la dimensión epistemológica de la integral impropia en el

LA DIMENSIÓN EPISTEMOLÓGICA DE LA INTEGRAL
IMPROPIA EN EL DISEÑO DE SECUENCIAS DE ENSEÑANZA
Alejandro S. González-Martín (Université de Montréal – Canadá)
Carlos Correia de Sá (Universidade do Porto – Portugal)
Mostramos las fundamentos del diseño de una secuencia de enseñanza del concepto de integral
impropia, que trata de mejorar su comprensión en los estudiantes universitarios. Esta secuencia se
basa en análisis de tres dimensiones del concepto: didáctica, cognitiva y epistemológica.
Mostramos los resultados principales del análisis epistemológico (con énfasis en el uso del registro
gráfico) y cómo éstos proporcionaron una base para crear nuestra secuencia de enseñanza.
1.- INTRODUCCIÓN
Para definir la integral de Riemann de una cierta función f(x) en un intervalo [a, b], se necesita
que el intervalo de integración sea cerrado y acotado y que la función esté acotada dentro del
intervalo. Cuando una de estas dos condiciones no se cumple, se define la integral impropia como
una generalización de la integral de Riemann. Este concepto, de múltiples aplicaciones
(probabilidades, normas funcionales, transformadas de Fourier, …), ofrece una gran resistencia a
los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y restringiéndose a cálculos
algebraicos y a la aplicación de criterios de convergencia (González-Martín, 2002). Para hacer
frente a esta situación, decidimos crear una secuencia de enseñanza para ayudar a los estudiantes a
aprender este concepto coordinando los registros gráfico y algebraico, dándole así más significado.
Nuestra secuencia de enseñanza juega a la vez el rol de instrumento de investigación; por ello, se
decidió utilizar una ingeniería didáctica (Artigue, 1992). Esta metodología desarrolla análisis,
previos a la construcción de la secuencia de enseñanza, de tres dimensiones clásicamente
consideradas: epistemológica, didáctica y cognitiva. Nuestra revisión de bibliografía (ver GonzálezMartín, 2006) nos mostró que el aprendizaje de la integral impropia no ha sido directamente
abordado por la investigación internacional, por lo que el estudio de la dimensión cognitiva (ver
sección 4) resultó de gran utilidad para identificar algunas dificultades y obstáculos. Este artículo da
algunos breves detalles de los análisis cognitivo y didáctico y se centra más en el análisis
epistemológico, dando algunos detalles de procedimientos utilizados históricamente por los
matemáticos para calcular áreas infinitas. Los resultados de estos tres análisis serán utilizados para
describir los fundamentos principales de la secuencia de enseñanza que construimos para mejorar la
comprensión de las integrales impropias en nuestros estudiantes.
2.- MARCO TEÓRICO
El diseño de nuestra ingeniería didáctica se basa en la teoría de las situaciones didácticas de
Brouseau (1988) y en la importancia dada a las variaciones del contrato didáctico usual.
En cuanto a la parte cognitiva, una de nuestras principales elecciones fue el uso del registro
gráfico para mejorar la comprensión de nuestros estudiantes, motivada por los resultados
encontrados en la historia. Sin embargo, varios resultados de investigación han señalado la
reticencia (que parece ser mayor en el nivel universitario) que tienen los estudiantes de matemáticas
para utilizar el registro gráfico cuando tienen que resolver problemas. Mundy (1987) ha señalado
que los estudiantes normalmente sólo tienen una comprensión mecánica de los conceptos básicos
del Análisis porque no han alcanzado una comprensión visual de las nociones básicas subyacentes.
Nuestros resultados (González-Martín & Camacho, 2004) muestran también que las preguntas no
algorítmicas planteadas en el registro gráfico plantean grandes dificultades para los estudiantes;
incluso muchos no reconocen el registro gráfico como un registro para el trabajo matemático.
Por estas cuestiones, nuestro trabajo considera también la teoría de Duval (1995) de los registros
de representación semiótica y la importancia de la coordinación de al menos dos registros (en
nuestro caso, algebraico y gráfico) para lograr una buena comprensión de los objetos matemáticos.
