Primera Parte Nociones Fundamentales

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA
ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE
* Parte I: Nociones Fundamentales.
* Parte II: Límites y Continuidad
Primera Parte
Nociones Fundamentales
1.1 Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más
elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números
que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los numeros
enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o
negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto
de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un
cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos
números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este
conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz
cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número π) que poseen infinitos decimales
pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama
"números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales,
formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto
suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en
correspondencia con los infinitos números de R.
Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos
entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y
menores (o iguales) a "b".
1.2 Función (de una variable real).
Por ahora consideraremos el conjunto R, o bien subconjuntos de R, para dar la
definición de función de una variable.
Una función de una variable es una aplicación de R (o un subconjunto de R)
en R, tal que a cada número real se le hace correspoder un único número de R,
mediante una expresión matemática. Por ejemplo:
f : R ----> R
x ----> x² + 1
En este ejemplo tenemos definida la función f(x) = x² + 1 (expresión
abreviada), o bien y = x² +1. En esta función se hace corresponder al número
-4 el 17, al -3 el 10, al -2 el 5, al 0 el 1, etc.
Lo cual se expresa: f(-4) = (-4)²+1 = 17;
f(-3) = (-3)²+1= 10;
f(-2) = (-2)²+1 = 5;
f(0) = 0²+1 = 1
A los números 17, 10, 5, 1 ... se les llama "imágenes por f" respectivamente
de los valores -4, -3, -2, 0, ...
Esta función puede representarse mediante un gráfico, colocando en un eje
horizontal los valores posibles para la variable x (todo el conjunto R), y
colocando un punto para cada una de sus imágenes. En este caso tendremos la
gráfica de y = x² + 1:
1.3 Conjuntos notables para una función.
Dada una función, y = f(x), son destacables dos conjuntos: (1) Dominio de
definición de la función, (2) Conjunto imágen de f. El primero está formado
por todos los números x que tienen imágen para la función f, mientras que el
segundo está compuesto por todos los números y que son alguna vez imágen
de algún x para la función f.
Para el caso de la función y = x² + 1 ambos conjuntos (dominio y conjunto
imagen) son todo R, pero esto no siempre es así. Por ejemplo, para la función:
El valor x = 1 no tiene imagen, puesto que 5/0 no se halla definido en R, y en
este caso el dominio de esta función es todo R excepto el número 1
(matemáticamente se expresa: R \ {1}.
Por otra parte, nosotros podemos definir una función y = x² + 1 pero cuyo
dominio fuera sólo el intervalo [-1, 1], en este caso la gráfica de la función
debería restringirse en el eje x a ese dominio [-1, 1], y no a todo R como la
función que hemos dibujado anteriormente.
Dada una función y = f(x), el conocimiento de estos dos conjuntos, dominio
y conjunto imágen, es la primera cuestión que uno debe plantearse para
hacerse una idea de la gráfica -y por tanto del comportamiento- de dicha
función.
1.4 Funciones elementales.
En Cálculo se utilizan fundamentalmente unas pocas funciones, llamadas
funciones elementales, a partir de ellas se pueden construir las funciones
compuestas cuyo número es infinito. Conviene, pues, conocer a fondo estas
funciones elementales. Aquí las hemos dividido en cuatro grupos.
* Funciones aritmético-geométricas
* Funciones trigonométricas
* Funciones logarítmicas y exponenciales
* Funciones hiperbólicas
(Siga el vínculo para analizar cada grupo de ellas)
1
FUNCIONES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS
* La función identidad y = x
La función identidad, y = x (también representada I(x) =
x, es algo tan obvio como que a cada valor x se le hace
corresponder ese mismo x. Por tanto, su gráfica es:
Se trata de la diagonal "principal"
divisoria de los ejes coordenados.
* La función rotación y = m x
La función rotación, y = m x, es similar a la función
identidad -salvo que un número m está multiplicando a la x-.
