabla 9.2 se aplica a un modelo de primer orden con retardo:
′
𝐾𝑒 −𝜃 𝑆
(
)
𝐺𝑝 𝑆 =
𝜏𝑆 + 1
Para obtener los parámetros de dicha tabla, Rivera, Morari y Stogestad utilizan una
aproximación de Padé de primer orden para el retardo así:
𝑒
−𝜃𝑆
1 − 0.5𝜃 ′𝑆
=
1 + 0.5𝜃 ′𝑆
Tabla 9.2 Parámetros del IMC para un modelo POR
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍
𝑲𝒄
𝝉𝒊
𝝉𝒅
𝑷𝑰
𝜏
𝐾𝜆
𝜏
−
𝑷𝑰𝑫
2𝜏 + 𝜃 ′
𝐾 [2𝜆 + 𝜃 ′ ]
2𝜏 + 𝜃 ′
2
𝜏𝜃 ′
2𝜏 + 𝜃 ′
𝝀(𝑹𝒆𝒄𝒐𝒎𝒆𝒏𝒅𝒂𝒅𝒐)
𝜆 ≥ 1.7𝜃 ′
𝜆 ≥ 0.2𝜏
𝜆 ≥ 0.8𝜃 ′
𝜆 ≥ 0.2𝜏
EJEMPLO 9.2
El modelo de cierto sistema de flujo puede aproximarse al de un sistema de segundo
orden sin retardo con función de transferencia:
𝐺𝑝 (𝑆) =
Luis Eduardo García Jaimes
𝑆2
12.5
+ 6𝑆 + 25
183
Sistemas de Control Avanzado
Obtenga para el sistema un controlador PID con modelo interno. Asuma como
periodo de muestreo 𝑇 = 0.05 𝑠. Resuelva el problema para 𝜆 = 0.4𝜏 y 𝜆 = 0.8𝜏 y
grafique las respuestas ante una entrada en escalón unitario.
SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir en la forma:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝜏 2𝑆 2
𝐾
0.5
=
2
+ 2𝜉𝜏𝑆 + 1 0.04𝑆 + 0.24𝑆 + 1
Por comparación se obtiene:
𝐾 = 0.5
𝜏 = 0.2 𝑠
𝜉 = 0.6
a) Los parámetros del controlador con 𝜆 = 0.4𝜏 = 0.08 𝑠 son:
𝐾𝑐 =
2𝜉𝜏 2 ∗ 0.6 ∗ 0.2
=
=6
𝐾𝜆
0.5 ∗ 0.08
𝜏𝑖 = 2𝜉𝜏 = 2 ∗ 0.6 ∗ 0.2 = 0.24
𝜏𝑑 =
𝜏
0.2
=
= 0.166
2𝜉 2 ∗ 0.6
El controlador PID discreto tiene por ecuación:
𝐷 (𝑧 ) =
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 [1 +
𝑞1 = −𝑘𝑐 [1 +
𝑞0 𝑧 2 + 𝑞1 𝑧 + 𝑞2
𝑧(𝑧 − 1)
𝑇
𝜏𝑑
0.05
0.166
] = 26.545
+ ] = 6 [1 +
+
2𝜏𝑖 𝑇
2 ∗ 0.24 0.05
2𝜏𝑑
𝑇
2 ∗ 0.166
0.05
] = −6 [1 +
] = −45.215
−
−
𝑇
2𝜏𝑖
0.05
2 ∗ 0.24
𝑞2 =
𝐾𝑐 𝜏𝑑 6 ∗ 1.66
=
= 19.992
𝑇
0.05
La ecuación del controlador es, entonces:
𝐷 (𝑧 ) =
26.545𝑧 2 − 45.215𝑧 + 19.992
𝑧(𝑧 − 1)
b) Los parámetros del controlador con 𝜆 = 0.8𝜏 = 0.16 son:
𝐾𝑐 =
2𝜉𝜏 2 ∗ 0.6 ∗ 0.2
=
=3
𝐾𝜆
0.5 ∗ 0.16
𝜏𝑖 = 2𝜉𝜏 = 2 ∗ 0.6 ∗ 0.2 = 0.24
𝜏𝑑 =
𝜏
0.2
=
= 0.166
2𝜉 2 ∗ 0.6
Los parámetros del controlador son:
𝑞𝑜 = 𝐾𝑐 [1 +
𝑞1 = −𝑘𝑐 [1 +
𝑇
𝜏𝑑
0.05
0.166
] = 13.272
+ ] = 3 [1 +
+
2𝜏𝑖 𝑇
2 ∗ 0.24 0.05
2𝜏𝑑
𝑇
2 ∗ 0.166
0.05
] = −3 [1 +
] = −22.607
−
−
𝑇
2𝜏𝑖
0.05
2 ∗ 0.24
𝑞2 =
𝐾𝑐 𝜏𝑑 3 ∗ 1.66
=
= 9.996
𝑇
0.05
La ecuación del controlador es, entonces:
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184
Sistemas de Control Avanzado
𝐷 (𝑧 ) =
13.272𝑧 2 − 22.607𝑧 + 9.996
𝑧 (𝑧 − 1)
La figura 9.2 muestra la respuesta del sistema de flujo a un escalón unitario. Como
puede verse, para 𝜆 = 0.4𝜏 = 0.08 la respuesta del sistema es más rápida que para
el sistema con 𝜆 = 0.8𝜏 = 0.16 pero presenta un sobreimpulso considerable (18%).
