4. Dinámica 57 Hasta aquí analizamos el movimiento sin

4. Dinámica
4. DINÁMICA
Hasta aquí analizamos el movimiento sin preocuparnos por sus causas. Estudiaremos ahora las
causas y el tipo de movimiento a que dan lugar. Es intuitivo que para poner en movimiento un
objeto (o para detenerlo si se mueve) hace falta ejercer una fuerza, lo que lleva a pensar que los
cambios del estado de movimiento se deben a fuerzas que actúan sobre el móvil. Como todo
objeto se puede analizar como un conjunto de puntos materiales (en número suficiente)
consideraremos por ahora objetos puntiformes; oportunamente veremos como se generalizan los
conceptos que introduciremos a casos más complicados.
Sistemas inerciales y Principio de Inercia
El movimiento aparece en forma diferente a distintos observadores1. Por lo tanto al discutir la
Dinámica debemos elegir un sistema de referencia oportuno. Ahora bien, la experiencia indica
que hay una clase de referenciales llamados inerciales en los que un objeto libre de fuerzas
queda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. No todo sistema de
referencia es inercial: un referencial acelerado no lo es pues al discutir el movimiento relativo
vimos que en un sistema cuya aceleración es a los objetos están sometidos a una aceleración −a ,
de modo que un objeto en reposo se pone en movimiento aunque no actúen fuerzas sobre él. Un
sistema rotante tampoco es inercial ya que los cuerpos están sometidos a la aceleración
centrífuga y la aceleración de Coriolis. La existencia de sistemas inerciales se infiere (pero no se
demuestra) de las experiencias de Galileo, que observó que el movimiento uniforme y el reposo
no necesitan causa. Si lanzamos una bocha sobre una superficie plana y horizontal se moverá en
línea recta y luego de recorrer cierta distancia se detendrá. Si la superficie es rugosa la distancia
es modesta porque la fricción frena la bocha. Cuanto más pulida es la superficie menor es el roce
y mayor la distancia recorrida. Si el objeto se desplaza sobre un colchón de aire (lo que se
consigue con dispositivos adecuados) el roce es insignificante y el movimiento es rectilíneo y
uniforme con excelente aproximación. De esto se infiere que en el caso ideal que no hubiera
rozamiento el movimiento de la bocha sería exactamente rectilíneo y uniforme2. La conclusión
de lo dicho es que en un sistema inercial los cuerpos tienden a mantener su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme. Esta tendencia es una propiedad de los objetos materiales y se
llama inercia. Es por la inercia que cuando vamos en un automóvil que frena bruscamente
somos despedidos hacia adelante (es decir tendemos a mantener el estado de movimiento que
teníamos). La generalización de estas observaciones lleva a postular una ley o principio
fundamental de la Dinámica de validez universal:
I Ley:
En un sistema de referencia inercial, cuando no actúan fuerzas sobre un punto material,
éste mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.
Este postulado recibe el nombre de Primera Ley (o Principio) de la Dinámica, Primera Ley (o
Principio) de Newton y Ley (o Principio) de Inercia.
1
Recordar el caso de un movimiento rectilíneo visto por un observador en reposo y por un observador en rotación.
2
La Tierra no es un sistema inercial y aún eliminando el rozamiento el movimiento de la bocha no será rectilíneo y
uniforme debido a la aceleración de Coriolis y a la componente horizontal de la aceleración centrífuga. Luego las
experiencias que se acaban de describir se tendrían que hacer en un laboratorio ideal que esté en reposo.
57
4. Dinámica
Fuerzas y Segundo Principio
La noción de fuerza viene de la experiencia del esfuerzo muscular que se ejerce para desplazar
objetos, levantarlos, etc. (Fig. 4.1). Un resorte ejerce una fuerza que se opone a que se lo estire,
por eso se tiene que realizar un esfuerzo para estirarlo. Todo objeto tiene peso: por eso tenemos
que hacer un esfuerzo para levantarlo.
A
FR
GI
L
F
P
(a)
(b)
Fig. 4.1. Fuerzas: (a) para estirar un resorte hay que realizar un esfuerzo, (b) para levantar
un objeto hace falta un esfuerzo muscular.
Los atributos de una fuerza son su magnitud, su dirección y su sentido y por lo tanto se representa por medio de un vector. Cabe aclarar que la fuerza no es un vector libre pues como todo el
mundo sabe por experiencia su efecto depende del punto del cuerpo donde está aplicada. Volveremos sobre esta cuestión más adelante. Como por ahora tratamos objetos puntiformes vamos a
suponer que las fuerzas están aplicadas en el punto mismo. Si (como ocurre a veces) sobre un
punto material actúan varias fuerzas F1, F2, … (Fig. 4.2), su efecto equivale al de una única
fuerza llamada resultante, igual a la suma vectorial de las mismas:
F = F1 + F2 + …
(4.1)
Siempre que sobre un punto material actúen varias fuerzas las reemplazaremos por su resultante.
F1
F
P
F2
Fig. 4.2. Cuando varias fuerzas actúan sobre un punto material su efecto equivale al de su
resultante.
Una vez establecido el sistema de referencia que se debe emplear, es decir el sistema inercial,
queda claro que toda vez que un cuerpo se desvía del reposo o del movimiento rectilíneo y uniforme, la causa de esa desviación, o sea del cambio de velocidad, es una fuerza. Debemos buscar
entonces la relación entre las aceleraciones y las fuerzas.
Cuando un objeto cae por efecto de la gravedad (Fig. 4.3a) la aceleración está dirigida en la
misma dirección (indicada por la plomada) de la fuerza (el peso) que la produce. Si se hace girar
con movimiento circular uniforme un objeto atado por un cordel, la fuerza que el cordel ejerce
58
4. Dinámica
sobre el objeto está dirigida en la dirección radial y la aceleración que le imprime (la aceleración
centrípeta) es también radial (Fig. 4.3b). Podemos considerar más ejemplos y veremos siempre
que cuando un cuerpo tiene una aceleración a existe también una fuerza F que tiene igual dirección y sentido que a.
w
A
FR
GI
L
O
a
P
a
F
v
P
(a)
(b)
Fig. 4.3. La aceleración tiene igual dirección y sentido que la fuerza que la produce: (a) la
aceleración de un cuerpo que cae por efecto de su peso está dirigida verticalmente hacia
abajo, (b) un objeto realiza un movimiento circular uniforme atado por un cordel que
ejerce una fuerza en la dirección radial, la cual produce la aceleración centrípeta necesaria.
Para averiguar más sobre la relación entre fuerza y aceleración conviene recordar los experimentos de Galileo con el plano inclinado. Sea un dispositivo (ver la Fig. 4.4a) consistente en dos
planos inclinados separados por un plano horizontal (las superficies deben ser pulidas para que
no influya el rozamiento o mejor aún, se debe usar un colchón de aire). Estudiando el movimiento de un cuerpo que se suelta en el extremo A del plano inclinado se ve lo siguiente:
• En el tramo AB el movimiento es uniformemente acelerado. La aceleración depende de la
pendiente α del plano, más precisamente a ~ sen α , y no depende del material de que está
hecho el cuerpo ni de su tamaño.
• En el tramo horizontal BC el movimiento es rectilíneo y uniforme.
• En el tramo CD el móvil se acelera como en AB, pero en el sentido de reducir su velocidad.
A
A
a
a
P||
D
a ~ sena
B a=0
C
(a)
P⊥
a
P
a
(b)
Fig. 4.4. Relación entre fuerza y aceleración: (a) cuando un cuerpo desliza sin rozamiento
su movimiento es uniformemente acelerado en los tramos AB y CD y es rectilíneo y uniforme en el tramo BC; (b) las partes paralela y perpendicular a un plano inclinado del peso
de un cuerpo.
59
4. Dinámica
La fuerza que actúa es el peso P del cuerpo y lo podemos imaginar (Fig. 4.4b) como la suma de
una parte P⊥ perpendicular a la superficie del plano inclinado y una parte P|| paralela al mismo:
P = P⊥ + P|| , P⊥ = P cos α , P|| = P sen α
(4.2)
La componente P⊥ mantiene el cuerpo en contacto con el plano y no produce aceleración dado
que el plano no se deja penetrar por el cuerpo (es un vínculo, en el sentido que estudiamos en el
Capítulo 3). La componente tangencial es la que produce la aceleración. Lo observado en el
tramo horizontal es consecuencia de la Primera Ley: como P|| = 0 , no hay aceleración y tenemos
un movimiento rectilíneo uniforme. Lo observado en el tramo inclinado, o sea a ~ sen α , junto
con la (4.2) indica que la aceleración es proporcional a la fuerza:
P||
= K = cte. ⇒ P|| = K a
a
(4.3)
Al experimentar con diferentes cuerpos se encuentra que la aceleración no depende del material
ni del tamaño de los mismos, sino sólo de la pendiente α . Por otra parte P|| es proporcional al
peso del cuerpo. Por lo tanto se concluye que el factor de proporcionalidad K entre aceleración y
fuerza depende del cuerpo. Para investigar esta dependencia podemos realizar otras experiencias.
Por ejemplo si tiramos de un carro con una fuerza F fija, se observa que cuanto más se carga el
carro tanto menor es la aceleración (Fig. 4.5). Luego K es proporcional a la carga del carro. La
constante de proporcionalidad está pues relacionada con la cantidad de materia del cuerpo que
está siendo acelerado3, esto es, con la masa del cuerpo que es la medida de la cantidad de materia del mismo. Por lo tanto si con m indicamos la masa podemos escribir
F = Cma
(4.4)
donde C es una constante a determinar, que depende de las unidades en que se miden las fuerzas.
A
FR
GI
L
A
FR
F
GI
L
A
FR
GI
L
F
a
a
(a)
(b)
Fig. 4.5. Si tiramos de un carro con una fuerza F fija, la aceleración es tanto menor cuanto
más se carga el carro.
Si definimos la unidad de fuerza como aquella fuerza que aplicada a la unidad de masa le imparte una unidad de aceleración, tendremos que C = 1 y la (4.4) queda
F = ma
(4.5)
Recordando que la dirección y el sentido de la fuerza y de la aceleración coinciden se tiene que
3
En realidad la experiencia del plano inclinado, al mostrar que K es proporcional al peso, muestra también que el
peso es proporcional a la cantidad de materia.
60
4. Dinámica
F = ma
(4.6)
En base al resultado que hemos inferido podemos postular con validez general una nueva ley o
principio fundamental de la Dinámica:
II Ley:
La aceleración de un punto material es directamente proporcional a la resultante de las
fuerzas que actúan sobre él, e inversamente proporcional a su masa:
F = ma
Este enunciado recibe el nombre de Segunda Ley (o Principio) de la Dinámica, Segunda Ley (o
Principio) de Newton o Ley (o Principio) de Masa.
Corresponde aclarar que nuestras consideraciones dan por implícita una definición rigurosa del
concepto de masa, que todavía no dimos. Tal definición se puede lograr por medio de la Tercera
Ley de la Dinámica, que introduciremos en breve. Pero no entraremos ahora en ese tema dado
que el concepto de masa como medida de la “cantidad de materia”, aunque no riguroso es bastante intuitivo y preferimos evitar por el momento una disquisición epistemológica que antes que
aclarar las cosas puede producir confusión. Más adelante volveremos sobre la cuestión.
Dimensiones y unidades de masa y fuerza
La masa se toma habitualmente como magnitud fundamental. Sus unidades son el kilogramo
(kg) en el sistema MKS y el gramo (g) en el sistema cgs. Por definición el kilogramo es la masa
de un bloque patrón de metal que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de Sévres (Francia) y equivale muy aproximadamente a la masa de un litro de agua.
De acuerdo con la (4.6) las dimensiones de fuerza derivan de las de la masa y la aceleración:
[ F ] = [ m][a] = [ mlt −2 ]
(4.7)
En el sistema MKS la unidad de fuerza es el kg m/s2 = Newton = N y en el sistema cgs el
g cm/s2 = dina = dy . Se verifica que 1 N = 10 5 dy . También se suele medir la fuerza en kilogramos fuerza (kgf); esta unidad es el peso de una masa de 1 kg, de modo que 1 kgf = 9.8 N .
Interacciones y Tercer Principio
Las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo se deben a la acción de otros cuerpos. Estas acciones
mutuas de los cuerpos se denominan interacciones. En ausencia de interacciones no actúan fuerzas sobre el cuerpo, y éste se mueve de acuerdo con la Primera Ley.
La observación muestra que si aplicamos una fuerza a un cuerpo soportamos una reacción, es
decir una fuerza que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Esta reacción es tanto mayor cuanto mayor
es la fuerza aplicada. Todos sentimos sobre nuestra mano la reacción de la mesa si descargamos
un puñetazo sobre la misma: no hay que dar un golpe demasiado fuerte, no sea cosa que la reacción nos lastime. Si tiramos de un carro con una cuerda (Fig. 4.6) ejerciendo una fuerza sobre el
carro, la cuerda soporta una reacción que la pone tensa. Se pueden dar más ejemplos y se encuentra siempre que a toda fuerza le corresponde una fuerza de reacción, que actúa sobre aquello
que está ejerciendo la primera fuerza, o sea la acción. Por eso la acción no ocurre nunca sola: en
toda interacción entre cuerpos a cada acción le corresponde una reacción. Las fuerzas se presentan siempre de a pares: una sobre cada uno de los cuerpos que interactúan.
61
4. Dinámica
A
FR
GI
L
R
F
Fig. 4.6. Cuando al tirar con una cuerda ejercemos una fuerza sobre el carro, la cuerda soporta una reacción que la pone tensa.
Los ejemplos mencionados muestran que en toda interacción se cumple que
• la magnitud de la fuerza de reacción es igual a la magnitud de la fuerza de acción,
• ambas fuerzas tienen la misma recta de acción,
• ambas fuerzas tienen sentido opuesto.
Estas observaciones permitieron a Newton postular una ley o principio de la Dinámica de validez universal (Fig. 4.7):
III Ley:
En toda interacción entre dos puntos materiales A y B en que el primero ejerce una fuerza
FAB sobre el segundo, éste ejerce sobre el primero una reacción FBA . La fuerza de reacción es de igual magnitud y sentido contrario a la fuerza de acción y ambas se ejercen a lo
largo de la recta que une los dos puntos:
FBA = − FAB
(4.8)
Este enunciado se conoce como Tercera Ley (o Principio) de la Dinámica, Tercera Ley (o Principio) de Newton, o Ley (o Principio) de Acción y Reacción.
B
FAB
A
FBA
Fig. 4.7. La Ley de Acción y Reacción: si A ejerce una fuerza FAB sobre B, éste ejerce sobre A una reacción FBA = − FAB ; ambas fuerzas se ejercen a lo largo de la recta AB.
Cantidad de movimiento e impulso
Sea un objeto puntiforme de masa m que se desplaza con velocidad v. La magnitud
p = mv
(4.9)
se denomina cantidad de movimiento del móvil. En términos de la cantidad de movimiento, la
Segunda Ley de la Dinámica se escribe como
F=
62
dp
dt
(4.10)
4. Dinámica
donde F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el móvil. Notar que esta formulación de
la Segunda Ley es más general que la ec. (4.6) pues incluye el caso en que la masa del sistema
es variable, como ocurre con un cohete que pierde masa a medida que quema combustible.
La Segunda Ley se escribe en forma diferencial como dp = Fdt . En general F es una función
del tiempo y la variación de la cantidad de movimiento en el intervalo t2 − t1 se expresa como:
t2
t2
t1
t1
∆p = p(t2 ) − p(t1 ) = ∫ dp = ∫ Fdt
(4.11)
La cantidad
t2
I21 = ∫ Fdt
(4.12)
t1
se denomina impulso de la fuerza F. Para evaluar el impulso es preciso, naturalmente, conocer
cómo dependen del tiempo las fuerzas.
