43 PROPUESTAS PARA ANALIZAR LOS PRECIOS SOMBRA EN

Docencia de Matemáticas en la Economía y la Empresa
PROPUESTAS PARA ANALIZAR LOS PRECIOS SOMBRA EN LAS AULAS
Lourdes Canós1
Teresa León2
Vicente Liern1
1
Dep. de Economía Financiera y Matemática.
2
Dep. de Estadística e Inv. Operativa.
Universitat de València
Resumen: En esta comunicación hacemos un estudio e interpretación de los precios
sombra para modelos lineales en los que la solución óptima resulta degenerada.
Comprobamos que en este caso, el problema dual proporciona una estimación
arriesgada de la modificación de la función objetivo al variar uno de los términos
independientes, y por tanto, no resulta útil en la toma de decisiones si no se completa la
información con un estudio más detallado.
Tras un desarrollo teórico del caso degenerado, proponemos efectuar un análisis
paramétrico del vector de recursos junto con un análisis de sensibilidad y mostramos la
utilidad del paquete de programación LINDO® para realizar este estudio en las aulas. Por
último resolvemos un ejemplo numérico en el que aplicamos todas las técnicas
descritas.
Palabras clave: Precios sombra, programación lineal, propuestas docentes.
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Canós L., León T., Liern V.
1.- Introducción
El objetivo de incorporar la investigación operativa en las Facultades y Escuelas
de Ciencias Económicas y Empresariales es capacitar al futuro titulado para resolver
problemas reales en el ámbito de la empresa. Sin embargo, por razones de tiempo e
incluso didácticas solemos evitar problemas en los que aparezcan complicaciones
“excesivas”. En esta comunicación nos centraremos en dos aspectos a los que, en
nuestra opinión, debemos prestar especial interés: el tipo de solución óptima del
problema y la estabilidad de esta solución. Surgen así dos dificultades:
a) Si la solución óptima es degenerada, el concepto e interpretación de precio sombra
habituales no son aplicables.
b) El análisis de sensibilidad de los coeficientes del problema resulta imprescindible
para conocer la aplicabilidad de la política óptima.
Nuestra intención es remarcar las diferencias que existen cuando la solución
factible básica óptima del problema es degenerada y cuando no lo es. De acuerdo con
Rubin y Wagner (1990), el hecho de que el análisis e interpretación del caso no
degenerado sea más conocido y directo, ha provocado que se produzcan muchos errores
en situaciones reales, ocasionando grandes pérdidas en la empresa.
Por otro lado, en Greenberg (1986) se hace un análisis estadístico de modelos
lineales del Midterm Energy Market Model del Departamento de Energía de EEUU se
concluye que entre un 29% y un 65% de los casos examinados presentaban
degeneración, por tanto, ante esta gran frecuencia, creemos necesario que en el aula se
aborde esta situación.
Sin duda, la principal causa de degeneración está en la redundancia entre las
restricciones del modelo (Greenberg (1986) y Gal (1986)), y ésta puede originarse en
cualquier paso del proceso de modelización. Nuestro propósito no es diagnosticar las
causas de la degeneración, sino que ésta no pase inadvertida al alumno.
Proponemos el uso del programa comercial LINDO® para que los alumnos puedan
llevar a cabo, sin dificultades de cálculo, un análisis de los precios sombra en
profundidad.
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2.- Notación y formulación del problema
Consideramos un problema lineal
(P)
Max C X
Sujeto a A0 X < b
X > 0
donde C es un vector fila, A0 es una matriz real de tipo mxn, b es un vector columna y
el vector X∈ℜn representa las variables del modelo. Introduciendo variables de holgura
hj , j=1, …, m, el problema P puede escribirse en forma estándar como sigue:
(P’)
Max
Cx
Sujeto a A x = b
x > 0
donde c=(C, 0m), A=(A0, Im) y x = (X, h)T.
Dada una solución factible básica del problema estándar P’, x=(xB, xN)T=(B-1b,
0)T, decimos que es degenerada si existe alguna variable básica xBj de modo que xBj=0.
Es decir, que al menos una de las variables que componen la solución factible básica es
nula.
Los programas P y P’ tienen asociados sendos duales que denominaremos D y
D’ que pueden formularse como sigue:
(D)
Min
wb
(D’) Min
Sujeto a wA0 > C
Sujeto a wA > c
w > 0
•
wb
w > 0
Si la solución factible básica de P no es degenerada, la solución óptima del
problema dual D es única w=(w1*, w2*, …, wm*). En este caso, cada wi* se
interpreta como el índice de variación del valor de la función objetivo en el óptimo
al incrementar (o disminuir) el valor de bi en una unidad marginal, siempre que esta
modificación no altere la política óptima. De ahí que se les llame precios sombra,
precios duales o valores marginales.