En este caso, la gráfica es la misma que la anterior pero con la
línea divisoria rotada respecto la diagonal principal. Veamos
algunos ejemplos:
La recta está situada en los
cuadrantes I y III para m positivo
(como en las figuras superiores), o en
los cuadrantes II y IV para m
negativo (como en las figuras
inferiores)
En realidad el valor m de la función "y = m x" nos da el valor
de la pendiente de la recta, o sea, el valor de la tangente del
ángulo formado por el eje OX positivo y la recta, tal como se
aprecia en el gráfico:
* La función traslación y = x + n
La función traslación, y = x + n, es similar a la función
identidad pero con la adición de un número n (distinto de 0), lo
cual geométricamente equivale a "trasladar" la recta y = x
(elevándola una cantidad n, si n es positivo, o descendiéndola
en n, si n es negativo). Veamos dos ejemplos:
* La función lineal y = m x + n
La función y = mx + n representa a una línea recta
cualquiera, formada por una rotación (expresada por la
pendiente m) y por una traslación (expresada por medio de n).
Un ejemplo es:
La recta forma un ángulo de 116,5°
, o sea arc tg (-2), con el eje OX
positivo.
De cualquier forma, una función lineal de la forma y = mx +
n es útil expresarla en la forma llamada ecuación
segmentaria:
Así expresada, claramente la recta corta al eje X en a y al eje
Y en b, en nuestro ejemplo, la ecuación y = - 2x + 4 puede
ser expresada como:
en la que de manera inmediata se observan los puntos de corte
con los ejes: x=2, y=1.
* La función polinómica.
Por función polinómica nos referimos a una función de la
forma: y = Pn(x), donde Pn(x) indica un polinomio en x de
grado n, por ejemplo:
.
La gráfica de estas funciones es una curva contínua típica que
va cortando al eje X en cada una de sus raíces reales (puntos que
hacen y=0 a la función polinómica). En nuestro ejemplo, el
polinomio tiene las raíces reales y=-3, y=-1, y=1, y la gráfica
es la de la figura. Obsérvese cómo los extremos de dicha curva
se dirigen hacia el infinito, uno hacia +∞ el otro hacia - ∞.
Como caso especial y = a
parabólicas:
tienen por gráfica lineas
Para este caso la única raíz es x=0, y
las gráficas son parábolas centradas
en el orígen.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x.
Conviene que comencemos repasando la noción
trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.
Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente,
siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado
mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los
catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es
decir:
El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al
ángulo y la hipotenusa.
El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al
ángulo y la hipotenusa.
La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto
al ángulo y la hipotenusa.
La tangente puede considerarse también como el cociente
del seno entre coseno.
* Algunas observaciones y propiedades.
- En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más
bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el
concepto de "radian".
- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el
coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la
tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser
positivos o negativos:
En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla
a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y
"b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la
figura 4, "a" es negativo y "b" positivo.
- Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un
cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del
seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1.
Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier
valor.
- Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:
lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales
como:
- La circunferencia trigonométrica. Se trata de una
circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones
entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y
la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta
circunferencia.
* La función seno.
Por y = sin x (o castellanizado y = sen x ) se entiende la
función con valores de x comprendidos entre - y + ,
teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes.
Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados)
se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un
punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al
llegar al punto de partida.
Por otra parte, se considera a x positivo cuando partiendo de
las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si
fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del
reloj, y se considera a x negativo cuando partiendo de esa
misma posición hubiera girado en sentido del reloj.
En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes,
mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de x
radianes. Por ejemplo el x de las figuras de arriba podría ser un
radian, por supuesto en Matemáticas se considera que:
1 + 2 equivale a 1 radian, 1 + 4 equivale a 1, 1 + 6
equivale a 1, .....
2 - 1 equivale a - 1, 4 - 1 equivale a -1,
6 - 1 equivale
a -1, .....
En definitiva, x + 2 k (siendo k un número entero) es
equivalente a x, y por tanto se tiene que: sin x = sin (x + 2 k )
.
* Gráfica de la función y = sin x.
Observe cómo la función y = sin x es positiva en el intervalo
[0, ], y es negativa en el intervalo [ , 2 ], asimismo se
anula en los puntos x=0, x= , x=2 .
