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11
Triángulos
1
2
3
4
Construcción de triángulos
Medianas y alturas de un triángulo
Mediatrices y bisectrices de un triángulo
Teorema de Pitágoras
¿Has hecho alguna vez una construcción con varillas de metal? ¿Has intentado
hacer un cuadrado?; si tiras de sus vértices, verás que se deforma. Sin embargo,
esto no ocurre en el triángulo.
El triángulo es un polígono que tiene una estructura indeformable. Si te fijas en
la estructura de muchos puentes, en una torre, en una grúa o en un andamio, te
darás cuenta de que las formas poligonales de más de tres lados contienen segmentos que las dividen en triángulos para que no se puedan deformar.
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1
Construcción de triángulos
piensa y calcula
CARNÉ CALCULISTA
925,67 : 6,04
Atendiendo a los datos, ¿se pueden dibujar los siguientes triángulos? Justifica
la respuesta.
a) Tres lados cuyas longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm
b) Un lado de 8 cm y dos ángulos que están junto a él, de 60° y 120°
1.1 Construcción de triángulos
Para construir triángulos basta con conocer algunos datos. Se estudian tres casos:
a) Construir un triángulo conocidos los tres lados
Suma de los ángulos
de un triángulo
Para poder construir un triángulo con tres lados conocidos, la longitud
del lado mayor debe medir menos que la suma de los otros dos lados.
La suma de los tres ángulos de
un triángulo es 180°
B
b
N
C
C
doblar
M
A
a
N
b
c
doblar
M
cm
a = 3 cm
B
C
b
B
a = 3 cm
C
cm
m
c
,5
=2
2c
b
2,5
N
A
c=
a
C
cm
A
Dibuja el triángulo de lados: a = 3 cm, b = 2,5 cm y c = 2 cm
c=2
M
1
cm
c
2,5
A
a
EJERCICIO RESUELTO
b=
M
b=
doblar
Se dibuja el segmento que representa al lado a. Sobre los extremos, que son
dos vértices, se dibujan arcos de circunferencia con radios iguales a la longitud del lado b y del lado c, respectivamente. El punto de intersección es el
otro vértice.
B
a = 3 cm
b) Construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman
Se dibuja el segmento que representa el lado a. Desde un extremo, que es el
vértice C del triángulo, se levanta el ángulo conocido. Se lleva el lado b sobre
este lado del ángulo y se unen los extremos de los lados a y b
EJERCICIO RESUELTO
N
2
Dibuja el triángulo de lados: a = 5 cm, b = 3 cm y ángulo C = 40°
A
3
b=
C
cm
3
b=
40°
a = 5 cm
B
C
cm
40°
a = 5 cm
B
c) Construir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos
Para construir un triángulo con un lado y los ángulos contiguos conocidos,
se debe cumplir que la suma de los dos ángulos sea menor que 180°
Se dibuja el segmento que representa al lado a. Desde sus extremos, que son
dos vértices del triángulo, se levantan los ángulos conocidos. El punto de
intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice.
202
BLOQUE II: Geometría
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EJERCICIO RESUELTO
3
Dibuja un triángulo de lado a = 4 cm y ángulos B = 70° y C = 50°
A
Clasificación
de los triángulos
a) Según sus lados:
Equilátero
70°
50°
C
a = 4 cm
B
C
70°
50°
a = 4 cm
B
1.2 Igualdad de triángulos
Isósceles
Dos triángulos son iguales si los lados y los ángulos de uno son iguales, respectivamente, a los del otro.
EJEMPLO
Escaleno
B
b) Según sus ángulos:
c
a = a′
b = b′
c = c′
A = A′
B = B′
C = C′
B′
A
a
a′
c′
b
C
A′
b′
Acutángulo
C′
En la práctica, para saber si dos triángulos son iguales no se necesita comparar los tres lados y los tres ángulos. De la construcción de triángulos se deducen los siguientes criterios de igualdad de triángulos:
Rectángulo
a) Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados respectivamente iguales.
Obtusángulo
b) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente iguales.
c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los dos ángulos contiguos
respectivamente iguales.
aplica la teoría
1
Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 4,4 cm,
b = 3,1 cm y c = 2,5 cm
2
¿Es posible dibujar un triángulo cuyos lados sean
12 cm, 4 cm y 6 cm? Justifica tu respuesta.
