Pasemos a continuación a hacer esta suma también sin fórmulas de progresiones:
Departamento de Matemáticas
I.E.S. Juan García Valdemora
S
=
+ 1,0475 ⋅ a
a
+ 1,0475 2 ⋅ a
+ ... + 1,0475 23 ⋅ a
+ 1,0475 24 ⋅ a
EJEMPLO ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN – Desarrollo sin utilizar la fórmula
La técnica siempre es la misma, multiplicamos ambos miembros por la razón 1’0475.
Ejercicio 23 – Página 37
1,0475 ⋅ S
Se solicita un préstamo hipotecario de 210.000 euros a devolver en 25 años a un interés anual del
4,75%. ¿Qué mensualidad deberá pagarse?
Y ahora restamos ambas ecuaciones:
En caso de no acordarnos de la fórmula, la resolución del problema sería la siguiente, paso a paso.
NOTA IMPORTANTE: Primero resolveremos el problema con anualidades, para llegar a la fórmula
esperada. Tras ello, resolveremos las mensualidades, introduciendo el factor k=12 (número de ingresos
cada año), y compararemos ambos resultados.
Partimos de la primera anualidad pagada al final del primer año: llamémosla ‘a’.
Transcurrido un año, es decir, al final del segundo año, esos ‘a’ euros han producido 1,0475· a (el
4’75% de esos ‘a’ euros).
También al finalizar el segundo año ingresamos otros ‘a’ euros que se suman a los 1,0475· a que ya
teníamos. Sin embargo, no los vamos a sumar directamente, sino que vamos a perseguir cada anualidad
por separado.
= 1,0475 ⋅ a + 1,04752 ⋅ a + 1,04753 ⋅ a + ... + 1,047524 ⋅ a + 1,047525 ⋅ a
1,0475 ⋅ S
−
S
= 1,075 25 ⋅ a − a
Operamos:
(1,0475
− 1) ⋅ S
=
(1,0475
25
)
− 1 ⋅a
En este caso, el dato es la suma total, que debe ser igual al préstamo recibido, 210000 €, más los
intereses que produce en 25 años, y la incógnita es la anualidad, de modo que despejaremos dicha
anualidad en cuanto calculemos el total a pagar S.
Ese total son los 210.000 euros sumados los intereses de 25 años a interés compuesto del 4,75% anual,
de modo que al final del primer año ya debemos 1’0475·210000, y el segundo año 1’04752·210000, y así
sucesivamente hasta el final de los 25 años, momento en que la deuda asciende a 1’047525·210000 (un
total de casi 670.000 € !?). Esta es la suma total S que debemos incorporar a nuestro estudio.
1,0475 25 ⋅ 210000 ⋅ 0,0475
1,0475 25 − 1
Por un lado, al finalizar el tercer año, los nuevos ‘a’ euros abonados en el segundo pago se habrán
convertido en 1,0475· a, dado que rentan lo mismo cada año que los primeros ‘a’ euros.
a =
Por otro lado, los 1,0475· a rentan de nuevo un 4,75%, lo que hace que al final del tercer año los
primeros ‘a’ euros se hayan convertido en 1,04752· a, dado que hay que multiplicar de nuevo por el
factor 1,0475.
En otras palabras, 1.210 €/mes que se pagan anualmente al final de cada año.
= 14.528,88 €
En resumen, estos primeros ‘a’ euros pagados al final del primer año se convierten en 1,0475· a al final
del segundo año y en 1,04752· a al final del tercer año. Al final de los 25 años la primera anualidad
pagada se convertirá en 1,047524· a euros (Recuérdese que en anualidades de amortización se empieza a
pagar al final del primer año, de modo que habrá 24 anualidades, no 25).
Por otra parte, los ‘a’ euros ingresados al final del segundo año se convierten en 1,0475· a al final del
tercer año y en 1,04752· a al inicio del cuarto año. Al final de los 25 años esa segunda anualidad ‘a’ se
convertirá en 1,047523· a, porque han rentado un año menos que la primera anualidad.
Así sucesivamente vamos cada año ingresando ‘a’ euros, que van rentando sucesivamente cada vez un
año menos, de modo que nos encontramos con que hemos hecho 23 ingresos y cada uno ha rentado una
cantidad diferente. El último ingreso al finalizar el 24º año termina de saldar la deuda y ya no produce
nada. La suma de todas esas cantidades que han ido produciendo cada una de las anualidades nos dará el
capital final acumulado.
Por tanto, los 24 términos que tenemos que sumar son 1,047524· a + 1,047523· a + 1,047522· a y así
sucesivamente hasta llegar a 1,04751· a + a, que son el resultado de las dos últimas anualidades.
Se trata de la suma de 24 términos de una progresión geométrica de razón 1’0475 (cada término es igual
al anterior multiplicado por 1,0475, debemos colocarlos en orden inverso para ver bien la progresión).