* La función coseno.
Por y = cos x se entiende la función con valores de x
comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el
coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta
que si x es superior a 2 (360 grados) es considerado un
ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente
para el caso del seno.
* Gráfica de la función y = cos x.
Observe cómo la función y = cos x es positiva en los
intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo
[ /2, 3 /2], asimismo se anula en los puntos x= /2, x=3
/2.
* La función tangente.
Por y = tg x (también denotado tan x) se entiende la función
con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo
como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante,
esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los
puntos x = k /2, para k entero (positivo o negativo).
* Gráfica de la función y = tg x.
Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo
[0, /2], y es negativa en el intervalo [- /2, 0], se anula en
los puntos x=0, x= , x=2 ... (al igual que el seno). En los
punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad:
tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia
+ por la izquierda.
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
* Funciones exponenciales.
Se llama "exponencial" a un número positivo elevado a una
variable x, por ejemplo:
Aunque la función exponencial por excelencia en
Matemáticas es
(siendo e=2.718281...), tal es así que a
esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x),
llamándola a secas "la exponencial de x".
Pero en general una función exponencial tiene la forma:
siendo a un número positivo distinto de 0.
Para dibujar las gráficas de estas funciones conviene
considerar dos casos: I) exponenciales con a > 1; y II)
exponenciales con a < 1.
* Función exponencial con a>1.
En esta gráfica puede apreciarse cómo la función exponencial
es siempre positiva; cuando x tiende a - la función tiende a
anularse, mientras que por la derecha crece muy rápidamente
hacia ( 2 elevado a 20 es superior a un millón). Toda
función exponencial con a mayor que 1 tiene una gráfica muy
similar a ésta. A este caso pertenece la función y= .
* Función exponencial con a<1.
Como puede apreciarse en la gráfica, la función exponencial
es siempre positiva, pero en este caso el comportamiento de la
función es el opuesto al caso anterior: es cuando x tiende a
cuando la función tiende a anularse, por contra, crece
rápidamamente para valores negativos de x.
* Funciones logaritmicas.
Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo N es
z, lo cual expresamos,
, si se verifica:
En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo
N es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener
ese número N
Por ejemplo, decimos que el Logaritmo decimal (base 10)
de 100 es 2, puesto que 10²=100.
En el caso de que la base sea el número e = 2,7182818... se
llama "logaritmo natural" o "logaritmo neperiano" (en honor
del matemático John Neper), lo cual se suele denotar de una de
estas formas:
Log N (sin poner la base),
Ln N
En Matemáticas generalmente se utilizan logaritmos
neperianos, y escasamente se utilizan logaritmos en otras
bases. Veamos las propiedades de los logaritmos:
* PROPIEDADES
Sean dos números positivos x, y, se tiene:
I)
log (x . y) = log x + log y
II) log (x / y) = log x - log y
III) log x = c log x
positivo o negativo, entero o no)
(siendo c un número
Casos especiales:
* log (1 / x) = - log x
con el exponente -1)
(según la propiedad II, o la III
*
exponente ½)
(puesto que la raíz equivale al
* Función logaritmo (neperiano).
Podemos observar: (1) que sólo existe logaritmo para x
positivo. (2) que para x=1 el logaritmo se anula, cosa que es
lógica pues e° = 1 -y en general N° = 1-. (3) Para el rango (0,
1) el logaritmo es negativo. (4) Para x tendiendo a 0 el
logaritmo se hace - . Y (5) el logaritmo crece lentamente
para valores positivos de x, y tiende a infinito lentamente
cuando x tiende a infinito.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Las funciones y = sinh x, y = cosh x, y = tanh x.
En forma analítica, estas funciones pueden ser expresadas de forma
análoga a las relaciones de Euler para las funciones circulares, esto es:
* gráfica de y = sinh x
La función senh x crece muy rápidamente hacia
infinito , tanto en el eje positivo como en el negativo
(hacia infinito negativo).