•
Si la solución factible básica de P es degenerada, la solución óptima del problema
dual D no tiene por qué ser única. Entonces, la interpretación habitual de los
precios sombra no es aplicable.
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Canós L., León T., Liern V.
3.- Interpretación de los precios sombra para soluciones degeneradas
Supongamos que x* es solución factible básica del problema lineal P y
w*=(w1*,w2*, …, w m*) es solución óptima del dual D. Vamos a ver que w*i es una cota
superior o inferior de la variación de la función objetivo cuando se aumenta (o
disminuye) en una unidad el recurso i-ésimo.
Dado el programa lineal P, se define la función valor óptimo como
v(b)= Max {C X | A0 X < b, X > 0}.
Dado b0∈ℜm de modo que v(b0) sea finito, un vector no nulo d∈ℜm diremos que es una
dirección factible en b0 si existe θ* > 0 de forma que v(b0+ θ d) es finito para cualquier
θ∈[0, θ*].
En Shapiro (1984), se prueba el siguiente resultado:
Teorema: Supongamos que v(b0) es finito y que d es una dirección factible de v en b0
La derivada direccional por la derecha de la función v(b) se puede calcular como
D+d v (b0) = Min {w* d | w* es solución óptima de D0}
(2)
donde D0 es el problema dual de P obtenido al hacer b= b0.
Este resultado tiene varias consecuencias inmediatas:
1) Si el conjunto de soluciones óptimas de D0 se reduce a un único vector w*, entonces
D+d v (b0) = w* d.
2) Si además el conjunto de direcciones factibles es todo ℜm –{ 0m}, entonces v(b) es
diferenciable en b0 y
∂v
(b0) = w*i , obteniendo los precios sombra habituales.
∂b i
3) Si D0 tiene más de una solución óptima, D+ei v (b) = Min {w* ei | w* es solución
óptima de D}
El precio sombra pi es la derivada direccional de la función valor óptimo en b
según la dirección ei = (0,…,0,1,0,…,0), si lo que queremos es aumentar el valor de bi ,y
según la dirección - ei = (0,…,0,-1,0,…,0) si lo que se desea es disminuir el valor de bi,
siempre que ei y –ei sean direcciones factibles.
Entonces, dada una solución factible básica x*, pueden ocurrir dos situaciones:
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a) Si x* no es degenerada la función v(b) admite derivada direccional en todas las
direcciones, por tanto el precio sombra es
pi = D+ei v (b0) = D+-ei v (b0) = Dei v (b0) =
∂v
(b0)
∂b i
b) Si x* es degenerada la función v(b) no admite derivada direccional en todas las
direcciones, entonces no existe un único precio sombra, sino que habrá
restricciones para las que existan dos: pi+ si aumentamos el valor de bi y pi- si
disminuimos el valor de bi. De acuerdo con Gal (1986) y León y Liern (1996), a
partir de la expresión (2), el cálculo de estos pares de precios sombra se obtendrá
de la forma siguiente:
Pi+ = D+ei v (b) = Min {w* ei | w* es solución óptima de D}
= Min {wi* | w*=(w1*, …, wm*) es solución óptima de D}
(3)
Pi-= D+-ei v (b) = Min {w* (-ei) | w* es solución óptima de D}
= Max {wi* | w*=(w1*, …, wm*) es solución óptima de D}
La expresión (3), tal y como se ha presentado, a pesar de su innegable utilidad
teórica, resulta poco práctica, porque supone el conocimiento de todas las soluciones del
problema dual. Esta dificultad se puede subsanar mediante el uso del símplex
paramétrico (véanse Murty (1983) y León y Liern (1996)), pero lo cierto es que este tipo
de técnicas resultan muy laboriosas.
Los paquetes comerciales de Programación Lineal suelen contar con comandos
específicos para realizar un análisis paramétrico de los términos independientes. En
concreto, LINDO® tiene el comando Parametric Row que permite seleccionar la fila.
Una vez hecha la selección introducimos el nuevo valor de bi y el programa efectúa un
análisis paramétrico en modo texto y gráfico. En el ejemplo de la sección siguiente
mostramos cómo actúa esta opción de LINDO®.
La situación con la que se encuentra el usuario de un paquete de programación al
obtener una solución óptima degenerada es la de obtener unos precios sombra w* =
(w1*, w2*, …, wm*) de los que ni siquiera conoce si son únicos o no. A partir de la
expresión (3) obtenemos la interpretación que debe darse a estos precios:
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Canós L., León T., Liern V.
•
wi* representa una cota superior del aumento de la función objetivo si aumenta una
unidad marginal el recurso i-ésimo.
•
wi* representa una cota inferior de la disminución de la función objetivo si
reducimos una unidad marginal el recurso i-ésimo.
