Tarea 3

Tarea 3
Todos los espacios de esta tarea son de Tychonoff, es decir, “espacio” significa
“espacio de Tychonoff”.
1. Dado un espacio pseudocompacto X demostrar que para cualquier abierto
U ⊂ X, el conjunto U es pseudocompacto.
2. Demostrar que cualquier subespacio cerrado de un espacio numerablemente
compacto es numerablementte compacto.
3. Dar un ejemplo de un espacio pseudocompacto en el cual un subespacio
cerrado no sea pseudocompacto.
4. Supongamos que un espacio X tiene un subespacio denso pseudocompacto.
Demostrar que X es pseudocompacto.
5. Dar un ejemplo de un espacio X que no es numerablemente compacto pero
tiene un subespacio denso numerablemente compacto.
6. Demostrar que un espacio X es numerablementte compacto si y sólo si cada
conjunto infinito de X tiene un punto de acumulación.
7. Supongamos que X es un espacio numerablementte compacto y cada x ∈ X
tiene una base local numerable. Demostrar que X × X también es numerablemente compacto.
8. Dado cualquier conjunto A demostrar que todo subespacio cerrado pseudocompacto de RA es compacto.
9. Supongamos que X es un espacio numerablemente compacto y Y es un
espacio que tiene base local numerable en cada y ∈ Y . Demostrar que cualquier
mapeo continuo f : X → Y es cerrado.
10. Dado un espacio pseudocompacto X supongamos que x ∈ X y existe una
familia numerable B de abiertos de X tal que {x} = B. Demostrar que X
tiene una base local numerable en el punto x.