CUAD. CONTROL I

CONTROL I
UNIDAD I
CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL.
1.1.-DEFINICIONES…………………………………………..……………………..3
Entrada, Salida , Planta , Sistema, Control, Sistema de Control, Linealización , Lazo
Abierto ,Lazo Cerrado ,Sistema Lineal , Sistema No Lineal ,Variable Controlada ,
Variable Manipulada , Histeresis , Fricción , Linealización , Función de Transferencia ,
Diagramas a Bloques y Flujo de Señal.
UNIDAD II
MODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS.
2.1.-ELECTRICOS……………………………….…………………………….……16
2.2.-MECANICOS: Traslación y Rotación………………………………….………17
2.3.-HIDRÁULICOS……………………………………………………….………..25
2.4.-NEUMÁTICOS…………………………………………………………………27
2.5.-FUNCION DE TRANSFERENCIA Y ANALOGICAS………………….…….29
UNIDAD III
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO.
3.1.-DEFINICIONES…………………………………………………………………32
Respuesta Transitoria, Respuesta Estacionaria, Señales de Entrada
( Impulso Unitario, Escalón Unitario, Rampa Unitaria ).
3.2.-SISTEMAS DE PRIMER ORDEN……………………………………………..37
3.3.-SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO…………………………………………..40
3.4.-SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR…………………………………………..47
UNIDAD IV
MODOS DE CONTROL
4.1.- MODOS DE CONTROL: On-Off ,On-Off con Brecha Diferenciada ,
P , I , D, P-I ,P-D , P-I-D…………………………………………………………….48
4.2.- SINTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN……………………………………….54
1
UNIDAD V
ESTABILIDAD
5.1.-CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ…….………………57
5.2.-LUGAR DE LAS RAICES……………………………………………………..60
UNIDAD VI
ANÁLISIS DE ERROR
6.1.-ERRORES ESTÁTICOS Y DINÁMICOS…….………………………………..62
6.2.-SENSIBILIDAD…………………………………………………………………63
TABLAS
Transformadas de Laplace………………………………..…………………………..64
Algebra de bloques……………………………………………………….…………..66
Bibliografía
Ingeniería de control moderna
Katsuhiko Ogata
Prentice hall 4ta edición
Ing. de control analógica y digital
Rina Navarro
MC. Graw Hill
Introducción a la Ing. de control automático
Rodrigo Ávila
MC Graw Hill
Sistemas de Control Automático
Benjamin C. kuo
ed. Prentice hall.
2
UNIDAD I
CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL.
1.1.-DEFINICIONES
Introducción a los sistemas de control.
El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y
la ciencia debido a los avances en la teoría y la practica del control automático. Son
muchas las áreas de la industria beneficiadas como por ejemplo las áreas espaciales,
automotrices, médicas, etc. Ya que ya que un desempeño optimo de los sistemas
dinámicos han mejorado la productividad y aligeran la carga de muchas operaciones
manuales y repetitivas.
Conceptos de sistemas de control.
Variable controlada:
Es la cantidad o condición que se mide y controla, por lo común la variable controlada
es la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del
sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir la desviación.
Variable manipulada:
Es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la
variable controlada.
Sistema:
Es la combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo
determinado.
Planta:
Es el elemento físico que se desea controlar. La planta puede ser un motor, un horno, un
sistema de navegación etc.
Señal de salida:
Es la variable que se desea controlar (posición, velocidad, presión, Temp.) También se
le llama variable controlada.
3
V(t)
Unidad de control
E (t)
Motor
K
Planta
Y(t)
C(t)
Sensor
Motor de 12 volts – 1100 R/M
La variable manipulada seria el voltaje por que lo manipulamos para obtener la
velocidad angular. La velocidad seria la señal de salida o variable controlada. Un
tacogenerador conectado con el motor o planta , el tacogenerador seria el sensor y nos
detectara la variable manipulada y poder hacer la relación por ejemplo:
0 volts = 0 R/M
6 volts = 550 R/M
12 volts = 1100 R/M
Sistemas de control
Sistema de control realimentado o sistema de lazo cerrado:
Es un sistema que mantiene una relación preescrita entre la salida y la entrada de
referencia comparándola y usando la diferencia como medio de control.
Sistema de control de lazo abierto:
En estos sistemas de control la señal de salida no es monitoreada para generar una señal
de control. En cualquier sistema de control de lazo abierto, la salida no se compara con
la entrada de referencia.
Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo
abierto:
Como se podrá observar en las definiciones el control de lazo cerrado nos da en nuestra
planta un comportamiento automático, sin necesidad de un operador humano.
En cambio, en un sistema de lazo abierto, todo el proceso de control se hace en base a
un operador humano, toda operación es manual.
Señal de referencia:
Es el valor que se desea que alcancé la señal de salida.
4
Error:
Es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida real.
Señal de control:
Es la señal que produce el controlador para modificar la variable controlada de tal
forma que se disminuye o elimine el error.
Perturbación:
Es una señal que tiende a afectar la salida del sistema desviándola del valor deseado.
Control realimentado:
Se refiere a una operación que en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la
diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa
haciendo en base a esta diferencia.
Ejemplo de lazo abierto:
Ejemplo de control de lazo cerrado:
5
Diagrama a bloques
Nivel
deseado
Controlador
Válvula
neumática
Tanque de
agua
Nivel de agua
Flotador
Sistemas lineales
Un sistema lineal se define como aquel cuyo comportamiento puede describirse con un
conjunto de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer orden. También se
denomina lineal si se aplica el principio de superposición
Principio de superposición:
Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultanea de 2
funciones de excitación o entradas diferentes, es la suma de 2 respuestas individuales.
Sistema de control invariante en el tiempo:
Es un sistema de control de coeficientes constantes, es aquel en el que los parámetros no
varían en el tiempo. La respuesta del sistema es independiente del tiempo en el que se
aplica la entrada. Se refiere al controlador, debe de tener una condición la entrada con el
controlador deben ser iguales esta en sincronía.
Sistema de control variante en el tiempo:
Es aquel en el cual los parámetros varían con el tiempo, su respuesta dependen del
tiempo en el que se aplica una entrada.
Sistemas dinámicos:
Es aquel si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado.
Sistema estático:
Es aquel si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso.
6
Diferencias entre sistema dinámico y sistema estático:
La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia, cambia
solo cuando la entrada cambia.
En el sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no esta en su estado de
equilibrio.
Modelo matemático de sistemas lineales.
Introducción:
Un modelo matemático de un sistema dinámico, se define como un conjunto de
ecuaciones que presentan la dinámica del sistema. Un modelo matemático no es único
para un sistema determinado; Puede representarse en muchas formas diferentes, por lo
que puede tener muchos modelos matemáticos.
Función de transferencia:
La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial
lineal e invariante en el tiempo se define como:
“El cociente entre la transformada de Laplace de salida (Función respuesta) y la
transformada de Laplace de la entrada (Función de excitación) cuando las condiciones
iniciales son cero”.
L
F.T = G(s) = ( Salida )
L( Entrada )
y( s )
0
x( s )
b0( ms ) + b1(sm −1) + ..... + bm −1s + bm
= (n)
a0 s + a1(sn −1) + ..... + an −1s + an
A partir de la F.T, es posible representar la dinámica de un sistema mediante funciones
algebraicas en “S”.
Si la potencia más alta de “S” en el denominador de la función de transferencia es igual
a n, el sistema se denomina de n-esimo orden.
Sistema en el dominio de tiempo (ec. dif.)
r(t)
e(t)
K
c(t)
Planta
y(t)
u(t)
Sensor
7
r(t) = señal set point ó referencia
e(t) = señal error
c(t) = señal de control
y(t) = señal de salida
u(t) = señal del sensor
Sistema en el dominio de la frecuencia. (Función transferencia)
R(s)
E(s)
C(s)
K
U(s)
Planta
Y(s)
Sensor
Diagrama a bloques
Un diagrama a bloques de un sistema, es una representacion grafica de las funciones
que lleva acabo cada componente, así como también el flujo de señales. Estos
diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. A
diferencia de la representación matemática abstracta, un diagrama a bloques tiene la
ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.
En diagrama a bloques se enlazan una con otra todas las variables de sistema, mediante
bloques funcionales. Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo para representar la
operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la
salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen
en bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección
de flujo de señal.