* gráfica de y = cosh x
La función cosh x crece muy rápidamente tanto en el
eje positivo como el negativo hacia infinito positivo.
* gráfica de y = tanh x
La función y = tanh x tiene por asíntota y=1 en el
infinito positivo, y por asíntota y=-1 en el infinito
negativo.
Algunas relaciones:
Las funciones hiperbólicas inversas:
Las funciones inversas de sinh x, cosh x, tanh x, son, respectivamente
llamadas "argumento seno hiperbólico", "argumento coseno
hiperbólico" y "argumento tangente hiperbólica" (NOTA: algunos
autores las llaman "arco seno hiperbólico", "arco coseno hiperbólico"
y "arco tangente hiperbólica"):
y = arg sinh x (función inversa de y = sinh x) ,
y = arg cosh x (función inversa de y = cosh x) ,
y = arg tanh x (función inversa de y = tanh x) .
De cualquier manera cada una de estas tres funciones tiene otra forma
analítica más manejable:
Por ejemplo, para la primera de ellas, podemos partir de:
despejar x:
por lo tanto, la función inversa del seno hiperbólico, y = arg sinh x,
puede también ser expresada:
en definitiva, las tres funciones hiperbólicas inversas son:
Cuyas gráficas son:
Observaciones:
* y = arg sinh x se hace +
infinito positivo, y se hace negativo.
(creciendo muy lentamente) en el
, asimismo lentamente, en el infinito
* y = arg cosh x sólo esta definido para valores mayores o iguales a 1,
se hace + (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo.
* y = arg tanh x sólo esta definido para valores de x comprendidos
entre -1 y +1, se hace + (creciendo rapidísimamente) en x=+1, y se
hace - , asimismo rapidisimamente, en x=-1.
1.5 Funciones compuestas.
Una función como y = cos (x² + 1) es llamada función compuesta, pues en
este caso está formada por dos funciones elementales: (1) la función coseno, y
(2) la función polinómica x²+1.
Matemáticamente se expresa así: f o g (x) (lease "g compuesta con f")
refiriendose a la composición de las funciones elementales g(x) con f(x) NOTA: Si se lee de derecha a izquierda es porque éste es el orden en el que se operan- . Así
en nuestro ejemplo:
f(x) = cos x , g(x) = x²+1 son las dos funciones elementales. Entonces:
f o g (x) = cos ( +1 )
es la función "g compuesta con f"
Si por ejemplo, queremos hallar f o g (2) , debemos hallar en primer lugar g(2)
-lo cual es 2²+1, o sea, 5- y a continuación hallar f (5) -lo cual es cos 5, o sea,
0,28366. En definitiva, la forma de operar es:
f o g (x) = f [g(x)] = cos [x²+1]
operando primeramente las operaciones de los corchetes internos.
* Podemos tener una composición de tres o más funciones elementales, lo
cual es similar a lo que aquí hemos visto. Por ejemplo, una función compuesta
de tres funciones sería:
f o g o h(x) = cos³ (x²+1)
(NOTA: Es costumbre en Matemáticas expresar las potencias del seno, coseno, etc. como
sen²x, cos³x, etc. en lugar de las más correctas: (sen x)², (cos x)³,... Así la función de arriba
sería más correcto escribirla: (cos(x²+1))³ . Fin de lo nota)
la cual está formada por las tres funciones elementales: f(x) = x³ , g(x) = cos
x , h(x) = x²+1. En donde la función potencia cúbica es la tercera (lease la
NOTA anterior) y la h(x) es la primera a la hora de aplicarse. Es decir:
f o g o h(x) = f [g [h(x)]] = (cos [x²+1])³
1.6 Funciones inversa de una función.
Dada una función f (x) , se llama "función inversa de f (x)", lo cual se
expresa
, a una función que al componerla con f(x), de cualquier
manera, a la izquierda o a la derecha, resulte la identidad. Es decir:
f(x) o
=
o
f(x)
=x
Por ejemplo, para la función f(x) = x² en el ámbito de los números positivos,
tenemos que su función inversa es:
=
lo cual significa que:
f(x) o
= (
)² = x
=
=x
o bien,
o
f (x)
Otro ejemplo nos lo dan las funciones f(x) =
mutuamente inversas:
,
= Ln x, las cuales son
* Ejercicios para el alumno
1) Determinar los dominios de definición (campos de existencia) de las
siguientes funciones:
2) Hallar los ceros de las siguientes funciones (los valores de x en los que
f(x)=0 ).