3
Construye un triángulo cuyos lados sean a = 4,4 cm
y b = 2,8 cm, y el ángulo comprendido entre ellos
C = 72°
4
Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos
B = 70°, C = 80°, y el lado a = 2,5 cm
5
¿Es posible dibujar un triángulo con los ángulos
A = 120° y C = 70° y el lado b = 5 cm? Justifica
tu respuesta.
6
Si tienes dos triángulos isósceles que son rectángulos, ¿puedes decir que son iguales? Justifica tu
respuesta.
11. Triángulos
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203
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2
Medianas y alturas de un triángulo
CARNÉ CALCULISTA
(
3 – 7 1 + 5
4 2 2 6
piensa y calcula
)
Mide los segmentos AG y GA′ en los triángulos de la figura. Expresa la relación que existe entre ellos.
B
G
B
A′
A′
G
A′
Baricentro: G
A
C
B′
B
A′
G
C′
C
B′
A
C
2.1 Medianas de un triángulo
B
C′
A
C
A
Una mediana de un triángulo es el segmento que va desde un vértice al
punto medio del lado opuesto.
El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Se representa con
la letra G
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, de forma que uno
es el doble que el otro, es decir, el segmento que tiene como extremos el
vértice y el baricentro mide el doble que el segmento cuyos extremos son
el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
AG = 2 · GA′
BG = 2 · GB′
CG = 2 · GC′
El baricentro está siempre situado en el interior del triángulo y es su centro
de gravedad. Si se sujeta un triángulo rígido por el baricentro, el triángulo se
mantiene en equilibrio.
EJERCICIO RESUELTO
4
Calcula la distancia a la que está el baricentro G del vértice C y del
punto medio C′ del lado c
B
C′
CC′ = 6 cm
G
A
C
La distancia CG = 2 · 6 = 4 cm
3
La distancia GC′ = 1 · 6 = 2 cm
3
204
BLOQUE II: Geometría
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2.2 Alturas de un triángulo
La altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde el vértice al
lado opuesto o a su prolongación.
El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas.
Observa que una altura es perpendicular al lado, pero que esta puede caer
fuera del triángulo.
Triángulo
Acutángulo
Rectángulo
En el interior del triángulo:
En el vértice del ángulo recto:
B
B
Posición
del
ortocentro
Obtusángulo
En el exterior del triángulo:
B
C
A
O: Ortocentro
A
C
A
O: Ortocentro
C
O: Ortocentro
En un triángulo rectángulo
dos alturas coinciden con los
catetos.
aplica la teoría
7
Construye un triángulo cuyos lados sean a = 6 cm,
b = 4 cm y c = 3 cm. Dibuja en él las tres medianas y señala el baricentro. Comprueba midiendo
que el baricentro divide a las medianas en dos
segmentos y que uno es el doble del otro.
8
Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3,2 cm y
4,5 cm y en él las medianas y el baricentro. Mide
los segmentos de cada mediana. ¿Qué deduces?
9
Construye un triángulo de lados 4,5 cm, 3,8 cm
y 3 cm. Dibuja las alturas y señala el ortocentro.
10
Construye un triángulo de lados 5 cm, 4 cm y
3 cm, y dibuja sus alturas. Señala el ortocentro y
estudia su posición.
11
De un triángulo se sabe que el lado a mide 3 cm
y que la mediana que va desde el vértice A al
lado a mide 3,5 cm. Con estas condiciones dibuja un triángulo:
a) Acutángulo.
b) Isósceles.
c) Obtusángulo.
11. Triángulos
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205
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3
Mediatrices y bisectrices de un triángulo
piensa y calcula
CARNÉ CALCULISTA
720 000 : 190
El triángulo de la figura es equilátero. ¿Cómo se llama el segmento AM?
¿Cuánto miden los ángulos dibujados?
A
C
B
M
3.1 Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento por
su punto medio.
Para trazar la mediatriz de un segmento AB se sigue el procedimiento:
P
P
A
P
A
B
A
B
B
Mediatriz
Q
PA
PB
B
A
Q
b) Con centro en A y en B,
se dibujan unos arcos que se
cortan en los puntos P y Q
c) La mediatriz es la recta
que une los puntos P y Q
Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento:
PA = PB y QA = QB
QB
QA
a) Se toma una abertura del
compás mayor que la mitad
del segmento.
