Parte 3: Riesgo y selección óptima de cartera

Parte III
RIESGO Y SELECCIÓN
ÓPTIMA DE CARTERA
61
Capítulo 6
Utilidad Esperada
6.1
Introducción
Hasta ahora hemos analizado la determinación de precios de equilibrio en modelos con ausencia de incertidumbre. En los siguientes capítulos analizaremos
la determinación de precios de activos con rendimiento incierto. Para ello es
necesario tener una teoría de la valoración individual del riesgo y los deseos
de exponerse al mismo. Para es necesario desarrollar una teoría que nos permita de…nir formalmente el riesgo y las actitudes de los individuos frente al
riesgo, para …nalmente responder a cuestiones como las que plantea el siguiente
ejemplo.
Ejemplo: Supongamos un individuo que desea formar una cartera
de inversión compuesta por los siguiente estructura de activos.
1. Un bono cupón cero con un rendimiento del 20%:
2. El precio de un activo …nanciero que hoy vale 20 u:m: y en el futuro con
valdrá 15 u:m: o 40 u:m: con una probabilidad de 1=2:
Si la renta inicial disponible es de 100 u:m; qué proporción de la
renta invertirá en activos inciertos?
El proposito de esta parte es responder a este tipo de preguntas, para es
necesario de…nir el concepto de preferencia en un entorno de incertidumbre, así
como conceptos que permitan caracterizar la distinta actitud de los individuos
frente al riesgo. Finalmente se desarrolla el modelo de selección de cartera
en distintas versiones, con objeto de responder a la pregunta planteada en el
anterior ejemplo.
6.2
Loterias
En situaciones de incertidumbre la elección individual depende de circunstancias
externas a los agentes económicos (consumidores, empresas, etc...). A estos
eventos sobre los cuales los individuos no tienen control se denominan estados
de la naturaleza, por ejemplo, lluvia o sequía serían dos posibles estados
63
CAPÍTULO 6. UTILIDAD ESPERADA
64
de la naturaleza posible que afectan positiva o negativamente la cosecha, no
estando ninguno de ellos bajo control por parte de los agricultures. Además es
necesario tener en cuenta que los efectos positivos o negativos de un determinado
estado de la naturaleza depende de las preferencias de los individuos y de como
afecte la producción o la dotación de recursos en la economía. Siguiendo con el
ejemplo anterior, a un empresario hotelero el efecto de la incertidumbre puede
ser el opuesto, pre…riendo el sol a la lluvia, pues bajo en primer estado su
nivel de producción es mayor. A pesar de ello como ya veremos en la siguiente
parte la existencia de mercados de seguros permitirá a los individuos eliminar
incertidumbre idiosincrática.
De…nimos a S como el conjunto de todos los estados de la naturaleza posibles.
Sea s 2 S un elemento del conjunto y suponemos que el número de estados s es
…nito. Denotamos por p(s) a la probabilidad de ocurrencia del estado s: Dado
que son probabilidades estas deben cumplir la siguientes propiedades:
1. p(s) ¸ 0:
P
2.
s2S p(s) = 1
En un entorno de incertidumbre los individuos no eligen asignaciones como
en el capítulo 2, sino que eligen loterias. El concepto de lotería puede parecer
un poco abstracto al principio, pero como veremos a continuación es el enfoque correcto para analizar la elección bajo incertidumbre. Una lotería es un
juego que asigna un premio x con una probabilidad p; y un premio y con una
probabilidad (1 ¡ p): Formalmente:
p ± x © (1 ¡ p) ± y
x; y 2 $:
Los premios pueden ser dinero, asignaciones de bienes o otras loterías. Supondremos que los individuos de…nen sus preferencias sobre distintas loterias, donde
$ es el espacio de loterías. La elección bajo incertidumbre se restringe a elegir
la lotería más preferida.dadas unas preferencias.
Las loterías cumplen las siguientes propiedades:
1. p ± x © (1 ¡ p) ± y » x
si p = 1; es decir, recibir un premio con
probabilidad 1 es equivalente desde el punto de vista del individuo a recibir
un premio con certeza.
2. p ± x © (1 ¡ p) ± y » (1 ¡ p) ± y © p ± x © : La propiedad conmutativa se
aplica a las loterías. En este caso el individuo percibe ambas loterías como
equivalentes.
3. q ± [p ± x © (1 ¡ p) ± y] © (1 ¡ q) ± y » qp ± x © (1 ¡ pq) ± y: El consumidor al
evaluar la lotería considera la probabilidad neta de obtener un premio no
en la forma particular de cada lotería. Por lo tanto desde el punto de vista
del individuo estas dos loterías son equivalentes. Este supuesto a veces se
denomina reducción de loterías combinadas.
A partir de estos supuestos podemos de…nir las preferencias de los individuos
sobre el espacio de loterías, bajo los supuestos estandares sobre las preferencias.
Sea ($; %) entonces las preferencias cumplen:
6.2. LOTERIAS
65
1. Re‡exividad: Si x 2 $; para a; b 2 R y p 2 [0; 1]; entonces x ´ p ± a ©
(1 ¡ p) ± b » x:
2. Completitud: Si x; y 2 $ para a; b; c; d 2 R y p; q 2 [0; 1]; entonces
x ´ p ± a © (1 ¡ p) ± b % q ± c © (1 ¡ q) ± d ´ y; y % x o bien ambas.
3. Transitividad: Si x; y; z 2 $ entonces si x % y e y % z; por la propiedad
transitiva x % z:
4. Continuidad: Si x; y; z 2 $ entonces si x % y % z entonces 9p¤ ; p¤ 2 [0; 1]
tal que:
p¤ ± x © (1 ¡ p¤ ) ± z » y:
Proposición (Existencia de la función de utilidad): Si ($; %
) cumplen las propiedades (1 ¡ 4) entonces existe una función de
utilidad v : $ ! R que representa a las preferencias, de forma que
si:
p±x©(1¡p)±y  p±q©(1¡p)±y , v(p±x©(1¡p)±y) > v(p±q©(1¡p)±y):
La función de utilidad que representa estas preferencias no es única, pues
existen in…nitas transformaciones monótonas que la representan. De todas ellas
existe un tipo de funciones que tiene una propiedad muy útil que es la de utilidad
esperada:
u(p ± x © (1 ¡ p) ± y) = p ¢ u(x) + (1 ¡ p) ¢ u(y)
Si la función de utilidad que representa las preferencias cumple esta propiedad,
la utilidad de la lotería es la utilidad que se espera que reporten los premios.
