PR´ACTICA 3: Optimización de modelos discretos 1. Introducción 2

Grado en Administración de Empresas
Departamento de Estadı́stica
Asignatura: Optimización y Simulación para la Empresa
Curso: 2011/2012
PRÁCTICA 3: Optimización de modelos discretos
1. Introducción
Existen muchos problemas que pueden modelizarse usando variables que están restringidas a tomar valores enteros. En concreto, las variables binarias solo pueden tomar
valores 0-1.
Para indicar en Solver que una variable es entera o binaria, lo añadimos como una
restricción más: int para variables enteras y bin para variables binarias.
2. Restricciones lógicas
Dadas dos tareas que es posible o no realizar, es muy fácil usar variables binarias para
representar relaciones entre esas actividades. Si definimos las variables
(
1, si se realiza la tarea i,
xi =
0, en caso contrario,
1
podemos modelizar fácilmente varias relaciones:
Si se hace la tarea 1, entonces también se hace la tarea 2. Equivalentemente, si no
se hace la tarea 2, entonces tampoco se hace la tarea 1.
x1 ≤ x2 .
Si se hace la tarea 1, entonces no se hace la tarea 2. Equivalentemente, si se hace la
tarea 2, entonces no se hace la tarea 1.
x1 ≤ 1 − x2 .
Si no se hace la tarea 1, entonces se hace la tarea 2. Equivalentemente, si no se hace
la tarea 2, entonces se hace la tarea 1.
1 − x1 ≤ x2 .
La tarea 1 se hace solo, y solo si, se hace la tarea 2.
x1 = x2 .
Veamos cómo usarlas en un caso práctico.
La NASA tiene que decidir cómo repartir su presupuesto entre diversas misiones espaciales a lo largo de cinco periodos. En caso de hacer una misión, hay que pagar un cierto
coste durante uno o más periodos. Además, pueden darse las siguientes circunstancias:
Dos misiones son incompatibles (Inc): solo una de las dos se puede realizar.
Una misión necesita de otra (Solo si): la misión solo se puede realizar si la misión
que se indica también se lleva a cabo.
Sabiendo que cada misión tiene un cierto beneficio cientı́fico (expresado como porcentaje completado de la totalidad del estudio que se quiere realizar), diseña un modelo
que permita decidir la estrategia óptima (mayor porcentaje del estudio completado).
Misión
(1) Communications satellite
(2) Orbital microwave
(3) Io lander
(4) Uranus orbiter 2018
(5) Uranus orbiter 2014
(6) Mercury probe
(7) Saturn probe
(8) Infrared imaging
(9) Ground-based SETI
(10) Large orbital structures
(11) Color imaging
(12) Medical technology
(13) Polar orbital platform
(14) Geosynchronous SETI
Presupuesto
Coste (miles de millones de dólares)
2012/ 2014/ 2016/ 2018/ 2020/
2013
2015
2017
2019
2021
6
–
–
–
–
2
3
–
–
–
3
3
–
–
–
–
–
–
9
10
–
5
8
–
–
–
–
1
8
4
1
8
–
–
–
–
–
–
5
–
4
5
–
–
–
–
8
1
–
–
–
–
2
7
–
5
7
–
–
–
–
1
4
1
1
–
4
5
3
3
10
12
14
14
14
2
%
13
2
4
8
6
2
4
3
13
11
4
3
15
12
Inc
–
–
–
5
4
–
–
11
13, 14
–
8
–
9,14
9,13
Solo
si
–
–
–
3
3
3
3
–
–
–
2
–
–
–
En primer lugar, definimos las siguientes variables de decisión:
(
1, si la misión i se realiza,
xi =
0, en caso contrario,
i = 1, . . . , 14.
La función objetivo a maximizar es
z = 13x1 +2x2 +4x3 +8x4 +6x5 +2x6 +4x7 +3x8 +13x9 +11x10 +4x11 +3x12 +15x13 +12x14 .
Las restricciones de no exceder en ningún periodo el presupuesto son:
6x1 + 2x2 + 33x3 + x7 + 4x9 + 5x12 ≤ 10,
3x2 + 3x3 + 5x5 + 8x7 + 5x9 + 8x10 + 7x12 + x13 + 4x14 ≤ 12,
8x5 + x6 + x10 + 2x11 + 4x13 + 5x14 ≤ 14,
9x4 + 8x6 + 5x8 + 7x11 + x13 + 3x14 ≤ 14,
10x4 + 4x6 + x13 + 3x14 ≤ 14.
Ahora tenemos que añadir las restricciones lógicas que se nos detalla. Las restricciones
de incompatibilidad son:
x4 + x5 ≤ 1,
x8 + x11 ≤ 1,
x9 + x13 + x14 ≤ 1.
Las restricciones de dependencia son:
x4 ≤ x3 ,
x5 ≤ x3 ,
x6 ≤ x3 ,
x7 ≤ x7 ,
x11 ≤ x2 .
Finalmente, no debemos olvidar indicar que las variables son binarias:
xj ∈ {0, 1} i = 1, . . . , 14.
Al resolverlo, vemos que la solución óptima es x∗1 = x∗3 = x∗4 = x∗10 = x∗13 para un valor
óptimo de z ∗ = 51 %.
3. Ejercicios
1. En el ejemplo de esta práctica,
a) ¿Cómo se modeları́a que si hacen las tareas 3 y 4, entonces hay que realizar
obligatoriamente la tarea 6?
3
b) Modela la posibilidad de usar en un periodo la parte del presupuesto que no se
ha usado en un periodo anterior. Resuelve este modelo.
c) Si, además de poder usar este presupuesto no usado en etapas anteriores, ese
dinero excedente se revaloriza en un 5 %, ¿cambia la solución? ¿Y si se revaloriza
en un 10 %?
Nota: la restricción del apartado primero no se incluye en el modelo considerado en
los dos apartados posteriores.
2. Llegó el final del curso y se está organizando una fiesta para celebrarlo. Existen ocho
personas (P1,. . . ,P8) que pueden asistir a dicha fiesta. Sin embargo, como nadie es
perfecto, existen diversas preferencias, condiciones y desavenencias entre ellas. Estas
particularidades son las siguientes:
a) Si P1 asiste, entonces P2 también asistirá.
b) Si P2 asiste, es seguro que, al menos, P3 ó P4 asistirán.
c) P3 no puede ver ni en pintura a P7. Este sentimiento es mutuo.
d ) P4 siempre va a todas partes con P5.
e) Si P5 asiste, entonces P1 ó P6 no vendrán (al menos uno).
f ) Si tanto P6 como P7 asisten, entonces P8 también vendrá.
g) Al menos cuatro personas de grupo P1,. . . ,P6, garantizan su asistencia.
h) A lo sumo tres personas del grupo {P2,P4,P6,P8} podrán asistir.
¿Cuál es el número máximo de personas que coincidirán en la fiesta?
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