LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia
1
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de puntos de un plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio.
ANGULO CENTRAL: Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
AOB es un ángulo central y se dice que intercepta el arco AB o que el
arco subtiende al ángulo.
AB se llama arco menor
BCA se llama arco mayor.
Un ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados)
 
m  AOB   m AB
POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.
     
m AC  m AB  m BC
TEOREMA
Si dos ángulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son
congruentes entonces sus arcos interceptados son también son congruentes.
HIPOTESIS:
AOB  COD
   
TESIS: m AB  m CD
2. m(
 
COD) = m  CD 
3. m(
AOB) = m(
1. m(
AOB) = m AB
   
4. m AB  m CD
COD)
1. Por ser un ángulo central
2. Por ser un ángulo central
3. De hipótesis
4. De 1, 2, 3 Propiedad transitiva
La circunferencia
2
ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus
extremos sobre la circunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia
TEOREMA
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del
arco interceptado
CASO 1. Cuando uno de los lados es un diámetro.
HIPOTESIS: ACB es un ángulo inscrito
O centro de la circunferencia
CB es un diámetro
TESIS: m  ACB  
 
m AB
2
1. Se traza AO
2. OA  OC
3. m(  )  m(  )
4. m(
5. m(
AOB) = m(arco AB)
AOB) = m(  )  m(  )
6. m( AOB)  2m(  )
7. m( AB)  2  m(  ) 
m( AB)
 m(  )
2
1. Construcción
2. Los radios de una circunferencia son
congruentes
3. De 2. En un triangulo a lados congruentes
se oponen ángulos congruentes
4. Por ser AOB un ángulo central
5. Un ángulo exterior de un triangulo es
igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a el.
6. Sustitución de 3 en 5.
7. Sustitución de 4 en 6 y algebra.
CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O
ACB es un ángulo inscrito.
TESIS: m  ACB  
 
m AB
2
La circunferencia
3
1. Construcción
2. De 1, caso 1.
1. Se traza el diámetro CD
2. m( ACD) 
m( AD)
2
3. m( DCB) 
m( DB)
2
3. De 1, caso 1
4. m( ACD)  m( DCB) 
5. m( ACB) 
4. Adición de 2 y 3
m( AD) m( DB)

2
2
5. De 4. Adición de ángulos y de arcos.
m( AB)
2
CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O
ACB es un ángulo inscrito.
TESIS: m  ACB  
1. Se traza el diámetro CD
2. m  ACD  
3. m  BCD  
4. m(
6. m  ACB  
2
1. Construcción
2. De 1. Caso 1
 
m AD
2
m BD
 
3. De 1. Caso 1
2
ACB) = m(
5. m  ACB  
 
m AB
ACD) – m(
BCD)
   m  BD 
m AD
2
m AB
 
4. Resta de ángulos
5. Sustitución de 2 y 3 en 4.
2
6. De 5. Resta de arcos.
2
COROLARIO 1.
CD es un diámetro
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
La circunferencia
4
COROLARIO 2:
C D
Los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes
COROLARIO 3:
Rectas paralelas determinan arcos congruentes.
   
AD BC  m BA  m DC
TEOREMA:
En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos
congruentes.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD  AB
   
TESIS: m CD  m AB
1. OA  OB  OC  OD
1. Son radios de la misma circunferencia
2. AB  CD
3.  AOB   COD
4. m ( AOB) = m ( COD)
2. De hipótesis
5. m ( AOB) = m (arco AB) y
m ( COD) = m (arco CD)
6. m (arco AB) = m (arco CD)
3. De 1 y 2. L – L – L
4. De 3. Son ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
5. Son ángulos centrales
6. De 4 y 5. Propiedad transitiva.
TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR.
En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo)
TEOREMA
Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda,
biseca a la cuerda y a su arco.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia
AB es una cuerda
CO  AB
O–M–C
La circunferencia
5
1) AM  MB
TESIS:
   