Para representar las % sobre las loterías mediante la función de utilidad esperada
es necesario que se cumplan los siguientes supuestos:
1. Axioma de independencia: Si x; y 2 $; si x » y entonces:
p ± x © (1 ¡ p) ± z » p ± y © (1 ¡ p) ± z
8z 2 $:
El axioma de independencia dice que la relación de preferencia entre dos
loterías no está afectada por otras alternativas.
2. Acotación de loterías: 9 b; w 2 $ tal que:
b  x  w:
Existe una lotería que es mejor b y una lotería que es peor.
3. Monoticidad: 9 b; w 2 $ tal que :
p ± b © (1 ¡ p) ± w  q ± b © (1 ¡ q) ± w , p > q
Si x; y; z 2 $ entonces si x % y e y % z; por la propiedad transitiva x % z:
CAPÍTULO 6. UTILIDAD ESPERADA
66
6.3
Función de utilidad esperada
Proposición (Existencia de la función de utilidad esperada):
Si ($; %) cumplen las propiedades (1 ¡ 4) y los axiomas (1 ¡ 3)
entonces existe una función de utilidad esperada Eu : $ ! R que
satisface la propiedad de la utilidad esperada:
u(p ± x © (1 ¡ p) ± y) = p ¢ u(x) + (1 ¡ p) ¢ u(y)
Demostración: Para demostrar la existencia de la función de utilidad esperada vamos a realizar una normalización arbitrarea:
u(b) = 1
u(w) = 0
u(z) = pz ;
donde pz es aquel valor que cumple (¤¤):
pz ± b © (1 ¡ pz ) ± w » z;
por la propiedad de continuidad. De forma que si evaluamos la
utilidad de cada una de estas loterías obtetemos:
u(pz ± b © (1 ¡ pz ) ± w) = u(z) = pz :
Para demostrar la existencia y la unicidad de pz basta con utilizar
las propiedades anteriormente descritas:
p ± b © (1 ¡ p) ± w % z;
z % p ± b © (1 ¡ p) ± w;
para p 2 [0; 1]; por lo tanto existe un p que cumple esta condición y
es pz : Para ver que es único basta con suponer que existe otro p0z que
cumple (¤¤): Si cada uno satisface la de…nición y pz 6= p0z entonces:
p0z ± b © (1 ¡ p0z ) ± w % z » pz ± b © (1 ¡ pz ) ± w;
o al revés, por lo tanto es único. Por el axioma de continuidad:
p ± x © (1 ¡ p) ± y » z » pz ± b © (1 ¡ pz ) ± w;
o equivalentemente también se debe cumplir:
z » p ± [px ± b © (1 ¡ px ) ± w] © (1 ¡ p) ± [py ± b © (1 ¡ py ) ± w] ;
desarrollando esta expresión:
z » [ppx + (1 ¡ p)py ] ± b © [1 ¡ ppx ¡ (1 ¡ p)py ] ± w;
sustituyendo por la de…nición de px = u(x) y py = u(y) entonces
p±x©(1¡p)±y » z » [pu(x) + (1 ¡ p)u(y)] ±b©[1 ¡ pu(x) ¡ (1 ¡ p)u(y)] ±w:
{z
}
|
{z
}
|
6.4. FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADA INTERTEMPORAL
67
Por la de…nción (¤¤) :
pz
1 ¡ pz
= pu(x) + (1 ¡ p)u(y);
= 1 ¡ pu(x) ¡ (1 ¡ p)u(y):
Aplicando la de…nición de función de utilidad:
u(pz ± b © (1 ¡ pz ) ± w) = u(z) = pu(x) + (1 ¡ p)u(y)
Hemos construido la función de utilidad esperada, para veri…car que
es una función de utilidad basta con:
xÂy
, u(x) = px tal que x » px ± b © (1 ¡ px ) ± w;
, u(y) = py tal que y » py ± b © (1 ¡ py ) ± w;
de forma que u(x) > u(y) es decir px > py :
A continuación veremos que la función de utilidad esperada tan sólo admite
un tipo de transformaciones muy particulares.
Proposición: Una función de utilidad esperada es única excepto por una
transformación afín. Sean a; c 2 R entonces V : Eu ! R si:
V (p ± x © (1 ¡ p) ± y) =
=
=
=
6.4
au(p ± x © (1 ¡ p) ± y) + c
a [pu(x) + (1 ¡ p)u(y)] + c
p [au(x) + c] + (1 ¡ p) [au(y) + c]
pV (x) + (1 ¡ p)V (y)
Función de utilidad esperada intertemporal
Supongamos que t = 0; 1; entonces podemos generalizar el espacio de loterías
de la siguiente forma:
$ = $0 £ $1;
Entonces sea x 2 $ un elemento que especi…ca una lotería en cada momento
del tiempo. De forma que obtendremos un premio en función de los distintos
estados de la naturaleza. Por lo tanto una lotería x = (x0 ; x1 ) será preferida a
una lotería y = (y0 ; y1 ) si:
u(x0 ; x1 ) > u(y0 ; y1 ):
La función de utilidad es aditivamente separable en el tiempo si:
X
u(x0 ; x1 ) =
p(s)u(x(s)):
s2S
La función de utilidad esperada ya es aditivamente separable entre estados de
la naturaleza por el axioma de independencia. Esto implica que la utilidad
asociada a la lotería en x0 no afecta a la del periodo x1 :
68
CAPÍTULO 6. UTILIDAD ESPERADA
Capítulo 7
Aversión al Riesgo
7.1
Introducción
No cabe esperar que las actitudes frente al riesgo sean iguales para todos los
individuos, por lo tanto las decisiones de invertir en un determinados tipos de
activos dependerá de forma crucial de la actitud frente al riesgo. El capítulo está
compuesto de la siguiente forma: la sección 2 de…ne los conceptos de aversión al
riesgo,la sección 3 analiza las medidas de aversión al riesgo. La sección 4 describe
el concepto de aversión relativa al riesgo. La sección 5 de…ne el concepto de
aversión global al riesgo y el capítulo concluye con la sección 6 que calcula las
medidas de…nidas anteriormente para distintos tipos de funciones de utilidad.
7.2
Aversión al riesgo
De…nición (Juego Actuarialmente Justo): Un juego o lotería es actuarialmente justo cuando su premio esperado es cero, es decir,
px + (1 ¡ p)y = 0
para p 2 (0; 1): Para ello si x > 0 tiene que cumplirse que y < 0:
De…nición (Aversión al Riesgo): Decimos que un individuo es averso al
riesgo cuando no está dispuesto a aceptar cualquier juego actuarialmente justo.
