Respuesta en Frecuencia de un Circuito RC

Respuesta en Frecuencia
de un Circuito RC
Omar X. Avelar & Diego I. Romero
SISTEMAS ELECTRICOS INDUSTRIALES (ESI 013AA)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)
Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI)
OBJETIVO
MATERIALES
El alumno aplicara el concepto de fasor en análisis de circuitos y
determinara la respuesta que presentan algunos elementos pasivos a diferentes frecuencias.
+ Resistencia de 100 Ω x1.
+ Resistencia de 1 Ω x1.
+ Capacitor de 0.1 μF x1.
+ Osciloscopio.
+ Multimetro digital.
+ Generador de funciones.
ENUNCIADO
Para un rango de frecuencia de 0.1 Hz a 1 MHz el alumno deberá
graficar el diagrama de Bode de la tensión de salida así como la
de corriente del capacitor del circuito mostrado a continuación
(Fig. 1). Para ello deberá de hacer un análisis utilizando el concepto de fasor.
Fig. 1: Circuito Prueba
Verificar los resultados mediante el uso de SPICE y MATLAB.
En el laboratorio armar el circuito y comprobar.
Explique los resultados así como las conclusiones a las que se llega.
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Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585, Tlaquepaque, Jalisco, México, C.P. 45090.
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ANALISIS
De acuerdo al los componentes del circuito de la Fig. 1, tenemos
las siguientes relaciones fasoriales de sus impedancias:
ℤ R1 =R1
;
ℤ R2 =R2
ℤC1 =
y
1
j
=−
j C 1
 C1
Por lo que la corriente fasorial puede ser relacionada de acuerdo
a una entrada de tensión fasorial quedando como:
I=
Gain [dB]
3.000
-7.000
-17.000
-27.000
-37.000
-47.000
V in
-57.000
j
R1R2−
C 1
-67.000
-77.000
-87.000
1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06
y de esta manera obtener la tensión de salida,
j

C 1
= I  ℤC1ℤR2  = V in
j
 R2R1−
C 1
Fig. 2: Respuesta en frecuencia esperada.
 R2−
V out
Para la corriente del circuito tenemos.
Sustituyendo los valores de componentes de nuestro circuito
(Fig. 1) tenemos:
1
10
1
−6
j  0.1x10
j
= 1
=
1
99x103
101
1
j  0.1x10−6
j
6
V out
V in
acomodando podemos verlo de la siguiente manera,
V out
jw106
=
V in jw99x103
Lo que representa un polo de
igual a
15.756[ KHz ]
Phase [Deg.]
99[ Krad / sec]
AC Frequency [Hz]
Current [mA]
Phase
[Deg.]
1.00E-001
0.0000
90.0
1.00E+000
0.0006
90.0
1.00E+001
0.0060
90.0
1.00E+002
0.0600
89.6
1.00E+003
0.6000
86.4
1.00E+004
5.3050
57.6
1.00E+005
9.7800
8.95
1.00E+006
9.9000
0.90
o lo que es
.
Current [mA]
Haciendo un barrido de frecuencias se puede predecir esperar el
siguiente comportamiento en la salida (Fig. 2):
Phase [Deg.]
97.00
87.00
77.00
AC Frequency [Hz]
Gain [dB]
Phase
[Deg.]
1.00E-001
0.000
0.000
1.00E+000
0.000
0.000
37.00
1.00E+001
0.000
-0.040
27.00
1.00E+002
0.000
-0.360
17.00
1.00E+003
-0.020
-3.600
7.00
1.00E+004
-1.470
-32.04
1.00E+005
-16.14
-77.45
1.00E+006
-20.09
-78.64
67.00
57.00
47.00
-3.00
1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06
Fig. 3: Corriente en el circuito.
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Simulando el siguiente circuito en SPICE.
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Y la corriente a través del circuito es de:
-----------------------------------------------------------------------------------------R1 Vout N001 100
R2 0 N002 1
C1 Vout N002 0.1µ
V1 N001 0 SINE(0 1 1K) AC 1 0
.ac dec 200 0.1 1E6
.backanno
.end
------------------------------------------------------------------------------------------
Fig. 5: Corriente en el circuito.
Arriba – Magnitudes.
Abajo – Relación logarítmica.
Podemos ver como la corriente es muy baja y con un angulo de
desfase cerca a 90° antes de nuestra frecuencia de corte.
Fig. 4: Diagrama de Bode con SPICE.
Podemos ver que la frecuencia de corte se encuentra muy cercana a 15 KHz.
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Ahora comprobando el comportamiento matemático de nuestro
circuito con ayuda de GNU Octave con ayuda del siguiente programa.