C ⋅ r ⋅ (1 + r )
t
Podemos comprobar que hemos llegado a la fórmula conocida:
a =
(1 + r )
t
−1
Pasemos a continuación a calcular la mensualidad, parámetro típico de las hipotecas, y veamos de qué
modo debemos introducir el valor de k=12 en la fórmula anterior.
Ahora la diferencia estriba en que ingresamos al final de cada mes la mensualidad, llamémosla ‘m’, por
lo que las rentas van a ser mayores a largo plazo. Para la primera mensualidad pagada al final del primer
mes, y como el tipo de interés es anual, al final del segundo mes renta la duodécima parte de lo que
rentaría todo el año, esto es, que si la mensualidad ‘m’ produce un 4,75% al final de todo un año, resulta
que en un mes produce la duodécima parte de ese dinero, es decir, un 4,75/12 % (aprox. un 0,40% de
tipo de interés mensual).
Por tanto, el factor por el que hay que multiplicar ‘m’ para obtener lo que produce en un mes ya no es
0,0475
0,0475
. Y al final del segundo mes tendríamos 1 +
1 + 0,0475 , sino 1 +
⋅ m euros.
12
12
Esta es la cantidad inicial para calcular las rentas del siguiente mes, multiplicando de nuevo por el
2
0,0475
mismo factor para obtener lo que renta al final del tercer mes, esto es 1 +
⋅ m euros.
12
Y así sucesivamente hasta el final de los 25 años (25·12=300 meses menos el primer mes en que no se
abona nada), de modo que la primera mensualidad al cabo de los 25 años, ha producido un total de:
0,0475
1 +
12
25 ⋅ 12 − 1
0,0475
⋅ m euros, es decir, 1 +
12
299
⋅ m euros.
Resulta una suma total a pagar de S
La segunda mensualidad, abonada al final del tercer mes, producirá lo mismo que la anterior quitándole
0,0475
un mes de rentas, esto es: 1 +
12
25 ⋅ 12 − 2
En este caso la deuda también cambia, porque debe calcularse con interés compuesto mensual, al igual
que las mensualidades abonadas, de modo que los 210.000 euros están rentando cada mes un 0,35%
también. Y ahora sí que el período son los 300 meses completos, dado que el capital lo recibimos el
primer día y está rentando la totalidad de los 25 años, de modo que para calcular la deuda final basta con
0,0475
multiplicar 300 veces por el factor ya conocido 1 +
.
12
0,0475
⋅ m euros, es decir, 1 +
12
298
25 ⋅ 12
⋅ 210000
m =
0,0475
0,0475
⋅ 1 +
12
12
25 ⋅ 12
0,0475
1 +
12
25 ⋅ 12
⋅ 210000
= 1197,25 €
− 1
La mensualidad que resulta es ligeramente menor que la anterior, dado que recoger intereses mensuales
siempre en un poco más beneficioso para el usuario.
En este caso, hemos abonado un total de 299 mensualidades, y son 299 los términos de la progresión
geométrica que debemos sumar. Pasemos a ello, ordenándolos de menor a mayor valor:
2
S
= m +
0,0475
0,0475
0,0475
1 +
⋅ m + 1 +
⋅ m + ... + 1 +
12
12
12
298
0,0475
⋅ m + 1 +
12
⋅m
0,0475
De nuevo, multiplicamos por la razón de la progresión, que en este caso es 1 +
:
12
0,0475
1 +
⋅ S
12
2
Y restamos ambas ecuaciones:
0,0475
1 +
⋅ S
12
− S
0,0475
= 1 +
12
300
⋅m − m
Sacamos factor común en ambos miembros:
0,0475
− 1 ⋅ S
1 +
12
0,0475 300
= 1 +
12
− 1 ⋅ m
O lo que es lo mismo:
0,0475
⋅ S
12
3
0,0475
0,0475
0,0475
= 1 +
⋅ m + 1 +
⋅ m + 1 +
⋅ m + ... +
12
12
12
0,0475 300
= 1 +
12
− 1 ⋅ m
0,0475
1 +
12
k ⋅t
r
r
⋅ 1 +
k
k
k ⋅t
r
1 + − 1
k
C⋅
La fórmula a aplicar en este caso (k=12) es:
299
(casi 687.000 € en total).
Lo sustituimos en nuestra ecuación y ya podemos despejar la mensualidad ‘m’:
⋅ m euros.
0,0475
Al final del penúltimo mes se ingresarán de nuevo ‘m’ euros, que ya solo rentarán 1 +
⋅m
12
euros, y al final del último mes, saldaremos la deuda pagando la última mensualidad ‘m’, que ya no nos
renta nada.
0,0475
= 1 +
12
m =
Obsérvese que siempre que se recojan interesen k veces al año, el tipo de interés queda dividido por ese
factor k (en este caso, tipo de interés mensual), y el tiempo queda multiplicado por k (en este caso,
pasamos de años a meses), de ahí los cambios en la formulación. En cualquier otro problema de
matemática financiera hay que seguir esta misma pauta para resolverlo adecuadamente.
300
⋅m
0
