La transformada de Laplace

Capı́tulo 1
La transformada de Laplace
1.1.
Introducción
La transformada de laplace es un operador LINEAL muy útil para la resolución de ecuaciones
diferenciales.
Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGÉNEAS en ecuaciones
algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
1.2.
Conceptos básicos
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, actúa sobre una función f y devuelve
otra función L[f ]
Definición 1. La transformada de Laplace de una función f (t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una función L[f ]
de una variable real s dada por:
Z
(F (s) =)L[f ](s) =
Z
∞
f (t)e
0
−st
dt = lı́m
τ →∞ 0
Está definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido.
1
τ
f (t)e−st dt
(1.1)
2
CAPÍTULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 1.1. Si f (t) = c. Calcula su transformada de Laplace.
Z
∞
L[c](s) =
−st
ce
0
−st
dt = lı́m ce
τ →∞
·
¸
−1 −st τ
dt = lı́m c
e
=
τ →∞
s
0
¸
·
−1 −sτ 1 −s0
c
c
= lı́m c
e
+ e
=0+ = , s>0
τ →∞
s
s
s
s
observa que si s > 0, entonces lı́mτ →∞ e−τ s = 0
Ejercicio.- Comprobar las siguientes igualdades:
1. L[t](s) =
1
,
s2
2. L[eat ](s) =
s>0
1
s−a ,
3. L[senbt](s) =
s>a
b
,
s2 +b2
s>0
Proposición 1. La transformada de Laplace es lineal. Es decir, si L[g](s) y L[g](s) están definidas
en un intervalo s > s0 , entonces también lo está L[αf + βg](s) para cualesquiera α, β ∈ R.
L[αf + βg](s) = αL[f ](s) + βL[g](s)
Ejemplo 1.2. Calcula L[11 + 5e4t − 6sen2t]
L[11 + 5e4t − 6sen2t] = L[11] + L[5e4t ] + L[−6sen2t] =
1
1
2
11
5
12
= 11L[1] + 5L[e4t ] − 6L[en2t] = 11 + 5
−6 2
=
+
− 2
s
s−4
s +4
s
s−4 s +4
con s > 0 y s > 4 −→ s > 4
1.3. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA
1.3.
3
Transformada de una derivada
Supongamos que y 0 (t) es continua para t ≥ 0 y que para toda s > s0 (para algún s0 ) se verifica
que e−sτ y(τ ) → 0 si τ → ∞. Entonces se tiene que:
L[y 0 ](s) = −y(0) + sL[y](s)
(1.2)
Nota 1. Para que la transformada sea útil, debe ser posible recuperar f (t) de L[f ](s). El operador
con que haremos esto es lineal, se denota por L−1 y se denomina transformada de Laplace
inversa
1.4.
Problemas de valor inicial y transformadas
Consideremos el problema de valor inicial:

