16.- Geometría de masas. §16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458); §16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470); §16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia (473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474); §16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera (479); Problemas (484) En las lecciones que siguen, que estarán dedicadas a la Dinámica de los Sistemas de Partículas y del Sólido Rígido, veremos la conveniencia de definir los conceptos de centro de masa y de momento de inercia. Comprenderemos la importancia y significado de tales conceptos cuando aparezcan de una forma natural al desarrollar la Dinámica de los Sistemas de Partículas. En esta lección tan solo nos ocuparemos de los aspectos formales y técnicas matemáticas asociadas con la definición "geométrica" de tales conceptos. §16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia.- Una distribución discreta de materia es aquélla en la que las partículas están netamente diferenciadas por la existencia de espacios vacíos entre ellas. Una distribución discreta de materia quedará definida mediante las coordenadas de posición de todas y cada una de las partículas que la integran, como se ilustra en la Figura 16.1. Desde un punto de vista microscópico esa es la situación real, puesto que la materia presenta una estructura esencialmente discreta. Sin embargo, desde un punto de vista macroscópico, podemos y debemos considerar el caso de una distribución continua de materia, i.e., una distribución de materia sin espacios vacíos o soluciones de continuidad. En este caso, veremos que en muchas ocasiones será necesario descomponer el sistema material en un número infinito de porciones elementales (infinitesimales), de masa dm, como se ilustra en la Figura 16.4. Para caracterizar una distribución continua de materia, definimos la densidad volúmica ρ, la densidad superficial σ y la densidad lineal λ, correspondientes a una distribución cúbica, superficial y lineal de materia, respectivamente, por ρ dm dV σ dm dS Física Universitaria λ dm ds [16.1] 457 458 Lec. 16.- Geometría de masas. donde dV, dS y ds representan, respectivamente, los elementos de volumen, de superficie y de longitud, correspondientes al elemento de masa dm. En general, la densidad del sistema material (ρ, σ o λ) variará de una zona a otra del sistema material; esto es, la densidad será una función de punto ρ(x,y,z), σ(x,y,z) o λ(x,y,z), y deberemos conocer dicha función para que el sistema material quede bien definido. Aun cuando sea razonable la aproximación de un sistema material mediante una distribución continua de materia, nos encontramos con una complicación de tipo conceptual cuando tratamos de utilizar el proceso matemático de paso al límite, propio del Cálculo Diferencial e Integral. En efecto, al disminuir gradualmente el tamaño del elemento material, reencontramos la estructura discreta de la materia. Evitaremos este inconveniente entendiendo por elemento infinitesimal de materia una cantidad muy pequeña de ésta, pero suficientemente grande, en comparación con las distancias intermoleculares, como para no tener que considerar la estructura discreta de la materia. Estos elementos se llaman macroscópicos, pero serán considerados como infinitesimales en el sentido matemático, a fin de poder utilizar los recursos del Cálculo Diferencial e Integral. §16.2. Centro de masa.- Consideremos un sistema de partículas, compuesto por N de ellas, cuyas masas designaremos por mi (i = 1, 2, ... N) y sea ri el vector de posición de la partícula i-ésima respecto al origen O de un referencial dado. Definimos el centro de masa1 de un tal sistema de partículas como el punto del espacio, que designamos por CM (o por G, cuando así convenga), cuyo vector de posición respecto a O es N r cm Figura 16.1 i 1 mi r i [16.2] N i 1 mi donde M = mi representa, evidentemente, la masa total del sistema de partículas. TEOREMA I.- La posición del centro de masa de un sistema es independiente del referencial que utilicemos y depende solamente de las masas de las partículas y de las posiciones de unas respecto a otras. En efecto, de acuerdo con el carácter vectorial de la definición [16.2] del centro de masa, y puesto que no hemos hecho referencia alguna a ningún conjunto particular de ejes, la posición del centro de masa no dependerá de la orientación del sistema de ejes, con origen en O, que elijamos. Pero, además, debemos demostrar que la posición del centro de masa no depende tampoco de la elección del origen. Para demostrar esto último, consideraremos dos puntos O y O′, orígenes de dos referenciales (Figura 16.2), y sean ri y ri′ los vectores de posición de una partícula genérica, mi, respecto a cada uno de esos orígenes. La relación existente entre los vectores ri y ri′ es 1 El centro de gravedad de un cuerpo se define como el punto de aplicación de la resultante de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre él. Así pues, el centro de masa y el centro de gravedad son conceptualmente diferentes y no debemos confundirlos. Sin embargo, las posiciones de ambos centros suelen coincidir en la mayor parte de las situaciones prácticas. Insistiremos en este asunto en §20.5. 459 §16.2.- Centro de masa. r i′ ri [16.3] OO′ Los centros de masa CM y CM′ estarán definidos por los vectores de posición rcm y r′cm relativos a O y O′, con N rcm ′ mi r i′ i 1 [16.4] N i 1 [16.2] mi Sustituyendo la expresión [16.3] en la tenemos rcm 1 M N i 1 mi (r i′ OO′) 1 M Figura 16.2 N i 1 1 N ( m ) OO′ M i 1 i mi r i′ rcm′ [16.5] OO′ de modo que rcm y r′cm determinan un mismo punto (CM ≡ CM′) respecto a O y O′, por lo que el centro de masa es único. En coordenadas cartesianas, que son las utilizadas más comúnmente, la posición del centro de masa del sistema de partículas viene dada por N xcm i 1 N mi xi i 1 ycm mi i 1 N mi yi i 1 zcm mi i 1 mi zi i 1 [16.6] mi Ejemplo I.- El ejemplo más simple corresponde al de dos partículas, de masas m1 y m2, respectivamente. Tomaremos como eje x la recta definida por las dos partículas. En estas condiciones, al ser y1 = y2 = 0 y z1 = z2 = 0, serán ycm = 0 y zcm = 0, de modo que el centro de masa estará situado sobre el eje x, siendo su posición m1 x1 xcm m2 x2 m1 m2 Figura 16.3 Las distancias d1 y d2, de cada una de las partículas al centro de masa CM, son d1 de modo que x1 xcm m2 m1 m2 (x2 x1) d2 d1 m2 d2 m1 x2 xcm m1 m1 m2 (x2 x 1) [16.7] [16.8] y el centro de masa está situado entre ambas partículas, siendo la distancia a cada una de ellas inversamente proporcional a sus masas. 460 Lec. 16.