Segunda Parte:
Límites y Continuidad
1.II.1 Noción de límite de una función en un punto.
Una función y = f(x) puede no estar definida para un cierto punto,
digamos x = xo , como sucede con y = log x en el punto x = 0, o
como sucede con y = tg x en el punto x = En realidad, una
función y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño
en cierto punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles
anomalías de algunas funciones se introduce la noción de límite de
una función en un punto.
La función y = f(x) tiene como
límite L en el punto x=a.
Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a ,
debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni
siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos
extremadamente cercanos a x = a.
En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos
muy próximos a x= a, lo cual será expresado así: x→a, se llega a la
conclusión que el límite de y = f(x) "cuando x tiende al valor a" es L.
Utilizando simbología matemática, lo expresamos:
1.II. 2 Limites laterales.
Existen funciones que en un cierto punto x = a poseen una
discontinuidad, sufriendo su gráfica de un "salto", tal como se
muestra en la figura de abajo.
La función y = f(x) tiene como
límite L+ por la derecha del punto
x=a, y el límite L- por la izquierda
del punto x=a.
Para la función y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el
valor f(a) , y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x
= a (expresado así: x→a+) es L+, lo cual en simbología
matemática es:
Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la izquierda" del
punto x = a ( expresado así: x→a-) es L+, que en simbología
matemática es:
(NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen emplearse letras griegas tales
como: para referirnos a valores numéricos muy pequeños.)
Por otra parte, para que podamos hablar verdaderamente del límite
de f(x) en el punto x = a los los límites laterales deben ser iguales, es
decir, debe cumplirse:
1.II. 3 Limites infinitos.
Hay dos casos destacables de límites, tal como podemos verlo en
las gráficas de abajo
Para la función y = f(x) de la Fig. 1, f(x) tiende al valor L para x en
el infinito (geométricamente se habla de que y = L es una "asíntota
horizontal" de la curva ).
En el caso de la Fig. 2, es la función y = f(x) la que toma un valor
infinito en el punto x=a (geométricamente x=a es una "asíntota
vertical" de la curva).
En el primer caso se expresa:
Mientras que el segundo así:
1.II. 4 Algunas propiedades sobre el infinito y valores
indeterminados.
Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el
conjunto R ampliado, es decir, el conjunto de los números reales al
que se le han añadido los entes numéricos: + , - . Conviene, por
tanto, tener claras algunas propiedades de estos entes, así como
valores que son indeterminados en este conjunto:
* Para cualquier número n (incluido el 0): n/
= 0.
* Para cualquier número n positivo (distinto de 0): n .+
n .(- )= - .
=+
,
* Para cualquier número n negativo (distinto de 0): n .+
n .(- )= + .
=-
,
* Para el caso del 0:
+
0.+
* Para números n positivos +
/n = - .
y 0 . (-
) son Indeterminados.
/n = +
, pero para n negativos
* Para el caso del 0: + /0 =
, así como - /0 = , pero en
ambos casos el signo del infinito es Indeterminado . Algo similar
sucede cuando dividimos un número entre cero: 3/0 = , -3/0 =
(el signo del infinito es indeterminado, aunque sí podemos asegurar
lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la izquierda de 0 ).
* Asimismo son Indeterminados:
/
signo).
(con cualquier signo),
-
, 0/0 , 0° ,
° (cualq.
La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos
acostumbramos a imaginar a + , como 1/(+0), y a - , como 1/(+0) -entendiendo por +0 un número positivo muy pequeño-.
1.II.5 Propiedades de límites.