 y 0 (t) + ay(t) = f (t)
(P V I) =
 y(0) = y
0
con a constante y f una función continua a trozos en [0, +∞)
Supongamos que L[y 0 ], L[y] y L[f ] están definidas en un INTERVALO COMÚN s > s0 . Para
resolver la ecuación hacemos lo siguiente:
1. Aplicamos L a cada miembro de la Ecuación diferencial (usamos que el operador de Laplace
es lineal) Resultando:
L[y 0 ](s) + aL[y](s) = L[f ](s), s > s0
4
CAPÍTULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
2. Si el lı́mτ →∞ e−sτ y(τ ) = 0 entonces usamos la fórmula de la derivada, de manera que la
ecuación anterior resulta:
sL[y](s) − y(0) + aL[y](s) = L[f ](s)
3. La ecuación anterior, es una ecuación algebraica. Despejando L[y](s), resulta:
L[y](s) =
y(0)
L[f ](s)
+
s+a
s+a
Ejemplo 1.3. Tomemos, y(0) = 1 y f (t) = 4t3 e−at
Podemos calcular (usando que L[tn eat ] =
n!
):
(s−a)n+1
L[f ](s) = L[4t3 e−at ] =
24
(s + a)4
Por tanto
L[y](s) =
1
24
+
s + a (s + a)5
¡
¢
Debido a la linealidad de L−1 y que L−1 L[y] = y, obtenemos:
y(t) = L−1
£ 1 ¤
£ 24 ¤
(t) + L−1
(t)
s+a
(s + a)5
Por las tablas:
y(t) = e−at + t4 e−at
Ejercicio.- Resuelve el ejercicio anterior por técnicas habituales
Transformada de derivadas
Bajo ciertas condiciones sobre las funciones y sus derivadas:
L[y 00 ](s) = s2 L[f ](s) − sf (0) − f 0 (0)
1.4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y TRANSFORMADAS
y en general:
L[y (n) ] = sn L[f ] − sn−1 y(0) − sn−2 y 0 (0) − . . . − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)
Veamos cómo obtener L[y 00 ] a partir de L[y 0 ]:
L[y 00 ] = L[(y 0 )0 ] = sL[y 0 ](s) − f 0 (0) =
¡
¢
= s sL[y](s) − y(0) − y 0 (0) = s2 L[y](s) − sy(0) − y 0 (0)
1.4.1.
El método de la transformada para resolver un PVI de segundo orden
Usando lo anterior, resolver el siguiente problema de valor inicial:
y 00 − y = 1, y(0) = 0, y 0 (0) = 1
Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados, obtenemos:
L[y 00 − y] = L[1]
Luego:
s2 L[y] − sy(0) − y 0 (0) − L[y] =
1
s
Despejando, resulta:
L[y] =
sy(0) + y 0 (0) +
s2 − 1
1
s
=
1 + 1s
1
1
=
− , s>1
2
s −1
s−1 s
5
6
CAPÍTULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Por medio de la tabla, tenemos que:
y(t) = et − 1
Teorema 1. Teorema de corrimiento. Bajo ciertas condiciones, se tiene que:
L[eat f (t)](s) = L[f ](s − a)
(1.3)
L[f (t − a)H(t − a)](s) = e−as L[f (t)], a ≥ 0
(1.4)
L[f (t)H(t − a)](s) = e−as L[f (t + a)], a ≥ 0
(1.5)
donde se define f (t) = 0 para t < 0
Demostración.(1.3) se deduce directamente de la definición del operador de la transformada de laplace, de
modo que al multiplicar una función en el dominio de tiempo por eat se recorre la variable s de la
transformada de L[f ](s) por la cantidad a. Para demostrar la fórmula (1.4), observamos que:
Z
L[f (t−a)H(t−a)] =
∞
Z
e−st f (t−a)H(t−a)dt =
0
∞
Z
e−st f (t−a)dt =
0
∞
e−s(x+a) f (x)dx = e−as L[f ]
0
donde se utilizó el cambio de variable t = x + a en la última integral.
Transformación de funciones escalón.
Según la fórmula (1.5) del teorema del corrimiento, tenemos que:
L[H(t − a)] = L[1 · H(t − a)] = e−as L[1] =
e−as
, s>0
s
que pudo haberse obtenido por integración directa. La transformada de H(t − a) es:
Z
L[H(t − a)] =
Z
a
e
0
−st
1dt +
a
∞
e−st 0dt =
1 − e−as
, s > 0, a > 0
s
1.4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y TRANSFORMADAS
7
Transformada de una función a trozos lineal por partes
Calcular la transformada:



1,


f (t) =
2 − t,



 0,
si 0 ≤ t < 1
si 1 ≤ t < 2
si 2 ≤ t
Esta función la puedo escribir de la siguiente forma:
f (t) = (H(t) − H(t − 1)) + (2 − t)(H(t − 1) − H(t − 2)) = H(t) − (t − 1)H(t − 1) + (t − 2)H(t − 2)
Por tanto:
L[f ] = L[H(t)] − L[(t − 1)H(t − 1)] + L[(t − 2)H(t − 2)] =
(usando el teorema de corrimiento)
=
1
1
1
s − e−s − e−2s
− e−s 2 + e−2s 2 =
, s>0
s
s
s
s2
Nota 2. Una función f (t) puedo activarse en t = a si se multiplica por H(t − a)