Tema 5 - Universidad de Jaén

Capítulo 5
Algunas distribuciones
importantes de probabilidad
En los temas anteriores se presentaban ejemplos de distintos experimentos aleatorios y de
variables aleatorias que expresan sus resultados. En este tema se estudian algunas distribuciones
de probabilidad para variables aleatorias discretas y continuas que son de uso frecuente y
aplicables a una amplia gama de experimentos o situaciones.
5.1.
Distribuciones discretas
5.1.1.
El modelo de Bernoulli
Sea (Ω, ℘(Ω), P ) un espacio de probabilidad y A un suceso de Ω tal que P (A) = p, 0 ≤ p ≤ 1.
−
Denotaremos como éxito a la ocurrencia del suceso A y como fracaso a la ocurrencia de A (es
decir, a la no ocurrencia de A).
Definimos la v.a. X como:
X=

 1
 0
si sucede A
−
,
si sucede A
siendo P (X = 1) = p y P (X = 0) = 1 − p = q. Se dice entonces que X sigue una distribución
de Bernoulli de parámetro p, a la que denotamos por Bernoulli(p).
La esperanza y varianza de X vienen dadas, respectivamente, por E(X) = p y V ar(X) = pq.
77
78
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
Ejemplos: clasificación de una pieza en defectuosa o no defectuosa, lanzamiento de una
moneda, opinión a favor o en contra de algo, etc.
5.1.2.
Distribución Binomial
Realizamos el experimento anterior (ensayo de Bernoulli) n veces de manera independiente,
donde la probabilidad de éxito es constantemente p. Entonces la v.a. X definida como el número
de éxitos obtenidos en las n realizaciones sigue una distribución Binomial con parámetros n y
p, que denotamos por B(n, p). Esta variable puede tomar los valores 0, 1, ..., n y su función de
probabilidad es:
µ ¶
n x
p (1 − p)n−x , x = 0, 1, ..., n
x
Además, E(X) = np y V ar(X) = npq.
P (X = x) =
Nota:
µ ¶
n
n!
=
x
x!(n − x)!
Ejemplo 5.1: Una máquina produce artículos defectuosos en un porcentaje del 5 %. Calcular
la probabilidad de que en una muestra de 10 artículos al menos 1 lo sea.
Aquí el ensayo de de Bernoulli consiste en analizar si un artículo es defectuoso o no. Es
defectuoso (éxito) con probabilidad p = 0,05 y no defectuoso (fracaso) con probabilidad q =
1 − p = 0,95. Estamos interesados en el número total de artículos defectuosos en el lote de 10,
por lo que tenemos que realizar 10 veces de manera independiente tal ensayo y sumar los éxitos.
Es claro entonces que X =No de artículos defectuosos en el lote de 10 sigue una B(10, 0,05),
toma valores 0, 1, ..., 10, y
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
5.1.3.
µ ¶
10
0,050 0,9510 = 0,401
0
Distribución Hipergeométrica
Supongamos que tenemos una urna con N bolas, de las cuales Np son rojas y Nq negras. La
proporción de bolas rojas es por lo tanto p = Np /N y la proporción de negras q = 1−p = Nq /N.
Si extraemos de la urna n bolas sin reemplazamiento, entonces X =No de bolas rojas obtenidas
sigue una distribución Hipergeométrica de parámetros (N, n, p), que denotamos por H(N, n, p).
Su función de probabilidad es:
P (X = x) =
¡Np ¢¡ Nq ¢
x
, M áx{0, n − Nq }x ≤ Mı́n{n, Np }
¡Nn−x
¢
n
79
5.1. Distribuciones discretas
N −n
.
N −1
Nota: Cuando se realiza un muestreo, éste puede ser sin o con reemplazamiento. Si es con
Además, E(X) = np y V ar(X) = npq
reemplazamiento se utiliza la distribución binomial para contar el número de éxitos (en este caso
la probabilidad de éxito permanece constante en las realizaciones), y si es sin reemplazamiento
se utiliza la distribución hipergeométrica (la probabilidad de éxito no permanece constante).