Sea U(¢) una función de utilidad de un individuo a partir de la de…nición de
aversión al riesgo podemos de…nir:
U(W0 ) ¸ p ¢ U (W0 + x) + (1 ¡ p) ¢ U(W0 + y)
donde W0 es la riqueza inicial de un individuo. Utilizando la de…nición de
actuarialmente justo podemos escribir la siguiente expresión:
U (p ¢ (W0 + x) + (1 ¡ p) ¢ (W0 + y)) ¸ pU(W0 + x) + (1 ¡ p)U (W0 + y)
Esta de…nición implica:
Aversión al Riesgo (estricta) , U (¢) cóncava (estricta)
69
CAPÍTULO 7. AVERSIÓN AL RIESGO
70
De…nición (Neutral al Riesgo): Decimos que un individuo es neutral al
riesgo cuando es indiferente a aceptar cualquier juego actuarialmente justo.
En términos de una función de utilidad, podemos decir que un individuo es
neutral al riesgo si:
U (p ¢ (W0 + x) + (1 ¡ p) ¢ (W0 + y)) = pU (W0 + x) + (1 ¡ p)U (W0 + y)
o,
Neutral al Riesgo , U(¢) lineal
De…nición (Amante al Riesgo): Decimos que un individuo es amante
del riesgo cuando está dispuesto a aceptar cualquier juego actuarialmente justo.
Formalmente podemos expresarlo:
U (p ¢ (W0 + x) + (1 ¡ p) ¢ (W0 + y))
pU (W0 + x) + (1 ¡ p)U (W0 + y)
o alternativamente:
Amante Riesgo , U (¢) convexa
7.3
Medidas de Aversión al Riesgo
No cabe esperar que la actitud ante el riesgo de un individuo sea independiente
del premio o de la riqueza asociada a la lotería. Veamos a continuación como
reacciona un individuo frente a los siguientes juegos,
Juego 1: Jugarse a cara/cruz (1 pta.)
p ¢ 1pta + (1 ¡ p) ¢ (¡1pta) ! E(J1) = 0
Juego 2: Jugarse a cara/cruz (1000 pta.)
p ¢ 1:000pta + (1 ¡ p) ¢ (¡1:000pta) ! E(J2) = 0
Ambos son juegos actuarialmente justos pero cabe pensar que la actitud
frente al riesgo de los individuos sea la misma. Si el individuo deriva utilidad
sobre la riqueza y la función es cóncava, entonces:
U (W0 ) > U(J1) > U (J2)
Buscamos una medida que mida el riesgo que está dispuesto a aceptar un
individuo.
Medida 1: La curvatura de la función de utilidad U 00 : El principal problema
de esta medida es que no es independiente de las unidades de medición utilizadas.
Ante transformaciones a…nes la utilidad esperada no varía, pero la aversión al
riesgo sí.
Medida de Arrow-Pratt: Si normalizamos la segunda derivada por la
primera derivada obtendremos una medida razonable, que es invariante ante
transformaciones a…nes. Esta medida de conoce como el coe…ciente absoluto de
aversión al riesgo.
u00 (w)
RA (w) = ¡ 0
u (w)
7.3. MEDIDAS DE AVERSIÓN AL RIESGO
71
NOTA: Para ver que la medida de aversión al riesgo es invariante ante transformaciones a…nes, basta con realizar la siguiente transformación a la función
original u(¢); siendo v(¢) = a¢u(¢)+ c: Es directo obtener la primera y la segunda
derivada de esta expresión, v 0 (¢) = a ¢ u0 (¢); y v 00 (¢) = a ¢ u00 (¢); el ratio de ambas
es independiente del parámetro a:
Una justi…cación complementaria de la medida de aversión absoluta al riesgo
de Arrow-Pratt la podemos derivar a partir del conjunto de aceptación de un
individuo. Supongamos que planteamos el siguiente juego, o la compra del
siguiente activo …nanciero:
p ¢ (w + x) + (1 ¡ p) ¢ (w + y) = 0
De…nición (Conjunto de Aceptación): El conjunto de aceptación de un
individuo A(w) es el conjunto de todos los juegos que aceptaría jugar con un
nivel dado de riqueza. O el tipo de activos …nancieros que un individuo estaría
dispuesto a comprar.
Introducir grá…co 1
El conjunto de aceptación es convexo, pues el individuo es averso al riesgo,
si el individuo fuera neutral al riesgo el conjunto de aceptación sería una recta.
La frontera que pasa por el conjunto es una curva de indiferencia que separa
todos los juegos (activos) que dan el mismo nivel de utilidad. Los que están por
encima me dan una utilidad superior mientras que los que están por debajo me
dan una utilidad inferior.
p ¢ u(w + x) + (1 ¡ p) ¢ u(w + y) ´ u(w)
La pendiente del conjunto de aceptación en el punto (0; 0) se halla diferenciando esta expresión respecto a x y evaluando la derivada en x = 0: Dado que
y es una función implícita de x; al derivar respecto a x debe tenerse en cuenta,
p ¢ u0 (w + x) + (1 ¡ p) ¢ u0 (w + y(x)) ¢ y 0 (0) = 0
evaluando esta expresión en (x; y) = (0; 0) obtenemos,
p ¢ u0 (w) + (1 ¡ p) ¢ u0 (w) ¢ y0 (0) = 0
p
la pendiente de esta función en el punto (0; 0) está dada por y 0 (0) = ¡ 1¡p
; la
pendiente del conjunto de aceptación está dada por el ratio de probabilidades.
Introducir grá…co 2
Diremos que el consumidor \i" es más contrario a correr riesgos que un
consumidor \j" si el conjunto de aceptación del individuo \i" está contenido
en el de \j"; es decir, Ai (w) ½ Aj (w): El individuo que tiene un conjunto de
aceptación menor, éste tiene una mayor curvatura. Por ello es útil derivar la
curvatura del conjunto de aceptación de un individuo, para ello basta con tomar
la segunda derivada respecto a x y evaluarla en el punto (0; 0):
p ¢ u00 (w) + (1 ¡ p) ¢ u00 (w) ¢ y 0 (0) ¢ y 0 (0) + (1 ¡ p) ¢ u0 (w) ¢ y 00 (0) = 0
CAPÍTULO 7. AVERSIÓN AL RIESGO
72
p
en la expresión de arriba,
sustituyendo y 0 (0) = ¡ 1¡p
¸
p
p ¢ u (w) ¢ 1 +
= ¡(1 ¡ p) ¢ u0 (w) ¢ y00 (0)
1¡p
00
arreglando términos obtenemos,
y 00 (0) = ¡
¸
p
p
u00 (w)
¢
=¡
¢ RA (w)
(1 ¡ p)2
u0 (w)
1¡p
Esta expresión es proporcional a la medida de Arrow-Pratt. De esta forma
podemos concluir que un individuo j aceptará más juegos que un individuo i;
si sólo si la medida de aversión al riesgo del primero es menor, pues ambos se
enfrentan a las mismas probabilidades.
j
RiA (w) > RA
(w)
Nótese que esta es una medida local de actitud frente al riesgo, más adelante
analizaremos medidas globales de aversión al riesgo.
