E12. Inductancia

TTeem
maa 1122..-- IInndduuccttaanncciiaa
0B
i
§12.1.- Autoinducción
 
 

 
 
Autoinducción en una espira.
Flujo ligado: ( N FB ) = Li
L es la autoinducción o inductancia.
\ L=
N FB
i
Wb ⋅ vuelta
=H
A











i
(henrio)
 L depende del tamaño, forma y número de espiras
 L depende de las propiedades magnéticas del medio
o En ausencia de materiales ferromagnéticos: L = cte.
o En presencia de materiales ferromagnéticos: B =B(i)  =(i)  L =L(i)
ì
dFB
di
ï
ï
N
=
L
ï
ï dt
dt
í
ïï
dFB
ïïind = -N
dt
ï
î
ì
di
ï
ï

L
=
ind
ï
ï
dt
 íï
ind
ïï
=
L
ïï
di dt
ï
î
ind
i
Definición del henrio (H)
regla de Lenz
+
ab
a
i
i
ind
a
ind
b
Variadas
Radiales
Axiales tipo resistencia
Choques
Choques R.F.
Conjunto tipo bobina
Inductancia
Ferritas
12—1/7
§12.2.- Cálculo de la autoinductancia
12.2.a. Solenoide y toroide
S
N
Teorema de Ampère: Bl = m0 Ni  B = m0 i
l
N
N2
Flujo ligado: F = BS = m0 iS  ( N F ) = m0
iS
l
l
( N F)
N 2S
Autoinducción: L =
= m0
 L = m0 n 2 lS = m0 n 2 
i
l
l
12.2.b. Cable coaxial
Teorema de Ampère: (2pr ) B = m0i  B =
i
m0 i
2p r
i
S
Rb dr
m0 i Rb l dr m0
m0
Rb
=
il
=
il
ln
2p ò Ra r
2p ò Ra r
2p
Ra
Autoinducción: L =
(F )
i
=
m0
R
l ln b
2p
Ra
S
2πr
Flujo ligado: F = ò BdS = ò B dS =
S
B
r
B
R
L m0
=
l ln b
2p
l
Ra

l
§12.3.- Cálculo de la d.d.p
ì
ïvac = iR - (  ) = iR
ï

ï
ïí
ïïv = iR -  = iR + L di
cb
L
ind
L

ïï
dt
î
di
\ vL = L
dt
En general: vab = å iR - å ( + ind )
con ind = -L
R
i
(i )
vcb > 0
vc > vb
(i )
vcb < 0
vc < vb
di
dt
L, RL
c
a
Inductancia
ìï di
ïï > 0
ï dt
í
ïï di
<0
ïïîï dt
b
ind
12—2/7
§12.4.- Transitorios de cierre y de apertura en el circuito RL
12.4.a. Transitorios de cierre

En el instante inicial el conmutador (S) está en la posición
inferior y la autoinducción está “descargada”. Al conectar
el generador (t = 0), comienza a circular la corriente.
di
=
dt
di
dt
=
 - iR L
i
Vab = vR + vL = Ri + L
di
L =  - iR 
dt
i
di
R t
=
ò0 ( / R) - i L ò0 dt
ìï

-t / t
ïïï i = (1 - e )
R
í
ï
ï
ï
îï t = L / R
ìï
ïï
+
ïït = 0 i = 0
ïï
i = I 0 (1 - e-1 ) = 0.63 I f
ít = t
ï
ï
ïïït = ¥ i = 
ïïî
R
S
i
R
L
c
a
ind
b
i
If
i (t ) = I f (1 - e-t / RC )
0.63If
τ
t
Constante de tiempo ( τ ): tiempo que transcurre en el proceso de cierre hasta que la
corriente alcanza el 63% de su valor final.

12.4.b. Transitorio de apertura
S
Por la autoinducción circula inicialmente una intensidad de
corriente I0. En el instante t = 0 se pasa el conmutador a la
posición inferior, anulando la d.d.p. entre los puntos a y b.
i
di
R
Vab = vR + vL = Ri + L = 0
L
dt
i di
c
a
b
di
R
R t
i
R
= - dt  ò
= - ò dt  ln = - t
I0 i
i
L
L 0
I0
L
ìï i = I e-t / t
ïï
0
í
ïï t = L / R
ïî
ìït = 0+ i = I 0
ïï
ïít = t
i = I 0 / e = 0.37 I 0
ïï
ïïît = ¥ i = 0
i
I0
i (t ) = I 0e-t / RC
0.37I0
τ
Constante de tiempo (τ): tiempo que transcurre en el
proceso de apertura hasta que la corriente se reduce al 37% de su valor inicial.
Inductancia
t
12—3/7
§12.5.- Energía almacenada en una autoinducción
 +ind = Ri  -L
P = i = i 2 R + Li
di
di
= Ri   = Ri + L
dt
dt
S
di
dt
i
di
Li
es la energía almacenada por unidad de tiempo en la
dt
autoinducción (en el campo magnético).
dU B
di
= Li
dt
dt

 dU B = Li di 
i
R
L
c
a
ind
b
i
1
U B = ò Li di = Li 2
0
2
§12.6.- Energía del campo magnético
2
U B 1 Li 2 1 (m0 n lS ) 2 1
1 B2
2 2
uB =
i = m0 n i =
=
=
Sl
2 Sl
2
Sl
2
2 m0
S
l
2
Densidad de energía en el campo magnético: u B =
1B
2 m0
Ejemplo:
ìï
5 V
ï
ïí E = 10 m 
ïï
ïî B = 1 T
\ uB  uE
Inductancia
2
2
2
2
ö÷ æ B ÷ö çæ 3 ´108 ö÷
u B B 2 / m0
B
1 çæ B ö÷
2æ
=
=
÷ = 9 ´106
çè ø÷÷ = c èççç ÷ø÷ = çççèc ÷ø÷ = çç
2
5
÷
ç
uE
E
E
e0 E
e0 m0 E
è 10 ÷ø
12—4/7
§12.7.- Circuito oscilante
1 2 1 q2 1 Q2
Li +
=
2
2C 2 C
+q
d
dt
di 1

