Capítulo 4º

34
Capı́tulo 4
Subconjuntos notables de un Espacio
Topológico
4.1 Adherencia
Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto
de X. Diremos que x ∈ X es un punto adherente de S si todo entorno U de x cumple U ∩ S 6= ∅,
es decir, U corta a S (no hay ningún entorno de x totalmente contenido en X r S). El conjunto
de puntos adherentes de S se llama la adherencia de S y se representa por S.
Observación.(1) Tal y como se ha definido la adherencia de un conjunto S, es evidente que S ⊂ S.
(2) Si S1 ⊂ S2 , entonces S1 ⊂ S2 .
La definición exige que se compruebe una propiedad para todos los entornos de un punto. Por
tanto, será útil disponer de una caracterización que permita reducir el número de comprobaciones.
Esta es una de las razones más importantes de la utilidad del concepto de base de entornos.
Proposición 4.1.2. Sean (X, τ ) un espacio topológico, S ⊂ X un subconjunto de X, x ∈ X, y
sea B(x) un base de entornos de x en la topologı́a τ . Entonces x ∈ S si, y sólo si V ∩ S 6= ∅
para cada V ∈ B(x).
Demostración. ⇒ Supongamos que x ∈ S, y V ∈ B(x). Como B(x) ⊂ E(x), según la definición de punto
adherente, V ∩ S 6= ∅.
35
36
CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO
⇐ Si ahora suponemos que todo V ∈ B(x) cumple V ∩ S 6= ∅. Como B(x) es base de entornos
de x, para todo U ∈ E(x) existe un V ∈ B(x) tal que V ⊂ U . Como V ∩S 6= ∅, y V ∩S ⊂ U ∩S
tenemos que U ∩ S 6= ∅.
En particular, si la topologı́a está generada por una métrica, se pueden utilizar algunas bases de
entornos formadas por bolas y obtener los siguientes resultados particulares:
Ejemplo 4.1.3.
(1) Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S un subconjunto de X. Entonces, x ∈ X es un punto
adherente de S (x ∈ S) si, y sólo si B(x, r) ∩ S 6= ∅, para todo r > 0.
(2) Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S un subconjunto de X. Entonces, x ∈ X es un punto
adherente de S (x ∈ S) si y sólo si para todo n ∈ N, la bola de centro x y radio n1 , B(x, n1 ), corta
a S. Recordemos que estas bolas constituyen una base de entornos de x.
La propiedad más caracterı́stica de la adherencia de un conjunto S es la de que es el menor cerrado
que contiene al conjunto S.
Proposición 4.1.4. Sea (X, τ ) un espacio topológico, y S ⊂ X un subconjunto, entonces S es un
cerrado en (X, τ ).
Demostración. Veamos que X r S es un abierto comprobando que es un entorno de todos sus
puntos. Sea x ∈ X r S, entonces x no es un punto adherente, por tanto, existe U , entorno de x,
tal que U ∩ S = ∅. Como U es un entorno de x existe un abierto, A ∈ τ , tal que x ∈ A ⊂ U . Por
tanto A ∩ S = ∅.
Veamos que A ⊂ X r S, con lo que X r S será abierto. Para todo y ∈ A, como A es abierto,
será un entorno de y que no corta a S, luego y ∈
/ S. Es decir, A ⊂ X r S. Por tanto X r S es un
entorno de x. Y esto para todo x que no esté en S, entonces X r S es abierto.
Proposición 4.1.5. Sea (X, τ ) un espacio topológico, S ⊂ X un subconjunto y C ⊂ X un
cerrado tal que S ⊂ C. Entonces S ⊂ C. Esto quiere decir que S es el menor cerrado que
contiene a S.
Demostración. Veámoslo por reducción al absurdo. Si C es un cerrado con S ⊂ C. Supongamos
que S 6⊂ C, es decir, que existe un punto x ∈ S tal que x ∈
/ C. Entonces, X r C es un abierto
que contiene al punto x y como que S ⊂ C, se cumple que (X r C) ∩ S = ∅. Por tanto, x no es
un punto adherente de S, lo cual es una contradicción.
En particular, la propiedad anterior proporciona una caracterización de los conjuntos cerrados
como aquellos que contienen a todos los puntos de su adherencia:
4.1. ADHERENCIA
37
Corolario 4.1.6. Un conjunto C, en un espacio topológico, es cerrado si y sólo si C = C.
Demostración. (Ejercicio)
El Corolario anterior es equivalente a decir que un conjunto C es cerrado si y sólo si C ⊂ C, ya
que la otra inclusión siempre es cierta.
Ejemplo 4.1.7.
(1) En el espacio topológico trivial (X, τT ), la adherencia de cualquier conjunto no vacı́o es el
espacio total X.
(2) En un espacio topológico discreto (X, τD ), la adherencia de cualquier conjunto S es el mismo
S.
