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Escuela Universitaria de
Ingeniería Técnica Aeronáutica
Expresión Gráfica en la Ingeniería
INGENIERÍA GRÁFICA
6. LÍNEAS Y SUPERFICIES.
6.1. Líneas
6.1.1. Generación
6.2 Superficies.
6.2.2 Clasificación y Generación
6.3 Radiadas Adaptadoras
6.4 Regladas Alabeadas
6.5 Intersección de superficies
José Juan Aliaga Maraver
INGENIERÍA GRÁFICA: Información Técnica
6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
SUPERFICIES
SUPERFICIES REGLADAS
ALABEADAS
José Juan Aliaga Maraver
GIE: VGG
OCW UPM
INGENIERÍA GRÁFICA: Información Técnica
6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Introducción
• ¿Cómo podemos unir dos líneas que se cruzan por medio de una
superficie suave y continua?
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Superficie que contenga a dos
líneas que se cruzan
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Superficie que contenga a dos
líneas que se cruzan
GIE: VGG
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Superficie que contenga a dos
líneas que se cruzan
GIE: VGG
OCW UPM
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Superficie que contenga a dos
líneas que se cruzan
GIE: VGG
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
SUPERFICIES ALABEADAS
• Son las generadas por el movimiento de una línea recta, de tal
modo que dos posiciones consecutivas sean líneas que se
crucen.
• No se pueden desarrollar, en contraste con las de simple curvatura
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
SUPERFICIES
ALABEADAS
g
c
P
tp
β
tB
b’
α
B
a
b
A
tA
I
GIE: VGG
OCW UPM
π
a’
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
RECTAS: GRADOS DE
LIBERTAD
Xp, Yp, Zp
Q (x, y, z)
Xq, Yq, Zq
¿ Seis parámetros ?
P (x, y, z)
r
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
RECTAS: GRADOS DE LIBERTAD
Una recta queda determinada por cuatro datos simples
Si se determinan tres de ellos, queda un grado de libertad.
El lugar geométrico de sus posiciones es una superficie reglada
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Restricciones
•
•
•
•
Línea directriz (pertenencia)
Plano director (paralelismo)
Cono director (angularidad)
Núcleo director (Incidencia: tangencias)
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Metodología de análisis
• Descomposición del problema dado en problemas más
elementales
• Generalización del resultado
• Búsqueda de elementos notables
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Descomposición del problema dado en
problemas más elementales
r
Descomposición
P
s
r
t
s
Resolución
Generalización
P
t
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Problemas fundamentales
• Lugar geométrico de rectas que pasan por un punto y contienen a
una recta dada
• Lugar geométrico de rectas que pasan por un punto y contienen a
una curva dada
• Intersección de dos planos
• Intersección de plano y superficie radiada
• Intersección de dos superficies radiadas
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Rectas que pasan por un punto y contienen a una recta dada
P
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
P
GIE: VGG
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
P
r
I
r1
GIE: VGG
I1
P1
OCW UPM
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
P
c
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Rectas que pasan por un punto y contienen a una curva dada
P
c
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Rectas que pasan por un punto y contienen a una curva dada
P
c
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Recta que pasa por un punto y corta a
otras dos dadas
P
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Recta que pasa por un punto y corta a
otras dos dadas
P
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Recta que pasa por un punto y corta a
otras dos dadas
P
r
s
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Intersección de plano y superficie radiada
V
.