La expresión (4.11) no es otra cosa que la expresión integral de la Segunda Ley, que se puede
enunciar como:
II Ley:
La variación de la cantidad de movimiento de un móvil es igual al impulso de la resultante
de las fuerzas que actúan sobre él.
Conservación de la cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento es una magnitud extensiva: si S es un sistema compuesto por varios
móviles S1, S2, ... cuyas cantidades de movimiento son p1, p2, ... , respectivamente, la cantidad
de movimiento p de S es igual a la suma de las cantidades de movimiento de sus partes:
p = p1 + p2 + K
(4.13)
Sea ahora S un sistema aislado (es decir que no interactúa con el resto del universo) que comprende los subsistemas S1 y S2. No hay fuerzas de origen externo sobre S1 y S2 y por lo tanto la
única fuerza que actúa sobre S1 es F21, que proviene de su interacción con S2. Análogamente la
única fuerza que actúa sobre S2 es F12, que proviene de su interacción con S1. Como F 21 y F12
son un par de acción y reacción, por la Tercera Ley F21 = − F12 . Además, por la Segunda Ley
dp1
= F21
dt
y
dp2
= F12
dt
(4.14)
Luego dp1 / dt + dp2 / dt = 0 y por lo tanto
p = p1 + p2 = cte.
(4,15)
Luego la cantidad de movimiento de S se conserva si no hay fuerzas externas. Usando la (4.11)
la conservación de la cantidad de movimiento de S se expresa en la forma
∆p = ∆p1 + ∆p2 = 0,
o sea
63
∆p2 = − ∆p1
(4.16)
4. Dinámica
Esta fórmula pone de manifiesto que en toda interacción entre dos cuerpos hay una transferencia
de cantidad de movimiento de uno a otro. Pero la cantidad de movimiento total se mantiene
constante, porque por la Ley de Acción y Reacción la cantidad de movimiento que gana una
parte se compensa exactamente con la que pierde la otra.
Conviene aquí hacer un comentario acerca del concepto de sistema aislado. En sentido estricto
ningún sistema es aislado, es decir no interactúa con el resto del universo. Cabe entonces preguntarse para qué sirven en la práctica las anteriores consideraciones. Para aclarar la cuestión
veamos como se modifican nuestros resultados cuando S interactúa con el resto del universo. En
tal caso la fuerza que actúa sobre S1 es la resultante de F 21 y F e1, la fuerza de origen externo
resultante de las interacciones de S1 con el resto del universo. Análogamente la fuerza que actúa
sobre S2 es la resultante de F12 y Fe2. Por lo tanto
dp1
dp2
= F21 + Fe1 ,
= F12 + Fe 2
dt
dt
(4.17)
Al sumar ambas ecuaciones obtenemos
dp
= Fe1 + Fe 2 = Fe
dt
(4.18)
donde Fe es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre S. Por lo tanto
t
∆p = ∫ 2 Fe dt
t1
(4.19)
Este resultado indica que la variación de la cantidad de movimiento de un sistema proviene exclusivamente del impulso de las fuerzas de origen externo. Ahora bien, en muchas situaciones de
interés puede ocurrir que la variación de la cantidad de movimiento del sistema (debida como
vimos a las fuerzas externas) sea despreciable. Eso sucede si Fe es muy pequeña, o si el intervalo
de tiempo ∆ t=t2 −t1 que estamos considerando es muy breve (como ocurre en el choque entre
dos cuerpos). En tales casos tendremos
∆p ≅ 0
(4.20)
Si δp es la magnitud de la transferencia de cantidad de movimiento entre las partes del sistema
( δ p≈Fint ∆ t , donde Fint es el valor típico de las fuerzas internas), la condición para que a los
fines prácticos el sistema se pueda considerar aislado se puede expresar como
∆p Fe ∆t
F
a
≈
= e = e << 1
δp Fint ∆t Fint aint
(4.21)
donde ae y aint son las magnitudes de las aceleraciones de una parte cualquiera del sistema debidas a las fuerzas externas e internas, respectivamente. Entonces un sistema se puede considerar
aislado si la aceleración de una cualquiera de sus partes debida a las fuerzas externas es despreciable frente a la aceleración producida por las fuerzas que las demás partes del sistema ejercen
sobre ella.
64
4. Dinámica
Amortiguamiento de una caída
Como aplicación de estos conceptos estimemos desde que altura puede caer un hombre sin lastimarse, suponiendo que cae de pie y amortigua el impacto sobre el piso doblando las piernas.
Estudiaremos el impacto, es decir el proceso desde que los pies tocan el suelo con las piernas
estiradas y con velocidad v, hasta que el movimiento se detiene y las piernas están flexionadas.
El problema parece complicado porque sobre el hombre actúan el peso P = mg (m es la masa y
g la aceleración de la gravedad) y la fuerza normal de contacto N debida a la impenetrabilidad
del piso4, cuyo valor no conocemos de antemano. Pero no queremos un resultado exacto, sólo
una estimación. Para resolver el problema vamos a suponer que el sistema hombre-piso se puede
tratar como aislado, sujeto a verificar a posteriori que esta hipótesis se cumpla satisfactoriamente. Nuestra hipótesis implica que durante el intervalo ∆t que dura el frenado podemos despreciar el impulso del peso.
Si h es la altura de la caída, al llegar al suelo la velocidad es v = 2 gh . Supongamos que durante el impacto la desaceleración es constante e igual a G; entonces v = 2Gl , donde l es la
longitud de las piernas ( l ≈ 0.75 m); luego h / l = G / g . Para que el hombre no se rompa los
huesos N debe ser menor que el valor límite F* dado por la resistencia mecánica del esqueleto,
cuyo valor aproximado es:
F* ≈ 10 P = 10 mg
(4.22)
Entonces el máximo valor admisible de la desaceleración es G = 10 g . De aquí resulta
h ≤ Gl / g = 10 l ≈ 7.5 m
(4.23)
Luego la máxima altura desde la cual se puede caer sobre un piso rígido sin lastimarse es unas
10 veces la longitud de las piernas: unos 7.5 m, más o menos la altura de un segundo piso5.
Falta verificar que se cumple nuestra hipótesis. El tiempo de frenado es ∆t = 2l / G , durante el
cual ocurre una variación δp = mv de la cantidad de movimiento. Durante ese lapso la variación
de cantidad de movimiento debida al impulso del peso es ∆p = mg∆t , por lo tanto
∆p g 1
= ≈
δp G 10
(4.24)
Luego se justifica considerar el sistema hombre-suelo como aislado.
Ley de escala de los esqueletos
El concepto de la fuerza límite (4.22) permite formular una ley de escala para el esqueleto de los
vertebrados terrestres. Si l es la dimensión lineal típica del cuerpo y ρ la densidad del mismo
tenemos que m ~ ρ l3 . Por otra parte F ∗ ~ kd 2 donde d es la dimensión transversal de los huesos
y k es una constante que depende del material y estructura de los mismos y que podemos suponer que tiene el mismo valor para todos los vertebrados. De esto resulta que
d 2 gρ
=K
~
k
l3
(4.25)
4
Más adelante se tratan las fuerzas de contacto.
5
La (4.22) en que se basa nuestra estimación no se debe tomar al pie de la letra, sino sólo con carácter indicativo.
No aconsejo a nadie que haga la prueba de saltar desde un segundo piso, salvo en caso de extrema necesidad.
65
4. Dinámica
donde K es (aproximadamente) constante para animales terrestres del mismo tipo de estructura.
De esto se desprende la siguiente ley de escala:
d
~ l1 / 2
l
(4.26)
que implica que los animales de mayor tamaño tienen huesos proporcionalmente más gruesos.
Lógicamente estos argumentos no se aplican si se comparan animales que viven en el agua con
animales terrestres.
Problemas de Dinámica
Como dijimos al comienzo de este Capítulo el problema de la Dinámica es establecer la relación
entre el movimiento y sus causas. Concretamente: dado un móvil y dadas las fuerzas que actúan
sobre el mismo, determinar su movimiento. O bien resolver el problema inverso: conociendo
como se mueve un cuerpo, deducir las fuerzas a las que está sometido. Para eso contamos con la
tres leyes fundamentales de la Dinámica: la Ley de Inercia, la Ley de Masa y la Ley de Acción y
Reacción. Estas tres leyes contienen en principio todo lo necesario para resolver estos problemas. Pero su aplicación a casos concretos requiere superar dos escollos:
• conocer las fuerzas que están actuando y
• dadas las fuerzas, encontrar las ecuaciones del movimiento.
Muchos piensan que la parte más difícil del problema es la segunda, tal vez influidos por el gran
desarrollo que se da en los textos a las técnicas y formalismos matemáticos, así como por la introducción de importantes conceptos que ayudan a plantear y resolver las ecuaciones. Sin embargo la primera parte es tanto o más difícil. En los casos prácticos no es siempre sencillo reconocer correctamente qué fuerzas están actuando. Más aún, cuando actúan varias fuerzas (y es así
en la mayoría de los problemas de la realidad) no es fácil saber cuales son las más importantes
(porque determinan las principales características de la dinámica), cuales producen efectos secundarios (o sea pequeñas correcciones) y cuales finalmente se pueden despreciar dentro de la
precisión con que estudiamos el problema. Conviene entonces que el lector se familiarice con las
fuerzas que va a encontrar en la práctica. Aquí describiremos algunas de ellas y otras más se
presentarán en los Capítulos siguientes.
El peso
Ya hemos mencionado esta fuerza. El peso es la fuerza que hace caer los cuerpos. Proviene de
una de las interacciones fundamentales: la interacción gravitatoria, que trataremos en el Capítulo
9. Concretamente, el peso de todo objeto material proviene de la atracción que la Tierra ejerce
sobre él. Su dirección define la vertical del lugar (que con buena aproximación coincide con la
recta que pasa por el centro de la Tierra y por el lugar de que se trate6) y su sentido es hacia el
interior de la Tierra. La magnitud del peso es proporcional a la masa del cuerpo, de modo que
P = mg
(4.27)
Cuando se considera un cuerpo extenso, su peso es la resultante de los pesos de cada uno de los
elementos materiales que lo componen. Esta resultante se puede considerar aplicada en un punto
6
Pasaría exactamente por el centro de la Tierra si ésta fuera una esfera perfecta y si no girara sobre sí misma.
66
4. Dinámica
que se llama baricentro o centro de masa, o centro de gravedad del cuerpo. Veremos más adelante como se determina la posición del baricentro de un cuerpo extenso o de un sistema de
puntos materiales. Cuando el cuerpo tiene una forma simple y es homogéneo, el baricentro coincide con el centro geométrico del mismo.
En virtud de la Tercera Ley a toda acción le corresponde una reacción. Por lo tanto si la Tierra
ejerce una acción gravitatoria sobre el cuerpo, de modo que sobre el cuerpo actúa el peso, hay
una reacción ejercida por el cuerpo sobre la Tierra. Esta reacción es la resultante de todas las
fuerzas que ejerce el cuerpo sobre cada uno de los elementos materiales que componen la Tierra
y se puede considerar aplicada en el baricentro de la Tierra, que coincide prácticamente con el
centro geométrico de nuestro Planeta. La situación se muestra en la Fig. 4.8, donde P ′ = − P
designa la reacción del peso de un cuerpo de masa m. En realidad tanto P como P ′ son las resultantes de las fuerzas de interacción gravitatoria que se ejercen sobre cada una de las partículas
que componen, respectivamente, el cuerpo y la Tierra, pero a los fines de sus efectos dinámicos
es equivalente reemplazar esos conjuntos de fuerzas por sus resultantes, si suponemos que tanto
la Tierra como el cuerpo son rígidos (lo cual es razonable en muchas situaciones).
P
P'
Fig. 4.8. La Tierra ejerce una atracción gravitatoria sobre todo cuerpo, que se manifiesta en
el peso. El cuerpo ejerce una reacción que se puede considerar aplicada en el baricentro de
la Tierra, que coincide prácticamente con el centro geométrico del Planeta.
La masa de la Tierra es de 5.976×1024 kg, luego la aceleración que sufre debido a la reacción P ′
provocada por un cuerpo de escala humana es despreciable. No es así, sin embargo, cuando se
consideran las reacciones debidas a la interacción gravitatoria con otros cuerpos celestes como la
Luna, el Sol, etc.
La relación entre el peso y la masa
Para un objeto que cae acelerado por su peso la Segunda Ley establece que a = P / m . Pero es un
hecho experimental (observado por Galileo) que todos los cuerpos que caen bajo la acción de su
propio peso sufren la misma aceleración a = g = cte. Resulta entonces que el peso de un cuerpo
es proporcional a su masa, pues P = mg . Este hecho no es una consecuencia de la Segunda Ley,
sino que es un resultado experimental independiente que proviene de la particular naturaleza de
67
4. Dinámica
la gravitación. Recordemos que la masa es una característica dinámica de los cuerpos que mide
la inercia de los mismos, es decir la resistencia que oponen al cambio en su estado de movimiento. Que la inercia esté vinculada con la gravitación es, lo repetimos, un hecho experimental
y no una consecuencia de las leyes de la Dinámica Newtoniana. Volveremos más adelante sobre
esta cuestión y sus implicancias.
Fuerzas de contacto entre cuerpos sólidos
Estas fuerzas son muy importantes en nuestra vida cotidiana y se deben a la presencia de cuerpos
que actúan como vínculos. En la Fig. 4.9 se muestra un libro que descansa sobre una mesa. Debido a la presencia de la mesa el libro no cae al suelo. Lo que ocurre es que sobre la tapa del
libro que está en contacto con la superficie de la mesa está actuando una fuerza, que indicaremos
con N, que equilibra el peso del libro de modo que la fuerza resultante es nula: P + N = 0. Por
este motivo el libro no cae atravesando la mesa. Esta fuerza actúa sólo cuando el libro está en
contacto con la mesa y por eso se denomina fuerza de contacto. Otra fuerza de contacto es la que
da lugar al rozamiento, que se opone a que un cuerpo deslice sobre otro.
N
P
(a)
(b)
Fig. 4.9. Fuerza de contacto: (a) un libro apoyado sobre una mesa no cae al suelo atravesando la mesa porque (b) la mesa ejerce una fuerza de contacto que equilibra el peso del
libro.
Las fuerzas de contacto no son fuerzas fundamentales. Son una manifestación a escala macroscópica de las interacciones entre los átomos y moléculas que componen los cuerpos y que hacen
que éstos no se interpenetran y tienden a adherirse entre sí. Su origen, en última instancia, se
debe a las interacciones electrostáticas entre las nubes electrónicas y a ciertos efectos cuánticos
que no vamos a discutir aquí. La teoría detallada de las fuerzas de contacto es muy difícil y no
nos ocuparemos de ella, aunque más adelante presentaremos una discusión cualitativa. Afortunadamente en la mayoría de los casos que nos pueden interesar no importa conocer el detalle de
cómo actúan en escala microscópica las fuerzas de contacto, pues basta saber cual es su efecto
general. Eso es lo que vamos a tratar ahora.
Toda fuerza de contacto se puede imaginar como la suma de una fuerza de contacto normal N,
perpendicular a la superficie de contacto, más una fuerza tangencial R paralela a dicha superficie
(Fig. 4.10). La fuerza N es la que se opone a la penetración de los cuerpos. La fuerza R da lugar
al rozamiento (o fricción).
68
4. Dinámica
N
Fc
FR
AG
IL
R
Fig.4.10. Toda fuerza de contacto es la suma de una fuerza normal N, perpendicular a la
superficie de contacto y que se opone a la penetración de los cuerpos, más una fuerza tangencial R paralela a dicha superficie y que da lugar al rozamiento.