- Geometría de masas. Las expresiones [16.2] y [16.6] sólo son utilizables para el cálculo de la posición del centro de masa de una distribución discreta de materia. En el caso de una distribución continua de materia, el cálculo del centro de masa exige la descomposición de la distribución de materia en un número infinito de porciones elementales (infinitesimales), de masa dm, como se ilustra en la Figura 16.4. En estas condiciones, los sumatorios que aparecen en las expresiones [16.2] y [16.6] se convierten en integrales, resultando Figura 16.4 xcm ⌠ x dm ⌡R ⌠ dm ⌡R rcm ⌠ r dm ⌡R ⌠d m ⌡R ycm ⌠ y dm ⌡R ⌠ dm ⌡R [16.9] ⌠ z dm ⌡R ⌠ dm ⌡R zcm [16.10] extendiéndose las integraciones a toda la región R ocupada por la distribución continua de materia. Si tenemos en cuenta las definiciones dadas anteriormente para la densidad volúmica ρ, la densidad superficial σ y la densidad lineal λ, correspondientes a distribuciones cúbica, superficial y lineal de la masa, la expresión [16.9] se escribirá en las respectivas formas: rcm ⌠ ρ r dV ⌡V ⌠ ρ dV ⌡V rcm ⌠ σ r dS ⌡S ⌠ σ dS ⌡S xcm ⌠ σ x dS ⌡S ⌠ σ dS ⌡S rcm ⌠ λ r ds ⌡s ⌠ λ ds ⌡s [16.11] xcm ⌠ λ x ds ⌡s ⌠ λ ds ⌡s [16.12] y para la componente xcm se tendrá xcm ⌠ ρ x dV ⌡V ⌠ ρ dV ⌡V con expresiones similares para ycm y zcm. En general, la densidad del sistema material (ρ, σ o λ) variará de un punto a otro del sistema; esto es, la densidad será una función de punto ρ(x,y,z), σ(x,y,z) o λ(x,y,z), y deberemos conocer dicha función para poder evaluar las integrales de [16.11] o [16.12]. Cuando el sistema es homogéneo, de modo que la densidad tiene un valor constante en todo el recinto de integración, las expresiones [16.11] se reducen a 461 §16.2.- Centro de masa. rcm ⌠ r dV ⌡V V rcm ⌠ r dS ⌡S S rcm ⌠ r ds ⌡s s [16.13] donde V, S y s representan el volumen, la superficie y la longitud, respectivamente, del recinto de integración, o sea, de la región del espacio ocupada por el sistema material. En estas condiciones (cuerpos homogéneos), la posición del centro de masa depende tan sólo de la forma geométrica del cuerpo, y el centro de masa recibe el nombre de centroide. §16.3. Teoremas concernientes al centro de masa.- El estudio de las técnicas matemáticas necesarias para el cálculo del centro de masa de una distribución continua de materia encuentra su lugar adecuado en un curso de Cálculo Diferencial e Integral, y tales problemas constituyen excelentes ejercicios de esa rama del Cálculo. En general, la evaluación de una integral de algunos de los tipos de [16.11] nos conducirá a una integración de línea, doble o triple, según que la masa esté distribuida sobre una línea, sobre una superficie o en un volumen. En ocasiones, será suficiente la elección de coordenadas cartesianas (x,y,z) para valorar dichas integrales. Sin embargo, en muchos casos se conseguirá una notable simplificación del problema mediante la adopción de un sistema de coordenadas curvilíneas (coordenadas polares, cilíndricas, ...) adaptadas lo mejor posible a la geometría del cuerpo cuyo centro de masa queremos determinar. No es nuestro propósito hacer una digresión sobre el significado y las técnicas de evaluación de integrales dobles y triples, ni sobre los distintos sistemas de coordenadas curvilíneas; el alumno deberá consultar una obra de Cálculo Diferencial e Integral. En la página 462 se resumen las propiedades más importantes, en lo que aquí nos interesa, de los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas, polares esféricas y polares planas, y al final de este artículo resolveremos algunos problemas que ilustrarán el uso de las técnicas de cálculo asociadas con la determinación del centroide de algunas formas geométricas notables. Aparte de las técnicas matemáticas generales, a las que acabamos de hacer referencia, existen varios teoremas que facilitan, en ocasiones, la localización del centro de masa de una distribución discreta o continua de materia, a partir de las ecuaciones [16.6] o [16.10]. Entre estos teoremas figura, evidentemente, el ya demostrado al comienzo de este artículo, que nos permite elegir libremente los ejes coordenados y el origen. Estos teoremas se demuestran tanto para una distribución discreta de materia como para una distribución continua caracterizada por una densidad (volúmica, superficial o lineal) que es una función de las coordenadas (x,y,z, por ejemplo) de cada elemento de masa de la distribución. Cualquiera que sea el punto de vista que adoptemos para demostrarlos, siempre podremos hacer una demostración paralela, con simples cambios en la notación, desde el otro punto de vista. En lo que sigue, adoptaremos el punto de vista de una distribución discreta de materia para la demostración de los teoremas. TEOREMA II.- El momento estático de un sistema de partículas respecto a cualquier plano que pasa por su centro de masa es nulo. 462 Lec. 16.- Geometría de masas. COORDENADAS CARTESIANAS (x,y,z) elemento de volumen: dV = dx dy dz elementos de superficie: dSx = dy dz dSy = dx dz dSz = dx dy elemento de longitud: ds = dx i + dy j + dz k ds2 = dx2 + dy2 + dz2 COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, θ, z) ec. de transformación: ⎧ x ⎪ ⎨ y ⎪ ⎩ z r cos θ r sen θ z ⎧ ⎪ ⎪ r ⎪ ⎨ ⎪ θ ⎪ ⎪ ⎩ z Figura 16.5 x2 y2 y arctg x z elemento de volumen: dV = r dr dθ dz elementos de superficie: dSr = r dθ dz dSθ = dr dz dSz = r dr dθ elemento de longitud: ds = dr er + r dθ eθ + dz k ds2 = dr2 + r2 dθ2 + dz2 Figura 16.6 COORDENADAS POLARES PLANAS (r, θ) Como las coordenadas cilíndricas, con z = 0. ec. de transformación: ⎧ x ⎨ ⎩ y r cos θ r sen θ ⎧ ⎪ ⎪ r ⎨ ⎪ ⎪ θ ⎩ elemento de superficie: dSz = r dr dθ elemento de longitud: ds = dr er + r dθ eθ ds2 = dr2 + r2dθ2 x2 y2 y arctg x Figura 16.7 463 §16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. COORDENADAS POLARES ESFÉRICAS (r, θ, φ) ec. de transformación: ⎧ x ⎪ ⎨ y ⎪ ⎩ z ⎧ ⎪ ⎪ r ⎪ ⎪ ⎨ θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ ⎩ r sen θ cos φ r sen θ sen φ r cos θ x2 y2 x2 arctg arctg z2 y2 z y x elemento de volumen: dV = r2 senθ dr dθ dφ elementos de superficie: dSr = r2 senθ dθ dφ dSθ = r senθ dr dφ dSφ = r dr dθ elemento de longitud: ds = dr er + r dθ eθ + r senθ dφ eφ ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sen2θ dφ2 Figura 16.8 El momento estático (µ) de un sistema de partículas respecto a un plano2 se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por sus distancias respectivas, con signo incluido, al plano (Figura 16.9); esto es, Para demostrar el teorema, consideremos un plano que pase por el centro de masas del sistema de partículas, expresado por su ecuación normal: x cos α y cos β z cos γ δ 0 [16.15] donde α, β y γ son los ángulos directores del vector normal al plano y δ es la distancia de éste al origen de coordenadas. Las coordenadas de una partícula genérica del sistema son (xi,yi,zi) y su distancia al plano es δi xi cos α yi cos β zi cos γ Figura 16.9 δ [16.16] El momento estático del sistema de partículas respecto al plano es N µ cos α i 1 N i 1 2 mi (xi cos α mixi cos β yi cos β N i 1 miyi zi cos γ cos γ N i 1 mizi δ) δ [16.17] N i 1 mi Análogamente se define el momento estático con respeto a un eje o a un punto. 464 Lec. 16.- Geometría de masas. de modo que, teniendo en cuenta las expresiones N M i 1 N mi M xcm N i 1 mi xi M ycm i 1 N mi yi M zcm i 1 mi zi [16.18] se obtiene finalmente µ M (xcm cos α ycm cos β zcm cos γ δ) [16.19] y como, por hipótesis, el centro de masa está contenido en el plano [16.15], es xcm cos α de donde se sigue que µ ycm cos β 0 zcm cos γ δ 0 c.q.d. [16.20] [16.21] Resulta fácil demostrar el teorema recíproco del anterior; esto es, TEOREMA III.- Si el momento estático de un sistema de partículas respecto a un plano dado es nulo, entonces, el centro de masa del sistema está situado sobre dicho plano. En efecto, si µ = 0, la expresión [16.19] nos asegura que las coordenadas del centro de masa satisfacen la ec. [16.20], por ser M ≠ 0, lo que significa que el centro de masa está situado sobre el plano dado. Como consecuencia de estos dos teoremas se siguen inmediatamente los llamados teoremas de Arquímedes: TEOREMA IV.