 Li + qq = 0
dt C
æ
1
1 ÷ö
1
 + qq = 0  ççq +
\ Lqq
q÷÷ q = 0  q +
q=0
çè
C
LC ø
LC
i
-q
E
B
ec. Diferencial de las oscilaciones armónicas de la carga.
ìï
ïw = 1
ì
q
Q
t
=
w
cos
ï
ï
ïí
con í
LC
ïïîi = -wQ sen wt = -I máx sen wt
ïï
ïïî I máx = wQ
Analogías con el sistema masa-muelle:
ïm  L
1 2 1 2 1 2ì
mv + kx = kA ï
í
ï
2
2
2
ï
îv  i
Inductancia
k 1 / C
xq
k
m
x
v
12—5/7
§12.8.- Inductancia mutua
12.8.a. Definiciones
N
Fi = å Fij

j=1
N dF
dFi
ij
(Faraday)  i = = -å
dt
j =1 dt
Circuitos en posiciones fijas:
dFij
dt
=
dFij dI j
dI j dt
= M ij
dI j
dt
N
ì
dFij
ï
ï
M ij =
ï
ï
dI j
 ï
í
ï
dFii
ï
M
L
=
=
ï
ii
i
ï
dI i
ï
ï
î
En definitiva: i = -å M ij
j =1
dI j
dt
(inductamcia mutua)
(autoinductancia)
di
dt
 i = -Li
12.8.b. Ejemplo: Doble enrollamiento toroidal
ìï
ïï B = m0
ïí
ïï
ïï B = m0
ïî
N1
I1 con I 2 = 0
l
N2
I 2 con I1 = 0
l
N2 I2
B
N1 I1
B
2
ìï
d
F
N
S
11
1
ïï L =
= m0
ïï 1
l
dI1

í
ïï
N 22 S
dF22
= m0
ï L2 =
l
dI 2
ïïîï
ìï
NN S
dF
ìï
NN S
ïïM 21 = 21 = m0 1 2
ïïF21 = N 2 BS = m0 1 2 I1
ïï
l
dI1
M 12 = M 21 ü
ï
ï
l
ï


ý
í
í
ïï
ïï
N1 N 2 S
N1 N 2 S
dF21
(siempre) ïï
þ
I2
= m0
ïïM 21 =
ïïF12 = N1 BS = m0
l
l
dI1
ïî
îï
2
æ N1 N 2 S ö÷
N12 S N 22 S
2
=
= L1 L2  M 12 = L1 L2
M 12 = ççm0
m
m0
÷
0
çè
l ø÷
l
l
2
ìï
ïïF = N BS = m N1 S I
1
0
1
ïï 11
l
í
ï
N 22 S
ï
I2
F22 = N 2 BS = m0
ï
ï
l
ïî
12.8.c. Fórmula de Newman
En general: M 12 = k L1 L2
(fórmula de Newman)
Factor de acoplamiento: 0 ≤ k ≤ 1
Inductancia
12—6/7
§12.9.- Inductancias en serie y en paralelo
12.9.a. En serie
+k
a
R1
L1
L2
R2
b
a
Req
Leq
b
-k
di
di
di
di
 M + R2 i + L2  M =
dt
dt
dt
dt
di
= ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2  2 M )
\
Req = R1 + R2
Leq = L1 + L2  2 M
dt
= å iR - å  = R1i + L1
vab

12.9.b. En paralelo
ìï
di
di
ïïvab
= R1i1 + L1 1  M 2

dt
dt
ïí
ïï
di2
di1
=
R
i
+
L

M
ïïvab
2
2
2
dt
dt
ïî 
i1
(ec. dif. acopladas)
R1
L1
a
i2
k
b
R2
L2
Caso simple: R1 = R2 = 0 (L puras)
ìï
di
di
di1
v M di2
ïïv = L1 1  M 2 
= 
ïï
dt
dt
dt L1 L1 dt
í
ïï
di2
di1
di2 Mv M 2 di2
di
di
M
 v = L2


 L1v = L1 L2 2  Mv  M 2 2
ïïv = L2
dt
dt
dt
L1
L1 dt
dt
dt
ïî
ìï
di
ïï( L1  M )v = ( L1 L2  M 2 ) 2
di
ï
dt
 i = i1 + i2  ( L1 + L12  2 M )v = ( L1 L2  M 2 )
í
ïï
dt
2 di1
ïï( L2  M )v = ( L1 L2  M )
dt
ïî
L1 L2  M 2 æç di ö÷
L1 L2  M 2
\ v=
ç ÷  Leq =
L1 + L12  2 M çè dt ø÷
L1 + L12  2 M
ìï
LL
ïïk = 0  M = 0  Leq = 1 2
ïï
L1 + L2
ïï
M = k L1 L2  í
ïï
L1 L2  L1 L2
2
ïïk = 1  M = L1 L2  Leq =
L1 + L2  2 L1 L2
ïï
îï
Inductancia
ì= 0
ï
ï
ï
ï
2 L1 L2
í=
ïï
ï
ï
î L1 + L2 + 2 L1 L2
12—7/7