F.T
G(s)
Bloque funcional ó “Bloque”
- Observe la punta de flecha que señala al bloque; que indica la “entrada” y la punta de
flecha que se aleja del bloque representa la “salida”.
Las flechas se les llama “señales”. Las ventajas de la representación mediante diagrama
a bloques de un sistema estriban en que es muy fácil de formar el diagrama a bloques
general de todo el sistema, con solo conectar los bloques de los componentes de acuerdo
con el flujo de señales y que es posible evaluar la contribución de cada componente al
desempeño general del sistema.
8
Simbología:
• Bloque ó bloque funcional.
G(s)
Entrada
(señal)
•
Salida
(señal)
Punto suma ó diferencia: Es un círculo con una cruz, es el símbolo que indica
una operación de suma. El signo (+) ó (-) en cada punta de la flecha indica si la
señal debe sumarse ó restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o
resten tengan misma direcciones o unidades.
a
a-b
b
•
Punto de ramificación: Es aquel a partir del cual, la señal de un bloque va de
modo concurrente a otros bloques ó punto suma.
C(s)
C(s)
Tipos de conexiones en bloques:
• Conexiones serie
X(s)
G1(s)
Y(s)
Z(s)
G2(s)
Estos bloques se multiplican
X(s)
G1(s) G2(s)
F.T =
Z(s)
Z
= G1(s) G2(s)
X
9
•
Conexiones paralelos:
G1(s)
+
X(s)
Y(s)
+
G2(s)
Estos bloques se suman
X
Regla de
transformación
1 Conexión en serie
2 Conexión en paralelo
Y
G1(s)+G2(s)
Sistema original
a
Sistema equivalente
b
G1
a
b
G2
G1G2
G1
a
b
a
b
G1+G2
G2
b
G
3 Retroalimentación
(negativo ó positivo)
a
G
1 ± GH
a
G
b
b
H
a
4 Mover el punto de
separación “después” de
un bloque
b
G
a
1
G
a
a
5 Mover el punto de
separación “antes” de un
bloque
b
b
a
G
b
G
b
b
G
10
a
c
a
c
G
6 Mover el comparador
antes de un bloque
G
b
b
G
a
c
a
G
c
G
7 Mover el comparador
después de un bloque
b
b
1
G
b
a
b
b
a+b-c
a
c
a+b-c
c
8 Cambiar el orden del
comparador
b
a
a+b-c
c
Sistemas básicos: son 2 los importantes
R(s)
E(s)
G(s)
C(s)
C(s) = E(s) G(s)
E(s) = R(s)-C(s)
R(s)
E(s)
B(s)
G(s)
C(s)
H(s)
C(s) = E(s) G(s)
E(s) = R(s)-B(s)
B(s) = C(s) H(s)
11
Obtener la F.T del bloque (1)
F.T =
C( s )
R( s )
=
out
in
R(s)
E(s)
C(s)
G(s)
C(s) = E(s) G(s)………1
E(s) = R(s)-C(s)………2
Sustituir la función 2 en 1
C(s) = [R(s)-C(s)] G(s)
C(s) = R(s)G(s)-C(s)G(s)
C(s) + C(s)G(s) = R(s)G(s)
C(s) [1+G(s)] = R(s)G(s)
C( s )
R( s )
=
G( s )
(1 + G( s ) )
Función de transferencia del modelo básico
Obtener, encontrar la F.T
R(s)
E(s)
B(s)
G(s)
C(s)
F.T =
C( s )
R( s )
H(s)
C(s) = E(s) G(s) ………1
E(s) = R(s)-B(s) ………2
B(s) = C(s) H(s)………3
La ec. 3 sustituir en ec. 2
E(s) = R(s) – [C(s)H(s)]
Sustituir la ec. 2 en ec. 1
C(s) = [R(s)-C(s)H(s)] G(s)
C(s) = R(s)G(s)-C(s)H(s)G(s)
12
C(s) + C(s)H(s)G(s) = R(s)G(s)
C(s) [1+H(s)G(s)] = R(s)G(s)
C( s )
R( s )
=
G( s )
[1 + H ( s ) G( s ) ]
Å F.T
Reducción de diagrama a bloques.
Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie solo si la entrada de
un bloque no se ve afectada por el siguiente bloque. Si hay efectos de carga entre los
componentes es necesario combinarlos en un bloque único.
Cualquier cantidad de bloques en cascada que represente componentes sin carga pueden
sustituirse con un solo bloque cuya función de transferencia sea simplemente el
producto de las función de transferencia individuales, un diagrama de bloques
complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifican mediante un
reordenamiento paso a paso mediante las reglas de algebra de bloques de los diagramas
a bloques.
La simplificación de un diagrama a bloques mediante reordenamiento y sustituciones
reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático
subsecuente. Sin embargo, debe señalarse que conforme se simplifica el diagrama a
bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas
debido a que se generan polos y ceros nuevos. Al simplificar un diagrama a bloques
recuerde lo siguiente:
1.- El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa
debe ser el mismo.
2.- El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.
H2
R(s)
G1
G2
G3
C(s)
H1
Aplicamos reglas de algebra DAB hacemos que
se pase al otro lado.
13
H2/G1
R(s)
G1
G2
G3
C(s)
H1
H2/G1
R(s)
G1G2
C(s)
G3
H1
H2/G1
R(s)
G1G2
1-H1G1G2
G3
C(s)
H2/G1
R(s)
G1G2G3
1-H1G1G2
C(s)
14
G1G2G3
G1G2G3
G1G2G3
1 − H1G1G2
1 − H1G1G2
1 − H1G1G2
=
=
=
G
H
G
G
H 2G2G3
⎡ H 2 ⎤ ⎡ G1G2G3 ⎤ 1 +
1 2 2 3
1+
1+ ⎢ ⎥⎢
⎥
(
)
−
G
1
H
G
G
1 − H1G1G2
−
1
G
H
G
G
1
1
1
2
1 1 2⎦
⎣ 1 ⎦⎣
G1G2G3
G1G2G3 (1 − H1G1G2 )
G1G2G3
1 − H1G1G2
=
=
=
1 − H1G1G2 + H 2G2G3 (1 − H1G1G2 )(1 − H1G1G2 + H 2G2G3 ) 1 − H1G1G2 + H 2G2G3
1 − H1G1G2
R(s)
Modelo básico
C( s )
R( s )
C( s )
R( s )
C( s )
R( s )
C(s)
G1G2G3
1-H1G1G2+H1G1G2
C( s )
R( s )
=
G( s )
(1 + G( s ) )
R(s)
G(s)
C(s)
G1G2G3
G1G2G3
1 − H1G1G2 + H 2G2G3
1 − H1G1G2 + H 2G2G3
=
=
1 − H1G1G2 + H 2G2G3 + G1G2G3
G1G2G3
1+
1 − H1G1G2 + H 2G2G3
1 − H1G1G2 + H 2G2G3
=
G1G2G3 (1 − H1G1G2 + H 2G2G3 )
(1 − H1G1G2 + H 2G2G3 )(1 − H1G1G2 + H 2G2G3 + G1G2G3 )
=
G1G2G3
1 − H1G1G2 + H 2G2G3 + G1G2G3
15
UNIDAD II
MODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS.
Sistemas dinámicos
Son aquellos sistemas físicos no estáticos y que siempre nos representa variables, por
ejemplo: sistemas eléctricos – electrónicos, el movimiento de los electrones (relación
voltaje – corriente); sistemas mecánicos, engranes, bandas, poleas, etc.; en los sistemas
hidráulicos, movimiento de fluidos a través de un control de flujo o recipientes.
En la mayoría de los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como
eléctricos, aunque algunos sistemas tienen elementos neumáticos e hidráulicos. Desde el
punto de vista matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos son
análogos, de hecho se puede demostrar, que dado un dispositivo eléctrico normalmente
existe una contraparte matemática-mecánica, análoga y viceversa.