- Si un cuerpo tiene un plano de simetría, su centro de masa está en dicho plano. La simetría respecto a un plano significa que para cada partícula situada a un lado del plano existe otra de la misma masa que está situada en su imagen especular respecto al plano. Si se trata de una distribución continua de masa, la simetría respecto a un plano significa que la densidad en cualquier punto es igual a la densidad en su imagen especular respecto al plano. Para demostrar el teorema, basta observar que un plano de simetría es un plano respecto al cual es nulo el momento estático del cuerpo; entonces, de acuerdo con el TEOREMA III, el centro de masa estará situado sobre dicho plano de simetría. COROLARIO.- Si un cuerpo tiene dos planos de simetría, su centro de masa está en la recta de intersección de ambos planos. TEOREMA V.- Si un cuerpo tiene un eje de simetría, su centro de masa está en dicho eje. En efecto, el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por un eje de simetría, de donde se sigue el teorema. TEOREMA VI.- Si un cuerpo tiene un centro de simetría, ese punto coincide con su centro de masa. Basta observar que el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por el centro de simetría, de donde se sigue el teorema. Los teoremas anteriores nos permiten localizar inmediatamente, sin necesidad del cálculo, el centro de masa en algunos casos (una varilla homogénea, una lámina rectangular, un cilindro, una esfera, ...) o bien reducir el problema al cálculo de sólo 465 §16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. una o dos coordenadas en otros casos. Es conveniente, pues, observar las simetrías que puede tener un cuerpo a fin de simplificar el problema. Existen otros teoremas que son útiles para simplificar el problema de localización del centro de masa de un cuerpo. El teorema que sigue hace referencia a la propiedad distributiva del centro de masa; dice así: TEOREMA VII.- Si un cuerpo se compone de dos o más partes, cuyos centros de masa están perfectamente localizados, podemos determinar el centro de masa del cuerpo compuesto considerando esas partes como partículas localizadas en sus respectivos centros de masa. Consideremos un cuerpo o sistema de partículas compuesto por N partes, cuyas masas respectivas sean M1, M2, ... MN, y supongamos que la parte Mk está a su vez constituida por Nk partículas, de masas mk1, mk2, ... mkNk, situadas en los puntos rk1, rk2, ... rkNk, respectivamente. El centro de masa de la parte Mk estará localizado en rk,cm 1 Mk Nk i 1 Nk mkir ki con Mk i 1 [16.22] mki El centro de masa del sistema compuesto completo estará localizado en ⎞ ⎛N ⎟ 1 N ⎜ m r ⎟ ⎜ M k 1 ⎝ i 1 ki ki⎠ N k rcm con Mk Nk k i i 1 [16.23] mki Teniendo en cuenta las expresiones [16.22], las expresiones [16.23] adoptan la forma definitiva rcm 1 M Nk N k 1 Mk rk,cm con Mk i 1 [16.24] mki que constituyen la expresión matemática del enunciado del teorema. Todos los teoremas enunciados anteriormente pueden aplicarse en la determinación del centro de masa de distribuciones discretas o continuas de materia, homogéneas o heterogéneas. En cambio, los dos teoremas que siguen, conocidos como teoremas de PAPUS-GULDIN, son aplicables exclusivamente a la determinación del centro de masa de distribuciones continuas y homogéneas de materia, y relacionan el centroide de una curva plana y de una superficie plana con el área y el volumen engendrados por ellas al girar alrededor de un eje de su plano. Dicen así: TEOREMA VIII.- El área S de la superficie engendrada por una curva plana al girar alrededor de un eje de su plano que no la corta es igual al producto de la longitud s de la curva por la longitud L de la circunferencia descrita por su centroide. En efecto, suponiendo que el eje de giro sea el x (Figura 16.10), el área generada por el elemento de longitud ds de la curva en su rotación alrededor del eje es dS 2π y ds [16.25] Figura 16.10 466 Lec. 16.- Geometría de masas. de modo que 2π ⌠ y ds ⌡s S [16.26] y la longitud de la circunferencia descrita por el centroide de la curva es L [16.27] 2π ycm Pero, de acuerdo con la definición del centroide de una curva, ycm ⌠ y ds ⌡s ⌠ ds ⌡s S de donde se sigue el teorema: ⌠ y ds ⌡s s 2π ycm s S 2π s [16.28] [16.29] Ls TEOREMA IX.- El volumen V engendrado por una superficie plana al girar alrededor de un eje de su plano que no la corta es igual al producto del área S de la superficie por la longitud L de la circunferencia descrita por su centroide. En efecto, suponiendo como antes que el eje de giro sea el x (Figura 16.11), el volumen engendrado por el elemento de área dS = dx dy al girar alrededor del eje x es dV de modo que V 2π y dS [16.30] 2π ⌠ y dS ⌡S [16.31] y la longitud de la circunferencia descrita por el centroide de la superficie plana es L Figura 16.11 2π ycm [16.32] Ahora bien, de acuerdo con la definición del centroide de una superficie plana es ycm de donde se sigue el teorema: Figura 16.12 ⌠ y dS ⌡S ⌠ dS ⌡S V ⌠ y dS ⌡S S 2π ycm S LS V 2π S [16.33] [16.34] Ejemplo II.- Determinar el centro de masa de una varilla rectilínea, de sección transversal constante, va aumentando linealmente conforme nos distanciamos de uno de sus extremos. Tomemos el eje x a lo largo de la varilla; la densidad lineal vendrá expresada en la forma §16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. λ λ0 467 kx donde k es una constante y λ0 es la densidad en el extremo x = 0. Teniendo en cuenta que dm= λ dx, la posición del centro de masa vendrá dada por L xcm L L xcm L L ⌠ dm ⌡0 ⌠ (λ ⌡0 0 ⌠ λ dx ⌡0 ⌠ (λ ⌡0 0 1 λ L2 2 0 kx) x dx 3λ0L 2kL 2 6λ0 3kL 1 2 kL 2 λ0L kx) dx L ⌠ λ x dx ⌡0 de modo que ⌠ λ x dx ⌡0 L ⌠ λ dx ⌡0 resultando que L ⌠ x dm ⌡0 1 3 kL 3 2kL ⎞⎟ L 3kL ⎟⎠ ⎛ 3λ ⎜ 0 ⎜ 6λ ⎝ 0 Si k = 0 (varilla homogénea), será xcm = L/2. Si λ0 = 0, será xcm = 2L/3. Ejemplo III.- Determinar el centro de masa (centroide) de un arco completo de cicloide, como el representado en la Figura 16.13. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son: x a (φ senφ ) y a (1 cosφ ) de modo que dx a (1 Figura 16.13 cosφ )dφ dy a senφ dφ y el elemento de longitud ds es ds dx 2 dy 2 ⌠ ds ⌡s de donde se sigue a 2 (1 cosφ ) dφ 2π ⌠ 2a sen φ dφ ⌡0 2 ⌠ 2a 2 (φ ⌡0 ⌠ y ds ⌡s ⌠ 2a 2 (1 ⌡0 φ dφ 2 8a senφ ) sen φ dφ 2 8π a 2 cosφ ) sen φ dφ 2 32 2 a 3 2π ⌠ x ds ⌡s 2 a sen 2π y el centroide del arco completo de cicloide está localizado en 468 Lec. 16.- Geometría de masas. ⌠ x ds ⌡s ⌠ ds ⌡s xcm 8π a 2 8a πa ⌠ y ds ⌡s ⌠ ds ⌡s ycm 32 3 a2 4 a 3 8a Ejemplo IV.- .- Determinar la posición del centro de masa de la lámina homogénea que se muestra en la Figura 16.14. Se trata de un disco de radio R y masa (completa) m1 = σS = σπR2, cuyo centro de masa se encuentra en x1=0, al que le falta un disco de radio R/4 y masa m2 = σS′ = σπR2/16, cuyo centro de masa está en x2=3R/4. El centro de masa resultante se encuentra sobre la línea que une los dos centros de masa parciales; i.e., sobre el eje x, en una posición xcm dada por [16.24] xcm Figura 16.14 (σπ R 2)(0) ( σπ R 2/16)(3R/4) (σπ R 2) ( σπ R 2/16) R 20 Ejemplo V.