Fuerza normal de contacto
La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie y su valor no depende de las características de los cuerpos en contacto, sino que es exactamente el necesario para impedir la penetración. En el ejemplo del libro sobre la mesa N = − P de modo que la resultante de las fuerzas que
actúan sobre el libro es nula: el libro no cae porque está sostenido por la mesa que ejerce la
fuerza N. Si apoyamos un segundo libro sobre el primero N se ajusta de modo de balancear el
peso de ambos libros. En realidad no es estrictamente correcto decir que N toma siempre el valor
necesario para equilibrar las fuerzas que tienden a producir la penetración. Se debe notar que
estamos tratando las fuerzas de contacto de manera fenomenológica, mediante el modelo de
cuerpo sólido, rígido e impenetrable. En realidad no existen sólidos perfectamente rígidos e impenetrables: nuestro modelo tiene límites dados por la resistencia de los materiales. Todo el
mundo sabe, en efecto, que si se coloca sobre una mesa un objeto demasiado pesado la mesa se
rompe. En nuestro lenguaje esto se describe así: por la Tercera Ley cuando la mesa ejerce la
fuerza N sobre el objeto que se apoya sobre ella, el objeto ejerce una reacción –N sobre la mesa.
Si el valor de N necesario para sostener el objeto es tal que N y/o –N superan, respectivamente,
el límite de resistencia del objeto y/o de la mesa, éstos se rompen (antes de llegar a eso se deforman apreciablemente y entonces la descripción del fenómeno se complica considerablemente). Pero mientras esto no ocurra podemos aplicar con confianza nuestro modelo simple.
La fuerza normal de contacto explica lo que ocurre cuando un objeto está apoyado sobre un
plano inclinado (Fig. 4.11). Como P = P|| + P⊥ donde P|| = P sen α y P⊥ = P cos α son las partes
de P paralela y perpendicular al plano y puesto que N = − P⊥ resulta que N = P cos α . Dejando
de lado por un momento el rozamiento, la resultante sobre el cuerpo es
F = P + N = P|| + P⊥ + N = P||
(4.28)
Luego el cuerpo no atraviesa el plano sino que tiende a deslizarse sobre el mismo bajo la acción
de P|| . En ausencia de rozamiento el movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado, con la
aceleración
a=
P||
= g sen α
m
69
(4.29)
4. Dinámica
N
P||
PŒ
a
P
a
Fig. 4.11. Cuando un objeto está apoyado sobre un plano inclinado la fuerza normal de
contacto equilibra la componente del peso perpendicular al plano.
Fuerza de rozamiento
Cuando un cuerpo está en contacto con otro hay, además de N, una fuerza de contacto tangencial
R que se llama rozamiento y se opone a que el cuerpo deslice sobre el otro. Su comportamiento
es diferente al de N. Para discutir el rozamiento hay que distinguir si los cuerpos que están en
contacto tienen o no movimiento relativo. En el primer caso se habla de rozamiento dinámico, en
el segundo de rozamiento estático.
Rozamiento dinámico
Cuando un cuerpo desliza sobre un plano inclinado se observa (si no se toman recaudos para
evitar el rozamiento, como usar un colchón de aire) que a ≠ g sen α . Esto se debe a la fuerza R.
Si se hacen mediciones cuidadosas se encuentra que R tiene las siguientes propiedades:
• tiene igual dirección y sentido opuesto que la velocidad v del móvil (ver Fig. 4.12a),
• su magnitud es proporcional al módulo de la fuerza de contacto normal.
Podemos escribir entonces
R = − µ d Nvˆ
(4.30)
donde µ d es una constante adimensional que se denomina coeficiente de rozamiento dinámico.
El valor de µ d depende de los materiales de los cuerpos y de las características de las superficies
en contacto (su rugosidad o grado de pulimento, la presencia o no de sustancias como grasas o
aceites lubricantes sobre las mismas, etc.). Algunos valores se dan en la Tabla 4.1.
Tabla 4.1. Coeficientes de fricción para superficies limpias y secas.
Superficies en contacto
acero duro/acero duro
acero blando/acero blando
plomo/acero blando
cobre/acero blando
cobre/hierro fundido
níquel/níquel
hierro fundido/hierro fundido
teflón/teflón
70
µd
0.42
0.57
0.95
0.36
0.30
0.53
0.15
0.04
µe
0.78
0.74
0.95
0.53
1.10
1.10
1.10
0.04
4. Dinámica
Consideremos un cuerpo que desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con la velocidad v.
Tendremos entonces que m a = P|| − R y recordando las (4.2) y (4.30) resulta
µ
a = vˆ g sen α 1 − d 

tan α 
(4.31)
Existe pues un valor crítico α d de la pendiente del plano (llamado ángulo de rozamiento dinámico) dado por la condición tan α d = µ d , que permite distinguir tres posibilidades distintas:
• si α < α d tendremos a ~ −vˆ , luego el rozamiento frena al móvil, que acabará por detenerse,
• si α = α d se tiene que a = 0 y el móvil desliza hacia abajo con velocidad constante,
• si α > α d tendremos que a ~ vˆ y el móvil se acelera al descender, pero su aceleración es
menor que la que tendría en ausencia de rozamiento ( a < g sen α ).
v
FRA
R
G IL
FRA
G IL
R
P||
(a)
(b)
Fig. 4.12. Fuerza de rozamiento: (a) el rozamiento dinámico tiene igual dirección y sentido
opuesto que la velocidad del móvil, (b) el rozamiento estático tiene igual dirección y sentido opuesto que la fuerza que tiende a desplazar el móvil.
Rozamiento estático
Si no hay movimiento relativo el rozamiento tiende a mantener los cuerpos en ese estado. Sea un
libro apoyado sobre una mesa. Si lo empujamos para ponerlo en movimiento veremos que hace
falta una fuerza apreciable para lograr nuestro objetivo. Se puede determinar que la fuerza F
necesaria para poner en movimiento al móvil debe superar una cota dada por µe N , de modo que
F ≥ µe N
(4.32)
El número µe se denomina coeficiente de rozamiento estático (algunos valores se dan en la Tabla 4.1) y se cumple que7 µe ≥ µ . El resultado de las observaciones indica que:
• en tanto que F < µe N no hay movimiento, por lo tanto R = − F (Fig. 4.12b),
• cuando F ≥ µe N el rozamiento estático no logra impedir el movimiento: estamos en presencia de rozamiento dinámico y R está dado por la (4.30).
El comportamiento de R como función de F se representa en la Fig. 4.13. Volveremos sobre el
tema del rozamiento en los Capítulos 11 y 12.
7
El rozamiento estático juega un rol muy importante en el comportamiento de un automóvil. En condiciones
normales de marcha, las partes de las cubiertas en contacto con el pavimento están (instantáneamente) en reposo. Es
el rozamiento estático lo que permite que las ruedas motrices tengan tracción, y que el vehículo mantenga
adherencia al piso cuando acelera o frena. Si por cualquier causa las ruedas deslizan sobre el pavimento, entra en
juego el rozamiento dinámico cuyo valor es menor, el vehículo patina y el conductor puede perder el control del
mismo. Por eso jamás hay que frenar bloqueando las ruedas.
71
4. Dinámica
R/N
me
md
me
F/N
Fig. 4.13. Comportamiento de R como función de F.
Fuerzas sobre un cuerpo en el seno de un fluido
Los fluidos ejercen fuerzas sobre los cuerpos que están en su seno. Puesto que todo objeto terrestre está rodeado por un ambiente fluido sea gaseoso (la atmósfera), sea líquido (mares, lagos
o ríos), es importante conocerlas. Su tratamiento riguroso requiere estudiar la Mecánica de los
Fluidos, pero por su gran importancia práctica las presentaremos aquí, aunque algunos aspectos
se aclararán recién al estudiar los Capítulos 13 y 14. Estas fuerzas se dividen en tres grupos:
• El empuje de Arquímedes, que actúa sobre todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un
fluido, cualquiera sea de su estado de movimiento.
• Fuerzas que dependen de la velocidad del cuerpo, que a su vez se dividen en fuerzas de
arrastre, que tienen la dirección de la velocidad relativa del cuerpo respecto del fluido y sentido opuesto, y fuerzas de sustentación, que son ortogonales a dicha velocidad relativa.
• Fuerzas que dependen de la aceleración del cuerpo respecto del fluido que lo rodea.
A continuación pasaremos revista a estas fuerzas.
El empuje
Es la fuerza más sencilla y se tratará en detalle en el Capítulo 13. Se la conoce desde la antigüedad (Arquímedes) y es la que permite que los barcos floten y que los objetos sumergidos en un
líquido sean más livianos. Proviene de la presión8 ejercida por el fluido sobre la parte sumergida
del cuerpo; su magnitud no depende del estado de movimiento del cuerpo y está dada por
E = gρ f V
(4.33)
Aquí ρ f es la densidad del fluido, V el volumen de la parte sumergida del cuerpo y g la
aceleración de la gravedad. Luego la magnitud del empuje es igual al peso del fluido desalojado
por el cuerpo. Su dirección es la misma del peso y su sentido es opuesto (Fig. 4.14), entonces:
E = − gρ f V
8
La presión es la magnitud de la fuerza que se ejerce por unidad de área.
72
(4.34)
4. Dinámica
E
P
Fig. 4.14. El empuje tiene igual dirección y sentido opuesto que el peso.
El empuje se puede considerar aplicado en el baricentro de la masa de fluido que ocuparía el
lugar del cuerpo si éste no estuviera presente. Notar que en general este punto no coincide con el
baricentro del cuerpo, hecho que como veremos más adelante tiene gran importancia en lo que
hace a la estabilidad de una embarcación. Solamente si el cuerpo es homogéneo y está completamente sumergido el punto de aplicación del empuje coincide con el del peso. Para tomar en
cuenta el empuje en la dinámica de un cuerpo homogéneo y completamente sumergido basta
reemplazar el peso P del mismo por el peso aparente Pa dado por
ρf 

Pa = P + E = P 1 −

ρ

(4.35)
donde ρ es la densidad del cuerpo. La densidad del aire es de unos 10–3 g/cm3, mientras que la
densidad de la materia condensada es típicamente del orden de 1 g/cm3. Por lo tanto al tratar
cuerpos en el aire podremos casi siempre despreciar el empuje. En cambio para objetos en el
agua el empuje se debe tener en cuenta siempre.
Fuerzas de arrastre
Fuerzas de arrastre y de sustentación
Los fluidos se oponen al avance de los cuerpos que se mueven en su seno. De igual modo una
corriente de un fluido tiende a arrastrar consigo los objetos que están dentro de ella. Las fuerzas
de arrastre junto con las de sustentación (que trataremos a continuación) son fundamentales para
comprender el transporte de materiales por los fluidos, la sedimentación, la locomoción acuática
y aérea, etc. Son fuerzas que dependen de la velocidad relativa del objeto respecto del fluido y su
expresión exacta es muy difícil de obtener, por lo cual sólo las trataremos en forma aproximada,
justificando cualitativamente su origen y dando estimaciones de su magnitud.
La fenomenología de las fuerzas de arrastre es muy compleja y se deben considerar varios casos,
cada uno de los cuales es apropiado sólo para determinadas situaciones. Trataremos ahora de
describirlas en términos sencillos.
Arrastre viscoso
Cuando la velocidad relativa del objeto respecto del fluido es baja (más adelante veremos qué se
entiende por baja) la resistencia al movimiento se debe a la viscosidad del fluido. La viscosidad
73
4. Dinámica
es una propiedad de los fluidos que se estudiará en el Capítulo 12, en virtud de la cual éstos se
oponen con fuerzas toda vez que se intenta hacer deslizar una capa de fluido sobre otra. La magnitud del efecto es proporcional a un parámetro que se llama coeficiente de viscosidad, que indicaremos con η, cuyo valor depende de la naturaleza del fluido y de su estado (básicamente de su
temperatura). Para fijar ideas supongamos tener dos capas planas 1 y 2 de fluido (Fig. 4.15) separadas por una distancia ∆d , que se mueven paralelamente a sí mismas con las velocidades v1
y v2 = v1 + ∆v , respectivamente. En esas condiciones se encuentra experimentalmente que la
capa 2 ejerce sobre la capa 1 una fuerza Fη que tiene las siguientes propiedades:
• es proporcional a la diferencia de velocidades ∆v ,
• es inversamente proporcional a la distancia ∆d entre las capas,
• es proporcional al área de contacto S entre las capas,
• se opone al movimiento relativo, es decir, tiende a aumentar la velocidad de la capa 1.
En resumidas cuentas
Fη = η S
∆v
∆d
(4.36)
En virtud de la Tercera Ley la capa 1 ejerce sobre la capa 2 una fuerza −Fη , que tiende a disminuir la velocidad de la capa 2.
v 2 = v 1+ 6v
2
6d
v1
1
Fh
Fig. 4.15. Cuando dos capas de un fluido deslizan la una sobre la otra, debido a la viscosidad se ejercen fuerzas entre ambas que tienden a disminuir la velocidad relativa.
De la ec. (4.36) obtenemos las dimensiones de η:
m
[η] =  
 tl 
(4.37)
La unidad de viscosidad en el sistema cgs es el poise (p), cuyo valor es
1 poise = 1 p = 1g/cm s
(4.38)
En las tablas se suele dar el coeficiente de viscosidad en centésimas de poise (centipoise), abreviado cp. Valores típicos que conviene que el lector recuerde son:
ηagua ≈ 1 cp , ηaire ≈ 0.02 cp
El coeficiente de viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura, por ejemplo
74
(4.39)
4. Dinámica
ηagua (20˚ C) ≈ 1.1 cp , ηagua (100˚ C) ≈ 0.25 cp
(4.40)
Por el contrario la viscosidad de los gases crece con la temperatura:
ηaire (0˚ C) ≈ 0.016 cp , ηaire (100˚ C) ≈ 0.025 cp
(4.41)
Imaginemos una gota microscópica de aerosol que cae en el aire por efecto de su peso (o una
partícula de limo que se está asentando en el agua). Las capas del fluido en contacto con la partícula tienden a adherirse a ella y ser arrastradas en su movimiento, pero las capas más lejanas
quedarán, naturalmente, en reposo. Por lo tanto habrá capas que deslizan la una sobre la otra
(Fig. 4.16a). Para calcular la fuerza de origen viscoso que actúa sobre la partícula es necesario
conocer como se mueven las capas de fluido que lo rodean y éste es un problema muy difícil que
nosotros no resolveremos. En realidad el cálculo exacto sólo se puede hacer en casos muy sencillos (como partículas esféricas, elipsoidales o cilíndricas que se mueven con velocidad uniforme). Para formas más complicadas o partículas de forma irregular el cálculo teórico es imposible. Lo que vamos a hacer nosotros es una estimación, sin pretensión de mucha exactitud.
(a)
(b)
Fig. 4.16. Flujo alrededor de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido, visto desde
el referencial del cuerpo. Los diagramas son cualitativos. (a) Cuando la velocidad es baja
el flujo es laminar. (b) Cuando la velocidad es alta detrás del cuerpo aparece una estela
turbulenta.
Sea l el tamaño lineal de la partícula (el diámetro de la misma si es esférica o una longitud característica de su tamaño si su forma es más complicada). Es razonable suponer que las capas de
fluido que tienden a ser arrastradas por la partícula se extienden hasta una distancia de la misma
del orden de l, o sea que ∆d ≈ l . El orden de magnitud del área de contacto es entonces S ≈ l2 ,
y si u es la velocidad de la partícula tendremos que ∆v ≈ u . Sustituyendo en la (4.36) obtenemos
que la magnitud de la fuerza de arrastre viscoso sobre la partícula es
Fη = g1 η u l
(4.42)
donde g1 es un factor numérico del orden de la unidad; su valor depende de la forma de la partícula y de su orientación respecto de la dirección de su movimiento, que son los factores que determinan como se mueven las capas fluidas que la rodean.