(3) En la topologı́a cofinita (X, τcf ), la adherencia de cualquier conjunto finito es él mismo, y la
de los conjuntos infinitos es el espacio total.
(4) En (R, τu ), (0, 1) = [0, 1].
4.1.1
Subconjuntos densos
Definición 4.1.8 (Subonjunto denso). Sea (X, τ ) un espacio topológico, diremos que un subconjunto S ⊂ X es denso en X si S = X.
Podemos caracterizar los subconjuntos de la siguiente forma.
Proposición 4.1.9. Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X. Entonces S es denso en
(X, τ ) si, y sólo si todo abierto no vacı́o, A ∈ τ , cumple que A ∩ S 6= ∅.
Demostración. ⇒ Supongamos que S ⊂ X es denso, es decir, S = X y sea A 6= ∅ un abierto; si x ∈ A como
x ∈ S = X y A es entorno de x, se cumple, por la definición de adherencia, que A ∩ S 6= ∅.
⇐ Supongamos ahora que para todo A 6= ∅ abierto, se cumple que A ∩ S 6= ∅. Si suponemos
que S 6= X, entonces X r S serı́a un abierto no vacı́o, pero (X r S) ∩ S = ∅, en contra de lo
supuesto. Por tanto, S = X.
Ejemplo 4.1.10.
(1) El conjunto de los racionales Q es denso en (R, τu ). Destacamos que R contiene, entonces, un
subconjunto numerable denso que es Q.
38
CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO
Definición 4.1.11 (Espacio separable). Diremos que un espacio topológico (X, τ ) es separable
si contiene un subconjunto numerable denso.
Ejemplo 4.1.12.
(R, τu ) es separable.
4.1.2
Puntos aislados y puntos de acumulación
Definición 4.1.13 (Punto de acumulación). Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X.
Diremos que un punto x ∈ X es un punto de acumulación de S en (X, τ ), si cualquier entorno
U de x contiene un punto de S distinto de x. Es decir, si (U − {x}) ∩ S 6= ∅. El conjunto de
todos los puntos de acumulación de S se llama la acumulación o conjunto derivado de S, y se
representa por S 0 .
Definición 4.1.14 (Punto aislado). Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X. Diremos que
un punto x ∈ S ⊂ X es un punto aislado de S en (X, τ ), si existe un entorno U de x tal que
U ∩ S = {x}.
Proposición 4.1.15. Sea (X, τ ) un espacio topológico y S ⊂ X. Entonces:
a) El conjunto de puntos aislados de S es S r S 0 .
b) S = S ∪ S 0
Demostración. (Ejercicio)
Ejemplo 4.1.16.
(1) En un espacio métrico (X, d) las definiciones anteriores se concretan diciendo que un punto
x ∈ X es punto de acumulación de S ⊂ X si para todo r > 0 (B(x, r) r {x}) ∩ S 6= ∅ y que un
punto x ∈ S ⊂ X es punto aislado de S si existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ S = {x}.
(2) En R con la topologı́a usual, todo natural n ∈ N es un punto adherente a N pero no es de
acumulación, es decir, los naturales son puntos aislados en (R, τu ). En efecto (B(n, 12 ) r {n}) ∩
N = ∅.
(3) Si consideramos el conjunto A = { n1 : n ∈ N} en (R, τu ), entonces A0 = {0} y todos los
elementos de A son puntos aislados.
39
4.2. INTERIOR Y FRONTERA
4.2 Interior y frontera
Definición 4.2.1 (Punto interior). Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X un subconjunto. Diremos que x ∈ S es un punto interior de S si S es un entorno de x. El conjunto de los
◦
puntos interiores de S se denomina el interior de S y se representa por S .
◦
z }| {
Diremos que un punto x ∈
/ S es exterior a S si x ∈(X r S), es decir x es del interior del
complementario de S.
Observación.◦
(1) Si S ⊂ X con (X, τ ) espacio topológico, S ⊂ S.
(2) Si S1 ⊂ S2 , entonces
40
CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO
Ejemplo 4.2.2.
(1) En R con la topologı́a usual, [0, 1)◦ = (0, 1).
◦
(2) En R con la topologı́a usual Q= ∅ y el exterior de Q también es vacı́o.
(3) Consideremos un espacio topológico con la topologı́a trivial y sea S un subconjunto de dicho
◦
espacio, que no sea el total. Entonces S = ∅.
Proposición 4.2.3. Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X un subconjunto. Un punto
x ∈ S es interior de S si, y sólo si x ∈
/ (X r S). Esto es lo mismo que decir,
◦
S = X r (X r S)
Demostración. - Ejercicio
Una importante caracterı́stica del interior de un conjunto es que se trata del mayor abierto contenido en dicho conjunto.
