Aislamiento de estructuras coherentes para la

Aislamiento de estructuras coherentes para la
ecuación BBM discretizada mediante elementos
finitos
Nuria Reguera
Dpto. de Matemática y Computación, Universidad de Burgos
[email protected]
Isaı́as Alonso-Mallo, Ángel Durán
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Valladolid
[email protected],[email protected]
Resumen
Nos ocupamos, desde un punto de vista numérico, de la generación y persistencia bajo perturbaciones de estructuras coherentes asociadas a la ecuación
BBM. En este trabajo proponemos una técnica de limpieza implementada de
manera automática que permite el estudio de dichas estructuras de interés.
Sección en el CEDYA 2011: AN
1.
Introducción
En este trabajo nos vamos a centrar en la ecuación BBM
ut + ux + uux − utxx = 0,
x ∈ R,
t > 0,
(1)
aunque el algoritmo numérico que presentamos se puede generalizar a otras
ecuaciones en derivadas parciales.
Es interesante la posibilidad de analizar en detalle las estructuras que emergen bajo perturbaciones de perfiles iniciales y que están sometidas a pequeñas
turbulencias, en forma de colas dispersivas, estructuras no lineales menores, ruido aleatorio, etc. Para ello, es necesario ‘limpiar’ la solución numérica dentro de
la ventana computacional, aislando la estructura que nos interesa, eliminando
las turbulencias y dejándola evolucionar con el tiempo. La principal novedad
que presenta la técnica de limpieza que proponemos frente a otras utilizadas
en la literatura [5, 4] es el diseño dinámico de todo el proceso. De esta manera, proponemos un algoritmo que en cada paso en tiempo calcula una región
de limpieza dependiendo de la solución numérica en ese instante y ‘limpia’ la
solución dentro de dicha región.
Para los experimentos numéricos, consideramos la ecuación BBM con condiciones de frontera periódicas. La discretización espacial elegida está basada
en elementos finitos cúbicos de Hermite [1, 2] y la integración en tiempo se lleva a cabo mediante la regla del punto medio implı́cita. Nuestros experimentos
numéricos confirman que se obtienen buenos resultados y el algoritmo permite
estudiar las nuevas estructuras formadas.
2.
Descripción del problema
Para resolver numéricamente la ecuación (1) debemos restringir el problema a un dominio finito. Para ello, vamos a considerar condiciones de frontera
periódicas,
ut + ux + uux − utxx = 0, x ∈ [0, L], t ≥ 0,
u(0, t) = u(L, t)
ux (0, t) = ux (L, t)
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ [0, L]
(2)
Con el objetivo de describir el método numérico que proponemos y que nos
permitirá llevar a cabo simulaciones numéricas de la solución de (2), vamos a
explicar tres etapas: la discretización espacial, la integración en tiempo y la
técnica de limpieza.
3.
Discretización espacial
La técnica de limpieza que describiremos en la Sección 5 requiere que la
base de la discretización espacial sea de carácter local. Aunque existen otras
posibilidades adecuadas, vamos a considerar en este trabajo, una discretización
espacial de (2) mediante elementos finitos cúbicos.
Para ello, fijado N ∈ N denotamos por xj los nodos espaciales. Es decir,
xj = jh, j = 0, . . . , N, con h = L/N . Consideramos Vh , el espacio de funciones
cúbicas de Hermite a trozos en el intervalo [0, L] y que satisfacen condiciones de
frontera periódicas (véase [1]). El problema semidiscreto en espacio es entonces
h(uh )t , wh i + h(uh )tx , (wh )x i = huh , (wh )x i + 12 hu2h , (wh )x i,
uh (0) = u0,h .
∀wh ∈ Vh , t ≥ 0
Esta discretización espacial conduce a la obtención de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
Rh
dUh
= Mh Uh + F (Uh ),
dt
(4)
con Uh = [u0 , u
e0 , . . . , uN −1 , u
eN −1 ]T , donde uj y , u
ej denotan las aproximaciones
a la solución y su derivada en los nodos xj .
4.
Integración en tiempo
Para elegir un integrador en tiempo adecuado que nos permita resolver el
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (4), debemos tener en cuenta que
dicho sistema retiene la estructura hamiltoniana y conserva las correspondientes
versiones discretas de los invariantes del problema original. Es bien conocido [6]
que la conservación de dichos invariantes durante la integración numérica es una
buena propiedad para el integrador temporal y permite una mejor simulación
(3)
de la dinámica de las ondas solitarias (véase también [1, 3]). Es más, esta propiedad del integrador temporal nos garantizará una mejor aproximación a los
parámetros de las ondas como la amplitud, velocidad o fase.
