Diferenciación Numérica

Diferenciación Numérica
Computación / Matemáticas
MA2008
Computación / Matemáticas
Diferenciación Numérica
Diferenciación Numérico
La derivada de la función f (x) en x = xo es por definición
matemática:
f (xo + h) − f (xo )
f 0 (xo ) = lim
h→0
h
aunque esta fórmula da una manera obvia de generar una
aproximación de f 0 (xo ) dándo valores de paqueños de h y calcular
f (xo + h) − f (xo )
h
tenemos el problema de que f (xo + h) y f (xo ) tendrán valores muy
cercanos y en la operación de resta en la computadora habrá
pérdidas de cı́fras significativas.
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Diferenciación Numérica
Fórmulas alternativas de aproximación
Usando polinomios de Lagrange de ajuste a tres puntos (sección
3.1) para aproximar f 0 (xo ):
Teniendo como datos tres puntos igualmente espaciados en x (h es
el paso):
f 0 (xo ) =
f 0 (xo ) =
f 0 (xo ) =
1
2h
1
2h
1
2h
2
(−3 f (xo ) + 4 f (xo + h) − f (xo + 2 h)) + h3 f (3) (ξo )
2
(−f (xo − h) + f (xo + h)) − h6 f (3) (ξ1 )
2
(f (xo − 2 h) − 4 f (xo − h) + 3 f (xo )) + h3 f (3) (ξo )
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Fórmulas alternativas de aproximación
Usando polinomios de Lagrange de ajuste a cinco puntos (sección
3.1) para aproximar f 0 (xo ):
Teniendo como datos tres puntos igualmente espaciados en x (h es
el paso):
f 0 (xo ) =
1
12 h
(f (xo − 2 h) − 8 f (xo − h)
+8 f (xo + h) − f (xo + 2 h)) +
f 0 (xo ) =
1
12 h
f 0 (xo ) =
1
12 h
h4
30
f (5) (ξ)
(−25 f (xo ) + 48 f (xo + h) − 36 f (xo + 2 h)
4
+16 f (xo + 3 h) − 3 f (xo + 4 h)) + h5 f (5) (ξ1 )
(+25 f (xo ) − 48 f (xo − h) + 36 f (xo − 2 h)
4
−16 f (xo − 3 h) + 3 f (xo − 4 h)) + h5 f (5) (ξ1 )
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Ejemplo
Considere la función f (x) = e x − 2 x 2 + 3 x − 1. Realice una tabla
con los valores de x desde 0.0 hasta 1.0 con un paso de h = 0.1.
Determine y aproxime la derivada usando fórmulas de tres y cinco
puntos calculando los errores y las cotas para el error.
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Ln,k (x)
Sean x0 , x1 ,. . . ,xn un conjunto de valores diferentes, se define
Ln,k (x) =
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn )
(xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn )
Es un polinomio en x que cumple Ln,k (xi ) = 0 para todo
i = 0, . . . , n pero diferente de k y Ln,k (xk ) = 1.
1
xk
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Polinomio Interpolante de Lagrange
Dados una serie de puntos con diferente abscisa (x0 , y0 ), (x1 , y1 ),
. . . , (xn , yn ) el polinomio interpolante de Lagrange de grado n se
define como
P(x) = y0 · Ln,0 (x) + y1 · Ln,1 (x) + · · · + yn · Ln,n (x)
Si las ordenadas de los puntos provienen de una función f (x) que
tiene n + 1 derivadas continuas en un intervalo que contiene a los
puntos [a, b], entonces para todo x en [a, b]
f (x) =
n
X
i=0
f (xi ) Ln,i (x) +
f n+1 (ξ(x))
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
(n + 1)!
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Fórmula de (n + 1) puntos para aproximar f 0 (x)
Derivando la fórmula anterior:
f 0 (x)
=
Pn
0
i=0 f (xi ) Ln,i (x) + Dx
f n+1 (ξ(x))
(n+1)!
h
f n+1 (ξ(x))
(n+1)!
i
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )+
Dx [(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )]
Evaluando en x = xk y observando que hay términos que se hacen
cero en la evaluación:
f 0 (xk ) =
n
X
f (xi ) L0n,i (xk ) +
i=0
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f n+1 (ξ(x))
(n + 1)!
n
Y
i =0
i 6= k
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(xk − xi )