Por lo tanto, cuando se diseñan controladores por el método de control con modelo
interno es necesario seleccionar el valor de 𝜆 adecuado para que el sistema en lazo
cerrado tenga un desempeño adecuado.
Figura 9.2 Respuesta del sistema con el controlador PID-IMC
9.2 DISEÑO DE COMPENSADORES POR EL MÉTODO DE RAGAZZINI
El método de síntesis directa o de Truxal-Ragazzini, permite diseñar un controlador
𝐷(𝑧) de modo que la secuencia de error 𝑒(𝑘𝑇), ante una señal de referencia
particular, sea cero tras un número 𝑁 de periodos de muestreo y se mantenga así,
sin oscilaciones.
Para el sistema de control discreto mostrado en la figura 9.3, la función de
transferencia de lazo cerrado es:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝐶(𝑧)
𝐷 (𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
=
𝑅(𝑧) 1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)
9.4
Si se especifica cuál debe ser el comportamiento de la planta en lazo cerrado, es
decir, si se especifica 𝐺𝑤 (𝑧), el compensador 𝐷(𝑧) resultante a partir de la ecuación
9.4 es:
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185
Sistemas de Control Avanzado
𝐷 (𝑧 ) =
1
𝐺𝑤 (𝑧)
∙
𝐻𝐺 (𝑧) 1 − 𝐺𝑤 (𝑧)
9.5
Figura 9.3 Sistema de control digital
Como puede verse, a partir de la ecuación 9.5, una parte del controlador cancela
los polos y ceros de la planta. El problema consiste en establecer e implementar
restricciones específicas sobre 𝐺𝑤 (𝑧) de modo que el controlador sea realizable y
que el sistema, en lazo cerrado, tenga un comportamiento adecuado. Dichas
restricciones se pueden resumir en las siguientes [9.1]:
1. Restricción de causalidad: un sistema causal o realizable es aquel que no
responde antes de ser excitado. Para que 𝐷(𝑧) en la ecuación 9.5 sea causal,
es necesario que 𝐻𝐺(𝑧) y 𝐺𝑤 (𝑧) tengan ceros del mismo orden en el infinito es
decir, si 𝐻𝐺(𝑧) se expande en potencias de 𝑧 −1 , el término más significativo de
𝐺𝑤 (𝑧) en potencias de 𝑧 −1 debe ser al menos tan grande como el de 𝐻𝐺 (𝑧).
Si 𝐺𝑤 (𝑧) es de la forma:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝑏𝑜 𝑧 𝑛 + 𝑏1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ 𝑏𝑛
𝑧 𝑛 + 𝑎1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ 𝑎𝑛
9.6
En donde:
𝑧 𝑛 + 𝑎1 𝑧 𝑛−1 + ⋯ 𝑎𝑛 = 0
Es la ecuación característica deseada.
La restricción de causalidad implica qué:
𝐺𝑤 (𝑧)|𝑧=∞ = 0
9.7
2. Restricción de estabilidad: Si 𝐻𝐺(𝑧) tiene polos fuera del círculo unitario, el
sistema es inestable. El controlador 𝐷(𝑧) no debe cancelar dichos polos pues
cualquier error en la cancelación entre ceros y polos hará que con el tiempo, el
sistema se haga inestable. Entonces, para que los polos inestables se cancelen,
se deben cumplir las siguientes condiciones:
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186
Sistemas de Control Avanzado

1 − 𝐺𝑤 (𝑧) debe tener como ceros todos los polos de 𝐻𝐺(𝑧) que estén fuera
del círculo unitario.