Proposición 4.2.4. Sea (X, τ ) un espacio topológico y S ⊂ X un subconjunto. Entonces se
cumplen:
◦
a) S es abierto.
◦
b) Si A ⊂ S y A es abierto, entonces A ⊂S
◦
Esto quiere decir que S es el mayor abierto contenido en S.
Demostración. ◦
(a) Por la proposición anterior sabemos que S es el complementario de un cerrado, por tanto es
abierto.
(b) Sea A un abierto no vacı́o tal que A ⊂ S, y sea x un punto de A. Como A es abierto, es un
◦
entorno de x y por tanto también lo es S. Por tanto, x es un punto interior de S, luego A ⊂S .
En particular, esta proposición proporciona una caracterización de los conjuntos abiertos como
aquellos en los que todos sus puntos son interiores:
◦
Corolario 4.2.5. Un subconjunto S de un espacio topológico (X, τ ) es abierto si y sólo si S =S .
Se puede caracterizar el interior en términos de bases de entornos.
41
4.2. INTERIOR Y FRONTERA
Proposición 4.2.6. Sea (X, τ ) un espacio topológico, S ⊂ X y x ∈ S. Si B(x) una base de
◦
entornos de x en la topologı́a τ . Entonces x ∈S si, y sólo si existe V ∈ B(x) tal que V ⊂ S.
Demostración. (Ejercicio)
De nuevo nos interesa concretar estas caracterizaciones en el caso de los espacios métricos.
Ejemplo 4.2.7.
◦
(1) Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊂ X; x ∈S si, y sólo si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ S.
◦
(2) Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊂ X; x ∈S si, y sólo si existe n ∈ N tal que B(x, n1 ) ⊂ S.
Definición 4.2.8 (Frontera). Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X un subconjunto.
Diremos que x ∈ X es un punto frontera de S si todo entorno U de x cumple que U ∩ S 6= ∅
y U ∩ (X r S) 6= ∅. El conjunto de puntos frontera de S se denomina la frontera de S, y se
representa por f r(S).
Proposición 4.2.9. Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X un subconjunto. Entonces,
f r(S) = S ∩ (X r S)
Demostración. (Ejercicio)
Corolario 4.2.10. Si S es un subconjunto de un espacio topológico, entonces f r(S) es cerrado.
Ejemplo 4.2.11.
(1) La frontera de (0, 1) en (R, τu ) es el conjunto de dos elementos {0, 1}.
(2) En (R, τu ), f r(Q) = Q
Proposición 4.2.12. Sea (X, τ ) un espacio topológico, sea S ⊂ X un subconjunto y B(x) una
base de entornos de un punto x ∈ X en la topologı́a τ . Entonces x ∈ f r(S) si, y sólo si para
todo V ∈ B(x) se cumple que V ∩ S 6= ∅ y V ∩ (X r S) 6= ∅.
Demostración. (Ejercicio)
Ejemplo 4.2.13.
(1) Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊂ X un subconjunto, un punto x ∈ f r(S) si, y sólo si para
todo r > 0, B(x, r) ∩ S 6= ∅ y B(x, r) ∩ (X r S) 6= ∅.
(2) Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊂ X un subconjunto, un punto x ∈ f r(S) si, y sólo si para
todo n ∈ N, B(x, n1 ) ∩ S 6= ∅ y B(x, n1 ) ∩ (X r S) 6= ∅.
42
CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO
Proposición 4.2.14. Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea S ⊂ X un subconjunto. Los puntos
adherentes son, o bien puntos interiores, o bien puntos frontera. Es decir:
◦
f r(S) = Sr S
Demostración. Hemos visto en la proposición [4.2.9, pag.41] que f r(S) = S ∩ X r S. Entonces
por la proposición [4.2.3, pag.40] tenemos
◦
◦
S ∩ X r S = S ∩ (Xr S ) = S− S
4.3 Sucesiones
Definición 4.3.1 (Sucesión convergente). Sea (X, τ ) un espacio topológico, y sea (xn )∞
n=1 una
∞
sucesión de puntos de X. Diremos que (xn )n=1 converge a x en (X, τ ) (xn −→ x o limn xn = x)
si para todo entorno U de x existe un n0 , de modo que si n > n0 , entonces xn ∈ U . A x se le
llama lı́mite de (xn )∞
n=1 .
Ejemplo 4.3.2.
(1) La convergencia de una sucesión depende de la topologı́a. Sea un conjunto X y (xn )∞
n=1 con
xn = x ∈ X para todo n, la sucesión constante x. Entonces se dan las dos situaciones siguientes:
a) (xn )∞
n=1 converge a cualquier punto y ∈ X en la topologı́a trivial (X, τT ).
b) {xn }∞
n=1 sólo converge a x en la topologı́a discreta(X, τD ).