7.4
Aversión Relativa al Riesgo
La siguiente medida busca corregir el riesgo según el nivel de riqueza. La medida
de aversión absoluta plantea algun problema a la hora de medir la actitud frente
al riesgo de dos individuos con distintos niveles de riqueza. Bajo este concepto
un individuo que acepta invertir en activos con un mayor premio absoluto sería
menos averso al riesgo, el concepto de aversión relativa relaciona el premio en
proporción al nivel de riqueza del individuo. Para ello la medida que se utiliza
es el coe…ciente de aversión relativa al riesgo,
RR (w) = ¡
u00 (w)
¢w
u0 (w)
Al igual que en el caso anterior vamos a darle una justi…cación complementaria utilizando los conjuntos de aceptación ante juegos en los que el premio es
proporcional a la riqueza invertida:
p ¢ (w ¢ x) + (1 ¡ p) ¢ (w ¢ y) = 0
La utilidad de esta lotería está dada por la siguiente expresión,
p ¢ u(w ¢ x) + (1 ¡ p) ¢ u(w ¢ y) ´ U (w)
esta expresión representa la curva de indiferencia asociada al juego que da una
determinada utilidad de la riqueza, utilizando la relación que hay entre x y y;
podemos escribir la relación anterior de la siguiente forma,
p ¢ u(w ¢ x) + (1 ¡ p) ¢ u(w ¢ y(x)) ´ U (w)
Analicemos la pendiente del conjunto de aceptación en el punto (1; 1):
p ¢ u0 (w) ¢ w + (1 ¡ p) ¢ u0 (w) ¢ w ¢ y 0 (1) = 0;
7.5. AVERSIÓN GLOBAL AL RIESGO
73
la pendiente del nuevo conjunto de aceptación está centrada en el punto (1; 1)
p
: La
y la pendiente asociada coincide con la del caso anterior, y 0 (1) = ¡ 1¡p
curvatura del conjunto de aceptación de este tipo de juegos de…ne la actitud
frente al riesgo de los individuos en función de su nivel de renta y el premio.
Para calcular la curvatura basta con tomar la segunda derivada de la expresión
anterior y evaluarla en el mismo punto.
00
00
p ¢ u (w) ¢ w2 + (1 ¡ p) ¢ u (w) ¢ w2 ¢ y 0 (1) ¢ y0 (1) + (1 ¡ p) ¢ u0 (w) ¢ w ¢ y 00 (1) = 0
arreglando términos,
¸
p
p ¢ u (w) ¢ w ¢ 1 +
= ¡(1 ¡ p) ¢ u0 (w) ¢ y 00 (1)
1¡p
00
aislando,
p
y (1) = ¡
(1 ¡ p)2
00
"
00
u (w) ¢ w
u0 (w)
#
Por lo tanto un individuo j aceptará más juegos proporcionales a la riqueza
que un individuo i; si sólo si la medida de aversión relativa al riesgo del primero
es menor,
j
i
RR
(w) > RR
(w)
7.5
Aversión Global al Riesgo
Las medidas de aversión al riesgo son medidas locales, pues permiten comparar
el riesgo de dos individuos de forma local. Estas medidas pueden utilizarse de
forma global bajo las siguientes circunstancias. Diremos que un individuo i es
globalmente más averso al riesgo que otro individuo j:
1. Si el agente j es siempre más contrario a correr riesgos que el agente i,
para cualquier nivel de riqueza.
RiA (w) > RjA (w)
8w
2. Si la función de utilidad del individuo i; es una transformación monótona
de la del individuo j; es decir,
U i = V (U j (w))
donde V (¢) es una transformación cóncava de U (¢):
3. Una forma alternativa de medir el riesgo es utilizar la cantidad de dinero
que estaría dispuesto a pagar un individuo para eliminar el riesgo. Suponga que e
"; es una variable aleatoria que satisface E[e
"] = 0 (Nótese que si
la variable aleatoria es un juego, éste es actuarialmente justo): Sea ¼(e
") la
cantidad de riqueza a la que renuncia una persona para no enfrentarse a
la variable aleatoria.
U (w ¡ ¼(e
")) = E[U (w + e
")]
donde el primer término incluye la utilidad generada por la eliminación de
la riqueza, mientras que el segundo término incluye la utilidad esperada
CAPÍTULO 7. AVERSIÓN AL RIESGO
74
de este juego actuarialmente justo. Una persona es más contrarea a correr
riesgos si,
¼i (e
") > ¼j (e
")
Teorema de Pratt: Las tres de…niciones anteriores de aversión al
riesgo son equivalentes. Obviamos su demostración formal.
El siguiente ejemplo ilustra el concepto de medir el riesgo de un individuo
como la cantidad de recursos que está dispuesto a pagar para eliminar el riesgo.
Para ello analizamos un sencillo modelo de equilibrio general de demanda de
seguro con información perfecta.
EJEMPLO: Demanda de seguros con información perfecta
El siguiente problema mide cuanto estaría dispuesto a pagar un individuo
que es averso al riesgo por eliminar incertidumbre respecto a su nivel de riqueza
futuro. Considere una individuo con el siguiente nivel de riqueza W; mañana
con una determinda probabilidad p sufrirá una perdida L < W; mientras que
con una determinada probabilidad (1 ¡ p) mantendrá su nivel actual de riqueza.
