Sistemas Aleatorios: Técnicas de Conteo

Sistemas Aleatorios: Técnicas de Conteo
Computación / Matemáticas
MA2006
Computación / Matemáticas
Sistemas Aleatorios: Técnicas de Conteo
Primer Regla del Producto
Si el primer elemento u objeto de un par ordenado puede ser
seleccionado de n1 maneras y por cada una de estas n1 maneras el
segundo elemento del par puede ser seleccionado de n2 maneras,
entonces el número de pares es n1 · n2 .
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Ejemplo
El propietario de una casa que va a llevar a cabo una remodelación
requiere los servicios tanto de un contratista de fontanerı́a como de
un contratista de electricidad. Si existen 12 contratistas de
fontanerı́a y 9 contratistas electricistas disponibles en el área, ¿de
cuántas maneras pueden ser elegidos los contratistas?
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Ejemplo
El propietario de una casa que va a llevar a cabo una remodelación
requiere los servicios tanto de un contratista de fontanerı́a como de
un contratista de electricidad. Si existen 12 contratistas de
fontanerı́a y 9 contratistas electricistas disponibles en el área, ¿de
cuántas maneras pueden ser elegidos los contratistas?
Sean Pl , . . . , Pl2 los fontaneros y Ql , . . . ,Q9 los electricistas,
entonces se desea el número de pares de la forma (Pi , Qj ). Con
n1 = 12 y n2 = 9, la regla de producto da N = (12)(9) = 108
formas posibles de seleccionar los dos tipos de contratistas.
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Ejemplo
Una familia se acaba de cambiar a una nueva ciudad y requiere los
servicios tanto de un obstetra como de un pediatra. Existen dos
clı́nicas médicas fácilmente accesibles y cada una tiene dos
obstetras y tres pediatras. La familia obtendrá los máximos
beneficios del seguro de salud si se une a la clı́nica y selecciona
ambos doctores de la clı́nica. ¿De cuántas maneras se puede hacer
esto?
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Ejemplo
Una familia se acaba de cambiar a una nueva ciudad y requiere los
servicios tanto de un obstetra como de un pediatra. Existen dos
clı́nicas médicas fácilmente accesibles y cada una tiene dos
obstetras y tres pediatras. La familia obtendrá los máximos
beneficios del seguro de salud si se une a la clı́nica y selecciona
ambos doctores de la clı́nica. ¿De cuántas maneras se puede hacer
esto?
Denote los obstetras por O1 , O2 , O3 y 04 y los pediatras por P1 ,
. . . , P6 . Entonces se desea el número de pares (Oi , Pj ) para los
cuales 0i y Pj están asociados con la misma clı́nica. Como existen
cuatro obstetras, n1 = 4, y por cada uno existen tres opciones de
pediatras, por lo tanto n2 = 3. Aplicando la regla de producto se
obtienen N = n1 · n2 = 12 posibles opciones.
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Regla general del producto
Supóngase que un conjunto se compone de conjuntos ordenados de
k elementos (k-tuplas) y que existen n1 posibles opciones para el
primer elemento por cada opción del primer elemento, existen n2
posibles opciones del segundo elemento; . . . ; por cada posible
opción de los primeros k − 1 elementos, existen nk opciones del
elemento k-ésimo. Existen entonces n1 · n2 · · · · · nk posibles
k-tuplas.
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Ejemplo
(Continuación del ejemplo inmediato anterior) Suponga que el
trabajo de remodelación de la casa implica adquirir primero varios
utensilios de cocina. Se adquirirán en la misma tienda y hay cinco
tiendas en el área.
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Ejemplo
(Continuación del ejemplo inmediato anterior) Suponga que el
trabajo de remodelación de la casa implica adquirir primero varios
utensilios de cocina. Se adquirirán en la misma tienda y hay cinco
tiendas en el área.