Q
3.2 Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos
ángulos iguales.
Para trazar la bisectriz de un ángulo se sigue el procedimiento:
B
O
B
A
a) Se dibuja un arco con centro en el vértice O del ángulo.
El arco corta a los lados del
ángulo en los puntos A y B
Q
d
P
d
O
206
R
O
B
P
A
b) Con centro en A y B, se
trazan dos arcos del mismo
radio que se cortan en el
punto P
O
P
A
c) La bisectriz del ángulo es
la semirrecta que tiene como
origen O y pasa por P
La bisectriz de un ángulo se puede definir como la semirrecta cuyos puntos
equidistan de las semirrectas que forman los lados del ángulo.
Fíjate que la distancia de un punto P a un lado es la longitud del segmento perpendicular al lado que tiene como extremos P y un punto Q del lado:
PQ = PR
BLOQUE II: Geometría
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3.3 Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados.
El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de las tres mediatrices. Está a la misma distancia de los tres vértices.
La circunferencia circunscrita al triángulo es la que tiene como centro el
circuncentro y como radio la distancia del centro a uno de los vértices.
Triángulo
Acutángulo
Rectángulo
En el interior del triángulo:
Obtusángulo
En el centro de la hipotenusa:
En el exterior del triángulo:
B
B
Posición
del
circuncentro
R
R
O: Circuncentro
O: Circuncentro
A
C
Circunferencia circunscrita
B
C
A
Circunferencia circunscrita
R
O: Circuncentro
A
C
Circunferencia circunscrita
3.4 Bisectrices de un triángulo
B
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos.
El incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres bisectrices. Está a la misma distancia de los tres lados del triángulo.
La circunferencia inscrita en un triángulo es la que tiene como centro el
incentro y como radio la distancia del centro al lado.
R
R
O: Incentro
A
R
Circunferencia inscrita
C
aplica la teoría
12
13
14
15
Dibuja un segmento de 5 cm de longitud y traza su mediatriz. Comprueba midiendo que un
punto de la mediatriz equidista de los extremos
del segmento.
Dibuja un ángulo agudo y traza su bisectriz.
Comprueba midiendo que un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
Dibuja un triángulo de lados 4,5 cm, 3,5 cm y
3 cm. Dibuja el circuncentro y la circunferencia
circunscrita.
¿Cuál es el número mínimo de mediatrices que
hay que trazar para hallar el circuncentro?
16
Dibuja un triángulo rectángulo y su circunferencia circunscrita. ¿Dónde está el circuncentro?
17
Construye un triángulo cuyos lados midan 3,5 cm,
2,5 cm y 2 cm. Dibuja el incentro y la circunferencia inscrita.
18
Dibuja un triángulo equilátero. ¿Cómo son las
bisectrices y las mediatrices? Dibuja la circunferencia circunscrita y la inscrita.
19
Dibuja un triángulo rectángulo isósceles cuyos
catetos midan 4 cm. Dibuja las circunferencias
inscrita y circunscrita.
11. Triángulos
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207
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4
Teorema de Pitágoras
piensa y calcula
CARNÉ CALCULISTA
2· 9 – 1 : 3
5 2 2 2
Cuenta los cuadraditos y expresa la relación que existe entre los lados de cada
triángulo rectángulo.
C
C
4 5
A
3
8 10
B
A
6
B
4.1 El teorema de Pitágoras
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.
B
a:
a
us
ten
po
c: cateto
hi
A
C
b: cateto
Los lados de un triángulo rectángulo se llaman:
• Catetos: los lados que forman el ángulo recto.
• Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto.
Fíjate que la hipotenusa siempre es mayor que los catetos.
Un triángulo rectángulo es isósceles cuando tiene los dos catetos iguales.
El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c 2
La interpretación geométrica del teorema de Pitágoras es que el área del
cuadrado que se construye sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados que se construyen sobre los catetos.