Por tanto, debemos ser conscientes de que si interpretásemos los precios sombra
como en el caso no degenerado estaríamos siendo demasiado optimistas y, por ejemplo,
la estimación de los beneficios esperados al adquirir unidades extra de recurso sería
demasiado arriesgada.
No debemos concluir esta sección sin advertir de la necesidad de un análisis de
sensibilidad de los términos independientes. Conocer que es beneficioso adquirir
cantidades extra de un recurso no es suficiente, puesto que en ocasiones esto no será
posible sin modificar la política óptima. LINDO® realiza este análisis de forma
automática al presentar la solución óptima.
En esquema, nuestra propuesta global de análisis sería la siguiente:
No
degenerada
Problema
Lineal
Análisis paramétrico de b
Solución(es)
óptima(s)
• Análisis paramétrico de b
• Análisis de sensibilidad de b
Degenerada
Interpretación
habitual de los
precios sombra
Reinterpretación
de precios sombra
pi+ si aumenta bi
pi- si disminuye bi
Sólo una vez conocidos e interpretados los precios sombra podrán constituir un
elemento útil en la toma de decisiones. Veámoslo en un ejemplo.
4.- Aplicación en las aulas con LINDO®.
Consideramos el ejemplo siguiente:
(P)
Max 3 x 1+ 4 x 2
Sujeto a x 1 + 3 x 2 < 15
2 x 1 + x 2 < 10
2 x 1 + 3 x 2 < 18
x1 + x2 < 7
4 x 1 + 5 x 2 < 40
x 1, x 2 > 0
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Si lo resolvemos con LINDO® versión 6.01, la hoja de resultados es la siguiente:
1)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
VARIABLE VALUE REDUCED
COST
ROW
x1
x2
3.00000
4.00000
0.000000
0.000000
25.00000
SLACK OR
SURPLUS
2)
3)
4)
5)
6)
0.000000
0.000000
0.000000
0.000000
8.000000
DUAL
PRICES
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
El valor óptimo es z*=25 y los precios sombra
p1=1, p2=1, p3=0, p4=0, p5=0
®
A pesar de que LINDO no advierte del tipo de solución, el análisis de sensibilidad
de los términos independientes muestra que es degenerada. Para ello basta comprobar
que no permite modificar cualquier bi en algún sentido:
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED
ROW CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
3
4
5
6
15.000000
10.000000
18.000000
7.000000
40.000000
0.000000
0.000000
INFINITY
INFINITY
INFINITY
10.000000
5.000000
0.000000
0.000000
8.000000
En este problema, por ser un ejemplo sencillo podemos calcular las restantes
soluciones óptimas del problema dual con el Teorema de holgura complementaria
(Murty (1983)). Estas son:
w1= (0, 0, 1, 1, 0), w2= (1/2, 0, 0, 5/2, 0) , w3= (1, 1, 0, 0, 0), w4= (0, 1/4, 5/4, 0, 0)
(4)
y todas sus combinaciones lineales convexas Λ= Co{ w1, w2, w3, w4}.
De acuerdo con (3) los precios sombra serán
p1+=0,
p1-=1,
p2+=0,
p2-=1,
p3+=0,
p4+=0,
p5+=0,
p3-=5/4,
p4-=5/2,
p5-=0.
Claramente, la única restricción que conserva el sentido habitual de los precios
sombra es la quinta en la que p5- = p5+ = p5 = 0.
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Canós L., León T., Liern V.
En la práctica esto no es aplicable ni a problemas de grandes dimensiones ni en
las aulas, por tanto debemos recurrir a otras técnicas. Como hemos advertido, LINDO®
permite realizar un análisis paramétrico de los términos independientes, y con ello saber
cómo varían los precios sombra de cada restricción, sin más que introducir nuevos
valores en el RHS de la restricción que se desee:
Este análisis se realiza como texto y gráficamente. Veamos por ejemplo qué
ocurre con la primera restricción
Nota: LINDO® enumera las restricciones incluyendo también la función objetivo.
