Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Ingeniería de Tecnologías Industriales
Física I
Fı́sica I. Boletı́n 3. Octubre de 2012
3.1. Una partı́cula describe un movimiento según la ecuación horaria
r(t) = 4A cos2 (Ωt)ı + 5A cos(Ωt) sen(Ωt)j − 3A cos2 (Ωt)k
(a) Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
(b) Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria
como función del parámetro arco.
(c) Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, ası́ como las componentes intrı́nsecas de la aceleración.
(d) Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo
de movimiento describe la partı́cula?
3.2. La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo
tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio A que se va desenrollando
a ritmo constante, de forma que el punto C donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete
forma un ángulo θ = ωt con el eje OX. Una partı́cula material se encuentra en el punto P situado
en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.
(a) Determine el vector de posición de la partı́cula.
(b) Calcule la velocidad y la aceleración de la partı́cula.
(c) Determine la ley horaria s = s(t).
(d) Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
(e) Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.
Y
B
P(t)
A
L
Y
•
•C
ωt
O
•P
X
θ(t)=2ωt
X
O
L
Problema 3.2
Problema 3.3
A
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3.2
3.3. Una barra rı́gida AB de longitud L se mueve en un plano vertical OXY , manteniendo su extremo
−→
A articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas OA = Lı, y verificando la ley horaria
θ(t) = 2ωt, con 0 ≤ θ ≤ π y siendo ω =cte. Un hilo inextensible de longitud 2L tiene uno de sus
extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto O), mientras que del otro cuelga una
partı́cula P que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio
despreciable situada en el extremo B de la barra, de forma que el tramo BP permanece siempre
paralelo al eje OY (ver figura). Se pide:
−−→
(a) Ecuaciones horarias del punto P , OP = r(t) = x(t)ı + y(t)j.
(b) Instante del tiempo tM en que la partı́cula alcanza su altura máxima.
(c) Radio de curvatura de la trayectoria seguida por P , en el instante considerado en el apartado
anterior.
3.4. Una partı́cula efectúa un movimiento rectilı́neo tal que si x(t) es la posición a lo largo de la recta y
v(t) la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante
√
v = kx
(a) Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partı́cula?
(b) Si en t = 0 la partı́cula se encuentra en x = x0 , ¿cuál es su posición en cualquier instante
posterior?
3.5. Una partı́cula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s.
En un instante dado (t = 0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A
partir de dicho instante se le aplica a la partı́cula una desaceleración creciente en el tiempo según
la fórmula a(t) = −Ktı, donde K es una constante de valor igual a 8.00 m/s3 . ¿Cuánto tiempo
tardará en detenerse la partı́cula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?
3.6. Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante
a(t) = −gk
una posición inicial nula (r0 = 0) y una velocidad inicial que forma un ángulo α con la horizontal y
tiene módulo v0 .
(a) Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
(b) Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a
máxima altura.
(c) Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, ası́ como el vector unitario normal, en
el mismo instante del apartado anterior.
(d) Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
3.7. Una partı́cula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según
la dirección y el sentido del vector c = ı + 2j + 2k. La aceleración angular de este movimiento es
constante y de módulo 1 rad/s2 . La velocidad angular inicial es nula. Si en t = 2 s la partı́cula se
encuentra en r = (−ı + j + 4k) m calcule, para este instante
(a) La velocidad y la aceleración.
(b) Las componentes intrı́nsecas de la aceleración.
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3.3
3.8. Una partı́cula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica
r(θ) = A cos(θ)ı + A sen(θ) j +
bθ k
2π
donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partı́cula sigue la ley horaria
θ(t) = Ω0 t + βt2
donde Ω0 y β son constantes conocidas.
(a) Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y como
función del tiempo.
(b) Halle la rapidez del movimiento.
(c) Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partı́cula en todo instante.
(d) Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partı́cula.
(e) Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, ası́ como el radio de curvatura
de la partı́cula y su aceleración normal.
3.9. En un plano descrito mediante coordenadas polares, se mueve una partı́cula conforme a las ecuaciones horarias
ρ(t) = A cos(ωt) ;
θ(t) = ωt
donde A y ω son constantes conocidas.
(a) Calcule la rapidez del movimiento.
(b) Halle el vector aceleración y sus componentes intrı́nsecas.
(c) Determine los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada instante.
(d) Calcule el radio de curvatura.
3.10. Una partı́cula recorre una espiral logarı́tmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:
ρ(t) = ρ0 e−ωt ;
θ(t) = ωt
donde ρ0 y ω son constantes conocidas.
(a) Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
(b) Halle el vector aceleración y sus componentes intrı́nsecas.
(c) Calcule el radio de curvatura.