Ideas estocásticas fundamentales 1 Obj ti Objetivos Experimentar E i t un proceso de d aprendizaje di j de d ideas estocásticas fundamentales a partir de una situación didáctica adecuada para Educación Secundaria. Introducir algunos tipos de análisis didácticos propuestos por Godino, Font y Wilhelmi (2008), ejemplificándolos en la situación. Analizar las posibles dificultades y razonamientos incorrectos de los estudiantes. 2 Ideas estocásticas fundamentales ¿Qué contenidos enseñar en la clase la probabilidad? ¿Cuáles son realmente las ideas que servirán al alumno en sus estudios y su vida? ¿Con qué criterios podríamos elegirlas? Aparecen en cualquier situación aleatoria Son contraintuitivas y deben ser educadas Pueden enseñase con diversos grados de formalización desde la escuela a la universidad Papel fundamental dentro del desarrollo del cálculo de probabilidades 3 Bruner "El proceso de educación" El principio decisivo de instrucción es transmitir las ideas fundamentales. Las ideas fundamentales son una guía desde la escuela primaria a la universidad –Se usarán en diferentes niveles cognitivos g y lingüísticos g en una "espiral curricular". –La transición i ió a un nivel i l cognitivo ii superior se facilita si el tema ha sido estudiado en etapas anteriores. 4 ¿Por qué es importante? ¿Cómo se desarrolla? Intuición para Fischbein Es global, E l b l se opone a llo analítico lí i Tiene certeza intrínseca Tiene capacidad explicativa y extrapolatoria Es dificil de cambiar (coercitiva) Intuiciones Correctas y erróneas Primarias y secundarias 5 Las intuiciones en probabilidad son con frecuencia erróneas La estadística y probabilidad no se ha enseñado hasta la adolescencia, cuando las intuiciones primarias están ya formadas Es importante proporcionar una experiencia aleatoria desde los primeros años 6 Idea Fundamental Universidad Bachillerato Secundaria Proporciona Modelos explicativos Primaria Varia en Nivel Intuitivo Nivel cognitivo Nivel linguístico g 7 Generalidad Probabilida d Espacio p muestral Independencia Muestra Ley de los grandes números Equidistribución y simetría Variable aleatoria Simulación 8 Regla de la Adición Ideas Fundamentales en Estocástica Combinatoria (Heitele, 1976) Actividad Plantearemos un Juego Plantearemos un Problema a resolver Reflexión sobre las ideas estocásticas que q aparecen Reflexión sobre la metodología didáctica 1. 2. 3. 4. 9 Tengo tres fichas. Una tiene las dos caras rojas; la otra las dos azules y la tercera una cara roja y la otra azul. azul Saco al azar una ficha y enseño una cara. Hay que adivinar el color de la cara oculta Se gana un punto cada vez que se adivina el color Gana el que consiga más puntos 10 Registro de los datos (10 ensayos) 1 Color Mostrado Color previsto Color de la Cara oculta 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Probabilidad (medida de creencia) En el lenguaje ordinario usamos expresiones verbales p para cuantificar la incertidumbre Estas expresiones son poco precisas. Es fundamental asociar a cada suceso un valor numérico éi La probabilidad reduce el complejo mundo que nos rodea al intervalo [0 [0.1] 1] y lo hace accesible a los métodos matemáticos Sin embargo, la probabilidad como idea matemática tarda en desarrollarse y adquiere distintos sentidos 12 Teoría Clásica: Abraham de Moivre (1718 ,The doctrine of chances) “Si consideramos la fracción cuyo denominador es ell número ú d de posibilidades ibilid d que pueden d realizar un suceso y el denominador el número de p posibilides q que p pueden o p pueden no realizarlo,, esta fracción es una verdadera definición de su probabilidad” Laplace (Essai philosophique sur les