Proposición 4.3.3. Sea (X, τ ) un espacio topológico, sea (xn )∞
n=1 una sucesión en X, y B(x)
una base de entornos de x en la topologı́a τ . Entonces (xn )∞
converge
a x si y sólo si para todo
n=1
V ∈ B(x) existe un no , tal que si n > no , entonces xn ∈ V .
Demostración. ⇒ Si (xn )∞
n=1 converge a x, como B(x) ⊂ E(x), la condición se cumple para todos los V ∈
B(x).
⇐ Si ahora suponemos B(x) es una base de entornos de x y que para todo V ∈ B(x), existe
no tal que n > no implica que xn ∈ V . Si U ∈ E(x) es un entorno de x, como B(x) es base de
entornos, existirá V ∈ B(x) tal que V ⊂ U . Entonces para este V existirá un no de manera que
si n > no , se tiene que xn ∈ V ⊂ U . Por tanto, el mismo no sirve ya que para todo n > no ,
xn ∈ U .
43
4.3. SUCESIONES
Ejemplo 4.3.4.
(1) La definición de convergencia en R, con la topologı́a usual asociada al valor absoluto, coincide
con la conocida de sucesión convergente.
(2) En el caso de los espacios métricos, en general, la convergencia de una sucesión a un punto
obtenemos la siguiente formulación:
∞
Sea (X, d) un espacio métrico, y sea (xn )∞
n=1 una sucesión en X. Entonces (xn )n=1 converge a x
si y sólo si para todo
ε > 0 existe no tal que n > no =⇒ d(xn , x) < ε
(3) La convergencia se puede reducir, en el caso de los espacios, el estudio de la convergencia de
una sucesión de números reales:
∞
Sea (X, d) un espacio métrico, y (xn )∞
n=1 una sucesión en X. Entonces, (xn )n=1 converge a x si
y sólo si la sucesión de las distancias (d(xn , x))∞
n=1 converge a 0 en (R, | |).
Proposición 4.3.5. Sea (X, τ ) un espacio topológico de Hausdorff, y (xn )∞
n=1 una sucesión en
∞
X. Entonces, si (xn )n=1 converge, su lı́mite e único.
Demostración. Supongamos que (xn )∞
n=1 es convergente en X a dos puntos distintos x 6= y.
Como X es Hausdorff, existen entornos U ∈ E(x) y V ∈ E(y) tales que U ∩ V = ∅.
Por otra parte, como (xn )∞
n=1 converge a x, par el entorno U de x, existe un no tal que si n > no ,
entonces xn ∈ U .
Igualmente, para el entorno V de y, existe un n1 tal que si n > n1 , entonces xn ∈ V . Ası́, para
todo n > n1 y n > no a la vez, se cumple xn ∈ U y xn ∈ V , lo que está en contradicción con el
hecho de que U ∩ V = ∅.
Proposición 4.3.6. Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S ⊂ X. Entonces x ∈ S si, y sólo si
existe una sucesión (xn )∞
n=1 ⊂ S, tal que xn −→ x.
Demostración. ⇒ Supongamos que x ∈ S. Sabemos que {B(x, n1 ) : n ∈ N} es una base de entornos de x en
(X, d), por tanto, según hemos visto en una proposición anterior, B(x, n1 ) ∩ S 6= ∅. Podemos
construir entonces una sucesión de la siguiente forma:
Si n = 1 tomamos x1 ∈ B(x, 1) ∩ S.
Si n = 2 tomamos x2 ∈ B(x, 12 ) ∩ S.
Ası́ sucesivamente para cada n tomamos xn ∈ B(x, n1 ) ∩ S.
44
CAPÍTULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLÓGICO
De esta manera obtenemos una sucesión (xn )∞
n=1 de puntos de S que converge a x evidentemente.
⇐ Si existe una sucesión (xn )∞
n=1 en S tal que xn −→ x. Entonces para todo U ∈ E(x), existe
un no tal que n > no implica que xn ∈ U , es decir U ∩ S 6= ∅ y por tanto x ∈ S.
La propiedad anterior para los puntos adherentes permite dar dos caracterizaciones más, una para
un conjunto denso, y otra para los puntos frontera.
Proposición 4.3.7. Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S ⊂ X un subconjunto. Entonces S es
denso en X si, y sólo si para todo x ∈ X, existe una sucesión (xn )∞
n=1 en S tal que xn −→ x.
Demostración. Simplemente hay que tener en cuenta la definición de conjunto denso y la proposición anterior.
Proposición 4.3.8. Sea (X, d) un espacio métrico, y sea S ⊂ X. Un punto x ∈ X es un punto
∞
frontera de S si, y sólo si existe una sucesión (xn )∞
n=1 en S y otra (yn )n=1 en X r S, tales que
xn −→ x e yn −→ x.
Demostración. De nuevo, sólo hay que tener en cuenta la definición de punto frontera y la
proposición [4.3.6].