Estudio de p1
-
El estudio gráfico muestra que para
valores de b1 menores que 15 el valor
óptimo desciende, y la pendiente de
la recta es la misma desde b1=15
hasta b1=5
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Docencia de Matemáticas en la Economía y la Empresa
Además, observando la salida de
texto, podemos afirmar que el precio
sombra para disminuir b1 es
p1- = 1
y el análisis de sensibilidad para este
descenso proporciona el intervalo
b1∈[5,15]
Si repetimos esto con cada restricción en el sentido de ascenso y de descenso de bi
se puede completar el estudio de precios sombra-análisis de sensibilidad. En la tabla
siguiente se muestra la solución que ofrece la primera pantalla de LINDO® y las
soluciones que se obtienen tras el análisis paramétrico:
ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES
Valor de bi
b1= 15
b2= 10
b3= 18
b4= 7
b5= 40
Hoja de
Precios
sombra
p1 = 1
p2 = 1
p3 = 0
p4 = 0
p5= 0
soluciones
Análisis de
sensibilidad
b1∈ [5, 15]
b2∈ [5, 10]
b3∈ [18, ∞[
b4∈ [7, ∞[
b5∈[32, ∞[
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Análisis
Precios
sombra
p1+= 0
paramétrico
Análisis de
sensibilidad
b1∈ [15, ∞[
p1-= 1
b1∈ [5,15]
p2 = 0
b2∈ [10, ∞[
p2-= 1
b2∈ [8,10]
p3+= 0
b3∈ [18, ∞[
p3-= 5/4
b3∈ [10, 18[
+
p4 = 0
b4∈ [7, ∞[
p4-= 5/2
b4∈ [5,7]
+
p5 = 0
b5∈ [40, ∞[
p5+= 0
b5∈ [32, 40]
+
Canós L., León T., Liern V.
Representación gráfica del análisis paramétrico de cada bi
v(b i)
25
15
1ª restricción
2ª restricción
3ª restricción
4ª restricción
5ª restricción
5
5
10
15
20
25
30
35
40
bi
Veamos, a modo de ejemplo, algunos de los errores que habría supuesto usar
como precio sombra alguna de las soluciones óptimas del problema dual en lugar de pi+
y pi-. Supongamos que entre todas las soluciones óptimas del problema dual hemos
obtenido w2 = (1/2, 0, 0, 5/2, 0). Para la primera restricción, por ejemplo, se tendría
Información dada por w2
P1= 1/2
Información dada por pi+ y pi-
b1∈[15, 15]
Aunque sería beneficioso, la política
óptima no permite aumentar el primer
recurso.
p1+ =0
p1- =1
b1∈[15, ∞[
b1∈[5, 15]
Si disminuimos en una unidad el primer
recurso, los beneficios disminuyen 1 u. m.
Si aumentamos en una unidad b1 los
beneficios no varían.
5.- Conclusiones
Si formulamos una situación real con un problema lineal, el uso de los precios
sombra puede ser muy útil. Pensemos, por fijar ideas, en un modelo de planificación de
la producción con limitación de recursos. Los precios sombra indican, por ejemplo, la
conveniencia o no de adquirir una cantidad adicional de algún recurso que se agota y a
qué precio. Sin embargo, si la solución es degenerada esta interpretación no es válida, y
lo que proporciona es una estimación arriesgada de los beneficios esperados al adquirir
unidades extra de cada recurso.
En el caso degenerado debemos completar la información con un análisis
paramétrico de los términos independientes. Éste nos proporciona dos valores de los
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precios sombra: pi+ cuando aumentamos el valor de bi y pi- cuando disminuimos el valor
de bi. Además resulta imprescindible un análisis de sensibilidad de los términos
independientes para comprobar que estos ascensos o descensos no modifican la política
óptima.
Por último, creemos útil insistir en dos consideraciones de orden técnico:
a) Se debe analizar el tipo de solución óptima. Un descuido en este aspecto puede
provocar errores importantes y con ello pérdidas para la empresa (véase Rubin y
Wagner (1990)).
b) El uso adecuado de los paquetes informáticos actuales permite resolver de forma
casi automática algunos de los problemas que hace menos de una década resultaban
un ejercicio complejo de programación matemática.
Bibliografía
1. Chiang, A. (1987), Métodos fundamentales de economía matemática, 3ª Edición,
Mc Graw Hill, Madrid.
2. Gal, T. (1986), “Shadow Prices and Sensitivity Analysis in Linear Programming
under Degeneracy”, OR Spectrum, 8, 59-71.
3. Greenberg, H. J. (1986), “An Analysis of Degeneracy”, Naval Research Logistics
Quartely, 33, 635-655.
4. Jansen, B., Roos, C. y Terlaky, T. (1995), “Optimal Bases versus Partitiions for
Postoptimal Analysis in Linear Programming” (Preprint).
5. León, M. T. , Liern, V. (1996), “Interpretación de los precios sombra en presencia
de degeneración”, Questiió, 20, 223-238.
6. Murty, K. G. (1983), Linear Programming, John Wiley and sons. New York.
7. Rubin, D. S., Wagner, M. H. (1990), “Shadow Prices: Tips and traps for Managers
and Instructors”, Interfaces, 20, 150-157.
8. Shapiro, J. F. (1979), Mathematical Programming: Structures and Algorithms. John
Wiley and sons. New York.
9. Shapiro, R. D. (1984), Optimization Models for Planning and Allocation: Text and
Cases in Mathematical Programming. John Wiley and sons.
10. Winston, W. L. (1994), Investigacón de operaciones. Aplicaciones y algoritmos.
Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. , México D. F.
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