probabilités, 1812) Proporción del número de casos favorables al número de casos posibles, siempre que todos los casos sean equiprobables” equiprobables 13 Teoría Clásica: Controversias en la definición 1. El decidir si los sucesos son equiprobables puede ser subjetivo. Características: Aplicable en juegos de azar (los primitivos problemas surgieron en este campo) E circular, Es i l ya que ell té término i que se d define fi entra en la definición Ess muy uy restrictiva, est ct a, no o puede ap aplicarse ca se e en: casos no equiprobables infinitos sucesos 14 Uso escolar de la concepción clásica Los niños se di divierten ierten con los jjuegos egos de a azar ar y juegan incluso fuera de la clase de matemáticas El cálculo de los casos posibles podría requerir razonamiento combinatorio que es difícil para el niño No se puede mostrar toda la aplicabilidad de la probabilidad sólo con jjuegos p g de azar 15 Teoría frecuencial: La estabilidad de las frecuencias, y la demostración por Bernoulli que la probabilidad “clásica” refleja esta convergencia lleva a la idea que la probabilidad es una característica objetiva de los sucesos aleatorios “Límite Límite al que tiende la frecuencia relativa al aumentar la serie de experimentos” (Von Mises, 1928, Probability, Statistics and Truth) 16 •Características: •Amplía A lí la l concepción ió clásica lá i y ell campo de d aplicaciones •Conecta la estadística con la probabilidad •Se restringe g a experimentos p repetibles p en idénticas condiciones •Controversias Controversias •¿Cómo podemos saber que las condiciones son idénticas? •¿Cuál es el número mínimo de experimentos necesarios i para estimar ti la l probabilidad? b bilid d? 17 Uso escolar de la definición frecuencial En los nuevos currículos se recomienda comenzar la probabilidad con experimentos y simulaciones i l i Los alumnos se interesan por los experimentos y simulación Permite ampliar las aplicaciones Dificultad de gestión de la clase Los experimentos de diversos alumnos convergen a distintos valores Se añade un tiempo a la clase Tecnología (disponibilidad) 18 Probabilidad subjetiva: Regla de Bayes Si Ai son los sucesos que pueden llevar a unos datos D, las probabilidades finales de los sucesos P(Ai/D), conocidas id sus probabilidades b bilid d iiniciales i i l P(Ai) y verosimilitudes P(D/Ai) vienen dadas por: P(Ai) x P(D/Ai) P(Ai/D)= ( ) P(A1)× P(D/ A1) + P(A2 )× P(D/ A2 ) +... + P(An )× P(D/ An ) Las probabilidades de los sucesos pueden ser revisadas por la experiencia y pierden su carácter objetivo objetivo. 19 Teorías Subjetivas: “La probabilidad p(E/H) es una medida en la escala [0,1] de la verosimilitud que una persona concede a un suceso E en las condiciones H” Características: C t í ti Condicionada a la información H Carácter C á t subjetivo, bj ti depende d d de d la l persona La asignación de probabilidades debe respetar postulados de coherencia Permite revisarla en función de la nueva información 20 La probabilidad subjetiva en la escuela Los niños tienen ideas subjetivas sobre la probabilidad de los sucesos que podrían cuantificar en una “escala de probabilidad probabilidad” Se puede ver la estadística /probabilidad como proceso de aprendizaje 0 ½ 1 0 10 5 10 10 10 21 Probabilidad axiomática: Kolmogorov Se parte de un algebra de sucesos Es cualquier aplicación que satisface los axiomas (E, A) A [0, 1] P(A) (A) •P(E) = 1; E = Suceso seguro •∀Aε A 0 ≤ P(A) ≤ 1 • Si A ∩ B = ∅, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 22 Esta definición no indica cómo interpretar o asignar la probabilidad ¿Qué concepción de probabilidad seria deseable enseñar en la escuela? Expresar p las