C
3
A
5
4
B
25 = 16 + 9
52 = 42 + 32
4.2 Ternas pitagóricas
EJEMPLO
3, 4 y 5 ⇒ 3 + 4 = 5 ⇒
9 + 16 = 25
2
208
2
2
Una terna pitagórica son tres números naturales que verifican el teorema
de Pitágoras. Así, dados tres números, forman un triángulo rectángulo si
el cuadrado del mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
BLOQUE II: Geometría
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4.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
■ Calcular la hipotenusa, conocidos los catetos
Se escribe: la hipotenusa al cuadrado igual a un cateto al cuadrado más
otro cateto al cuadrado.
a2 = b2 + c2
B
5
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 3,6 m y 4,8 m
a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 3,62 + 4,82 = 12,96 + 23,04 = 36
c = 4,8 m
EJERCICIO RESUELTO
a
a = √36 = 6 m
–
√
A
( 3.6 x 2 + 4.8 x 2 ) = 6
b = 3,6 m
C
■ Calcular un cateto, conocidos la hipotenusa y el otro cateto
Se escribe: un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado igual a la
hipotenusa al cuadrado.
b2 + c2 = a2
EJERCICIO RESUELTO
c
m
b2 + c2 = a2 ⇒ 12 + c2 = 2,52 ⇒ 1 + c2 = 6,25 ⇒ c2 = 5,25
c = √5,25 = 2,29 m
–
√
2,5
¿A qué altura se llega con una escalera de 2,5 m si se coloca la base a
1 m de la pared?
a=
6
b=1m
( 2.5 x 2 − 1 x 2 ) = 2,29
aplica la teoría
Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 7 cm
21
Halla la longitud de un cateto de un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m y el otro
cateto 9 m
22
Comprueba cuáles de las siguientes ternas de longitudes forman triángulo rectángulo:
a) 3 cm, 4 cm y 5 cm
b) 6 m, 8 m y 10 m
c) 9 dam, 12 dam y 15 dam
d) 5 mm, 6 mm y 7 mm
23
En un triángulo rectángulo isósceles, calcula la longitud de la hipotenusa si los catetos miden 4 dam
24
Halla la diagonal de un cuadrado de lado 6 m
25
Calcula la altura de un triángulo equilátero de
4 cm de lado.
26
Un poste de madera tiene 8 m de altura y se quiere sujetar con tres cables que van desde el extremo
superior a un punto del suelo que dista de la base
del poste 3 m. ¿Qué longitud de cable se necesita?
8m
20
3m
11. Triángulos
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209
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Ejercicios y problemas resueltos
EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
7
B
Dibuja un triángulo rectángulo de
catetos b = 4,2 cm y c = 5,6 cm, y
calcula su hipotenusa.
a2 = b2 + c 2
a2 = 4,22 + 5,62 = 17,64 + 31,36 = 49
a
c = 5,6 cm
a = √49 = 7 cm
90°
A
8
Dibuja un triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es a = 6 cm, el cateto b = 3,6 cm. Calcula la longitud
del otro cateto.
C
b = 4,2 cm
B
b2 + c 2 = a2
a = 6 cm
c
3,62 + c 2 = 62 ⇒ 12,96 + c 2 = 36 ⇒ c 2 = 23,04
c = √23,04 = 4,8 cm
90°
A
b = 3,6 cm
C
PROBLEMAS DE APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
9
Calcula la longitud de una cinta
transportadora en rampa que
avanza 32 m en horizontal y asciende 24 m en vertical.
Entérate
Una cinta transportadora que:
• Avanza en horizontal 32 m
• Sube verticalmente 24 m
Pregunta: Halla la longitud de la cinta.
Manos a la obra
B
a
A
b = 32 m
c = 24 m
C
a2 = b2 + c 2
a2 = 322 + 242 = 1 024 + 576 = 1 600
a = √1 600 = 40
Solución
La cinta transportadora mide 40 m
210
BLOQUE II: Geometría
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10
Un carpintero hace marcos rectangulares de madera para ventanas.
Para que el marco no se deforme les
pone en la diagonal un listón de
madera de 2 m de largo. Si el alto
del marco mide 1,2 m, ¿cuánto
mide de largo?
Entérate
La diagonal del marco mide 2 m
El alto del marco mide 1,2 m
Pregunta: ¿Cuánto mide el largo?
Manos a la obra
B
C
d=2m
A
c = 1,2 m
D
b
b2 + c 2 = d 2
b2 + 1,22 = 22 ⇒ b2 + 1,44 = 4 ⇒ b2 = 2,56
b = √2,56 = 1,6
Solución
El largo del marco mide 1,6 m
11
Calcula la altura en el trapecio siguiente:
Entérate
b = 10 cm
b = 10 cm
h
B = 34 cm
c = 12 cm
c = 34 – 10 = 12 cm
2
l = 15 cm
h
l = 15 cm
c = 12 cm
Pregunta: ¿Cuánto mide la altura h?