- Determinar el centro de masa de una lámina plana y homogénea cuya forma es la de una semielipse de semiejes a y b. Las ecuaciones de las líneas que delimitan dicha superficie pueden escribirse, mediante una adecuada elección de los ejes xy, en la forma z x2 a2 0 y2 b2 1 En esas condiciones, el centro de masa se encontrará situado sobre el eje y (por ser dicho eje de simetría), de modo que xcm = 0. Para ycm tenemos Figura 16.15 ⌠⌠ dx dy ⌡⌡S con3 3 ⌠ y dS ⌡S ⌠ dS ⌡S ycm a ⌠ dx⌠b ⌡ a ⌡0 ⌠ a2 ⌡ x 2 dx 2 2 ⎯1 ⎯x ⎯/a ⎯ a dy ⎛ 1⎜ 2 ⎜x a 2⎝ ⌠ b ⌡a x2 1 x2 dx a2 a 2 arcsen ⎞ x ⎟ ⎟ a ⎠ ⌠⌠ y dx dy ⌡⌡S ⌠⌠dx dy ⌡⌡S 1 π ab 2 469 §16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa. ⌠⌠ y dx dy ⌡⌡S a ⌠ dx⌠b ⌡ a ⌡0 2 2 ⎯1 ⎯x ⎯/a ⎯ ⎛ a 2 ⌠ b ⎜1 ⌡a 2 ⎜ ⎝ y dy ⎞ x2 ⎟ ⎟ dx a2 ⎠ 2 2 ab 3 de modo que 2 ycm 3 1 2 ab 2 4 b 3π π ab Ejemplo VI.- Determinar el centroide de un cascarón hemiesférico de radio R. Las coordenadas polares esféricas se adaptan perfectamente a la geometría del cuerpo. El elemento de superficie sobre la esfera de radio R viene expresado en coordenadas polares esféricas por: R 2 senθ dθ dφ dS El centroide del cascarón hemiesférico estará situado sobre su eje de simetría, de modo que, de acuerdo con la elección de los ejes en la Figura 16.16, es xcm = 0 e ycm = 0. Para la coordenada zcm tenemos ⌠z dS ⌡S ⌠dS ⌡S zcm con z Figura 16.16 R cos θ Al resolver las integrales anteriores, resulta: ⌠dS ⌡S ⌠z dS ⌡S o sea ⌠⌠R 2 senθ dθ dφ ⌡⌡S π /2 R 2⌠ ⌡0 ⌠⌠(R cosθ) (R 2 senθ dθ dφ ) ⌡⌡S zcm 2π senθ dθ ⌠ dφ ⌡0 π /2 R 3⌠ ⌡0 πR3 2π R 2 2π R 2 2π senθ cosθ dθ ⌠ dφ ⌡0 π R3 R 2 Ejemplo VII.- Aplicar el primer teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide de una semicircunferencia de radio R. Tomando los ejes cartesianos xy como se indica en la Figura 16.17, el centroide del arco de circunferencia se encontrará situado sobre el eje y (o sea, xcm = 0), por ser dicho eje un eje de simetría; bastará con determinar ycm. El área de la superficie de revolución engendrada por la semicircunferencia al girar alrededor del eje x es la de una esfera; esto es, 470 Lec. 16.- Geometría de masas. 4π R 2 S y la longitud de la línea es s πR de modo que, sustituyendo en la expresión [16.29], tenemos 2π ycmπ R 4π R 2 ⇒ 2 R π ycm Figura 16.17 Ejemplo VIII.- Aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide del área sombreada en la Figura 16.18, limitada por la semicircunferencia de radio a y la semielipse de semiejes a y b. Obviamente, el centroide de esa figura se encontrará situado sobre el eje y (o sea, xcm = 0); bastará con determinar ycm. El volumen de cuerpo de revolución engendrado por el área sombrada al girar alrededor del eje x es el de una esfera menos el de un elipsoide de revolución; 4 3 πa 3 V 4 π ab 2 3 4 π a (a 2 3 b 2) y el área de la superficie sombrada es S Figura 16.18 1 2 πa 2 1 π ab 2 1 π a (a 2 b) de modo que, sustituyendo en la expresión [16.34], tenemos 4 π a (a 2 3 b 2) 2π ycm 1 π a (a 2 b) ⇒ ycm 4 a2 3π a b2 b 4 (a 3π b) §16.4. Momentos de inercia.- De un modo completamente general se define el momento de inercia de una distribución de materia con respecto a un punto, a un eje o a un plano como la suma de los productos obtenidos multiplicando la masa de cada una de las partículas que constituyen el sistema material por el cuadrado de su distancia a dicho punto, eje o plano, respectivamente. Estos momentos de inercia suelen recibir los nombres de polar, axial y planario, respectivamente; están siempre representados por un número positivo, y sus unidades en el sistema S.I. son kg m2. El momento de inercia de una distribución discreta de materia con respecto a un punto, a un eje o a un plano cualquiera se calculará utilizando la expresión 471 §16.4.- Momentos de inercia. mi δ i 2 I [16.35] i donde δi representa la distancia de la partícula i-ésima, de masa mi, al punto, eje (Figura 16.19) o plano (Figura 16.9) considerado. El momento de inercia polar respecto del origen O de un sistema de coordenadas cartesianas xyz, que representaremos por IO, viene dado por 2 IO 2 mi (xi 2 yi zi ) [16.36] i Los momentos de inercia axiales con respecto a los ejes cartesianos x, y y z, que designaremos por Ixx, Iyy e Izz, respectivamente, se calcularán mediante las expresiones siguientes: 2 Ixx 2 mi (yi zi ) 2 Iyy 2 mi (xi i zi ) 2 Izz 2 mi (xi i yi ) [16.37] i Los momentos de inercia planarios con respecto a los planos cartesianos x=0 (plano yz), y=0 (plano xz) y z=0 (plano xy) los representaremos por Ix, Iy e Iz, respectivamente, y se calculan mediante las expresiones siguientes: 2 Ix mi xi 2 Iy i mi yi i Figura 16.19 2 Iz mi zi [16.38] i Figura 16.20 Para una distribución continua de materia, sustituiremos los sumatorios de las expresiones anteriores por integrales extendidas a todo el recinto ocupado por la distribución. Esto es, la expresión [16.35] pasa a ser I ⌠ δ 2 dm ⌡R [16.39] Así, tendremos una integral de línea, de superficie o de volumen según se trate de un cuerpo con una distribución lineal, superficial o cúbica de su masa. Por tanto, 472 Lec. 16.- Geometría de masas. tendremos en cuenta la masa del elemento de línea, de superficie o de volumen, respectivamente dm λ ds σ dS dm dm ρ dV [16.40] donde λ, σ y ρ son la densidad lineal, superficial y cúbica y ds, dS y dV los elementos de longitud, de área y de volumen, correspondientes. Así, tendremos I ⌠ λ δ 2 ds ⌡C I ⌠ σ δ 2 dS ⌡S ⌠ ρ δ 2 dV ⌡V I [16.41] En el caso de que la distribución continua de materia sea homogénea, la densidad será constante y podemos escribir I λ ⌠ δ 2 ds ⌡C I σ ⌠ δ 2 dS ⌡S I ρ ⌠ δ 2 dV ⌡V [16.42] de modo que la integral se reduce a un factor geométrico para todos los cuerpos homogéneos de la misma forma y tamaño. §16.5. Radio de giro.- Una magnitud estrechamente relacionada con el momento de inercia respecto a un eje es el radio de giro K, definido por I mK 2 → K I m [16.43] donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje considerado y m es la masa del cuerpo. El radio de giro K representa la distancia del eje a la que debería encontrarse una masa igual a la del cuerpo para que tuviera el mismo momento de inercia que el cuerpo respecto a dicho eje. §16.6. Productos de inercia.- De un modo completamente general, se definen los productos de inercia de un sistema material respecto a dos planos ortonormales como la suma, cambiada de signo, de los productos obtenidos multiplicando la masa de cada una de las partículas que constituyen el sistema material por sus distancias (con signo) a dichos planos. Los productos de inercia pueden tener valores positivos o negativos y sus unidades en el sistema S.I. son kg m2. El producto de inercia de una distribución discreta de materia con respecto a dos planos ortonormales, π1 y π2 (Figura 16.21), se calcula utilizando la expresión mi δ 1,i δ 2,i I12 [16.44] i donde δ1,i y δ1,i son las distancias de la partícula i-ésima, de masa mi, a los planos π1 y π2, incluyéndose el signo negativo en la definición. 473 §16.6.