𝐺𝑤 (𝑧) debe tener como ceros todos los ceros de 𝐻𝐺(𝑧) que estén fuera del
círculo unitario.
3. Restricción de exactitud: Como 𝐺𝑤 (𝑧) es la función de transferencia del
sistema en lazo cerrado, entonces:
𝐸 (𝑧) = [1 − 𝐺𝑤 (𝑧)]𝑅(𝑧)
9.8
Si el sistema es tipo 1, con constante de error de velocidad Kv, debe tener un
error de estado estable igual a cero ante una entrada en escalón unitario y 1/Kv
de error de estado estable ante una entrada en rampa unitaria, es decir:

Para un escalón unitario :
𝑒𝑠𝑠 = lim(𝑧 − 1)[1 − 𝐺𝑤 (𝑧)] ∙
𝑧→1
1
𝑧−1
𝐺𝑤 (𝑧)|𝑧=1 = 1

9.9
Para una rampa unitaria:
𝑒𝑠𝑠 = lim(𝑧 − 1) [1 − 𝐺𝑤 (𝑧)] ∙
𝑧→1
𝑇𝑧
(𝑧 − 1)2
Utilizando el teorema de L'Hopital se obtiene:
𝑑 [𝐺𝑤 (𝑧)]
1
|
=−
𝑑𝑧
𝑇𝐾𝑣
𝑧=1
9.10
La aplicación de las restricciones anteriores y el cumplimiento de las
especificaciones impuestas al sistema, permiten el diseño del compensador.
EJEMPLO 9.3
La figura 9.4 representa el esquema de una antena diseñada para rastrear un
satélite. La dinámica del sistema que describe el movimiento de la antena se puede
aproximar mediante la expresión:
𝐺𝑝 (𝑆) =
𝜃(𝑆)
0.02
=
𝑈(𝑆) 𝑆(𝑆 + 0.2)
Diseñar un compensador según Ragazzini de modo que el sistema, en lazo cerrado,
tenga tiempo de crecimiento de 10 𝑠, sobreimpulso máximo <10% y coeficiente
estático de error de velocidad igual a 2.
Luis Eduardo García Jaimes
187
Sistemas de Control Avanzado
SOLUCION: La constante de tiempo equivalente del sistema continuo en lazo
cerrado es: 𝜏𝑒𝑞 = 10 𝑠. Por lo tanto, se puede tomar como periodo de muestreo
𝑇 =
𝜏𝑒𝑞
= 2𝑠
5
.
Figura 9.4 Antena rastreadora de satélites
𝐻𝐺 (𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )ℑ {
𝐺𝑝 (𝑆)
0.02
} = (1 − 𝑧 −1 )ℑ { 2
}
𝑆
𝑆 (𝑆 + 0.2)
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.0352(𝑧 + 0.8753)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.6703)
La ubicación deseada para los polos de lazo cerrado está dada por:
|𝑧| = 𝑒 −𝜉𝑤𝑛 𝑇
𝜃 = 57.3𝑤𝑛 𝑇√1 − 𝜉 2
De las condiciones del problema:
𝑀𝑝 = 𝑒 −𝜋𝜉⁄√1−𝜉
𝑡𝑟 =
0.8 + 2.5𝜉
𝑤𝑛
|𝑧| = 0.764
2
0.1 = 𝑒 −𝜋𝜉⁄√1−𝜉
𝑤𝑛 =
2
0.8 + 2.5𝜉
𝑡𝑟
𝜃 = 21𝑜
𝜉 = 0.591
𝑤𝑛 = 0.227 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑧 = 0.713 ± 𝑗0.273
La ecuación característica deseada es, entonces:
𝑧 2 − 1.426𝑧 + 0.5828 = 0
Como el sistema es de segundo orden, 𝐺𝑤 (𝑧) debe ser de la forma:
𝐺𝑤 (𝑧) =
Luis Eduardo García Jaimes
𝑏𝑜 𝑧 2 + 𝑏1 𝑧 + 𝑏2
𝑧 2 − 1.426𝑧 + 0.5828
188
Sistemas de Control Avanzado
a) Restricción de causalidad :
𝐺𝑤 (𝑧)|𝑧→∞ = 0
⟶
𝑏𝑜 = 0
b) Restricción de estabilidad: no se aplica pues 𝐺𝑤 (𝑧) no tiene polos ni ceros fuera
del círculo unitario.