3.- DIMENSIÓN DIDÁCTICA DE LA INTEGRAL IMPROPIA
Nuestro análisis de ciertos manuales (González-Martín, 2006) nos permitió ver que las integrales
impropias son normalmente presentadas de forma algorítmica, poniendo énfasis en el aprendizaje y
la aplicación de criterios de convergencia y utilizando sólo el registro algebraico.
En países como España, los primeros programas de Matemáticas de muchas universidades fueron
inspirados por la Reforma de las Matemáticas Modernas, cuyo paradigma (aún vigente en muchos
casos) era enseñar los conceptos matemáticos de forma algebraica y algorítmica. Este paradigma,
lejos de las ideas intuitivas y geométricas, oculta los métodos históricos utilizados para calcular
áreas infinitas. La siguiente sección resume algunas consecuencias de este tipo de enseñanza.
4.- DIMENSIÓN COGNITIVA DE LA INTEGRAL IMPROPIA
González-Martín (2002) muestra los resultados de nuestra investigación sobre la dimensión
cognitiva de la integral impropia, además de identificar algunas dificultades, obstáculos y errores
que aparecen durante su aprendizaje. Algunos resultados de esta investigación fueron:
1. Muchos estudiantes no coordinan los registros gráfico y algebraico; algunos no aceptan el
registro gráfico como un registro matemático válido (González-Martín & Camacho, 2004).
2. Muchas dificultades para comprender el concepto de integral impropia provienen de dificultades
con los conceptos de límite, convergencia e integral de Riemann.
3. Muchos estudiantes usan sólo modelos estáticos para concebir los procesos límite, lo que puede
x
producir dificultades para comprender lim F ( x) = lim ∫ f (t ).dt .
x→∞
x →∞
a
También identificamos el obstáculo siguiente, inherente a la integral impropia:
Ligación a la compacidad: tendencia a creer que una figura encerrará un área (o volumen) finita
si y sólo si la figura es cerrada y acotada.
Algunas de estas dificultades y obstáculos parecían profundamente ligados al concepto de
integral impropia, por lo que un análisis de la dimensión histórico-epistemológica de la integral
impropia se hizo necesario. También queríamos observar qué registros habían sido favorecidos por
los matemáticos, en particular antes del establecimiento de una teoría.
5.- DIMENSIÓN EPISTEMOLÓGICA DE LA INTEGRAL IMPROPIA
5.1.- Las configuraciones no acotadas de Oresme
Uno de los textos más antiguos en donde se muestran porciones
no acotadas del plano con un área finita proviene de Nicolás de
Oresme (1325-1382). Si, por ejemplo, tomamos dos cuadrados de
a)
b)
E
F G
(a)
E
F
G
2
lado 1m, tendremos un área total de 2m . Dividiendo uno de los
cuadrados en dos partes iguales, luego una de las mitades en dos
Figura 1
partes iguales, y así indefinidamente, se tiene una división del cuadrado como la de la figura 1-a.
Oresme reordena las partes, lo que obviamente no altera el área total, como se ve en la figura 1-b.
Así, se obtiene una figura infinitamente larga, pero cuya área total de 2m2 queda inalterada.
Este ejemplo, visual y fácil de comprender, puede facilitar el camino para la aceptación del
estudiante de la pertinencia de estudiar integrales impropias y de la existencia de figuras infinitas
con un área finita. En este caso, el área finita se conoce a priori, antes de crear la figura infinita, lo
que puede ayudar a superar el obstáculo de ligación a la compacidad.
5.2.- El sólido infinitamente largo de Torricelli
El primer ejemplo tridimensional de lo que llamaríamos actualmente una integral impropia
convergente data de alrededor de 1643 y es a menudo llamado la trompeta de Gabriel, descubierto
por Evangelista Torricelli (1608-1647). Haciendo rotar un segmento (sea la rama y ≥ 1) de la
hipérbola equilátera x.y = constante alrededor de su asíntota OY, obtenemos un sólido de revolución
infinitamente largo que, a pesar de no estar acotado, encierra un volumen finito (figura 2).