Ejemplo 5.2: En una determinada universidad, el 20 % de los alumnos están a favor de
la L.O.U. y el 80 % restante no lo está. Si un medio de comunicación realiza una encuesta a 5
alumnos elegidos al azar para exponer su opinión en directo, ¿cuál es la probabilidad de que
ninguno de ellos se muestre a favor de la reforma?.
X = No de alumnos en la muestra a favor de la reforma → H(100, 5, 0,2)
¡20¢¡80¢
P (X = 0) =
¡0 100¢5
5
5.1.4.
Distribución Binomial Negativa
Realizamos ahora el experimento de forma independiente hasta conseguir k éxitos, donde la
probabilidad de éxito en cada realización es constante e igual a p. Entonces, la v.a. X =No de
fracasos antes del k−ésimo éxito sigue una distribución Binomial Negativa de parámetros k y
p, que denotamos por BN (k, p). Su función de probabilidad viene dada por:
µ
¶
k+x−1 k
p (1 − p)x , x = 0, 1, 2, ...
P (X = x) =
x
n(1 − p)
n(1 − p)
.
y V ar(X) =
p
p2
Nota: Existe una relación entre la distribución Binomial Negativa y la distribución Bino-
Además, E(X) =
mial: sea X =No de fracasos hasta el k−ésimo éxito→ BN (k, p). Si X = x, hay x fracasos y k
éxitos, luego se ha realizado el experimento x + k veces. Si definimos ahora la v.a. Y =No de
éxitos en las x + k realizaciones, es claro que Y → B(x + k, p) y
P (X ≤ x) = P (Y ≥ k)
5.1.5.
Distribución Geométrica
Es un caso particular de la distribución Binomial Negativa; se obtiene cuando k = 1 y por
tanto contabiliza el número de fracasos anteriores al primer éxito. La denotamos por G(p).
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
80
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
Ejemplo 5.3: La probabilidad de recibir de manera errónea un bit enviado por un canal
de transmisión digital es 0.1. Calcula:
a. La probabilidad de que haya 15 bits correctamente transmitidos anteriores el tercer error
X = No de bits correctamente transmitidos antes del tercero erróneo → BN (3, 0,1)
µ ¶
17
P (X = 15) =
0,13 0,915
15
b. La probabilidad de que haya como mucho 4 transmisiones correctas anteriores al tercer
error.
P (X ≤ 4) =
o bien P (Y ≥ 3) siendo Y → B(7, 0,1),
¶
4 µ
X
2+x
0,13 0,9x ,
x
x=0
P (Y ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − 0,9743 = 0,0257
c. Número medio de transmisiones correctas hasta que se presente el primer error.
X = No de bits correctamente transmitidos antes del primero erróneo → G(0,1)
E(X) =
5.1.6.
q
0,9
=
=9
p
0,1
Distribución de Poisson
Suele representar el número de sucesos independientes que ocurren a velocidad constante
en un intervalo de tiempo o espacio. Así por ejemplo, X =No de ocurrencias por unidad de
tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, λ > 0, que denotamos por P (λ), si
su función de probabilidad es:
P (X = x) =
e−λ λx
, x = 0, 1, 2, ...
x!
En esta distribución el parámetro coincide con la media y varianza, E(X) = V ar(X) = λ,
por lo tanto λ en este caso es interpretado como el número medio de ocurrencias por unidad de
tiempo.
Si consideramos ahora Y =No de ocurrencias en el intervalo (0,t], entonces Y → P (λt).
Ejemplos: Número de clientes que llegan a un banco durante una hora o una mañana,
número de defectos en un trozo de material, etc. Sin embargo, de llegar muchos clientes en una
81
5.2. Distribuciones continuas
determinada franja horaria y pocos en otra, o no estar los defectos igualmente distribuidos en
el material, la distribución de Poisson no sería apropiada.
Ejemplo 5.4: Una central telefónica recibe una media de 480 llamadas por hora. Si el
número de llamadas se distribuye según una Poisson y la central tiene una capacidad para
atender a lo sumo 12 llamadas por minuto, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto
determinado no sea posible dar línea a todos los clientes?