El plano contiene al vértice de la superficie radiada
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
CLASIFICACIÓN
Tres líneas directrices
Dos líneas directrices y plano director
Dos líneas directrices y cono director
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Tres líneas directrices
• Tres rectas: Hiperboloide hiperbólico
• Dos rectas y una curva
• Una recta y dos curvas: Superficie cónica alabeada: Cuerno de
vaca
• Tres líneas curvas
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Dos líneas directrices y plano director
• Dos rectas: Paraboloide hiperbólico
• Una recta y una curva: Conoides y helicoides rectos
• Dos curvas: Cilindroides
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Dos líneas directrices y cono director
• Dos rectas: Hiperboloide concoideo
• Una recta y una curva: Helicoides oblicuos
• Dos curvas: Helicoides oblicuos
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
s’’
Hiperboloide hiperbólico
r’’
t’’
r’
s’
t’
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Paraboloide hiperbólico
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6 Líneas y Superficies
Paraboloide6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
hiperbólico
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Q(10)
Q(10
9
8
7
6
5
h(0)
h(0
4
3
2
1
P(0)
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Cuerno de vaca
c1’’
c2’’
c2’’’
c1’’’
r’’’
r’’
c2’
r’
c1’
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Cuerno de vaca
c2
r
c1
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Conoide
• Superficie alabeada de plano director, cuya línea recta generatriz
se mueve en contacto permanente con una directriz recta y otra
curva.
• Si la línea recta directriz es perpendicular al plano director será
un conoide recto, de otra manera será un conoide oblicuo.
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Conoide recto
c
r
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Conoide recto
c’’’
c’’
r’’
r’’’
c’
r’
r
GIE: VGG
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Conoide oblicuo
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Conoide oblicuo
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Cilindroide
• Superficie alabeada de plano director, cuya línea recta generatriz
se mueve en contacto permanente con dos directrices curvas.
• Las directrices curvas pueden ser planas o alabeadas (simple o
doble curvatura), aunque en la práctica suelen ser círculos o
elipses, colocadas en planos no paralelos
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Helicoide
• La forma general del helicoide, es la de una superficie alabeada
cuya línea recta generatriz se mueve de tal modo que está
siempre en contacto con dos hélices concéntricas, que sirven de
directrices, formando un ángulo constante con sus ejes.
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6 Líneas y Superficies
Hélice.
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
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Hélice.
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Helicoide axial recto.
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Helicoide axial de cono
director.
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6.4 Superficies Radiadas
Adaptadoras.
e
2
Helicoide recto
D2
C2
φ2
P
ω2
ω2’
A2
T2
B2
A2
A2
D1
e1
ω1-ω1’
φ1 T 1
A1
B1
C1
GIE: VGG
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Helicoides
GIE: VGG
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
OCW UPM
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6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Hiperboloide
6´
Círculo de garganta
5´
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4´
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Eje
aTbT
3´
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sTmTR
2´
1´
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F
aF
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mF
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(a)
5
4
aF
3 4
6
T
F
5
6
P
Elemento de
segunda
generación
sF
pF
Eje
GIE: VGG
1 2
3
xF
ra
ne
rF
fF
dT
xT
Hipérbolas
mFR
R
dF dF
OCW UPM
bF
(b)
dF1´2´
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Hiperboloide
bT
xT
cT
dT
aT
T
F
yT
cF
dF
xF
yF
aFbF
GIE: VGG
OCW UPM
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Resumen
• Ordinaria
– Directrices curvas alabeadas
– Superficies directoras
• De plano director
• De cono director
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6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Líneas directrices
g
c
P
tp
β
tB
b’
α
B
a
b
A
tA
I
GIE: VGG
OCW UPM
π
a’
INGENIERÍA GRÁFICA: Información Técnica
6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Superficies directoras
φ
P
∑
B
σ
Ω
A
ω
Π
I´
σ´
I
g
GIE: VGG
ω´
g´
OCW UPM
INGENIERÍA GRÁFICA: Información Técnica
6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Plano director
b
a
a
b
α
N
M
α
N
n
N´
m
M
M´
N´
m
M´
(b) Conoide
(a) Cilindroide
GIE: VGG
n
OCW UPM
INGENIERÍA GRÁFICA: Información Técnica
6 Líneas y Superficies
6.4 Superficies Radiadas Adaptadoras.
Cono director
n
m
φ
N
σ
∆´
M
P
GIE: VGG
OCW UPM