Dado su carácter paradójico, este sólido tuvo un gran impacto en la comunidad
científica del siglo XVII (ver Mancosu, 1996, p. 129). En Inglaterra, el matemático
John Wallis (1616-1703) y el filósofo Thomas Hobbes (1588-1679) estuvieron
envueltos en una discusión sobre varios temas matemáticos, siendo uno de ellos este
Figura 2
sólido. Hobbes no podía aceptar un sólido como éste, con área superficial infinita y
un volumen finito; figuras de este tipo eran aceptadas sin problemas por Wallis. Mancosu (1996) da
detalles de esta polémica y muestra fragmentos de la correspondencia entre ambos, en donde
Hobbes afirma que para entender este tipo de figuras “un hombre no debe ser un geómetra o un
lógico, sino que debe estar loco” (p. 146-147).
Este tipo de controversias históricas nos muestran la dificultad existente para comprender y
aceptar este tipo de figuras geométricas, por lo que no debería sorprendernos que los estudiantes
también experimenten problemas para concebir y aceptar estas figuras (especialmente, si tenemos
en cuenta el obstáculo de ligación a la compacidad).
5.3.- La cuadratura de Fermat de hipérbolas y parábolas de orden superior
Pierre Fermat (1601-1665) probó que el área bajo la curva y = xn entre x = a y x = b es igual a
b n+1 − a n +1
para cualquier número racional n distinto de -1, basándose en propiedades de las
n +1
progresiones geométricas y en que, dada una progresión geométrica decreciente a1 , a2 , a3 , ⋅⋅⋅, an , ⋅ ⋅ ⋅
de suma S, entonces se da la igualdad
a1 − a2
a
= 1 . Mediante el uso de construcciones
a2
S − a1
geométricas y de propiedades de las progresiones, Fermat realiza la cuadratura de hipérbolas de
orden superior, como x2.y = constante. De este modo, Fermat concluyó que el área bajo esta curva
era igual al área de un rectángulo dado.
Su procedimiento, en notación moderna, para calcular el área de la región no limitada de la curva
x 2 ⋅ y = k y las rectas x = a e y = 0 es el siguiente. Sobre el eje x, se toman puntos con abscisas
a, ar , ar 2 , ar 3 , ⋅⋅⋅, ar n , ⋅⋅⋅ , (r > 1), y se construyen los rectángulos de base ar n +1 − ar n y altura 1/(arn)2.
Las áreas de estos rectángulos son:
ar − a r − 1 ar 2 − ar r − 1 1 ar 3 − ar 2 r − 1 1
,
=
. ,
=
. ,…
=
a
a r
a r2
a2
a2r 2
a 2r 4
De este modo, las áreas de los rectángulos forman una progresión geométrica decreciente, cuyo
r −1
r
r −1
1
primer término es
y la razón es . La suma de estas áreas será, por tanto, S = a = .
1 a
a
r
1−
r
Mientras más próximo esté r de 1, mejor aproximarán los rectángulos el área que queremos
calcular. El límite cuando r tiende a uno de esta suma es 1/a, que equivale al área bajo la curva.
5.4.- Algunas observaciones
Esta sección muestra que las integrales impropias aparecen en la escena matemática como una
generalización de resultados, de modo que las técnicas empleadas no son sino una generalización de
técnicas ya conocidas. Los matemáticos, en este período, están más interesados en explorar casos
particulares y en calcularlos, pero no hay un establecimiento de la teoría sobre las integrales
impropias, ni un estudio a priori de su convergencia. También hemos visto que algunos resultados
paradójicos produjeron sorpresa, e incluso polémica, aunque la actitud de los matemáticos fue la de
aceptarlos como nuevos elementos del paisaje matemático de la época.
Fue en el siglo XVIII que el punto de vista cambió y los matemáticos comenzaron a estudiar las
propiedades de las funciones en el intervalo de integración. El enfoque pasa de ser geométrico a ser
analítico. Pero en el siglo XIX reaparece un enfoque geométrico, aunque esta vez recubierto del
formalismo desarrollado en la etapa precedente. En nuestra opinión, este hecho puede producir que,
para los estudiantes, el enfoque geométrico normalmente utilizado para introducir la integral de
Riemann quede completamente oscurecido por la notación empleada.
