LA FUNCI´ON Γ DE EULER Definición. La función gamma de Euler

LA FUNCIÓN Γ DE EULER
Definición. La función gamma de Euler es la función definida mediante la integral impropia
Z +∞
Γ(p) :=
xp−1 e−x dx.
0
Lema. La función gamma de Euler tiene las siguientes propiedades.
i) Si p ≥ 1, entonces la integral Γ(p) sólo es impropia en x = +∞ y es convergente.
ii) Si 0 < p < 1, entonces Γ(p) es impropia en x = 0 y en x = +∞, pero también es convergente.
iii) Γ(p + 1) = p · Γ(p) para todo p > 0.
iv) Γ(n) = (n√
− 1)! para todo n ∈ N.
v) Γ(1/2) = π ≈ 1,772453850905516.
Demostración.
i) Consideramos la función f (x) = xp−1 e−x y suponemos que p ≥ 1. Entonces
f (x) es continua en el intervalo [0, +∞), luego la integral Γ(p) sólo es impropia en x = +∞.
Probamos que Γ(p) es convergente usando el criterio del cociente. Efectivamente, consideramos
la función g(x) = e−x/2 y calculamos el lı́mite del cociente f (x)/g(x) usando repetidamente
la regla de L’Hôpital cada vez que encontramos una indeterminación del tipo ∞/∞. Sea n la
parte entera de p. Por ejemplo, si p es siete y pico, entonces n = 7. Entonces:
xp−1
∞
(p − 1)xp−2
∞
=
= lı́m
=
= ···
x/2
x→+∞ e
∞ x→+∞ ex/2 /2
∞
(p − 1)(p − 2) · · · (p − n)xp−n−1
0
=
lı́m
= 0.
=
x→+∞
∞
ex/2 /2n
R +∞
R +∞
Por tanto, como 0 g(x) dx es convergente, Γ(p) = 0 f (x) dx también lo es.
ii) Si 0 < p < 1, entonces f (x) = xp−1 e−x tiene una asintóta vertical en x = 0, luego la integral
Γ(p) es impropia en x = 0 y en x = +∞. Descomponemos la integral Γ(p) en dos partes que
estudiamos por separado:
Z 1
Z +∞
Γ(p) =
xp−1 e−x dx +
xp−1 e−x dx.
f (x)
x→+∞ g(x)
lı́m
=
lı́m
0
1
Usando el criterio de comparación vemos que ambas integrales
son convergentes:
R1
Como 0 ≤ xp−1 e−x ≤ xp−1 para todo x ∈ [0, 1] y 0 xp−1 dx es convergente, deducimos
R1
que 0 xp−1 e−x dx también lo es.
R +∞
Como 0 ≤ xp−1 e−x ≤ e−x para todo x ∈ [1, +∞) y 1 e−x dx es convergente, deducimos
R +∞
que 1 xp−1 e−x dx también lo es.
iii) Integramos por partes:
Z +∞
u = xp ,
du = pxp−1 dx
Γ(p + 1) =
xp e−x dx =
dv = e−x dx,
v = −e−x
0
Z +∞
x=+∞
= − −xp e−x x=0 + p
xp−1 e−x dx = pΓ(p).
0
iv) En primer lugar, vemos que Γ(1) = 1, pues
Z +∞
Z +∞
x=+∞
0 −x
Γ(1) =
x e dx =
e−x dx = −e−x x=0 = 0 − (−1) = 1.
0
0
Ahora dado un número natural arbitrario n ∈ N, usamos de forma recurrente la propiedad iii):
Γ(n) = (n − 1) · Γ(n − 1) = (n − 1) · (n − 2) · Γ(n − 2) = · · · = (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 · Γ(1) = (n − 1)!.
v) Para probar esta propiedad se necesitan resultados de Cálculo 2.
A continuación explicamos tres métodos para dibujar de forma aproximada la gráfica de la función
Γ(p) en la ventana de rangos 0 ≤ p ≤ 1 y 0 ≤ Γ(p) ≤ 10.
1
2
LA FUNCIÓN Γ DE EULER
Método 1 (El más fácil y preciso, pero caradura). Consiste en usar el comando de MATLAB gamma:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
p=linspace(0,1,100);
G=gamma(p);
plot(p,G)
axis([0 1 0 10]);
xlabel(’p’)
ylabel(’G’)
title(’Funcion Gamma de Euler’);
Método 2 (Ni fácil, ni preciso). Escribimos la integral impropia Γ(p) como la suma de dos integrales:
Z M
Z +∞
Γ(p) =
xp−1 e−x dx +
xp−1 e−x dx.
0
M
La segunda integral tiende a cero cuando M → +∞. Efectivamente, pues si M ≥ 1, entonces
Z +∞
Z +∞
x=+∞
0≤
xp−1 e−x dx ≤
e−x dx = −e−x x=M = e−M .
M
M
Por tanto, fijada cualquier pequeña tolerancia 0 < 1, podemos encontrar un valor M ≥ 1 de
forma que la segunda integral sea menor que . Concretamente, basta tomar M = − log(). Después
calculamos la primera integral usando el comando de MATLAB quadl con la misma tolerancia . Es
importante observar que aunque el intervalo [0, M ] es compacto, la función f (x) = xp−1 e−x tiene una
singularidad en x = 0, luego el método puede fallar.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
epsilon = 1.e-5;
p=linspace(0,1,100);
G=Gamma_cutre(p,epsilon);
plot(p,G)
axis([0 1 0 10]);
xlabel(’p’)
ylabel(’G’)
title(’Funcion Gamma de Euler’);
El fichero Gamma cutre.m contiene las instrucciones para calcular Γ(p):
function G=Gamma_cutre(p,epsilon)
M=-log(epsilon);
G=quadl(@(x) x.^(p-1).*exp(-x),0,M,epsilon);
Advertencia: Si escogemos una tolerancia demasiado pequeña (por ejemplo, si p = 1/2 y = 10−10 ),
la función Gamma cutre.m se queja debido a la singularidad que tiene f (x) = xp−1 e−x en x = 0.
Método 3 (Relativamente preciso, pero no fácil). Escribimos que
Z
Z
Z
Γ(p + 1)
1 +∞ p −x
1 M p −x
1 +∞ p −x
Γ(p) =
=
x e dx =
x e dx +
x e dx.
p
p 0
p 0
p M
El nuevo integrando g(x) = xp e−x ya no es singular en x = 0 (recordemos que p > 0) y la segunda
integral sigue tendiendo a cero cuando M → +∞. Por tanto, fijada cualquier pequeña tolerancia
0 < 1, podemos encontrar un valor M ≥ 1 de forma que la segunda integral sea menor que . Se
puede probar (ejercicio para el lector, no es fácil) que el cero de la función
x
h(x) := 1 +
xp−1 e−x − p
que está cerca de la aproximación inicial x0 := − log() es un valor adecuado M .
Ası́ pues, crearemos un fichero Gamma mejor.m con las siguientes instrucciones para calcular Γ(p):
function G=Gamma_mejor(p,epsilon)
M=fzero(@(x) (1+x/p).*x.^(p-1).*exp(-x)-epsilon,-log(epsilon));
G=quadl(@(x) x.^p.*exp(-x),0,M,epsilon)/p;
Dibujaremos la función gamma con las mismas instrucciones de los método anteriores, pero usando
la nueva función Gamma mejor.m, en vez del comando gamma o de la vieja función Gamma cutre.m.