Con las tiendas denotadas por D1 , . . . , D5 , existen
N = n1 · n2 · n3 = (5)(12)(9) = 540 3-tuplas (triadas) de la forma
(Di , Pj, Qk ); ası́ que existen 540 formas de elegir primero una
tienda, luego un contratista de fontanerı́a y finalmente un
contratista electricista.
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Ejemplo
Si cada clı́nica tiene dos especialistas en medicina interna y dos
médicos generales, existen n1 · n2 · n3 · n4 = (4)(3)(3)(2) = 72
formas de seleccionar un doctor de cada tipo de tal suerte que
todos los doctores practiquen en la misma clı́nica.
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Ejemplo
En el alfabeto Braile se construye cada sı́mbolo utilizando una
matriz (3 × 2) de 6 puntos algunos de ellos en relieve o realzados y
los otros no. Determine el número de caracteres que se puede
representar si no se puede elegir la configuración donde ninguno
está realzados. Son tan pocos que se requiere anteponer otro
sı́mbolo para indicar cómo interpretar la matriz de puntos.
Determine el número de caracteres que se puede representar con 8
puntos.
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Ejemplo
Un restaurante ofrece una selección de 4 aperitivos, 14 entradas, 6
postres y 5 bebidas. De cuántas maneras se puede diseñar una
comida suponiendo que se tiene suficiente hambre para hacer
cualquier selección?
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Ejemplo
Una octava contiene 12 notas distintas: en un piano 5 de esas
notas están en teclas negras y 7 en teclas blancas. Cuántas
diferentes melodias de 8 notas se pueden construir con las notas de
una octava si sólo deben usarse notas en teclas blancas?
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Ejemplo
En el alfabeto o código Morse las letras o números son
representados por puntos o rayas. Por ejemplo, S es tres puntos y
O es tres rayas. Cuando se usa en telegrafı́a la duración del sonido
raya es aproximadamente 3 puntos. La distancia entre dos
caractares de una palabra son aproximadamente 3 puntos, mientras
que la separación entre dos palabras es el equivalente a 5 puntos.
Cuántos caracteres se requerirı́an para representar sólo letras (29)
y números (10)?
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Ejemplo
Una pizerı́a ofrece rápida ofrece una selección de 8 toppings para
cada una de las pizas. De cuántas maneras se un cliente puede
escoger si la selección incluye de 1 a 4 toppings diferentes?
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Ejemplo
Suponga que el formato de las placas de Nuevo León es de tres
letras seguido de un número de 3 dı́gitos. La primera letra está
entre N y S. Determine el total de placas posibles para Nuevo León.
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Ejemplo
Determine el número de enteros entre 100 y 999 que tienen sus
tres dı́gitos diferentes. ¿Cuántos de esos son impares?
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Permutación y Combinación
Un subconjunto ordenado se llama permutación. El número de
permutaciones de tamaño r que se puede formar con los n
individuos u objetos en un grupo será denotado por Pn,r (nPk).
Un subconjunto no ordenado se llama combinación. Una forma de
denotar el número de combinaciones es Cn,r (nCr ), pero en su
lugar se utilizará
una
notación que es bastante común en libros de
n
probabilidad:
, que se lee de n se eligen r .
r
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Fórmula de Pn,r
Pn,r =
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n!
(n − r )!
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Ejemplo
Suponga que de 7 alumnos se va a elegir un comite: presidente,
vicepresidente y tesorero. ¿Cuántos comites es posible formar?
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Ejemplo
Suponga que de 7 alumnos se va a elegir un comite: presidente,
vicepresidente y tesorero. ¿Cuántos comites es posible formar? En
este caso n = tamaño del grupo = 7 y r = tamaño del
subconjunto = 3. El número de permutaciones es
P7,3 =
7!
7!
=
= 7 · 6 · 5 = 210
(7 − 3)!
4!
Es decir, el total de comites que es posible formar es de 210.
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Ejemplo
Continue con el ejemplo anterior y suponga que los comites son
igualmente probables y que Pedro es uno de los 7 alumnos.