2.1.- ELÉCTRICOS
Sistema eléctrico
Ii(t)
I0(t)
Ic
V(t)
Ii(t)
Obtener F.T
R
V ( s)
I i ( s)
Ecuación diferencial:
I i (t ) = I C (t ) + I 0 (t )
I C (t ) = I i (t ) − I 0 (t )
C
dV (t )
= I i (t ) − I 0 (t ) ………(1)
dt
I 0 (t ) =
V (t )
………(2)
R
Ecuación Laplace:
CSV ( s ) = I i ( s ) − I 0 ( s )
16
I 0 (s) =
V ( s)
R
Sustituir I0(s)
CSV ( s ) = I i ( s ) −
CSV ( s ) +
V ( s)
R
V ( s)
= I i ( s)
R
1⎞
⎛
V ( s )⎜ CS + ⎟ = I i ( s )
R⎠
⎝
V (s)
1
=
1⎞
I i (s) ⎛
⎜ CS + ⎟
R⎠
⎝
2.2.- MECÁNICOS: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN.
Sistemas mecánicos
Movimiento de traslación:
Se define como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta, sus
variables son la aceleración, desplazamiento y la velocidad, donde la segunda ley de
Newton establece:
“F = m a” ó “Σ F = m a”
Masa:
Es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de
traslación, como comentario podemos decir que la masa es análoga a la inductancia en
un circuito eléctrico.
Si w = peso del cuerpo
w
m=
g
Donde g: es la aceleración de la caída libre de un cuerpo debido a la gravedad g = 9.80
m/seg2
Unidades
S.I.
Británicas
Masa (m)
Kilogramos (Kg.)
slug
Aceleración
m/s2
pies/s2
Fuerza
Newton (N)
Libra (lb-fza)
Resorte lineal:
Es considerado como un modelo de resorte real o como una banda o cable. Es un
elemento que almacena energía potencial (es la energía que tienen los cuerpos capaces
17
de realizar un trabajo mecánico debido a la posición que ocupa dentro de un campo de
fuerza); es análogo al capacitor en un circuito eléctrico.
El comportamiento de un resorte con deformación pequeña se aproxima a la relación:
F(t) = K y(t)
Donde K = constante de resorte (rigidez)
Unidades Cte. de resorte K
S.I.
N/m
Británicas
Lb/pies
f(t) = K y(t)
Esta ecuación implica que la fuerza que actúa en el resorte
directamente proporcional (deformación) del resorte.
y(t)
K
F(t)
Sistema fuerza - resorte
Si el resorte es precargado con una tensión (T), la ecuación:
f(t) – T = K y(t)
18
Relación Fza.-Velocidad, Fza.-desplazamiento e Impedancia para resorte masa,
amortiguador traslacional.
Componente
Fuerza-velocidad
Resorte
x(t)
t
f(t)
f (t ) = K ∫ V (t )dt
Fuerzadesplazamiento
Impedancia
Zm( s ) = F ( s )
X (s)
f (t ) = Kx(t )
K
dx(t )
dt
bs
0
Amortiguador
x(t)
f(t)
f (t ) = bV (t )
f (t ) = b
B = fricción
b=fv
b = coeficiente de fricción
viscosa
Masa
x(t)
m
f(t)
f (t ) = m
dV (t )
dt
f (t ) = m
d 2 x(t )
dt 2
ms2
Podemos observar entonces que el resorte es análogo al capacitor, el amortiguador es
análogo a la resistencia y la masa es análoga al inductor.
En consecuencia sumar fuerzas escritas en términos de velocidad es análogo a sumar
voltajes escritos en términos de corriente y las ecuaciones diferenciales mecánicas
resultantes son análogas a las ecuaciones de malla. Si las fuerzas se escriben en
términos de desplazamiento, las ecuaciones resultantes se asemejan pero no son
análogas a las ecuaciones de malla.
El sistema mecánico solo requiere de una ecuación diferencial, llamada ecuación del
movimiento, para poder describirlo, empezaremos por su poner una dirección positiva
de movimiento, por ejemplo a la derecha. Esta supuesta dirección positiva de
movimiento es semejante a suponer una dirección de corriente en un circuito eléctrico.
Mediante el uso de nuestra dirección supuesta de movimiento positiva, primero
dibujamos un diagrama de cuerpo libre colocando en el cuerpo todas las fuerzas que
actúan sobre este, ya sea en dirección de movimiento o en sentido opuesto a este, a
19
continuación usamos la ley de Newton para formar una ecuación diferencial, al sumar
las fuerzas y hacer las sumas igual a cero, suponiendo condiciones iniciales a cero,
posteriormente convertimos estas ecuaciones a Laplace para obtener la función de
transferencia.
Modelo mecánico masa-resorte-amortiguador
f(t)
f = fuerza aplicada
k = constante del resorte
m = masa del cuerpo
b = coeficiente del amortiguador (fricción viscosa)
x = desplazamiento
K
m
b
X(t)
K
f
m
K y b son
directamente
proporcionales
b
•
Si aplicamos la 2da derivada del desplazamiento (x)
nos da la aceleración (a).
•
Si aplico la 1ra derivada al desplazamiento (x) nos da
la velocidad (v).
•
F = ma + b(v) + K(x)
Diagrama cuerpo libre
Obtener la F.T. La fuerza esta en función del desplazamiento
Entrada: la fuerza aplicada F(s)
f(t)
Salida: el resultado del desplazamiento X(s)
K
m
F.T =
b
X(t)
X ( s)
F ( s)
F = ma + b(v) + KX
Ecuación diferencial:
d 2 x(t )
dx(t )
f (t ) = m
+V
+ KX (t )
dt
dt
Ecuación en Laplace
20
F ( s ) = mS 2 X ( s ) + bSX(s) + KX(s)
F ( s ) = X ( s )(mS 2 + bS + K )
X ( s)
1
=
2
F ( s ) mS + bS + K
Función de transferencia.
Movimiento de rotación
Se define como el movimiento alrededor de un eje fijo. La ley de Newton para el
movimiento de rotación establece:
ΣFuerzas = J α
J = Inercia
α = aceleración angular
Las otras variables que se usan generalmente para describir el movimiento de rotación
son: par (T) torsión y la velocidad angular (W) así como el desplazamiento angular (θ).
Inercia: la inercia (J) se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía
cinética de movimiento de rotación. La inercia de un elemento dado, depende de la
composición geométrica alrededor del eje de rotación y su densidad.
Por ejemplo la inercia de un disco circular ó eje alrededor de su eje geométrico esta
dado por:
J = ½ m r2
Cuando un par es aplicado a un cuerpo con inercia “J”, como se muestra en la figura:
T(t)
J
θ(t)
T (t ) = Jα (t ) = J
d 2θ (t )
dt
Sistema par-inercia
En donde:
θ(t) = Desplazamiento angular
W(t) = Velocidad angular
α(t) = Aceleración angular
Unidades Inercia Par-Torsión Desplazamiento Angular
S.I.
Kg-m2
N-m
rad
21
Conversión entre movimientos de traslación y rotación.
En sistemas de control de movimiento a menudo ó casi siempre es necesario convertir
movimiento de rotación en movimiento de traslación.
Por ejemplo, una carga (peso) se puede controlar para que se mueva a lo largo de una
línea recta mediante un motor giratorio junto con un tornillo sin fin.
2
X(t)
T(t) θ(t)
W
Motor
W⎛ L ⎞
J= ⎜
⎟
g ⎝ 2π ⎠
W = Peso del cuerpo
L = Distancia lineal que viaja el
peso por las revoluciones/min.
g = Aceleración de la gravedad
Tornillo sin fin
Sistema de control de movimiento rotatorio a lineal (tornillo sin fin)
Sistema de control cremallera – piñón
X(t)
W
J = mr 2 =
r
Engrane recto ó
cremallera
W 2
r
g
θ(t)
Piñón
T(t)
Motor de manejo
Trenes de engranes, palancas mecánicas, bandas
Un tren de engrane, una palanca o una banda sobre una polea son dispositivos
mecánicos que transmiten energía desde una parte del sistema a otro en forma tal que se
alteran la fuerza, el par torsión, la velocidad y el desplazamiento. Estos dispositivos
considerados de acoplamiento son empleados para lograr la máxima transferencia de
potencia.
N1
T1θ1
Engrane recto
N2
T2θ2
22
La unión de engrane-engrane produce más potencia, que un mecanismo de una polea a
un engrane.
En este tren de engranes se presentan 2 engranes acoplados en este caso la fricción y la
inercia son despreciables.