Manos a la obra
h2 + c 2 = l 2
h 2 + 12 2 = 15 2 ⇒ h 2 + 144 = 225 ⇒ h 2 = 81
h = √81 = 9
Solución
La altura mide 9 cm
12
Calcula la altura de un triángulo
equilátero de 4 cm de lado. Redondea el resultado a un decimal.
Entérate
Triángulo equilátero de 4 cm de lado.
Pregunta: ¿Cuánto mide la altura del triángulo?
Manos a la obra
()
B
h
A
l = 4 cm
90°
D l
= 2 cm
2
2
h2 + l = l 2
2
2
h + 22 = 42 ⇒ h2 + 4 = 16 ⇒ h2 = 12
h = √12 = 3,5
C
Solución
La altura mide 3,5 cm
11. Triángulos
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211
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Ejercicios y problemas propuestos
resueltos
1|Construcción de triángulos
27
28
Construye un triángulo cuyos lados midan
a = 45 mm, b = 36 mm y c = 33 mm
Nos han dado las siguientes tablillas para formar un triángulo. ¿Puedes hacerlo?
39
Dibuja un segmento de 3,5 cm y traza su
mediatriz con regla y compás.
40
Dibuja un segmento de 3,2 cm y traza su
mediatriz usando solo las reglas.
41
Dibuja un ángulo agudo de 40° y traza su
bisectriz con regla y compás.
29
Construye un triángulo cuyos lados sean
a = 4 cm y b = 3 cm y el ángulo comprendido
entre ellos C = 65°
42
Construye el triángulo de lados 3 cm, 4 cm y
4,5 cm y dibuja las mediatrices y la circunferencia circunscrita.
30
Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos, B = 65°, C = 70°, y el lado a = 2,5 cm.
¿De qué tipo es el triángulo?
43
31
¿Son iguales dos triángulos que tienen iguales
sus ángulos? Justifica tu respuesta.
32
Construye un triángulo como el de la figura
utilizando el transportador y la regla.
Señala dónde está el circuncentro y dibuja la
circunferencia circunscrita en los siguientes
casos:
a) Triángulo acutángulo.
b) Triángulo rectángulo.
c) Triángulo obtusángulo.
44
Construye un triángulo cuyos lados midan
55 mm, 41 mm y 38 mm. Dibuja el incentro
y la circunferencia inscrita.
45
Dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo
agudo de 30°. Dibuja la circunferencia inscrita.
33
34
Construye un triángulo con los ángulos A = 35°
y C = 100° y el lado b = 3 cm. ¿De qué tipo es
el triángulo?
35
4|Teorema de Pitágoras
46
Calcula la longitud de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden:
a) 6 cm y 8 cm
b) 12 mm y 16 mm
c) 5 m y 10 m
d) 7 dm y 7 dm
47
Halla la longitud de los catetos:
Dibuja un triángulo rectángulo que tenga
una hipotenusa de 3 cm y un ángulo de 60°
2|Medianas y alturas de un triángulo
36
Construye un triángulo rectángulo de forma
que la altura sobre la hipotenusa coincida con
la mediana.
37
Construye un triángulo de lados 44 mm,
36 mm y 30 mm, y dibuja las tres alturas.
38
Dibuja un triángulo obtusángulo y las tres
alturas. Señala el ortocentro.
a)
7m
b)
8 dam
4 dam
Construye un triángulo cuyos lados midan:
a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2,5 cm. Dibuja en él
las tres medianas y señala el baricentro. Comprueba midiendo que el baricentro divide a las
medianas en dos segmentos y uno es el doble
del otro.
3m
212
3|Mediatrices y bisectrices
|de un triángulo
48
Comprueba cuáles de las siguientes ternas de
longitudes forman un triángulo rectángulo:
a) 12 cm, 16 cm y 20 cm
b) 6 m, 7 m y 10 m
c) 4 dam, 5 dam y 12 dam
d) 15 mm, 20 mm y 25 mm
49
Comprueba que el triángulo de 6 cm, 4,5 cm
y 3 cm de lados no es rectángulo, y di si es
obtusángulo.
