Numérico - Academia Minas

Métodos numéricos
Raíces de ecuaciones
Evaluar un polinomio en un punto xo es equivalente a calcular el resto de la división
por x - xo. (Es decir, hacemos "Ruffini" y nos quedamos con el resto)
Raíces múltiples de
ecuaciones algebraicas
La condición necesaria y suficiente para que un número xo sea una raíz múltiple de
orden k de un polinomio P (x) es que anule a dicho polinomio y a sus k - 1 primeras
derivadas, pero no a la siguiente.
Raíces enteras de
ecuaciones
- Toda raíz entera de una ecuación algebraica con coeficientes enteros es un divisor
del término independiente.
- Toda raíz entera de una ecuación P (x) = 0, donde los coeficiente de P (x) son
enteros, verifica simultáneamente:
P (1) es múltiplo de (xo - 1)
P (-1) es múltiplo de (xo + 1)
Raíces fraccionarias de
ecuaciones algebraicas
Para encontras las raíces fraccionarias de la ecuación P (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... +
a1 x + ao, se efectúa la transformación x = y / an, calculándose las raíces enteras de
esta nueva ecuación. Después se deshace el cambio.
Cota de Cardano - Vieta de
las raíces reales de una
ecuación
Si todas las raíces de la ecuación P (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + ao = 0 son
REALES, se verifica que M  [ (an-1 / an)2 - 2 (an-2 / an) ] 1/2
siendo xi  [- M , M] para toda raíz xi de la ecuación P (x) = 0.
Teorema de Bolzano
Sea y = f (x) continua en el intervalo [a, b], teniendo f (a) y f (b) signos opuestos,
entonces existe un punto intermedio c  (a, b) que anula la función: f (c) = 0
Método de la bisección o
del semi-intervalo
Básándose en el terorema de Bolzano, partimos de un intervalo en el que la función
cambia de signo y evaluamos el signo de la función en el punto medio de dicho
intervalo.
Reduciremos el nuevo intervalo a aquél en el que se produzca de nuevo un cambio
de signo. Repitiendo el proceso hasta obtener la precisión requerida.
ad
em
ia
M
in
as
Regla de Horner o de
división sintética
Método de iteración del
punto fijo
Convergencia del método:
Ac
Método de Newton Raphson
Convergencia del método:
Método de Newton
modificado
Consideremos una ecuación de la forma f (x) = 0, en la cual podremos despejar x
"en función de x" (curioso, ¿no?), es decir la escribimos de la forma x = g (x).
Partimos de un punto xo, de forma que la primera iteración será x1 = g (xo); la
segunda: x2 = g (x1), etc.
En general: xn = g (xn-1)
- 1 < g' (xo) < 1
Partimos de un punto xo y calculamos el punto x1 donde corla la recta tangente a la
curva y = f (x) desde ese punto con el eje de abcisas.
x1 = xo - [ f (xo) / f ' (xo) ]
En general: xn+1 = xn - [ f (xn) / f ' (xn) ]
Inconveniente: debemos evaluar la función y la derivada en cada punto.
g ' (xo) < 1
xn+1 = xn - [ f (xn) / f ' (xo) ]
Evaluamos la derivada sólo en el primer punto.
Derivación numérica
Desarrollo en serie de Taylor en torno al
punto xo
Nos quedamos con los dos primeros
términos:
Evaluamos en el punto x = xo + h
f (x)  f (xo) + f '(xo) (x - xo) / 1! + f ''(xo) (x - xo)2 / 2! + f '''(xo) (x xo)3 / 3! + ...
f (x)  f (xo) + f '(xo) (x - xo) + ...
f (xo + h)  f (xo) + f '(xo) h + O (h2)
Primera aproximación a la derivada:
Segunda aproximación a la derivada:
f '(xo) = [ f (xo + h) - f (xo) ] / h + O (h)
f '(xo) = [ f (xo + h) - f (xo- h) ] / (2 h) + O (h2)
Integración numérica
a
b
La integral definida entre a y b de la función f (x) nos da el área de la región limitada por la
curva y = f (x) y el eje x
f (x) dx
Tamaño del paso h
h = (b - a) / N
donde N es el número de intervalos
Regla del
rectángulo
a
f (x) dx h [ f (a) + f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b - h) ]
a
f (x) dx h [ f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b - h) + f (b)]
b
b
in
as
N sumandos
Error: O (h)
Regla del punto
medio
a
b
f (x) dx h [ f (a + h/2) + f (a + 3h/2) + ... + f (b - h/2) ]
M
N sumandos
Error: O (h2)
b
f (x) dx h [ f (a) / 2 + f (a + h) + f (a + 2h) + ... + f (b - h) + f (b) / 2 ]
N + 1 sumandos
Regla de Simpson
1/3
ad
em
Error: O (h2)
ia
a
Regla del trapecio
a
f (x) dx h/3 [ f (a) + 4 f (a + h) + 2 f (a + 2h) + 4 f (a + 3h) + 2 f (a + 4h) ...