Las relaciones entre los pares T1 y T2, los desplazamientos angulares θ1 y θ2 así como
los números de dientes N1 y N2, se obtiene los siguiente:
1.- El numero de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a los r1 y
r2 delos engranes, esto es:
R1N2 = R2N1
2.- La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma, por tanto:
θ1r2 = θ2r1
3.- El trabajo realizado de un engrane es igual al que realiza otro ya que se supone no
hay perdidas.
T1θ1 = T2θ1
En la practica los engranes, trenes, inercia y fricción entre los dientes de loe engranes
acoplados que no se pueden despreciar. En la práctica no se desprecia la fricción y
temperatura.
Bandas y poleas
Las bandas y poleas sirven para el mismo propósito que el tren de engranes, excepto que
permiten transferencia de energía sobre una distancia mayor sin utilizar un numero
excesivo de engranes.
T1θ1
T2θ2
r1
r2
Los mecanismos son piezas cilíndricas de material sólido con ranuras simétricas a su
alrededor. Los engranajes transmiten un movimiento giratorio de un eje a otro.
Engranaje recto: Se emplean para conectar árboles cuyos ejes son paralelos.
23
Funciones de transferencia en sistema mecánico rotacional
Los sistemas mecánicos rotacionales se manejan en la misma forma que los sistemas
mecánicos traslacionales, excepto que un par sustituye a la fuerza y un desplazamiento
angular sustituye al desplazamiento lineal.
Los componentes mecánicos para los sistemas rotacionales son los mismos que para los
sistemas traslacionales, salvo que los componentes experimentan rotación en lugar de
traslación.
Componentes
Resorte
T(t) θ(t)
Par-velocidad
angular
Par-desplazamiento
angular
Impedancia
Zm=T(s)/θ(s)
T (t ) = K ∫ W (t )dt
T (t ) = Kθ (t )
K
K
Amortiguador
T(t) θ(t)
Inercia
T(t) θ(t)
T (t ) = DW (t )
T (t ) = J
dW (t )
dt
dθ (t )
dt
Ds
d 2θ (t )
dt
Js2
T (t ) = D
T (t ) = J
J
Unidades del sistema mecánico rotacional
T(t) = N-m (Newton – metros)
θ(t) = Desplazamiento angular rad (radianes)
W(t) = Velocidad angular (rad/seg)
K = Constante del resorte (N m/rad)
D = Coeficiente del amortiguador rotacional (N m s/rad)
I = Inercia (momento de) (Kg-m2)
24
2.3.- HIDRÁULICOS
Sistema dinámico hidráulico (nivel de líquido)
Flujo laminar:
Es cuando las capas adyacentes del fluido viscoso fluyen en forma suave una sobre otra
y permanece una línea de corriente de flujo estable.
Flujo turbulento:
Es cuando cambia el flujo laminar a un movimiento irregular y aleatoria del fluido.
Sistema hidráulico
qi(τ)
C
R
h
q0(τ)
q = Flujo
h = Nivel de liquido o altura
C = Capacidad del tanque
R = Válvula o resistencia al flujo
Hidráulico
Hidráulico
q = Flujo
h = Nivel
C = Capacidad
R = Válvula
Sistema hidráulico
qi(τ)
Obtener la F.T
H ( s)
Qi ( s)
C
R
h
q0(τ)
Analogía
ic(t ) = C
dv(t )
dt
h
q
R
25
Ecuación diferencial:
qi (τ ) − q0 (τ ) = C
q0 (τ ) =
dh(τ )
………(1)
dτ
h(τ )
………(2)
R
Ecuación Laplace:
Qi ( s) − Q0 ( s) = CSH ( s )
Q0 (τ ) =
H ( s)
R
Sustituir Q0(s)
Qi ( s) −
H (s)
= CSH ( s)
R
Qi ( s) = CSH ( s) +
H ( s)
R
1⎞
⎛
Qi ( s) = H ( s )⎜ CS + ⎟
R⎠
⎝
H1 ( s)
1
=
Qi ( s ) ⎛
1⎞
⎜⎜ C1S + ⎟⎟
R1 ⎠
⎝
26
2.4.- NEUMÁTICOS
27
28
2.5.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y ANALOGÍAS.
Analogía de sistema eléctrico-mecánico.
Como hemos visto ya, los sistemas mecánicos pueden representarse por circuitos
eléctricos equivalentes. Existe similitud en las leyes de Kirchoff para sistemas eléctricos
y las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecánicos.
Veamos el análisis comparativo de un circuito eléctrico analizado en malla, que nos da
un circuito análogo-serie.
Analogía
Mecánica
(m) Masa
(K) Resorte
(b) Amortiguador
Eléctrica
(L) Inductor
(C) Capacitor
(R) Resistencia
Sistema mecánico
La fuerza esta en función de la velocidad.
Obtener la F.T
f(t)
K
m
V ( s)
F ( s)
+
V(t)
+
Ecuación diferencial:
f (t ) = K ∫ V (t ) +m
dV (t )
+ bV (t )
dt
Ecuación en Laplace
V(s)
+ mSV ( s ) + bV(s)
S
⎡K
⎤
F ( s ) = V ( s ) ⎢ + mS + b⎥
S
⎣
⎦
V ( s)
1
=
F ( s) ⎛ K
⎞
⎜ + mS + b ⎟
⎠
⎝S
F (s) = K
29
Sistema eléctrico
El voltaje en función de la corriente
L
R
Obtener la F.T
e(t)
C
i(t)
I ( s)
E (t )
Ecuación diferencial:
e(t ) =
1
di (t )
i (t )dt +L
+ Ri (t )
∫
C
dt
Ecuación en Laplace
I(s)
+ SLI ( s ) + RI(s)
SC
⎡ 1
⎤
E ( s) = I ( s) ⎢
+ SL + R ⎥
⎣ SC
⎦
I (s)
1
=
1
E (s) ⎛
⎞
+ SL + R ⎟
⎜
⎠
⎝ SC
E ( s) =
Sistema mecánico.
La fuerza en función del desplazamiento.
f(t)
K
Obtener la F.T
m
b
X(t)
X ( s)
F ( s)
Ecuación diferencial:
f (t ) = KX (t ) + m
d 2 X (t )
dX (t )
+b
dt
dt
30
Ecuación Laplace
F ( s ) = KX(s) + mS 2 X ( s ) + bSX(s)
[
F ( s ) = X ( s ) K + mS 2 + bS
]
X ( s)
1
=
F ( s ) K + mS 2 + bS
Sistema eléctrico
El voltaje en función de la carga.
L
R
e(t)
Obtener la F.T
q(t)
q(t)
q(t)
C
Q( s)
E (t )
Ecuación diferencial:
e(t ) =
1
dq (t )
d 2 q(t )
+L
q(t ) + R
C
dt
dt
Ecuación en Laplace
E ( s ) = CQ ( s ) + RSQ( s ) + LS 2Q(s)
⎡1
⎤
E ( s ) = Q( s ) ⎢ + RS + LS 2 ⎥
⎣C
⎦
Q( s)
1
=
E ( s) ⎛ 1
2⎞
⎜ + RS + LS ⎟
⎠
⎝C
En los movimientos mecánicos el número de ecuaciones de movimiento necesarias, es
igual al número de movimientos linealmente independientes. La independencia lineal
implica que en un punto de movimiento de un sistema todavía se pueda mover si todos
los otros puntos de movimiento se mantienen inmóviles.
Otro nombre para el número de movimientos linealmente independiente es el número
de grados de libertad. Este análisis no implica que estos movimientos no están
acoplados entre si; en general lo están.
31
UNIDAD III
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO.
3.1.- ANALISIS A LA RESPUESTA TRANSITORIA.
En esta unidad nos enfocaremos a la respuesta de los sistemas debido a una señal de
entra conocida la cual puede ser:
f(t)
F(t)
Impulso
δ(t)
1
Escalón unitario
µ(t) ?
1
S
Rampa
t
1
S2
Exponencial
e-at
1
S +a
t
En la unidad anterior cómo se recordara se llego a la F.T por diferentes métodos (alg
bloques, grafico de flujo) con esto pudimos llegar a la F.T de los sistemas físicos sin
importar que voltaje de entrada tenia dicho sistema, ahora nuestro sistema tendrá un
voltaje de entrada conocido aplicado, por ejemplo:
V0
1
=
Vi RSC + 1
V0
Vi
R
32
Vamos a dejar al operador “S” solo, para eso dividimos numerador y denominador entre
RC.