2)m AC  m CB
1. OA  OB
2.  AOB es isósceles
1. Son radios de la misma circunferencia
3. OM  AB
2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. De hipótesis
4. OM es altura sobre la base
4. De 3. Definición de altura.
5.
OM es mediana
6. AM  MB
7. OM es bisectriz de AOB
8. m(
AOC) = m(
BOC)
 
m  BOC   m  CB 
10. m  AC   m  CB 
m  AOC   m AC
5. De 4 y 2. En un triangulo isósceles la
altura sobre la base es también mediana
6. De 5. Definición de mediana
7. De 4, 5, 2. En un triangulo isósceles la
mediana sobre la base es bisectriz.
8. De 7. Definicion de bisectriz
9. Por ser ángulos centrales
9.
10. De 8 y 9. Propiedad transitiva.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, que no sea un
diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O; AM  MB
TESIS: OM  AB
COROLARIO:
La mediatriz de una cuerda de una circunferencia, pasa por el centro de la circunferencia.
Nota: Este corolario sirve para hallar el centro de una circunferencia cuyo dentro no
conocemos. (Por ejemplo el de una mesa circular)
La circunferencia
6
TEOREMA
En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro.
HIPOTESIS: AB  DC; OF  DC; OE  AB
TESIS: OE  OF
1. Se traza OE  AB y OF  DC
2. E y F son puntos medios
1. Construcción
2. De 1. Una recta que pasa por el centro y
es  a una cuerda la biseca.
3. De hipótesis
3. AB  DC
4. EB  FC
4. De 2 y 3. Por ser mitades de segmentos
congruentes.
5. Por ser radios de la misma circunferencia.
5. OC  OB
6. OFC  OEB
6. De 1, 4, 5. Por ser triángulos rectángulos
con un cateto y la hipotenusa  s
7. De 6. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
7. OE  OF
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
En una circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.
DEFINICION: Una tangente a una circunferencia es una recta que “toca” a la circunferencia
en un solo punto.
TEOREMA
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de
tangencia.
HIPOTESIS: AB es tangente a la circunferencia
de centro O, en el punto C.
TESIS: OC  AB
La demostración se hace por reducción al absurdo.
1. Negación de la tesis
1. AB no es  a OC
2. Por O se traza una recta  a AB en el
punto D
3. En AB existe un punto E tal que
CD  DE y se traza OE
2. Por un punto exterior de una recta se
puede trazar una  a dicha recta.
3. Construcción
La circunferencia
7
4.  COE es isósceles
4. De 2 y 3. OD es mediana y altura
5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
5. OC  OE
6. OE es radio y E pertenece a la
circunferencia
7. La intersección de la circunferencia con
6. De 5 y de hipótesis. Definición de
circunferencia.
7. De hipótesis y de 6 y 3
AB es el punto C y la intersección de la
circunferencia con AB también es el
punto E.
8. AB corta a la circunferencia en dos
puntos C y E
8. De 7
9. AB no es tangente
9. De 8. Definición de tangente
10. De hipótesis
10. AB es tangente
11. Contradicción
11. De 9 y 10.
Luego como hay una contradicción, al suponer que el radio no era tangente, entonces
AB  OC
COROLARIO 1
Si una recta es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia, entonces esa recta
pasa por el centro de la circunferencia
COROLARIO 2
Un radio es perpendicular a una tangente en su punto de tangencia.
TEOREMA
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia,
se determinan segmentos congruentes y también se forman ángulos congruentes con la
recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia. PB y PA
son tangentes
TESIS: 1) PB  PA
2) BPO  APO
1. OB  PB y OA  PA
2. OA  OB
3. OP  OP
4.  PBO   PAO
5. PB  PA
6.
BPO  APO
1. De hipótesis. Los radios son s a las tangentes en su
punto de tangencia.
2. Por ser radios de la misma circunferencia
3. Propiedad reflexiva
4. De 1, 2, 3. Cateto – hipotenusa
5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos
congruentes.
6. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos
congruentes.
La circunferencia
8
TEOREMA
Si dos circunferencias son secantes en los puntos A y B, la recta que pasa por sus centros es
mediatriz del segmento AB
HIPOTESIS: C y D son los centros.
A y B son las intersecciones de las
dos circunferencias.
AByCD se cortan en E.
TESIS: E es punto medio de AB y AB  CD
1. Se trazan los radios CA, CB, DA, DB
2.
3.
4.
5.
6.
CA  CB
DA  DB
AB  AB
CAD  CBD
ACE  BCE
7. CE es bisectriz de ACB
8. ACB es isósceles
9. CE es altura y mediana
10. E es punto medio de AB y
AB  CD
1. Construcción auxiliar
2. Por se radios de la misma circunferencia
3. Por se radios de la misma circunferencia
4. Propiedad reflexiva
5. De 2, 3, 4. L – L – L
6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
7. De 6. Definición de bisectriz
8. De 2. Definición de triangulo isósceles,
9. De 7 y 8. En un triangulo isósceles la bisectriz
del ángulo opuesto a la base es también altura y
mediana.
10. De 9. Definición de mediana y de altura.
DEFINICION: Una secante a una circunferencia es una recta que la corta en dos puntos.
ANGULO SEMIINSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.
La circunferencia
9
TEOREMA
La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida de su arco
interceptado.
HIPOTESIS: BTD es un ángulo semiinscrito
AB es una tangente a la circunferencia en T
TD es una cuerda
TESIS: m  BTD  
2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas
3. Por ser un ángulo inscrito
m  arcoCT 
2
4. arco CT = arco TD
5. m  BTD  
2
1. Construcción
1. Se traza DC AB
2. CDT  BTD
3. m  CDT  
 