X = No de llamadas por minuto → P (8)
P (X > 12) = 1 − P (X ≤ 12) = 1 − 0,9362 = 0,0638
5.2.
Distribuciones continuas
5.2.1.
Distribución Uniforme
Una v.a. X tiene una distribución Uniforme en el intervalo [a, b], y lo denotamos por X →
U (a, b), si su función de densidad es:
f (x) =


1
b−a
 0
si a ≤ x ≤ b
en otro caso
Su media y varianza vienen dadas por: E(X) =
5.2.2.
a+b
(b − a)2
y V ar(X) =
.
2
12
Distribución Normal
Se dice que una v.a. X sigue una distribución Normal de parámetros µ, σ, X → N (µ, σ), si
su f.d.d. es:
−(x−µ)2
1
e 2σ2 , -∞ < x < +∞, µ ∈ R, σ > 0
f (x) = √
2πσ
Los parámetros µ, σ coinciden con la media y desviación típica de la variable respectivamente.
La función de densidad es simétrica respecto a µ.
Teorema: Sean X1 , ..., Xn v.a independientes, con Xi → N (µi , σ i ). Entonces,
v


u n
n
n
X
X
uX
ai Xi → N 
ai µi , t
a2i σ 2i  ,
Y =
i=1
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
i=1
i=1
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
82
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
0,4
0,1
0,3
0,2
0,1
0
-5
-3
-1
1
3
5
Figura 5.1: Función de densidad N(0,1)
es decir, una combinación lineal de variables Normales independientes presenta también distribución Normal.
Teorema: Sea X → N (µ, σ). Entonces, Y = aX + b sigue una distribución Normal con los
siguientes parámetros:
Y → N (aµ, |a| σ)
En consecuencia,
Z=
X −µ
→ N (0, 1)
σ
A esta variable Z se le llama Normal tipificada o estándar.
En adelante denotamos por za al valor de la variable Z que deja por debajo de él una
probabilidad α, es decir,
P (Z ≤ za ) = α
0,4
0,1
0,3
α/2
0,2
α/2
0,1
0
-5
-3
-1
-Z1−α/2
Figura 5.2:
1
3
Z1−α/2
5
83
5.2. Distribuciones continuas
Ejemplo 5.5: Una empaquetadora automática se programa para producir paquetes de 500
g. Un estudio concluye que el peso en gramos de un paquete de la producción es una variable
aleatoria X normal de media 498 g. y varianza 16. Sabemos que producir un gramo de producto
cuesta a la empresa 0.05 euros, mientras que lo vende a 0.09 euros. Llamemos B a la variable
beneficio de la empresa por paquete vendido.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete presente un peso inferior a 490 g?.
X → N (498, 4)
P (X ≤ 490) = P
µ
X − 498
490 − 498
≤
4
4
¶
= P (Z ≤ −2) = 0,0228
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete presente un peso comprendido entre 480 y
490 gr.?
P (480 ≤ X ≤ 490) = P (−2,5 ≤ Z ≤ −2) =
= P (Z ≤ −2) − P (Z ≤ −2,5) = 0,0228 − 0,0062 = 0,0166
c. Expresa la relación que existe entre la variable B y la variable X. ¿Cuál es el beneficio
promedio realizado por la empresa por paquete?.
B = (I − C)X = 0,04X
E(B) = 0,04E(X) = 19,92
V ar(B) = 0,042 V ar(X) = 0,0256
B → N (19,92, 0,16)
d. ¿Cuál es la proporción de paquetes entre la producción para los cuales la empresa tiene
un beneficio mayor de 20 euros?
P (B
Delia Montoro Cazorla.
µ
¶
20 − 19,92
> 20) = P Z >
= P (Z > 0,5) =
0,16
= 1 − P (Z ≤ 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
84
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
e. ¿Qué beneficio se obtiene como máximo en el 95 % de los casos?
P (B ≤ bmáx ) = 0,95
µ
¶
bmáx − 19,92
P Z≤
= 0,95
0,16
bmáx − 19,92
= 1,65
z0,95 =
0,16
bmáx = 20,1840
5.2.3.