c) Restricción de exactitud :
𝐺𝑤 (𝑧)|𝑧=1 =
𝑏𝑜 + 𝑏1 + 𝑏2
=1
1 − 1.426 + 0.5828
𝑏1 + 𝑏2 = 0.1568
𝐸𝑐 𝐶1
Ahora se evalúa la derivada de 𝐺𝑤 (𝑧) con respecto a 𝑧 en 𝑧 = 1, es decir:
𝑑 [𝐺𝑤 (𝑧)]
1
|
=−
𝑑𝑧
𝑇𝐾𝑣
𝑧=1
[𝑧 2 − 1.426𝑧 + 0.5828][2𝑏𝑜 𝑧 + 𝑏1 ] − [𝑏𝑜 𝑧 2 + 𝑏1 𝑧 + 𝑏2 ][2𝑧 − 1.426]
1
|
=
−
[𝑧 2 − 1.426𝑧 + 0.5828]2
4
𝑧=1
Evaluando la expresión anterior en 𝑧 = 1 resulta:
−0.4172𝑏1 − 0.574𝑏2 = −0.006146
𝐸𝑐. 𝐶2
Resolviendo las ecuaciones 𝐶1 y 𝐶2 se obtiene:
𝑏1 = 0.5348,
𝑏2 = −0.378
Por lo tanto:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝑧2
1 − 𝐺𝑤 (𝑧) =
0.5348𝑧 − 0.378
0.5348(𝑧 − 0.7068)
= 2
− 1.426𝑧 + 0.5828 𝑧 − 1.426𝑧 + 0.5828
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9608)
𝑧 2 − 1.9608𝑧 + 0.9608
= 2
2
𝑧 − 1.426𝑧 + 0.5828
𝑧 − 1.426𝑧 + 0.5828
La ecuación del controlador es:
𝐷 (𝑧 ) =
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.6703) 0.5348(𝑧 − 0.7068)
∙
0.0352(𝑧 + 0.8753) (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9608)
𝐷 (𝑧 ) =
15.193(𝑧 − 0.6703)(𝑧 − 0.7068)
(𝑧 − 0.9608)(𝑧 + 0.8753)
La función de transferencia de lazo cerrado del sistema, con el controlador
diseñado, es:
𝐺𝑤 (𝑧) =
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0.5348(𝑧 − 0.7068)
𝑧 2 − 1.426𝑧 + 0.5828
189
Sistemas de Control Avanzado
La figura 9.5a corresponde a la respuesta del movimiento de la antena cuando se
le aplica un escalón unitario en la señal de referencia y la figura 9.5b representa la
acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma. Como puede
verse, el controlador presenta oscilaciones ocultas ("efecto timbre"), debido al polo
ubicado en 𝑧 = −0.8753. Para obviar el problema se reemplaza dicho polo por una
ganancia que se obtiene haciendo en él 𝑧 = 1, como se indica a continuación:
𝐷 (𝑧 ) =
15.193(𝑧 − 0.6703)(𝑧 − 0.7068) 15.193(1 − 0.6703𝑧 −1 )(1 − 0.7068𝑧 −1 )
=
(𝑧 − 0.9608)(𝑧 + 0.8753)
(1 − 0.9608𝑧 −1 )(1 + 0.8753𝑧 −1 )
𝐷 (𝑧 ) =
8.101(1 − 0.6703𝑧 −1 )(1 − 0.7068𝑧 −1 ) 8.101(𝑧 − 0.6703)(𝑧 − 0.7068)
=
(1 − 0.523𝑧 −1 )(1 + 0.8753)
𝑧(𝑧 − 0.523)
La figura 9.5c representa la respuesta del movimiento de la antena y la figura 9.5d
la acción del controlador sobre el elemento final de control de la misma al aplicar un
escalón unitario en la referencia, una vez suprimido el efecto timbre que producía el
controlador.
Figura 9.5 Respuesta del movimiento de la antena y del controlador al
aplicar un escalón unitario a) y b) con efecto timbre c) y d) sin efecto timbre.