Podemos comparar nuestra estimación con los resultados del cálculo exacto cuando éste se conoce. Para una partícula esférica de diámetro l que se mueve con velocidad constante el resultado exacto es g1 = 3π , de modo que
75
4. Dinámica
Fη = 3π η u l
(4.43)
una expresión que se conoce como ley de Stokes. Para un disco plano de diámetro l que se
mueve perpendicularmente a su plano se obtiene g1 = 8 , mientras que si se mueve paralelamente
a él g1 = 16 / 3 = 5.33… Como se ve g1 es siempre un número cercano a la unidad (más precisamente g1 ≈ 10 ). Pero lo que en definitiva interesa para nuestras estimaciones es que la fuerza de
arrastre viscoso es proporcional al coeficiente de viscosidad del fluido, proporcional a la velocidad y proporcional a una longitud que caracteriza el tamaño del cuerpo.
Velocidad límite
Sea una partícula que cae por efecto de su peso en un fluido. Describiremos su posición mediante una coordenada vertical x, positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley la aceleración es
Fη
a= g−
m
=g−
1
g1 η u l
m
(4.44)
Si la partícula parte del reposo en x = 0 su velocidad inicial es nula y por lo tanto su aceleración
inicial es igual a g. Pero al aumentar la velocidad disminuye la aceleración de acuerdo con la
(4.44). La aceleración se anula cuando u alcanza la velocidad límite v* dada por
v* =
mg
g1 η l
(4.45)
A partir de ese momento la partícula cae con la velocidad constante v *. La (4.44) se integra
fácilmente. Poniendo u = V v * y t = t * T ( t* = m / g1ηl ) la (4.44) se escribe9
dV
=1− V
dT
(4.46)
De aquí obtenemos dT = dV /(1 − V ) de modo que
V (T )
dV ′
= − ln(1 − V )
T= ⌠

⌡ 1− V′
(4.47)
V = 1 − e−T
(4.48)
0
y por lo tanto
La velocidad límite se alcanza para t ≈ t *, luego t * es el tiempo característico del fenómeno.
Para integrar la (4.48) ponemos x = x * X donde x* = v *2 / g y obtenemos
X = T − 1 + e−T
9
(4.49)
Conviene siempre escribir las ecuaciones en términos de invariantes porque así las expresiones que se obtienen
(que se representan en la Fig. 4.17) son universales, esto es, valen para todo caso que se pudiera presentar.
76
4. Dinámica
Cuando T << 1 (es decir si t << t *) la (4.49) nos da x ≅ (1 / 2)gt 2 mientras que si T >> 1 (o sea
t >> t *) obtenemos x ≅ v * t , como debe ser. La distancia recorrida por la partícula en t * es
x (t*) =
x * v *2 1
=
= gt *2
e
eg
e
(4.50)
Con esto queda resuelto nuestro problema. En la Fig. 4.17 se muestran V (T ) y X (T ) .
2
V 1
1
2
3
4
3
4
T
2
X 1
1
2
T
Fig. 4.17. Caída libre de una partícula con arrastre viscoso.
Veamos el caso de una gota de aerosol acuoso de 20 µm de diámetro que cae en el aire: usando
nuestras fórmulas10 resulta v* ≈ 1 cm/s , t* ≈ 10 −3 s y x* ≈ 11 µm , luego el régimen de caída con
velocidad constante se establece casi de inmediato y v * es, efectivamente, muy pequeña.
Consideremos una gota de lluvia de 2 mm de diámetro. En este caso se obtiene v* ≈ 109 m/s ,
t* ≈ 11 s y x* ≈ 120 m . Claramente en este caso algo anda mal con nuestras fórmulas, pues predicen una velocidad límite absurdamente alta: todos hemos visto llover y sabemos que la velocidad de las gotas es, cuanto mucho, de algunos metros por segundo.
Arrastre turbulento
El modelo en que se basa nuestro análisis del arrastre viscoso se funda en suponer que el flujo es
laminar, esto es que el fluido se puede describir como un conjunto de capas o láminas que des-
10
Hemos supuesto que la gota es esférica lo cual es cierto con buena aproximación, y hemos ignorado el efecto del
movimiento interno de la gota que se induce por efecto de la viscosidad.
77
4. Dinámica
lizan las unas sobre las otras. A velocidades altas esto no es cierto pues la presencia del móvil
produce turbulencia, que es un movimiento desordenado de las parcelas del fluido (Fig. 4.16.b).
¿Quién no ha visto un automóvil corriendo por un camino de tierra? Detrás del vehículo se observa una estela turbulenta en la cual el movimiento del aire es arremolinado y arrastra consigo
una nube de polvo ¿Quién no oyó hablar del efecto de chupada, por el cual un vehículo que se
desplaza detrás de otro y muy cerca de él experimenta menos resistencia a su avance? Todos
estos son efectos de la turbulencia provocada por un móvil que se desplaza velozmente. Está
claro que en estos casos el movimiento del aire no es laminar en absoluto. Podemos entender
cualitativamente lo que pasa si analizamos el proceso desde el sistema de referencia del móvil
que se mueve con la velocidad u respecto del fluido cuya densidad es ρ f . Desde este referencial
cada parcela del fluido que viene hacia el móvil trae una cantidad de movimiento por unidad de
volumen dada por − ρ f u , y al entrar en contacto con el móvil se desvía hacia los costados del
mismo. Término medio las parcelas pierden (por unidad de volumen) la cantidad de movimiento
− ρ f u que es transferida al móvil11. De resultas de esto, en la unidad de tiempo y por cada unidad de área de su sección transversal (a la dirección del movimiento), el fluido transfiere al móvil una cantidad de movimiento − ρ f u 2û . Si l es la dimensión lineal característica del móvil
transversal a su dirección de movimiento, la cantidad de movimiento que adquiere por unidad de
tiempo es − ρ f u 2 l2û. Por lo tanto la magnitud de la fuerza de arrastre turbulento12 es
Ft ≅
1
Ca ρ f u 2 l2
2
(4.51)
Aquí el factor 1/2 se introdujo por conveniencia, y Ca es un número puro que se llama coeficiente de arrastre, cuyo valor depende de la forma del cuerpo, de su orientación con respecto de
la dirección del movimiento y también de la velocidad del mismo, que determina el detalle del
movimiento de las parcelas del fluido. Volveremos en breve sobre este tema. Detrás del móvil
queda, como ya dijimos, una estela turbulenta y cerca de la parte posterior del mismo, dentro de
la estela, el movimiento arremolinado del fluido hace que otro móvil que sigue de cerca al primero experimente un arrastre menor, de ahí el efecto de “chupada” que mencionamos antes.
Velocidad límite
Usando la (4.51) podemos escribir la aceleración de una partícula que cae en régimen turbulento.
Como antes usamos una coordenada vertical x positiva hacia abajo. Por la Segunda Ley:
a= g−
Ft
1
=g−
Ca ρ f u 2 l2
m
2m
(4.52)
Si la partícula parte del reposo en x = 0 , t = 0 tenemos u(0) = 0 , a(0) = g . A medida que aumenta u disminuye a, que se anula cuando u alcanza la velocidad límite v* dada ahora por
11
Las componentes transversales de la cantidad de movimiento que adquieren las parcelas del fluido tienden a
compensarse entre sí, de modo que la cantidad de movimiento neta perpendicular a u que adquiere el móvil es en
general pequeña. De todos modos por definición su efecto no es producir arrastre sino dar lugar a la fuerza de
sustentación, que consideraremos más adelante.
12
Esta fuerza de arrastre es la que experimentamos cuando sacamos la mano por la ventanilla de un automóvil en
movimiento.
78
4. Dinámica
v∗ =
2m g
Ca ρ f l2
(4.53)
Poniendo u = v * V y t = t * T , donde t* = v * / g = (2 m / Ca ρ f l2 g)1 / 2 , la (4.52) se escribe como
dV
= 1− V2
dT
(4.54)
Es fácil integrar esta ecuación. La solución que cumple la condición inicial V (T = 0) = 0 es
V = tanh T
(4.55)
Para encontrar el desplazamiento escribimos x = x * X con x* = v * t* = 2 m / Ca ρ f l2 . Entonces
dX
= V = tanh T
dT
(4.56)
La solución de la (4.56) que satisface la condición inicial X (T = 0) = 0 es
X = ln(cosh T )
(4.57)
En la Fig. 4.18 se muestran las soluciones (4.55) y (4.57). Es fácil verificar que cuando T << 1
(es decir cuando t << t *) la (4.54) y la (4.57) nos dan v ≅ gt y x ≅ gt 2 / 2 , mientras que si
T >> 1 (o sea t >> t *) obtenemos v ≅ v * y x ≅ v * t , como debe ser.
2
V1
1
2
3
4
3
4
T
2
X1
1
2
T
Fig. 4.18. Caída libre de una partícula con arrastre turbulento.
79
4. Dinámica
Volviendo ahora a la gota de lluvia de 2 mm de diámetro, la aplicación de estas fórmulas permite obtener (suponiendo que Ca ≈ 0.8 , que es un valor razonable para una partícula esférica
que se mueve con la velocidad de unos pocos m/s) los siguientes valores: v* ≅ 5.4 m/s ,
t* ≅ 0.39 s y x* ≅ 1.5 m , que como se ve corresponden con los que efectivamente se observan.
Corresponde hacer un comentario acerca de la expresión (4.53) de la velocidad límite. La masa
del cuerpo escala como m ~ ρc l3 ( ρc es la densidad media del cuerpo). De esto resulta que
v∗ ~ l
(4.58)
que nos dice que la velocidad límite escala como la raíz cuadrada del tamaño del cuerpo. Comparemos la velocidad límite que alcanzan un hombre ( l hombre ≈ 180 cm ) y una hormiga
( l hormiga ≈ 0.5 cm ). Resulta que v *hormiga / v *hombre ≈ (l hormiga / l hombre )1 / 2 ≅ 0.053. La velocidad límite que alcanza un hombre al caer en el aire13 es de unos 50 m/s. Por lo tanto la velocidad
límite que alcanza una hormiga es de solamente unos 2-3 m/s. Por este motivo los insectos y
otros animales pequeños pueden caer desde grandes alturas sin hacerse daño.
El número de Reynolds
El lector se preguntará cuándo corresponde usar la (4.42) Fη = g1ηul que da la fuerza de arrastre
viscoso y cuándo en cambio hay que usar la (4.51) Ft = Ca ρ f u 2 l2 / 2 que vale para el arrastre
turbulento. Para contestar esta pregunta usaremos el análisis dimensional para obtener la expresión general del arrastre Fa sobre un cuerpo que se mueve con la velocidad u en seno un fluido
(Fig. 4.19). Claramente las magnitudes dimensionales que intervienen en el problema son cinco:
Fa , l , u , η , ρ f
(4.59)
y solamente tres de ellas tienen dimensiones independientes. Luego según el Teorema Pi podemos formar con ellas sólo dos combinaciones adimensionales, que podemos elegir como
Π=
1
2
Fa
ρ f u 2 l2
(4.60)
donde el factor numérico se ha puesto por comodidad, y
R =
ρ f ul
η
(4.61)
El invariante R se llama número de Reynolds y es una importante característica del flujo, como
veremos en seguida.
A los invariantes Π y R tenemos que agregar un conjunto adicional de invariantes (que indicaremos con f) que describen la forma del cuerpo y dos ángulos (que designaremos con α) que
determinan su orientación respecto de la dirección de su movimiento. Por lo tanto la relación
invariante más general que podemos escribir entre las magnitudes del problema es
Π = φ (R , f , α )
13
Esto requiere una caída de aproximadamente 125 m.
80
(4.62)
4. Dinámica
donde φ es una función cuya forma no podemos determinar por medio del análisis dimensional.
De la (4.62) obtenemos la expresión general del arrastre como
Fa = 12 ρ f u 2 l2 φ (R , f , α )
(4.63)
rf
F
Fs
u
a
Fa
l
Fig. 4.19. Fuerzas sobre un cuerpo que se mueve en un fluido. Por definición el arrastre y
la sustentación son, respectivamente, las componentes de la fuerza en la dirección paralela
y perpendicular a u.
Aunque no conocemos φ (R , f , α ) podemos decir algo acerca de su comportamiento en los límites de bajas y altas velocidades. En el límite de velocidades bajas sabemos que el arrastre se
debe a la viscosidad y es independiente de ρ f (que da la medida de la inercia del fluido). Luego
en ese límite, que corresponde a R << 1, se debe cumplir que
lim u→ 0 φ (R , f , α ) =
g1 ( f , α )
R
(4.64)
de modo tal que
Fa = g1 ( f , α )η u l = Fη , R << 1
(4.65)
y recuperamos así la fórmula (4.42) del arrastre viscoso. Por otra parte en el límite de altas velocidades sabemos que Fa no depende de η . Por consiguiente en ese límite, que corresponde a
tener R >> 1 , el arrastre debe ser independiente de R. En consecuencia
lim u→∞ φ (R , f , α ) = g2 ( f , α ) = cte.
(4.66)
de modo tal que
Fa = 12 g2 ( f , α )ρ f u 2 l2 = Ft
, R >> 1
(4.67)
y si identificamos Ca con g2 ( f , α ) se obtiene la fórmula (4.51) del arrastre turbulento.
Es interesante observar que R es del orden del cociente entre la fuerza de arrastre turbulento y la
fuerza de arrastre viscoso.
Ft
g ( f ,α )
= 2
R ≈R
Fµ 2 g1 ( f , α )
81
(4.68)
4. Dinámica
Tenemos entonces el criterio que nos permite decidir qué fórmula hay que aplicar en cada caso:
• cuando R << 1 (velocidad baja) el arrastre es viscoso y se debe usar la (4.42);
• cuando R >> 1 (velocidad alta) el arrastre es turbulento y corresponde usar la (4.51).
Recordando nuestros resultados anteriores para la gota de agua de 20 µm de diámetro, obtenemos en efecto que R = 0.1 << 1, de modo que en este caso es correcto aplicar la (4.42), como
hicimos. En cambio para la gota de lluvia de 2 mm, a partir del resultado obtenido usando la
(4.51) se tiene que R ≅ 540 >> 1 , lo que indica que es correcto aplicar la fórmula del arrastre
turbulento.
Si no conocemos de antemano u no podemos calcular R. En tal caso hay que proceder por tanteo,
usando la (4.42) o la (4.51) para obtener u y luego calcular R, verificando a posteriori si el valor
de R es consistente (o no) con la fórmula que se usó.
El coeficiente de arrastre
Es usual definir el coeficiente de arrastre como
Ca = Ca (R , f , α ) =
1
2
Fa
ρ f u 2 S⊥
(4.69)
donde S⊥ ≈ l2 es el área de la sección del cuerpo ortogonal a u. Entonces la (4.62) se escribe
Fa = 12 Ca ρ f u 2 S⊥
(4.70)
Comparando la (4.65) con la (4.70) vemos que para velocidades bajas ( R << 1) el coeficiente de
arrastre está dado por
Ca =
2 g1 ( f , α )
R
(4.71)
y por lo tanto es inversamente proporcional al número de Reynolds. Para velocidades mayores
Ca tiene un comportamiento complicado y sólo tiende a un valor constante como predice la
(4.67) para R muy grande. En general Ca se tiene que determinar experimentalmente, por medio
de mediciones en túnel de viento. Por ejemplo para un cuerpo de forma esférica Ca ≈ 1 para
R ≈ 10 2 y cae a 0.5 para R ≈ 103 , luego es casi constante entre R ≈ 103 y R ≈ 10 2 , pero entre
R ≈ 2 × 10 5 y 3×105 cae por un factor entre 4 y 5, y se mantiene aproximadamente constante de
R ≈ 10 6 en adelante. Pero para cuerpos con un perfil aerodinámico (como el perfil de un ala de
avión) Ca puede ser mucho más pequeño14, 15; por ejemplo para un ala de avión orientada según
la dirección normal de vuelo se tiene que Ca ≈ 0.01 − 0.02 .