Distribución Exponencial
Se utiliza fundamentalmente para modelizar tiempos de vida o tamaños.
Se dice que una v.a X sigue una distribución Exponencial de parámetro λ, X → Exp(λ), si
su función de densidad viene dada por:
f (x) = λe−λx , x ≥ 0, λ > 0
1
1
y V ar(X) = 2 .
λ
λ
Presenta la propiedad de falta de memoria: Sea X una v.a. con distribución Exp(λ), y
Su media y varianza son: E(X) =
s, t ≥ 0. Entonces se verifica que:
P (X ≥ s + t/X ≥ s) = P (X ≥ t)
Ejemplo 5.6: Una empresa suministra una serie de componentes con una vida media de
3000 horas. El riesgo de rotura de los mismos crece a lo largo del tiempo según una función
f (t) = λe−λt , t > 0,
y por lo tanto el tiempo de vida de las componentes, X, sigue una distribución Exp(λ).
a. Obtén el valor de λ
E(X) =
1
= 3000 =⇒ λ = 0,0003
λ
b. Calcula la probabilidad de que una componente se rompa antes de llevar 1000 horas de
funcionamiento.
P (X ≤ 1000) =
1000
Z
0,0003e−0,0003x dx = 0,2592
0
85
5.2. Distribuciones continuas
c. Si las componentes tienen una garantía de un mes, calcula la probabilidad de que una
componente se rompa estando en garantía. En un lote de 50 componentes, ¿cuántas se
esperan que se devuelvan estando en garantía?
Z720
P (X ≤ 720) =
0,0003e−0,0003x dx = 0,1943
0
Y =No de componentes del lote que fallan estando en garantía→ B(50, 0,1943)
E(Y ) = 50 ∗ 0,1943 ' 10
5.2.4.
Distribución Gamma
Una v.a X sigue una distribución Gamma de parámetros α, λ, X → G(α, λ), si su f.d.d. es:
f (x) =
donde
λα α−1 −λx
e
, x ≥ 0, α, λ > 0,
x
Γ(α)
+∞
Z
Γ(α) =
xα−1 e−x dx.
0
α
α
Su media y varianza son: E(X) = y V ar(X) = 2 .
λ
λ
La distribución Exponencial es un caso particular de la Gamma, Exp(λ) = G(1, λ).
5.2.5.
Distribución Chi-cuadrado
La distribución Chi-cuadrado con parámetro n (grados de libertad), denotada por χ2n , resulta
n
1
también un caso particular de la Gamma al considerar α = , λ = . Su función de densidad
2
2
es por tanto:
n
x
1
2 −1 e− 2 , x ≥ 0
f (x) =
n x
n
2
Γ( 2 )2
Su media y varianza son: E(X) = n y V ar(X) = 2n.
Teorema: Si X1 , ..., Xn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
según una N (0, 1), entonces
Y =
n
X
i=1
En adelante llamamos
χ2α,n
al valor de la variable χ2n que deja por debajo de él una proba-
bilidad α, es decir, si X → χ2n ,
Delia Montoro Cazorla.
Xi → χ2n
P (X ≤ χ2α,n ) = α
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
86
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
0,1
10
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
10
20
30
40
Figura 5.3: Ejemplo de f.d.d. de una Chi-cuadrado
5.2.6.
Distribución Beta
Una v.a X sigue una distribución Gamma de parámetros α, β, X → Beta(α, β), si su f.d.d
viene dada por:
f (x) =
Γ(α + β) α−1
(1 − x)β−1 , 0 < x < 1, α, β > 0
x
Γ(α)Γ(β)
Su media y varianza son: E(X) =
5.2.7.
α
αβ
y V ar(X) =
.
α+β
(α + β)2 (α + β + 1)
Distribución t de Student
La distribución t de Student de parámetro n, que denotamos por tn , se genera a partir de
dos variables independientes, una con distribución N (0, 1) y la otra con distribución χ2n . Veamos
cómo en el siguiente teorema:
Teorema: Sean Z → N (0, 1) y X → χ2n variables independientes. Entonces:
Z
T =r
→ tn ,
X
n
de ahí que al parámetro n se le llame también grados de libertad.