1
1
1
V0
1
÷ RC
RC
=
= RC =
= RC = F.T
1
Vi RSC + 1 ÷ RC RCS + 1 RCS + 1
S+
RC
RC RC
RC
Si aplicamos un Vi = µ (t ) =
1
S
despejamos
V0 = Vi [F.T]
⎡ 1 ⎤
⎥
1⎢
V0 = ⎢ RC ⎥ =
S ⎢S + 1 ⎥
RC ⎦
⎣
1
RC
1 ⎤
⎡
S ⎢S +
RC ⎥⎦
⎣
Pero antes, veamos la definición de la respuesta transitoria.
Para la mayoría de los sistemas de control, la evaluación final del desempeño del
sistema se basa en la respuesta al tiempo.
Respuesta transitoria
Es la parte de la respuesta que
se hace cero cuando el tiempo
tiende a infinito
Respuesta en estado
estable
Es la parte de la respuesta total
que permanece después de que
la respuesta transitoria se ha
desvanecido.
Respuesta en el
tiempo del
sistema de
control
•
Todos los sistemas de control presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar la
respuesta de estado estable.
•
La respuesta transitoria es importante ya que es una parte significativa del
comportamiento dinámico del sistema y la desviación entre la respuesta de salida y
la entrada se debe controlar antes de alcanzar el estado estable.
•
La respuesta de estado estable es importante, ya que indica en donde termina la
salida cuando el tiempo se hace grande.
•
Error de estado estable: si la salida no coincide exactamente con la referencia
deseada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable.
33
yss(t)
Estado
estable
Respuesta
transitoria
(t) = yt(t) + yss(t)
Respuesta
Transitoria
Estado
estable
Pregunta: ¿Cuál es el propósito de un sistema control en el dominio del tiempo?
Respuesta: Es llegar lo antes posible a la respuesta de estado estable lo más rápido y
reducir la respuesta transitoria.
Repaso de matemáticas transformada de Laplace
Fracc. Parciales
- Polos distintos
- Polos múltiples
- Polos complejos conjugados
Polos distintos
A(S + 2) + B(S + 1) AS + 2 A + BS + B
S +3
A
B
=
+
=
=
=
(S + 1)(S + 2) (S + 1) (S + 2)
(S + 1)(S + 2)
(S + 1)(S + 2)
−1
Lf ( s ) =
=
S [A + B ] + [2 A + B ]
(S + 1)(S + 2)
Comparamos
A + B =1
2A+ B =3
Sacar valor de A
2A + B = 3
A+B=1
A+0=2
A=2
Sacar valor de B
A+B=1
34
2+B=1
B=1-2
B = -1
2
−1
2
1
+
=
−
S +1 S + 2 S +1 S + 2
−1
L f (s) =
−1
L f ( s ) = −1 L
2 −1
1
− L
S +1
S +2
Comparamos en la tabla
−1
L f ( s ) = −1 L
2 −1
1
− L
S +1
S +2
f (t ) = 2e − t − e −2t
Polos múltiples
−1
L f (s)
S 2 + 2S − 2 A B
C
A[S (S − 1)] + B[S − 1] + CS 2
= 2
= + 2+
=
=
(S − 1)
S (S − 1)
S S
S 2 (S − 1)
AS 2 − AS + BS − B + CS 2 S 2 ( A + C ) + S (B − A) − B
=
S 2 (S + 1)
S 2 (S + 1)
A+C=1
B–A=2
-B = -2
B=2
B–A=2
2–A=2
-A = 2 – 2
A=0
A+C=1
C=1
0 2
1
+ 2+
(S − 1)
S S
−1
L f (s) =
−1
L f ( s ) = −1 L
0 −1 2 −1
1
1
1
+ L 2+ L
= 2 −1 L 2 + −1 L
(S − 1)
(S − 1)
S
S
S
Tabla
35
−1
L f ( s ) = 2 −1 L
1 −1
1
− L
2
(S − 1)
S
f (t ) = 2t + e t
Polos complejos conjugados
Lo identificamos con un S2 multiplicando en los polos.
F ( s) =
−1
S 2 + 4 + 2S 2
3S 2 + 4
=
S2 S2 + 4
S2 S2 + 4
(
)
(
)
[(
)] [
(
]
)
[ ]
3S 2 + 4
A B CS + D A S S 2 + 4 + B S 2 + 4 + CS + D S 2
Lf ( s ) = 2 2
= +
+
=
=
S S + 4 S S2 S2 + 4
S2 S2 + 4
(
)
AS 3 − 4 AS + BS 2 − 4 B + CS 2 + DS 2 S 3 [ A + C ] + S 2 [B + D ] + 4 AS + 4 B
=
S2 S2 + 4
S2 S2 + 4
(
)
(
)
A+C=0
B–D=3
4A = 0
4B = 4
B=1
B+D=3
1+D=3
D=3–1=2
4A = 0
A=0
C=0
−1
L f ( s ) = −1 L
0 −1 1 −1 0S + 2 −1 1
2
1
2
+ L 2+
= L 2+ 2
= −1 L 2 + 2
2
2
S
S
S +4
S
S +4
S
S + (2)
Tabla
−1
L f ( s ) = −1 L
1 −1
2
+ L 2
2
2
S
S + (2)
f (t ) = t + sen2t
36
3.2.- RESPUESTA TRANSITORIA DE 1er. Orden
V0(s)
R
1
Vi(s)= 2
S
C
Obtener la R.T.
V0(s) = Vi(s) [F.T]
1
V0 ( s )
F.T =
= RC
Vi ( s ) S + 1
RC
1
⎡ 1 ⎤
⎢
⎥
⎡1⎤
RC
V0 = ⎢ 2 ⎥ ⎢ RC ⎥ =
⎣ S ⎦ ⎢ S + 1 ⎥ S 2 ⎡S + 1 ⎤
⎢⎣
RC ⎦
⎣
RC ⎥⎦
1
RC
− 1LV 0( s ) =
Polo múltiple por lo tanto tendrá 3 constantes.
1 ⎤
2⎡
S ⎢S +
RC ⎥⎦
⎣
⎡ ⎛
1 ⎞⎤
1 ⎞
⎛
2
A⎢ S ⎜ S +
⎟ ⎥ + B⎜ S +
⎟ + CS
RC ⎠⎦
RC ⎠
A B
C
⎝
⎝
−1
= ⎣
=
LV 0( s ) = + 2 +
1
1 ⎤
S S
2⎡
S+
S ⎢S +
RC
RC ⎥⎦
⎣
1
⎛ 1
⎞
2
1
1
+ B⎟ + B
AS 2 + AS
+ BS + B
+ CS 2 S ( A + C ) + S ⎜ A
RC
⎠
⎝ RC
RC
RC
=
1
1
⎡
⎤
⎡
⎤
S 2 ⎢S +
S 2 ⎢S +
⎥
RC ⎦
RC ⎥⎦
⎣
⎣
A+C=0
A
+B=0
RC
B
1
=
RC RC
B=1
A
+B=0
RC
A
+1 = 0
RC
A = -RC
37
A+C=0
-RC + C = 1
C = RC
−1
LV0( s ) =
RC
1
1
1
− RC 1
+ 2+
= − RC −1 L + −1 L 2 + RC −1 L
1
1
S
S
S
S
S+
S+
RC
RC
Tabla
−t
V0 (t ) = − RC + t + RCe RC
R.T
Respuesta transitoria de primer orden con Vi(s) de
rampa.
R
V0(s)
C
1
Vi(s)=
S
V0 ( s )
−1
V0(s) = Vi(s) [F.T]
1
F.T = RC
1
S+
RC
⎡ 1 ⎤
⎥
⎡ 1 ⎤⎢
= ⎢ ⎥ ⎢ RC ⎥ =
⎣ S ⎦⎢ S + 1 ⎥
RC ⎦
⎣
LV 0( s) =
Obtener la R.T.
1
RC
1 ⎤
⎡
S ⎢S +
RC ⎥⎦
⎣
1
RC
1 ⎤
⎡
S ⎢S +
RC ⎥⎦
⎣
Polos distintos.