14
Esto está relacionado con el comportamiento de la estela turbulenta, que a su vez depende no solo de R sino de la
forma del cuerpo. Un cuerpo romo como el de la Fig. 4.16 desarrolla una estela muy ancha que abarca toda su parte
posterior y por eso tiene un coeficiente de arrastre grande. Un cuerpo con perfil aerodinámico (como un ala de
avión) produce una estela muy angosta y el flujo alrededor del mismo es laminar incluso para R muy grande y por
eso tiene un coeficiente de arrastre muy pequeño.
15
Para vehículos que se desplazan a velocidades altas la resistencia del aire es un factor muy importante en lo que
hace a la economía de combustible. Por este motivo se debe tener en cuenta en el diseño.
82
4. Dinámica
Arrastre por emisión de ondas
El arrastre viscoso y el arrastre turbulento no son únicos que se tienen que considerar al estudiar
fenómenos de la vida cotidiana. Bajo determinadas circunstancias hay otros procesos físicos que
pueden dar lugar a fuerzas de arrastre. Estos procesos consisten en la emisión por parte del móvil
de ondas que se propagan en la superficie del fluido o en el seno del mismo. Todos hemos visto
que cuando una embarcación se desplaza sobre un espejo de agua, detrás de la misma queda una
estela que consiste de un patrón de ondas que se propagan sobre la superficie16. Estas ondas, que
son generadas por el movimiento de la embarcación, transportan cantidad de movimiento, que se
resta de la cantidad de movimiento de la embarcación. Por lo tanto esta última experimenta una
fuerza de arrastre, que se llama arrastre por emisión de ondas. Por ese motivo para que la embarcación avance con velocidad constante tiene que contar con un mecanismo de propulsión
(remo, vela o motor) que suministre una fuerza que compense esa fuerza de arrastre. Aquí cabe
observar que el casco de la embarcación sufre también arrastre del tipo considerado previamente
(turbulento, en general) debido a que se mueve en el agua, y que la parte de la embarcación que
está fuera del agua sufre la resistencia del aire. Sin embargo cuando la velocidad de la embarcación es considerable, el efecto dominante es el arrastre por emisión de ondas ya que el mismo
aumenta rápidamente con la velocidad al punto que se llega pronto a una velocidad límite que no
se puede superar pues para hacerlo sería necesaria una planta motriz de tamaño y costo impracticables. Es por este motivo que ningún barco navega a una velocidad mayor que unos 40 nudos17
(un nudo es una milla náutica por hora, equivalente a 1.852 km/h).
Asimismo el movimiento de una embarcación, ya sea en la superficie o sumergida, puede dar
lugar a la emisión de otra clase de ondas, llamadas ondas internas18, si es que el agua presenta
estratificaciones de densidad (como ocurre cuando hay una capa de agua dulce sobre agua salada, o cuando la variación de la temperatura del agua con la profundidad produce variaciones de
densidad). La emisión de ondas internas por parte del barco produce un arrastre adicional, que en
determinadas circunstancias puede ser importante.
Un móvil que se desplaza en el aire puede también sufrir arrastre por emisión de ondas. Esto
ocurre si su velocidad es cercana o mayor que la velocidad del sonido (unos 340 m/s en aire a
temperatura ordinaria). En nuestros análisis anteriores del arrastre supusimos implícitamente que
el flujo es incompresible. Esto es correcto sólo si la velocidad del móvil no es muy grande. El
parámetro que interesa aquí es el número de Mach, definido como
M =
velocidad del móvil
velocidad del sonido
(4.72)
Si M es mayor o cercano a 1 para calcular el flujo hay que tomar en cuenta la compresibilidad
del aire. Según el valor de M se distinguen varios regímenes. Para M d0.3 se tiene el régimen
incompresible y la fórmula (4.63) se puede aplicar con buena aproximación. En el intervalo
0.3 dM <1 está el régimen subsónico, en el cual es preciso aplicar correcciones para tomar en
cuenta la compresibilidad. Si M >1 tenemos el régimen supersónico, en el cual el desplaza-
16
17
Un submarino en movimiento puede también emitir ondas de superficie, si navega a poca profundidad.
Las embarcaciones pequeñas como las lanchas de carrera pueden superar esta limitación gracias a que viajan
planeando sobre la superficie con casi todo el casco fuera del agua.
18
Esas ondas se estudian en el Capítulo 15.
83
4. Dinámica
miento del móvil produce ondas de choque. Entre el régimen subsónico y el supersónico, cuando
M ≈1, se tiene el régimen transónico, cuyo análisis es muy complicado ya que parte del flujo es
subsónico y parte supersónico. Finalmente si M >>1 se tiene el régimen ultrasónico.
Debido a la compresibilidad el movimiento del cuerpo provoca la emisión de un patrón de ondas
de compresión (ondas acústicas) que transportan cantidad de movimiento que se resta de la cantidad de movimiento del móvil19 y produce un arrastre. El análisis dimensional que nos permitió
encontrar la fórmula general del arrastre supone implícitamente que M << 1 y que por lo tanto
dicho parámetro no es relevante. Por consiguiente la fórmula (4.63) no se puede aplicar cuando
M ≈ 1 o mayor. Haciendo un nuevo análisis dimensional para este caso se obtiene
Fa = 12 ρ f u 2 l2ψ (M , f , α )
(4.73)
En la (4.73) no figura R ya que obviamente para velocidades tan altas la viscosidad no puede ser
relevante. Para móviles que se desplazan con velocidad ultrasónica, como meteoritos o bólidos
que ingresan a la atmósfera con velocidades en el rango 20-70 km/s se tiene M ≈ 60 − 200 y en
este límite Fa se torna independiente de M, luego ψ (M , f , α ) → ψ 1 ( f , α ) y tenemos que
Fa = 12 ρ f u 2 l2ψ 1 ( f , α )
(4.74)
En este caso el mecanismo dominante que determina el arrastre es que el móvil se lleva literalmente por delante las moléculas del aire como si fuese una topadora. En efecto vista desde el
referencial del móvil, la cantidad de movimiento de las ondas que se emiten es insignificante en
comparación con la cantidad de movimiento del cuerpo.
Fuerzas de sustentación
Además del arrastre, un cuerpo que se mueve en un fluido experimenta fuerzas cuya dirección es
ortogonal a la dirección de movimiento20 (Ver Fig. 4.19). Estas fuerzas se llaman de sustentación y son las que permiten el vuelo de las aves, los aviones y los helicópteros, que no caen porque la fuerza de sustentación equilibra su peso. Son estas fuerzas las que hacen que una pelota
de fútbol pateada con “chanfle” siga una trayectoria con comba.
Para entender el fenómeno de la sustentación es preciso invocar un resultado de la Mecánica de
Fluidos conocido como Teorema de Bernoulli, que se estudiará en el Capítulo 14. Adelantándonos a lo que se verá más adelante, vamos a describir brevemente de qué se trata. Consideremos un cuerpo que se desplaza horizontalmente en un fluido con la velocidad –u. Desde el referencial del móvil (cuya dimensión característica en la dirección del flujo es l) lo que se observa es un movimiento del fluido, que lejos del cuerpo es un flujo uniforme con la velocidad
u = uxˆ . En las proximidades del cuerpo la velocidad v del fluido es, en general, una función
complicada de la posición, que depende básicamente de la forma del cuerpo y del número de
Reynolds R = ρ f ul / η que caracteriza el flujo. Supongamos además que R >> 1 , de modo que
los efectos de la viscosidad se pueden ignorar en el grueso del flujo. Un flujo con estas características se llama ideal. El flujo será estacionario (esto es v no dependerá del tiempo), salvo en la
19
El estampido sónico que se percibe después que un avión supersónico ha pasado sobre nuestras cabezas se debe a
las ondas emitidas por el mismo (en este caso, ondas de choque).
20
Esto resulta evidente a partir de una observación muy simple: deje caer una hoja de papel. Verá que no se mueve
en línea recta, lo cual implica que sobre la hoja actúan fuerzas cuya dirección es ortogonal a su movimiento.
84
4. Dinámica
estela turbulenta que queda detrás del móvil (Fig. 4.16b). En estas condiciones si el flujo es incompresible se puede mostrar que fuera de la estela se cumple que
v2
p u 2 p0
+
=
+
= cte.
2 ρf
2 ρf
(4.75)
Aquí p es la presión en el punto donde la velocidad del fluido es v y p0 es la presión muy lejos
del cuerpo (la presión atmosférica si el cuerpo se está desplazando en el aire). La ec. (4.75) expresa el Teorema de Bernoulli. El significado de esta fórmula es que la presión es tanto más alta
cuanto más baja es la velocidad, y viceversa.
Supongamos por un momento que nuestro móvil tiene un perfil aerodinámico de modo que la
estela turbulenta detrás del mismo es muy angosta y se puede ignorar, ya que el flujo alrededor
del móvil es laminar casi en todas partes. Sea entonces un elemento de superficie dS del móvil,
cuya normal (dirigida del móvil al fluido) es n̂. Debido a la presión del fluido sobre ese elemento se ejerce una fuerza dF = − pnˆ dS . La fuerza neta F que el fluido ejerce sobre el móvil se
obtiene sumando todas esas contribuciones, esto es
F = ∫ dF = − ∫ pnˆ dS
S
(4.76)
S
donde S es la superficie del móvil. Para calcular F es preciso conocer p, que se obtiene de la
(14.75) como
p = p0 + 12 ρ f (u 2 − v 2 )
(4.77)
La parte de F que está en la dirección del movimiento es la fuerza de arrastre que ya hemos estudiado, luego tendríamos que recuperar los resultados anteriores a partir de
Fa = − xˆ ∫ pnx dS
(4.78)
S
Sin embargo el cálculo de la (4.78) arroja un resultado paradojal21, pues se obtiene Fa = 0 (!!),
lo cual contradice lo que se observa. Lo que pasa es que cuando R >> 1, si bien los efectos de la
viscosidad se pueden ignorar en el grueso del fluido, de ningún modo son despreciables muy
cerca de la superficie del cuerpo. Cerca de la superficie existe una delgada capa límite dentro de
la cual la velocidad del fluido relativa al cuerpo pasa de su valor externo a cero sobre la superficie. Debido a esta rápida variación de v el cuerpo está entonces sometido a una fuerza de arrastre viscoso. Pero para calcular su valor no podemos usar la (4.78) (porque se funda en el Teorema de Bernoulli que vale en el grueso del flujo, donde los efectos de la viscosidad no se toman
en cuenta) ni tampoco la (4.42) ya que no sabemos a priori cuál es el espesor de la capa límite.
Es preciso entonces desarrollar la teoría de la capa límite, algo que no haremos aquí, pero mencionaremos el resultado fundamental: su espesor es del orden de l / R . En base a esto sí se
puede calcular el arrastre que, por supuesto, no es nulo.
La parte de F ortogonal a x̂ es precisamente la fuerza de sustentación en la que estamos interesados. De la (4.76) y la (4.77) obtenemos
21
Dicho resultado se conoce como la paradoja de D’Alembert.
85
4. Dinámica
Fs = − ∫ p(ny yˆ + nz zˆ )dS = Fsy yˆ + Fsz zˆ
(4.79)
Fsy = − ∫ pny dS
(4.80)
S
donde22
, Fsz = − ∫ pnz dS
S
S
El cálculo de las (4.80) es muy complicado, pero como lo que nos interesa ahora es el concepto,
consideremos el caso en que el cuerpo tiene simetría bilateral respecto del plano y = 0 . En tal
caso es evidente que Fsy es nulo (ya que todas las contribuciones a la integral se cancelan de a
pares) y por lo tanto sólo tenemos que calcular Fsz . Claramente Fsz será también nula (y entonces no habría sustentación) si las contribuciones pnz dS son simétricas respecto de algún plano
z = cte. Observando la Fig. 4.20 que muestra una sección x = cte. del cuerpo se ve que para que
esto no ocurra es preciso que la presión sobre la parte superior del cuerpo sea diferente (término
medio) de la presión sobre la parte inferior. Por el Teorema de Bernoulli, esto requiere que (término medio) el valor de v 2 por encima del cuerpo del cuerpo difiera de su valor por debajo.
`
z
`
`
` dS ny y + nz z
–pny y
`
` –pnz z
y
Fig. 4.20. Sección x = cte. de un cuerpo con simetría bilateral respecto del plano y = 0 .
Para ver como se logra esa diferencia, consideremos un cilindro circular de radio R cuyo eje es
paralelo al eje y, y que gira en sentido horario (Fig. 4.21) con la velocidad angular ω. La superficie del cilindro tiene entonces una velocidad V = ωR y tiende a arrastrar consigo al fluido que
está en contacto con ella. La velocidad del fluido cerca del cilindro será entonces diferente por
encima del cilindro donde el movimiento de rotación se suma a la velocidad u que traía el fluido,
que por debajo donde la velocidad de rotación va en contra del movimiento general del fluido.
De resultas de esto la presión debajo del cilindro es mayor (porque v 2 es menor) que arriba del
mismo (porque allí v 2 es mayor). Por lo tanto hay una fuerza neta Fsz > 0 que tiende a desplazar
al cilindro en la dirección +z . Si el cilindro gira en sentido antihorario el efecto es opuesto: la
presión es mayor arriba que abajo y entonces se tiene una fuerza de sustentación Fsz < 0 que
tiende a desplazar al cilindro en la dirección −z .
Si suponemos que el flujo es laminar en todas partes alrededor del cilindro (después veremos
que si R >> 1 esto no es cierto) se puede mostrar que su patrón resulta de combinar el que se
tendría si el cilindro no girara, con un vórtice que describe la rotación del fluido arrastrado por la
rotación del cilindro. La presencia del vórtice causa la diferencia de velocidad por encima y por
22
La presión no cambia en la capa límite, luego se puede usar el valor (4.77) calculado a partir del flujo exterior.
86
4. Dinámica
debajo del cuerpo y por lo tanto la diferencia de presiones que produce la sustentación. La magnitud del efecto depende de la fuerza del vórtice, dada por la cantidad
Γ = ∫ v ⋅ dl
(4.81)
C
Esta integral se puede calcular a lo largo de cualquier camino cerrado C dentro del fluido que
rodee al cilindro, y por convención se debe recorrer en sentido antihorario. En este caso resulta
Γ = 2πωR2 = 2πVR . En términos de Γ (que se llama la circulación del campo de velocidad del
fluido) la fuerza de sustentación por unidad de longitud (en la dirección y) del cilindro23 es
− ρ f uΓ . Si el cilindro tiene una longitud L tenemos que (despreciando el efecto de los extremos,
donde el patrón del flujo es diferente al del resto) la sustentación es
Fsz = − ρ f uΓL = −2πρ f uVRL
(4.82)
z
w
x
(a)
(b)
Fig. 4.21. Cilindro circular cuyo eje es paralelo al eje y que gira en sentido horario con la
velocidad angular ω: (a) el flujo alrededor del cilindro, (b) la distribución de presiones de
acuerdo con el Teorema de Bernoulli. Las presiones altas corresponden a las áreas gris
claro mientras que las presiones bajas corresponden a los grises más oscuros.
Si definimos el vector Γ = ωˆ Γ podemos escribir la (4.82) como
Fs = ρ f L u × Γ
(4.83)
Corresponde destacar que esta fórmula vale para un cuerpo de forma general. Del mismo modo
que para el arrastre se define el coeficiente de sustentación como
Cs =
1
2
Fs
ρ f u 2 S⊥
(4.84)
donde S⊥ es el área de la sección del cuerpo transversal a la dirección del movimiento ( = 2RL
para el cilindro). En términos de Cs la fuerza de sustentación es
23
El signo – viene porque al calcular la integral (4.80) el camino C se debe recorrer, por convención, en sentido
antihorario.