Su función de densidad es:
Γ( n+1 )
x2 n+1
f (x) = √ 2 n (1 + )− 2 , -∞ < x < +∞, n > 0,
nπΓ( 2 )
n
simétrica respecto al cero.
Su media y varianza son: E(X) = 0 y V ar(X) =
n
, n > 2.
n−2
87
5.2. Distribuciones continuas
En adelante llamamos tα,n al valor de la variable tn que deja por debajo de él una probabilidad α, es decir,
P (T ≤ tα,n ) = α
0,4
10
0,3
0,2
0,1
α
T α ,n
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Figura 5.4: Ejemplo de f.d.d. de una t-Student
5.2.8.
Distribución F de Snedecor
A la distribución Snedecor de parámetros n1 , n2 la denotamos por Fn1 ,n2 y se genera a
partir de dos distribuciones Chi-cuadrado independientes, χ2n1 y χ2n2 .
Teorema: Sea X → χ2n1 e Y → χ2n2 v.a. independientes. Entonces:
X
n1
→ Fn1 ,n2 ,
F =
Y
n2
y a n1 , n2 se les llaman grados de libertad.
Su función de densidad es:
n /2 n /2
f (x) =
Γ(n1 + n2 )n1 1 n2 2
Γ( n21 )Γ( n22 )
x
n1 −2
2
(n1 x + n2 )−
n1 +n2
2
, x>0
n2
n2 (2n2 + 2n1 − 4)
, n2 > 2. y V ar(X) = 2
, n2 > 4
n2 − 2
n1 (n2 − 2)2 (n2 − 4)
al valor de la variable F que deja por debajo de él una
Su media y varianza son: E(X) =
En adelante llamamos Fα,n1 ,n2
probabilidad α, es decir,
P (F ≤ Fα,n1 ,n2 ) = α
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
88
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
0,8
10,10
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
Figura 5.5: Ejemplo de f.d.d. de una F-Snedecor
Se verifica que:
Fα,n1 ,n2 =
5.3.
1
F1−α,n2 ,n1
Relación entre Poisson, Exponencial y Gamma
Sea X =No de llegadas u ocurrencias por unidad de tiempo→ P (λ).
Entonces:
Y =Tiempo entre dos llegadas consecutivas→ Exp(λ)
Z = Tiempo hasta la k-ésima llegada→ G(k, λ)
Ejemplo 5.7: Un sistema está sometido a la ocurrencia de shocks que llegan según un
proceso de Poisson a razón de 0.0014 por hora. Calcula:
a. Probabilidad de que el primer shock llegue después de 20 días de funcionamiento.
X =Número de shocks que llegan al sistema por hora→ P (0,0014)
Y =Tiempo que transcurre hasta la llegada del primer shock→ Exp(0,0014)
P (Y > 480) = e−0,0014∗480 = 0,5107
b. Probabilidad de que transcurran menos de 15 días entre dos llegadas consecutivas
P (Y < 360) = 1 − e−0,0014∗360 = 0,6041
89
5.4. Aproximaciones entre distribuciones
c. Tiempo medio hasta la llegada del tercer shock
Z =Tiempo hasta la llegada del tercer shock→ G(3, 0,0014)
E(Z) =
5.4.
3
= 2142h.
0,0014
Aproximaciones entre distribuciones
Aproximación
Condición
√
B(n, p) ≈ N (np, npq)
np > 5, p > 0,05
B(n, p) ≈ P (np)
√
P (λ) ≈ N (λ, λ)
np < 5
λ > 10
n
N
H(N, n, p) ≈ B(n, p)
< 0,1
Observación: Sea Xd una variable discreta cuya distribución es aproximada por una la de
una continua Xc . Entonces, la aproximación de probabilidades en Xd por probabilidades en Xc
exige lo que se llama una corrección por continuidad:
P (a ≤ Xd ≤ b) ≈ P (a − 0,5 ≤ Xc ≤ b + 0,5)
Ejemplo 5.8: Un cuestionario de opción múltiple contiene 200 preguntas, cada una de ellas
con cuatro respuestas posibles, y de ellas sólo una es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de
que por simple conjetura el alumno obtenga entre 25 y 30 respuestas correctas para 80 de las
200 preguntas cuya respuesta ignora por completo?.