Responda:
En cuántos comites estará Pedro como presidente?
En cuántos comites estará Pedro?
En cuántos comites no estará Pedro?
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Ejemplo
¿De cuántas maneras las letras de COMPUTER pueden ser
arreglas en una lı́nea?
¿De cuántas maneras las letras de COMPUTER pueden ser
arreglas en una lı́nea si la CO debe considerarse como una
unidad?
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Ejemplo
Una reunión de 6 diplomáticos (digamos A, B, C, D, E y F) se
llevará a cabo usando una mesa circular. A pesar de que la mesa
no tiene cabecera y no importa la posición absoluta, sı́ importa la
relativa.
¿De cuántas maneras se pueden sentarse los diplomáticos?
¿De cuántas manearas se pueden sentar para que A quede
entre B y F?
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Ejemplo
Existen diez asistentes de profesor disponibles para calificar
exámenes en un curso de cálculo en una gran universidad. El
primer examen se compone de cuatro preguntas y el profesor desea
seleccionar un asistente diferente para calificar cada pregunta (sólo
un asistente por pregunta). ¿De cuántas maneras se pueden elegir
los asistentes para calificar?
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Sistemas Aleatorios: Técnicas de Conteo
Ejemplo
Existen diez asistentes de profesor disponibles para calificar
exámenes en un curso de cálculo en una gran universidad. El
primer examen se compone de cuatro preguntas y el profesor desea
seleccionar un asistente diferente para calificar cada pregunta (sólo
un asistente por pregunta). ¿De cuántas maneras se pueden elegir
los asistentes para calificar?
En este caso n = tamaño del grupo = 10 y r = tamaño del
subconjunto = 4. El número de permutaciones es
P10,4 =
10!
10!
=
= 10 · 9 · 8 · 7 = 5040
(10 − 4)!
6!
Es decir, el profesor podrı́a aplicar 5040 exámenes diferentes de
cuatro preguntas sin utilizar la misma asignación de calificadores a
preguntas.
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Fórmula de Cn,k
Cn,r =
n
r
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=
n!
r ! · (n − r )!
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Ejemplo
Suponga que se tiene un departamento con 10 empleados y que se
elige el jefe del departamento de la siguiente manera. Hay una
selección interna de tres candidatos. De los cuales el jefe de la
comañı́a selecciona uno. ¿Cuál es el número total de posibles
selecciones internas?. Suponga que Pedro es uno de los 10
empleados, cuál es el número total de ternas donde Pedro está
presente?
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Ejemplo
De 12 personas 5 serán seleccionadas para formar un grupo de
trabajo. Suponga que 2 miembros insisten que en caso de ser
seleccionadas deben ir las dos. ¿De cuántas maneras se puede
formar los equipos? Si los equipos se forman al azar, ¿cuál será la
probabilidad de que queden juntas? Si tales miembros ahora no
quieren ir juntos en caso se ser seleccionados, ¿de cuántas maneras
se pueden formar los equipos?
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Ejemplo
El almacén de una universidad recibió 25 impresoras, de las cuales
10 son impresoras láser y 15 son modelos de inyección de tinta. Si
6 de estas 25 se seleccionan al azar para que revise un técnico
particular, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de las
seleccionadas sean impresoras láser (de modo que las otras 3 sean
de inyección de tinta)?
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Solución
Sea D3 = {exactamente 3 de las 6 seleccionadas son impresoras de
inyección de tinta}. Suponiendo que cualquier conjunto particular
de 6 impresoras es tan probable de ser elegido como cualquier otro
conjunto de 6, se tienen resultados igualmente probables, por lo
tanto P(D3 ) = N(D3 )/N, donde N es el número de formas de
elegir 6 impresoras de entre las 25 y N(D3 ) es el número de formas
de elegir 3 impresoras láser y 3 de inyección de tinta. lo tanto
N = C25,6 . Para obtener N(D3), primero se piensa en elegir 3 de
las 15 impresoras inyección de tinta y luego 3 de las impresoras
láser. Existen C15,2 formas de elegir las 3 impresoras de inyección
de tinta y C10,3 formas de elegir las 3 impresoras láser; N(D3) es el
producto de estos dos números:
15
10
3
3
N(D3 )
P(D3 ) =
=
=
N
26
6
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Ejemplo
Se tiene un equipo de 13 programadores.