m DT
4. De 1. Por estar entre paralelas.
5. De 2, 3, 4. Sustitución
m  arcoDT 
2
ANGULO INTERIOR EN UNA CIRCUNFERENCIA
Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia.
TEOREMA
La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que son
interceptados por las cuerdas que forman el ángulo.
HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas
 es un ángulo interior
TESIS: m    
1. m (
2. m 
) = m (

) + m (
m  arcoAC 
2
)
   
m AC  m BD
2
1.  es un
ángulo
exterior
en  AED
2.  es un
ángulo
inscrito
La circunferencia
10
m  arcoBD 
2
m(arcoAC ) m(arcoBD) m(arcoAC )  m(arcoBD)
4. m(  ) 


2
2
2
3. m 

3.  es un
ángulo
inscrito
4.
Sustitución
de 2 y 3 en
1.
ANGULO EXTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el ángulo
formado se llama ángulo exterior.
TEOREMA
La medida de un ángulo exterior de una circunferencia es igual a la semidiferencia de los
arcos que intercepta.
HIPOTESIS: P es un punto exterior a la circunferencia.
 es un ángulo exterior.
TESIS: m(  ) 
1. Se traza AD
2. m ( ) = m (
5. m (
) + m(
6.
)
2. Por ser  un ángulo exterior
en  ADP
3. Por ser  un ángulo inscrito en la
circunferencia
) 
) - m (
2
1. Construcción
m(arcoAC )
2
m(arcoDB)
4. m(  ) 
2
3. m(
   
m AC  m DB
) = m (
4. Por ser  un ángulo inscrito en la
circunferencia
)
m(arcoAC ) m(arcoDB)

 m( )
2
2
5. De 1. Transposición de términos
6. Sustitución de 3 y 4 en 5.
COROLARIO 1.
La medida del ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior
de una circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos
interceptados.
m(  ) 
m(CA)  m( AD)
2
La circunferencia
11
COROLARIO 2.
La medida del ángulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una
circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
m( P) 
m( ACB)  m( BA)
2
EJERCICIOS
1)
HIPOTESIS: ACE es una semicircunferencia de centro O
OD biseca a EC ; OB biseca a CA
O – F – D; O – H – B
TESIS:
1)OD  OB
2)OHCF es un rectangulo.
1. m(
C) = 90º
2. OF  EC  OF  FC  m  CFO   90
3. CH
FO
4. OH  AC
5. FC  AC
6. OH
FC
7. OHCF es un paralelogramo
8. m(
C) = m (
FOB) = 90º
9. OD  OB
10. m (
CHO) = m (
CFO) = 90º
11. OHCF es un rectángulo.
1. De hipótesis, por estar inscrito en
una semicircunferencia
2. De hipótesis. Si una recta pasa por
el centro de una circunferencia y
biseca una cuerda, es perpendicular a
ella.
3. De 1 y 2. Por formar ángulos
consecutivos suplementarios
4. De hipótesis. La misma razón 2
5. De 1 Definición de rectas
perpendiculares
6. De4 y 5. Por ser perpendiculares a
la misma recta.
7. De 3 y 6. Por tener los lados
opuestos paralelos.
8. De 1 y 7. Los ángulos opuestos de
un paralelogramo son congruentes
9. De 8. Definición de
perpendicularidad.
10. De 7. Los ángulos opuestos de un
paralelogramo son congruentes
11. De 7,1, 2, 8, 10. Definición de
rectángulo.
La circunferencia
12
2)
HIPOTESIS: O1 y O2 son los centros de las
circunferencias.
RT y QS son tangentes comunes y se cortan
en P.
O1 – P – O2
TESIS:
1. O1Q  QS ; O2 S  QS
2. O1Q O2 S
3. QO1O2 = O1O2S
1) QO1O2 
O1O2S
2)RT  QS
1. Los radios son perpendiculares a las tangentes en su punto
de tangencia
2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta
3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.
4. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos
tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son
congruentes.
5. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos
tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son
congruentes.
6. Adicion de 4 y 5
7. De 6. Adición de segmentos
4. PQ  PR
5. PS  PT
6. PQ+PS = PR+PT
7. QS = RT
3)
HIPOTESIS: O es el centro
AD es un diámetro
AB OC
TESIS: OC biseca al arco DB
1.


m(arcoDB)
2
2. m(
) 
3. m (
) = m (arco DC)
4. m(arcoDC ) 
m(arcoDB)
2
1. De hipótesis, por ser correspondientes entre
paralelas.
2. Por ser  un ángulo inscrito
3. Por ser  un ángulo central
4. De 1, 2, 3. Propiedad transitiva.
La circunferencia
13
4)
DATOS: PQ y RC son tangentes a la circunferencia.
m  P   60º; m  PRC   50º
HALLAR: 1) medida del arco QAR = x
2) medida del arco QE = y
x y
 60º  x  y  120º (1)
2
m  arcoRE 
m  CRE  
 50º  m(arcoRE )  100º  x  y  100º  360º  x  y  260º (2)
2
Resolviendo (1) y (2) se obtiene que x  190º; y  70º
m( P) 
5)
Dos circunferencias son tangentes en A.
Se trazan dos secantes BC y B ' C ' que
pasan por A. Demostrar que BB ' CC '
1. Se traza por A la tangente común a las dos
circunferencias
2. m ( ) = m ( )
3. m 
4.

m  arcoBA
m  arcoAC 
; m   
2
2
m(arcoBA) m(arcoAC )

2
2
m  arcoBA
2
m  arcoAC 
C´ 
2
1. Construcción
2. Por ser opuestos por el vértice
3. Por ser ángulos semiinscritos
4. Sustitución de 3 en 2.
5. m  B´ 
5. Por ser un ángulo inscrito
6. m 
6. Por ser un ángulo inscrito
7. m(
B’) = m(
8. BB´ CC´
C’)
7. Sustitución de 5 y 6 en 4.
8. De 7. Por formar ángulos alternos
internos congruentes.
La circunferencia
14
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA
1. DATOS: m (arco BC) = 70º; AC es un diámetro, O es el centro de la circunferencia.
HALLAR: m ( AOB)
2. DATOS: m ( OAB) = 36º. O es el centro de la circunferencia.
HALLAR: m (arco AB)
3. DATOS: m( OAB) = 30º; AC es diámetro
HALLAR: m (arco BC)
4. DATOS: m(arco AB) = 70º; AC es un diámetro
HALLAR m (OBC)
5. DATOS: m( AOB) = 60º; AC es un diámetro
HALLAR: m ( ABC) y m (arco BC)
6. DATOS: m(arco AD) = 140º; BD y AC son diámetros
HALLAR: m ( OBC)
7. DATOS: m( A) = 68º
HALLAR: m( C)
8. DATOS: m( SOR) = 80°
HALLAR: m ( T)
9. DATOS: Las cuerdas AB y CD se cortan en E. m (arco AC) = 40º y m (arco BD) = 70º. O
es el centro
HALLAR: m ( AEC)
La circunferencia
15
10. DATOS: La recta AB es perpendicular al diámetro TD. TC es una cuerda;
m (arco TC) = 100º. La recta AB es tangente a la circunferencia en T.
HALLAR: m ( BTC)
11. Hallar la medida en grados del arco BD.
12. Hallar la medida en grados del ángulo 
13. Hallar la medida del ángulo ATC. La recta AB es una tangente en T
14. Hallar la medida del ángulo APC, si el arco BD mide 40º
15. Hallar la medida en grados del arco RAQ, si m  arcoTS   30; m  P   35
16. O es el centro de la circunferencia. La recta CF es tangente en B. Hallar la medida del
ángulo EDB y del ángulo formado por la cuerda DB y la tangente.
17. O es el centro de la circunferencia. PT es tangente en T. Hallar la medida del ángulo TPA
y del ángulo TBC y m  arcoAB  ,si el arco TA mide 125º
18. PT y PC son tangentes. Hallar la medida del ángulo TPC, si el ángulo TBC mide 65º.
La circunferencia
16
19.
En la semicircunferencia de centro O y diámetro AB , el radio OE
es perpendicular a la cuerda AC .
Si m( CAB)  20º
Hallar m( ELC )
20.
HIPOTESIS: AD es un diámetro
AD es bisectriz de
CAB.
TESIS: 1) arco AC = arco AB
2) AC  AB
21.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia
BD  OC; BE  OA; BD  BE
TESIS: m (arco AB) =m (arco CB)
22.
HIPOTESIS: CB  DE
TESIS: CA  DA
AYUDA: Trazar CD
La circunferencia
17
23. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
24.
HIPÓTESIS: O es el centro de la circunferencia
AD es un diámetro
OC AB
TESIS: OC biseca al arco DB.
25.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia.
PM y PN son tangentes
P–Q–N
TESIS: 1)MQ  QN
2) PNQ  PMQ
3)OP  MN
26. Los lados de un cuadrilátero son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma
de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos
lados.
27.
HIPOTESIS: A y B son los centros de las
circunferencias.
QS y RT son las tangentes comunes a las
dos circunferencias
TESIS: 1) QAB  ABS
2)RT  QS
La circunferencia
18
28. Los lados de un triangulo rectángulo son tangentes a una circunferencia. Demostrar que
la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de la
hipotenusa y el diámetro de la circunferencia.
29. Trazar una tangente a una circunferencia por un punto A dado sobre la circunferencia.
30. Consultar como se trazan, desde un punto P exterior a una circunferencia, dos tangentes
a la circunferencia. (Construcción con regla y compás).
31. Dos circunferencias de centros O1 y O2 se cortan en A y B. Se trazan respectivamente
las secantes MAN y PBQ. Demostrar que MP NQ .
32. Dos circunferencias congruentes de centros O1 y O2, se cortan pasando una por el centro
de la otra y cortándose en M y N. Por M se traza la secante AMB, con A en la
circunferencia de centro O1 y B en la circunferencia de centro O2. Demostrar que el
triangulo NAB es equilátero.
33. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son congruentes y se cortan en M y N. Por M se
traza una secante que corta a la circunferencia de centro O1en C y a la circunferencia de
centro O2 en D. Demostrar que el triangulo NCD es isósceles.
34. Dos circunferencias O1 y O2 son tangentes exteriores en T y la recta m es la tangente
común. Si desde un punto P cualquiera de m se trazan PA y PB tangentes a las dos
circunferencias. Demostrar que PA  PB .
35. ABC es una recta secante a una circunferencia de centro O en B y C, y AED es otra
secante a la circunferencia en D y E. Si BC  ED , entonces demostrar que AC  AD .
36. En una circunferencia de centro O se prolonga una cuerda AB una longitud BC igual al
radio de la circunferencia, con A – B – C. Se traza el segmento CFOE que es un diámetro
prolongado. Demostrar que m ( AOE) = 3m ( ACE)
37. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes exteriormente en B. Se traza una
tangente exterior común MN y la tangente interior común a las dos circunferencias, esta
tangentes se cortan en A. La cuerda BM corta a O1A en C y BN corta a O2A en D.
MN
a. Demostrar que AB 
2
b. Demostrar que el NBM es recto.
38. Dos circunferencias de centros en O1 y O2 se cortan en los puntos A y B. Demostrar que
O1O2  AB en su punto medio C.
La circunferencia
19
39. En una circunferencia de centro O, un diámetro AB una cuerda AC, hacen un ángulo de
30º, se traza una tangente al punto a la circunferencia en C que corta al diámetro
prolongado en el punto D. Demostrar que el triangulo ACD es isósceles.
40. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es un trapecio isósceles.
41. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC, tal que
m ( BAC) = 20º. Se traza la tangente XY paralela a AC y tangente a la circunferencia en
el punto D. Encontrar el valor de los ángulos ADX y BDY.(Recordar que rectas paralelas
determinan arcos congruentes)
42. Dos circunferencias son tangentes en A. Se trazan las secantes BAC y B’AC’. Demostrar
que BB ' CC ' .
43. Por el extremo A de un diámetro AB de una circunferencia, se traza una cuerda AC, y por
B se traza una tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz de CAB que corta a BC
en F y a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD  BE y
FH  HD .
44. En una circunferencia de centro O se trazan dos cuerdas AB  AC; AB subtiende un arco
de 120º. Desde el centro O se trazan ON  AB en N y OM  AC en M.
1) Encontrar m  BAC 
2) Demostrar que AO es bisectriz del ángulo BAC
45. Dos circunferencias de centros E y Q son secantes y se cortan en A y B. Sus tangentes
comunes, HK yTR se cortan en P.
1) Demostrar que HK  TR
2) Demostrar que HPT es isósceles.
46.
Las cuerdas AB y CD son congruentes y se cortan en K.
Demostrar:
1)CB AD
2) KA  KD
3) KB  KC
La circunferencia
20
47. En el triángulo ABC, el ángulo A mide 60° y el radio de la circunferencia, en la cual está
inscrito, mide 8 cm. Calcular la distancia del centro O de la circunferencia al lado BC.
48.
HIPÓTESIS: C y B son puntos de tangencia
TESIS: m( A)  m(arcoCDB)  180
49.
DATOS: O es el centro de la circunferencia
m( A)  2m( B)
m( AOB)  126
CALCULAR m( B)
PROPOSICIONES PARA RESPONDER VERDADERO O FALSO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Todos los ángulos centrales de la misma circunferencia son congruentes. (
)
El vértice de todo ángulo central esta sobre el centro. (
)
Toda circunferencia tiene exactamente dos semicircunferencias. (
)
Dos semicircunferencias de dos circunferencias distintas miden lo mismo en grados.(
)
Un diámetro es una cuerda (
)
Algunos radios son cuerdas (
)
En una circunferencia, es posible que una cuerda sea congruente a un radio. (
)
Si un paralelogramo esta inscrito en una circunferencia, debe ser un rectángulo.(
)
Si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden al mismo arco, la medida del ángulo
inscrito es el doble de la medida del ángulo central. (
)
10. Una línea recta puede cortar a una circunferencia en tres puntos. (
)
11. Un rectángulo circunscrito a una circunferencia debe ser un cuadrado. (
)
La circunferencia
21
12. El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en una circunferencia es igual en
grados a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. (
)
13. Un trapecio inscrito en una circunferencia debe ser isósceles. (
)
14. Todos los puntos de un polígono inscrito están sobre la circunferencia. (
)
15. Los ángulos inscritos en el mismo arco son suplementarios. (
)
16. Un radio es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia. (
)
17. El ángulo formado por una tangente y una cuerda es igual en grados a la mitad de la
medida del arco interceptado. (
)
18. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es
perpendicular a la cuerda. (
)
19. Si dos cuerdas congruentes se cortan, las medidas de los segmentos de una cuerda son
respectivamente congruentes a las medidas de los segmentos de la otra. (
)
20. El segmento de recta que une dos puntos sobre una circunferencia es una secante. (
)
21. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es agudo. (
)
22. El ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una
circunferencia tiene por medida la mitad de la suma de las medidas de los arcos
interceptados. (
)
23. Si dos cuerdas son perpendiculares a una tercera cuerda en sus extremos, son
congruentes. (
)
24. Un ángulo agudo inscrito en una circunferencia, intercepta un arco cuya medida es menor
que 90º. (
)
25. Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, una de las cuerdas es igual a la
suma de los segmentos de la otra. (
)
26. Si se trazan una tangente y una secante desde el mismo punto exterior a una
circunferencia, la tangente es igual a la mitad de la diferencia de la secante y el segmento
externo. (
)
27. De dos cuerdas desiguales en una circunferencia, la cuerda mayor es la más alejada del
centro. (
)
Algunos ejercicios tomados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
 Otros recopilados de internet
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
La circunferencia
22
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CIRCUNFERENCIA
31.
m(arcoMAB )
2
m(arcoMPB )
2) 
2
m(arcoMAB)  m(arcoMPB) 360
1)  m( 2) 

 180
2
2
m(arcoBQN )
m(arcoNAB )
3) 
; m( 4) 
2
2
m(arcoBQN )  m(arcoNAB ) 360
3)  m( 4) 

 180
2
2
m( 1) 
m(
m(
m(
m(
m( 3)  m( 2)  180
m( 1)   m( 2)  m( 3)   m( 4)   m( 3)  m( 2)   180  180  180
m( 1)  180  m( 4)  180  180  180  180
 m( 1)  m( 4)  180
Por lo tanto PM QN por formar ángulos consecutivos interiores suplementarios
32.
m(arcoMO2 N )
2
m(arcoMO1 N )
m( B ) 
2
MO1  O1O2  MO2
m( A) 
MO1O2 es equilatero
m( MO1O2 )  60
Luego se demuestra que ∆ NO1O2 es también
equilátero. Entonces se tiene que m ( MO1N) =
120° y por lo tanto el arco MBN mide 240° y por
consiguiente el arco MO1N mide 120° de donde m ( B) = 60°.
De la misma manera se demuestra que m( A) = 60°
La circunferencia
23
33.
Demostrar primero que MO1NO2 es un paralelogramo.
MO1 N  MO2 N por ser ángulos opuestos en un
paralelogramo.
m (arco MEN) = m (arco MFN)
m(arcoMEN )
m( C ) 
2
m(arcoMFN )
m( D ) 
2
34.
PA  PT
PT  PB
PA  PB
37.
1. AM  AB
2.m( 1)  m( 2)
3. AB  AN
4.m( 3)  m( 4)
5.m( 1)  m( 2)  m( MAB)  180
6.m( 3)  m( 4)  m( NAB)  180
7.m( 1)  m( 2)  m( MAB)  m( 3)  m( 4)  m( NAB)  360
8.2m( 2)  2m( 4)  180  360
9.2  m( 2)  m( 4)   180
10.m( 2)  m( 4)  90
11. MBN es recto
12.AM  AN
13.BA es mediana sobre la hipotenusa
14.AB=
MN
2
La circunferencia
24
38.
O1 AO2  O1 BO2 ( L  L  L)
AO2C  BO2C  AO2 B es isosceles
O2C es bisectriz de AO2 B(demostrarlo)  O2C es altura
 O2O1  AB
C es punto medio de AB, ¿Porque?
39.
OC  CD
AO  OC  m( ACO)  30  m( ACD)  120
 m( D)  30  ACD es isosceles
41.
ADB es recto
m ( ADX) + m(
BDY) = 90°
XY AC  m(arcoAD)  m(arcoDC )
m(arcoCB)  40  m(arcoADC )  140  m(arcoAD)  m(arcoDC )  70
m(arcoAD)
 35
2
m(arcoDB) 110
m( BDY ) 

 55
2
2
m( ADX ) 
La circunferencia
25
43.
C es recto  ACF es rectángulo. El complemento de
CFA es 
DB  AB  ABD es rectangulo  el complemento
de
D es

    CFA  D(por tener el mismo complemento)
CFA  DFB  D  FBD es isosceles
AHB es recto  BH es altura y mediana