Definimos X =No de respuestas correctas por suerte → B(80, 0,25) ≈ N (20, 3,87)
P (25 ≤ XB ≤ 30) ≈ P (24,5 ≤ XN ≤ 30,5),
donde XB hace referencia a la Binomial y XN a la Normal.
P (24,5 ≤ XN ≤ 30,5) = P (1,163 ≤ Z ≤ 2,713) = 0,9966 − 0,8770 = 0,1196
5.5.
Teorema Central del Límite
Sean X1 , ..., Xn v.a. independientes con idéntica distribución (no especificada), con media
µ y varianza finita σ 2 . Entonces:
X1 + ... + Xn
X=
n
−
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
µ
¶
σ
→ N µ, √
n
(n→∞)
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
90
Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
Ejemplo 5.9: Un oleoducto se forma uniendo tuberías cuya longitud varía aleatoriamente
según una distribución de media 10m y varianza 1m2 . Calcula la probabilidad de que uniendo
100 tuberías de manera independiente se complete un recorrido superior a 1025m.
Llamamos Xi =Longitud de la tubería i, µi = µ = 10, σ 2i = σ 2 = 1, para i = 1, ..., 100.
100
X
Xi , y se verifica que
La longitud de 100 tuberías será
i=1
¶
µ
X1 + ... + X100
1
√
X=
→ N 10,
100
100
−
Por lo tanto,
à 100
!
µ
¶
µ
¶
X
−
−
P
Xi > 1025
= P 100X > 1025 = P X > 10,25
i=1
= P (Z > 2,5) = 1 − P (Z ≤ 2,5) = 1 − 0,9938 = 0,0062
5.6.
Ejercicios
1. El número de baches en una sección de carretera interestatal que requieren reparación
urgente puede modelarse con una distribucion de Poisson que tiene de media de 2 baches
por cada 20km.
a. ¿Cual es la probabilidad de que no haya baches que reparar en un tramo de 15 kms?.
b. ¿Cual es la probabilidad de que haya que reparar al menos 1 bache en un tramos de
25 kms?.
c. Si el número de baches está relacionado con la carga vehicular de la carretera, y
algunas secciones de ésta tienen una carga muy pesada mientras que otras no, ¿qué
puede decirse sobre la hipótesis de que el número de baches que es necesario reparar
tiene una distribución de Poisson?.
2. En un cierto servicio telefónico, la probabilidad de que una llamada sea contestada en
menos de 30 segundos es de 0.75. Suponga que las llamadas son independientes.
a. Si una persona llama 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 9 de las
llamadas sean contestadas en un espacio de 30 seg?.
91
5.6. Ejercicios
b. Si una persona llama 20 veces, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 16 de las
llamadas sean contestadas en un espacio de 30 seg?.
c. Si una persona llama 20 veces, ¿cuál es el número de llamadas se espera que sean
contestadas en menos de 30 seg?
3.
Un sistema está sometido a la ocurrencia de fallos externos e internos. En cuanto ocurre
alguno de estos dos tipos de fallo el sistema falla . El sistema sufre un fallo interno por
desgaste en su funcionamiento con el paso del tiempo, sin embargo, los fallos externos,
como su nombre indica, se deben a factores ajenos al sistema. Se sabe que el tiempo (en
años) hasta el fallo interno del sistema sigue una distribución Exponencial con parámetro
0.25, y los fallos externos llegan al sistema según un proceso de Poisson a razón de 1 fallo
por año. Los fallos externos e internos son independientes.
a) Obtén la distribución del tiempo hasta la ocurrencia de un fallo externo en el sistema.
b) Calcula la probabilidad de que el sistema falle después de 2 años de funcionamiento.