BLOQUE II: Geometría
11_matematicas1eso_2014.indd 212
29/01/15 10:28
Calcula la longitud de la diagonal del rectángulo de la figura:
52
6,5 m
4,5 m
d
51
Deseamos un toldo como el del dibujo, que
sobresalga de la pared 90 cm. Calcula la longitud, a, de la caída del toldo.
a
Calcula la longitud de la altura del triángulo
de la figura:
dm
| Para ampliar
4,5
110 cm
50
90 cm
a
2,6 dm
| Para ampliar
53
Construye un triángulo cuyos lados midan
30 mm, 35 mm y 45 mm. Mide sus ángulos
con el transportador y di cómo es el triángulo
según los ángulos.
54
Los lados de un triángulo miden 4,5 cm, 6 cm y
7,5 cm. Dibújalo y di qué tipo de triángulo es.
55
Construye un triángulo que tenga un ángulo
de 50° y que los lados que lo forman midan
4,5 cm y 2,8 cm
Construye un triángulo rectángulo que tenga
una hipotenusa de 4,2 cm y un ángulo agudo de
45°. Dibuja las medianas y señala el baricentro.
63
¿Cuánto mide el ángulo A en el dibujo?
A
58
5c
m
C
m
Construye un triángulo de lado a = 4,5 cm y
ángulos B = 30° y C = 70°. Traza las alturas
y señala el ortocentro.
57º
B
5,45 cm
Construye un triángulo isósceles de 3 cm de
lado desigual y 4 cm de lados iguales.
Construye un triángulo como el de la figura,
dibuja las bisectrices y la circunferencia inscrita.
65
Dibuja un triángulo isósceles de lado desigual
a = 2,5 cm y altura sobre el lado a de 4 cm
B
66
Calcula en cada caso el lado que falta:
a) b = 10 dm y c = 6 dm
cm
3,
8
8
3,
cm
64
A
60
62
Dibuja un triángulo que tenga un ángulo de
60°, y los lados que lo forman, 3,6 cm y 2,8 cm.
Traza las medianas y señala el baricentro.
57
59
Construye un triángulo rectángulo que tenga
un cateto que mida 4 cm, y un ángulo agudo
de 40°. Dibuja las bisectrices.
5c
56
61
5,4 cm
b) b = 12 cm y c = 16 cm
C
Construye un triángulo equilátero de 2,8 cm
de lado. Traza las mediatrices y dibuja la circunferencia circunscrita.
Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos
midan 2,8 cm y 2 cm. Dibuja la circunferencia circunscrita.
c) a = 30 dam y c = 20 dam
d) a = 10 m y b = 8 m
67
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es:
a) 3 m
b) 5 dm
c) 4,5 cm
d) 12 mm
11. Triángulos
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Ejercicios y problemas propuestos
| Problemas
Construye un triángulo del que conocemos el
lado c = 5 cm, el lado a = 3 cm y la mediana
que va desde el vértice C al lado c, que mide
4 cm
69
El perímetro de un cuadrado mide 28 m.
¿Cuánto mide la diagonal?
70
En un rectángulo de lados 4 cm y 7 cm, calcula la longitud de la diagonal.
72
Calcula la diagonal del ortoedro de la figura:
E
m
5 cm
76
C
D
7 cm
m
3c
G
5m
Sobre la construcción de una pirámide se ha
situado una grúa para arrastrar la carga. ¿Qué
longitud de cuerda se necesita para subir la
carga por la cara de la pirámide?
52 m
x
25 m
214
c
|Para profundizar
77
Dibuja un triángulo y traza una paralela a un
lado por un vértice. Justifica sobre el dibujo
que la suma de los tres ángulos de un triángulo suman 180°
78
¿Puede ser obtuso el ángulo contiguo del lado
desigual de un triángulo isósceles?
79
¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?
80
¿Cómo ha de ser un triángulo para que sus
medianas coincidan con las tres alturas?
81
¿Cómo ha de ser un triángulo para que solo
una mediana coincida con una altura?
82
Dibuja un triángulo cualquiera y encuentra
un punto que esté a la misma distancia de los
tres vértices. ¿Qué punto es?
83
Si las tres alturas de un triángulo se cortan en
un vértice, ¿qué se puede afirmar del triángulo?
84
Una mediatriz de un triángulo es paralela a
uno de los lados. ¿Cómo es el triángulo? Dibújalo. Dibuja la circunferencia circunscrita.