1 ⎤
⎡
A⎢ S +
+ BS AS + A + BS S ( A + B ) + A
⎥
A
B
RC ⎦
−1
RC
RC
LV 0( s ) = +
=
=
= ⎣
1 ⎤
1 ⎤
1 ⎤
1 ⎤
S ⎡
⎡
⎡
⎡
S ⎢S +
S ⎢S +
S ⎢S +
⎥
⎥
⎢⎣ S + RC ⎥⎦
RC ⎦
RC ⎦
RC ⎥⎦
⎣
⎣
⎣
A+B=0
A
1
=
RC RC
A
1
=
RC RC
A=1
38
A+B=0
1+B=0
B = -1
−1
LV0 ( s ) =
1
1
1
1
= −1 L − −1 L
−
1 ⎤
1 ⎤
S
S ⎡
⎡
⎢⎣ S + RC ⎥⎦
⎢⎣ S + RC ⎥⎦
Tablas
−t
V0 ( t ) = 1 − e RC
R
Obtener R.T
V0(s)
V0(s) = Vi(s) [F.T]
C
1
F.T = RC
1
S+
RC
Vi(s)=1
V0 ( s )
−1
⎡ 1 ⎤
⎢
⎥
= 1⎢ RC ⎥
1
⎢S +
⎥
RC ⎦
⎣
LV0 ( s )
1
1
1
= RC =
− 1L
1
1
RC
S+
S+
RC
RC
Tablas
−t
V0 (t )
1 RC
=
e
RC
39
3.3.- SISTEMAS DE 2do. ORDEN
R
SL
V0
Vi
1
SC
Forma general (formula base) para
sistemas de 2do. Orden
C ( s)
Wn 2
=
R( s ) S 2 + 2 LWnS + Wn 2
Wn = frecuencia Natural (rad/seg)
L = coeficiente de amortiguamiento
- Casos de la respuesta transitoria de 2do. orden.
1.- Subamortiguamiento
0<L<1
Respuesta transitoria oscilatoria
2.- Amortiguamiento critico (críticamente)
L=1
Respuesta inicia oscilación
3.- Sobreamortiguamiento
L>1
Respuesta nunca oscila
4.- No amortiguamiento
L=0
Respuesta oscilatoria inestable
L
coeficiente de
amortiguamiento
relativo
Respuesta escalón
Polos
Jw
C(t)
Plano
S
L=0
t
-Jw
No amortiguado
40
C(t)
Jw
Jwn 1 − L2
0<L<1
-LWn
t
− JWn 1 − L2
Subamortiguado
-Jw
Jw
C(t)
L=1
t
-LWn
Críticamente amortiguado
-Jw
Jw
− LWn + Wn L2 − 1
C(t)
Plano
S
t
L>1
Sobreamortiguamiento
− LWn − Wn L2 − 1 -Jw
Nota: cuando los polos se encuentran situados en el plano del lado izquierdo este
sistema se considera “estable” y va a ser “inestable” cuando los polos estén a la derecha.
C ( s)
Wn 2
Wn 2
= 2
=
R( s ) S + 2 LWnS + Wn 2
S + LWn + Wn L2 − 1 S + LWn − Wn L2 − 1
(
)(
)
Wn = Frecuencia Natural
Wd = Frecuencia Natural amortiguado
ab = a b
L2 − 1 = − (1 − L2 ) = − 1 (1 − L2 ) = J& (1 − L2 ) >>>>>?
a b
Wd = Wn 1 − L2
Wd
= 1 − L2
Wn
41
C ( s)
Wn 2
=
R( s ) S + LWn + Wn 1 − L2 S + LWn − Wn 1 − L2
(
)(
)
C ( s)
Wn
Forma general 2do orden para la condición
=
R( s ) (S + LWn + J&Wd )(S + LWn − J&Wd )
0<L<1
2
Encontrar la respuesta transitoria (C(s)) de 2do de un sistema con una R(s) = 1/S para
una condición 0 < L < 1
C ( s)
Wn 2
=
R( s ) (S + LWn + J&Wd )(S + LWn − J&Wd )
C ( s) =
⎤
1⎡
Wn 2
⎢
S ⎣ (S + LWn + J&Wd )(S + LWn − J&Wd ) ⎥⎦
C ( s) =
Wn 2
S [(S + LWn + J&Wd )(S + LWn − J&Wd )]
a
b
a
(a+b) (a-b) = a2-b2
b
C ( s) =
Wn 2
2
2
S (S + LWn ) − (J&Wd )
C ( s) =
Wn 2
A
BS + C
= +
2
2
S (S + LWn )2 + (Wd )2
S (S + LWn ) − (Wd )
[
[
sacamos a J − (J& ) = −(− − 1) 2 = 1
]
2
]
S 2 + 2SLWn + L2Wn 2
=
[
]
[
]
A (S + LWn ) + (Wd ) + S [BS + C ] A S 2 + 2SLWn + L2Wn 2 + Wd 2 + S [BS + C ]
=
2
2
2
2
S (S + LWn ) + (Wd )
S (S + LWn ) + (Wd )
[
2
2
]
[
]
AS 2 + A2SLWn + AL2Wn 2 + AWd 2 + BS 2 + CS
=
2
2
S (S + LWn ) + (Wd )
[
]
=
S 2 ( A + B ) + S ( A2 LWn + C ) + AL2Wn 2 + AWd 2
2
2
S (S + LWn ) + (Wd )
=
S 2 [ A + B ] + S [A2 LWn + C ] + A L2Wn 2 + Wd 2
2
2
S (S + LWn ) + (Wd )
[
[
]
[
]
]
42
Comparación
A+B=0
2ALWn + C = 0
A[L2Wn2+Wd2] = Wn2
Valor de “A”
A[L2Wn2+Wd2] = Wn2
Wn 2
1
2
2
Wn
Wn 2
A= 2 2
⋅ Wn =
2
2
1
Wd 2
L Wn + Wd
2 Wn
+
L
Wn 2
Wn 2 Wn 2
1
A=
Wd 2
L2 +
Wn 2
Si Wd = Wn 1 − L2
Wd
= 1 − L2
Wn
Wd 2
= 1 − L2
Wn 2
A=
1
1
= ∴ A =1
2
L +1− L 1
2
Valor de “B”
A+B=0
1+B=0
B = -1
Valor de “C”
2ALWn + C = 0
2LWn + C = 0
C = -2ALWn
Sustitución de A, B y C
−1
LC ( s ) =
1
1
1S + 2 LWn
− 1S + (− 2 LWn )
+
= −
2
2
S (S + LWn ) + (Wd )
S (S + LWn )2 + (Wd )2
−1
LC ( s ) =
⎤
1 ⎡ S + LWn + LWn ⎤ 1 ⎡
S + LWn
LWn
−⎢
= −⎢
+
2
2⎥
2
2
2
2⎥
S ⎣ (S + LWn ) + (Wd ) ⎦ S ⎣ (S + LWn ) + (Wd ) (S + LWn ) + (Wd ) ⎦
−1
LC ( s ) =
⎤
1 ⎡
S + LWn
Wd
LWn
−⎢
+
2
2
2
2⎥
S ⎣ (S + LWn ) + (Wd ) Wd (S + LWn ) + (Wd ) ⎦
43
−1
LC ( s ) =
⎤
1 ⎡
S + LWn
LWn
Wd
−⎢
+
2
2
2
2⎥
S ⎣ (S + LWn ) + (Wd )
Wd (S + LWn ) + (Wd ) ⎦
Tabla
C (t ) = 1 − e − LWnt cos Wdt −
[
LWn − LWnt
e
senWdt
Wd
]
44
Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condición es L = 0
C ( s)
Wn 2
Wn 2
= 2
=
R ( s ) S + 2 LWnS + Wn 2 S 2 + Wn 2
0
C ( s) =
−1
1 ⎡ Wn 2 ⎤
Wn 2
=
S ⎢⎣ S 2 + Wn 2 ⎥⎦ S S 2 + Wn 2
LC ( s ) =
[
Wn 2
S S 2 + Wn 2
[
]
]
Tabla
C (t ) = 1 − cos Wnt
Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condición es L = 1
C ( s)
Wn 2
Wn 2
= 2
=
R( s ) S + 2 LWnS + Wn 2
S + LWn + Wn L2 − 1 S + LWn − Wn L2 − 1
(
)(
1
0 1
1
)
1
C ( s)
Wn 2
Wn 2
=
=
R( s ) (S + Wn )(S + Wn ) (S + Wn )2
1 ⎡ Wn 2 ⎤
C ( s) = ⎢
⎥
S ⎣ (S + Wn )2 ⎦
−1
LC ( s ) =
Wn 2
A
BS + C
= +
2
2
S (S + LWn )2 + (Wd )2
S (S + LWn ) − (Wd )
[
]
S 2 + 2SLWn + L2Wn 2
[
]
A (S + Wn ) + B[S (S + Wn )] + CS AS 2 + 2 ASWn + AWn 2 + BS 2 + BSWn + CS
=
=
2
2
S (S + Wn )
S (S + Wn )
=
2
S 2 [ A + B ] + S [2 AWn + BWn + C ] + AWn 2
2
S (S + Wn )
Comparación
45
A+B=0
2AWn + BWn + C = 0
AWn2 = Wn2
Valor de “A”
Wn 2
=1
A=
Wn 2
Valor de “B”
A+B=0
1+B=0
B = -1
Valor de “C”
2AWn + BWn + C = 0
2Wn - Wn + C = 0
C = - Wn
Sustitución de A, B y C
−1
LC ( s ) =
1
1
1
−
− Wn
S (S + Wn )
(S + Wn)2
Tabla
C (t ) = 1 − e −Wnt − Wn te −Wnt
[
]
46
3.4.- SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
La respuesta del orden superior, es la suma de las respuestas de 1er y 2do orden
47
UNIDAD IV
MODOS DE CONTROL
4.1 Acciones básicas de control
De acuerdo con la acción de control se pueden clasificar los controles automáticos
industriales en:
1.- Control de 2 posiciones OFF-ON (si ó no), (todo ó nada)
2.- Control proporcional.