6.- EL DISEÑO DE NUESTRA SECUENCIA DE ENSEÑANZA
Nuestra secuencia de enseñanza trata de regresar al registro original en el que apareció la integral
impropia: el registro gráfico. Esta elección aspira a mejorar la comprensión de los estudiantes,
interpretando gráficamente la mayoría de resultados. Este enfoque es el que se dio en la historia:
generalizar resultados y calcular áreas. Además, el interés en la convergencia y en la clasificación
de resultados no aparece en nuestra secuencia hasta que se ha hecho un primer acercamiento al
nuevo concepto y se han descubierto algunos resultados utilizando herramientas ya conocidas.
Como ya hemos dicho (sección 2), utilizamos la teoría de las situaciones didácticas (ver
Brousseau, 1988), dando gran importancia a las variaciones del contrato didáctico típico en la
universidad y a la construcción de un medio adecuado para cada actividad, para que produzca
contradicciones, dificultades o desequilibrios y que permita el trabajo autónomo y la aceptación de
la nueva responsabilidad por parte de los estudiantes.
6.1.- Metodología
Nuestra secuencia se desarrolló con estudiantes de primer curso de la Licenciatura en
Matemáticas y en ella participaron regularmente unos 25 estudiantes. Inspirados por el desarrollo
histórico, decidimos articular el registro gráfico con el algebraico.
Nuestras actividades incluyeron el estudio de funciones positivas, en
primer lugar, y la interpretación gráfica del cálculo de áreas, justificando
la definición de integral impropia en un intervalo no acotado por medio
de límites:
∫
∞
a
A
b
f ( x).dx = lim ∫ f ( x).dx (figura 3).
b →∞
Figura 3
a
∞
El estudio del comportamiento de estas dos integrales:
a) ∫ e − x dx = 1
0
∞
b) ∫ x −1 / 3dx = ∞
1
,
hizo que los estudiantes se dieran cuenta de que dos funciones con gráficas muy similares (en
particular, cuando se hacen a mano) pueden encerrar áreas muy diferentes. Este hecho empujó a los
estudiantes a pensar en la posibilidad de predecir cuándo diverge la integral. El registro gráfico
permitió a los estudiantes asegurar que, para f(x) positiva, si a partir de un cierto valor de x se tiene
que: f(x) ≥ k > 0, entonces la integral será divergente. Esta conclusión, junto con los dos ejemplos
anteriores, permitió a los estudiantes ver el potencial del registro gráfico para concluir la
divergencia de una integral dada, así como sus limitaciones para predecir la convergencia, lo que
justifica el desarrollo de herramientas más formales. De este modo, los estudiantes comenzaron a
desarrollar algunas intuiciones y experiencias sobre este nuevo concepto antes de comenzar a
institucionalizar la teoría, reproduciendo así en cierto modo el proceso histórico.
El registro gráfico (con la teoría de series) también permitió la construcción
de contraejemplos útiles para cuestiones que suelen producir dificultades a los
estudiantes. Por ejemplo, es posible construir una función no negativa, no
n * 1/n3
acotada y sin límite en el infinito cuya integral es convergente, mediante la
construcción de rectángulos de área 1/n2 sobre cada entero n (figura 4).
Figura 4
Este tipo de ejemplos ayudan a los estudiantes a ver que es posible tener funciones no acotadas
cuya integral es convergente. También, a ver que el hecho de tener una integral convergente no
implica que la función deba tender a cero. Con este tipo de ejemplos, fáciles de construir y de
comprender utilizando la teoría de series, quisimos dar a nuestros estudiantes un repertorio de
funciones para ayudarles a superar el obstáculo de ligación a la compacidad (en este caso, un área
finita no está encerrada por una línea cerrada y acotada). Más detalles de nuestras actividades y de
la secuencia pueden ser encontrados en González-Martín (2006).