creencias p personales y revisarlas en función de la nueva información (p. subjetiva) Adquirir una experiencia de lo aleatorio y apreciar la utilidad de la estadística para interpretar los datos (p. frecuencial) Construir modelos matemáticos que expliquen los fenómenos aleatorios y ayuden a tomar decisiones informadas (p (p. clásica) El modelo formal axiomático es el último paso 23 Problema ¿Aparece la idea de probabilidad? ¿Cómo? ¿Hay H alguna l estrategia t t i que permita it ganar más á puntos? CONSIGNA Pensar si existe esta estrategia No comentar la estrategia con los compañeros Explicar por escrito por qué la estrategia es buena Repetimos el juego. Ahora cada uno juega con 24 su estrategia Registro de los datos (10 ensayos) 1 Color Mostrado Color previsto Color de la Cara oculta 25 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. El espacio muestral Es fundamental listar todos los sucesos que podrían ocurrir (conjunto de posibilidades) Permite expresar cualquier otro suceso como parte de este conjunto (espacio muestral) Permite interpretar operaciones lógicas con sucesos Unión: Ocurrencia de al menos un suceso Intersección: Ocurrencia simultánea Complementario: Suceso contrario Producto... 26 2. El espacio muestral 27 Ha posibilitado una axiomática satisfactoria P Permite it ttareas de d comparación ió d de probabilidades a edades tempranas: si un suceso está contenido en otro su probabilidad es menor Generalmente se supone que los niños identifican claramente el espacio muestral del experimento y no se presta atención en la enseñanza Ejemplo: Al lanzar dos dados, dados ¿cuáles sumas son más probables? Espacio muestral supuesto por el profesor 11, 12, 13, 14, 15, 16 21, 22, 23, 24, 25, 26 31, 32, 33, 34, 35, 36 41 42 41, 42, 43 43, 44 44, 45 45, 46 51, 52, 53, 54, 55, 56 61, 62, 63, 64, 65, 66 28 Espacio muestral supuesto por el alumno 11, 12, 13, 14, 15,16 22, 23, 24, 25, 26 33, 34, 35, 36 44, 45, 46 55 56 55, 66 3. Regla de adición de probabilidades Una característica de las matemáticas es construir modelos complejos a partir de otros más sencillos La regla de la suma es un buen ejemplo P(A∪B) = P(A) + P(B) Permite calcular la probabilidad de sucesos complejos dividiendo el problema en partes Consecuencia: probabilidad del suceso contrario P(Ā ) = 1- P(A) 29 Sucesivas generalizaciones g P(A∪B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A1∪ A2... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(An) P (∪ Ai)= ∑ P (Ai) 1 x2 P(x1 < X < x2 ) = ∫ n(x; μ, σ )dx = x1 30 σ ∫ 2π x2 x1 e −1 / 2[( x−μ ) / σ ]2 dx Mediante la regla del producto es posible la composición no sólo de sucesos, sucesos sino también de experimentos E= E1 x E1 c+ Al igual que la regla de la suma, podremos extenderla sucesivamente E= E1 x E2.... x En c + + c c + c+ + + c c + c + + c c + c+ + + c c + c + + c c + c+ + + c c + c + + c c + c+ + + c c + + + c c + c + + c c + c+ + + c c + c + + c 31 4. Independencia y regla del producto Independencia: Ejemplo de la diferencia entre el modelo teórico y la aplicación a la realidad P(A∩B) = P(A) . P(B) Al lanzar dos monedas,, P(CC)=P(C).P(C) ( ) ( ) ( ) ¿Son independientes las caras (mostrada y oculta) en el juego? 