Existen varias posibilidades en esta lı́nea. Entre ellas, en este trabajo hemos
elegido la regla del punto medio implı́cita. Nuestra elección se ha basado en
el hecho de que este integrador presenta un buen comportamiento para los
invariantes del problema y al mismo tiempo su implementación es sencilla y nos
permite estudiar la técnica de limpieza que proponemos.
Para la implementación de la regla del punto medio implı́cita, denotaremos
por ∆t > 0 el paso en tiempo y por Uh,n la aproximación numérica a la solución
en tiempo tn = n∆t. Para obtener la aproximación Uh,n+1 en tiempo tn+1 ,
necesitamos resolver el sistema no lineal
Rh Gh,n =
∆t
(Mh (Uh,n + Gh,n ) + Fh (Uh,n + Gh,n )) ,
2
(5)
y avanzar para obtener Uh,n+1 = Uh,n + 2Gh,n .
El sistema (5) lo resolvemos mediante una técnica iterativa.
5.
Técnica de limpieza
Con el objetivo de explicar la técnica de limpieza que proponemos, vamos a
suponer que la condición inicial de (2) se transforma, con el tiempo, en un pulso
principal junto con una cola dispersiva. Si nuestro interés se centra en el pulso
principal, es necesario aislarlo y limpiar la solución numérica para eliminar la
pequeñas ondas que forman la cola dispersiva. Es más, queremos que todo el
proceso se implemente de manera automática y que en cada paso en tiempo
se elija la región de limpieza de forma dinámica y dependiendo de la solución
numérica en ese instante de tiempo.
Inicialmente se fijará una tolerancia ε y llamaremos ‘soporte’ de la onda
solitaria a un intervalo donde sea mayor que ε. Es más, para la ecuación BBM
existe una relación entre amplitud, velocidad y soporte de las ondas solitarias
que será utilizado en el algoritmo de limpieza.
Describamos a continuación cómo funciona el algoritmo de limpieza en el
paso de tn−1 a tn . En este instante de tiempo vamos a realizar los siguientes
pasos:
1. Calculamos la amplitud umax (n) del pulso principal, el punto donde es
alcanzado xmax (n) y la velocidad cn del pulso principal. Para ello:
partimos de una estimación estxmax (n) del punto xmax (n) calculada
a partir de la velocidad cn−1 y del valor de xmax (n − 1) del paso
anterior tn−1 .
buscamos entre los nodos próximos a estxmax (n), el nodo donde la
onda principal alcanza su máximo.
2.5
0.25
0.2
2
0.15
anulación
0.1
1.5
0.05
0
1
anulación
−0.05
anulación
0.5
−0.1
−0.15
−0.2
0
−0.25
−0.5
β1(n)
β (n)
β1(n)
2
Figura 1: Técnica de limpieza sin suavizado. La gráfica de la derecha es un zoom
de la de la izquierda.
2.5
0.25
0.2
2
interpolación
0.15
0.1
1.5
0.05
0
1
−0.05
−0.1
0.5
anulación
−0.15
0
−0.2
−0.25
−0.5
γ1(n) β (n)
1
β2(n) γ2(n)
γ1(n)
β1(n)
Figura 2: Técnica de limpieza con suavizado. La gráfica de la derecha es un
zoom de la de la izquierda.
a partir de este nodo, en sus dos intervalos adyacentes se calcula, de
manera analı́tica, el máximo del interpolante cúbico de Hermite a
trozos asociado a la solución numérica, obteniéndose ası́ umax (n) y
xmax (n).
a partir de xmax (n − 1) y xmax (n) se calcula la velocidad cn en tn .
2. Se elige la región de limpieza: se calcula el intervalo (β1 (n), β2 (n)), centrado en xmax (n) donde los valores de la onda solitaria con velocidad cn son
mayores que la tolerancia ε. La región de limpieza es el complementario
de dicho intervalo.
3. Se ‘limpia’ la solución en la región de limpieza. Este paso se puede realizar
de dos maneras, dando lugar a dos algoritmos distintos:
(3.a) Limpieza sin suavizado: se hace uj = 0, u
ej = 0 para todos los nodos
xj en la región de limpieza.
(3.b) Limpieza con suavizado: se calcula otra región (γ1 (n), γ2 (n)) donde
la onda solitaria de velocidad cn es mayor que otra tolerancia ²1 <
². Fuera de (γ1 (n), γ2 (n)) se anula la solución, mientras que en los
intervalos (γ1 (n), β1 (n)) y (β2 (n), γ2 (n)) se realiza una interpolación
cúbica.