Veamos cual será la utilidad esperada que percibirá en función de que en la
economía exista o no un mercado de seguros. Suponemos que la función de
utilidad cumple las siguientes condiciones: u0 > 0 y u00 < 0:
1. Ausencia de mercado de seguros:
La utilidad esperada cuando el mercado para asegurarse no está presente
está dada por:
f) = pu(W ¡ L) + (1 ¡ p)u(W )
Eu(W
2. Existencia de un mercado de seguros:
Supongamos ahora que existe un mercado de seguros que permite eliminar
riesgo comprando una póliza de seguros que paga una cantidad q en caso
de que se produzca una pérdida L: El coste de la prima de seguro es
lineal en el pago ¼q; y se paga con independencia de cual sea el estado de
la naturaleza. Ahora el individuo debe elegir que cantidad de cobertura
elegir. El problema al que se enfrenta el consumidor es el siguiente,
max
q
p ¢ u(W ¡ L + q ¡ ¼q) + (1 ¡ p) ¢ u(W ¡ ¼q)
las condiciones de primer orden de este problema son las siguientes,
p ¢ u0 (W ¡ L + (1 ¡ ¼)q) ¢ (1 ¡ ¼) + (1 ¡ p) ¢ u0 (W ¡ ¼q) ¢ (¡¼) = 0
Para ver que estamos en un óptimo basta con derivar las condiciones
su…cientes:
f) ¢ (1 ¡ ¼)2 + (1 ¡ p) ¢ u0 (W
f) ¢ ¼ 2 < 0
p ¢ u0 (W
dado que u00 < 0 las condiciones necesarias son su…cientes para caracterizar
un óptimo. Arreglando términos obtenemos,
u0 (W ¡ L + (1 ¡ ¼)q)
(1 ¡ p)
¼
=
¢
u0 (W ¡ ¼q)
p
(1 ¡ ¼)
7.6. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD
75
El mercado de empresas aseguradoras es perfectamente competitivo, supondremos que existe un número de ellas lo su…cientemente grande para
justi…car este comportamiento, cada una de ellas maximiza el bene…cio
esperado,
max E[Bo ] = p ¢ (q ¡ ¼q) + (1 ¡ p) ¢ (¼q)
q
las condiciones de primer orden implican,
p ¢ (1 ¡ ¼) + (1 ¡ p) ¢ ¼ = 0
por lo tanto el precio de equilibrio que pagarán por el seguro será ¼ = p:
Una prima actuarialmente justa implica que el coste de la poliza sea igual
al valor esperado. Nótese que bajo el precio de equilibrio los bene…cios de
las empresas aseguradoras son cero. Introduciendo el precio de equilibrio
en el problema del consumidor obtenemos,
u0 (W ¡ L + (1 ¡ ¼)q) = u0 (W ¡ ¼q)
si el individuo es estrictamente averso al riesgo, ello implica u00 (W ) < 0;
por lo tanto el consumo en cada uno de los estados de la naturaleza es el
mismo,
W ¡ L + (1 ¡ ¼)q = W ¡ ¼q
Por lo tanto la cantidad de prima de riesgo que va a contratar un individuo
es,
q¤ = L
el consumidor se asegurará perfectamente contra la pérdida. Si el comportamiento de un individuo afectara a la probabilidad, el seguro no sería
completo, pues el precio que le cobrarían las empresas aseguradoras sería
superior a la probabilidad, ¼ > p(¢):
Cuando existen mercados perfectos de seguros los individuo se aseguran perfectamente, la utilidad esperada asociada a la asignación con mercado de seguros
es:
f) = pu(W ¡ ¼q) + (1 ¡ p)u(W ¡ ¼q) = u(W ¡ ¼q)
Eu(W
Como puede observarse la utilidad asociada al segundo caso supera al primero.
7.6
Ejemplos de Funciones de Utilidad
A continuación analizarmos las distintas medidas de aversión al riesgo asociadas
a distintos ejemplos de funciones de utilidad de…nidas sobre la riqueza, W :
1) Función cuadrática:
b
U (W ) = W ¡ W 2 ;
2
b>0
La función de utilidad es creciente si la primera derivada es positiva,
U 0 (W ) = 1 ¡ bW
CAPÍTULO 7. AVERSIÓN AL RIESGO
76
para que la utilidad sea una función creciente U 0 > 0, tiene que ocurrir que W <
1=b: Esta función de utilidad exhibe un punto de saciedad cuando el consumo
alcanza 1=b: Por lo tanto, el análisis realizado estará basado exclusivamente en
aquellos niveles de consumo en los cuales la utilidad es creciente. La segunda
derivada es negativa para los rangos de b positivos.
U 00 (W ) = ¡b
La aversión absoluta al riesgo,
RA (W ) =
b
1 ¡ bW
mientras que la tasa de variación de la aversión al riesgo ante incrementos de
riqueza (consumo cierto) es creciente.
@RA (W )
b2
=
> 0;
@W
(1 ¡ bW )2
la aversión absoluta al riesgo es creciente, lo cual implica que un activo con
riesgo es tratado como un bien inferior.
2) Función exponencial:
U (W ) = ¡e¡bW
Esta función está de…nida para valores b ¸ 0: Si b > 0 la utilidad es creciente,
cuando b = 0; la función de utilidad es constante. La primera y segunda derivada
son,
U 0 (W ) = be¡bW > 0
U 00 (W ) = ¡b2 e¡bW < 0
La aversión absoluta al riesgo es constante,
µ 2 ¡bW ¶
b e
RA (W ) = ¡ ¡ ¡bW = b
be
A (W )
= 0; lo cual signi…ca que
la variación de la aversión absoluta al riesgo es @R@W
ante un aumento de la riqueza la proporción de activos con riesgo y sin riesgo
no cambia. Esta función de utilidad está acotada superiormente por 0; es decir,
lim U (W ) = 0
W !1
3) Función aversión constante al riesgo
U (W ) =
W 1¡¾
1¡¾
la función está de…nida para valores de ¾ ¸ 0; para el resto de parámetros la
función no es cóncava por lo tanto el individuo sería amante del riesgo. Cuando
¾ = 1; la función de utilidad es lineal, por lo tanto las curvas de indiferencia son
rectas y el individuo es neutral al riesgo. A medida que incrementa ¾; aumenta
7.6. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD
77
la curvatura y la aversión al riesgo. El coe…ciente de aversión absoluta al riesgo
es,
RA (W ) =
@RA (W )
@W
¾
W
= ¡
¾
<0
W2
la aversión absoluta al riesgo es decreciente, mientras que la aversión relativa al
riesgo es constante,
RR (W ) = ¾
@RA (W )
= 0
@W
La aversión relativa al riesgo coincide con la elasticidad de sustitución de la
función de utilidad.
4) Función de Utilidad Potencial Extendida
U (W ) =
1
1
(A + BW )1¡ B
B¡1
Esta función de utilidad está bien de…nida para los siguientes parámetros,
A
B > 0; A 6= 0; y W > max[¡ B
; 0]: La primera y segunda derivada,
1
U 0 (z) = (A + Bz)¡ B
1
U 00 (z) = ¡(A + Bz)¡ B ¡1
La aversión absoluta al riesgo de esta función de utilidad es decreciente ante
variaciones del nivel de consumo cierto, o de riqueza,
1
A + BW
B
= ¡
<0
(A + BW )2
RA (W ) =
@RA (W )
@W
La aversión relativa al riesgo así como su tasa de variación están dadas por,
RR (W ) =
@RA (W )
@W
=
W
A + BW
W
(A + BW )2
ésta es creciente si A > 0; constante si A = 0 y decreciente para A < 0:
78
CAPÍTULO 7. AVERSIÓN AL RIESGO
Capítulo 8
Selección Óptima de
Cartera
8.1
Introducción
En este capítulo se responde a la pregunta planteada al principio de esta parte,
dada una estructura de activos cual es la mejor cartera que puede elegir un individuo dadas sus preferencias. El capítulo se centra en las decisiones óptimas de
los individuos a la hora de seleccionar su cartera de activos …nancieros. Para ello
supondremos que sus preferencias sobre la riqueza esperada son representables
mediante una función de utilidad esperada.
8.2
Selección de Cartera con un Activo con Riesgo
Suponga una economía en la que existen dos tipos de activos …nancieros, un
activo cierto que tiene un rendimiento Rf ; 1 y un activo con un rendimiento
e El individuo dispone de un nivel inicial de riqueza W0 ; y debe decidir
incierto R:
que cantidad de recursos invierte en el activo con riesgo. Si denotamos a ¸ 0;
la cantidad monetaria invertida en el activo incierto, la restricción de recursos
está dada por:
f = (W0 ¡ a)(1 + Rf ) + a(1 + R)
e
W
f es una variable aleatoria, pues depende del valor de R:
e La función de
donde W
f] satisface, U 0 > 0 y U 00 < 0: El problema de selección
utilidad esperada EU [W
de cartera es el siguiente:
f]
max EU [W
fag
f = (W0 ¡ a)(1 + Rf ) + a(1 + R)
e
s:a: W
1 Un activo que no depende de los estados de la naturaleza es un activo libre de riesgo.
En la realidad es di…cil econtrar activos que este completamente libres de riesgo. Incluso los
bonos del tesoro que no tienen riesgo de bancarota presentan riesgo de in‡ación o de tipos
de interés. Dado que no estamos analizando economías monetarias restringimos el análisis a
inversiones en las que los inversores tienen garantizado un tipo de interés libre de riesgo, Rf :
79
CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA
80
a¸0
Si sustituimos la restricción en la función objetivo obtenemos:
e
max EU [(W0 ¡ a)(1 + Rf ) + a(1 + R)]
fag
Simpli…cando podemos reducir el problema de optimización a la siguiente expresión:
e ¡ Rf )]
max EU [W0 (1 + Rf ) + a(R
fag
² Caso 1
Supongamos por simplicidad que Rf = 0; entonces el problema de selección de cartera se convierte en:
e
max EU [W0 + aR]
fag
La condición de primer orden asociada a este problema implica,
e ¢R
e 0 (= 0 si a > 0)
EU 0 [W0 + aR]
El signo de es debido a la restricción de no negatividad en la cantidad de
recursos invertidos en el activo incierto. La condición su…cienciente para
la existencia de un máximo depende del signo de la segunda derivada:
e ¢R
e2 0
EU 00 [W0 + aR]
e2 > 0 y por el supuesto de concavidad estricta de la función
dado que R
de utilidad U 00 < 0; la condición de segundo orden se cumple, por lo tanto
existe un máximo. A continuación se analiza con detalle la existencia de
soluciones de esquina en la que no se invierte nada en el activo con riesgo.
Si a = 0; entonces
e<0
EU 0 [W0 ]R
e <0
U 0 (W0 ) ¢ E[R]
Dado que la función de utilidad es estrictamente creciente en la renta,
e < 0:
U 0 (W0 ); para que se cumpla esta desigualdad debe darse que E[R]
Por lo tanto si el rendimiento esperado es negativo una persona aversa al
riesgo no invertirá nada en activos con riesgo.
Si a > 0; entonces
e ¢R
e=0
EU 0 [W0 + aR]
si el individuo tiene una cantidad positiva de activos con riesgo es debido
e ¸ 0:
a que el rendimiento esperado es no negativo, es decir E[R]
² Caso 2
Ahora supongamos que Rf > 0; y que no existe ninguna restricción en el
nivel de activos, a: La condición de primer orden respecto a el activo con
riesgo es:
e ¡ Rf )] ¢ (R
e ¡ Rf ) 0 (= 0 si a 6= 0)
EU 0 [W0 (1 + Rf ) + a(R
La condición de su…ciencia para un máximo está dada por la segunda
derivada:
8.2. SELECCIÓN DE CARTERA CON UN ACTIVO CON RIESGO
81
e ¡ Rf )] ¢ (R
e ¡ Rf )2 < 0
EU 00 [W0 (1 + Rf ) + a(R
e ¡ Rf )2 > 0 y que U 00 < 0; la condición de segundo orden
dado que (R
garantiza la existencia de un máximo. Si a = 0; entonces
e ¡ Rf ) < 0
EU 0 [W0 (1 + Rf )] ¢ (R
e ¡ Rf ] < 0
U 0 (W0 (1 + Rf )) ¢ E[R
Dado que U 0 (W0 ); para que se cumpla la desigualdad es necesario que
e
E[R¡R
f ] < 0: Esto signi…ca que si la prima de riesgo esperada es negativa
una persona aversa al riesgo no invertirá cantidades positivas en el activo
con riesgo sino que venderá, a < 0:
e
Si E[R¡R
f ] > 0; la prima de riesgo esperada es no negativa por lo tanto los
individuos mantendrán cantidades positivas del activo con riesgo, a > 0.
Entonces la condición de primer orden se cumple con estricta igualdad:
f] ¢ (R
e ¡ Rf ) = 0
EU 0 [W
De…nición (Prima de riesgo): La prima de riesgo de un activo se dee o el rendimiento esperado menos el
…ne como su rendimiento esperado, E[R];
e ¡ Rf :
rendimiento libre de riesgo E[R]
Si un agente es neutral al riesgo, u00 = 0 y la prima de riesgo del activo
e ¡ Rf ) = 0; entonces el agente es indiferente frente a todas
incierto es cero, (R
las carteras posibles:
e ¡ Rf )] ¢ (R
e ¡ Rf )
EU 0 [W0 (1 + Rf ) + a(R
0
es decir, cualquier cartera a cumple la condición de primer orden. En cambio
e ¡ Rf ) 6= 0; los agentes comprarán
si la prima de riesgo es distinta de cero, (R
el activo incierto si la prima de riesgo es alta y venderáan si la prima de riesgo
es negativa. Para ello es necesario que existan restricciones en el signo de la
riqueza.
Si el agente es estrictamente averso al riesgo, entonces la cartera óptima es
única y el signo de a depende de la prima de riesgo del activo incierto.
Proposición: Si un agente es averso al riesgo u00 < 0, entonces la inversión
óptima en activos con riesgo es estrictamente positiva, cero o estrictamente
negativa si la prima del riesgo del activo incierto es estrictamente positiva, cero
o estrictamente negativa.
Ejemplo: Veamos el siguiente ejemplo que utiliza una función de utilidad
cuadrática y permite obtener un solución analítica del problema de selección de
cartera. Sea:
u(w) = ¡(® ¡ W )2
® > W:
La condición de primer orden del problema de selección de cartera para una
solución interior, a 6= 0 implica:
³
´
e ¡ Rf ) (R
e ¡ Rf )] = 0;
EU 0 [ W0 (1 + Rf ) + a(R
evaluando esta expresión para el caso de la función de utilidad cuadrática obtenemos:
³
´
e ¡ Rf ) ¢ (R
e ¡ Rf )] = 0
E[ ® ¡ W0 (1 + Rf ) ¡ a(R
82
CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA
desarrollando el operador esperanza obtenemos:
i
h
e ¡ Rf ) = aE (R
e ¡ Rf )2
(® ¡ W0 (1 + Rf )) (R
dado que la de…nición de varianza de una variable aleatoria x es, V ar(x) =
E(x2 ) ¡ E(x)2 : Por lo tanto la cantidad óptima de renta invertida en el activo
incierto es:
e ¡ Rf )
(® ¡ W0 (1 + Rf )) (R
a¤ =
e ¡ Rf ) + (R
e ¡ Rf )2
V ar(R
Como puede observarse si la prima de riesgo es cero, entonces la fracción de
renta invertida en el activo incierto es cero.
A partir de la anterior proposición podemos evaluar por un argumento de
continuidad la evolución de la fracción de riqueza invertida en el activo incierto,
de forma que podremos a…rmar que si la prima de riesgo es pequeña, entonces
la cantidad invertida en el activo incierto será pequeña también. No sólo esto
e ¡ Rf ; e inversino que es aproximadamente proporcional a la prima de riesgo R
samente proporcional al coe…ciente de aversión absoluta al riesgo y a la varianza
del activo con riesgo.
Proposición: Si la prima de riesgo es pequeña, entonces la inversión óptima
en el activo incierto de una agente estrictamente averso al riesgo es aproximadamente:
e ¡ Rf
R
a'
e A (W (1 + Rf ))
var(R)R
Ejemplo: A partir de la función de utilidad cuadrática utilizada en el anterior ejemplo podemos calcular el coe…ciente de aversión absoluta al riesgo:
RA (W (1 + Rf )) =
1
:
(® ¡ W (1 + Rf ))
Sustituyendo en la anterior expresión obtenemos:
a=
e ¡ Rf )
(® ¡ W (1 + Rf ))(R
:
e
var(R)
Esta expresión es similar a la anterior, pero no tiene en cuenta el término de
e ¡ Rf )2 :
segundo orden en el denominador, (R
8.3
Estática Comparada
Es interesante analizar como varía la cartera óptima de un agente ante cambios
en el nivel de riqueza (W ), del rendimiento libre de riesgo (Rf ); o el rendimiento
e
esperado del activo incierto (R):
8.3.1
Nivel de Riqueza
Si la cantidad total invertida en el activo incierto aumenta, disminuye o se
mantiene constante ante incrementos de riqueza esto depende del efecto de la
riqueza en la aversión absoluta al riesgo. Por lo tanto la aversión absoluta
al riesgo me indica como varía la demanda de activos de un individuo ante
8.3. ESTÁTICA COMPARADA
83
variaciones del nivel de riqueza. Ello permite ver si el individuo trata estos
activos como un bien inferior o un bien normal, a medida que su nivel de riqueza
aumenta.
Proposición: Si un agente es estrictamente averso al riesgo u00 < 0; y la
e ¡ Rf ) > 0; entonces si:
prima de riesgo es positiva, (R
² Aversión absoluta al riesgo decreciente:
@RA (w)
@a
< 0; 8w )
> 0; 8w
@w
@w
Implica que a medida que incrementa el nivel de riqueza mi aversión al
riesgo disminuye, por lo tanto mi proporción de activos con riesgo aumenta
más que proporcionalmente. Los activos con riesgo se consideran como un
bien normal.
² Aversión absoluta al riesgo constante:
@RA (w)
@a
= 0; 8w )
= 0; 8w
@w
@w
Implica que a medida que incrementa el nivel de riqueza mi aversión al
riesgo permanece constante, por lo tanto mi proporción de activos con
riesgo respecto a los activos sin riesgo no varía, es decir mantengo la
misma proporción.
² Aversión absoluta al riesgo creciente:
@RA (w)
@a
> 0; 8w )
< 0; 8w
@w
@w
Implica que a medida que incrementa el nivel de riqueza mi aversión al
riesgo aumenta, por lo tanto mi proporción de activos con riesgo disminuye a medida que aumenta mi riqueza menos que proporcionalmente. Los
activos con riesgo se consideran un bien inferior.
Hasta ahora hemos comparado la demanda de activos inciertos ante cambios
en el nivel de riqueza utilizando la aversión absoluta al riesgo. Podemos realizar
un análisis similar con la aversión relativa al riesgo, esto permite compararla
con la elasticidad demanda de activos con la renta,
´=
da a
¢
dw w
² Aversión relativa al riesgo decreciente:
@RR (w)
@a
< 0; 8w )
> 0; 8w
@w
@w
Si la aversión relativa al riesgo es decreciente entonces la elasticidad demanda
de activos es mayor que la unidad ´ > 1. Esto signi…ca que el individuo a medida
que se hace más rico en proporción al premio que obtiene, es menos averso al
riesgo, por lo tanto estará dispuesto a comprar más activos con riesgo.
CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA
84
² Aversión relativa al riesgo constante:
@RR (w)
@a
= 0; 8w )
= 0; 8w
@w
@w
Si la aversión relativa al riesgo es constante la elasticidad demanda es la
unidad ´ = 1: Esto signi…ca que a medida que un individuo se hace más rico
mantiene la misma proporción en activos con riesgo que en activos sin riesgo. La
fracción de activos con riesgo ante variaciones de la renta se mantiene constante.
² Aversión relativa al riesgo creciente:
@a
@RR (w)
> 0; 8w )
< 0; 8w
@w
@w
Si la aversión relativa al riesgo es creciente, el individuo a medida que aumenta su nivel de riqueza está dispuesto a invertir menos en activos que sean
proporcionales a su nivel de riqueza, por lo tanto la fracción de activos con riesgo
será menor que el incremento de riqueza, siendo la elastividad asociada ´ < 1:
8.3.2
Rendimiento Libre de Riesgo
Si el rendimiento libre de riesgo Rf aumenta, entonces al activo cierto será más
atractivo y el activo incierto será menos atractivo. Por lo tanto si un agente
posee cantidades no negativas del activo cierto verá incrementar su nivel de
riqueza, debido al incremento del rendimiento libre de riesgo. Por lo tanto ante
el incremento de renta se producen efectos renta y efectos sustitución como
en la teoría micoeconómica estandar. Enunciamos sin demostrar la siguiente
proposición:
Proposición: Si un individuo es averso al riesgo u00 < 0 entonces si:
1.
@RA (w)
@w
> 0:
e ¡ Rf ) > 0:
2. (R
3. Si la cantidad invertida en Rf es positiva,
Entonces la cantidad de renta invertida en el activo incierto es estrictamente
decreciente en Rf :
Desafortunadamente no podemos decir nada si la aversión absoluta al riesgo
es decreciente, para ello es necesario conocer la distribución de probabilidades
y la función de utilidad en concreto.
8.3.3
Volatilidad
En principio cabría esperar que la inversión en un activo con riesgo disminuiría
si su rendimiento se vuelve más volátil a pesar de que su rendimiento esperado
no cambie. Este sería el caso de la función de utilidad cuadrática donde la
cantidad invertida en el activo incierto depende negativamente de la varianza,
por lo tanto un aumento de la volatilidad (no afectará el rendimiento esperado)
reducirá a: A pesar de ello esto no tiene por qué ser cierto para casos más
generales de funciones de utilidad estrictamente cóncavas.
8.4. SELECCIÓN DE CARTERA CON MULTIPLES ACTIVOS
85
f) = ln W
f; el número de estados
Ejemplo: Si la función de utilidad es u(W
de la naturaleza es S = 2; y la probabilidad del estado 1 es p 2 (0; 1): ¿Calcule
la cantidad de renta que se invertirá en el activo incierto?
El problema que soluciona el consumidor es el siguiente:
f]
max E ln[W
fag
s:a:
f = W0 (1 + Rf ) + a(R
e ¡ Rf )
W
Dado que el número de estados de la naturaleza es 2 podemos reescribir con
pocas complicaciones la función de utilidad esperada.
h
i
h
i
e1 ¡ Rf ) + (1 ¡ p) ln W0 (1 + Rf ) + a(R
e2 ¡ Rf )
max p ln W0 (1 + Rf ) + a(R
a
e1 denota el rendimiento del activo incierto en el estado 1 y R
e2 en el
donde R
estado 2. La condición de primer orden de este problema cumple:
e 1 ¡ Rf )
e2 ¡ Rf )
p(R
(1 ¡ p)(R
+
=0
e1 ¡ Rf ) W0 (1 + Rf ) + a(R
e2 ¡ Rf )
W0 (1 + Rf ) + a(R
aislando a obtenemos:
e2 ¡ Rf )
e2 )
W0 (1 + Rf ) + a(R
(1 ¡ p)(Rf ¡ R
=
e
e
W0 (1 + Rf ) + a(R1 ¡ Rf )
p(R1 ¡ Rf )
para simpli…car de…nimos A =
aislar a :
a=
e 2)
(1¡p)(Rf ¡R
e 1 ¡Rf ) :
p(R
Para obtener la solución basta con
(A ¡ 1)W0 Rf
e
e1 ¡ Rf )
(R2 ¡ Rf ) ¡ A(R
En vez de considerar a a como la cantidad monetaria invertida en el activo
incierto, podemos pensar en ella como la fracción de riqueza total invertida en el
activo incierto. Bajo este concepto la restricción presupuestaria puede escribirse
de la siguiente forma:
h
i
f = W0 (1 ¡ a)(1 + R)
e + a(1 + Rf )
W
Comparando ambas restricciones es fácil determinar que a = aW0 : Sustituyendo
este valor en:
f = W0 (1 + Rf ) + aW0 (R
e ¡ Rf )
W
8.4
Selección de Cartera con Multiples Activos
A continuación se analiza el caso en el cual el individuo debe componer una
cartera en la cual existe más de un activo con riesgo, supondremos que existen
ei es
N activos inciertos. Sea ai como la cantidad de activos de tipo \i"; y R
el rendimiento del activo \i": De esta forma la cantidad total de activos donde invertir es N + 1: La restricción presupuestaria está dada por la siguiente
expresión:
XN
XN
f = (W0 ¡
ei )
W
ai )(1 + Rf ) +
ai (1 + R
i=1
i=1
CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA
86
Esta restricción puede reescribirse de la siguiente forma:
f = W0 (1 + Rf ) +
W
XN
i=1
ei ¡ Rf )
ai (R
El nuevo problema de elección de cartera, una vez se sustituye la restricción en
la función objetivo es el siguiente:
max
fa1 ;:::;aN g
EU [W0 (1 + Rf ) +
XN
i=1
ei ¡ Rf )]
ai (R
diferenciando respecto a ai se obtiene la condición de primer orden:
f] ¢ (R
e i ¡ Rf )
EU 0 [W
0
(= 0 si ai > 0)
ei ¡Rf ) >
Esta expresión es análoga a la del apartado anterior, siempre que (R
i
0 la solución será interior, por lo tanto a > 0; para todo \i": Desarrollando el
producto en la condición de primer orden se obtiene:
f] ¢ R
ei = EU 0 [W
f] ¢ Rf
EU 0 [W
utilizando la fórmula de la esperanza de dos variables aleatórias2 , se obtiene:
f] ¢ E R
ei + cov(U 0 [W
f]; R
ei ) = EU 0 [W
f] ¢ Rf
EU 0 [W
i
ei ; se deriva la
aislando el rendimiento esperado del activo con riesgo, R = E R
siguiente expresión:
f]; R
ei )
cov(U 0 [W
i
R = Rf ¡
f]
EU 0 [W
El rendimiento esperado de un activo cualquiera puede expresarse como la
suma de dos componentes: el rendimiento libre de riesgo y la prima de riesgo.
Analicemos los dos casos posibles:
f; R
ei ) > 0; dado que la aversión al riesgo implica utilidad
1) Si cov(W
marginal decreciente de la riqueza a medida que esta aumenta, por
lo tanto el activo estará correlacionado negativamente con la utilidad
f]; R
ei ) < 0: Un activo de este tipo deberá tener
marginal, cov(U 0 [W
un rendimiento esperado de mercado superior a Rf ; para compensar
su mayor riesgo.
f; R
ei ) < 0; implica que cov(U 0 [W
f ]; R
ei ) > 0: El rendi2) Si cov(W
miento esperado de este activo es menor que la tasa libre de riesgo.
Intuitivamente, un activo correlacionado negativamente con la riqueza es muy valioso para reducir el riesgo. Por lo tanto la gente
estará dispuesta a sacri…car rendimiento esperado con …n de tener
un activo de este tipo.
2 Recuerde
que la esperanza de dos variables aleatórias X; Y es:
E(X; Y ) = E(X) ¢ E(Y ) + cov(X; Y )
lo que es equivalente a:
E(X) ¢ E(Y ) = E(X; Y ) ¡ cov(X; Y )