d - Canek

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Método de Euler Mejorado.
E: y 0 D x 2
y,
con
y.1/ D 2; calcule y.1:5/, para h D 0:1.
D: H Usaremos h D 0:1 para encontrar valores aproximados de la solución y.x/ en
x D 1:1; 1:2; 1:3; 1:4; 1:5 :
Usando .x0 ; y0 / D .1; 2/ y f .x; y/ D x 2
y resulta:
x1 D x0 C h D 1:1 :
k1 D h f .x0 ; y0 / D 0:1 f .1; 2/ D 0:1 :
k2 D h f .x0 C h; y0 C k1 / D 0:1 f .1:1; 1:9/ D 0:069 :
1
y1 D y0 C .k1 C k2 / D 2 C 0:5. 0:1 0:069/ D 1:9155 :
2
Determinamos ahora y2 considerando .x1 ; y1 / D .1:1; 1:9155/:
x2 D x1 C h D 1:1 C 0:1 D 1:2 :
k1 D h f .x1 ; y1 / D 0:1 f .1:1; 1:9155/ D 0:0706 :
k2 D h f .x1 C h; y1 C k1 / D 0:1 f .1:2; 1:8449/ D 0:0405 :
1
y2 D y1 C .k1 C k2 / D 1:9155 C 0:5. 0:0706 0:0405/ D 1:86 :
2
El valor de y3 lo calculamos considerando .x2 ; y2 / D .1:2; 1:86/, obtenemos ahora:
x3 D x2 C h D 1:2 C 0:1 D 1:3 :
k1 D h f .x2 ; y2 / D 0:1 f .1:2; 1:86/ D 0:042 :
k2 D h f .x2 C h; y2 C k1 / D 0:1 f .1:3; 1:818/ D 0:0128 :
1
y3 D y2 C .k1 C k2 / D 1:86 C 0:5. 0:042 0:0128/ D 1:8326 :
2
Obtenemos y4 repitiendo el proceso, tenemos entonces:
x4 D x3 C h D 1:3 C 0:1 D 1:4 :
k1 D h f .x3 ; y3 / D 0:1 f .1:3; 1:8326/ D 0:0143 :
k2 D h f .x3 C h; y3 C k1 / D 0:1 f .1:4; 1:8183/ D 0:0142 :
1
y4 D y3 C .k1 C k2 / D 1:8326 C 0:5. 0:0143 C 0:0142/ D 1:8326 :
2
Finalmente, y5 está dado por
x5 D x4 C h D 1:4 C 0:1 D 1:5 :
k1 D h f .x4 ; y4 / D 0:1 f .1:4; 1:8326/ D 0:0127 :
k2 D h f .x4 C h; y4 C k1 / D 0:1 f .1:5; 1:8453/ D 0:0405 :
1
y5 D y4 C .k1 C k2 / D 1:8326 C 0:5.0:0127 C 0:0405/ D 1:8592 :
2
5. canek.azc.uam.mx: 4/ 2/ 2011
2
Es decir, la aproximación de la solución en x D 1:5 está dada por
yaprox .1:5/ D 1:8592 :
Ahora encontremos la solución exacta, esto nos permitirá determinar el error porcentual. Reescribimos la ED lineal:
y 0 D x2 y ) y 0 C y D x2 :
Su factor integrante es D e x . La solución general de esta ED es
y D x2
2x C 2 C C e
x
:
Usando la condición inicial y.1/ D 2, obtenemos:
2 D 1 C Ce
1
) C D e ) y D x2
2x C 2 C e 1 x :
Evaluando esta expresión en x D 1:5, obtenemos el valor exacto:
yexacto D 1:8565 :
En consecuencia, el error porcentual está dado por:
1:8565 1:8592 yexacto yaprox % D 100 % D 0:1454%:
EP D 100 yexacto
1:8565
Mostramos a continuación los valores exactos, los aproximados y el error porcentual cometido,
en cada uno de los puntos calculados hasta ahora y los siguientes cinco puntos a efecto de observar que el error EP aumenta, aunque para la ecuación diferencial que estamos considerando
es pequeño.
i
xi yi
yexacto EP %
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1:1
1:2
1:3
1:4
1:5
1:6
1:7
1:8
1:9
2
2
1:9155
1:86
1:8326
1:8326
1:8592
1:9118
1:9898
2:0928
2:2203
2:3718
2
1:9148
1:8587
1:8308
1:8303
1:8565
1:9088
1:9866
2:0893
2:2166
2:3679
0
0:0366
0:0699
0:0983
0:1257
0:1454
0:1624
0:1711
0:1771
0:1714
0:1731