32 La probabilidad condicional Medida del cambio en nuestras creencias con la nueva información y nuevos datos Facilidad de entender entender, difícil de aplicar Independencia y probabilidad condicional son ideas básicas en la mayor parte de los procedimientos estadísticos 33 Probabilidades diagnósticas Hay muchas situaciones en que nos interesa la probabilidad de un suceso, dada una información posterior: Pruebas médicas; dado un síntoma, ¿está ¿ enferma la persona? Juicios: Un acusado se declara inocente, ¿es realmente l t inocente? i t ? Evaluación: Dado el examen que hizo el alumno, ¿tengo garantía que comprende el tema? 34 La narcolepsia es un trastorno del sueño y 1 de cada 1000 personas sufre narcolepsia. Supongamos p g q que una p prueba de narcolepsia p da positiva en 99 de cada 100 personas enfermas También en 2 de cada 100 personas sanas Una persona que se encuentra fatigada con f frecuencia, i pero no titiene otros t síntomas, í t se hace h la l prueba y le da positiva ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sufra narcolepsia? 35 0,99 + Narcolepsia 0,001 P(N ∩+) =0,001x0,99=0,00099 0,01 — P(+) 0,999 Sano 0,02 + P(S ∩+) =0,001x0,99=0,00099 0,98 — P ( N ∩ + ) 0, 00099 = = 0, 0 P( N / +) = 04721 7 P (+) 0, 02097 36 5. Equidistribución y simetría Si hay simetría física, todos los casos son equiprobables Es la primera idea estratégica sobre el modo de asignar probabilidades Difi lt d de Dificultad d aplicación: li ió ¿Hay H verdaderamente d d t simetría? Los alumnos con frecuencia tienen un sesgo de equiprobabilidad Cuándo lanzamos dos dados simultáneamente, ¿Cuál de las sumas es más probable? 37 Die1 Die2 Rolls Die1 Die2 Rolls Die1 Die2 Rolls 1 0 2 0 1 2 0 0 1 3 1 2 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 2 0 0 1 0 1 2 1 0 1 http://nces.ed.gov/nceskids/probability/dice_handler.asp 38 6. Variable aleatoria 39 Permite el desarrollo del cálculo de probabilidades que pasa de interesarse por sucesos a estudiar distribuciones de probabilidad Numerosas aplicaciones Tres ideas básicas: Distribución Diversos modelos q que se p pueden observar en la realidad: uniforme, normal,... Resultados de 1000 lanzamientos de 1 dado 200 f frecuen ncia 160 120 80 40 0 1 40 2 3 4 5 6 1000 puntuaciones en las pruebas de C I frecu uencia 100 80 60 40 20 0 50 70 90 110 coef1000 f1000 41 130 150 Esperanza: Tendencia promedio Tendencia, promedio, cantidad equitativa representante, centro de gravedad Varianza: Variabilidad, homogeneidad, dispersión Medias y d. típicas en distribuciones normales 0,08 Mean,Std. dev. 100 15 100,15 120,15 100,5 0,06 0,04 0,02 0 0 42 40 80 120 x 160 200 El espacio muestral del experimento compuesto se construye con métodos combinatorios Las operaciones p combinatorias se definen a p partir de la idea de muestreo Muestra Con reemplazamiento Sin reemplazamiento Ordenada VR V No Ordenada CR C El razonamiento combinatorio no se desarrolla espontáneamente en todos los sujetos 43 •Fischbein ha sugerido la necesidad de la instrucción que no debe enforcarse sólo en las instrucción, fórmulas •Importancia Importancia del diagrama en árbol para visualizar esta relación •Importancia de las actividades de enumeración y el trabajo con material manipulativo 44 Ot ejemplo: Otro j l Una bola se suelta en E. Si sale l por R, R ¿qué ¿ é es más probable, que haya seguido g el canal I,, o que q se haya ido por el canal II? 45 Resolución del problema Si lanzo 100 bolas por E 50 van por I y 50 por II De las 50 que van por II 25 van a R 75 llegan a R De ellas 50 pasaron por I P(I/R)=2/3 P(I/R) = P(I∩R) = P(R) 46 P(I)_____ = P(I∩R) + P(II∩R) 1/2____ = 2/3. 