87
4. Dinámica
Fs = 12 Cs ρ f u 2 S⊥uˆ × ω̂
ω
(4.85)
Para el cilindro se tiene entonces
Cs =
2πωR
V
= 2π
u
u
(4.86)
y por lo tanto la sustentación es proporcional a la velocidad angular de rotación del mismo.
Sin embargo esta teoría sencilla no se compadece con las mediciones, que dan valores de Cs
mucho menores del que predice la (4.86). El motivo de la discrepancia es que no es correcto
aplicar la (4.77) para toda la superficie del cilindro. El Teorema de Bernoulli vale para un flujo
laminar y no se puede aplicar en la región de la estela turbulenta. Un perfil no aerodinámico
como el del cilindro da lugar a una estela muy ancha como la que se ve en la Fig. 4.16b. Luego
al calcular las integrales (4.80) solo se debe tomar en consideración la parte delantera del cilindro, donde el flujo es laminar. Esto explica la discrepancia entre teoría y experimento.
El fluido también ejerce una fuerza de sustentación sobre una esfera rotante. El coeficiente de
sustentación medido en un túnel de viento vale24
Cs = β s
V
u
, β s ≅ 0.355
(4.87)
Aquí V = ωR (R es el radio de la esfera) y la fórmula (4.87) vale para V / u < 1. Por lo tanto tenemos en este caso
Fs ≅ 12 β s ρ f u 2 S⊥
V
uˆ × ω̂
ω
u
(4.88)
No es preciso que el móvil esté rotando para que haya sustentación25. En efecto, si su forma es
adecuada, el movimiento mismo del cuerpo puede generar circulación alrededor suyo. Esto es lo
que ocurre con las alas de los aviones y de las aves. La característica crucial del perfil alar es que
tiene un borde de fuga filoso: gracias a eso se consigue que el flujo sea laminar y que la estela
turbulenta sea muy delgada y se desprenda del borde de fuga. En estas condiciones si el ángulo
de ataque no es nulo, alrededor del perfil alar se establece una circulación que genera la sustentación. El perfil de un ala es justamente el que se necesita para que se consigan esos efectos y
que simultáneamente el coeficiente de arrastre sea muy pequeño. No entraremos aquí en los detalles del cálculo de la sustentación de un ala ya que para eso hacen falta conocimientos más
avanzados de Mecánica de Fluidos. Nos limitaremos a mencionar el resultado para una ala delgada como la que se muestra en la Fig. 4.22, cuyo espesor es mucho menor que su cuerda l que
a su vez es mucho menor que su envergadura L, y que avanza con un ángulo de ataque α (que
debe ser pequeño). Se obtiene entonces
Fs ≈ πρ f u 2 lL sen α = πρ f u 2 S⊥
(4.89)
24
Ver P. Gerhart, R Gross y J. Hochstein, Mecánica de Fluidos, Addison-Wesley Latinoamericana, 1995.
25
La experiencia muestra que cuando se deja caer una hoja de papel ésta sufre fuerzas transversales a su dirección
de movimiento. Esto muestra que adquiere sustentación, lo cual a su vez implica que el flujo del aire alrededor de la
misma tiene circulación.
88
4. Dinámica
y por lo tanto el coeficiente de sustentación vale
Cs ≈ 2π
(4.90)
Si α > 0 la fuerza de sustentación está dirigida hacia arriba, si α < 0 se dirige hacia abajo26.
Las fórmulas (4.89) y (4.90) se cumplen para α d10˚ . Para ángulos de ataque mayores el ala
pierde sustentación y al mismo tiempo aumenta muy fuertemente el arrastre, debido a que la
estela turbulenta no se puede mantener ya confinada al entorno del borde de fuga, sino que se
comienza a desprender de la parte superior del ala y es entonces mucho más gruesa. Cuando esto
ocurre se dice que el ala entra en pérdida (de sustentación).
cuerda
envergadura
borde de ataque
borde de fuga
(a)
posición del ala
ángulo de ataque
a
U
(c)
posición del ala para la cual la sustentación es nula
(b)
Fig. 4.22. Un ala de avión. La característica crucial del perfil alar (a) es que tiene un borde
de fuga filoso: gracias a eso se consigue que el flujo sea laminar y que la estela turbulenta
sea muy delgada y se desprenda del borde de fuga (c) de modo que el coeficiente de arrastre es muy pequeño. En estas condiciones si el ángulo de ataque no es nulo, alrededor del
perfil alar se establece una circulación que genera la sustentación.
La pelota de fútbol ¿dobla o no?
Una pelota de fútbol reglamentaria tiene un diámetro D entre 21.6 y 22.6 cm y su masa m está
comprendida entre 400 y 450 g. Un tiro fuerte puede salir disparado con una velocidad inicial u0
entre 15 y 20 m/s. Para el primer valor se tiene R = 2 × 10 5 de donde resulta un coeficiente de
arrastre Ca ≈ 0.5 . Vamos a suponer que el jugador pateó la pelota con chanfle, de modo que ésta
gira a razón de f vueltas por segundo y v = πDf es la velocidad de rotación de un punto del
ecuador de la pelota, luego la fórmula (4.87) da un coeficiente de sustentación Cs = β s v / u ,
donde u es el módulo de la velocidad de la pelota. Notar que Cs no es constante a lo largo de la
26
Los alerones de los automóviles de carrera son, esencialmente, alas que trabajan con un ángulo de ataque
negativo. Su función es producir una sustentación negativa que aprete el vehículo contra el pavimento. De esa
manera se consigue más adherencia al piso, porque la fuerza de rozamiento estático sobre las cubiertas es mayor.
Así el vehículo acelera mejor, tiene menor distancia de frenado y es más gobernable.
89
4. Dinámica
trayectoria puesto que u es variable. Vamos a averiguar los efectos del arrastre y la sustentación
sobre la trayectoria de la pelota, que suponemos lanzada con un ángulo de elevación θ 0 . La resultante de las fuerzas que actúan sobre la misma es F = − mgzˆ + Fa + Fs y por lo tanto la aceleración es
a = − gzˆ + Fa / m + Fs / m
m f u2
m f u2 v
= − gzˆ − 43 Ca
uˆ − 43 β s
uˆ × ωˆ
m D
m Du
(4.91)
ω es la dirección del vector velocidad angular27, m f = πρ f D3 / 6 es la masa de aire desdonde ω̂
plazada por la pelota, y hemos usado que S⊥ = πD2 / 4 . Notar que Fs / Fa ~ v / u . luego el efecto
de la sustentación es mayor (en relación con el del arrastre) donde la velocidad de la pelota es
menor. Debido a la sustentación la pelota sufre una aceleración cuya dirección sˆ = ωˆ × uˆ es perω , de modo que ω̂
ω , û, ŝ (en este orden) forman una terna derecha.
pendicular tanto a û como a ω̂
La sustentación no cambia el módulo de la velocidad, pero sí su dirección.
Para poner en evidencia las modificaciones que el arrastre y la sustentación introducen respecto
del tiro oblicuo el vacío, escribiremos las (4.91) en términos de invariantes, introduciendo las
escalas características del tiro oblicuo en el vacío l* = u02 / g , t* = 2u0 / g y u* = u0 y escribiremos u = u * U , t = t * T , etc. (Ver el Capítulo 3). Con esto las (4.91) toman la forma
1
2
dU
= − zˆ − ACaU 2Uˆ − Aβ sUV Uˆ × ωˆ
dT
(4.92)
donde V = v / u0 da cuenta de la rotación de la pelota y
A(u0 , ρ f , D) =
3
4
mf l *
m D
(4.93)
es un parámetro que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria y da cuenta del efecto de
la resistencia del aire. Es razonable suponer que v (y por lo tanto V) se mantiene constante, dado
que el aire frena muy poco el movimiento de rotación de la pelota.
El cálculo de la trayectoria a partir de la (4.92) no es difícil, pero se tiene que hacer numéricaω . Para entender la naturaleza de los
mente y se dan muchos casos según sea la orientación de ω̂
efectos que nos interesan bastará estudiar un caso particular. Supongamos que el eje de rotación
es vertical y que ωˆ = zˆ . Conviene usar coordenadas esféricas U, θ, ϕ en el espacio de la velocidad, definiendo
U x = U cosθ cos ϕ , U y = U cosθ sen ϕ , Uz = U sen θ
(4.94)
Tomando las componentes cartesianas de la (4.92), usando las (4.94) y tras un poco de álgebra
se obtienen las siguientes ecuaciones
1
2
27
dU
= − sen θ − ACaU 2 ,
dT
1
2
cosθ
dθ
=−
dT
U
,
1
2
dϕ
= Aβ sV
dT
(4.95)
El signo – del término de sustentación proviene de que aquí u es la velocidad de la pelota, pues estamos
observando el movimiento desde el referencial del estadio, mientras que en la (4.88) u es la velocidad del aire
(lejos) en el referencial de la esfera.
90
4. Dinámica
La primera de estas ecuaciones nos dice que el módulo de la velocidad varía por dos causas: el
efecto de la componente de la gravedad en la dirección de U (que tiende a disminuir u cuando la
pelota asciende pues entonces sen θ > 0 y aumentarlo en el descenso cuando sen θ < 0 ) y del
arrastre, que tiende siempre a reducir U. La segunda ecuación nos dice que la componente de la
gravedad perpendicular a U tiende a curvar hacia abajo la trayectoria, como todos sabemos. La
tercera ecuación describe el efecto de la sustentación. Si la pelota no gira ( V = 0 ) esta ecuación
nos dice que la trayectoria de la pelota se mantiene en el plano definido por el eje z y por la velocidad inicial u0 . Si la pelota gira, la trayectoria no es plana sino que tiene comba. La última
ecuación se puede integrar de inmediato ya que SV es una constante. Si ϕ 0 = ϕ (0) = 0 resulta
ϕ = Aβ sVT =
3πβ s
4 2
mf
m
ft
(4.96)
En la Fig. 4.23 se muestra el resultado del cálculo de tres trayectorias, todas con θ 0 = π / 4 ,
ϕ 0 = 0 y con la misma velocidad inicial: la de mayor alcance corresponde a un tiro en el vacío,
la de menor alcance corresponde a ρ f = 0.00120 g/cm 3 que es la densidad del aire al nivel del
mar y la de alcance intermedio a ρ f = 0.0008194 g/cm 3 , que es la densidad del aire a una altura
de 4000 m sobre el nivel del mar. Para que se apreciara mejor el efecto de la sustentación se supuso f = 12 s −1, este es un valor muy grande que difícilmente se de en la práctica, pero considerando valores más realísticos tan sólo se reduce la escala horizontal transversal a u0 , manteniendo la relación entre los ángulos de desviación.
Fig. 4.23. Trayectorias de una pelota de fútbol pateada con chanfle. Mirando una de las figuras con un ojo y la otra con el otro ojo, con un poco de paciencia se puede ver una imagen tridimensional. De izquierda a derecha se muestran la trayectoria de un tiro efectuado
al nivel del mar, de un tiro efectuado a 4000 m de altura y de un tiro en el vacío. La velocidad inicial es la misma en dirección y módulo en todos los casos. Se representan también
las proyecciones verticales de las trayectorias, para que se pueda apreciar que las trayectorias de los tiros con chanfle no son planas.
Observando la figura se nota que el efecto de la resistencia del aire es muy importante, ya que el
alcance del tiro al nivel del mar es apenas el 55% del que tendría un tiro en el vacío. A 4000 m d
altura la densidad del aire (y por lo tanto la fuerza de arrastre) es bastante menor que al nivel del
mar y por ese motivo el alcance es un 20% mayor. En cuanto al efecto de la sustentación, a igual
distancia horizontal recorrida por la pelota, la desviación del tiro al nivel del mar es aproximadamente el doble de la que corresponde al tiro en la altura.
91
4. Dinámica
Fuerzas que dependen de la aceleración: la masa inducida y la masa aparente
Cuando un cuerpo de masa m que se mueve en un fluido se acelera, el fluido ejerce sobre el
mismo una fuerza de diferente naturaleza que las que describimos anteriormente. Esto se debe a
que cuando el cuerpo se acelera también se aceleran porciones del fluido para que el cuerpo se
abra paso dentro de él. Qué porciones del fluido se aceleran y qué aceleraciones sufre cada una
es un asunto muy complicado. Sin embargo, si se ignoran los efectos de la viscosidad, se puede
mostrar que en general la fuerza f que el fluido ejerce sobre un cuerpo de volumen V que se
mueve con la velocidad u está dada por
du 
 du j
fi = − ρ f  α ij
−V i

dt
dt 
(4.97)
Aquí los subíndices i, j identifican las componentes de f y u y las 9 cantidades α ij son las componentes de un tensor simétrico (esto es, cumplen las relaciones α ij = α ji , de modo que sólo 6
de ellas son independientes). El lector no se debe preocupar de que hayamos introducido un tensor, pues para nuestros fines alcanza con saber que las α ij son ciertas cantidades cuyo valor depende de la geometría del cuerpo y del campo de velocidad del fluido lejos del cuerpo, y cuyo
orden de magnitud está dado por el cubo de la dimensión lineal característica del cuerpo o, lo
que es lo mismo, por su volumen V. Por ejemplo, en el caso particular de un objeto esférico de
radio R que se mueve en un fluido de extensión infinita se encuentra que
α ij = 23 Vδ ij
(4.98)
En este caso la (4.97) se reduce a
f = − 12 ρ f V
du
dt
(4.99)
de modo que f es paralela a du / dt . En general, sin embargo, f y du / dt no son paralelos.
Vemos de la (4.97) que f es nula si el cuerpo se desplaza con velocidad constante. Este resultado
no es otra cosa que la paradoja de D’Alembert que ya mencionamos anteriormente.
Si ahora el cuerpo sufre una aceleración u̇ por la acción de una fuerza F de origen externo28, la
ecuación de movimiento se escribirá como
Fi + fi = mu˙i
(4.100)
Usando la expresión (4.97) podemos escribir la (4.100) en la forma
Fi = [( m − ρ f V )δ ij + ρ f α ij ]u˙ j = ( mδ ij + M ij )u˙ j
(4.101)
Luego el cuerpo se acelera como si en vez de tener la masa m tuviera una masa aparente, que se
obtiene de sumar a m el tensor
Mij = ρ f α ij − ρ f Vδ ij
28
Por ejemplo, una esfera metálica que cae en el seno del fluido por efecto de la gravedad.
92
(4.102)
4. Dinámica
que da cuenta de la reacción que el fluido acelerado ejerce sobre el cuerpo. El tensor M ij se
llama tensor de masa inducida. En el caso de un cuerpo esférico M ij se reduce al escalar
M = 12 ρ f V
(4.103)
La masa inducida es, en este caso, igual a la mitad de la masa del fluido desplazado por la esfera
y la (4.101) se reduce a
F = ( m + 12 ρ f V )u˙
(4.104)
Como se puede apreciar de la (4.102) la importancia del efecto de masa inducida está dada por la
relación rm = m f / m entre la masa de fluido desplazada por el cuerpo y la masa del mismo. Para
cuerpos que se mueven en el aire tendremos que rm << 1 en la mayoría de los casos29, luego el
efecto será muy pequeño; esto justifica que no hayamos tomado en cuenta la masa inducida
cuando estudiamos la caída de cuerpos en el aire. Pero para cuerpos que se mueven en el agua
rm ≈ 1 y es importante entonces incluir la masa inducida en la dinámica.