Sea dos funciones f(x), g(x) tales que en cierto punto x = a, sus
límites respectivos son A y B, es decir:
entonces se tiene que:
pero siempre debemos desacartar las expresiones indeterminadas
como las anteriormente citadas.
1.II.6 Cálculo de límites.
Sea una función y = f(x) , si queremos hallar el límite de esa
función en un determinado punto x = a, lo primero que haremos será
hallar f(a), ante lo cual pueden suceder tres casos.
I) f(a) tiene un valor claro y unívoco.
II) No podemos hallar f(a) , bien porque f(x) no tiene imagen en
el punto x = a, o porque nos da un valor indeterminado.
III) f(a) nos da un valor infinito.
Para el primer caso, podemos decir que ese mismo valor de f(a) es
el propio valor del límite. Esto sucede en las regiones continuas de y
= f(x) . Por ejemplo:
Ejemplo 1: Hallar el límite en el punto x = 2 de la función y = x²
+1 .
Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f(2) = 5.
Ejemplo 2: Hallar el límite en el punto x = 1 de la función :
Para este caso, si hallamos el valor de la función en x = 1
obtenemos f(1) = 0/0, que es uno de los casos de indeterminación, lo
cual no significa que es imposible hallar el límite de f(x) en ese
punto, sino que debemos "operar" para eliminar la indeterminación
(por lo general toda indeterminación puede ser determinada). Por
ejemplo podemos descomponer en factores el numerador de la
fracción:
Al cancelar el factor (x -1) en el numerador y denominador hemos
conseguido eliminar la indeterminación. Numerosas
indeterminaciones nos aparecen cuando hallamos límites en el
infinito, como en los próximos ejemplos.
Ejemplo 3: Hallar el siguiente límite en el infinito:
En principio si sustituimos x por + , nos encontramos con la
indeterminación - , en estos casos suele funcionar multiplicar y
dividir por la misma expresión pero con el signo positivo, es decir:
Ejemplo 4: Hallar el siguiente límite en el infinito:
Si sustituimos x por + , nos encontramos con la indeterminación
/ . Para estos casos de cocientes de polinomios en el infinito, se
sigue la regla: " Dividir numerador y denominador por la potencia
máxima del denominador", que en nuestro caso es x³:
teniendo en cuenta que las potencias 1/x, 1/x², etc. son 0.
Hasta ahora hemos visto situaciones de los dos primeros casos,
veamos ejemplos del tercer caso, es decir, cuando en x = a el valor
de f(a) se hace infinito o impreciso (entendemos aquí por impreciso
cuando los valores que toma la función en x = a+ y en x = a-
difieren notablemente). Cuando nos encontremos en estas
situaciones, pasaremos a hallar los límites laterales.
Ejemplo 4: Hallar el límite de la función y = 5/(x-2), en el punto
x=2.
Al hallar f(2) nos encontramos con 5/0, o sea
pero sin precisar
el signo. Hallemos, pues, los límites laterales. Para ello
consideraremos una cantidad infinitesimal positiva , que le
añadimos al punto x=2 para hacer el límite por la derecha, y que le
sustraeremos al x=2 para hacer el límite por la izquierda, a
continuación hacemos el límite cuando ->0. Veamoslo:
* Por la derecha de x=2:
aquí sabemos que 5/0 es + , pues la cantidad es pequeñísima pero
positiva (algo así como si fuera +0,00000000001).
* Por la izquierda de x=2:
ahora tenemos -5/, siendo ese número pequeñísimo pero positivo
(imaginemos algo como antes: +0,00000000001), por tanto es el
mismo resultado que antes pero con signo negativo.
Ejemplo 5: Estudiar lo que sucede en x=0 para la función
:
Al tratar de hallar f(0) nos encontramos con el número e elevado al
infinito impreciso, por lo tanto pasemos a hallar los límites laterales:
En este caso el límite por la derecha de x=0, es decir para x=0+ ,
nos conduce al número e elevado a 1/ (para esta expresión
imaginense, como siempre, algo así como 1/ +0,00000000001), cuyo
resultado es e elevado a + , o sea, + .