3.- Control integral.
4.- Control proporcional e integral.
5.- Control proporcional-derivativo.
6.- Control proporcional-integral-derivativo
La mayoría de los controles automáticos industriales usan fuentes de potencia como la
electricidad, el fluido a presión que puede ser aceite o aire. Los controles pueden
clasificarse dependiendo del tipo de energía que utilicen, por ejemplo: controles
neumáticos (a base de aire), controles hidráulicos (a base de aceites) y controles
electrónicos.
Elemento de control automático industrial
Un control automático debe detectar la señal de error actuante, que habitualmente se
encuentra a un nivel de potencia muy bajo, hay que amplificarla a un nivel
suficientemente alto. Por lo tanto se requiere de un amplificador, la salida de control va
a actuar sobre un dispositivo de potencia como lo es un motor neumático ó válvula,
motor hidráulico, un motor eléctrico.
Error actuante
Entrada
referencia
Detector
de error
Amplificador
Elemento de
medición
Al accionador
elemento final de
control
De la planta
48
Control ON-OFF
Es un sistema de control de 2 posiciones el elemento accionador tiene solamente 2
posiciones fijas; conectado ó desconectado. El control On-Off es simple y económico y
es muy utilizado en sistemas de control tanto industriales como domésticos.
Válvula
solenoide
L
N
Interruptor
R
h
Acción de control proporcional ( P )
Es un modo de control en que el dispositivo corrector final (ó accionador), tienen un
rango continuo de posiciones posibles, con la posición exacta tomada siendo
proporcional a la señal de error; esto es la salida del controlador es proporcional a su
entrada.
R(s)
E(s)
Kp
U(s) = C(s)
Set
Point
Kp =
U (s)
E(s)
Kp = K
Kp = ganancia proporcional
Dominio
U(s) = señal de controlador
de la
frecuencia
E(s) = señal de error
r(t)
e(t)
Kp
u(t) = C(t)
Kp =
u( s )
e( s )
Ejemplo: la señal que entra es multiplicada se autoajusta.
49
Valor de la ganancia
e(t)
Kp = 10
10V
1V
Entrada
Salida
Ventajas del control proporcional:
• Es la acción de control más importante.
• Aplicación instantánea.
• Facilidad de comprobar los resultados.
Desventajas:
• Falta de inmunidad al ruido.
Acción de control integral ( I )
Es un controlador cuyo valor de salida varía en razón proporcional a la señal del error
e(t) acumulado; lo que implica que es un modo de controlar lento.
Control integral
t
du(t )
= Kie(t ) ó bien u (t ) = Ki ∫ e(t )dt
0
dt
Ki = ganancia integral
Es una constante ajustable, la función de transferencia del control integral es:
R(s)
Ki/S
U(s)
Ci =
U ( s ) Ki
=
R( s )
S
Si se duplica el valor de e(t), el valor de U(t) (C(t)) varía al doble de la velocidad. Ante
un error igual a cero, el valor de U(t) permanece estacionario. En ocasiones la acción de
control integral recibe el nombre de control de reposición o restablecimiento.
Ejemplo: No va tener valor de control U(t) hasta que exista otro evento (otro valor) en
e(t).
50
12V
10V
Acción de control derivativa. ( D )
Esta acción de control se adelanta a la señal de control frente a la aparición de una
tendencia de error, esto hace que se anticipe al sistema, puesto que los retardos en
controlar lo tienden a inestabilizar.
La desventaja del control derivativo es prácticamente inaplicable ante la presencia de
ruido, este hace que la variable de control tome valores contrapuestos y máximos.
Cuando la pendiente de ruido entra como señal de error.
Efectivamente el control derivativo puede efectuar correcciones antes de la magnitud
del error e(t) que este sea significativa, ya que actúa en forma proporcional a la
velocidad de variación de e(t) “velocidad de variación”. Si la derivada de e(t) es nula no
hay acción, por parte del controlador, lo que implica que no tendrá ningún efecto con el
error estacionario. También aumenta la amortiguación sobre las oscilaciones del sistema
(tiende a estabilizar) permitiendo usar ganancias Kp mas elevadas:
Control derivativo:
u (t ) = K D ⋅
de(t )
dt
Kd ó KD = ganancia derivativa
Función de transferencia:
U ( s ) = KD ⋅ S ⋅ E ( s)
El control derivativo tiene la ventaja de ser previsorio, pero también amplifica el ruido y
provoca un efecto de saturación en el actuador.
El control derivativo, nunca se usa solo, es eficaz en el periodo transitorio.
Acción de control proporcional integral. ( P-I )
Control proporcional-integral
Un control P-I se define
u (t ) = Kpe (t ) +
Kp
Ti
∫
T
0
e(τ )dt
Donde:
Ti = tiempo integral y es quien ajusta la acción integral.
Ti = Ki
51
La F.T del control P-I
U ( s)
1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
= Kp⎜1 +
⎟ = CP.I .( s ) = Kp⎜1 +
⎟
E ( s)
⎝ TiS ⎠
⎝ TiS ⎠
1 ⎞
⎛
Kp⎜1 +
⎟
⎝ TiS ⎠
R(s)
U(s)
Nota: Kp y Ti son ajustables.
Acción de control proporcional derivativo. ( PD )
Control proporcional derivativo
Un control P-D se define mediante:
u (t ) = Kpe(t ) + KpTd
de(t )
dt
Donde:
Td = tiempo derivativo
Td = Kd
Función de transferencia
U ( s)
= Kp(1 + TdS )
E ( s)
R(s)
Kp (1 + TdS )
U(s)
Nota: Kp y Td son ajustables.
Acción de control proporcional-integral-derivativa. ( PID)
Control proporcional-integral-derivativa
Este sistema reúne los 3 tipos de control, suma las ventajas de cada una de la acciones
Kp Æ Nos da una salida proporcional al error (amplifica la señal).
Ki Æ Da una salida proporcional al error acumulativo, nos da una respuesta
lenta.
KDÆ Se comporta de una manera previsoria.
52
Kp
e(t)
C(t)
Ki
+
KD
La ecuación del P.I.D es:
U (t ) = Kpe (t ) +
Kp t
de(t )
e(τ )dt + KpTd
∫
Ti 0
dt
Su función de transferencia:
1
⎛
⎞
+ TdS ⎟
C PID = Kp⎜1 +
⎝ TiS
⎠
En sistemas de control de procesos se tienen controladores de diferentes tipos como lo
son los neumáticos, pero en la actualidad todos estos sistemas de control mecánico están
siendo reemplazados por controles ó controladores electrónicos.
