Movimiento Vibratorio Armónico Simple

INDICE
Introducción
1
Movimiento vibratorio armónico simple (MVAS)
1
Velocidad en el MVAS
2
Aceleración en el MVAS
2
Dinámica del MVAS
3
Aplicación al péndulo simple
4
Energía cinética en el MVAS
6
Energía potencial elástica
7
mgsenθ
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Movimiento Vibratorio Armónico Simple
Un movimiento que repite posiciones en intervalos iguales de tiempo recibe el nombre
de movimiento periódico. Ejemplos de este tipo de movimiento: rotación de la Tierra,
movimiento de un punto de la periferia de un CD... El tiempo que transcurre entre la repetición
consecutiva de la posición recibe el nombre de periodo.
Llamaremos movimiento oscilatorio aquel en el que el móvil recorre una trayectoria en la que
la posición del móvil respecto al origen pasa por un valor máximo y un valor mínimo como
sucede con un movimiento de vaivén, de una forma periódica (es decir repitiendo posiciones a
intervalos constantes de tiempo).
MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMONICO SIMPLE (MVAS)
El movimiento vibratorio armónico simple se puede representar físicamente por el movimiento
de la proyección sobre uno de los diámetros de una circunferencia de las distintas posiciones
que va ocupando el móvil que la recorre con velocidad angular constante:
Movemos el resorte hasta una posición inicial como la que se indica en
la figura:
Sobre el diámetro Y: y = A·sen(ωt +φ0)
Sobre el diámetro X: x = A·cos(ωt + φ0)
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Vibración completa o ciclo es el movimiento desde un extremo (P) de la trayectoria hasta el
otro (Q) y retorno al primero.
Periodo (T) es el tiempo invertido en un ciclo.
Frecuencia (f o ν) número de ciclos en la unidad de tiempo.
Elongación (y ó x) la distancia que en cada momento separa al punto oscilante de la posición
de equilibrio.
Fase ángulo descrito por el móvil en un tiempo. En φ = φ0 + ωt . ( φ0 fase inicial).
Pulsación (ω) velocidad angular que posee el móvil que teoricamente, recorre la circunferencia
de radio A.
Amplitud (A) elongación máxima.
Hemos visto con anterioridad cuál era la ecuación de la elongación en función del tiempo.
y = A·sen(ωt +φ0) o también x = A·cos(ωt + φ0)
También se puede poner, teniendo en cuenta que ω = 2π/T :
y = A·sen[(2πt/T) +φ0] = A·sen(2π f t +φ0)
x = A·cos[(2πt/T) +φ0] = A·cos(2π f t +φ0)
VELOCIDAD EN EL MVAS
Hemos visto con anterioridad cuál era
la ecuación de la elongación en función
del tiempo:
y = A·sen(ωt +φ0)
o también: x = A·cos(ωt + φ0)
De la misma forma se puede
determinar el valor de la velocidad (su
módulo) derivando la elongación con
respecto al tiempo:
v=
dx
dy
= − A·ω·sen(ωt + ϕ0 )
= A·ω·cos(ωt + ϕ0 ) también: v =
dt
dt
ACELERACIÓN EN EL MVAS
La aceleración en cada instante
derivando la velocidad con respecto al
tiempo o la elongación dos veces
respecto al tiempo:
dv d 2 y
= 2 = − A·ω 2·cos(ωt + ϕ0 )
dt dt
= −ω 2· y = − k· y
a=
lo mismo que antes:
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a=
dv d 2 x
= 2 = − A·ω 2·sen(ωt + ϕ0 ) = −ω 2· x = − k· x
dt dt
Como se ve en este movimiento la aceleración es proporcional a la elongación y de signo
opuesto a ella.
Representación gráfica de la elongación (y), la velocidad (v), y la aceleración (a) frente al tiempo.