-----------------------------------------------------------------------------------------% Electronic Analog Circuits
Como observaciones en lo simulado con GNU Octave (Fig. 6), se
puede apreciar que la frecuencia de corte es cercana a:
w c ≈105 [rad /sec]
que por la relación de frecuencia angular a Hertz:
% Bode Plot Script
tenemos un corte en
% by Omar X. Avelar
%
% sysout()
f c≈15.7 [ KHz]
w=2 f
,
.
ZER, POL, SCALAR COEFF
-
shows the transfer function
w = logspace(0,6,100);
L = zp([-10^6], [-99E3], 1);
% Poles & Zeroes
sysout(L)
bode(L, w);
print -dpng 'BodePlot.png';
------------------------------------------------------------------------------------------
Fig. 6: GNU Octave: Diagrama de Bode.
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DESARROLLO PRACTICO
Para esta parte de la practica conseguimos los componentes necesarios, en este caso no encontramos resistencias de 1Ω, por lo
que tuvimos que hacer un arreglo de resistencias en paralelo:
+ 2.7 Ω x2
+ 3.9 Ω x1
lo que nos de como resultado una resistencia de 1.0028 Ω, que es aproximada a la que necesitamos y medida con un multimetro digital lo corroboramos.
Como siguiente procedimos a armarlo en la protoboard de acuerdo a la
siguiente figura (Fig. 7 y Fig. 8)
Fig. 7: Medición de tensión.
Fig. 8: Medición de corriente.
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A continuación se presentan las capturas del osciloscopio de tensión de
salida para corroborar el comportamiento del circuito.
Nota: A la derecha de cada captura se muestra la amplitud y frecuencia
de cada canal del osciloscopio.
Fig. 9: Señal @ 10 Hz.
Fig. 11: Señal @ 1 KHz.
Fig. 10: Señal @ 100 Hz.
Fig. 12: Señal @ 10 KHz.
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Fig. 13: Señal @ 100 KHz.
Fig. 14: Señal @ 1 MHz.
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Las siguientes capturas son representativas de la corriente del circuito ya
que se midió la tensión en la resistencia de 1Ω (Fig. 8).
Nota: Las unidades del cuadro Vpico-pico pueden ser expresadas directamente an amperes al ser dividido por 1Ω.
Fig. 15: Señal @ 100 Hz.
Fig. 16: Señal @ 1 KHz.
Fig. 17: Señal @ 10 KHz.
Fig. 18: Señal @ 100 KHz.
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RESULTADOS TEORICOS
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RESULTADOS PRACTICOS
AC Frequency [Hz]
Gain [dB]
Phase
[Deg.]
1.00E-001
0.000
0.000
1.00E+000
0.000
0.000
1.00E+001
0.000
-0.040
1.00E+002
0.000
-0.360
1.00E+003
-0.020
-3.600
1.00E+004
-1.470
-32.04
1.00E+005
-16.14
-77.45
1.00E+006
-20.09
-78.64
AC Frequency [Hz]
Current [mA]
Phase
[Deg.]
1.00E-001
0.0000
90.0
1.00E+000
0.0006
90.0
1.00E+001
0.0060
90.0
1.00E+002
0.0600
89.6
1.00E+003
0.6000
86.4
1.00E+004
5.3050
57.6
1.00E+005
9.7800
8.95
1.00E+006
9.9000
0.90
AC Frequency [Hz]
Gain [dB]
Phase
[Deg.]
1.00E-001
0.000
0
1.00E+000
0.000
0
1.00E+001
0.000
0
1.00E+002
0.000
0
1.00E+003
-0.020
0
1.00E+004
-1.72
-20
1.00E+005
-15.71
-45
1.00E+006
-31.84
-45
AC Frequency [Hz]
Current [mA]
Phase
[Deg.]
1.00E-001
-
-
1.00E+000
-
-
1.00E+001
-
-
1.00E+002
0.2400
-
1.00E+003
2.4000
-
1.00E+004
8.0050
60.0
1.00E+005
13.600
0
1.00E+006
-
-
COMPARATIVA
Los resultados son muy aproximados y no presentan tantas variaciones,
hubo algunos datos difíciles de llenar en la tabla de la practica ya que señales muy pequeñas como la corriente presentaban ruido y complicaba el
calculo del desfase.
Aun con esas consideraciones se ve que la aproximación del comportamiento es bastante cercana y las variaciones que se pueden observar en
la medición de la corriente pueden ser atribuidas a la resolución de los
instrumentos utilizados con magnitudes físicas “pequeñas” y ruidosas.
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REFERENCIAS
[1] Malvino, Albert, Electronic Principles, 6th Edition, McGraw
Hill, 1999.
[2] William Hyatt Jr, Jack E. Kemmerly & Steven M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, 6th Edition, McGraw Hill, 2002.
[3] Robert L. Boylestad, Introductory Circuit Analysis, 9th Edition,
Prentince Hall.
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