1
2
¿De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para
trabajar en un proyecto?
Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres:
¿Cuántos grupos
mujeres y 3 sean
¿Cuántos grupos
hombre?
¿Cuántos grupos
mujeres?
3
de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean
hombres?
de 7 se pueden escoger con al menos 1
de 7 se pueden escoger con a lo más 3
Suponga que hay dos personas (x y y ) que se reusan a
trabajar juntas, ¿cuántos equipos se pueden formar?
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Ejemplo
Se tiene un equipo de 13 programadores.
1 ¿De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para
trabajar en un proyecto?
NT =
13
7
=
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7!
= 1716
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 7!
2
Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres:
¿Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean
mujeres y 3 sean hombres?
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1
hombre?
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3
mujeres?
3
Suponga que hay dos personas (x y y ) que se reusan a trabajar
juntas, ¿cuántos equipos se pueden formar?
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Ejemplo
Se tiene un equipo de 13 programadores.
1 ¿De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para
trabajar en un proyecto?
NT =
13
7
=
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7!
= 1716
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 7!
2
Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres:
¿Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean
mujeres y 3 sean hombres? N1 = Nnum w =4 · Nnum m=3
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1
hombre?
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3
mujeres?
3
Suponga que hay dos personas (x y y ) que se reusan a trabajar
juntas, ¿cuántos equipos se pueden formar?
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Sistemas Aleatorios: Técnicas de Conteo
Ejemplo
Se tiene un equipo de 13 programadores.
1 ¿De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para
trabajar en un proyecto?
NT =
13
7
=
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7!
= 1716
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 7!
2
Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres:
¿Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean
mujeres y 3 sean hombres? N1 = Nnum w =4 · Nnum m=3
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1
hombre? N2 = NT − Nnum men=0
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3
mujeres?
3
Suponga que hay dos personas (x y y ) que se reusan a trabajar
juntas, ¿cuántos equipos se pueden formar?
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Ejemplo
Se tiene un equipo de 13 programadores.
1 ¿De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para
trabajar en un proyecto?
NT =
13
7
=
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7!
= 1716
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 7!
2
Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres:
¿Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean
mujeres y 3 sean hombres? N1 = Nnum w =4 · Nnum m=3
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1
hombre? N2 = NT − Nnum men=0
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3
mujeres? N3 = Nnum w =0 + Nnum m=1 + Nnum w =2 + Nnum m=3
3
Suponga que hay dos personas (x y y ) que se reusan a trabajar
juntas, ¿cuántos equipos se pueden formar?
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Ejemplo
Se tiene un equipo de 13 programadores.
1 ¿De cuántas maneras se pueden escoger 7 personas para
trabajar en un proyecto?
NT =
2
3
13
7
=
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7!
= 1716
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 7!
Suponga que en el equipo 7 son hombres y 6 son mujeres:
¿Cuántos grupos de 7 pueden ser escogidos para que 4 sean
mujeres y 3 sean hombres? N1 = Nnum w =4 · Nnum m=3
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con al menos 1
hombre? N2 = NT − Nnum men=0
¿Cuántos grupos de 7 se pueden escoger con a lo más 3
mujeres? N3 = Nnum w =0 + Nnum m=1 + Nnum w =2 + Nnum m=3
Suponga que hay dos personas (x y y ) que se reusan a trabajar
juntas, ¿cuántos equipos se pueden formar?
N4 = Nx está + Ny está + Nx,y no están
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