DINÁMICA DEL MVAS
Ya se definió anteriormente el movimiento armónico simple mediante la ecuación de la
elongación:
y = A·cos(ωt +φ0) (I)
x = A·cos(ωt +φ0) (II)
De ella se deducía la ecuación de la aceleración derivando la ecuación (I):
2
2
2
2
2
2
2
a = dv/dt = d y / dt = − A·ω ·cos(ωt + φ0) = − ω ·y = − k·y
Si derivamos en la ecuación (II)
2
a = dv/dt = d x / dt = − A·ω ·cos(ωt + φ0) = − ω ·x = − k·x
Aplicando la ecuación F = m·a y sustituyendo el valor de a queda:
2
2
F = − m·ω ·y = − k ·y donde k = m· ω y ω = (k/m)
½
Como se ve (*) en el movimiento armónico simple la fuerza que actúa es proporcional a la
elongación y opuesta a ella, es decir, estará dirigida siempre hacia el origen o punto de
equilibrio. Por tanto como en ese punto la elongación es nula (y = 0) también lo será el valor de
la fuerza que actúa sobre el móvil (F= 0). Este tipo de fuerza es la que aparece cuando se
deforma un cuerpo elástico (ley de Hooke). La constante K se llama constante recuperadora o
elástica y sus unidades son N/m.
Como se ve la constante recuperadora es igual al cuadrado de la pulsación por la masa y por
tanto la pulsación es igual a la raiz cuadrada del cociente entre la constante recuperadora y la
masa.
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Teniendo en cuenta la relación entre el valor de la pulsación y el periodo se puede deducir cuál
será el valor de este último en función de la masa y la constante recuperadora:
T = 2π (m / k)
½
APLICACIÓN AL PÉNDULO SIMPLE
Un péndulo simple se define como una
partícula de masa m suspendida de un
punto O por un hilo de longitud l y masa
despreciable. Si la partícula se lleva
hasta B de modo que forma un ángulo
pequeño con la vertical y luego se
suelta esta oscilará entre B y B'.
Se puede explicar la dinámica del
movimiento en la forma siguiente:
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La partícula se mueve en un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud de la cuerda. Las
fuerzas que actúan sobre esta partícula serán Fx que es anulada por la tensión de la cuerda T y
Ft cuyo valor será negativo ya que se opone al desplazamiento:
2
2
Ft = − m g sen θ = − m at = − m α l = − m l (d θ / dt )
La aceleración responsable de la variación en el módulo de la velocidad es la aceleración
tangencial que a su vez está relacionada con la aceleración angular del móvil con lo que se
puede deducir que como la aceleración angular es la derivada segunda del ángulo con
respecto al tiempo dos veces
2
2
− l (d θ / dt ) + g senθ = 0
Cuando el ángulo θ es muy pequeño (longitud l grande y pequeñas amplitudes de oscilación)
senθ es aproximadamente θ por lo que:
2
2
− (d θ / dt ) + (g / l) θ = 0
Ecuación diferencial cuya solución lleva a establecer que el valor de la pulsación o frecuencia
angular para el movimiento del péndulo simple es: ω = ( g / l )
Dado que ω = 2π/T Se puede deducir: T = 2π( l / g )
½
½
Como se ve el periodo del péndulo simple solo es función de la longitud del hilo y de g que en
2
el campo gravitatorio terrestre es constante e igual a 9.81 m/s .
ENERGIA CINETICA EN EL MVAS
Por esta razón el valor máximo de la energía cinética será:
2
2
Ec = (1/2) m·ω ·A
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cuando el móvil pase por la posición de equilibrio (es decir cuando la elongación sea cero). Es
entonces cuando lleva la velocidad máxima.
Y el valor mínimo cero cuando el móvil se encuentre a la máxima distancia de la posición de
equilibrio (x=A), es el momento en que el móvil se para un instante antes de volver a dirigirse
hacia la posición de equilibrio.
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA
Supongamos un resorte de constante recuperadora k, unido a una masa m, que puede deslizar
sobre una superficie sin rozamientos. Aplicamos sobre esa masa una fuerza que hace que se
desplace a velocidad constante desde A hasta B. El trabajo realizado para llevar m desde A
hasta B vendrá dado por:
W AB = ∫Fdx
Puesto que el sistema se mueve con velocidad constante F será igual y opuesta a la fuerza
recuperadora del resorte, es decir, según la ley de Hooke F = Kx siendo x el desplazamiento
respecto de la posición inicial de equilibrio.
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Deducimos por tanto que la energía mecánica del sistema suma de la energía cinética y
2
potencial elástica es constante sea cual sea la posición del móvil e igual a (1/2) k·A puesto
que:
2
2
2
2
E = Ec + Ep = (1/2) k·[A - x ] + (1/2) k· x = (1/2) k·A
Podemos representar la energía mecánica, la energía potencial y la energía cinética del
movimiento armónico simple frente a la elongación obteniendo en cada caso las gráficas
siguientes:
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