- Productos de inercia. En particular, los productos de inercia de un sistema material con respecto a los planos cartesianos x=0 (plano yz), y=0 (plano xz) y z=0 (plano xy) los representaremos por Ixy, Iyz e Izx y se calculan mediante las expresiones: Ixy Iyx Ixz Izx Iyz Izy i i i mi xi yi mi xi zi [16.45] mi yi zi Figura 16.21 En el caso de una distribución continua de materia, los sumatorios de las expresiones anteriores serán sustituidos por integrales extendidas a todo el recinto R ocupado por el cuerpo. Esto es ⌠ δ δ dm ⌡R 1 2 I12 [16.46] y las expresiones [16.45] se escriben en la forma Ixy Iyx ⌠ x y dm ⌡R Iyz Izy Ixz Izx ⌠ y z dm ⌡R ⌠ x z dm ⌡R [16.47] Así, pues, tendremos que resolver, como para los momentos de inercia, una integral de línea, de superficie o de volumen según tengamos una distribución lineal, superficial o cúbica de la masa del cuerpo. Si, además, el sistema material es homogéneo, las integraciones se reducen a un factor geométrico. Podemos decir que dos planos son planos principales de inercia de un cuerpo cuando son perpendiculares entre sí y el producto de inercia respecto de ellos es nulo. La intersección de dos planos principales de inercia es un eje principal de inercia. Si se verifica que todos los productos de inercia con respecto de los planos coordenados son nulos, entonces los planos coordenados son los plano principales de inercia relativos al punto O. Las intersecciones de dichos planos, dos a dos (i.e., los ejes coordenados), son entonces los ejes principales de inercia en el punto O. §16.7. Matriz de inercia.- La notación con doble subíndice para los momentos y productos de inercia de una distribución de masas nos sugiere organizar dichos elementos en la forma de una matriz cuadrada de 3 × 3. En efecto, en un sistema de coordenadas cartesianas xyz, con origen en el punto O, podemos disponer los momentos de inercia respecto de los ejes cartesianos como los elementos diagonales de una matriz y los productos de inercia con respecto de los planos coordenados como los elementos no diagonales; i.e., 474 Lec. 16.- Geometría de masas. ⎛ ⎞ ⎜ Ixx Ixy Ixz ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Iyx Iyy Iyz ⎟ ⎜ ⎟ ⎜I I I ⎟ ⎝ zx zy zz ⎠ I [16.48] siendo II la matriz de inercia que, como veremos en la Lec. 20, juega un papel relevante en la Dinámica del Sólido Rígido. Obsérvese que la matriz de inercia es simétrica, ya que se cumple que Ixy Iyx Ixz Izx Iyz Izy por lo que queda definida tan sólo por seis elementos. §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia.En general, la evaluación de una integral de algunos de los tipos de [16.41] y [16.47] nos conducirá a una integración de línea, doble o triple, según que la masa esté distribuida sobre una línea, sobre una superficie o en un volumen. En ocasiones, será suficiente la elección de coordenadas cartesianas (x,y,z) para valorar dichas integrales. Sin embargo, en muchos casos se conseguirá una notable simplificación del problema mediante la adopción de un sistema de coordenadas curvilíneas (coordenadas polares, cilíndricas, ...vide página 462) que convenga a las características geométricas del cuerpo cuyos momentos de inercia deseamos determinar. Al final de este epígrafe resolveremos algunos problemas que ilustrarán el uso de las técnicas de cálculo asociadas con la determinación de momentos de inercia de algunas formas geométricas notables. Aparte de los recursos generales del Cálculo, existen varios teoremas que facilitan, en ocasiones, la evaluación de los momentos y productos de inercia. Estos teoremas se demuestran tanto para una distribución discreta de materia como para una distribución continua caracterizada por una densidad (volúmica, superficial o lineal) que es una función de las coordenadas (x,y,z, por ejemplo) de cada elemento de masa de la distribución. Cualquiera que sea el punto de vista que adoptemos para demostrarlos, siempre podremos hacer una demostración paralela, con simples cambios en la notación, desde el otro punto de vista. TEOREMA I.- La suma de los momentos de inercia con respecto a tres planos ortonormales que se interceptan en un punto es igual al momento de inercia con respecto a dicho punto de intersección. En efecto, sumando miembro a miembro las tres expresiones [16.38], concernientes a los momentos de inercia respecto a los tres planos coordenados cartesianos, se obtiene Ix Iy Iz 2 i mi (xi 2 yi 2 2 zi ) i miri IO [16.49] de modo que dicha suma es isótropa, i.e., independiente de la orientación del cuerpo respecto a los planos coordenados. Obsérvese que el sumatorio del segundo miembro de [16.49] es el momento de inercia del cuerpo respecto al origen de coordenadas o momento de inercia polar, de donde se sigue el teorema. 475 §16.8.- Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia. TEOREMA II.- La suma de los momentos de inercia con respecto a tres ejes perpendiculares que se interceptan en un punto es igual al doble del momento de inercia con respecto a dicho punto de intersección. En efecto, sumando miembro a miembro las tres expresiones [16.37] concernientes a los momentos de inercia respecto a los tres ejes coordenados (ortogonales) se obtiene Ixx Iyy Izz 2 2 i 2 mi (xi 2 yi zi ) 2 2 i miri 2 IO [16.50] de modo que dicha suma es isótropa, i.e., independiente de la orientación del cuerpo respecto a los ejes coordenados. Obsérvese que el sumatorio del segundo miembro de [16.50] es el momento de inercia del cuerpo respecto al origen de coordenadas o momento de inercia polar, de donde se sigue el teorema. En muchos problemas nos resultará útil el llamado Teorema de los Planos Perpendiculares, que se enuncia así: TEOREMA III.- El momento de inercia con respecto a un eje es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a dos planos normales que contengan al eje. En efecto, de acuerdo con la definición del momento de inercia de un cuerpo respecto de un plano, los momentos de inercia respecto de los planos coordenados yz (de ecuación x = 0), xz (de ecuación y = 0) y xy (de ecuación z = 0), que designaremos respectivamente por Ix, Iy y Iz, son 2 Ix i mi xi 2 Iy i mi yi Iz 2 mi zi i [16.51] Sumando miembro a miembro dos cualesquiera de los momentos de inercia respecto a los planos coordenados se obtiene Iy Iz 2 i 2 mi (yi zi ) Ix Iy Ixx i Iz mi (x 2 i 2 Ix 2 i y) i mi (zi 2 xi ) Iyy [16.52] Izz lo que demuestra el teorema. Una variante del teorema anterior, llamada Teorema de los Ejes Perpendiculares es muy útil para el cálculo de momentos de inercia de láminas planas delgadas. TEOREMA IV.- La suma de los momentos de inercia de una lámina plana respecto a dos ejes perpendiculares entre sí y contenidos en el plano de la lámina es igual al momento de inercia de la lámina respecto a un eje perpendicular a su plano y que pasa por el punto de intersección de los dos ejes anteriormente citados. Tomemos un sistema de ejes ortogonales de forma que la lámina se encuentre situada en el plano xy (Figura 16.22). Los momentos de inercia de la lámina con respecto a cada uno de los ejes coordenados son Figura 16.22 476 Lec. 16.- Geometría de masas. 2 Ixx i mi yi 2 Iyy i mi xi 2 Izz i mi (xi 2 yi ) [16.53] de modo que, evidentemente, se cumple Ixx Iyy [16.54] Izz Figura 16.24 Figura 16.23 En relación con los planos y ejes principales de inercia, tenemos los siguientes teoremas: TEOREMA V.