85
Construye un triángulo del que conocemos el
lado a = 4 cm, el lado b = 3,4 cm y la altura sobre
el lado a, que representamos por ha = 2,3 cm
2m
74
5c
b = 60 cm
12
m
Una escalera de bomberos que mide 12 m de
largo está situada en la plataforma de un
camión a 2 m de altura y a 5 m de la pared.
Calcula la altura a la que llega la escalera.
C
Un globo está sujeto a una
cuerda de 2,5 m y observamos
que se ha desplazado 60 cm
por el viento. ¿A qué altura
está el globo?
2 cm
D
d
73
A
F
B
A
B
5m
Halla mentalmente los lados de un triángulo
rectángulo sabiendo que son números enteros
consecutivos menores que 7
Calcula la longitud de los lados del triángulo
que se forma uniendo los tres vértices de un
cubo.
a = 2,
71
75
5 cm
68
BLOQUE II: Geometría
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Matematización en contextos reales
Estructuras
El triángulo es una figura indeformable. Si se construye un cuadrado con cuatro varillas se deformará.
B
C
B
4 cm
A
C
4 cm
C
B
4 cm
D
A
4 cm
4 cm
D
A
4 cm
D
Pero si se le pone una diagonal ya no puede deformarse. Este hecho se aplica en muchas ocasiones a la vida real.
B
C
4 cm
A
86
4 cm
D
El dibujo representa un entramado metálico que soporta el tejado de una nave industrial. El entramado
es simétrico y la figura FCE es un triángulo equilátero. Se sabe que la viga BF debe tener un 69,65% de
la longitud de la altura del triángulo equilátero. Calcula la longitud que deben tener las vigas BF y BG
C
B
A
G 1,37 m F
4m
D
E
bes
Comprueba lo que sa
1
2
3
4
5
6
7
8
Define circuncentro y explica su posición según el tipo de triángulo.
Construye un triángulo cuyos lados sean a = 55 mm, b = 45 mm y c = 30 mm. Dibuja
en él las tres medianas.
Construye un triángulo de lados a = 6 cm y b = 4 cm, y el ángulo comprendido entre
ellos C = 65°. Dibuja la altura sobre el lado a y mídela.
Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm, y su circunferencia inscrita.
Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
6 cm y 8 cm
Halla la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 m, y el
otro cateto, 12 m
Calcula la altura de un triángulo equilátero de 6 dm de lado.
Javier está volando una cometa sujeta por una cuerda de 26 m, y esta se encuentra sobre
un río que está a 10 m de Javier. ¿A qué altura está la cometa del suelo?
11. Triángulos
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11. Triángulos
Crea en tu carpeta personal la carpeta GG11 para guardar todos los ejercicios de esta unidad.
87
Dibuja un triángulo de lados a = 12 cm,
b = 10 cm y c = 8 cm, y calcula la amplitud de
sus ángulos.
88
Halla el baricentro de un triángulo de lados
a = 15 cm, b = 12 cm y c = 9.4 cm
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
a) Elige Opciones/Etiquetado/Solo puntos
nuevos.
b) Define tres deslizadores numéricos a, b y c
de 0 a 20 y de ancho 200 y pon los valores
del enunciado.
c) Elige
Segmento de longitud dada,
dibuja el segmento CB de longitud a. Para
cambiar el nombre del primer punto A y
ponerle C, en el menú Contextual del punto
elige Renombra.
d) Elige
Circunferencia (centro, radio),
dibuja una circunferencia de centro C y
radio b
e) Dibuja otra circunferencia de centro B y
radio c
f) Elige
Intersección y halla la intersección
de las dos circunferencias.
g) Oculta las dos circunferencias y el segmento
BC, renombra el punto de arriba como A
h) Elige
Polígono, haz clic en A, C, B y
otra vez en A para cerrarlo.
i) Muestra el valor de los lados.
j) Muestra la amplitud de los ángulos.