En este límite por la izquierda de x=0, es decir para x=0- , nos
conduce al número e elevado a -1/, una potencia negativa cuyo
resultado es la inversa de la potencia positiva , la cual, al igual que
antes, es e elevado a + , o sea, nos da el inverso de + , que es el
0.
* EJERCICIOS SOBRE CÁLCULO DE LÍMITES.
Hallar los 10 límites indicados:
a) -
Soluciones:
(izq.) . b) 1 . c) 4 . d) -1/6. e) 12. f) 1/2 (dch.), -1
(izq.) .
g) 0 (dch.), + (izq.) . h) 1. i) 0 . j) 1.
(dch.), +
1.II.7 Algo más sobre límites de funciones.
No crea que el cálculo de límites es una tarea simple, en realidad, la
gran variedad de funciones posibles y los más de siete tipos de
indeterminación, complica mucho en ocasiones este cálculo. Por eso
vamos a concentrarnos en algunos métodos sistemáticos para este
cálculo.
I. El método exponencial para resolver la indeterminación
.
II. La regla de L'Hôpital.
III. Utilización de infinitésimos para cálculo de límites.
(Siga el vínculo para ir a cada uno de estos temas)
Finalmente, debemos ser consciente de que no siempre existe límite
de una función en un punto, y no solamente porque los límites
laterales sean distintos (como hemos dicho en la cuestión 2.3), es que
en ocasiones ni siquiera existen estos límites laterales. Consideremos
por ejemplo la función
y = log x
para el punto x = 0 podemos hallar el límite por la derecha de x = 0,
es decir:
sin embargo, no podemos hallar el limite a la izquierda de x = 0,
puesto que no existen logaritmos de números negativos. Entonces
decimos que ese límite a la izquierda no existe. Por supuesto, para un
punto tal como x = -5 no existe ninguno de los límites laterales, pues
log x sólo tiene existencia en la zona positiva de x.
Otro caso son funciones como y = sin x, y = cos x, u otras
funciones periódicas, que al tratar de hallar su límite en cualquiera de
los infinitos, nos encontramos sin poder decidir cuál es su valor allí
(en realidad el infinito no es un punto sino una zona definida algo
imprecisamente, y la igualdad = +1, provoca conflicto en este
tipo de funciones). Por lo tanto, hemos de decir que no existe el
límite:
Sin embargo, debe notarse que el producto o cociente de una
función cuyo límite es inexistente con otra en la que sí exista puede
conducir a un límite con existencia. Por ejemplo:
Aquí la función 1/x tiene por límite 0 en el infinito, que al
multiplicarla por el seno de infinito no puede dar otra cosa que 0.
1.II.8 Continuidad de una función en un punto x=a.
Una función y = f(x) es continua en un punto x=a si la función está definida
en un entorno del punto x=a, la función tiene límite en ese punto x=a, y
además ese límite coincide con el valor que toma la función en x=a.
Esto lo podemos expresar esquemáticamente en:
Las funciones discretas (aquellas definidas solamente en puntos aislados)
fallan al primero de los puntos.
Discontinuidad
Existen funciones con puntos o regiones de discontinuidad en el que falla
alguno de estos puntos.
I)
Discontinuidad evitable: Si falla el punto (3), es decir, si no existe
f(a), o bien, este f(a) es diferente al límite de la función en x=a.
II)
Discontinuidad de 1ª especie: Falla el punto (2). Cuando los límites
laterales (por la derecha y por la izquierda) son distintos.
III)
Discontinuidad de 2ª especie: Cuando al menos uno de los límites
laterales no existe.
Ejemplo 1: Consideremos la función:
Esta función tiene un punto de discontinuidad en x=1, pues no existe f(1).
Veamos su límite en este punto:
Existe el límite de la función en x=1. Se trata, pues, de una discontinuidad
evitable en x=1. La gráfica de esta función sería:
Ejemplo 2: Sea la función:
Esta función tiene un punto de discontinuidad en x=0, pues no existe
f(0) ya que los limites laterales son distintos en ese punto: