Aplicando la segunda ley de Newton al satelite, en

Congreso Argentino de Tecnología Espacial 2000
Simulación de Orbitas Mediante MatLab
Andrés LEÓN, Marcelo BASTANSKI, y Luis MORENO
Universidad Nacional del Comahue
Facultad de Ingeniería
Buenos Aires 1400
8300 Neuquén – Argentina
Telfax: 0299-449-0322
E-mail: [email protected]
Resumen
Se realizo un programa en MatLab
que simula el comportamiento de las órbitas
satelitales, mediante calculo numérico.
El programa presenta una gran flexibilidad y
permite el análisis de todo tipo de órbitas.
Este software considera una tierra esférica, a
la atmósfera y un impulso, debido a un
posible propulsor.
Finalmente
se
comparo
el
funcionamiento del mismo con los
keplerianos del Starshine, resultando en
diferencias alrededor del 0,22 %.
para simular y evaluar posibles órbitas en
distintas misiones, como para realizar los
cálculos si uno de los satélites tuviera
impulsores y como se modificarían las
órbitas. Dado que en el mercado se
encuentran una serie de programas de
carácter amateur y profesionales, que
calculan órbitas y rastrean satélites, pero que
su utilización se ve limitada por ser versiones
cerradas que no permiten ser modificadas
para ajustarse a las necesidades particulares
del proyecto, es de singular importancia la
creación de un Software propio.
Otro objetivo es formar un grupo que
entienda en esta problemática, como apoyo
al Programa PehuenSat.
Introducción
En el año 1998 se inicio el programa
"PehuenSat", que contempla la creación de
nanos y micros satélites.
Como en la Universidad Nacional del
Comahue no existe una carrera relacionada
con las actividades espaciales, se decidió
dictar un curso básico sobre la determinación
de órbitas destinado a estudiantes que
deseaban incorporarse al proyecto.
Posterior al mismo, un grupo de
estudiantes desarrolló un programa de cálculo
para la ubicación y el seguimiento de satélites
artificiales, utilizando algoritmos del
"problema de los dos cuerpos" hallados en
distintas publicaciones, realizando distintas
versiones escritas en lenguajes Fortran90,
Visual Basic y MatLab. Una de ellas
considera, además, el arrastre de la atmósfera
y el impulso de un motor cohete para el
cambio de órbitas.
El objetivo es tener un programa
propio, que pueda ser adaptado a las
necesidades del proyecto PehuenSat, tanto
Notación utilizada en la sección de
metodología
ms
r
V
x
vx
x
ax
Fgx
Fbx
Fix
B
G
masa del satélite (Kg)
radio vector que apunta desde el
centro de la Tierra al satélite
vector velocidad del satélite
ubicación del satélite en la
coordenada x
velocidad del satélite en la dirección
aceleración del satélite en la
dirección x
fuerza gravitacional en la dirección x
(N)
fuerza de arrastre que actúa en la
dirección x (N)
fuerza impulsora externa en la
dirección x (N)
constante de proporcionalidad entre
la fuerza de arrastre y el cuadrado de
la velocidad
constante gravitacional
Los derechos de publicación son compartidos entre la Asociación Argentina de Tecnología espacial y los
autores.
MT
PT
ρ
CD
S
f
rp
vp
φ
a
e
H
C1
C2
C3
C4
C5
C6
masa del planeta Tierra
periodo sideral de la Tierra
densidad de la atmósfera terrestre
coeficiente empírico, que depende de
la forma del satélite
área transversal al vector velocidad
del satélite
factor que tiene en cuenta la rotación
de la tierra
radio del perigeo de la órbita satelital
velocidad en el perigeo
latitud del satélite
Semi-eje mayor de la órbita satelital
excentricidad de la órbita
vector momento angular
coordenada en el eje x del vector
posición del satélite
componente en la dirección x del
vector velocidad del satélite
coordenada en el eje y del vector
posición del satélite
componente en la dirección y del
vector velocidad del satélite
coordenada en el eje z del vector
posición del satélite
componente en la dirección z del
vector velocidad del satélite
Metodología
Para calcular la posición y velocidad
de un satélite, realizamos un programa en
MatLab 5.3 en el que aplicamos la segunda
ley de Newton, considerando las fuerzas de
gravedad, fricción y un impulso externo.
Utilizamos el Software MatLab
porque nos parece que es la herramienta más
apropiada para realizar simulación en
ingeniería, debido a que nos permite plantear
algoritmos
muy
simples,
sin
una
programación compleja, además el SimuLink
es muy flexible, al permitir el ingreso de
ecuaciones diferenciales con tablas en su
interior.
Análisis Físico – Matemático del
problema:
Aplicando la segunda ley de Newton
al satélite, en la dirección x, obtenemos:
ΣFx = ms ⋅ a x
Simulación de órbitas mediante MatLab
Donde el total de fuerzas que actúan
sobre el satélite la podemos discriminar en:
ΣFx = Fg x + Fbx + Fi x
La fuerza que representa al arrastre la
consideraremos proporcional al cuadrado de
la velocidad.
Fbx = B ⋅ v x
2
 ∂x 
= B ⋅ 
 ∂t 
2
La aceleración la escribiremos como
la segunda derivada del espacio con respecto
al tiempo:
ax =
∂2x
∂t 2
Ahora estamos en condiciones de
escribir la ecuación diferencial, que regirá el
movimiento del satélite, en la dimensión x:
2
∂2x
 ∂x 
⋅ ms = Fg x + B ⋅   + Fi x
2
∂t
 ∂t 
Análogamente podemos escribir las
ecuaciones diferenciales en las restantes dos
dimensiones. De esta manera estamos en
condiciones de obtener el Sistema de
Ecuaciones diferenciales que gobernara al
satélite en tres dimensiones:
2
∂ 2 x
 ∂x 
 2 ⋅ ms = Fg x + B ⋅   + Fi x
 ∂t 
 ∂t
2
∂ 2 y

 ∂y 
 2 ⋅ ms = Fg y + B ⋅   + Fi y
 ∂t 
 ∂t
2
∂ 2 z
∂z
 2 ⋅ m s = Fg z + B ⋅   + Fi z
 ∂t
 ∂t 
Para resolver el Sistema de
Ecuaciones Diferenciales se optó por hacerlo
aplicando el cálculo numérico mediante el
software MatLab 5.3.
Este programa exige que el sistema
se encuentre en ecuaciones solo de primer
orden, por lo tanto realizamos los cambios de
variables correspondientes para poder
2
transformarlo,
en
seis
ecuaciones
diferenciales de primer orden con sus
correspondientes condiciones de borde, por
cada variable:

x = x
 1
∂x

 x2 = x1′ = ∂t


∂2x
′
′
′
x
=
x
=
1
 2
∂t 2

 x3 = y

∂y

 x4 = x3′ =
∂t


∂2 y
′
′
′
x
=
x
=
 4
3
∂t 2

 x5 = z

 x = x′ = ∂z
5
 6
∂t

2
 x′ = x′′ = ∂ z
6
5
∂t 2

 x1′ = x2

 x′2 = Fg x + B ⋅ x2 2 + Fi x
ms ms

 ′
 x3 = x4

Fg y B

′
x
=
+
⋅ x4 2 + Fi y
4

ms ms

 x5′ = x6

 x6′ = Fg z + B ⋅ x6 2 + Fi z

ms ms
 x1 (0 ) = C1
 x (0) = C 2
 2
 x3 (0) = C 3

 x4 (0) = C 4
 x5 (0 ) = C 5

 x6 (0) = C 6
Con la herramienta SimuLink se
desarrolló el diagrama de flujo equivalente al
problema
matemático
anteriormente
planteado, que se muestra en la figura 1:
Simulación de órbitas mediante MatLab
Fuerza Gravitacional
En esta sección se describirá como se
obtuvo una expresión de la fuerza
gravitatoria
para
cada
dimensión,
considerando que la tierra es un cuerpo
homogéneo perfectamente esférico.
Sabemos que la expresión de la fuerza
atractiva de un cuerpo esférico ideal es la
siguiente:
Fg =
− G ⋅ mT ⋅ ms
r2
r 2 = x2 + y2 + z 2
La fuerza gravitacional sobre el eje
x, solo función de las coordenadas
cartesianas, la podemos calcular mediante los
cosenos directores. Multiplicando Fg por el
correspondiente coseno director, obtenemos:
x
x
= Fg 2
r
x + y2 + z2
Fgx = FgCos (γ ) = Fg ⋅
Análogamente podemos calcular la
componente de la fuerza en las tres
dimensiones.

 Fgx =



 Fgy =


 Fgz =


− G ⋅ mT ⋅ ms ⋅ x
(x
2
)
2
(x
2
)
2
(x
2
)
2
3
+ y2 + z2
− G ⋅ mT ⋅ ms ⋅ y
3
+ y2 + z2
− G ⋅ mT ⋅ ms ⋅ z
+ y2 + z2
3
Para
introducir
la
fuerza
gravitacional en el SimuLink se utilizo una
casilla MatLab Function con el nombre
campo, conteniendo el siguiente código en un
archivo M.file:
function out=f(x,y,z,dimen)
if dimen==1
cx=G*MT*x/(x^2+y^2+z^2)^(3/2);
if x>0
out=-abs(cx);
else
out=abs(cx);
end
end
if dimen==2
3
cy=G*MT*y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2);
if y>0
out=-abs(cy);
else
out=abs(cy);
end
end
if dimen==3
cz=G*MT*z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2);
if z>0
out=-abs(cz);
else
out=abs(cz);
end
end
Fuerza de Arrastre
La fuerza de arrastre la calcularemos
por medio de la siguiente ecuación:
2
Fb x = B ⋅ v x =
1
2
⋅ ρ ⋅CD ⋅ S ⋅vx ⋅ f
2
Donde CD es un coeficiente empírico,
que depende de la forma del satélite, y f un
factor que tiene en cuenta la rotación de la
f = 1−
2π ⋅ rp
⋅ Cos 2 (φ )
PT ⋅V p
tierra para calcular la verdadera velocidad
relativa del satélite con la atmósfera.
Este factor incluye rp y vp que son el
radio y la velocidad en el perigeo de la órbita
y φ la Latitud del satélite, valores que
podemos calcular como:


z

Cos (φ ) = 1 −  2
2
2 
x +y +z 
2
2
rp = a ⋅ (1 − e )
Vp =
2⋅G ⋅ MT G ⋅ MT
−
a ⋅ (1 − e )
a
Puesto que la anterior ecuación de la
fuerza de arrastre no solo depende de las
coordenadas cartesianas, si no también de la
Simulación de órbitas mediante MatLab
excentricidad y el semi-eje mayor de la
órbita, deberemos poner estos últimos dos
parámetros orbitales en función solo de los
vectores velocidad y posición. Para ello nos
valemos de la particularidad, que el momento
angular del satélite es constante en toda su
órbita:
H = r ×V
a=
(
G ⋅ MT
2GM T − v x 2 + v y 2 + v z 2
e = 1−
)x
2
+ y2 + z2
H2
G ⋅ MT ⋅ a
Al igual que la fuerza gravitacional el
arrastre se introdujo al SimuLink mediante
una casilla MatLab Function con el nombre
arrastre, conteniendo el siguiente código en
un archivo M.file:
function
out=arrastre(x,y,z,vx,vy,vz,di
men)
r=sqrt(x^2+y^2+z^2);
a=G*MT/(2*G*MT/r(vx^2+vy^2+vz^2));
H=cross([x,y,z],[vx,vy,vz]);
MH=sqrt(H(1)^2+H(2)^2+H(3)^2);
e=sqrt(1-MH^2/(G*MT*a));
rpo=a*(1-e);
vpo=sqrt(2*G*MT/rpo-G*MT/a);
dn=interp1(MD(:,1),MD(:,2),rRTelip,'linear');
f=1-(2*pi/PT*rpo/vpo)*(1(z/r)^2);
signo=1;
if dimen==1
v2=vx^2;
if vx>0
signo=-1;
end
end
if dimen==2
v2=vy^2;
if vy>0
signo=-1;
end
end
4
if dimen==3
v2=vz^2;
if vz>0
signo=-1;
end
end
out=1/2*CD*S*dn*f*signo*v2/MS;
Resultados
Para poder conocer el error que se
esta cometiendo en la simulación, se decidió
comparar el programa con los datos
obtenidos del proyecto Starshine.
En la simulación se consideraron los
siguientes parámetros para el satélite:
Observando los dos parámetros
comparados, vemos que el programa tiende a
mantener al satélite más alto de lo esperado,
cometiendo un error relativamente pequeño.
Pero aún es posible mejorarlos respecto a
esto, y esperamos que el error disminuya, al
considerar en el programa el achatamiento de
la tierra y a las perturbaciones debidas a la
luna.
Otras tendencias que se observaron al
analizar los resultados del programa, fueron
la disminución de la excentricidad e
inclinación de la órbita, aunque en un
pequeño porcentaje.
ms=39 Kg
Cabe mencionar que actualmente se esta
probando una ecuación que tiene en cuenta el
achatamiento del planeta, pero todavía se están
estudiando sus efectos sobre el satélite.
Esperamos que en la próxima versión del
programa ya podemos contar con esta
herramienta.
CD=2.123 (correspondiente a una esfera
perfecta) [4]
Agradecimientos
S=0.1809557 m2
Se corrió el programa para simular 6
días del mencionado satélite, desde el 22 de
junio al 28 de junio, arrojando el software
resultados que resumimos en los gráficos 1 y
2.
En el primer gráfico, la curva azul
representa la altura desde el satélite hasta una
tierra esférica, de radio ecuatorial (RT=6380
Km), y la curva verde muestra la altura
respecto a una tierra elipsoidal con un radio
polar de 6357 Km.
En el segundo gráfico se representa
la evolución del semi-eje mayor de la órbita a
lo largo de los seis días de simulación.
Análisis
Agruparemos los valores obtenidos
del programa comparándolos con los valores
reales del Starshine en la tabla 1.
Simulación de órbitas mediante MatLab
Agradecemos la colaboración de
JUAN MANUEL MAURICIO en todo lo
concerniente a programación y manejo de
MatLab 5.3.
Bibliografía
[1] CHARLES D. BROWN
(1998).
Spacecraff mission design. A.I.A.A. U.S.A.
[2] PEDRO E. ZADUNAISKY (1998).
Introducción
a
la
astrodinámica.
C.O.N.A.E. Argentina
[3] JOSE GREGORIO PORTILLA B.
Como calcular el movimiento de satélites
artificiales.
http://www.observatorio.unal.edu.co
[4] K. MOE, M. MOE, S. D. WALLACE
(1998) Inproved satellite drag coefficient
calculations from orbital measurements of
energy accommodation. A.I.A.A. U.S.A.
5
Figura 1
Simulación de órbitas mediante MatLab
6
Gráficos 1 y 2
Decaimiento
Semi-eje mayor
Simulación
1400 m
645 m
Real
2073 m
1052 m
Diferencia
673 m
407 m
Error
32.5 %
38.7 %
Tabla 1
Simulación de órbitas mediante MatLab
7