1/2 +1/4 La ley de los grandes números indica que, a la larga la frecuencia de un suceso tiende a su larga, probabilidad Esta ley se comprueba empíricamente Su demostración teórica está fuera del nivel escolar 47 Variabilidad local y regularidad global Hacen posible el cálculo de probabilidades de muchos sucesos Dificultades A veces esperamos una convergencia demasiado exacta (ley de los pequeños números) Las experiencias en clase no siempre convergen en el sentido deseado 48 Nuevo puente entre probabilidad y estadística Todo muestro conocimiento se basa en el muestreo D id Dos ideas contrarias t i ) representatividad ) variabilidad El razonamiento a o a e to estad estadístico st co es pa parte te de del pensamiento crítico Un prejuicio es un juicio basado en una muestra no representativa 49 Introduce una nueva complejidad en el estudio, al considerar simultáneamente los “mismos” objetos en diferentes niveles de abstracción: Ejemplo: la media _ x Media de los datos de la muestra Media de la variable en la población Media de la muestra como variable aleatoria μ Media _ X de todas las posibles medias muestrales _ ⎡ ((distribución muestral de medias)) E X ⎤ = μ 50 ⎢⎣ ⎥⎦ _ Lista de estrategias, ¿cuál es la mejor? 1. 2. 3. 4. 5. 51 Apostar siempre al mismo color p al color mostrado p por el p profesor Apostar Apostar al color contrario del mostrado p al azar Apostar Tener en cuenta los colores que salieron en los ensayos y anteriores.... P Para resolver l ell problema: bl m Comparar: Probabilidad de obtener l fi la ficha h con las l caras iguales Probabilidad de obtener la ficha con las caras de di ti t color. distinto l 52 Paso previo: Considerar cada ficha como un par de d caras (R,R) (R,A), (AA) identificando correctamente el espacio muestral Ficha elegida g 53 Cara mostrada Cara oculta RR R R R R RA R A A R AA A A A A Análisis didáctico 1: Objetos matemáticos Problema: Encontrar la mejor estrategia Lenguaje: palabras, símbolos, gráficos, tablas Conceptos Procedimientos: algoritmos, operaciones, ... Propiedades Argumentos 54 Ejemplos Tipo Objeto matemático C Conceptos t Procedimientos 55 Experimento E i t aleatorio ...... Listar los sucesos del d l espacio muestral .... Significado en la situación Elegir El i una fificha h Mostrar una de las dos caras RR, RA, AR Ejemplos Tipo Objeto matemático Significado en la situación P bl Problemas Encontrar E t la l mejor j Hallar H ll lla estrategia probabilidad de obtener rojo j /azul Propiedades 56 Equiprobabilidad .... ¿Son iguales las probabilidades? S Segundo d nivel i l de d análisis áli i Pensar algunas posibles dificultades de los alumnos en esta tarea Lo ocurrido en la sesión puede dar pistas de las dificultades 57 P ibl difi Posibles dificultades lt d Construir el experimento compuesto Enumerar el espacio p muestral Decidir sobre la dependencia /Independencia... ..... 58 T Tercer nivel i l de d análisis áli i Diferentes fases didácticas en la tarea ¿Puedes diferenciar fases en las que ¿ q el trabajo j en el aula es diferente? O ¿es homogénea la forma de trabajo en el aula? 59 Conclusiones ¿ esta lista de ideas completa? ¿Es p ¿Qué otras ideas son básicas para comprender la probabilidad? ¿Como podemos aplicar la lista? Al diseño de situaciones didácticas En la evaluación ¿Para comprender las dificultades de los alumnos? 60 Reflexiones sobre la metodología del juego “juego” Situaciones didácticas Acción (juego, búsqueda de la estrategia) Formulación (anotar los resultados, comunicar las estrategias a los demás) Validación (Debate sobre cuál es la mejor estrategia, demostración) Institucionalización (Llegar a una acuerdo sobre la solución l ió correcta t d dell problema) bl ) 61 El trabajo del alumno Resolver R l problemas bl Formular, comunicar, probar Descontextualizar (generalizar el conocimiento matemático) El trabajo del profesor Contextualizar: buscar buenos problemas para ayudar a construir el conocimiento matemático El aprendizaje se produce al resolver el problema 62 Muchas gracias por la cooperación Recogidas las respuestas de los que quieran darlas, en un par de meses pondremos los resultados en Internet 63 64