- Si un cuerpo posee un plano de simetría, el producto de inercia respecto de dicho plano y de otro perpendicular es nulo. Dichos planos son planos principales de inercia del cuerpo. En efecto, si elegimos como plano xy el de simetría (Figura 16.23), a todo elemento de masa mi de coordenadas (xi,yi,zi) le corresponde otro elemento de la misma masa de coordenadas (xi,yi,-zi), de modo que al extender las sumas Ixz Izx mi xi zi 0 Iyz Izy mi yi zi i 0 i a todo el cuerpo, el resultado será cero. COROLARIO 1.- Si un cuerpo posee dos planos de simetría, la intersección de dichos planos es un eje principal de inercia del cuerpo (Figura 16.24). COROLARIO 2.- Todo plano de simetría de un cuerpo es perpendicular a un eje principal del mismo. TEOREMA VI.- Si un cuerpo posee un eje de simetría de revolución, dicho eje es eje principal de inercia. Figura 16.25 En efecto, si el sólido tienen simetría de revolución alrededor del eje z (Figura 16.25), entonces será Ixz= 0 y Iyz= 0, puesto que para cualquier elemento de masa mi situado en (xi,yi,zi) existe otro elemento de la misma masa situado en (-xi,-yi,zi) de modo que al efectuar las sumas Ixz Izx i mixizi 0 Iyz Izy i miyizi 0 477 §16.8.- Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia. extendidas a todos los elementos del sólido, el resultado será cero. En consecuencia, los planos xz e yz son planos principales de inercia y su intersección (el eje z) es un eje principal de inercia. §16.9. Teoremas de Steiner.- Los momentos de inercia de un sistema material con respecto a un punto, eje o plano dependen de la distribución de la masa del sistema con relación a dicho punto, eje o plano. Si cambiamos de punto, eje o plano, los momentos de inercia también cambiarán. A continuación vamos a relacionar los momentos de inercia de un cuerpo con respecto a un punto, un eje o un plano arbitrarios con los momentos de inercia con respecto al centro de masas y a un eje o un plano que sean paralelos a los anteriores y que pasen por el centro de masa. TEOREMA VII.- Teorema de Steiner para los momentos planarios. El momento de inercia con respecto a un plano cualquiera es igual al momento de inercia respecto a un plano paralelo al anterior que pase por el centro de masa más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos planos. Consideremos un sistemas de ejes coordenados Oxyz arbitrario y otro sistema de ejes coordenados Gξηζ paralelos a los anteriores y cuyo origen está situado en el centro de masas de la distribución de materia. Sean xcm, ycm y zcm las coordenadas del centro de masa (G) del sistema material en el referencial Oxyz (Figura 16.26). Las coordenadas de un elemento material genérico, de masa dm, en los dos sistemas de ejes coordenados están relacionadas por x ξ xcm y ycm η z ζ zcm [16.55] El momento de inercia del sistema material respecto del plano Oxy es ⌠z 2 dm ⌠(z ζ)2 dm ⌡ ⌡ cm 2 ⌠ ⌠ζ 2 dm 2 z ⌠ζ dm zcm dm cm ⌡ ⌡ ⌡ Iz pero ⌠ζ dm ⌡ [16.56] 0 , por representar la posición del centro de masa en el referencial del centro de masa; por consiguiente podemos escribir Iz Iζ 2 [16.57] m zcm Figura 16.26 lo que demuestra el teorema. Del mismo modo: Ix Iξ 2 m xcm Iy Iη 2 m ycm [16.58] TEOREMA VIII.- Teorema de Steiner para los momentos axiales. El momento de inercia con respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de masa más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes. En efecto, de acuerdo con el Teorema III, el momento de inercia con respecto al eje z será Izz Ix Iy Iξ Iη 2 m (xcm 2 ycm) Iζζ 2 m (xcm 2 ycm) [16.59] 478 Lec. 16.- Geometría de masas. Figura 16.27 479 §16.9.- Teoremas de Steiner. siendo (x2cm+y2cm) el cuadrado de la distancia entre los ejes z y ζ, lo que demuestra el teorema. Del mismo modo: Ixx Iξξ 2 m (ycm 2 zcm) Iyy 2 Iηη m (xcm 2 zcm) [16.60] TEOREMA IX.- Teorema de Steiner para los momentos polares. El momento de inercia con respecto a un punto cualquiera es igual al momento de inercia respecto al centro de masa más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre ambos puntos. De acuerdo con el Teorema I, el momento de inercia con respecto al punto O viene dado por IO Ix Iy Iz esto es, Iξ IO Iη IG 2 Iζ m (xcm 2 ycm 2 zcm) m D2 [16.61] [16.62] siendo D la distancia OG, lo que demuestra el teorema. En el Problema 16.24 proponemos la demostración del siguiente teorema: TEOREMA X.- Teorema de Steiner para los productos de inercia. El producto de inercia de un cuerpo respecto a un par de planos perpendiculares es igual al producto de inercia respecto a otro par de planos paralelos a los anteriores y que pasan por el centro de masa del cuerpo, menos el producto de la masa del cuerpo por las distancias entre los respectivos planos. Esto es, si tenemos un sistema de ejes cartesianos (x,y,z) y otro sistema de ejes (ξ,η,ζ) que es una simple traslación del sistema de ejes anterior hasta llevar su origen al centro de masa del cuerpo (Figura 16.26), se verifica: Ixy Iξη m xcmycm Iyz Iηζ m ycmzcm Izx Iζξ m zcmxcm [16.63] §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera.- Ahora vamos a relacionar el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje cualquiera con los momentos y productos de inercia del cuerpo respecto a un sistema de ejes coordenados xyz concurrente con el eje dado. Sea e el versor en la dirección del eje. Dicho versor vendrá expresado en función de los cosenos directores por e cos α cos β cos γ [16.64] xyz Figura 16.28 Consideremos el elemento de masa dm y sea r su vector de posición respecto al origen de coordenadas. El momento de inercia del cuerpo respecto al eje dado es I ⌠ δ 2 dm ⌡R ⌠ (r × e)2 dm ⌡R [16.65] ya que δ2 = (r×e)2 es el cuadrado de la distancia del elemento de masa dm al eje dado. Como 480 Lec. 16.- Geometría de masas. δ2 (r×e)2 z cosβ )2 (y cosγ (y 2 z 2)cos2α ⎡⎛ x ⎞ ⎛ cos α ⎞⎤2 ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎢⎜ y ⎟×⎜ cos β ⎟⎥ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎣⎝ z ⎠ ⎝ cos γ ⎠⎦ (x 2 z 2)cos2β 2xy cosα cosβ (z cosα ⎛ y cosγ ⎜ ⎜ ⎜ z cosα ⎜ ⎝ x cosβ x cosγ )2 ⎞2 z cosβ ⎟ ⎟ x cosγ ⎟ ⎟ y cosα ⎠ y cosα)2 (x cosβ (x 2 y 2)cos2γ 2xz cosα cosγ [16.66] 2yz cosβ cosγ de modo que la expresión [16.65] nos conduce, después de sustituir las expresiones de definición de los momentos y productos de inercia, a la relación I Ixx cos2α 2Ixy cosα cosβ Iyy cos2β Izz cos2γ 2Ixz cosα cosγ [16.67] 2Iyz cosβ cosγ que nos permite determinar el momento de inercia con respecto a un eje definido por sus cosenos directores si conocemos los momentos y productos de inercia del cuerpo respecto a un sistema de ejes coordenados concurrentes con el eje dado. Utilizando la notación matricial podemos escribir la expresión [16.67] haciendo intervenir la matriz de inercia; i.e., I cos α cos β cos γ o sea I xyz ⎛ ⎞ ⎜ Ixx Ixy Ixz ⎟ ⎛⎜ cos α ⎜ ⎟ ⎜ Iyx Iyy Iyz ⎟ ⎜⎜ cos β ⎜ ⎟ ⎜ I I I ⎟ ⎜⎝ cos γ ⎝ zx zy zz ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ xyz [16.68] [16.69] e I e como el lector puede comprobar sin más que efectuar los productos matriciales. Ejemplo IX.- Varilla o barra delgada.- Calcular el momento de inercia de una varilla homogénea respecto de un eje perpendicular a la misma y que pasa: a) por uno de sus extremos; b) por su centro de masa. a) Consideremos el elemento de longitud dm = λ ds = λ dx, como se indica en la figura. El momento de inercia pedido será L I ⌠ x 2 dm ⌡0 1 λ L3 3 Figura 16.29 L λ ⌠ x 2 dx ⌡0 1 (λ L) L 2 3 ⎛ x3 ⎞L λ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠0 1 mL 2 3 b) Podemos proceder como en el apartado anterior, sin más que extender la integración entre -L/2 y +L/2, o bien aplicar el teorema de Steiner: 481 §16.10.