4. Se supone que el número medio de defectos en rollos de tela de cierta industria textil es
una variable aleatoria Poisson con una media de 0.1 defectos por metro cuadrado.
a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un defecto en un metro cuadrado de tela?
b. ¿Cuántos defectos se esperan en 10 m de tela?.
5. Los resultados obtenidos de 266 muestras de aire se clasifican de acuerdo con la presencia
de dos moléculas raras. En 212 muestras de aire no hay ninguna de estas moléculas, en 24
está solo presente la molécula 1, en 18 sólo la molecula 2 y en 12 las dos simultáneamente.
Suponiendo que las muestras de aire son independientes con respecto a la presencia de
la moléculas, calcular la probabilidad de que si se analizan otras 50 muestras de aire al
menos dos contengan las moléculas raras.
6. Una persona pasa todas las mañanas a la misma hora por un semáforo que está en verde el
20 % de las veces. ¿ Cuál es la probabilidad de que en 5 mañanas consecutivas se encuentre
el semáforo en verde tan solo un día?.
7. La escala electrónica de un proceso de llenado automático detiene la línea de producción
después de haber detectado 3 paquetes con un peso menor que el especificado. Suponga
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
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Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
que la probabilidad de llenar un paquete con un peso menor es de 0.001 y que cada
operación de llenado es independiente.Calcula
a. Probabilidad de que la línea de producción se detenga después de haber llenado el
décimo paquete.
b. Número esperado de operaciones de llenado antes de que se detenga la linea de
producción.
8. El siguiente sistema está formado por 4 componentes idénticas con funcionamiento independiente y exponencialmente distribuido. Se estima que el tiempo de fallo de una
componente es de 1000 horas.
Calcula:
a. Probabilidad de que una componente falle antes de las 1000 horas de funcionamiento.
b. Si una componente lleva funcionando 800 horas, ¿cuál es la probabilidad de que
funcione 200 horas más?.
c. Probabilidad de que el sistema falle después de las 3000 horas de funcionamiento.
9. El tiempo entre llegadas consecutivas de mensajes al móvil de un individuo sigue una
distribución exponencial con media 30 minutos.
a. Si un individuo enciende el móvil a las 10 de la mañana y no ha recibido ningún
mensaje, ¿cuál es la probabilidad de que entre las 10 y las 12 reciba al menos uno?.
b. Si el móvil no puede almacenar más de 15 mensajes en memoria, ¿qué tiempo medio
transcurrirá desde que el individuo limpia la memoria hasta que ésta se satura?.
10. El tiempo de baja por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tiene
distribución normal con media 100 horas y desviación estándar 20 horas. Calcula:
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5.6. Ejercicios
a. Probabilidad de que el tiempo de baja del siguiente mes esté entre 50 y 80 horas.
b. Cúanto tiempo de baja deberá planear la empresa para que la probabilidad de excederlo sea sólo de 0.1
11. Supóngase que en la detección de una señal digital el ruído de fondo tiene una distribución
normal con media 0 voltios y desviación estándar 0.45 voltios. Si el sistema supone que se
ha transmitido un uno digital cuando el voltaje es superior a 0.9 (detección falsa), ¿cuál es
la probabilidad de detectar un uno digital cuando en realidad no se ha enviado ninguno?.
12. El funcionamiento de un sistema se clasifica en ”correcto” y ”deteriorado”. El tiempo que
transcurre hasta el fallo del sistema (en horas) cuando su funcionamiento es correcto sigue
una distribución exponencial de parámetro λc = 0,001, y una distribución exponencial
de parámetro λd = 0,02 cuando su funcionamiento está deteriorado. Los datos de una
muestra de este tipo de sistemas indican que de cada 100 horas que el sistema opera, 80
lo hace correctamente y el resto en estado deteriorado.
Si en un instante de tiempo t el sistema está operativo (funciona),
a. calcula la probabilidad de que su funcionamiento esté deteriorado.
b. calcula la probabilidad de que falle 1000 horas después de ese instante t.