Las aplicaciones más comunes en industria son:
Control de presión de líquidos, control de presión de gases, control de caudal, control de
nivel de líquidos, control de temperatura, controles de motores eléctricos (velocidad
angular y posición angular).
Sistema de control de posición.
θi(t)
Entrada
deseada
de angulo
+V
Vp(t)
Vi(t) +
Vo(t) -
K
K1
S +a
en(t)
Ra
Preampl.
diferencial
JLKg-m2
+V
53
Servomecanismo: el objetivo de este sistema es controlar la posición de la carga
mecánica de acuerdo con la posición de referencia.
Ra
+12V
θ
La
N1, N2 = r1, r2
+12V
N1
Ampl..
carga
ia
N3
JL
N2
C1
4.2.- SINTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN.
54
55
56
UNIDAD V
ESTABILIDAD
5.1.- CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ
Criterios de estabilidad de Routh.
El problema importante del control lineal tiene que ver con la estabilidad, es decir en
que condiciones se vuelve inestable el sistema, si es inestable ¿cómo se estabiliza?
La mayoría de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia:
C ( s ) b0 S m + b1S m −1 + ..... + bm −1S + bm B( s )
=
=
R( s ) a0 S n + a1S n −1 + ..... + an −1S + an A( s )
A y B son constantes y los exponentes m ≥ n
Un criterio simple como el criterio de Routh permite determinar la cantidad de polos de
lazo cerrado que s e encuentran en el semiplano derecho del plano “S” sin tener que
factorizar el polinomio.
X X
X X
X X
X X
X X
X X
Sist. Inestable
Sist. Estable
Procedimientos para encontrar la estabilidad de Routh.
1.- Escribe el polinomio S de la forma siguiente:
a0 S n + a1S n −1 + ..... + an −1S + an
Donde los coeficientes son cantidades reales.
2.- Si alguno de los coeficientes es “cero” o “negativo”, ante la presencia de al menos
un coeficiente “positivo” es sistema no es estable (inestable). La condición necesaria
para la estabilidad es que todos los coeficientes tengan un signo positivo.
3.- Se ordenan los coeficientes del
siguiente:
Sn
Sn-1
Sn-2
Sn-3
polinomio en filas y columnas de acuerdo al patrón
a0
a1
b1
c1
a2
a3
b2
c2
a4
a5
b3
c3
a6
a7
b4
c4
….
….
….
….
57
Sn-4 d1 d2 d3 d4 ….
.
.
.
.
2
S
S1
S0
.
.
.
.
.
.
.
.
e1 e2
f1
g1
El proceso de formar filas, continua hasta que nos quedan más elementos (el numero
total de filas es n +1). Los coeficientes b1, b2, b3, etc. se evalúan del modo que sigue:
a1 a 2 − a 0 a 3
a1
a a −a a
b2 = 1 4 0 3
a1
a a −a a
b3 = 1 6 0 7
a1
b1 =
Las evaluaciones de las “b” continúan hasta que todas las restantes son “ceros”. Se
sigue el mismo patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de las 2 filas
anteriores al evaluar las “c”, las “d”, las “e”, etc., es decir:
b1a3 − a1b2
b1
ba −ab
c2 = 1 5 1 3
b1
ba −ab
c3 = 1 7 1 4
a1
c1 =
.
.
.
.
c1b2 − b1c2
c1
c b −b c
d2 = 1 3 1 3
c1
d1 =
Determine la estabilidad del siguiente sistema:
R(s)
4
S +4
2
3
S +3
Y(s)
Modelo básico.
F.T =
G( s )
1 + G( s ) H ( s )
58
1.- Sacar F.T.
Y ( s)
=
R( s)
4
4
4
2
2
S +4
S +4
=
= 2 S +4
12
4 ⎛ 3 ⎞
(S + 4)(S + 3)12
1+ 2
⎜
⎟ 1+ 2
(S + 4)(S + 3) (S 2 + 4)(S + 3)
S + 4 ⎝ S +3⎠
2
[(
)([
)
]
Y ( s)
4 S 2 + 4 (S + 3)
4(S + 3)
4(S + 3)
= 2
= 2
= 3
2
R( s ) S + 4 S + 4 (S + 3) + 12
S + 4 (S + 3) + 12 S + 3S 2 + 4 S + 12 + 12
(
)
] (
)
Y (s)
4(S + 3)
= 3
= F ( s)
R( s) S + 3S 2 + 4 S + 24
2.- Obtener la ecuación característica.
S 3 + 3S 2 + 4 S + 24
a0 a1 a2 a3
3.- Colocar filas y columnas.
S3
a0 a2
1
4
b1 =
a1a2 − a0 a3 (3)(4) − (1)(24) − 12
=
=
= −4
a1
3
3
b2 =
a1a4 − a0 a3
a1
S 3-1 a1 a3
3
24
S 3-2 b1 b2
-4
4.- El sistema es “Inestable”.
Ejercicio:
1.- F ( s ) =
2.-
10(S + 1)
S + 10S + 29S 2 + 52S + 12
a2
a3 a4
a0 a1
4
3
3.- Colocar filas y columnas.
S4
a0
a2
a1
a3
1
S 4-1
10
S 4-2
b1
23.8
S 4-3
c1
29
52
b2
a4
12
b1 =
a1a2 − a0 a3 (10)(29 ) − (1)(52)
=
= 23.8
a1
10
b2 =
a1a4 − a0 a3 (10)(12 ) − (1)(52)
=
= 6.8
a1
10
c1 =
b1a3 − a1b2 (23.8)(52) − (10)(6.8)
=
= 49.14
b1
23.8
6.8
49.14
4.- El sistema es “Estable”.
59
5.2.- LUGAR DE LAS RAICES.
Análisis del lugar de las raíces.
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado se
relaciona estrechamente con la localización de los polos. Los polos en lazo cerrado son
las raíces de la ecuación característica, si esta tiene un grado superior a 3 es muy
laborioso encontrar sus raíces y se requiera una solución por computadora, si el sistema
tiene una ganancia de lazo variable la localización de los polo en lazo cerrado depende
del valor de la ganancia elegida.
Para K = 0, ¼, 1
R(s)
S1, 2 =
K
S(S+1)
C(s)
Modelo básico.
G( s )
1 + G( s )
− b ± b 2 − 4ac
2a
Obtener la F.T
K
K
K
K
C ( s)
S (S + 1)
S (S + 1)
=
=
=
= 2
(
)
S
S
1
K
K
+
+
S (S + 1) + K S + S + K
R( s) 1 +
S (S + 1)
S (S + 1)
S2 + S + K = 0
a b c
a=1
b=1
c=K
S1, 2 =
S1, 2 =
S1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (1) ±
(1)2 − 4(1)(K )
2(1)
− 1 ± 1 − 4K
2
Para K = 0
60
− 1 ± 1 − 4(0) − 1 ± 1 − 1 1
=
=
±
2
2
2 2
1 1
S1 = − + = 0
2 2
1 1
S 2 = − − = −1
2 2
S1, 2 =
Para K = ¼
− 1 ± 1 − 4( 14 ) − 1 ± 0
=
2
2
1
S1 = −
2
1
S2 = −
2
S1, 2 =
Para K = 1
− 1 ± 1 − 4(1) − 1
−3
=
±
2
2
2
1 J& 3
1
=− ±
= − ± J& 3 / 4
2
2
2
S1, 2 =
S1, 2
− 1 3 ó J& 3
Se eleva al cuadrado
1
S1 = − + J&
2
1
S 2 = − − J&
2
3
4
3
4
JW
Para K = 0
S1 = 0
S2 = -1
Para K = ¼
S1 = -½
S2 = -½
Para K = 1
1
S1 = − + J&
2
1
S 2 = − − J&
2
3
Real
3
-1
-½
Real
4
3
4
4
3
4
-JW
El sistema es Estable
61
UNIDAD VI
ANÁLISIS DE ERROR.
6.1.- ERRORES ESTATICOS Y DINAMICOS.
62
6.2.- SENSIBILIDAD.
La sensibilidad de un sistema, es la relación del cambio en la función de transferencia
del sistema respecto al cambio en la función de transferencia del proceso o parámetro
para un cambio incremental pequeño.
63
64
65
66
67