6.2.- Toma de datos, análisis y discusión
Nuestra secuencia fue evaluada de varias formas. Durante su implementación, dimos a los
estudiantes algunas hojas de trabajo para trabajar en pequeños grupos, respondiendo a nuevas
cuestiones utilizando los elementos introducidos hasta el momento; también se les pidió completar
una tabla de convergencia de la integral de las funciones usuales, así como la resolución de algunos
problemas. La secuencia, de manera global, se evaluó mediante un test de contenidos. Finalmente,
los estudiantes completaron un cuestionario de opinión sobre los aspectos más relevantes e
innovadores de nuestra secuencia.
Las observaciones de clase nos permiten afirmar que los estudiantes aceptaron gradualmente el
registro gráfico para formular algunas conjeturas desde el momento en que se ilustró el criterio de
divergencia. Para completar la tabla del estudio de la convergencia de la integral de las funciones
más usuales, los estudiantes utilizaron mayoritariamente razonamiento gráfico para concluir la
divergencia de ciertas integrales y afirmaron que este registro les ayudó a evitar largos cálculos.
Además, el trabajo desarrollado en pequeños grupos de trabajo se ponía en común bajo la
supervisión del profesor, lo que ayudó a la institucionalización de este registro como un registro
matemático. Posteriormente, en el análisis de las hojas de trabajo distribuidas a los estudiantes,
podemos ver gran presencia de razonamiento gráfico. Además de lo anterior, los estudiantes
mostraron su satisfacción con el uso del registro gráfico en sus respuestas al cuestionario de opinión
y expresaron que este registro les había ayudado enormemente a comprender mejor los conceptos.
Por otro lado, en el test de contenidos (26 estudiantes), las preguntas que necesitaban del registro
gráfico y de la construcción de contraejemplos fueron respondidas por un porcentaje representativo
del total, dando muestras de una comprensión de la integral impropia y de la coordinación de
registros. Para más información sobre el análisis de datos, consultar González-Martín (2006).
7.- CONCLUSIONES
Este trabajo muestra elementos de una secuencia de enseñanza de la integración impropia que
intenta, además, reforzar el estatus matemático del registro gráfico en los estudiantes universitarios.
La idea de utilizar este registro activamente provino en primer lugar como una consecuencia de
nuestro análisis de la génesis histórica de las integrales impropias, y en segundo lugar de nuestro
interés en mejorar la comprensión de los estudiantes y en ayudarles a superar algunas dificultades
relacionadas con el concepto de integral impropia. Nuestra experimentación nos permitió ver que el
trabajo de construir ejemplos y contraejemplos, junto con la interpretación gráfica de los resultados,
permite a los estudiantes reconocer este registro y aceptarlo. Además, el conocimiento de nuestros
estudiantes sobre las integrales impropias parece ser más fuerte y resistente.
Restan algunas preguntas abiertas que serán abordadas en futuras investigaciones. Por ejemplo, el
uso regular de nuestra secuencia durante un semestre (y sus efectos en la actitud de los estudiantes
hacia el registro gráfico) es una pregunta interesante, así como la integración de actividades
históricas en la secuencia para analizar su influencia en el aprendizaje de los estudiantes.
Referencias
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Mathematics: 41-65. Grenoble: La Pensée Sauvage.
Brousseau, G. (1988). Le contrat didactique : Le milieu, Recherches en Didactique des Mathématiques, 9
(3), pp. 309-336.
Duval, R. (1995). Sémiosis et Pensée Humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels.
Neuchatel: Peter Lang.
González-Martín, A. S. (2002). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje del concepto de integral
impropia. Tesina (Tesis de Maestría), Universidad de La Laguna (España) – sin publicar.
González-Martín, A. S. (2006). La generalización de la integral definida desde las perspectivas numérica,
gráfica y simbólica utilizando entornos informáticos. Problemas de enseñanza y de aprendizaje. Tesis
Doctoral, Universidad de La Laguna: España, ISBN: 84-7756-679-8.
González-Martín, A. S. & Camacho, M. (2004). What is First-Year Mathematics students’ actual
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Mancosu, P. (1996). Philosophy of Mathematics & Mathematical Practice in the Seventeenth Century.
Oxford University Press, New York and Oxford.
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