Luis Eduardo García Jaimes
190
Sistemas de Control Avanzado
EJEMPLO 9.4
La función de transferencia de pulso de un sistema discreto en lazo abierto es:
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.4(𝑧 + 1.5)
𝑧(𝑧 − 0.8)
Diseñar un controlador según el método de Ragazzini de modo que el sistema, en
lazo cerrado, tenga polos ubicados en 𝑧 = 0.4 y 𝑧 = 0.5 y error de estado estable
igual a cero ante una entrada en escalón unitario.
SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema tiene un cero por fuera del
círculo unitario y se puede escribir en la forma:
𝐻𝐺 (𝑧) =
0.4𝑧 + 0.6
𝑧 2 − 0.8𝑧
La ecuación característica deseada es:
(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5) = 𝑧 2 − 0.9𝑧 + 0.2 = 0
Por lo tanto 𝐺𝑤 (𝑧) es de la forma:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝑏𝑜 𝑧 2 + 𝑏1 𝑧 + 𝑏2
𝑧 2 − 0.9𝑧 + 0.2
a) Restricción de causalidad:
𝐺𝑤(𝑧) |𝑧=∞ = 0
𝑏𝑜 = 0
Entonces:
𝐺𝑤 (𝑧) =
𝑏1 𝑧 + 𝑏2
𝑧 2 − 0.9𝑧 + 0.2
b) Restricción de estabilidad: 𝐻𝐺(𝑧) tiene un cero inestable, por lo tanto 𝐺𝑤 (𝑧) debe
tener como cero el cero inestable de 𝐻𝐺(𝑧) es decir:
𝐺𝑤 (𝑧) =
(𝑧 + 1.5)𝑏1
− 0.9𝑧 + 0.2
𝑧2
c) Restricción de exactitud: el sistema en lazo cerrado es tipo cero, para que tenga
error cero al escalón unitario se debe cumplir que:
𝐺𝑤 (𝑧)|𝑧=1 = 1
Por tanto:
(𝑧 + 1.5)𝑏1
|
=1
𝑧 2 − 0.9𝑧 + 0.2 𝑧=1
𝑏1 = 0.12
Es decir:
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191
Sistemas de Control Avanzado
𝐺𝑤 (𝑧) =
0.12(𝑧 + 1.5)
(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)
1 − 𝐺𝑤 (𝑧) = 1 −
0.12(𝑧 + 1.5)
𝑧 2 − 1.02𝑧 + 0.02
=
(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5) (𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)
0.12(𝑧 + 1.5)
1
𝐺𝑤 (𝑧)
𝑧(𝑧 − 0.8) (𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)
𝐷 (𝑧 ) =
∗
=
∗
𝐻𝐺(𝑧) 1 − 𝐺𝑤 (𝑧) 0.4(𝑧 + 1.5) 𝑧 2 − 1.02𝑧 + 0.02
(𝑧 − 0.4)(𝑧 − 0.5)
𝐷 (𝑧 ) =
𝑀(𝑧)
0.3𝑧(𝑧 − 0.8)
=
𝐸(𝑧) (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.02)
La figura 9.6 muestra la respuesta del sistema con el controlador diseñado.
Variable
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
t [s]
Figura 9.6 Respuesta del sistema con el controlador de Ragazzini
PROBLEMAS PROPUESTOS
9.1 La figura 9.7a representa un horno en el cual el material que entra a temperatura
𝑇𝑖 debe salir a temperatura 𝑇. En el horno se puede manipular el flujo de combustible
𝐹 hacia el elemento calefactor para lograr que la temperatura final 𝑇 del material
alcance el valor deseado. La figura 9.7b muestra la respuesta de la temperatura del
horno al incrementar la apertura de la válvula de control de combustible en un 10%.
La temperatura se mide con un transmisor con rango de 0 a 100 ºC. El proceso se
muestreo cada 0.2 min. a) Obtenga la función de transferencia del sistema
aproximándola a un sistema de segundo orden. b) Dibuje el diagrama de
instrumentación necesario para realizar el control digital de la temperatura del horno
y el diagrama de bloques correspondiente en lazo cerrado. c) Diseñe para el sistema
un controlador PI por modelo interno.
Luis Eduardo García Jaimes
192
Sistemas de Control Avanzado
Figura 9.7 Horno para el problema 9.1
REFERENCIAS
[9.1] Rodriguez, R. Lopez, M. Control Adaptativo y Robusto. Universidad de
Sevilla.1996.
[9.2] Franklin, G. Powell, D. Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley,
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Luis Eduardo García Jaimes
193
Sistemas de Control Avanzado
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