- Momento de inercia respecto a un eje cualquiera. Icm ⎛ L ⎞2 m⎜ ⎟ ⎝2⎠ 1 mL 2 3 mD 2 IO 1 mL 2 12 Ejemplo X.- Lámina rectangular delgada.- a) Determinar los momentos y productos de inercia para una lámina rectangular, delgada y homogénea, respecto de los ejes indicados en la figura. b) Calcular el momento de inercia respecto de una diagonal de la lámina. Figura 16.30 Figura 16.31 Comenzamos calculando el momento de inercia respecto del eje x. Para ello, descomponemos la lámina en estrechas bandas paralelas al eje x (sombreado claro en la figura), de modo que toda la masa de cada una de dichas bandas equidista del eje x. Sea dy el espesor de una banda genérica situada a una distancia y del eje x; su masa será dm = σdS = σa dy. Entonces Ixx ⌠ y 2 dm ⌡S b 2 ⎡y 3 ⎤ σa ⎢ ⎥ ⎣3 ⎦ σ a ⌠ y 2 dy ⌡b 2 y, análogamente, se obtiene b 2 1 b3 σa 3 4 b 2 1 σ ab b 2 12 1 mb 2 12 1 ma 2 12 Iyy El Teorema IV (ejes perpendiculares) nos permite determinar Izz Ixx Iyy 1 m (a 2 12 b2) Por estar contenida toda la masa de la lámina en el plano z = 0, serán nulos los siguientes productos de inercia: Ixz Izx 0 Iyz Izy 0 Para calcular Ixy consideramos un elemento de superficie dS = dx dy, cuya masa es dm = σ dx dy, Ixy Iyx ⌠ xy dm ⌡S a 2 b 2 σ ⌠ x dx ⌠ y dy ⌡a ⌡b 2 2 ⎡x 2 ⎤ σ ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦ a 2 a 2 ⎡y 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦ b 2 0 b 2 como era de esperar, ya que para cada elemento de superficie dS de coordenadas (x,y,0) existe otro de coordenadas (-x,y,0), lo que hace que sea Ixy = 0. 482 Lec. 16.- Geometría de masas. La matriz de inercia es ⎛ b2 0 0 ⎜ 1 ⎜ 2 m ⎜ 0 a 0 12 ⎜ 2 2 ⎝ 0 0 a b I ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ b) Para determinar el momento de inercia respecto de una diagonal (v.g., PQ), comenzamos por determinar el versor correspondiente a esa dirección; i.e., 1 e a2 a b 0 b2 de modo que, aplicando [16.69], tenemos Id 1 e I e a 1 m 12 a 2 b 2 2 ⎛ b2 0 0 ⎜ 1 ⎜ 2 m ⎜ 0 a 0 12 ⎜ 2 2 ⎝ 0 0 a b a b 0 b 2 a b 0 ⎛ b2 0 0 ⎜ ⎜ 0 a2 0 ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ 0 0 a b ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ 1 a 2 1 2 a2 b2 m 12 a2 b2 b2 1 a2 b2 m 6 a2 b2 Ejemplo XI.- Esfera hueca.- a) Calcular el momento de inercia de una esfera hueca y homogénea respecto de uno cualquiera de sus diámetros. b) Determinar la matriz de inercia en el centro de la esfera. a) Puesto que toda la masa de la esfera se encuentra a la misma distancia del centro de la esfera (O), el momento polar en dicho centro será Figura 16.32 IO mR 2 por lo que al aplicar el Teorema II, teniendo en cuenta que los momentos de inercia son iguales respectos de cualquier diámetro de la esfera, se sigue Ixx Iyy Izz 3 Id 2 IO → Id 2 I 3 O 2 mR 2 3 b) Como consecuencia de la simetría de revolución, es fácil comprender que todos los productos de inercia son nulos, por lo que escribiremos I ⎛1 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ mR 2 ⎜ 0 1 0 ⎟ 3 ⎟ ⎜ ⎝0 0 1 ⎠ 483 §16.10.- Momento de inercia respecto a un eje cualquiera. Ejemplo XII.- Esfera maciza.- Determinar el momento de inercia de una esfera maciza y homogénea respecto a: a) uno cualquiera de sus diámetros, b) un eje tangente a la superficie de la esfera. a) Consideremos la esfera maciza compuesta por infinitas esferas huecas o capas esféricas concéntricas. Sea dr el espesor de una capa esférica genérica de radio r; su masa es ρ dV dm ρ 4π r 2dr Figura 16.33 y su momento polar en el centro de la esfera (O) es dIO r 2 dm r 2 (ρ 4π r 2 dr) ρ 4π r 4 dr de modo que el momento polar en O de la esfera vale R ⌠ dI ⌡0 O IO R ρ 4π ⌠ r 4 dr ⌡0 ⎡ r 5 ⎤R ρ 4π ⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎦0 ρ 4 πR5 5 3 4 ρ πR3 R2 5 3 3 mR 2 5 por lo que a aplicar el Teorema II, teniendo en cuenta que los momentos de inercia son iguales respectos de cualquier diámetro de la esfera, se sigue Ixx Iyy Izz 3 Id ⇒ 2 IO Id 2 I 3 O 23 mR 2 35 2 mR 2 5 b) Aplicando el teorema de Steiner tenemos I′ 2 mR 2 5 mR 2 7 mR 2 5 Ejemplo XIII.- Cilindro macizo.- Determinar el momento de inercia de un cilindro recto circular y homogéneo con respecto a un eje perpendicular a su eje de simetría de revolución y que pasa por su centro. Un breve reflexión nos descubrirá que el momento de inercia del cilindro respecto del plano z=0 (i.e., Iz) está dado por la misma expresión que el momento de inercia de una varilla o barra delgada respecto a un eje perpendicular a la misma y que pasa por su centro; esto es Iz 1 mL 2 12 y, análogamente, el momento de inercia del cilindro respecto del plano x=0 (i.e., Ix) está dado por la misma expresión que el momento de inercia de una lámina circular respecto de uno de sus diámetros; esto es Figura 16.34 484 Lec. 16.- Geometría de masas. 1 mR 2 4 Ix Entonces, aplicando el Teorema III (Planos Perpendiculares) el momento pedido es la suma de los dos anteriores: Iyy Ix Iz 1 mR 2 4 1 mL 2 12 Ejemplo XIV.- Cono circular.- Calcular el momento de inercia de un cono recto de base circular, macizo y homogéneo con respecto a su eje de revolución. Tomamos como elemento de volumen una rodaja del cono cortada perpendicularmente a su eje de revolución, como se ilustra en la figura. La masa elemental es dm ρ dV ρ π r 2 dz El momento de inercia elemental respecto del eje z (i.e., dIzz) es el de un disco de masa dm y radio r: dIzz 1 2 r dm 2 1 ρ π r 4 dz 2 Figura 16.35 de modo que el momento de inercia del cono, Izz, se obtiene por integración: Izz ⌠ 1 r 2 dm ⌡V 2 1 ρ π ⌠ r 4 dz ⌡V 2 Para poder integrar, puesto que aparecen dos variables en el integrando, haremos r z tgα → dr dz tgα R dz H o sea Izz 1 ρ π ⌠ r 4 dz ⌡V 2 1 H ⌠R 4 ρπ r dr 2 R ⌡0 1 H R5 ρπ 2 R 5 3 ⎛1 ⎞ ρ ⎜ π R 2 H⎟ R 2 10 ⎝ 3 ⎠ donde hemos tenido en cuenta el valor del volumen del cono, i.e., 1 π R 2 H. 3 3 mR 2 10 485 Problemas Problemas 16.1.- Cuatro partículas, cuyas masas respectivas son 1, 2, 3 y 4 unidades, están situadas en los puntos (1,2,0), (3,1,0), (1,1,3) y (0,4,2), respectivamente. Determinar la posición del centro de masa de las cuatro partículas. 16.2.- Tres partículas idénticas están situadas en los vértices de un triángulo. Demostrar que el centro de masa de las partículas está localizado en el punto de intersección de las tres medianas del triángulo. 16.3.- Tres partículas, cuyas masas son m1, m2 y m3, están situadas en los vértices de un triángulo. Sean a1, a2 y a3 las longitudes de los lados opuestos a cada uno de los vértices del triángulo. Demostrar que el centro de masa del sistema se encuentra en el punto de intersección de las tres bisectrices del triángulo si y sólo si m1/a1 = m2/a2 = m3/a3. 16.4.- Arcos de circunferencia. Determinar la posición del centroide de las curvas siguientes: a) un arco de circunferencia de semiamplitud angular α, b) un cuadrante de circunferencia y c) una semicircunferencia. 16.5.- Bastón. Determinar la posición del centro de masa de un bastón hecho con una barra de sección transversal y densidad constante cuyo puño tiene forma semicircular, de radio R, siendo L la longitud del mástil. 16.6.