Geometría dinámica: interactividad
a) Introduce en la Barra de entrada los siguientes valores, cada vez uno, a = 7.25,
b = 6.4 y c = 8.45
216
a) Toma el dibujo del ejercicio anterior y guár-
dalo con el nombre Medianas
b) Oculta la medida de los lados.
c) Selecciona
Elige y mueve, haz clic dentro
de un ángulo y pulsa la tecla [Supr]
d) Introduce en la Barra de entrada los siguientes valores: a = 15, b = 12 y c = 9.4
e) Elige
Punto medio o centro y dibuja el
punto medio de cada lado haciendo clic en
cualquier punto de cada lado.
f) Elige
Segmento y traza las medianas.
g) Elige
Intersección y halla el baricentro G como intersección de dos medianas.
h) Elige
Distancia o longitud y mide todos
los segmentos de las medianas.
i) Selecciona
Elige y mueve, haz clic en
la medida de uno de los segmentos, y en la
Barra de estilo elige sin color de fondo,
color azul y negrita.
j) Elige
Copiar estilo visual, haz clic en la
medida que has modificado el estilo y luego
en cada una de los demás.
k) Comprueba que uno de los dos segmentos
de cada mediana es el doble que el otro.
Geometría dinámica: interactividad
a) Introduce en la Barra de entrada los si-
guientes valores, cada vez uno: a = 14.5,
b = 12.35 y c = 8.68
BLOQUE II: Geometría
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Windows/Linux GeoGebra
ASÍ FUNCIONA
Cuando escribimos un texto, por ejemplo una longitud, un perímetro o el área de una figura podemos
modificar sus características en la barra de estilo; para ello seleccionamos el texto y en la barra de estilo
podemos elegir Color de fondo, Color del texto; Negrita Cursiva y Tamaño.
PRACTICA
89
Dibuja un segmento y su mediatriz.
a) Elige
b) Elige
Segmento, haz clic en A y en B
Mediatriz, haz clic en cualquier
punto del segmento e inmediatamente
escribe en el teclado Mediatriz
d) Introduce en la Barra de entrada los valo-
res, cada vez uno, a = 8, b = 7 y c = 5
e) Elige
Mediatriz y haz clic en cada lado.
f) Halla la intersección de dos mediatrices.
Renombra el punto como Circuncentro
g) Elige
Circunferencia (centro, punto),
haz clic en el circuncentro y luego en un
vértice del triángulo.
h) Dibuja un radio y mídelo.
Geometría dinámica: interactividad
a) Introduce en la Barra de entrada los valores, a = 8, b = 6 y c = 10
91
Dibuja la bisectriz de un ángulo.
Geometría dinámica: interactividad
a) Arrastra uno de los extremos del segmento
y verás cómo va cambiando la mediatriz.
90
Dibuja las mediatrices de un triángulo de
lados a = 8 cm, b = 7 cm y c = 5 cm
a) Dibuja un ángulo usando dos semirrectas.
b) Elige
Bisectriz, haz clic sucesivamente
SOLUCIÓN:
a) Toma el dibujo del ejercicio 87 y guárdalo
con el nombre Mediatrices
b) Oculta la medida de los lados.
c) Borra los ángulos.
en B, A y en C
c) Elige
Punto y dibuja el punto D sobre
la bisectriz.
d) En el menú Contextual de la recta bisectriz, desactiva Mostrar el objeto.
e) Dibuja la semirrecta AD
f) Con
Elige y mueve coloca bien las
letras A, B, C y D
Geometría dinámica: interactividad
a) Arrastra uno de los puntos, A, B o C
11. Triángulos
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217
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Comprueba lo que sabes con GeoGebra
1
Ejercicio (calificación: 10 puntos)
Dibuja un triángulo de lados a = 13 cm, b = 11 cm y c = 8 cm y calcula
la amplitud de sus ángulos. Redondea el resultado a dos decimales.
Solución 1:
Amplitud del ángulo menor: 37,79 ° ▼
Geometría dinámica: interactividad
Introduce en la Barra de entrada los siguientes valores: a = 9 cm, b = 8 cm y c = 7 cm
Solución 2:
Amplitud del ángulo menor: 48,19 ° ▼
ORGANIZA TUS IDEAS
TRIÁNGULO
es un
se
tiene
si es
polígono
clasifica
rectas notables
rectángulo
• medianas
• alturas
• mediatrices
• bisectrices
se verifica el
de
3 lados
en
y
• equilátero
• isósceles
• escaleno
y
3 ángulos
218
• acutángulo
• rectángulo
• obtusángulo
puntos notables
teorema
de Pitágoras
• baricentro
• ortocentro
• circuncentro
• incentro
BLOQUE II: Geometría
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