Aunque la técnica (3.a) de limpieza sin suavizado (véase la Figura 1) en la
práctica es bastante eficiente, puede presentar un problema. Las derivadas de la
solución numérica en la frontera de la región de limpieza pueden ser muy grandes. Esto podrı́a ser un inconveniente en algunos casos. Por ello, proponemos la
técnica 3.b de limpieza con suavizado (véase la Figura 2).
6.
Experimentos numéricos
Con el objetivo de analizar el resultado del algoritmo de limpieza, hemos
realizado varios experimentos numéricos para la ecuación BBM tomando como
condición inicial distintas perturbaciones de ondas solitarias. En todos ellos se
ha observado muy buenos resultados. Mostramos aquı́ sólo uno de ellos.
Las ondas solitarias para la ecuación BBM tienen la forma:
u(x, t) = Asech2 (K(x − ct − L0 )),
donde
A = 3(c − 1),
1
K=
2
(6)
r
1
1− .
c
(7)
Vamos a realizar la integración numérica del problema (2) tomando como
condición inicial
u0,j = Asech2 ((1 + α)K(xj − L/2))
donde A y K están dados por (7) con c = 2 y α = 0,5.
t=0
t=100
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
0
50
100
150
0
50
t=200
100
150
100
150
t=300
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
0
50
100
150
0
50
Figura 3: Solución numérica en distintos instantes de tiempo: −− sin limpieza,
− con la técnica de limpieza con suavizado.
En la Figura 3 podemos observar la solución numérica en distintos instantes
de tiempo tanto si no se realiza limpieza, como cuando se utiliza la técnica de
limpieza con suavizado. El uso de la técnica de limpieza permite estudiar el
pulso principal perturbado y permite analizar los parámetros asociados, como
por ejemplo la velocidad. Esto se puede ver en la Figura 4. Por otro lado, en
la Figura 5 podemos ver la evolución de la norma infinito del error, cuando se
considera en cada paso en tiempo como solución exacta la onda solitaria con
velocidad cn .
Hay que hacer notar que aunque en este trabajo se ha considerado únicamente la ecuación BBM, para la que se conocen expresiones de las ondas solitarias,
la técnica descrita se puede llevar a cabo para otras ecuaciones. La única diferencia es que, en general, no se va a disponer de una expresión de las ondas
solitarias ni de la relación exacta entre la amplitud, la velocidad y el ‘soporte’
de la solución. En estos casos es necesario utilizar un algoritmo que nos proporcione perfiles numéricos que serán utilizados como condiciones iniciales de
nuestro problema. A su vez, para la elección de la región de limpieza, utilizaremos una relación aproximada de la amplitud, la velocidad y el ‘soporte’ de
la solución que puede ser obtenida a partir de un estudio numérico de varios
perfiles asociados a distintas velocidades.
2
1.95
velocidad
1.9
1.85
1.8
1.75
0
50
100
150
200
250
300
Figura 4: Evolución de la velocidad con el tiempo: −− sin limpieza, − con la
técnica de limpieza con suavizado.
0
10
−1
norma infinito del error
10
−2
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
50
100
150
200
250
300
Figura 5: Evolución del error con el tiempo: −− sin limpieza, − con la técnica
de limpieza con suavizado..
Agradecimientos
Este trabajo está parcialmente subvencionado por MICINN mediante el proyecto MTM2007-66343 cofinanciado con fondos FEDER y el proyecto MTM201019510/MTM.
Bibliografı́a
[1] I. Alonso-Mallo, A, Durán & N. Reguera Simulation of coherent structures in nonlinear
Schrödinger-type equations J. Comput. Phys. 229 (2010), no. 21, 8180-8198
[2] I. Alonso-Mallo & N. Reguera, A high order finite element discretization with local
absorbing boundary conditions of the linear Schrödinger equation, J. Comput. Phys.
220, 2006, no. 1, 409–421.
[3] J. Álvarez and A. Durán, A numerical scheme for periodic travelling-wave simulations in some nonlinear dispersive wave models, J. Comp. Appl. Math. 235 (2011),
1790–1797.
[4] J. Bona, V. Dougalis & D. Mitsotakis, Numerical solution of KdV-KdV systems of
Boussinesq equations: I. The numerical scheme and generalized solitary waves, Mat.
Comp. Simul., 74(2007), 214-228.
[5] V. Dougalis, A. Durán, M. A. López-Marcos, D. Mitsotakis, A numerical study of the
stability of solitary waves of the Bona-Smith family of Boussinesq systems, J. Nonlinear
Sci, 17 (2007), 569-607.
[6] E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, Geometric Numerical Integration, StructurePreserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New YorkHeidelberg-Berlin, 2002.
[7] A. Scott, Nonlinear Science, Emergence and Dynamics of Coherent Structures, Oxford
University Press, Oxford, 1999.