- Baricentro del triángulo. Demostrar que el centro de masa de una lámina plana y homogénea de forma triangular se encuentra en el punto de intersección de las tres medianas (baricentro) de dicho triángulo. 16.7.- Porciones de círculo. Determinar la posición del centroide de las siguientes superficies: a) un sector circular de semiamplitud angular α, b) un cuadrante de círculo, c) un semicírculo, d) un segmento circular de una base, e) un segmento circular de dos bases. 16.8.- Determinar el centroide del segmento parabólico limitado por la parábola y = ax2 y la recta y = H, en el plano xy. 16.9.- Cicloide. Localizar el centroide de la superficie limitada por un arco completo de la cicloide x = a(φ - senφ) y = a(1 - cosφ) y el eje x. 16.10.- Hipocicloide. Determinar la posición del centro de masa de una lámina plana y homogénea cuya forma es la del cuadrante de hipocicloide 2 2 2 x3 y3 a3 sombreado en la figura adjunta. Prob. 16.10 Nota: las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide son: x=acos3φ, y=asen3φ. 16.11.- Conos. Determinar la posición del centro de masa de los siguientes cuerpos, continuos y homogéneos: a) un cono recto de base circular, b) un tronco de cono. 16.12.- Localizar el centro de masa de un tetraedro regular. 16.13.- Porciones de esfera. Determinar la posición del centro de masa de las siguientes porciones de una esfera maciza y homogénea: a) un segmento esférico de una base, b) un segmento esférico de dos bases, c) un sector esférico, d) una hemiesfera (maciza), e) un octante de esfera (maciza). 16.14.- Calcular la apertura angular de un sector esférico (macizo) cuyo centroide se encuentre justamente en el centro de la superficie de conjunción del cono y del segmento esférico que lo forman. 16.15.- Cascarón esférico. Determinar la posición del centroide de un cascarón hemiesférico de paredes gruesas, siendo R1 y R2 los radios interior y exterior, respectivamente. 16.16.- Porciones de superficie esférica. Determinar la posición del centroide de las siguientes porciones de una superficie esférica: a) una zona esférica de una base, b) una zona esférica de dos bases, c) una luna esférica. 16.17.- Láminas esféricas. Determinar la posición del centro de masa de una lámina delgada y homogénea cuya forma es la de: 486 Lec. 16.- Geometría de masas. a) una hemiesfera, b) un octante de superficie esférica. 16.18.- En una esfera de madera, maciza y de radio R, la carcoma ha hecho un hueco esférico, de radio R/2, tangente a la superficie de la esfera, como se indica en la figura adjunta. Localizar el centro de masa de la esfera ahuecada. 16.19.- Cortamos una hemiesfera de radio a de un cubo de arista b > 2a, como se muestra en la figura. Localizar el centro de masa del cubo así ahuecado. Prob. 16.18 lelos a los anteriores y que pasan por el centro de masa del cuerpo, menos el producto de la masa del cuerpo por las coordenadas de posición de dicho centro de masa respecto a los ejes primitivos. Esto es, si tenemos un sistema de ejes cartesianos (x,y,z) y otro sistema de ejes (ξ,η,ζ) que es una simple traslación del sistema de ejes anterior hasta llevar su origen al centro de masa del cuerpo, se verifica: Ixy Iyz Izx Iξη Iηζ Iζξ m xcmycm m ycmzcm m zcmxcm 16.25.- Determinar el momento de inercia de una barra recta y homogénea respecto a un eje que forma un ángulo θ con la barra y que pasa por: a) su centro; b) uno de sus extremos. Prob. 16.19 16.20.- Dos partículas de masas respectivas m1 y m2 está unidas por una varilla ligera de longitud r. Demostrar que el momento de inercia de este sistema con respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el centro de masa del sistema viene dado por µr2, siendo µ la masa reducida del sistema. 16.21.- Determinar el momento de inercia de una lámina plana, de masa m, cuya forma es la de una corona circular, de radios R1 y R2, con respeto a: a) un eje diametral; b) un eje tangencial a su borde y contenido en su mismo plano. 16.22.- La densidad de una varilla recta aumenta en proporción directa a la distancia a uno de sus extremos, en el que es nula. Determinar el momento de inercia de la varilla con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por: a) uno y otro de sus extremos; b) su centro de masa; c) su centro geométrico. 16.23.- La densidad de un esfera aumenta radialmente en proporción directa a la distancia a su centro, siendo nula en éste. Determinar el momento de inercia de la esfera con respeto a: a) el centro de la esfera; b) un plano diametral; c) un plano tangente; d) un eje diametral; e) un eje tangencial a la esfera. 16.24.- Teorema de Steiner para los productos de inercia.- Este teorema establece que el producto de inercia de un cuerpo respecto a un par de ejes perpendiculares es igual al producto de inercia respecto a otro par de ejes para- 16.26.- Una lámina circular de radio R y masa M tiene una densidad superficial variable dada por σ = σ0 (1 + r/R), siendo r la distancia de un punto al centro de la lámina. Calcular el momento de inercia y el radio de giro de la lámina circular respecto a: a) un eje perpendicular al plano de la lámina y que pasa por su centro; b) un diámetro. 16.27.- El cuadro de un galvanómetro D’Arsonval está formado por 250 espiras de hilo conductor muy apretadas. Las dimensiones del cuadro son 2 cm × 3 cm, como se indica en la figura y la densidad lineal del hilo es de 0.5 g/cm. Con estos datos, calcular el momento de inercia del cuadro respecto a su eje de rotación. Prob. 16.27 16.28.- Lámina triangular. Determinar el momento de inercia de una lámina plana y homogénea, cuya forma es la de un triángulo rectángulo isósceles, con respecto cada uno de los ejes que se indican: a) cada uno de los lados de la lámina; b) cada uno de los ejes definidos por las bisectrices de los ángulos del triángulo; c) un eje perpendicular a la lámina en el vértice del ángulo recto de la misma; d) ídem en otro de los vértices; e) ídem por el centro de la lámina. 16.29.- Lámina elíptica. Determinar la matriz de inercia en el centro de una lámina plana y homogénea, de forma elíptica, siendo a y b sus semiejes. Problemas 16.30.- Cubo homogéneo. Determinar el momento de inercia de un cubo homogéneo respecto a cada uno de los ejes siguientes: a) eje que pasa por el centro de dos caras opuestas; b) eje que coincide con una de las aristas; c) una de las diagonales interiores del cubo. 16.31.- Determinar el momento de inercia de un cono recto circular, macizo y homogéneo, de altura H y radio R, con respecto a: a) un eje perpendicular al eje de simetría en el vértice del cono; b) un diámetro de su base. Prob. 16.32 16.32.- La barra delgada y homogénea de la figura pesa 8 kg y está soportada en A y B mediante soportes de cuenca y bola. a) Determinar la matriz de inercia. b) Calcular el momento de inercia de la barra con respecto al eje de rotación AB. c) Determinar los momentos y los ejes principales de inercia. * 16.33.- Consideremos la matriz de inercia ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 1 1 (A B) (A B) 0 ⎟ 2 2 ⎟ ⎟ 1 1 ⎟ (A B) (A B) 0 ⎟ 2 2 ⎟ ⎟ 0 0 C ⎠ Efectuemos una rotación del sistema de coordenadas, girándolo un ángulo arbitrario θ alrededor del eje z. a) Evaluar la matriz de inercia en el nuevo sistema de coordenadas. b) Demostrar que la matriz se diagonaliza en A, B y C si elegimos θ=π/4. 487 488 Lec. 16.- Geometría de masas.