Una manifestación del efecto de la masa aparente que todos hemos observado es el movimiento
de las burbujas en un vaso que contiene una gaseosa o un vino espumante (Fig. 4.24). Las burbujas son aceleradas hacia arriba por el empuje de Arquímedes, dado por ρ f Vg . El peso ρVg de
la burbuja es despreciable frente al empuje, puesto que ρ f / ρ = rm ≈ 103 . Si no fuera por la masa
inducida, la burbuja sufriría una aceleración inicial del orden de 103 g , cosa que evidentemente
no ocurre.
E
P
(a)
(b)
Fig. 4.24. Burbujas gaseosas que ascienden en un líquido (a), debido a que el empuje es
mucho mayor que el peso de la burbuja (b).
A modo de ejemplo consideremos el ascenso de una burbuja pequeña que mantiene la forma
esférica30 durante el movimiento. La burbuja asciende entonces verticalmente y podemos tratar
su movimiento como unidimensional. Sea x la coordenada vertical medida a partir de la posición
29
Salvo, por ejemplo, para un dirigible, un globo aerostático o un simple globito inflado.
30
Una burbuja pequeña (digamos de un diámetro del orden del milímetro) mantiene la forma esférica debido a las
fuerzas de tensión superficial, que se tratarán más adelante en el Capítulo 12. Una burbuja de gran tamaño no tendrá
una forma esférica, es más, su forma va a cambiar mientras se mueve, lo cual complica muchísimo la descripción
del fenómeno, dado que las M ij van a variar a medida que la burbuja se desplaza, además f no será paralelo a u̇
(por eso una burbuja grande no asciende verticalmente).
93
4. Dinámica
inicial de la burbuja, positiva hacia arriba, u = dx / dt y a = du / dt . La ecuación del movimiento
es entonces
(
)
m 1 + 12 rm a = − gm + gm f − 12 Ca ρ f u 2 S⊥
(4.105)
Aquí el segundo término del primer miembro es el efecto de la masa inducida. Los términos del
miembro derecho son, respectivamente, el peso, el empuje y el arrastre. Verificaremos a posteriori que está bien aplicar la expresión (4.70) del arrastre turbulento y que para las velocidades
en juego Ca ≅ 1 . Como rm ≈ 103 >> 1 podemos despreciar en la (4.105) la masa del gas de la
burbuja frente a la masa inducida y el peso del gas frente al empuje, y la (4.105) se reduce a
1a
2

u2 
= g1 − 43 Ca

gD 

(4.106)
donde D es el diámetro de la burbuja y hemos usado que ρ f S⊥ = 3m f / 2 D y quitado el factor
común m f . De la (4.106) vemos que la velocidad límite es
u* =
4
3
gD
Ca
(4.107)
Si D = 1 mm se obtiene u* ≅ 11 cm/s , de donde resulta R ≈ 100 , lo que justifica haber usado la
(4.70), además para ese valor de R se tiene Ca ≅ 1 para una esfera. Introduciendo el tiempo característico t* = u * / 2 g y la distancia característica x* = u * t * ( t* ≅ 5 × 10 −3 s y x* ≅ 0.05 cm
para D = 1 mm ), y poniendo u = u * U , t = t * T , x = x * X las ecuaciones del movimiento son
dU
= 1 − U2 ,
dT
dX
=U
dT
(4.108)
que coinciden con las (4.54) y (4.56). Por lo tanto podemos aplicar aquí los resultados obtenidos
antes, que están representados en la Fig. 4.18.
Otras fuerzas
Las fuerzas que hemos considerado hasta aquí son tan solo algunas de las que se manifiestan en
la escala macroscópica. Dejamos para más adelante la discusión de otras fuerzas importantes
como las que provienen de la tensión superficial e interfacial, de la elasticidad de los sólidos y
otras más que introduciremos cuando sea necesario. Lo expuesto hasta aquí, sin embargo,
bastará para que el lector aprecie la dificultad de reconocer correctamente las fuerzas en juego en
situaciones concretas y la necesidad de estar suficientemente familiarizado con sus propiedades.
Sin este conocimiento es imposible aplicar la Física a la naturaleza que nos rodea.
Sistemas no inerciales
Hasta ahora en nuestro tratamiento de la Dinámica nos limitamos a considerar sistemas de referencia inerciales. Es en esta clase de referenciales que valen las tres Leyes de Newton en la
forma en que las hemos enunciado. Por otra parte muchas veces nos interesa estudiar el movimiento desde referenciales que no son inerciales. En particular al tratar fenómenos del ambiente
terrestre es natural emplear un referencial fijo a la Tierra. Sabemos que tal referencial no es
94
4. Dinámica
inercial, ya que la Tierra gira sobre sí misma y además su movimiento en el espacio no es rectilíneo y uniforme. Está claro que sería en extremo engorroso y artificioso estudiar la dinámica de
cualquier fenómeno de los que ocurren alrededor nuestro empleando un referencial fijo al espacio. Afortunadamente, en muchos casos como los que tratamos hasta ahora (caída de partículas
en el aire, trayectoria de una pelota de fútbol, etc. y otros movimientos de pequeña escala) podemos ignorar el hecho que los describimos desde un referencial no inercial (como hicimos),
dado que aunque no es correcto hacerlo el error que se comete es despreciable. En efecto, las
aceleraciones centrífuga, de Coriolis y del movimiento de traslación de la Tierra son muy pequeñas en comparación con las que se producen debido a las fuerzas en juego y por lo tanto se
pueden ignorar. Sin embargo cuando tratamos fenómenos de escala mayor como movimientos
atmosféricos, corrientes marinas, tiro de artillería sobre blancos lejanos, trayectorias de misiles
de largo alcance, etc. ya no podemos permitirnos el lujo de ignorar que nuestro referencial no es
inercial. Asimismo, en muchas oportunidades es conveniente describir el movimiento de cuerpos
desde referenciales locales. Por ejemplo cuando viajamos en un vehículo (automóvil, tren, etc.)
es lógico que usemos un referencial fijo al vehículo para estudiar el movimiento de los objetos
dentro del mismo; obviamente dicho referencial no es inercial, ya que el vehículo puede acelerar, frenar o cambiar la dirección de su movimiento, y en tales casos las aceleraciones en juego
nos son, en general, despreciables. Por estos motivos es importante saber cómo se deben modificar las leyes de la dinámica cuando el movimiento se estudia desde un referencial no inercial.
r
Σ
w
O
PO
Σ'
Σ''
O'
Fig. 4.25. El referencial no inercial Σ ′ gira con la velocidad angular ω y se desplaza con
movimiento no uniforme respecto del sistema inercial Σ. El origen del referencial no inercial Σ ′′ (que no gira) coincide con el de Σ ′ .
Sea entonces Σ ′ un sistema no inercial que gira con la velocidad angular ω y que se desplaza
con movimiento no uniforme respecto de un sistema inercial Σ cuyo origen es O. Sea Σ ′′ un
referencial no inercial cuyo origen O′ coincide con el de Σ ′ , pero que a diferencia de éste no
gira (Fig. 4.25). De acuerdo con la (3.64), la aceleración de un móvil P visto desde Σ ′′ es
a ′′ = a − aO′
(4.109)
donde a es la aceleración del móvil y aO′ es la aceleración de O′ vistas desde Σ. Por otra parte,
de acuerdo con la (3.77) la aceleración de P vista desde Σ ′ está dada por
a ′ = a ′′ + ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω + r × ω
ω̇
95
(4.110)
4. Dinámica
donde r es la posición del móvil en Σ ′ y r⊥ es la parte de r perpendicular a ω . Combinando
(4.109) y (4.110) resulta
a ′ = a − aO′ + ω 2 r⊥ + 2v ′ × ω + r × ω
ω̇
(4.111)
Esta es la expresión que vincula la aceleración aparente que se observa en Σ ′ con la aceleración
que se observa en el sistema inercial Σ.
En el sistema inercial vale la Segunda Ley, luego si m es la masa del móvil, se cumple que
ma = F
(4.112)
Sustituyendo entonces en la (4.111) obtenemos
m a ′ = F − m aO′ + m ω 2 r⊥ + 2 m v ′ × ω + m r × ω
ω̇
(4.113)
Esta es entonces la expresión general de la Segunda Ley para un sistema no inercial. Como se
ve, difiere de la expresión (4.112) correspondiente a un sistema inercial por la presencia de cuatro términos; el primero ( − maO′ ) proviene de la aceleración del movimiento de traslación de Σ ′ ,
los restantes ( mω 2 r⊥ , 2m v ′ × ω y m r × ω̇
ω) provienen, respectivamente, de la aceleración centrífuga, la aceleración de Coriolis y la aceleración de la rotación de Σ ′ .
Si el sistema Σ ′ no gira y se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de Σ, la
(4.113) se reduce a ma ′ = F. En este caso Σ ′ es también un referencial inercial y se cumple que
a ′ = a . Por lo tanto podemos concluir lo siguiente:
• todo referencial Σ ′ que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de un referencial inercial Σ, es también inercial,
• las leyes de la Mecánica son invariantes frente al cambio de un referencial inercial a otro que
también lo es,
• todo referencial Σ ′ que tiene un movimiento de rotación y/o de traslación no rectilínea y
uniforme respecto de un referencial inercial Σ, no es inercial; en este caso la descripción del
movimiento en Σ ′ está dada por la (4.113) y difiere de la correspondiente a Σ por la presencia de las aceleraciones de la traslación, y de la aceleración centrífuga, la aceleración de Coriolis y la aceleración de la rotación.
Fuerzas inerciales o ficticias
De acuerdo con la (4.113) en un sistema no inercial Σ ′ todo ocurre como si además de F actuaran sobre el móvil otras fuerzas, a saber:
• la fuerza FO′ = − maO′ debida a la aceleración de la traslación de Σ ′ ,
• la fuerza centrífuga F⊥ = mω 2 r⊥ ,
• la fuerza de Coriolis FCo = 2 m v ′ × ω ,
• la fuerza Far = m r × ω̇
ω debida a la variación de ω.
En consecuencia podemos escribir la (4.113) como
ma ′ = F + FO′ + F⊥ + FCo + Far
(4.114)
Las fuerzas FO′ , F⊥ , FCo y Far se denominan fuerzas inerciales o también fuerzas ficticias,
para expresar el hecho de que no provienen de interacciones entre cuerpos materiales, sino de la
inercia del mismo móvil. Su origen es puramente cinemático, ya que aparecen porque observa96
4. Dinámica
mos el movimiento desde un referencial no inercial. Estas fuerzas desaparecen si se usa un sistema de referencia inercial. Claramente, dado que no provienen de interacciones, no tienen reacciones. La característica de las fuerzas ficticias es que son estrictamente proporcionales a la
masa del móvil (es decir a su inercia).
Por lo demás, un móvil en un referencial no inercial percibe las fuerzas ficticias igual que cualquier otra fuerza, como todos comprobamos a diario cuando viajamos en un medio de transporte.
Si un colectivo acelera (o frena) bruscamente, es la fuerza FO′ la que empuja a los pasajeros hacia atrás (o hacia adelante); si el vehículo toma una curva, es la fuerza centrífuga la que impulsa
los pasajeros hacia un costado.
El movimiento circular uniforme visto desde diferentes referenciales
En la Fig. 4.26 se observa un movimiento circular uniforme con velocidad angular ω visto desde
el referencial inercial Σ (x, y, z) y desde el referencial no inercial Σ ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) que gira con la
velocidad angular ω . Visto desde Σ el movimiento tiene una velocidad v = ω × r y una aceleración centrípeta a = −ω 2 r , por lo tanto la Segunda Ley nos dice que
F = −mω 2 r
(4.115)
La fuerza centrípeta F es ejercida sobre el móvil por el cordel que lo obliga a girar con un radio
fijo. Sabemos que por la Tercera Ley a esta fuerza le corresponde una reacción igual y opuesta,
ejercida por el móvil sobre el cordel, que tensa al cordel.
Desde Σ ′ el móvil se ve en reposo a una distancia r del eje de rotación, por lo tanto su aceleración aparente es nula y la (4.114) nos dice que
0 = F + F⊥
(4.116)
En otras palabras, la fuerza del cordel equilibra exactamente a la fuerza centrífuga F⊥ = mω 2 r .
Sobre el móvil además de la fuerza del cordel se ejerce entonces una fuerza ficticia (la cual
como ya se dijo no tiene una correspondiente reacción).
z
z'
w
w
y
O
x
a = wt
y'
O'
r
r
P
v
a' = cte.
x'
(a)
P
(b)
Fig. 4.26. El movimiento circular uniforme visto desde (a) un referencial inercial y (b) un
referencial que gira solidariamente con el cuerpo.
¿Qué pasa si de repente de rompe el cordel? Visto desde Σ, desaparecen tanto la fuerza centrípeta como la reacción del cuerpo sobre el cordel. Al no haber más una fuerza que lo tensa, el
97
4. Dinámica
cordel se afloja; al mismo tiempo deja de ejercerse una fuerza sobre el móvil y entonces éste
pasa a moverse con movimiento rectilíneo y uniforme: sale disparado por la tangente al círculo,
con la velocidad que tenía en el momento que se cortó el cordel.
Visto desde Σ ′ también desaparecen tanto la fuerza centrípeta como la reacción del cuerpo sobre el cordel. Al no haber más una fuerza que lo tensa, el cordel se afloja; en cuanto al móvil,
siguen actuando sobre él las fuerzas ficticias debidas a la rotación de Σ ′ . Al no haber otra fuerza
que la equilibre, la fuerza centrífuga pone en movimiento al móvil, y tan pronto éste adquiere
velocidad comienza a actuar sobre él la fuerza de Coriolis. El efecto combinado de ambas es que
en el referencial Σ ′ el móvil describe una trayectoria complicada, cuya ecuación no vamos a
escribir, pero que no es otra cosa que el mismo movimiento rectilíneo uniforme que se ve desde
Σ, pero visto desde el referencial rotante.
Las definiciones de fuerza y masa
Hasta ahora en nuestra introducción de las leyes fundamentales de la Dinámica hemos usado los
conceptos de fuerza y de masa sin dar definiciones precisas de los mismos, basándonos solamente en las nociones intuitivas de “esfuerzo muscular” y de “cantidad de materia”. En esto respetamos el desarrollo histórico de la Mecánica, pues cuando Isaac Newton introdujo sus Principios siguió precisamente ese camino. Sin embargo esta manera de hacer las cosas no es satisfactoria y desde Newton en adelante se buscaron formas más rigurosas de presentar las Leyes de la
Dinámica. Ahora que hemos pasado revista a varias clases de fuerzas, nos hemos familiarizado
con ellas y hemos visto como se aplican las tres Leyes en diferentes situaciones, es el momento
oportuno para volver al tema de las definiciones de fuerza y de masa. Lo haremos siguiendo el
enfoque práctico que inspira este libro, evitando en lo posible disquisiciones más abstractas que
el lector curioso puede encontrar en numerosos textos.
Como sabemos (Capítulo 2) toda magnitud física queda definida cuando se han dado las prescripciones para medirla. Ahora bien, desde la más remota antigüedad el hombre inventó dispositivos que le sirvieron para medir el peso de los objetos (y otras fuerzas) y la cantidad de materia
de los mismos (esto es, su masa). En la práctica, la masa se mide casi siempre por medio de la
balanza (Fig. 4.27a). La fuerza, en cambio, se mide por medio de aparatos como el dinamómetro
y la balanza de torsión (Fig. 4.27b, c).
Todos sabemos que por medio de la balanza es posible comparar el peso de un objeto con el
peso de otro tomado como patrón. De esta manera podemos, en principio, determinar el peso de
cualquier cuerpo.