HIPÓTESIS: Las circunferencias son tangentes en F
Desde E se trazan tangentes a las dos
circunferencias
C, D son puntos de tangencia
A y B son los centros de la circunferencia
C–E–D
TESIS: Triángulo ABE es rectángulo en E
1. EA es bisectriz de CEF
2. EB es bisectriz de FED
3. CEA  AEF
4. DEB  BEF
5. m( CEF )  m( FED)  180
2m( AEF )  2m( BEF )  180
6.
 m( AEF )  m( BEF )  90
7. AEB es recto
8. Triángulo ABE es rectángulo en E
1. De hipótesis, ¿Por qué?
2. De hipótesis, ¿Por qué?
3. De 1, ¿Por qué’
4. De 2, ¿Por qué’
5. De hipótesis, ¿Por qué?
6. De 5, 2 y 1 ¿Por qué?
7. De 6, ¿Por qué?
8. De 7, ¿Por qué?
La circunferencia
26
 El triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro D, se trazan los diámetros
AE, CG, BF . Demostrar que ABC  EFG
7. m(arcoAC )  m(arcoAF )  m(arcoFC)
1.Por ser ángulos opuestos
por el vértice
2.De1, por ser arcos de
ángulos centrales
congruentes
3. Por ser ángulos opuestos
por el vértice
4.De 3, por ser arcos de
ángulos centrales
congruentes
5. Por ser ángulos opuestos
por el vértice
6. De 4, por tener ángulos
centrales congruentes
7.Suma de arcos
8. m(arcoGE)  m(arcoGB)  m(arcoBE)
8.Suma de arcos
9. m(arcoGE)  m(arcoFC)  m(arcoAF )
9.Sustitucion de 6 y 4 en 8
1. 1 
2
2. m(arcoCE )  m(arcoAG)
3.
3 4
4. m(arcoFC )  m(arcoGB)
5.
5 6
6. m(arcoBE )  m(arcoAF )
10. m(arcoAC )  m(arcoGE )
12. m(arcoCB)  m(arcoCE)  m(arcoBE)
10.c
11.De 10, arcos congruentes
tienen cuerdas congruentes
12.Suma de arcos
13. m(arcoFG)  m(arcoAF )  m(arcoAG)
13.Suma de arcos
11. AC  GE
14. m(arcoFG)  m(arcoBE)  m(arcoCE)
15. m(arcoCB)  m(arcoFG)
16. CB  FG
14.Sustitucion de 6 y 2 en 13
15.De 12 y 14, propiedad
transitiva
16. De 15, arcos congruentes
tienen cuerdas congruentes
La circunferencia
27
m(arcoAGB) m(arcoAG)  m(arcoGB)

2
2
m(arcoFCE ) m(arcoFC )  m(arcoCE )
18. m( FGE ) 

2
2
m(arcoGB)  m(arcoAG)
19. m( FGE ) 
2
20. m( ACB)  m( FGE )
17. m( ACB) 
21. ABC  EFG
17. Por ser un ángulo inscrito
y suma de arcos
18. Por ser un ángulo inscrito
y suma de arcos
19.Sustitucion de 4 y 2 en 18
20.De 17 y 19, propiedad
transitiva
21.De 20, 16 y 11, por el
criterio L – A - L
NOTA: este ejercicio también lo podemos resolver de la siguiente manera
1.Se trazan los segmentos
AG, GB, BE, EC, CF , FA
2.ABEF es un paralelogramo
3. AB  FE
4. ACEG es un paralelogramo
5. AC  EG
6. BCFG es un paralelogramo
7. BC  FG
8. ABC  EFG
1.Construccion auxiliar
2.De hipótesis, las diagonales AE y BF se
bisecan
3.De 2, los lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes
4. De hipótesis, las diagonales AE y CG se
bisecan
5. De 4, los lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes
6. De hipótesis, las diagonales CG y BF se
bisecan
7. De 6, los lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes
8.De7, 5 y 3 por el criterio de congruencia
L–L–L
La circunferencia
28

Se da la semicircunferencia de
diámetro AB, la recta CE es
tangente, CE  CD
Hallar m( FEB)
Completamos la circunferencia por construcción auxiliar
m(arcoFAB)
2
m(arcoFA)  180
2. m( FEB) 
2
1. m( FEB) 
3.El triángulo ECD es isósceles
4.
D 1
5.
6.
7.
2 1
D 2
m(arcoFA)  m(arcoEB)
2
m(arcoFE )
8. m( 2) 
2
m( D) 
1.Por ser un ángulo inscrito
2. De 1. Suma de arcos
3.De hipótesis, definición de triangulo isósceles
4.De 3, por los ángulos de la base de un triángulo
isósceles
5. Por ser opuestos por el vértice
6. De 5 y 4, propiedad transitiva
7. Por ser un ángulo exterior de la circunferencia
8.De hipótesis, por ser un ángulo semiinscrito en la
circunferencia
La circunferencia
29
m(arcoFA)  m(arcoEB) m(arcoFE )

2
2
10. m(arcoFA)  m(arcoEB)  m(arcoFE)
11. m(arcoFA)  m(arcoFE)  m(arcoEB)
9. De 8, 7 y 6, propiedad transitiva
12.
12. Suma de arcos
9.
10. De 9, algebra
11. De 10, algebra
m(arcoFA)  m(arcoFE)  m(arcoEB)  180
13. Sustitución de 11 en 12
m(arcoFA)  m(arcoFA)  180
13.  2m(arcoFA)  180
 m(arcoFA)  90
90  180
 135
14. m( FEB) 
2
14. Sustitución de 13 en 2