13. El número de toneladas de mineral que produce una mina semanalmente es una variable
aleatoria con media 10 y desviación típica 16. Si se observa la producción durante 50
semanas, calcula:
a) Probabilidad de que el número medio de toneladas por semana esté entre 6 y 14.
b) Probabilidad de que la producción de 50 semanas sea superior a 60 toneladas.
14. El número medio de automóviles que llega a una estación de sumunistro de gasolina es
de 210 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de 10 automóviles por
minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la gasolinera más
automóviles de los que se pueden atender.
15. Se sabe que la concentración de amoniaco en sagre venosa de individuos sanos se distribuye
según una Normal con media 110 microgramos/mm3 y varianza desconocida.
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
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Capítulo 5. Algunas distribuciones importantes de probabilidad
a) Sabiendo que el 99 % de la concentración de amoniaco de los individuos se encuentra
en el intervalo [85,135], calcular la desviación típica de la distribución.
b) Si un individuo tiene una concentración de 120, qué porcentaje de la población
presenta una concentración inferior a él?.
c) Si se somete a una prueba al 5 % de los individuos con mayor concentración, ¿a partir
de qué valor se hará?
d) Si se considera atípica una concentración que diste de la media más de 20, ¿cuántos
individuos se esperarían con esta característica en una muestra seleccionada al azar
de 60 individuos?.
16. En un proceso de fabricación, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.01.
Si la producción diaria es de 10000 piezas y se empaquetan en lotes de 100 unidades:
a) Calcular la probabilidad de que en un lote haya por lo menos dos piezas defectuosas.
b) Si un lote es rechazado cuando contiene más de 5 piezas defectuosas, ¿cuántos lotes
serán rechazados diariamente por término medio?.
17. Una partida de bujías con alta proporción de inservibles (20 %) sale al mercado en paquetes
de 4 unidades y en cajas de 10 paquetes. Calcular la probabilidad de que:
a) Elegido un paquete al azar contenga 2 o más bujías inservibles.
b) Elegida una caja al azar contenga más de 10 bujías inservibles.
c) Elegida una caja al azar contenga tres paquetes sin bujías inservibles.
18. En una fábrica que envasa agua mineral, se ha establecido que el volumen envasado por
máquina automática sigue una distribución Normal de media 150cl. y desviación típica
2cl.
a) Los criterios de la empresa implican que no se venda una botella que contenga menos
de 147cl. ¿Cuál es la proporción de botellas en la producción que no se pueden
vender?.
b) Las botellas se empaquetan por 6 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que un
paquete contenga al menos una botella con menos de 147cl?.
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5.6. Ejercicios
c) En un día se producen 10000 botellas, ¿cuál es la probabilidad de que haya en un
día más de 600 botellas invendibles?.
d) Utilizando el apartado anterior, ¿cuál es, en un mes, el número medio de días en los
que se producen más de 600 botellas invendibles?.
19. Consideremos dos interruptores eléctricos fabricados por dos marcas A y B.
a) El tiempo de vida de un interruptor de la marca A sigue una distribución exponencial
Exp(λA ) de vida media 2 años. Calcula la probabilidad de que no falle a lo largo del
primer año.
b) Si sabemos que un interruptor de la marca A lleva funcionando 6 meses, ¿cuál es la
probabilidad de que dure al menos 1 año más?.
c) El tiempo de vida de un interruptor de la marca B sigue también una distribución
exponencial, Exp(λB ). Sabiendo que la probabilidad de que falle durante el primer
año es 0.25, calcula el valor de λB y el tiempo medio de fallo de esta marca de
interruptores.
d) Si conectamos en serie dos interruptores, uno de cada tipo, ¿qué distribución presenta el tiempo de fallo del sistema resultante?. Calcula el tiempo medio de fallo del
sistema.
e) Si se instalan 10 interruptores de la marca B en diferentes sistemas (no conectados),
calcula la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellos fallen a lo largo del primer año.
f ) Si instalamos ahora 100 interruptores de la marca B, ¿cuál es la probabilidad de que
a lo sumo 30 de ellos fallen durante el primer año?.
Delia Montoro Cazorla.
Dpto.
de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.