Un dinamómetro es en esencia un resorte, por medio del cual se mide una fuerza midiendo el
cambio de longitud que dicha fuerza produce cuando se la aplica al mismo. Sabemos, en efecto,
que dentro de los límites en que las deformaciones del resorte son elásticas, el alargamiento es
proporcional a la fuerza aplicada (ec. (1.1)). Podemos medir los alargamientos que sufre el resorte cuando se suspenden de él objetos cuyo peso hemos determinado previamente con la balanza y así verificar (pues F y x son conocidos) que se cumple la ley F = kx y calibrar el dinamómetro. De allí en más podemos usar el dinamómetro para medir no solamente el peso, sino
cualquier otra fuerza (por ejemplo las fuerzas de arrastre y de sustentación sobre un cuerpo que
se mueve dentro de un fluido). La balanza de torsión es esencialmente equivalente a un dinamómetro; la diferencia es que la magnitud que se mide es el ángulo de torsión de una fibra elástica, que es (dentro del límite elástico del material de la fibra) proporcional al producto de la
fuerza aplicada por el brazo de palanca del dispositivo. La balanza de torsión es más delicada y
98
4. Dinámica
precisa que el dinamómetro y sirve para medir fuerzas muy pequeñas31. Contamos así con las
prescripciones que definen el concepto de fuerza.
(a)
(b)
(c)
Fig. 4.27. La balanza (a), el dinamómetro (b) y el péndulo de torsión (c).
Por otra parte contamos con evidencia experimental independiente (la caída de los cuerpos en el
vacío) según la cual el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. Por lo tanto la balanza no
solamente nos permite comparar pesos, también nos permite comparar masas. Podemos entonces
usar la balanza para medir la masa de un cuerpo, comparándola con una masa patrón. Tenemos
así la prescripción necesaria para definir el concepto de masa32.
Antes de concluir estos comentarios conviene detenernos sobre la relación entre peso y masa. La
intuición de Galileo de que la aceleración debida al peso es idéntica para todos los cuerpos, y por
lo tanto que la masa gravitacional es idéntica a la masa inercial ha sido sometida muchas veces
al control experimental. El experimento más preciso fue realizado por primera vez por el Barón
Roland von Eötvös y más recientemente por Robert Dicke, Vladimir Braginskii y sus colaboradores con altísima precisión. Dada la importancia del asunto, conviene describir brevemente
dicho experimento, que conceptualmente es muy sencillo, pero cuya realización con la precisión
actual requiere técnicas muy sofisticadas. Dejando de lado otras fuerzas (como la atracción del
Sol y de la Luna, que se tienen que tomar en cuenta si se quieren resultados de la máxima precisión) el peso aparente P ′ de los cuerpos en la superficie de la Tierra es la resultante de dos fuerzas (Fig. 4.28a). Una es la gravedad propiamente dicha y se dirige (dentro de la aproximación de
nuestra discusión simplificada) hacia el centro de la Tierra y viene dada por
31
Usando la balanza de torsión Henry Cavendish pudo medir en 1797 la fuerza de atracción gravitatoria entre dos
esferas metálicas, y de esa forma determinar G, la constante universal de la gravitación. También en 1785 CharlesAugustin de Coulomb empleó la balanza de torsión para estudiar las fuerzas entre cargas eléctricas, lo que lo
condujo a formular la famosa ley que lleva su nombre.
32
Esta prescripción es en esencia equivalente a la definición de masa basada en la Tercera Ley, que sigue el
argumento de Ernst Mach.
99
4. Dinámica
P = mg g
(4.117)
donde mg es la masa gravitacional del cuerpo. La otra fuerza es la fuerza centrífuga debida a la
rotación de la Tierra, que está dirigida en el plano meridiano perpendicularmente al eje de rotación de la Tierra y está dada por
F⊥ = miω 2 r⊥
(4.118)
Aquí r⊥ está dirigido desde el eje de rotación al punto donde está ubicado el cuerpo, ω es la velocidad angular de la Tierra y mi es la masa inercial del cuerpo. Por lo tanto
P ′ = P + F⊥ = mg g + miω 2 r⊥
(4.119)
De esta ecuación se desprende que si la relación mi / mg fuese diferente para distintos cuerpos, la
dirección del peso aparente de los mismos sería distinta. El objetivo del experimento es detectar
tal diferencia, si es que existe.
N
vertical
geométrica
B
r⊥
q
F⊥ = mi r⊥w2
A
A
B
P'
E
P = mg g
vertical según
la plomada
S
O
(a)
(b)
Fig. 4.28. El peso aparente de un cuerpo es la resultante de la gravedad y la fuerza centrífuga (a). En este hecho se basa el experimento de Eötvös (b) que permite determinar la
igualdad de la masa gravitatoria y la masa inercial.
Con este propósito dos cuerpos A y B diferentes por su masa y composición química se fijan en
los extremos de la barra horizontal de una balanza de torsión (Fig. 4.28b). La barra está orientada de Oeste a Este y está suspendida de manera de permanecer horizontal. Si la dirección de
PA′ fuera diferente de la de PB′ se debería producir un momento que haría girar la barra horizontal hasta que la torsión del filamento de suspensión equilibre dicho momento. Se marca entonces
la posición de la barra, luego de lo cual se gira en 180˚ el soporte del filamento. Con ello se invierte la posición de los cuerpos A y B y por lo tanto la dirección del momento (si es que existe).
Por lo tanto la barra debiera ahora girar respecto de la dirección Oeste-Este en un ángulo igual
que el anterior, pero en el sentido opuesto.
El experimento ha dado siempre un resultado negativo, esto es, no indicó nunca una rotación de
la barra cualquiera fuese la elección de los cuerpos A y B. La sensibilidad de los experimentos
más recientes hubiera revelado una diferencia de mi / mg respecto de la unidad de una parte en
100
4. Dinámica
10 11 (esto es, un gramo en 105 toneladas). Esta extraordinaria precisión demuestra sin lugar a
dudas que la inercia y la gravedad son manifestaciones de una única realidad física.
Los sistemas inerciales y el principio de equivalencia
Antes de concluir este Capítulo es necesario hacer algunos comentarios acerca de los referenciales inerciales ya que este concepto es el eslabón más débil de la estructura lógica de la Mecánica Newtoniana. Una vez establecido que las fuerzas producen aceleraciones, el Principio de
Inercia se reduciría a un simple corolario de la Segunda Ley si no fuera porque en su enunciado
se invoca el “sistema de referencia inercial”. Pero aquí surge la dificultad: ¿cómo se sabe si un
referencial es inercial? Mientras no demos una definición de sistema inercial que sea independiente de la Primera Ley, ésta no es más que una tautología.
Si aceptamos por un momento la existencia de un referencial inercial, el resto de la Dinámica se
desarrolla sin inconvenientes. La idea central de la Mecánica Newtoniana (que incluye también
el Principio de Inercia) es lo que se llama la relatividad Galileiana, que conviene recordar brevemente.
El concepto de la relatividad del movimiento (es decir, que el movimiento se define en relación
con un observador) era bien conocido, aún antes que Copérnico considerara su aplicación al movimiento de la Tierra y del Sol. Pero la idea de Galileo fue más lejos. El principio de relatividad
(o equivalencia) Galileiano se puede enunciar diciendo que:
dos referenciales que se mueven el uno respecto del otro con movimiento rectilíneo y uniforme y sin rotar son equivalentes en cuanto a la descripción de los fenómenos mecánicos.
En su Dialogo sui Massimi Sistemi, Galileo expresa claramente (la cita no es completamente
textual) esa idea :
Encerraos con algún amigo en el mayor local bajo cubierta de un gran navío y después
realizad todos los experimentos que se os ocurran, y decidme cómo podéis determinar si el
navío está detenido o se mueve, siempre que ese movimiento sea uniforme y no fluctuante
de aquí para allá y siempre que no os sea posible mirar hacia afuera.
Entonces dado un referencial inercial podemos decir si otro referencial es o no inercial: basta ver
si se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto del primero, o no. Sin embargo, sigue en pie nuestra pregunta: ¿cómo sabemos si el primer sistema es inercial?
En algunos libros se lee que un referencial inercial es un sistema que está en reposo respecto de
“las estrellas fijas”. Se intenta así resolver la cuestión, pero esto es ilusorio. Nadie ha intentado
llevar a la práctica esa definición en lo que atañe a los movimientos de traslación (por de pronto
porque no existen “estrellas fijas”). Por lo tanto se trata de un enunciado vacío sin consecuencias
prácticas.
Los ejemplos que hemos presentado en este Capítulo muestran que el origen y los ejes de los
referenciales de interés se vinculan siempre con objetos cercanos al observador como la superficie de la Tierra, el interior de un vehículo, etc. Cuando estudiaremos el movimiento planetario
emplearemos un referencial con origen en el Sol, o bien en el baricentro del sistema Sol-planeta.
Como se ve se trata en todos los casos de sistemas locales en relación con los sistemas bajo estudio. Es para esta clase de sistemas que necesitamos criterios prácticos para decidir si son o no
inerciales.
Es importante notar que la noción de inercia y por lo tanto de referencial inercial está indisolublemente ligada a la interacción gravitatoria, que se manifiesta en el peso. Todos hemos visto
101
4. Dinámica
por la TV escenas que tienen lugar en una cápsula espacial en órbita alrededor de la Tierra. Hemos observado entonces que un objeto abandonado en el aire no cae al piso: permanece en
reposo, o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se lo soltó con una velocidad no
nula (respecto de la cápsula, se entiende). A semejanza del personaje de Galileo que no podía
saber si el navío se movía o estaba en reposo, un astronauta que hubiera perdido la memoria, no
supiera donde está y no pudiera mirar al exterior, no podría determinar si el referencial de la
cápsula es inercial o no. En realidad tendría derecho de pensar (recordemos nuestro enunciado
de la Primera Ley) que la cápsula es un referencial inercial. En efecto, en tanto y en cuanto se
limite a estudiar el movimientos de cuerpos en el interior de la cápsula o cercanos a la misma
(pero no el de objetos lejanos), la aplicación de las tres Leyes de la Dinámica le dará resultados
correctos.
Sin embargo nosotros desde la Tierra diríamos que se equivoca, porque sabemos que la cápsula
está en caída libre con la aceleración de la gravedad g (con el valor correspondiente a la distancia a la que está orbitando), por lo tanto para nosotros es un referencial no inercial en el cual la
fuerza ficticia sobre un objeto de masa m es
FO′ = − m aO′ = − m g
(4.120)
Como esta fuerza compensa exactamente el peso P = m g del objeto, se explica perfectamente
(desde nuestro punto de vista) lo que observa nuestro hipotético pasajero. Al estudiar fenómenos
terrestres sabemos que tenemos que tomar en cuenta las aceleraciones centrífuga y de Coriolis
porque la Tierra gira sobre sí misma y por lo tanto no es un referencial inercial. Sin embargo no
tomamos en cuenta que la Tierra está en caída libre hacia el Sol con una aceleración de aproximadamente 0.6 gal (un valor pequeño, sin duda, pero no despreciable). Un observador ubicado
en el Sol nos podría entonces hacer la misma crítica que le hicimos nosotros al observador de la
cápsula. ¿Quien tiene razón entonces?
Estas observaciones ponen en evidencia la equivalencia entre campo gravitatorio y sistema no
inercial que es una consecuencia de la característica singular de la interacción gravitatoria que ya
discutimos anteriormente, esto es, que la masa gravitatoria (que determina la intensidad de la
atracción gravitatoria) coincide con la masa inercial (que determina la inercia de los cuerpos).
Esta característica la posee solamente la interacción gravitatoria. Las otras fuerzas o no implican
acción a distancia y se ejercen solo cuando los cuerpos están en contacto (como varias de las
fuerzas que consideramos en este Capítulo), o, como las fuerzas eléctricas y magnéticas, no
actúan por igual sobre todos los objetos materiales.
Es importante subrayar el carácter local de la equivalencia que hemos señalado: es posible eliminar el peso empleando un referencial en caída libre, pero sólo localmente. En efecto, el campo
gravitatorio no es uniforme y por lo tanto el valor de g difiere de un lugar a otro. Para el observador de nuestra cápsula que cae con la aceleración g, un objeto en un lugar a cierta distancia,
donde la aceleración de la gravedad es g ′ , aparece sometido a una fuerza m( g ′ − g ) que no es
nula. Esta fuerza, que proviene de la no uniformidad del campo gravitatorio, es la fuerza de marea de la que nos ocuparemos en el Capítulo 9.
102
4. Dinámica
A
A' P = 0
P
aA' = –g
a = – aA' = g
FA' = mg
P = mg a = g
(a)
(a')
B
B'
P= 0
P
aB' = g
a = g – aB' = 0
P=0
P + FA' = 0
a=0
(b)
(b')
Fig. 4.29. El Principio de Equivalencia. Un referencial (a) en reposo en un campo gravitacional que imparte una aceleración g a todos los cuerpos es equivalente a un referencial
( a ′ ) que (en ausencia de gravedad) es acelerado con la aceleración –g. Del mismo modo,
un referencial ( b ′ ) en caída libre dentro de un campo gravitatorio es equivalente a un referencial (b) en reposo y en ausencia de gravedad. La equivalencia es solamente local.
Los comentarios anteriores encuentran su expresión en el Principio de Equivalencia debido a
Einstein:
Principio de Equivalencia:
Un referencial Σ acelerado con una aceleración constante –g y en ausencia de gravedad es
completamente equivalente a un referencial Σ ′ en reposo en un campo gravitacional uniforme que imparte la aceleración g a todos los cuerpos por igual.
Una consecuencia del Principio de Equivalencia es que (localmente) un campo gravitatorio se
puede compensar completamente por medio de un movimiento no uniforme del referencial
(como sucede en la cápsula espacial que mencionamos antes).
Todo esto es, por supuesto, consistente con la Mecánica Newtoniana, pero Einstein lo interpretó
como una ley fundamental de la naturaleza según la cual un campo gravitatorio es (localmente)
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4. Dinámica
equivalente a un referencial acelerado. En otras palabras, al describir los fenómenos que ocurren
en un campo gravitacional nos podemos olvidar de la fuerza de gravedad, a condición de emplear un referencial oportunamente acelerado. Si la cápsula espacial se hallara muy lejos de la
Tierra, el Sol y las demás masas de modo que la fuerza de gravedad debida a todos los cuerpos
externos a la cápsula fuera despreciable, se podría crear un campo de gravedad ficticio encendiendo los motores, o sea acelerando la cápsula respecto de un referencial inercial. En este caso
ningún experimento que se llevara a cabo dentro de la cápsula, sin referencia a objetos externos
a la misma, podría revelar diferencias respecto de lo que ocurre en un campo de gravedad normal. En tal sentido la cápsula espacial es la versión moderna del navío de Galileo: el Principio
de Equivalencia es la extensión natural del Principio de Inercia.
Volvamos ahora a nuestra pregunta original: ¿cómo sabemos si un referencial es inercial? A la
luz de las consideraciones precedentes vemos que la respuesta es la siguiente: en toda situación
que se presente en la práctica es siempre posible definir un referencial local el cual a todos los
efectos que nos pueden interesar se comporta como si fuera inercial33 esto es, un referencial en el
cual un objeto libre de fuerzas (fuerzas que podamos detectar con nuestras balanzas, dinamómetros, etc. en ese sistema) queda en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.
Aparece, sin embargo, una ambigüedad en la teoría ya que estos sistemas locales se mueven con
movimiento acelerado el uno respecto del otro. Aquí nos limitaremos a señalar que dentro de los
límites de nuestra teoría, esto es, mientras valgan las transformaciones (3.64), (3.77) y (4.112)
esta ambigüedad no tiene efectos prácticos. Pero el lector debe tener presente que es un indicio
de las limitaciones de la Mecánica Newtoniana, tema del cual nos ocuparemos más adelante
33
Eventualmente tomando en cuenta las fuerzas de marea, como se verá en el Capítulo 9.
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