+ f (b)]
b
N debe ser un número par
N + 1 sumandos
Ac
Error: O (h4)
Método de
Romberg
En combinación con el método del trapecio
Ic (h) = Iv + a h2 + O (h4)
Ic (h/2) = Iv + a (h/2)2 + O (h4)
Multiplicando la segunda ecuación por 4, restando la primera y despejando Iv, se obtiene:
Iv = [ 4 Ic (h/2) - Ic (h) ] / 3 + O (h4)
Después se repite el proceso.
Interpolación y aproximación
Interpolación lineal
Polinomio interpolador de primer grado que pasa por los puntos Po (xo, f (xo)) y
P1 (x1, f (x1))
P (x) = f (xo) + (x - xo) [ f (x1) - f (xo) ] / [x1 - xo]
Interpolación de Lagrange
Si n = 2 (tres puntos)
Dados (n+1) puntos, se trata de calcular el polinomio interpolador de grado n que
pasa por todos ellos.
Po (xo, f (xo)) , P1 (x1, f (x1)) , P2 (x2, f (x2))
P (x) = f (xo) Lo (x) + f (x1) L1 (x) + f (x2) L2 (x)
donde:
Lo (x) = [ (x - x1) (x - x2) ] / [ (xo - x1) (xo - x2) ]
L1 (x) = [ (x - xo) (x - x2) ] / [ (x1 - xo) (x1 - x2) ]
L2 (x) = [ (x - xo) (x - x1) ] / [ (x2 - xo) (x2 - x1) ]
Recta de mínimos
cuadrados
y=a+bx
in
as
Construimos la función de dos variables:
f (a, b) = (a + b xi - yi)2
donde el sumatorio se extiende desde i = 1 al número de datos n.
La condición de mínimo (o máximo) exige que f / a = 0 y que f / b = 0.
Ello conduce al sistema:
a n + b xi = yi
Parábola de mínimos
cuadrados
y = a + b x + c x2
M
a xi + b xi2 = xi yi
ad
em
ia
Construimos la función de tres variables:
f (a, b, c) = (a + b xi + c xi2 - yi)2
donde el sumatorio se extiende desde i = 1 al número de datos n.
La condición de mínimo (o máximo) exige que f / a = f / b = f / c =
0.
Ello conduce al sistema:
a n + b xi + c xi2 = yi
a xi + b xi2 + c xi3 = xi yi
a xi2 + b xi3 + c xi4 = xi2 yi
Ac
Tipo potencial
Tipo exponencial
y = a xb
Tomando logaritmos (da igual en qué base, por ejemplo neperianos -en base e-)
ln y = ln a + b ln x
Llamando
Y = ln y
A = ln a
X = ln X
podemos reducir el problema a la recta de mínimos cuadrados: Y = A + b X
(No olvidar deshacer los cambios)
y = a bx
Tomando logaritmos (da igual en qué base, por ejemplo neperianos -en base e-)
ln y = ln a + x ln b
Llamando
Y = ln y
A = ln a
B = ln b
podemos reducir el problema a la recta de mínimos cuadrados: Y = A + B x
(No olvidar deshacer los cambios)
Ecuaciones diferenciales
Queremos resolver la ecuación diferencial y' = f (x, y) con la condición y (xo) = yo
Método de Taylor de tres términos
Evaluamos en el punto x = xn + h (con xo = xn):
En una notación más compacta:
y (x)  y (xo) + y '(xo) (x - xo) / 1! + y ''(xo) (x - xo)2 / 2! + ...
y (xn + h)  y (xn) + y '(xn) h + y ''(xn) h2 / 2! + ...
in
as
Desarrollo en serie de Taylor:
yn+1 = yn + yn' h + yn'' h2 / 2
yn+1 = yn + yn' h =
yn+1 = yn + h f (xn, yn)
Método de Euler modificado
yn+1 = yn + (h/2) [ f (xn, yn) + f (xn+1, y*n+1) ]
M
Método de Euler o de las tangentes
yn+1 = yn + [k1 + 2 k2 + 2 k3 + k4] / 6
ad
em
Método de Runge - Kutta
y*n+1 = yn + h f (xn, yn)
ia
donde
donde
k1 = h f (xn, yn)
Ac
k2 = h f (xn+ h/2, yn+ k1/2)
k3 = h f (xn+ h/2, yn+ k2/2)
k4 = h f (xn+ h, yn+ k3)
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
x ' (t) = f (t, x, y)
y ' (t) = g (t, x, y)
x (to) = xo
y (to) = yo
Taylor
xn+1 = xn + xn' h + xn'' h2 / 2
yn+1 = yn + yn' h + yn'' h2 / 2
xn+1 = xn + h xn'
yn+1 = yn + h yn'
Euler
= f (tn, xn, yn)
= g (tn, xn, yn)
= f ' (tn, xn, yn)
= g ' (tn, xn, yn)
M
in
as
donde
xn'
yn'
xn''
yn''
Ac
ad
em
ia
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